Master 2 – Dynamique des fluideset énergétique
Reynald [email protected]
Cours 7 : Ecoulement supersonique bidimensionnel, sta tionnaire, adiabatique, d’un fluide non-visqueux
Théorie des caractéristiquesMéthode numérique des caractéristiques
Dassault Aviation Mirage 2000 et Rafale
Écoulement supersonique bidimensionnel, stationnair e,adiabatique, d’un fluide non visqueux
complète linéarisée stationnaire
frottement, flux de chaleur
Equations moyennées (RANS)
instationnaire
théorie des profils minces et de la ligne
portante
Simulation des grosses structures (LES)
Simulation numérique directe (DNS)
Les méthodes de prévision en aérodynamique classiqu e
LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT
APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX
Cas général : Equations d'Euler
Ecoulement irrotationnel
Equation du potentielMonodimensionnel Bidimensionnel
Supersonique : Méthode des caractéristiques
Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques
Tridimensionnel : Méthodes numériques
Ecoulement incompressibleEquation de Laplace
Solutions analytiquesMéthode des singularités
PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX
L'approximation de couche limite
Problème completRésolution numérique des
équations de Navier -StokesEquations d'Euler :modèles non
visqueux
Méthode de couplage :fluide parfait - fluide
visqueux
ESSAIS EN SOUFFLERIE
EQUATIONS DE NAVIER-STOKES
Théorie des caractéristiques
Système de coordonnées intrinsèques
x1 : selon la ligne de couranty1 : selon la normale localey : distance à l’axe de révolution
ligne de courant
y1
x1
VP
y
y
x
ϕϕϕϕ
O
0====εεεε 1====εεεε: écoulement plan : écoulement de révolution
0xs
1
====∂∂∂∂∂∂∂∂
énergie isentropie
Équations du mouvement en coordonnées intrinsèques
(((( )))) 0y
siny
VVx 11
====
ϕϕϕϕεεεε++++∂∂∂∂
ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ++++ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂
continuité 1
0xp
xV
V11
====∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ
0yp
xV
11
2 ====∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ
mouvement
(équilibre radial)
2
0xp
ysin
yV
xV
11
2
1
2 ====∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
ϕϕϕϕεεεε++++∂∂∂∂
ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ++++∂∂∂∂
ρρρρ∂∂∂∂1××××V - 2
(((( ))))(((( ))))1
1
s
2
x/x/pp
a∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====
ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂====vitesse du son (car isentropique)
Équations du mouvement en coordonnées intrinsèques
ysin
Vy
Vxp
1aV 2
1
2
12
2 ϕϕϕϕρρρρεεεε−−−−====∂∂∂∂
ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ++++∂∂∂∂∂∂∂∂
−−−−
0yp
xV
11
2 ====∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ
0xs
1
====∂∂∂∂∂∂∂∂
système différentiel du premier ordre quasi linéaire
Problème de Cauchy : prolongement de la solution de P en P+dP
1y
1x
P
dPP ++++1dy
1dx
)C(initialecourbe
écoulement connu sur la courbe initiale (C)
V�
ϕϕϕϕ
====ααααM1
sinArcangle de Mach αααα
l’angle de Mach n’est défini que si M>1 →→→→ supersonique
directions caractéristiques
- montante ( ηηηη) angle + αααα par rapport au vecteur vitesse
- descendante ( ξξξξ) angle - αααα par rapport au vecteur vitesse
caractéristique montante
caractéristique descendante
+ αααα
- ααααP
V
y
x
Directions caractéristiques
11 ysin
xcos
∂∂∂∂∂∂∂∂αααα++++
∂∂∂∂∂∂∂∂αααα====
ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂
11 ysin
xcos
∂∂∂∂∂∂∂∂αααα−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂αααα====
ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂
les équations de base sont projetées sur les directio nscaractéristiques ( ηηηη) et (ξξξξ) au moyen des opérateurs
Formes que prennent les équations de conservation proje téessur les directions caractéristiques
Relations ou équations caractéristiques
équations caractéristiques pour des variations le long de (ηηηη) et (ξξξξ)
ysinsinp
pcossin ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====
ηηηη∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++
ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂
γγγγαααααααα
ysinsinp
pcossin ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====
ξξξξ∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−
ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂
γγγγαααααααα
sur ( ηηηη)
sur ( ξξξξ)
Relations caractéristiques
0====εεεε 1====εεεε: écoulement plan : écoulement de révolution
chaque équation ne fait intervenir que les dérivées p ar rapportà une des variables indépendantes
autres formes
ysinsinp
Mp1M
2
2 ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====ηηηη∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++
ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂
γγγγ−−−−
ysinsinp
Mp1M
2
2 ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====ξξξξ∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−
ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂
γγγγ−−−−
sur ( ηηηη)
sur ( ξξξξ)
Relations caractéristiques
0====εεεε 1====εεεε: écoulement plan : écoulement de révolution
autres formes
écoulement bidimensionnel plan
0pMp
1M )()(2
2
====δϕδϕδϕδϕ++++δδδδγγγγ
−−−− ++++++++
0pMp
1M )()(2
2
====δϕδϕδϕδϕ−−−−δδδδγγγγ
−−−− −−−−−−−−
sur ( ηηηη)
sur ( ξξξξ)
δδδδp(+) , δϕδϕδϕδϕ(+) variations de p et ϕϕϕϕ pour un déplacement δηδηδηδη sur ( ηηηη)
δδδδp(-) , δϕδϕδϕδϕ(-) variations de p et ϕϕϕϕ pour un déplacement δξδξδξδξ sur ( ξξξξ)
Relations caractéristiques
12
i
M2
11
pp −−−−γγγγ
γγγγ−−−−
−−−−γγγγ++++====
Cas du gaz calorifiquement parfait
2M2
11
dMMp
dp−−−−γγγγ++++
γγγγ−−−−====p i = constante
MdM
M2
11
1Mp
dpM
1M2
2
2
2
−−−−γγγγ++++
−−−−−−−−====
γγγγ−−−−
Relations caractéristiques
MdM
M2
11
1Md
2
2
−−−−γγγγ++++
−−−−====ωωωω
(((( )))) 1MArctg1M11
Arctg11
),M( 22 −−−−−−−−−−−−++++γγγγ−−−−γγγγ
−−−−γγγγ++++γγγγ====γγγγωωωω
Cas du gaz calorifiquement parfait
il existe une fonction ωωωω(M,γγγγ) telle que :
nombre de pression de Busemann
ou angle de Prandtl-Meyer
Relations caractéristiques
Propriétés de la fonction de pression ωωωω(M,γγγγ)
4,1pour45,13090111
)(max ====γγγγ°°°°====°°°°××××
−−−−
−−−−γγγγ++++γγγγ====γγγγωωωω
angle limite
∞∞∞∞→→→→M valeur asymptotique
M
ωωωω →→→→ ωωωωmax (γγγγ)
O
ωωωω (M)
Relations caractéristiques
Propriétés de la fonction de pression ωωωω(M,γγγγ)
1 2 3 4 5 60
50
100
150
200
250
300 g = 1.10 om(lim) = 322.43g = 1.15 om(lim) = 250.73g = 1.20 om(lim) = 208.50g = 1.25 om(lim) = 180.00g = 1.30 om(lim) = 159.20g = 1.35 om(lim) = 143.21g = 1.40 om(lim) = 130.45
(((( ))))°°°°ωωωω
M
Écoulement plan d'un gaz calorifiquement parfait
tetancons),M( ====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω
tetancons),M( ====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω
sur ( ηηηη)
sur ( ξξξξ)
Relations caractéristiques
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] 0,Mdd,Md0ddpMp
1M2
2
====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω→→→→====ϕϕϕϕ++++γγγγ
−−−−
sur ( ηηηη)
sur ( ξξξξ)
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] 0,Mdd,Md0ddpMp
1M2
2
====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω→→→→====ϕϕϕϕ−−−−γγγγ
−−−−
P0
écoulementuniforme
00 p,M
00 ====ϕϕϕϕ
(((( ))))0ξξξξ H
(((( ))))A0ηηηη
AB
paroi rectiligne
(((( ))))0ηηηη
écoulement uniforme jusqu'à la caractéristique (((( ))))A0ηηηη
écoulement uniformejusqu'à la section AH
)M()M(),M( 000PP 00ωωωω====ϕϕϕϕ−−−−ωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωωsur caractéristique (((( ))))0ηηηη
(((( ))))0ξξξξ )M()M(),M( 000PP 00ωωωω====ϕϕϕϕ++++ωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur caractéristique
Transmission d'une perturbation
0P0P MM)M(),M(00
====⇒⇒⇒⇒ωωωω====γγγγωωωω 00P0====ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ
Onde simple progressive de détente
les points P 1 et P2 sont sur la même onde montante ( ηηηη)
(ηηηη0)
P1
P2
Q1
P3
Q2
P0
(ηηηη)
(ηηηη1)
(ηηηη0)
(ηηηη)
(ξξξξ)M0
M1
A
B
(ξξξξ)
Onde simple progressive de détente
les points P 1 et P2 sont sur la même onde montante ( ηηηη)
1111 QQPP ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω1
),M(),M( 0P2P 2γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur la ( ξξξξ)4
1122 QQPP ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω3
),M(),M( 0PP 11γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur la ( ξξξξ)2
1 2+111 Q0QP ),M(),M(),M(2 ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω++++γγγγωωωω====γγγγωωωω
3 4+112 Q0QP ),M(),M(),M(2 ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω++++γγγγωωωω====γγγγωωωω
111 QQ0P ),M(),M(2 ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ12 -
112 QQ0P ),M(),M(2 ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ34 -
Onde simple progressive de détente
),M(),M(),M(112 QPP γγγγωωωω====γγγγωωωω====γγγγωωωω
112 QPP ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ
),M(),M( 0QQ 11γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω
11 Q0Q ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====γγγγωωωω
)convexeparoi(0car),M(),M(11 Q0Q <<<<ϕϕϕϕγγγγωωωω>>>>γγγγωωωω
l’écoulement est constant sur toute onde ( ηηηη)
sur l’onde ( ξξξξ) aboutissant en Q 1
les ondes ( ηηηη) forment une onde de détente
Onde simple progressive de détente
αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ
pente des caractéristiques ( ηηηη)
écoulement constant sur chaque ( ηηηη) : ondes ( ηηηη) rectilignes
détente : la pression diminue dans l’onde
• le nombre de Mach augmente αααα diminue
• comme ϕϕϕϕ diminue
les ondes ( ηηηη) sont de plus en plus couchées
αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ
les ondes de détente ( ηηηη) sont des droites divergentes
diminue
ϕϕϕϕαααα
ψψψψ(((( ))))ηηηηV�
Onde simple progressive de détente
101 ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====γγγγωωωω
faisceau d’ondes de détente centrées de Prandtl-Maye r
AB
0M
1M1ϕϕϕϕ
(((( ))))ηηηη(((( ))))0ηηηη
(((( ))))1ηηηη
à la limite : arc AB 0 disco ntinuité de pente
Onde simple progressive de détente
détente étalée détente centrée
pression à la paroi
AB
1M
(((( ))))ηηηηondes
p
0M0M
1M
p
0p 0p
1p 1p
x x
(((( ))))ηηηηondes
Onde simple progressive de détente
détente étalée détente centrée
paroi "en haut" détente par ondes descendantes ( ξξξξ)
A AB
(ξξξξ)(ξξξξ)
Détente centrée à l'origine d'un jet supersonique
la pression p a est imposée nombre de Mach M 1
déflexion (((( ))))γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ∆∆∆∆ ,M),M( 0101
p = p a
E
00 V,M
1M
(((( ))))f
1ϕϕϕϕ
),M( 11 γγγγωωωω−−−−====ϕϕϕϕ
)(maxmax γγγγωωωω====ϕϕϕϕ
),M()( 0max01max γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ∆∆∆∆
Déviation maximale pour une détente jusqu’au vide
détente depuis M = 1
si M 1→→→→ ∞∞∞∞ maxϕϕϕϕ→→→→ϕϕϕϕ
détente depuis M 0 :
)4,1pour45,130( max ====γγγγ°°°°====ϕϕϕϕ
videp = 0 ϕϕϕϕmax
Onde simple progressive de détente
détente centrée provoquée par une déviation de paroi
3M0 ====
défaut de surface
perturbation
document Onera - strioscopie interférentielle
frontière de la couche limite
Détente centrée à l'origine d'un jet supersonique
détente centrée
région sonique
couche de mélange
ligne de glissement
document Onera - interférogramme
détente centrée provoquée par un décrochement de paroi
Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Nav ette Spatiale
Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Nav ette Spatiale
Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Nav ette Spatiale
Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Nav ette Spatiale
l’angle de déflexion limite est atteint à haute alti tude
Onde simple progressive de compression
les points P 1 et P2 sont sur la même onde montante ( ηηηη) passant parle point Q 1 à la paroi
P1
P2
Q1
••••
••••
••••
(((( ))))ηηηηondes
0M
1M
AB
(((( ))))0ηηηη(((( ))))1ηηηη
1ϕϕϕϕ
(ξξξξ)
Onde simple progressive de compression
les points P 1 et P2 sont sur la même onde montante ( ηηηη) passant parle point Q 1 à la paroi
1111 QQPP ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω
),M(),M( 0PP 11γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur la ( ξξξξ)
1122 QQPP ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω
),M(),M( 0P2P 2γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur la ( ξξξξ)
Onde simple progressive de compression
),M(),M( 0QQ 11γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω
11 Q0Q ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====γγγγωωωω
)concaveparoi(0car),M(),M(11 Q0Q >>>>ϕϕϕϕγγγγωωωω<<<<γγγγωωωω
l’écoulement est constant sur toute onde ( ηηηη)
sur l’onde ( ξξξξ) aboutissant en Q 1
les ondes ( ηηηη) forment une onde de compression
),M(),M(),M(112 QPP γγγγωωωω====γγγγωωωω====γγγγωωωω
112 QPP ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ
Onde simple progressive de compression
αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ
pente des caractéristiques ( ηηηη)
écoulement constant sur chaque ( ηηηη) : ondes ( ηηηη) rectilignes
compression : la pression augmente dans l’onde
• le nombre de Mach diminue αααα croît
les ondes de compression ( ηηηη) sont des droites convergentes
• comme ϕϕϕϕ augmente
αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ croît
les ondes ( ηηηη) sont de plus en plus redressées
ϕϕϕϕαααα
ψψψψ(((( ))))ηηηηV�
Onde simple progressive de compression
les ondes de compression peuvent se croiserplusieurs états sont possibles en aval du point de c roisement
la solution par onde progressive n’est plus acceptableau-delà du point de focalisation des ondes de compression
il faut introduire une discontinuité ou onde de choc
onde de choc (C)
ligne de courant
1M
A B
1ϕϕϕϕ
(ηηηη1) (ηηηη0)
1M0M
0M
A
B
F
P
Onde simple progressive de compression
il faut remplacer l’onde progressive par une onde de cho c
l’onde finale précède l’onde initiale !
à la limite : arc AB 0 disco ntinuité de pente
onde de choc (C)(ηηηη1) (ηηηη0)
1M
A A
0M
1ϕϕϕϕ 1ϕϕϕϕ
0
1 1p
0p
p
X
(((( ))))0ηηηη(((( ))))1ηηηη
01X
Onde progressivede compression
il y a en un point dudomaine limité parles caractéristiques
trois états possibles
(((( )))) (((( ))))10 , ηηηηηηηη
impossibilitéphysique
nécessité d'uneonde de choc
Onde progressive de détente
détente étalée
Onde progressive de compression
détente d’un jet
détente centrée
onde de choc
focalisation
p = pa
Théorie des caractéristiques – Solutions élémentaires
document Onera
Structure d'un jet supersonique
Structure d'un jet supersonique plan isobare sous - dét endu
...10,8,6,4,2,0
...11,9,7,5,3,1
régions uniformes
régions par ondes simples
onde de détente onde de compression
frontière isobare (f)
frontière isobare (f)
ligne de courant
01
2 3
4
5
78
9
10116
ap
frontière isobare (f)
frontière isobare (f)
point de focalisation
point de focalisation
zone rotationnelle
zone rotationnelle
onde de choc
Formation d'un choc par focalisation d'ondes de compre ssion
Structure d'un jet supersonique plan isobare sous - dét endu
frontière isobare (f)
frontière isobare (f)
ligne de courant
Réflexion régulière de l'onde de choc sur le plan de symétrie
1ϕϕϕϕ
1ϕϕϕϕ
Structure d'un jet supersonique plan isobare sur - déten du
frontière isobare (f)
frontière isobare (f)
point triple
point triple
disque de Mach
ligne sonique1M <<<<1M >>>>
01
23
ligne de glissement
Formation d'un disque de Mach
(((( ))))1C (((( ))))2C
(((( ))))3C
Structure d'un jet supersonique plan isobare sur - déten du
(((( ))))1C(((( ))))2C
(((( ))))'1C
(((( ))))'2C
I
2
1
3
'X X
1ϕϕϕϕ
1ϕϕϕϕ−−−−
Intersection régulière de deux ondes de choc
intersection régulière à Mach 1,95
soufflerie S8Ch Onera
Intersection régulière de deux ondes de choc
intersection régulière dans le plan des polaires de c hoc
(((( ))))1polaire ΓΓΓΓ
(((( ))))1polaire ΓΓΓΓ
1ϕϕϕϕ1ϕϕϕϕ−−−−
ϕϕϕϕ
(((( ))))2Cchoc
(((( ))))1Cchoc
°°°°−−−−====ϕϕϕϕ==== 8,95.1Mcas 111pp
1
3
2
Intersection régulière de deux ondes de choc
(((( ))))1C(((( ))))2C
(((( ))))'1C (((( ))))'
2C
'X X
1ϕϕϕϕ−−−−
(((( ))))3C
(((( ))))ΣΣΣΣ
(((( ))))'ΣΣΣΣ
point triple
2
3
14
lignes de glissement
Intersection singulière ou phénomène de Mach
disque de Mach
point triple
1M >>>>1M >>>>
1M >>>>
1M <<<<
intersection singulière ou phénomène de Mach à M = 1, 95
soufflerie S8Ch Onera
Intersection singulière ou phénomène de Mach
(((( ))))2Cshock
(((( ))))1polar ΓΓΓΓ
(((( ))))2polar ΓΓΓΓ
(((( ))))1Cshock
1ϕϕϕϕ1ϕϕϕϕ−−−−
ϕϕϕϕ
°°°°−−−−====ϕϕϕϕ==== 15,95.1Mcas 11
1pp
2
1
3
4(((( ))))3Cshock
Intersection singulière ou phénomène de Mach
intersection singulière dans le plan des polaires de choc
Disques de Mach dans un jet supersonique
apparition de points chauds rayonnement fortement d ans l'infra-rougevulnérabilité aux missiles anti-avion
disques de Mach dans le jet d'un F104
ligne de glissement
onde de choc de confluence
Jet débouchant d'une tuyère propulsive de révolution
écoulement externe
formation d'un disque de Mach
point triple
lignes de glissement
subsonique
(((( ))))1C(((( ))))2C
choc droit (((( ))))3C
Jet débouchant d'une tuyère propulsive de révolution
Méthode numérique des caractéristiques
soufflerie S5Ch de l'Onera
Théorie des caractéristiques
Théorie des caractéristiques
====ααααM1
sinArcangle de Mach αααα
Directions caractéristiques
caractéristique montante
caractéristique descendante
αααα++++αααα−−−−
V
(((( ))))ηηηηy
x
P
l’angle de Mach n’est défini que si M >1 →→→→ supersonique
(((( ))))ξξξξ
ysinsinp
pcossin ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====
ηηηη∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++
ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂
γγγγαααααααα
ysinsinp
pcossin ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====
ξξξξ∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−
ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂
γγγγαααααααα
Équations caractéristiques
sur ( ηηηη)
sur ( ξξξξ)
Théorie des caractéristiques
ysinsinp
Mp1M
2
2 ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====ηηηη∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++
ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂
γγγγ−−−−
ysinsinp
Mp1M
2
2 ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====ξξξξ∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−
ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂
γγγγ−−−−
sur ( ηηηη)
sur ( ξξξξ)
forme équivalente
écoulement plan : ε = 0 - écoulement de révolution : ε = 1
pr pression de référence constante
Méthode numérique des caractéristiques
====
rpp
Logz
−−−−====
r
i
pp
Logs
2
2
M1M
Zγγγγ
−−−−====
ysinsin
Nϕϕϕϕααααεεεε−−−−====
On pose pour condenser l’écriture
pression entropie
ηηηη====ϕϕϕϕ++++ dNddzZ
ξξξξ====ϕϕϕϕ−−−− dNddzZ
Relations caractéristiques de travail
ϕϕϕϕd,dz variations dez et ϕϕϕϕ le long de
(((( ))))ηηηη ou (((( ))))ξξξξ
Point courant : opérateur N
le point 3 est à l’intersection :
- de la (ξξξξ) passant par 1
- de la (ηηηη) passant par 2
calcul de l’écoulement au sein d’un champ
l’écoulement au point 3 estcalculé à partir des points 1 et 2où il est connu
Méthode numérique des caractéristiques
(((( )))) (((( )))) )1n(131
)n(31
)n(313 NzzZ −−−−δξδξδξδξ====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ−−−−−−−−
(((( )))) (((( )))) )1n(232
)n(32
)n(323 NzzZ −−−−δηδηδηδη====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ++++−−−−
(((( )))))1n(3113 ZZ
21
Z −−−−++++==== (((( )))))1n(3223 ZZ
21
Z −−−−++++====
(((( )))))1n(3113 NN
21
N −−−−++++==== (((( )))))1n(3223 NN
21
N −−−−++++====
Relations caractéristiques discrétisées et linéarisées
(n) : rang de l’itération courante
valeurs moyennes pour la linéarisation:
Méthode numérique des caractéristiques
(n-1) : rang de l’itération précédente où l’état est connu
(((( )))))1n(3
)1n(31113 2
1 −−−−−−−− αααα−−−−ϕϕϕϕ++++αααα−−−−ϕϕϕϕ====ψψψψ
(((( )))))1n(3
)1n(32223 2
1 −−−−−−−− αααα++++ϕϕϕϕ++++αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ
[[[[ ]]]])n(3
)n(3 ,z ϕϕϕϕ
Les caractéristiques sont assimilées à des droites
- passant par 1 et de pente
pour la ( ξξξξ)
- passant par 2 et de pente
pour la ( ηηηη)
la résolution du système linéarisé donne un nouveaucouple de valeurs
d’où l’engagement dans un nouveau cycle d’itération
Méthode numérique des caractéristiques
(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ξξξξ∆∆∆∆αααα++++ηηηη∆∆∆∆αααα
ξξξξ∆∆∆∆αααα++++ηηηη∆∆∆∆αααα====1323
1322313 sinsin
sinssinss
Écoulement à entropie variable ou méthode des caractéris tiquesrotationnelle (voir relation de Crocco)
l’entropie est interpolée entre les lignes de courant passant par 1 et 2
Cycle d’itération
passage au point suivant
Méthode numérique des caractéristiques
)1n()1n( , −−−−−−−− δηδηδηδηδξδξδξδξ
ϕϕϕϕ−−−−−−−− εεεε<<<<ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕεεεε<<<<−−−− )1n(
3)n(
3z)1n(
3)n(
3 etzz
)1n(3
)1n(3 y,x −−−−−−−−
23132313 N,N,Z,Z[[[[ ]]]])1n(3
)1n(3 ,z −−−−−−−− ϕϕϕϕ
[[[[ ]]]])n(3
)n(3 ,z ϕϕϕϕ
équations linéarisées
test de convergence
non
oui
état (n) remplace état (n-1)
(((( ))))n3s
Point sur une paroi : opérateur P
(((( )))) (((( )))) )1n(232
)n(P2
)n(323 NzzZ −−−−δηδηδηδη====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ++++−−−−
(((( )))))1n(3
)1n(P2223 2
1 −−−−−−−− αααα++++ϕϕϕϕ++++αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ
la condition de glissement impose la direction de la vitesse ϕϕϕϕp en P
le point 3 est calculé à l’intersection de la paroi et de la (ηηηη)assimilée à une droite de pente
la relation caractéristique permet de calculer la pression en 3
Méthode numérique des caractéristiques
Point sur une frontière fluide : opérateur J
(((( )))))1n(J
)1n(J2223 2
1 −−−−−−−− αααα++++ϕϕϕϕ++++αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ
(((( )))) (((( )))) )1n(232
)n(J2
)n(J23 NzzZ −−−−δηδηδηδη====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ++++−−−−
)(21 )1n(
31J−−−−ϕϕϕϕ++++ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ
le point 3 est calculé à l’intersection
- de la frontière (j) : droite passant par 1 de pente :
- de la (ηηηη) : droite de pente :
la relation caractéristique permet de calculer la direction ϕϕϕϕJ en 3
la condition sur (j) imposela pression p 3
(j)
Méthode numérique des caractéristiques
ysinsin
Nϕϕϕϕαααα−−−−====
00
N:où'd0,0y →→→→→→→→ϕϕϕϕ→→→→
yyysin
δδδδδϕδϕδϕδϕ≈≈≈≈
∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂≈≈≈≈ϕϕϕϕ
ξξξξ
δϕδϕδϕδϕ====αααααααα
δδδδδδδδδϕδϕδϕδϕ====ααααδξδξδξδξ
∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−≈≈≈≈δξδξδξδξϕϕϕϕαααα−−−−
ξξξξ
sinsin
yy
sinyy
sinsin
0d2dzZ ====ϕϕϕϕ−−−−
Point sur un axe de révolution : opérateur A
problème : expression du terme
sur axe de révolution
il faut lever l’indétermination
forme limite
Méthode numérique des caractéristiques
yy
dyy
0sinξξξξξξξξ
∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂====
∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++====ϕϕϕϕ≈≈≈≈ϕϕϕϕ
Point sur un axe de révolution : opérateur A
(((( )))) δξδξδξδξ====ϕϕϕϕ++++−−−− 11131 NzzZ
δξδξδξδξ−−−−
++++ϕϕϕϕ−−−−====
1
1
31113 Z
NZ2
Z1
21
zz
(((( )))) 02zzZ 1133 ====ϕϕϕϕ++++−−−−
première relation (en 1) :
deuxième relation (en 3) :
évaluation avec la moyenne
la condition sur l’axeimpose la direction ϕϕϕϕ3 = 0
axe de révolution
Méthode numérique des caractéristiques
0dp
dpM
1M2
2
====ϕϕϕϕ++++γγγγ
−−−−
Origine d’un faisceau de détente : opérateur Q
en Q la relation caractéristique sur ( ηηηη) tend vers
Méthode numérique des caractéristiques
0dQenNddp
dpM
1M2
2
→→→→ηηηηηηηη====ϕϕϕϕ++++γγγγ
−−−−
écoulement plan
Origine d’un faisceau de détente : opérateur Q
ϕϕϕϕ∆∆∆∆++++γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω====γγγγωωωω ),M(),M(),M( 00101
),M(),M( 0101 γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω++++ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ
QNϕϕϕϕ∆∆∆∆====δϕδϕδϕδϕ
δϕδϕδϕδϕ++++ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ n0n δϕδϕδϕδϕ++++γγγγωωωω====γγγγωωωω n),M(),M( 0n
entre les états 0 et 1
la détente est fractionnée en N Q détentes élémentaires
Méthode numérique des caractéristiques
Domaines de dépendance et d'influence
domaine calculable à partir d'une courbe initiale (C) non caractéristique
ABP : domaine de dépendance de PQAB : domaine d'influence de Q
le calcul ne peut êtreprolongé au-delà de AP et BP
courbe initiale (C)
Méthode numérique des caractéristiques
Méthode numérique des caractéristiques
courbe initiale (C)
0102
03
04
05
A
B
caractéristiquemontante
caractéristiquedescendante
11
12
13
14
15
si la courbe initiale (C) est caractéristique, le cham p ne peut êtreprolongé en dehors de (C)
Données de départ sur une courbe caractéristique
Domaine calculable à partir d'une courbe initiale (C)non caractéristique et d'une paroi
le calcul ne peut être prolongé au-delà de la descendan te AC
C
A
Méthode numérique des caractéristiques
Domaine calculable à partir d'une caractéristique ini tiale etd'une paroi
la condition sur la paroi permet de prolonger le calcul au-delà de ( ηηηη0)
on ne peut dépasser la descendante (05,45) si ( ηηηη0) s'arrête en 05
caractéristique initiale ( ηηηη0)
paroi
Méthode numérique des caractéristiques
Écoulements élémentaires : détente continue par ond es simples
°°°°−−−−====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====
10:déflexion
5,2M0
caractéristiques
Écoulements élémentaires : détente continue par ond es simples
°°°°−−−−====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====
10:déflexion
5,2M0
contours iso-Mach
caractéristiques
Écoulements élémentaires : compression et focalisat ion
°°°°++++====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====
10:déflexion
5,2M0caractéristiques
Écoulements élémentaires : compression et focalisat ion
°°°°++++====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====
10:déflexion
5,2M0caractéristiqueszoom sur lafocalisation
contours iso-pression génératrice
contours iso-Mach
Écoulements élémentaires : compression et focalisat ion
°°°°++++====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====
10:déflexion
5,2M0
Application de la méthode des caractéristiquesDéfinition de la forme d’une tuyère supersonique
problèmes
- direct calculer l'écoulement produit par une tuyère deforme donnée
- inverse calculer le contour d'une tuyère donnant unécoulement aux propriétés données (uniforme, par exempl e)
deux étapes principales
1 - calculer le domaine transsonique au col par une méthodeadéquate (analytique, numérique)
2 - à partir d'une caractéristique initiale déduite de 1, prolongerle calcul dans la partie supersonique par la méthode descaractéristiques
Application au calcul d’une tuyère supersonique
y
xO
axe de révolutionou plan de symétrie
col géométrique
crouh
ℜℜℜℜparoi au col
u
v V�
Détermination de la région transsonique du col
1vu 22 ====++++
u)x/u(
uv
x1
0v
∂∂∂∂∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂====
ℜℜℜℜ ====
Structure de la région transsonique du col d’une tuyère
ligne sonique : lieu géométrique des points tels que
0v ====
ligne des sommets : points où la vitesse est parallèle à l’axeou des cols
la ligne des sommets peut être graduée en valeurs de la courbure
(((( ))))αααα−−−−ϕϕϕϕ==== tgdxdy
Structure de la région transsonique du col d’une tuyère
++++====
====αααα22
2
vu
asinArc
M1
sinArc
caractéristique de départ pour la partie supersonique
définie par
====ϕϕϕϕuv
Arctg
avec
et
Structure de la région transsonique du col d’une tuyère
la ligne sonique ≠≠≠≠ du col géométrique, elle présente une courbure
la solution analytique obtenue par résolutionde l’équation du potentiel est valable tant que R/h > 4
ligne des cols
ligne sonique
ligne de courant
X
Y
-2 -1 0 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
exemple : tuyère sonique pour le cas R/H = 1
Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la régi on du colpar résolution des équations d’Euler
Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la régi on du colpar résolution des équations d’Euler
X
R
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
exemple : calcul Euler pour le cas R/H = 1, maillage
exemple : calcul Euler pour le cas R/H = 1, plages is o-Mach
X
R
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la régi on du colpar résolution des équations d’Euler
X
Y
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
caractéristique de départligne sonique
ligne des sommets
exemple : domaine sonique pour le cas R/H = 1
Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la régi on du colpar résolution des équations d’Euler
y
x0
caractéristiqueinitiale ou de départ
dy
00
01
02
03
04
05
06
(((( ))))0ξξξξ
ligne sonique
1M <<<< 1M >>>>
Détermination de la région transsonique du col
Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donné e :mode direct
cheminement : 01+P →→→→ 11, 02 +11→→→→ 12 , 12+P→→→→ 21 -02+ 12→→→→ 13, 13+21 →→→→ 22, 22+P →→→→ 31 - 04+13 →→→→ 14, 22+14 →→→→ 23 etc jusqu'à la dernière montante [35,71]
réseau des caractéristiques
nombre de Mach en sortie M 0 = 2
Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donné e :mode direct
réseau des caractéristiques – zoom sur la région du col
nombre de Mach en sortie M 0 = 2
Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donné e :mode direct
plages iso nombre de Mach
nombre de Mach en sortie M 0 = 2
Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donné e :mode direct
Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulemen tdonné : mode inverse ou design
),M(A
AE
Ec γγγγΣΣΣΣ
====
la section de sortie A E et le nombre de Mach en sortie M E étantdonnés →→→→ calculer la section du col :
Étape 1 : calculer le domaine transsonique par la méthode numé rique
Étape 2 : en extraire une caractéristique de départ ( ξξξξ0) située dansla partie supersonique (caractéristique partant du col géométrique)
Étape 3 : fixer une répartition de Mach sur l'axe de la tuyère
a - passer par le point 0 dans le domaine transsonique connu
b - atteindre un niveau M = M E à partir de x = x E
c - être constante à la valeur M = M E au-delà de x E
XE
Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulemen tdonné : mode inverse ou design
Étape 4 : à partir de ( ξξξξ0) et de la loi de Mach imposée sur l'axe , calculer l'écoulement supersonique par la méthode des caractéris tiques
Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulemen tdonné : mode inverse ou design
Étape 5 : mise en place de la paroi de la tuyère
conservation du débit entre le col et le point P n sur une caractéristique calculée
(((( )))) ξξξξρρρρππππ==== dyn.V2qd m
�
�
ξξξξααααρρρρππππ==== dysinV2qd m
ξξξξρρρρππππ==== dya2qd m
∫∫∫∫ ξξξξρρρρππππ==== 0P
0m dya2q
m
P
0qdya2
n ====ξξξξρρρρππππ∫∫∫∫
débit au col
débit à travers ( ξξξξ)
définit la position du point P n à la paroi
Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulemen tdonné : mode inverse ou design
données dedéfinition dela tuyère : M 0
calcul dudomainetranssonique
caractéristiquede départ
opérateur A : point sur l'axe
opérateur N : point courant
calcul du débit q m sur la ( ξξξξ) en cours
donnée : nombre de Mach sur axe
oui
non
localisation du point de la paroi
qm > (qm)col
caractéristique ( ξξξξ)
fin du calcul
Mach paroiconstant = M 0oui
non
Algorithmique
Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulemen tdonné : mode inverse ou design
Définition d'une tuyère plane Mach 2
Y
X
caractéristique de départ
loi de nombre de Mach imposée sur l'axe
X
Mac
h
Définition d'une tuyère plane Mach 2
réseau des caractéristiques calculées
Définition d'une tuyère plane Mach 2
réseau des caractéristiques - zoom sur la région du col
Définition d'une tuyère plane Mach 2
plages iso nombre de Mach
Définition d'une tuyère plane Mach 2
Structure de l’écoulement dans une tuyère supersonique
====≡≡≡≡αααα
00 M
1sinArcMachdeangle
écoulementuniforme en avalde CA et CA’
0αααα
0αααα
Machdeligne 0M
A
A’
C
Structure de l’écoulement dans une tuyère supersonique
écoulement uniforme dans le domaine CAC’A’ → rhombe de Mach
0αααα
0αααα
0αααα
0αααα
A
A’
C C’
Soufflerie supersonique équipée d'une tuyère en forme
tuyère Mach 2 de la soufflerie S5Ch de l'Onera-Meudon
maquette dans le rhombe de Mach
Tuyère symétrique plane type coquetier
Caractéristiques 2M005,1M E0 ====−−−−====
Tuyère symétrique plane type coquetier
2M005,1M E0 ====−−−−====Caractéristiques
Tuyère symétrique plane type coquetier
Plages iso-Mach 2M005,1M E0 ====−−−−====
Tuyère symétrique plane type coquetier
Plages iso-Mach
2M005,1M E0 ====−−−−====
Tuyère symétrique plane type coquetier
2M005,1M E0 ====−−−−====Caractéristiques – domaine calculable
Tuyère symétrique plane type coquetier2M005,1M E0 ====−−−−====
x
Mac
h
0 10 20 30 40 50 600.5
1
1.5
2
2.5
paroi superieureparoi inferieure
Nombre de Mach sur les parois
Jet supersonique plan
contours iso-Mach
caractéristiques
première cellule
13,2pp
469,0pp
2M
a
0
0
a
0
====
====
====
Jet supersonique de révolution
départ du choc defocalisation
caractéristiques
8,6pp
147,0pp
3M
a
0
0
a
0
====
====
====
contours iso-Mach
contours iso pression génératrice
8,6pp
147,0pp
3M
a
0
0
a
0
====
====
====
Jet supersonique de révolution
avion de transport supersonique Concorde
Fin du cours