Dimensionnement desstructures
Antoine Legay
Maître de conférence
2012-2013
Cnam-Paris
Table des matières
I Sollicitations simples sur les poutres • • • • • • • • • • • • • • • • 1I.1 Hypothèses de poutre 1
I.2 Poutre dans son environnement 3
I.3 Torseur de cohésion 4
I.3.1 Définition 4
I.3.2 Détermination 4
I.3.3 Classification des sollicitations 5
I.4 Traction 6
I.4.1 Torseur de cohésion 6
I.4.2 Contrainte normale 6
I.4.3 Allongement et déformations 7
I.4.4 Relation contrainte-déformation 7
I.4.5 Déplacement 8
I.4.6 Relation entre effort normal et chargement 8
I.5 Torsion 9
I.5.1 Torseur de cohésion 9
I.5.2 Moment quadratique polaire de la section 10
I.5.3 Contrainte tangentielle 10
I.5.4 Déformation et rotation des sections 11
I.5.5 Relation contrainte-déformation 12
I.5.6 Relation entre moment de torsion et chargement 12
I.6 Flexion 12
I.6.1 Torseur de cohésion 12
I.6.2 Moment quadratique de section 13
I.6.3 Contrainte normale 14
I.6.4 Déplacement 15
I.6.5 Relation contrainte-déformation 15
ii
I.6.6 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement 16
II Calcul de treillis • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 19II.1 Hypothèses et critères de dimensionnement 19
II.1.1 Hypothèses sur les liaisons 19
II.1.2 Règles de construction d’un treillis 20
II.1.3 Critère de dimensionnement 22
II.2 Méthode des nœuds 22
II.3 Flambage des poutres droites 22
II.3.1 Introduction 22
II.3.2 Charge critique de flambage 23
II.3.3 Critère de dimensionnement 25
II.3.4 Autres conditions aux limites 25
III Contraintes et déformations • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 27III.1 Introduction 27
III.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles 28
III.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations 30
III.2.2 Théorème de superposition 31
III.3 Problème plan 31
III.3.1 Hypothèses 31
III.3.2 Etat de contraintes planes 32
III.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avec x et y 33
III.3.4 Expressions des déformations d’un carré non aligné avec x et y 35
III.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d’un carré non aligné avec x et y 36
III.3.6 Directions principales 36
III.3.7 Cercle de Mohr des contraintes 37
IV Critères de dimensionnement • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 41IV.1 Objectifs 41
IV.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca 41
IV.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises 43
IV.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises 44
IV.5 Fatigue des matériaux 44
V Initiation au calcul éléments finis • • • • • • • • • • • • • • • • • 47V.1 Etude de l’élément de barre 47
V.1.1 Equilibre de l’élément barre 47
V.1.2 Exemple d’application 49
V.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis 49
V.2 Etude de deux barres 49
V.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires 49
V.2.2 Mise en œuvre pratique 51
V.3 Elément barre pour le calcul des treillis 52
V.4 Elément de poutre pour le calcul des portiques 54
VI Moyens expérimentaux • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 57VI.1 Jauges de déformation 57
VI.1.1 Principe 57
VI.1.2 Pont de Wheatstone 58
iii
VI.1.3 Utilisation du boitier 60
VI.1.4 Différents montages 60
VI.1.5 Capteurs à jauges 62
VI.1.6 Exploitation d’une rosette de 3 jauges à 45o62
VI.2 Photoélasticité 63
VI.2.1 Principes 63
VI.2.2 Mise en équation 66
VI.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques 68
I — Sollicitations simples sur les poutres
I.1 Hypothèses de poutre
Hypothèses géométrique
La figure I.1 montre un assemblage de poutres permettant de construire une charpente
métallique. Une poutre est un solide dont une dimension est plus grande que les 2 autres.
Figure I.1 – Charpente constituée d’un assemblage de poutres
D’un point de vue plus géométrique, une poutre Ω est un solide engendré par une surface
plane Σ appelée section droite constante ou légèrement variable dont le plan reste ortogonal
à une courbe Γ de grand rayon appelée ligne moyenne décrite par le centre de surface OΣ
de la section droite Σ (Fig. I.2). La plus grande dimension transversale est petite devant la
longueur de la fibre moyenne (rapport de 5 à 10 au moins).
Dans le cadre de ce cours, on ne s’intéresse qu’aux poutres droites, c’est à dire celles
dont la ligne moyenne est une droite. De plus, dans la majorité des cas, on ne prend que
des sections constantes.
2 Sollicitations simples sur les poutres
Σ
Σ −→MOΣ
OΣ
−→s
Ω1
Ω1
Ω2
Figure I.2 – Modèle de poutre et coupure fictive en deux parties.
≈
F
σ
F2
F2
σ
Figure I.3 – Principe de Saint-Venant.
Hypothèses sur le matériau
On suppose que le matériau est :
– homogène : les propriétés sont les mêmes en tout point,
– isotrope : les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions, ce qui n’est pas le
cas d’un matériau composite,
– continu : le matériau ne contient pas d’aspérités, il y a continuité de la matière.
Hypothèses sur les déformations et les déplacements
On suppose que les déformations sont petites et restent dans le domaine élastique. De plus
le déplacement est aussi considéré petit devant la taille de la poutre, cela permet de faire
tous les calculs sur la configuration initiale et non déformée de la poutre.
Hypothèses sur le chargement
Le chargement est appliqué progressivement, on néglige les effets d’inertie et on ne s’intéresse
qu’à la configuration finale statique.
Principe de Saint-Venant
Les contraintes et les déformations dans une région éloignée du point d’application des
efforts ne dépendent que du torseur des efforts de cohésion au point considéré (Fig. I.3).
I.2 Poutre dans son environnement 3
Figure I.4 – Hypothèse de Bernoulli.
−→y
A1
−→xB1 B2 An Bm
Figure I.5 – Poutre dans son environnement.
Autrement dit, la façon dont on applique le chargement n’a pas d’influence loin de
l’application de la charge.
Hypothèse de Bernoulli
Une section de la poutre initialement plane et perpendiculaire à la ligne moyenne reste plane
et perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation (Fig. I.4).
I.2 Poutre dans son environnement
La poutre dans son environnement subit des actions mécaniques extérieures (Fig. I.5). Ces
actions sont partagées en deux groupes : actions des liaisons et actions des efforts extérieurs.
– La poutre est en liaison avec l’extérieur aux points Ai :
– torseurs des actions mécaniques notés
LAi
→ ces actions sont inconnues
– Les efforts extérieurs sont appliqués aux points Bi
– torseurs des actions mécaniques notés
∆Bi
→ ces actions sont connues
Dans le plan (−→x , −→y ), les liaisons classiquement rencontrées sont :
– encastrement : −→x−→y
L
=
Fx Mx
Fy 0
0 Mz
– articulation : −→x−→y
L
=
Fx Mx
Fy 0
0 0
– appui simple :−→x
−→y
L
=
0 Mx
Fy 0
0 0
4 Sollicitations simples sur les poutres
Ω1
OΣ
Σ
−→T(M, −→n )
−→nOΣ
Figure I.6 – Vecteur contrainte.
I.3 Torseur de cohésion
I.3.1 Définition
Une poutre Ω est coupée en deux parties par une section fictive Σ de centre de section
OΣ (Fig. I.2). Le torseur de cohésion est le torseur des actions mécaniques de Ω2 sur Ω1 à
travers la surface Σ exprimé en OΣ.
L’action surfacique de Ω2 sur Ω1 à travers la surface Σ est une force surfacique appelée
"vecteur contrainte" pour la direction normale −→n à Σ ; cette action surfacique est notée−→T(M, −→n ) (Fig. I.6). Le torseur de cohésion est la somme sur la surface Σ de
−→T(M, −→n ) où
−→n est le vecteur tangent à l’axe de la poutre en OΣ.
La résultante vaut :−→s =
∫∫
Σ
−→T (M, −→n )dΣ.
Le moment au point OΣ de Σ vaut :
−→MOΣ=
∫∫
Σ
−−−→OΣM ∧ −→
T(M, −→n )dΣ.
Finalement le torseur de cohésion en OΣ vaut :
KOΣ
=
−→s−→MOΣ
OΣ
I.3.2 Détermination
La détermination du torseur de cohésion se fait en écrivant l’équilibre de Ω1 ou de Ω2. On
utilise les notations suivantes :L
: torseur des actions mécaniques inconnues sur la poutre Ω provenant des liaisons,
∆
: torseur des actions mécaniques connues sur la poutre Ω,
L → 1
: torseur des actions mécaniques inconnues sur la partie Ω1,
∆ → 1
: torseur des actions mécaniques connues sur la partie Ω1,
L → 2
: torseur des actions mécaniques inconnues sur la partie Ω2,
∆ → 2
: torseur des actions mécaniques connues sur la partie Ω2,
2 → 1
=
KOΣ
: torseur des actions mécaniques de Ω2 sur Ω1, c’est à dire le torseur
de cohésion.
L’équilibre de la poutre s’écrit
L
+
∆
=
0
.
I.3 Torseur de cohésion 5
−→x −→x −→xN Mt Mfz
TyTorsion FlexionTraction
Figure I.7 – Différentes sollicitations pour les poutres.
Ceci permet de déterminer le torseur inconnu
L
dans le cas ou le problème est isostatique.
L’équilibre de la partie Ω1 s’écrit
L → 1
+
∆ → 1
+
2 → 1
=
0
où
2 → 1
est le torseur de cohésion
KOΣ
. On en déduit que le torseur de cohésion vaut
KOΣ
= −
L → 1
−
∆ → 1
.
L’équilibre de la partie Ω2 s’écrit
L → 2
+
∆ → 2
+
1 → 2
=
0
où
1 → 2
= −
2 → 1
= −
KOΣ
d’après le théorème des actions mutuelles. On en
déduit que le torseur de cohésion vaut
KOΣ
=
L → 2
+
∆ → 2
.
I.3.3 Classification des sollicitations
Dans le cas d’une poutre droite, on utilise habituellement le repère orthonormé (−→x , −→y , −→z )
où −→x est suivant la ligne moyenne et les vecteurs −→y et −→z sont dans les directions transver-
sales. Dans ce repère, le torseur de cohésion vaut
KOΣ
=
N Mt
Ty Mfy
Tz Mfz
OΣ
où
– N est l’effort normal,
– Ty est l’effort tranchant suivant −→y ,
– Tz est l’effort tranchant suivant −→z ,
– Mt est le moment de torsion,
– Mfyest le moment de flexion autour de −→y (flexion dans le plan (−→x , −→z )),
– Mfzest le moment de flexion autour de −→z (flexion dans le plan (−→x , −→y )).
La figure I.7 présente graphiquement ces différents cas. Les sollicitations simples étudiées
dans la suite du cours sont répertoriées dans le tableau I.1. Un résumé récapitulant les
formules à savoir est présenté dans le tableau I.2.
6 Sollicitations simples sur les poutres
Traction Torsion Flexion pure Flexion simple
(plan (−→x , −→y )) (plan (−→x , −→y ))
KOΣ
=
N 0
0 0
0 0
OΣ
0 Mt
0 0
0 0
OΣ
0 0
0 0
0 Mfz
OΣ
0 0
Ty 0
0 Mfz
OΣ
Tableau I.1 – Sollicitations simples.
−→x
OΣ
Σ
A
lΣ
−→x
σ−→xOΣ
−→y−→z O O
−→y−→z
−F−→x
F−→x
Figure I.8 – Poutre en traction.
I.4 Traction
I.4.1 Torseur de cohésion
On suppose une poutre d’axe −→x soumise à un chargement de traction : F−→x à l’extremité
droite en A et −F−→x à l’extrémité gauche en O (Fig. I.8). L’aire de la section est notée S.
En appliquant la formule suivante pour calculer le torseur de cohésion,
KOΣ
=
L → 2
+
∆ → 2
avec
L → 2
=
0
et
∆ → 2
=
F−→x |−→0
OΣ
on a
KOΣ
=
F−→x |−→0
OΣ
donc l’effort normal N vaut ici F .
I.4.2 Contrainte normale
On suppose que le vecteur contrainte dans une section de la poutre (perpendiculaire à la
ligne moyenne) est porté par −→x et qu’il est uniforme sur toute la surface Σ. On note le
vecteur contrainte σ−→x ou σ est la contrainte normale de traction.
Le torseur de cohésion en OΣ centre de la section Σ vaut :
TOΣ
=
−→s−→MOΣ
OΣ
I.4 Traction 7
avec−→s =
∫∫
Σσ−→x dΣ = σS−→x
et−→MOΣ
=
∫∫
Σ(y−→y + z−→z ) ∧ σ−→x dΣ =
−→0
car y et z sont des fonctions impaires intégrées sur des intervalles symétriques. Finalement :
TOΣ
=
N−→x−→0
OΣ
où N est l’effort normal qui vaut N = σS ou encore
σ =N
S.
On parle de traction lorsque N et σ sont positifs, on parle de compression quand N et
σ sont négatifs.
I.4.3 Allongement et déformations
Lorsque la poutre est soumise à de la traction, le matériau étant déformable, elle s’allonge.
Cet allongement, noté ∆l, a une unité (millimètre ou mètre). La valeur de ∆l, pour un
même matériau et une même section S, dépend de la longueur l. Afin de pouvoir comparer
les résultats entre eux, on préfère utiliser une grandeur adimensionnée que l’on note ǫ et qui
vaut
ǫ =∆l
l.
On appelle ǫ l’allongement axial unitaire.
La déformation axiale entraine pour la plus part des matériaux des déformations dans
les directions transversales −→y et −→z notées ǫy et ǫz. Elles valent
ǫy = ǫz = −νǫ.
Le coefficient ν est appellé coefficient de Poisson, il caractérise le rétrécissement transversal
d’une poutre sollicitée en traction. Ce coefficient a été caractérisé par Siméon Denis Poisson
(français, 1781-1840).
I.4.4 Relation contrainte-déformation
Les essais montrent que ǫ et σ sont proportionnels et obéissent à la loi
σ = Eǫ
dans le domaine élastique du matériau (voir aussi la figure IV.1 dans la partie sur le critère
de Tresca). Cette constante E ne dépend que du matériau, c’est le module de Young ou
module d’élasticité longitudinal. Ce module a été caractérisé par Thomas Young (anglais,
1773-1829).
Son unité est le Pascal.
8 Sollicitations simples sur les poutres
u(x)
x
u(x + δx)
x + δx
δx
u(x + δx) − u(x) + δx
Figure I.9 – Déformation d’un tronçon de poutre en traction
I.4.5 Déplacement
La section fictive Σ située à l’abscisse x (−−→OOΣ = x−→x ) se déplace dans la direction axiale −→x
d’un vecteur u(x)−→x . Autrement dit, le vecteur u(x)−→x est le vecteur déplacement du point
OΣ.
On montre qu’il existe une relation entre ǫ et u(x) donnée par
ǫ =du(x)
dx.
Preuve On isole un petit tronçon de poutre de longueur δx compris entre les abscisses x et x+δx (Fig. I.9).
L’extrémité de gauche se déplace d’une valeur u(x), la section de droite se déplace d’une valeur u(x + δx).
La longueur finale du tronçon est u(x+δx)−u(x)+δx, son allongement est u(x+δx)−u(x). La déformation
du tronçon est alors
ǫ =u(x + δx) − u(x)
δx
En faisant tendre δx vers 0, on obtient exactement la définition de la dérivée :
limδx→0
u(x + δx) − u(x)
δx=
du(x)
dx
On a bien
ǫ =du(x)
dx
La déformation est la dérivée du déplacement par rapport à x.
En remplaçant ǫ par son expression en fonction de σ, puis de N , on a
ǫ =σ
E=
N
ES,
soit la relation entre le déplacement et l’effort normal
du(x)
dx=
N(x)
ES(x).
I.4.6 Relation entre effort normal et chargement
On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à un effort axial linéique p−→x . Par
exemple, pour une poutre verticale où l’axe −→x est vers le bas, cette force linéique vaut
p = ρgS
I.5 Torsion 9
x x + δx
δx
N(x + δx)−N(x) p
Figure I.10 – Equilibre d’un tronçon de poutre en traction
où ρ est la densité du matériau conposant la poutre, g est la gravité et S est l’aire de la
section de la poutre.
Dans ce tronçon, on montre que l’on a la relation suivante entre l’effort normal et la
charge linéique :dN
dx+ p = 0.
Preuve On isole un petit tronçon de poutre de longueur δx compris entre les abscisses x et x + δx (Fig.
I.10). L’extrémité de gauche subit la force −N(x) car la matière est à droite et, par convention, l’effort
normal est l’action de la partie de droite sur la partie de gauche (en supposant que l’axe positif soit vers la
droite). L’extrémité de droite subit la force N(x+δx). Le tronçon subit la force linéique p, soit la résultante
pδx. L’équilibre du tronçon s’écrit
−N(x) + N(x + δx) + pδx = 0
soit en divisant par δx
N(x + δx) − N(x)
δx+ p = 0
En faisant tendre δx vers 0, on obtient exactement la définition de la dérivée :
limδx→0
N(x + δx) − N(x)
δx=
dN(x)
dx
On a biendN(x)
dx+ p = 0
I.5 Torsion
I.5.1 Torseur de cohésion
On suppose une poutre de section circulaire d’axe −→x , encastrée à son extrémité gauche O
et soumise à un moment C−→x à son extrémité droite A (figure I.11).
En appliquant la formule suivante pour calculer le torseur de cohésion,
KOΣ
=
L → 2
+
∆ → 2
avec
L → 2
=
0
et
∆ → 2
=−→
0 | C−→x
OΣ
on a
KOΣ
=−→
0 | C−→x
OΣ
donc le moment de torsion Mt vaut ici C.
10 Sollicitations simples sur les poutres
O−→x
−→z
−→eθ
M
θ−→er
−→y
Σ
C−→xr
M ′γ
−→y
Σ
−→er
τ
−→z
−→eθ
α
Figure I.11 – Poutre sollicitée en torsion.
I.5.2 Moment quadratique polaire de la section
Le moment quadratique polaire de la section d’abscisse x est noté I0(x). Il peut dépendre
de x si la section de la poutre varie, son expression est :
I0(x) =
∫ ∫
S(x)r2dS
Pour une section circulaire de rayon R (diamètre D = 2R), le calcul est le suivant :
I0 =
∫ r=R
r=0
∫ θ=2π
θ=0r2(r dθ dr) = 2π
R4
4= π
D4
32
Pour une section circulaire creuse de diamètre extérieur De et de diamètre intérieur Di,
le moment quadratique polaire vaut
I0 =π
32
(D4
e − D4i
).
I.5.3 Contrainte tangentielle
On utilise le repère cylindrique (−→er , −→eθ , −→x ) pour repérer un point M de la poutre, ainsi−−→OM = x−→x + r−→e r. Le vecteur contrainte au point M appartenant à une section de la
poutre et pour la direction axiale −→x est porté par −→eθ et qu’il est proportionel à r :
−→T (M, −→x ) = τ−→eθ
On peut montrer que la contrainte tangentielle en un point M de la poutre vaut :
τ(x, r) =Mt(x)
I0(x)r
où I0(x) est le moment quadratique polaire en OΣ de la section.
Preuve On suppose que la répartition de contrainte tangentielle τ est proportionnelle à r :
τ (x, r) = τmaxr
R
où τmax est la valeur de la contrainte sur la peau de la poutre et R est la rayon de la poutre. Le moment
du torseur de cohésion−→MOΣ
vaut
−→MOΣ
=
∫ ∫
Σ
−−−→OΣM ∧
−→T(M, −→n ) dΣ
I.5 Torsion 11
−→z
−→y
x x + δx
δx
r
α(x + δx) − α(x)
δx
γ(x)
a
α(x)
γ(x)
α(x + δx)
a
r
Figure I.12 – Déformation et rotation des sections
soit ici−→MOΣ
=
∫∫
Σ
r−→er ∧ τmaxr
R−→eθ dΣ =
τmax
R
∫ ∫
Σ
r2dΣ−→x =
τmax
RI0Σ−→x
Donc on a
Mt =I0
Rτmax
soit aussi
τmax =R
I0
Mt
En remplaçant dans l’expression de τ , on a bien le résultat attendu. •
I.5.4 Déformation et rotation des sections
Une section d’abscisse x tourne d’un angle α(x) sans se déformer. La déformation est une
distorsion angulaire entre deux sections trés proches caractérisée par γ(x). Elle est propor-
tionnelle à r et à la variation de α(x), soit
γ = rdα
dx.
Preuve Deux sections distantes de δx tournent respectivement des angles α(x) et α(x + δx). La rotation
relative entre les deux sections est de α(x + δx) − α(x) (Fig. I.12). Cette rotation relative provoque la
distorsion angulaire γ(x) qui caractérise la déformation en torsion. La relation entre γ(x) et α(x) est
établie géométriquement en dessinant deux triangles rectangles :
– un triangle dans le plan tangent au cylindre, qui fait apparaitre l’angle γ(x) (à gauche sur la figure
I.12),
– un triangle dans le plan de la section, qui fait apparaitre l’angle α(x + δx) − α(x) (à droite sur la
figure I.12). •
Ces deux triangles partagent un coté de longueur a. On peut écrire dans le triangle faisant intervenir γ(x)
que
tan γ(x) =a
δx
et dans le triangle faisant intervenir α(x) que
tan(α(x + δx) − α(x)) =a
r
Les angles étant petits, on a
tan γ(x) ≈ γ(x)
12 Sollicitations simples sur les poutres
et
tan(α(x + δx) − α(x)) ≈ α(x + δx) − α(x)
En écrivant l’égalité de a, on a
γ(x) δx = r(α(x + δx) − α(x))
En divisant par δx et en faisant tendre δx vers 0, on a la définition de la dérivée
γ(x) = r limδx→0
α(x + δx) − α(x)
δx
On a bien
γ(x) = rdα
dx.
I.5.5 Relation contrainte-déformation
La contrainte tangentielle τ est proportionnelle à la déformation γ et au module d’élasticité
transversal G :
τ = Gγ.
En remplaçant γ par son expression en fonction de α, on a
τ = rGdα
dx.
En utilisant l’expression de τ en fonction du moment de torsion, on a donc
dα(x)
dx=
Mt(x)
GI0(x).
I.5.6 Relation entre moment de torsion et chargement
On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à une répartition linéique de moment
c−→x .
Dans ce tronçon, on peut montrer que l’on a la relation suivante entre le moment de
torsion et la répartition linéique de moment :
dMt
dx+ c = 0.
I.6 Flexion
I.6.1 Torseur de cohésion
On suppose une poutre d’axe −→x , encastrée à son extrémité gauche O et soumise à un
chargement transversal −F−→y à son extrémité droite A (Fig. I.13).
En appliquant la formule suivante pour calculer le torseur de cohésion,
KOΣ
=
L → 2
+
∆ → 2
avec
L → 2
=
0
et
∆ → 2
=
−F−→y | −→0
A=
−F−→y | −−→OΣA∧(−F−→y )
OΣ
=
−F−→y | (l−x)−→x ∧(−F−→y )
OΣ
I.6 Flexion 13
v(x)
−F −→y
−→x
−→y
O OΣ A
Σ
x
y
M(x, y)
−→x
−→y
σ<0
σ>0 Variation de la contrainte normale σà travers l’épaisseur
−→x
−→yallongement des fibres, traction
rétrécissement des fibres, compression
L
−→y
−→z
Déformée de la section(coefficient de Poisson)
Figure I.13 – Poutre sollicitée en flexion.
∆ → 2
=
− F−→y |(x − l)F−→z
OΣ
on a
KOΣ
=
− F−→y |(x − l)F−→z
OΣ
donc l’effort tranchant Ty et le moment de flexion Mfzvalent ici :
Ty = −F ; Mfz= (x − l)F.
I.6.2 Moment quadratique de section
Le moment quadratique autour de l’axe (OΣ, −→z ) de la section d’abscisse x est noté I(OΣ,−→z )(x).
Il peut dépendre de x si la section de la poutre varie, son expression est :
I(OΣ,−→z )(x) =
∫ ∫
S(x)y2dS
On définit le moment quadratique autour de l’axe (OΣ, −→y ) comme :
I(OΣ,−→y )(x) =
∫ ∫
S(x)z2dS.
Pour une section rectangulaire d’épaisseur h suivant −→y et de largeur b suivant −→z , le
calcul est le suivant :
I(OΣ,−→z )(x) =
∫ h2
−h2
∫ b2
−b2
y2dzdy = b
∫ h2
−h2
y2dy = b[y3
3
] h2
−h2
=bh3
12.
De même, on a :
I(OΣ,−→y )(x) =hb3
12.
14 Sollicitations simples sur les poutres
−→y
−→z
I =π(D4 − d4)
64
d
D
−→y
−→za
a
I =a4
12
−→y
−→z
I =πD4
64
D
−→y
−→z
I =bh3
12
b
h
−→y
−→za
b
h
section en I
Figure I.14 – Moments quadratiques des sections courantes.
Le théorème de transport de Huygens permet de calculer le moment quadratique d’une
section plus complexe :
I∆′ = I∆ + Sd2
où I∆ est le moment quadratique autour d’un axe passant par le barycentre de la section, S
est l’aire de la section et d est la distance entre les deux axes ∆′ et ∆. Le calcul de I pour
la section en “i” s’écrit :
I =b(a − h)3
12+ 2
(bh3
12+ bh
(a
2
)2)
Pour les sections les plus courantes, les moments quadratiques sont donnés sur la figure
I.14.
I.6.3 Contrainte normale
Une poutre en flexion subit des contraintes σ normales à la section et des contraintes tan-
gentielles τ . Dans le cas étudié, les fibres supérieures sont étirées et les fibres inférieures
sont comprimées. La fibre moyenne ne subit pas de contraintes normales.
On peut montrer que la contrainte normale en un point M (x, y) de la poutre vaut :
σ(x, y) = −Mfz(x)
I(x)y
I.6 Flexion 15
où I(x) est le moment quadratique de la section.
De plus, même si la contrainte tangentielle τ n’est pas uniforme dans une section, une
bonne approximation de sa valeur est
τ(x) =T (x)
S(x).
La contrainte tangentielle est généralement trés petite devant la contrainte normale, elle est
donc souvent négligée.
Ces relations sont démontrées en exercices dirigés.
I.6.4 Déplacement
La poutre se déforme sous l’action du chargement. Les points de la ligne moyenne se dépla-
cent suivant −→y de la valeur v(x). Autrement dit, le vecteur v(x)−→y est le vecteur déplacement
du point OΣ.
Ce déplacement est relié au moment de flexion par la formule
EI(x)d2v(x)
dx2= Mf(x)
ou encored2v(x)
dx2=
Mf (x)
EI(x)
où E est le module d’Young du matériau et d2v(x)dx2 est la dérivée seconde de v(x) par rapport
à x.
La dérivée première de v(x) représente la rotation de section d’abscisse x autour de −→z .
En notant θ(x) l’angle de rotation de section autour de −→z , on a
θ(x) =dv(x)
dx
soit la relationdθ(x)
dx=
Mf(x)
EI(x).
I.6.5 Relation contrainte-déformation
L’état de contrainte étant équivalent à de la traction-compression, la déformation est un
allongement unitaire ǫ dans la direction axiale. Son expression en fonction du déplacement
est :
ǫ(x, y) = −dθ(x)
dxy = −d2v(x)
dx2y.
La relation entre la contrainte normale σ et l’allongement unitaire ǫ suivant −→x est
σ = Eǫ
où E est le module d’Young.
16 Sollicitations simples sur les poutres
I.6.6 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement
On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à un effort transversal linéique p−→y .
Par exemple, pour une poutre horizontale où l’axe −→y est vers le haut (gravité vers le bas),
cette force linéique vaut
p = −ρgS
où ρ est la densité du matériau composant la poutre, g est la gravité et S est l’aire de la
section de la poutre.
Dans ce tronçon, on peut montrer que l’on a la relation suivante entre l’effort tranchant
et la charge linéique :dTy
dx+ p = 0.
On peut aussi montrer que l’on a la relation suivante entre le moment de flexion et l’effort
tranchant :dMfz
dx+ Ty = 0.
I.6 Flexion 17
Traction Torsion Flexion
KOΣ
=
N 0
0 0
0 0
OΣ
0 Mt
0 0
0 0
OΣ
0 0
Ty 0
0 Mfz
OΣ
déplacement translation u−→x rotation α−→x translation v−→y
déformation allongement ǫ distorsion γ allongement ǫ
relation ǫ =du
dxγ = r
dα
dxǫ = − d2v
dx2y
déplacement-déformation
relation σ = Eǫ τ = Gγ σ = Eǫ
contrainte-déformation
relation σ =N
Sτ =
Mt
I0
r σ = −Mfz
Iy
contrainte-efforts
relationdu
dx=
N
ES
dα
dx=
Mt
GI0
d2v
dx2=
Mf
EIdéplacement-efforts
équations reliantdN
dx+ p = 0
dMt
dx+ c = 0
dTy
dx+ p = 0
les efforts
généralisésdMfz
dx+ Ty = 0
Tableau I.2 – Résumé des formules pour les sollicitations simples
II — Calcul de treillis
II.1 Hypothèses et critères de dimensionnement
II.1.1 Hypothèses sur les liaisons
Un treillis est une structure composée de barres rotulées entre elles (Fig. II.1). Les barres
sont connectées entre elles par des nœuds, centres des liaisons rotules. Les articulations sont
supposées parfaites. Cette simplification permet de résoudre relativement facilement le prob-
lème. Même si les liaisons ne sont pas réellement des rotules mais des liaisons boulonnées,
on peut considérer dans une première approche la structure comme un treillis de barres
rotulées. Cela permet de trouver une bonne approximation des efforts normaux dans les
barres et donc de dimensionner.
La barre AB est connectée aux nœuds A et B. Le torseur des actions mécaniques de A
sur la barre vaut en A
TA
A=
−→FA|−→0
B
A
barre AB
−→FA
−→FB
Figure II.1 – Structure de type treillis de barres
20 Calcul de treillis
De même, le torseur des actions mécanique de B sur la barre vaut en B
TB
B=
−→FB|−→0
L’équilibre de la barre s’écrit en A
−→FA | −→
0
A+
−→FB | −→
AB ∧ −→FB
A=
−→0 | −→
0
Soient−→FA = −−→
FB
et−→AB ∧ −→
FB =−→0
L’effort extérieur−→FB est donc porté par l’axe de la barre. En notant
−→i le vecteur unitaire
allant de A vers B, on a
−→i =
−→AB
‖ −→AB ‖
et−→FB = −−→
FA = NAB
−→i
où NAB est l’effort normal dans la barre AB.
Une barre rotulée à ses deux extrémités ne subit que de la traction-compression. Chaque
barre reste un segment de droite après déformation, la figure II.1 montre la déformée globale
d’un treillis (barres en tirets).
Si l’on veut considérer les liaisons comme des encastrements, des moments sont alors
transmis et de la flexion apparaît dans les barres ainsi que de la torsion dans le cas d’une
structure tridimensionnelle : c’est un portique. La modélisation d’une structure comme un
treillis rotulé a longtemps était utilisée dans les bureaux d’études avant l’arrivée des moyens
de calculs informatiques.
II.1.2 Règles de construction d’un treillis
Treillis plan isostatique
Le système le plus simple est constitué par un triangle, soient 3 barres et 3 nœuds (Fig.
II.2a). En notant n le nombre de nœuds et b le nombre de barres, à partir d’un triangle
(n = 3, b = 4), chaque ajout de x nœuds impose l’ajout de 2x barres, soit
n = 3 + x ; b = 3 + 2x ; 2n = 3 + b
Le nombre de barres b est lié au nombre de nœuds n pour que le système soit isostatique. Il
faut de plus que les encastrements du treillis n’imposent pas d’hyperstatisme à la structure.
II.1 Hypothèses et critères de dimensionnement 21
a) n=3 ; b=3 b) n=4 ; b=5Treillis hyperstatiquesTreillis isostatiques
Figure II.2 – Construction d’un treillis
Figure II.3 – Treillis avec mobilité interne
Treillis plan hyperstatique
Si 2n < 3+b alors le treillis est hyperstatique, la méthode de résolution des efforts normaux
présentée ensuite ne suffit pas à déterminer à elle seule les efforts dans les barres (Fig.
II.2b)). Il faut résoudre le problème en écrivant que les allongements des barres ne sont pas
indépendants pour que les barres restent articulées entre elles.
Treillis plan avec mobilité interne
Si 2n > 3 + b alors il y a Indétermination des efforts normaux et des mouvements sont
possibles sans efforts extérieurs (Fig. II.4).
Treillis tridimensionnel
Le treillis tridimensionnel le plus simple est composé de 4 nœuds et de 6 barres. A chaque
nouveau nœud, il faut ajouter 3 nouvelles barres pour garder l’isostatisme. La règle d’un
treillis isostatique tridimentionnel est alors :
n = 4 + x ; b = 6 + 3x ; b = 3n − 6
n = 4b = 6
n = 4 + 1b = 6 + 3
Figure II.4 – Treillis tridimensionnel
22 Calcul de treillis
α −→x
−→y
−→u (α) (1)
(2)(n)
αn
α1
α2
−→F
Figure II.5 – Méthode des nœuds, équilibre d’un nœud.
II.1.3 Critère de dimensionnement
Les barres étant en état de traction (NAB>0) sont dimensionnées à la traction (Section I.4),
les barres étant en état de compression (NAB<0) sont dimensionnées au flambage (Section
II.3)
II.2 Méthode des nœuds
La méthode permet de déterminer les efforts normaux dans les barres du treillis. On note
Ni l’effort normal dans la barre i.
La méthode de résolution consiste à écrire successivement l’équilibre de chaque nœud.
Soit le nœud N connecté à n barres et soumis à l’effort extérieur−→F (Fig. II.5). On note
−→u (α) le vecteur faisant un angle α avec l’axe −→x (sens trigonométrique positif). On note αi
l’angle entre −→x et le vecteur porté par la barre (i) s’éloignant du nœud N .
En notant Ni l’effort normal dans la barre (i), l’équilibre du nœud s’écrit :
n∑
i=1
Ni−→u (αi) +
−→F =
−→0
En écrivant ainsi l’équilibre de chaque nœud successivement, on aboutit à un système
d’équations vectorielles dont le nombre est le nombre de nœuds du treillis. En deux dimen-
sions le nombre d’équations scalaires est donc 2 fois le nombre de nœuds du treillis (3 fois en
tridimensionnel). Ces équations permettent de calculer les efforts normaux dans les barres
du treillis ainsi que les réactions aux appuis si le problème est isostatique.
II.3 Flambage des poutres droites
II.3.1 Introduction
Le flambage est un phénomène d’instabilité de l’équilibre. Cela peut être représenté simple-
ment par une bille en équilibre (fig. II.6) : la bille est en équilibre stable au fond d’une vallée,
II.3 Flambage des poutres droites 23
équilibre instable
équilibre stable
Figure II.6 – Equilibre stable, équilibre instable
F < Fcr
F = Fcr
N = −F
Mf = 0
N = −F
Mf 6= 0
après flambageavant flambage
Figure II.7 – Poutre en compression
en équilibre instable au sommet d’une montagne. Par analogie, l’équilibre est dit stable si
la structure revient à sa position d’équilibre après une petite perturbation de sa position.
II.3.2 Charge critique de flambage
Une poutre droite en compression garde sa forme droite tant que l’effort normal N est
inférieur à la charge critique de flambage Fcr (Fig. II.7).
L’étude se fait sur la configuration déformée (Fig. II.8). Un point OΣ de la ligne moyenne
avant déformation devient le point O′
Σ après déformation.
On note le déplacement de ce point v(x) :
−−−→OΣO
′
Σ = v(x)−→y
Le torseur de cohésion en O′
Σ est l’action de (2) sur (1), en isolant (1), on a :
K = −Text→(1) = −F−→x |−→0 0
K = −F−→x |−−→O
′
ΣO ∧ (−F−→x )0′
Σ
F−→x −→xO
′
Σ: (x, v(x))
v(x)
−→y
(1) (2)OΣ : (x, 0)
Figure II.8 – Etude sur la configuration déformée.
24 Calcul de treillis
n = 2
n = 1
n = 3
n = 4
Figure II.9 – Flambage d’une poutre droite articulée pour différentes valeurs de n.
−−→O
′
ΣO ∧ (−F−→x ) = (−x−→x − v(x)−→y ) ∧ (−F−→x ) = −v(x)F−→z
Finalement
K = −F−→x | − v(x)F−→z O
′
Σ
donc le moment de flexion vaut Mf = −v(x)F , or le moment de flexion vaut aussi Mf =
EIv′′(x) donc
EIv′′(x) + v(x)F = 0.
Cette équation différentielle a pour solution
v(x) = α sin ωx + β cos ωx avec v(0) = 0 et v(L) = 0.
Cela entraine que β = 0 et que sin ωL = 0 donc ω =nπ
Loù n est un entier. Finalement,
l’expression de v(x) est
v(x) = α sinnπ
Lx, donc v′(x) = α
nπ
Lcos
nπ
Lx, et v′′(x) = −α
n2π2
L2sin
nπ
Lx.
En remplaçant dans l’équation différentielle de départ, il vient
−EIαn2π2
L2sin
nπ
Lx + Fα sin
nπ
Lx = 0.
En simplifiant par α sin nπL
x, on trouve l’expression de F qui assure une solution à l’équation
différentielle :
F = EIn2π2
L2.
Si F est tel qu’il existe un n entier qui satifasse cette dernière équation alors la configuration
d’équilibre peut être de la forme v(x) = α sin nπL
x.
Dans la pratique, la charge augmente en commençant par 0. Dès que la charge est égale
à EI π2
L2 , c’est à dire la première valeur de n entier (ici n = 1), alors la poutre prend la
configuration "courbe". La valeur de α n’étant pas donnée, cette valeur peut devenir très
grande et conduire à la ruine de la poutre.
La figure II.9 montre les déformées pour différentes valeurs de n.
II.3 Flambage des poutres droites 25
Poutre élancée, λ grand
Poutre courte, λ petit
Figure II.10 – Elancement d’une poutre droite.
II.3.3 Critère de dimensionnement
La contrainte critique de flambage pour n = 1 vaut
σcr =Fcr
S=
EIπ2
L2S.
En posant r =√
IS
, rayon de giration et λ = Lr, l’élancement, on a
σcr =Eπ2
λ2.
L’élancement λ caractérise la fléxibilité de la poutre : plus λ est grand plus la poutre est
élancée, plus λ est petit plus la poutre est courte (Fig. II.10).
En notant Re la limite élastique du matériau, il y a risque de ruine par flambage si
σcr < Re, soit encore :
– Si σcr < Re, ruine par flambage : la charge critique de flambage est atteinte avant la
limite élastique, dimensionnement au flambage,
– Si Re < σcr, ruine par compression : la limite élastique est atteinte avant la charge
critique de flambage, dimensionnement en compression.
Ce choix de dimensionnement peut se faire en comparant λ à l’élancement critique λcr
pour le lequel σcr = Re :
σcr = Re ⇔ Eπ2
λ2cr
= Re ⇔ λcr =
√
Eπ2
Re
Cette valeur ne dépend que du matériau, par exemple pour un acier d’usage général :
E = 200GPa ; Re = 240MPa → λcr = 90
– Si λ < λcr (≈ 100 pour l’acier) alors on dimensionne en compression : la critère s’écrit
σ = |NS
| < Re
soù s est le coefficient de sécurité
– Si λ > λcr (≈ 100 pour l’acier) alors on dimensionne au flambage : le critère s’écrit
|N | < Fcr
soù s est le coefficient de sécurité
Si λ est proche de λcr des méthodes d’analyse plus fines existent mais ne sont pas
détaillées ici.
II.3.4 Autres conditions aux limites
Pour d’autres appuis aux extrémités, les formules restent valables en remplaçant la longueur
L par une longueur équivalente Le. Le tableau II.1 donne Le suivant les cas, L désigne la
longueur réelle de la poutre. La charge critique de flambage vaut alors :
Fcr = EIπ2
L2e
26 Calcul de treillis
extrémité 1 extrémité 2 Le
rotulé rotulé L
libre encastré 2L
encastré encastré 0, 5 L
encastré rotulé 0, 7 L
n = 2
rotulé rotulé 0, 5 L
Tableau II.1 – Longueurs équivalentes suivant les conditions aux extrémités.
III — Contraintes et déformations
III.1 Introduction
Le solide Ω est en équilibre sous l’action de forces extérieures (Fig. III.1).
Pour connaitre l’état de contrainte à l’intérieur du solide, on isole un petit cube dΩ. Les
objectifs sont de :
– Caractériser les forces agissant sur le petit cube : ce sont des forces internes à la matière
qui sont vues par le cube comme des forces surfaciques (Pa ou MPa) agissant sur les
6 faces ; ces forces surfaciques sont appellées contraintes,
– Caractériser les déformations du petit cube : le cube s’allonge (ou se rétréci) dans
chaque direction et les angles initialement de 90o entre les arrètes du cube changent,
– Etablir les relations entre les contraintes et les déformations,
– Proposer un critère de dimensionnement.
dΩ
Figure III.1 – Solide en équilibre sous l’action de forces extérieures.
28 Contraintes et déformations
dΩ
σx
−σx
−→x
ǫx
ǫz
ǫy
Figure III.2 – Traction suivant x du petit cube.
III.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimen-
sionnelles
On isole le petit cube dΩ en étudiant plusieurs états simples :
– 3 états de traction dans les 3 directions −→x , −→y et −→z ,
– 3 états de cisaillement dans les 3 plans.
Le repère (−→x , −→y , −→z ) est aligné avec les arrètes du cube. La superposition de ces 6 états
donne l’état de contrainte général dans lequel peut se trouver un petit élément de matière.
Etat de traction suivant −→xL’état de traction suivant −→x (Fig. III.2) est caractérisé par des forces surfaciques σx
−→x et
−σx−→x appliquées sur les 2 faces ayant pour normales −→x et −−→x . Il est facile de vérifier que
le cube est bien en équilibre. On a les relations suivantes :
σx = Eǫx ; ǫy = −νǫx ; ǫz = −νǫx
où E est le module d’Young, ν le coefficient de Poisson, σx est la contrainte normale ap-
pliquée suivant −→x et ǫx, ǫy et ǫz sont les allongements unitaires suivant −→x , −→y et −→z . Ces
relations sont celles issues de la traction d’une poutre. Le coefficient de Poisson entraine
des déformations dans les directions transversales. La contrainte σx a pour unité le Pa, les
déformations sont sans dimension.
On peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :
ǫx =1
Eσx ; ǫy = − ν
Eσx ; ǫz = − ν
Eσx
Etat de traction suivant −→yDe la même façon, l’état de traction suivant −→y donne les relations suivantes :
σy = Eǫy ; ǫx = −νǫy ; ǫz = −νǫy
et on peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :
ǫx = − ν
Eσy ; ǫy =
1
Eσy ; ǫz = − ν
Eσy
III.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles 29
−→x
−→yτ
τ
−τ
−τ
π
2− γ
Figure III.3 – Cisaillement dans le plan (x, y) du petit cube.
Etat de traction suivant −→zEnfin, l’état de traction suivant −→z donne les relations suivantes :
σz = Eǫz ; ǫx = −νǫz ; ǫy = −νǫz
et on peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :
ǫx = − ν
Eσz ; ǫy = − ν
Eσz ; ǫz =
1
Eσz
Cisaillement dans le plan (−→x , −→y )
On applique sur le cube les forces surfaciques suivantes (Fig. III.3) :
• τ−→y sur la face de normale −→x• τ−→x sur la face de normale −→y• −τ−→y sur la face de normale −−→x• −τ−→x sur la face de normale −−→y
L’équilibre en résultante est facile à vérifier. L’équilibre en moment est vérifié en écrivant
la somme des moments au centre du cube.
La contrainte tangentielle τ engendre une distorsion angulaire γ du cube : l’angle de π2
avant déformation devient un angle de π2 − γ. La relation entre τ et γ s’écrit :
τ = Gγ
où G est le module d’élasticité transversale exprimé en Pa. La contrainte de cisaillement
(ou tangentielle) τ a pour unité le Pa, γ est sans dimension. L’expression de G en fonction
de E et ν est :
G =E
2(1 + ν)
Etant donné que cet essai est effectué dans le plan (−→x , −→y ), on utilise alors les notations
suivantes :
τxy = Gγxy
ou encore
γxy =1
Gτxy
30 Contraintes et déformations
Cisaillement dans le plan (−→x , −→z )
En faisant simplement une permutation des indicea xy en xz, on a
τxz = Gγxz
ou encore
γxz =1
Gτxz
Cisaillement dans le plan (−→y , −→z )
En faisant simplement une permutation des indicea xy en yz, on a
τyz = Gγyz
ou encore
γyz =1
Gτyz
Superposition des 6 états
En supposant que l’on applique en même temps les 6 sollicitations simples au petit cube,
on a alors en ajoutant les contributions de chaque chargement aux déformations :
ǫx =1
Eσx − ν
Eσy − ν
Eσz
ǫy = − ν
Eσx +
1
Eσy − ν
Eσz
ǫz = − ν
Eσx − ν
Eσy +
1
Eσz
γxy =1
Gτxy ; γxz =
1
Gτxz ; γyz =
1
Gτyz
On rappelle que
G =E
2(1 + ν)
III.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations
Afin de simplifier les notations et de regrouper dans un même objet les 6 contraintes d’une
part et les 6 déformations d’autres part, on pose les deux matrices suivantes :
– On appelle opérateur des contraintes, la matrice S définie par
S =
σx τxy τxz
τxy σy τyz
τxz τyz σz
(−→x ,−→y ,−→z )
Les quantités σ sont appelées les contraintes normales, les quantités τ sont appelées
les contraintes de cisaillement.
III.3 Problème plan 31
−→y
−→x
h−→z
S : plan moyen
dΩ
Figure III.4 – Plaque sollicitée dans son plan.
– On appelle opérateur des déformations, la matrice E définie par
E =
ǫx
γxy
2
γxz
2
γxy
2ǫy
γyz
2
γxz
2
γyz
2ǫz
(−→x ,−→y ,−→z )
Les quantités ǫ sont appelées les allongements unitaires, les quantités γ sont appelées
les distorsions angulaires.
III.2.2 Théorème de superposition
Soit le chargement 1© donnant l’état de contrainte S 1©. Soit le chargement 2© donnant l’état
de contrainte S2©.
L’état de contrainte S associé à la somme des deux chargements et la somme des deux
opérateurs des contraintes :
S1© =
[
σ 1©x τ 1©
τ 1© σ 1©y
]
(−→x ,−→y )
S2© =
[
σ 2©x τ 2©
τ 2© σ 2©y
]
(−→x ,−→y )
S = S1© + S
2© =
[
σ 1©x + σ 2©
x τ 1© + τ 2©
τ 1© + τ 2© σ 1©y + σ 2©
y
]
(−→x ,−→y )
Il existe exactement le même théorème pour l’opérateur des déformations.
III.3 Problème plan
III.3.1 Hypothèses
On s’intéresse aux contraintes et déformations d’une plaque mince chargée dans son plan
(Fig. III.5). On attache à la plaque un repère (−→x , −→y , −→z ) où −→z est perdendiculaire à la
plaque et −→x et −→y sont dans le plan Dans cette configuration, rien ne dépend de z.
32 Contraintes et déformations
−→x
dΩ −→y
dΩ
−→y
−→x-σx σx
τ
-τ
-τ
τσy
-σy
Figure III.5 – Petit carré isolé.
III.3.2 Etat de contraintes planes
On isole un petit cube dΩ de la plaque, d’épaisseur h, aligné avec les axes −→x et −→y . Ce cube
ne subit aucune contraintes sur la faces de normales −→z et −−→z , par conséquent : σz = 0,
τxz = 0, τyz = 0.
Afin de simplifier les notations :
– on note τ = τxy,
– on représente le cube de dessus comme un carré dans le plan (−→x , −→y ),
– on représente les contraintes sur les cotés du carré par une seule flêche au centre de
l’arrète.
Le dessin de la figure III.5 représente un carré isolé de la plaque.
Le carré subit les contraintes suivantes :
– contrainte normale σx dans la direction −→x ,
– contrainte normale σy dans la direction −→y ,
– contrainte de cisaillement τ dans les directions −→x et −→y .
L’opérateur des contraintes dans le plan (−→x , −→y ) est noté
S =
σx τ
τ σy
(−→x ,−→y )
La figure III.6 montre le carré déformé suite au chargement appliqué sur ses 4 cotés.
L’allongement du carré dans la direction −→x est caractérisé par l’allongement unitaire ǫx.
L’allongement du carré dans la direction −→y est caractérisé par l’allongement unitaire ǫy. La
distorsion angulaire du carré est caractérisé par γ.
A partir des relations tridimensionnelles entre les contraintes et les déformations, et en
utilisant le fait que σz = 0, τxz = 0, τyz = 0, on obtient :
ǫx =1
Eσx − ν
Eσy
ǫy = − ν
Eσx +
1
Eσy
III.3 Problème plan 33
ǫy
ǫx
π
2− γ
−→y
−→x
Figure III.6 – Déformations du petit carré.
−→x
−→y−→y′
-τ-τ ′
-σ′
y
σ′
y −→x′
τ ′
dΩ′-σ′
x
τ ′
σ′
xα
dΩ
−→y
−→x-σx σx
τ
-τ
-τ
τσy
-σy
Figure III.7 – Contraintes sur un petit carré non aligné à x et y.
γ =1
Gτ
Soit en inversant les équations (résolution d’un système de 2 équations à 2 inconnues) :
σx =E
1 − ν2
(ǫx + νǫy
)
σy =E
1 − ν2
(νǫx + ǫy
)
τ = Gγ
On rappelle que
G =E
2(1 + ν)
Ces relations sont valables dans le cas présent des contraintes planes.
III.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avec x et y
Tous les développements précédents sont faits sur un carré aligné avec les axes −→x et −→y .
Pourtant rien n’empèche d’isoler un carré non aligné avec ces axes. On isole par exemple sur
la figure III.7 un carré dΩ′ aligné avec les axes−→x′ et
−→y′ inclinés d’un angle α par rapport à
−→x et −→y .
Ce carré subit les contraintes suivantes :
– contrainte normale σ′
x dans la direction−→x′ ,
34 Contraintes et déformations
-τ-σy
−→y
α −→xM-σx
-τ
τ ′ σ′
x
ly
lx
lα
−→x′
Figure III.8 – Petit triangle en équilibre autour de M .
– contrainte normale σ′
y dans la direction−→y′ ,
– contrainte de cisaillement τ ′ dans les directions−→x′ et
−→y′ .
On note S′ l’opérateur des contraintes dans la base (
−→x′ ,
−→y′ ) comme
S′ =
σ′
x τ ′
τ ′ σ′
y
(−→
x′ ,−→
y′ )
Il existe des relations S et S′. Afin de trouver ces relations, on isole autour du point M un
petit triangle d’épaisseur h (Fig. III.8). On suppose que l’état de contrainte est le même en
tout point du triangle.
Le bilan des actions mécaniques agissante sur les 3 faces du triangle est
sur la face de normale − −→x :−→F 1 = −σxhly
−→x − τhly−→y
sur la face de normale − −→y :−→F 2 = −σyhlx
−→y − τhlx−→x
sur la face de normale−→x′ :
−→F 3 = σ′
xhlα−→x′ + τ ′hlα
−→y′
Les relations entre les longueurs des cotés sont
ly = cos α lα,
lx = sin α lα.
L’équilibre en résultante donne
−→F 1 +
−→F 2 +
−→F 3 =
−→0 ,
soit aussi en simplifiant par h
−σxly−→x − τ ly
−→y − σylx−→y − τ lx
−→x + σ′
xlα−→x′ + τ ′lα
−→y′ =
−→0 ,
soit en remplaçant lx et ly par leurs expressions en fonction de lα puis en simplifiant par lα :
−σx cos α−→x − τ cos α−→y − σy sin α−→y − τ sin α−→x + σ′
x
−→x′ + τ ′
−→y′ =
−→0 ,
III.3 Problème plan 35
De plus, les directions−→x′ et
−→y′ s’écrivent dans la base (−→x , −→y ) sous la forme
−→x′ = cos α−→x + sin α−→y
−→y′ = − sin α−→x + cos α−→y
On a finalement
−σx cos α−→x −τ cos α−→y −σy sin α−→y −τ sin α−→x +σ′
x cos α−→x +σ′
x sin α−→y −τ ′ sin α−→x +τ ′ cos α−→y =−→0
qui s’écrit aussi
σ′
x cos α − τ ′ sin α = σx cos α + τ sin α
et
σ′
x sin α + τ ′ cos α = τ cos α + σy sin α
Ce système de 2 équations à 2 inconnues donne les contraintes subies par le carré incliné de
α en fonction des contraintes subies par le carré non incliné :
σ′
x = σx cos α2 + σy sin α2 + 2τ sin α cos α
τ ′ = (σy − σx) sin α cos α
En utilisant les formules trigonométriques suivantes
cos2 α =1 + cos 2α
2; sin2 α =
1 − cos 2α
2; 2 cos α sin α = sin 2α
on a alors :
σ′
x =σx − σy
2cos 2α + τ sin 2α +
σx + σy
2
τ ′ = −σx − σy
2sin 2α + τ cos 2α
En isolant un triangle tourné d’un angle de π2 par rapport à celui utilisé, on en déduit que
σ′
y = −σx − σy
2cos 2α − τ sin 2α +
σx + σy
2
III.3.4 Expressions des déformations d’un carré non aligné avec x et y
Le carré non aligné avec x et y se déforme suite aux contraintes σ′
x, σ′
y et τ ′ qui lui sont
appliquées. La figure III.9 montre le carré déformé suite au chargement appliqué sur ses 4
cotés. L’allongement du carré dans la direction−→x′ est caractérisé par l’allongement unitaire
ǫ′
x. L’allongement du carré dans la direction−→y′ est caractérisé par l’allongement unitaire ǫ′
y.
La distorsion angulaire du carré est caractérisé par γ′.
Les relations entre les déformations (ǫ′
x, ǫ′
y, γ′) et (ǫx, ǫy, γ) sont similaires à celle obtenues
pour les contraintes :
ǫ′
x =ǫx − ǫy
2cos 2α +
γ
2sin 2α +
ǫx + ǫy
2
ǫ′
y = −ǫx − ǫy
2cos 2α − γ
2sin 2α +
ǫx + ǫy
2
γ′
2= −ǫx − ǫy
2sin 2α +
γ
2cos 2α
36 Contraintes et déformations
−→x
−→y−→y′
−→x′
αǫy
ǫx
π
2− γ
−→y
−→x
ǫ′
y
π
2− γ′
ǫ′
x
Figure III.9 – Déformations du carré non aligné à x et y.
III.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d’un carré non aligné
avec x et y
Les relations entre les contraintes et les déformations d’un carré incliné d’un angle α sont
les mêmes que celles pour le carré non incliné :
ǫ′
x =1
Eσ′
x − ν
Eσ′
y
ǫ′
y = − ν
Eσ′
x +1
Eσ′
y
γ′ =1
Gτ ′
ou encore
σ′
x =E
1 − ν2
(
ǫ′
x + νǫ′
y
)
σ′
y =E
1 − ν2
(
νǫ′
x + ǫ′
y
)
τ ′ = Gγ′
On rappelle que
G =E
2(1 + ν)
III.3.6 Directions principales
On dit que les directions−→x′ et
−→y′ sont directions principales si le carré incliné ne subit pas
de cisaillement, autrement dit, si τ ′ = 0 (Fig. III.10). Les directions principales sont notées
dans la suite −→n1 et −→n2, elles sont orthogonales.
L’angle α0 tel que τ ′ = 0 soit nul vérifie l’équation
−σx − σy
2sin 2α0 + τ cos 2α0 = 0
soit
α0 =1
2arctan
( τσx−σy
2
)
Les directions principales −→n1 et −→n2 sont alors
−→n1 = cos α0−→x + sin α0
−→y
III.3 Problème plan 37
−→x
−→y−→y′
-τ-τ ′
-σ′
y
σ′
y −→x′
τ ′
dΩ′-σ′
x
τ ′
σ′
xα −→x
−→y
dΩ′
σ2
-σ2
σ1
-σ1
−→x′ = −→n1
−→y′ = −→n2
α0
Figure III.10 – Directions principales.
−→n2 = − sin α0−→x + cos α0
−→y
Les contraintes principales σ1 et σ2 valent
σ1 = σ′
x(α0) et σ2 = σ′
y(α0)
soient
σ1 =σx − σy
2cos 2α0 + τ sin 2α0 +
σx + σy
2
σ2 = −σx − σy
2cos 2α0 − τ sin 2α0 +
σx + σy
2
III.3.7 Cercle de Mohr des contraintes
Lorsque α varie, c’est à dire lorsque l’on fait varié l’inclinaison du petit carré isolé, σ′
x et τ ′
évoluent. Le but est de représenter les contraintes normale et tangentielle sur un graphique
quand α varie en portant σ′
x en abscisse et τ ′ en ordonnée dans un repère orthonormé.
Pour α donné, on a
σ′
x − σx + σy
2=
σx − σy
2cos 2α + τ sin 2α
τ ′ = −σx − σy
2sin 2α + τ cos 2α
soit aussi en ajoutant les carrés des deux expressions précédentes
(
σ′
x − σx + σy
2
)2+ τ ′2 = R2
avec
R =
√(σx − σy
2
)2
+ τ 2
Ceci est l’équation d’un cercle dans le repère (σ′
x, τ ′), de centre (σx+σy
2 , 0) et de rayon R.
Le cercle peut être tracé à la règle et au compas (Fig. III.11) :
– le centre C est le milieu du segment [σx σy] sur l’axe des abscisses
– un point du cercle a pour coordonnées (σx, τ)
38 Contraintes et déformations
2α0
σx
τ
R
C
σx+σy
2
σx−σy
2
dΩ′
−→x
α
τ ′
σ2
σyσ′
x
σ1
−→x′
−→y′
Figure III.11 – Cercle de Mohr des contraintes
Ce cercle représente l’ensemble des points (σ′
x, τ ′) possibles dans le repère (−→x′ ,
−→y′ ) quand α
varie.
Les contraintes normales principales σ1 et σ2 sont les points d’intersections du cercle avec
l’axe des abscisses car la contrainte tangentielle est nulle en ces deux points. On appelle
α1 l’angle caractérisant la direction principale −→n1 et α2 l’angle caractérisant la direction
principale −→n2. On sait que l’angle α0 tel que τ ′ soit nul vérifie
tan 2α0 =τ
σx − σy
2
=coté opposé
coté adjacent
Graphiquement, on mesure l’angle 2α0 comme l’angle reliant dans cet ordre les trois points
(σx, 0), C puis (σx, τ). Le sens positif est le sens trigonométrique.
Dans tous les cas, par convention, on prend σ1 à droite et σ2 à gauche.
– Si σy < σx (Fig. III.12) alors α1 = α0 et α2 = α0 + π2,
– Si σx < σy (Fig. III.13) alors α1 = α0 + π2
et α2 = α0.
III.3 Problème plan 39
C
τ ′
σ′
x
2α0C
τ ′
σ′
x
σy σx
2α0
σ2 σ1 σ2 σ1
α0 > 0 α0 < 0
τ
τ
σy σx
Figure III.12 – Cas où σy < σx : α1 = α0 et α2 = α0 + π2
C
τ ′
σ′
x
C
σ′
x
σxx σyy
σ2 σ1 σ2 σ1σx
α0 > 0 α0 < 0
2α0
2α0
τ
τ
σy
τ ′
Figure III.13 – Cas où σx < σy : α1 = α0 + π2
et α2 = α0
IV — Critères de dimensionnement
IV.1 Objectifs
Le but est de vérifier que les contraintes dans la structure restent acceptables pour ne pas
engendrer de rupture en fonctionnement. Pour les matériaux ductiles, les critères utilisés
couramment imposent que le matériau reste dans le domaine élastique en tout point de
la structure, c’est le cas des critères de Tresca et de Von Mises. De plus, le phénomène
de fatigue est le critère de dimensionnement à prendre pour les pièces subissant un grand
nombre de cycles de chargement.
IV.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca
Ce critère est dû à Henri Edouard Tresca (1814-1885) qui fut professeur titulaire de la chaire
de mécanique du Cnam. Il a observé que le faciès de rupture d’une éprouvette cassée suite
à un chargement de traction était incliné à 45o par rapport à l’axe de traction pour les
matériaux ductiles. Or le cisaillement étant maximal pour cet angle, il en a déduit que la
rupture se fait par glissement engendré par les contraintes de cisaillement. Le critère est
donc basé sur le cisaillement maximal.
L’état de contrainte à la limite élastique d’une éprouvette de traction d’axe −→x est
S =
Re 0 0
0 0 0
0 0 0
(−→x ,−→y ,−→z )
Le cercle de Mohr associé à cet état de contrainte (Fig. IV.2) donne le cisaillement maximal
τmax =Re
2. Le critère de Tresca est
42 Critères de dimensionnement
zonezoneplastique
ǫxx
45o
σxx
zone
élast
ique
−σxx
zone utile de l’éprouvetteσxx
d’écrouissage
faciès de rupture à 45o
zone
de
stri
ctio
n
Figure IV.1 – Essai de traction à rupture.
Re
2
τmax = Re
2
Re
σ′
x
τ ′
Figure IV.2 – Cercle de Mohr à la limite élastique pour un essai de traction.
τmax <Re
2.
Pour écrire le critère correctement il faut raisonner en tridimensionnel. En tridimensionnel,
on peut trouver 3 directions principales associées à 3 contraintes principales σ1, σ2 et σ3
(Fig. IV.3). Dans la base principale (−→n1, −→n2, −→n3), l’opérateur des contraintes s’écrit
S =
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3
(−→n1,−→n2,−→n3)
Pour les 3 couples de valeurs (σ1, σ2), (σ1, σ3) et (σ2, σ3) on peut tracer 3 cercles de Mohr
(Fig. IV.4). C’est ce que l’on appelle le tri-cercle de Mohr. La zone possible pour les couples
plan σ2-σ3
plan σ1-σ
2
plan σ1-σ
3
σ1σ3
σ2
Figure IV.3 – Trois plans des contraintes principales en tridimensionnel.
IV.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises 43
τ ′
τmax
Cercle (σ1, σ2)
σ3 σ2 σ1
Cercle (σ1, σ3)
Cercle (σ1, σ3)
Zone possibled’état de contrainte
σ′
x
Figure IV.4 – Tri cercle de Mohr.
(σ′
x, τ ′) est la zone grisée comprise entre les trois cercles. Le cisaillement maximal dans ce
cas est
τmax =σ1 − σ3
2.
Suivant les valeurs et les signes des σ1, σ2 et σ3, le critère s’écrit en tridimensionnel
τmax = Max( |σ1 − σ2|
2,|σ1 − σ3|
2,|σ2 − σ3|
2
)
<Re
2.
En notant σT resca = 2τmax la contrainte équivalente de Tresca, le critère s’écrit
σT resca = Max(
|σ1 − σ2|, |σ1 − σ3|, |σ2 − σ3|)
< Re .
Dans le cas des contraintes planes, étant donné que σ3 = 0, le critère devient
σT resca = Max(
|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)
< Re .
IV.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises
Le critère de Von Mises (1883-1953), plus récent, est basé sur l’énergie de déformation que
le matériau peut stocker avant plastification. On note σV.M. la contrainte équivalente de Von
Mises. Elle vaut dans le cas tridimensionnel
σV.M. =1√2
√
(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2,
soit dans le cas des contraintes planes avec σ3 = 0
σV.M. =1√2
√
(σ1 − σ2)2 + σ21 + σ2
2.
Le critère de Von Mises s’écrit
σV.M. < Re .
44 Critères de dimensionnement
Re−Re
−Re
Re
σ2
σ1
Re−Re
−Re
Re
σ2
σ1
Re−Re
−Re
Re
σ2
σ1
a) zone de Tresca c) comparaisonb) zone de Von Mises
Figure IV.5 – Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises.
IV.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises
On compare les critères de Tresca et de Von Mises dans le cas des contraintes planes. Dans
le plan (σ1, σ2), le lieu des points tels que σT resca < Re est
|σ1| < Re → −Re < σ1 < Re,
|σ2| < Re → −Re < σ2 < Re,
|σ1 − σ2| < Re → σ1 − σ2 < Re et σ2 − σ1 < Re.
Les deux premières lignes donnent un carré centré en (0, 0) de coté 2Re. Les deux condi-
tions suivantes donnent une zone comprise entre 2 droites de pente 1 et ayant pour ordonnées
à l’origine Re et −Re (). La zone de Tresca est représentée sur la figure IV.5a).
Dans le plan (σ1, σ2), le lieu des points tels que σV.M. < Re est
σ21 + σ2
2 − σ1σ2 < R2e .
Ces points sont à l’intérieur d’une ellipse centrée en (0, 0) dont quelques points sont donnés
pour faciliter le tracé :
(±Re, 0) (0, ±Re) (Re, Re) (−Re, −Re)
La zone de Von Mises est représentée sur la figure IV.5b).
On remarque que la zone de Von Mises est plus grande que celle de Tresca, la différence
est représentée sur la figure IV.5c). Le choix du critère (Von Mises ou Tresca) se fait à partir
de résultats d’essais.
IV.5 Fatigue des matériaux
La fatigue est un phénomène de détérioration d’une pièce consécutive à un grand nombre de
cycles de chargements (> 1000) alors que les contraintes sont dans le domaine élastique (les
critères de Tresca et de Von Mises sont vérifiés). Schématiquement, à chaque cycle de charge-
ment, des micro fissures apparaissent et grandissent dans les zones à fortes concentrations
de contraintes. Ces fissures se propagent et peuvent engendrer la ruine de la structure.
IV.5 Fatigue des matériaux 45
F−F F
temps
∆σ
0
50
100
150
200
250
∆σ
nb. cycles
10%
50%
90%MPa
Rr
100 101 102 103 104 105 106 107 108
Re
Rendu.
Figure IV.6 – Courbes de Wöhler : différentes probabilités de défaillance.
La courbe de Wöhler, obtenue de façon expérimentale sur une éprouvette sollicitée en
traction, donne la contrainte appliquée en fonction du nombre de cycle de chargements à
rupture (Fig. IV.6). Le chargement est cyclique et varie de 0 à ∆σ. En réalité une étude
statistique doit être menée sur un ensemble d’éprouvettes. On peut alors tracer plusieurs
courbes pour différentes probabilités de défaillance.
On utilise le plus souvent une seule courbe, celle ayant 10% de probabilité de défaillance
par exemple. On peut caractériser plusieurs valeurs sur cette courbe :
– limite à la rupture Rr : rupture après 1 cycle de chargement,
– limite élastique Re : le nombre de cycles à rupture se situe aux alentours de 103 à 104,
– limite d’endurance Rendu. : valeur pour laquelle le nombre de cycles devient infini,
elle est comprise entre 0, 3 × Rr et 0, 6 × Rr suivant les matériaux. Pour les al-
liages non ferreux, l’asymptote horizontale n’existe pas, on prend alors par convention
Rendu. = 0, 5 × Rr.
Les courbes de Wöhler dépendent cependant d’autres facteurs plus ou moins difficiles à
prendre en compte sans faire d’essais supplémentaires : taille de la pièce, état de surface,
corrosion, traitement de surface, température.
V — Initiation au calcul éléments finis
V.1 Etude de l’élément de barre
V.1.1 Equilibre de l’élément barre
On désigne par barre une poutre travaillant seulement en traction-compression. Typique-
ment, les treillis de poutres sont souvent approximés dans un premier temps comme un
ensemble de barres rotulées entre elles (Fig. V.1). Les 2 extrémités sont les nœuds de l’élé-
ment.
Un élément de barre et représenté par un segment de droite reliant les deux extrémités
de la barre (Fig. V.2). La barre est caractérisée par sa longueur l, par l’aire de sa section
S et par son module d’Young E. Les extrémités sont appelés les nœuds de la barre, ils ont
pour abscisses x1 = 0 et x2 = l.
La barre est en équilibre sous les actions des forces F1−→x et F2
−→x aux nœuds 1 et 2. On
note les déplacements des nœuds 1 et 2 respectivement u1−→x , u2
−→x .
– L’équilibre de la barre impose
F1−→x + F2
−→x =−→0 ⇒ F1 = −F2
de plus
– Si u2 > u1 alors la barre est en traction,
– Si u2 < u1 alors la barre est en compression,
– Le torseur de cohésion en OΣ peut s’écrire de deux façons :
KOΣ
=
ext. → 2
⇒ N = F2
48 Initiation au calcul éléments finis
Figure V.1 – Exemple de calcul par éléments finis d’un pylône électrique (éléments barres).
−→x
−→y
1
u1 u2
2Avant déformation :
Aprés déformation :
F1−→x F2
−→x
OΣ
Figure V.2 – Elément barre à 2 noeuds.
ou
KOΣ
= −
ext. → 1
⇒ N = −F1
– La relation entre N , u1 et u2 pour une poutre en traction est
N =ES
lδl ⇒ N =
ES
l(u2 − u1)
– En remplaçant N par F2 puis par F1, on a alors
F1 = −ES
l(u2 − u1) ⇒ F1 =
ES
l(u1 − u2)
F2 = −ES
l(u2 − u1) ⇒ F1 =
ES
l(−u1 + u2)
– Ces deux dernières relations s’écrivent sous la forme matricielle suivante :
[
F1
F2
]
=ES
l
[
1 −1
−1 1
] [
u1
u2
]
La matrice
k =ES
l
[
1 −1
−1 1
]
est appellée la matrice de rigidité de l’élément barre.
V.2 Etude de deux barres 49
V.1.2 Exemple d’application
On prend une poutre encastrée à gauche (u1 = 0), et on applique un effort F à l’extrémité
droite (F2 = F ). Le système matriciel à résoudre est le suivant :
ES
l
[
1 −1
−1 1
] [
u1
u2
]
=
[
F1
F2
]
qui devient ici
ES
l
[
1 −1
−1 1
] [
0
u2
]
=
[
F1
F
]
où les inconnues sont le déplacement de l’extrémité droite u2 et la force de réaction de
l’extrémité gauche F1. Ce système de 2 équations à 2 inconnues donne la solution
u2 =Fl
ES
et
F1 = −F
L’effort normal est déterminé par
N =ES
l(u2 − u1) =
ES
l(
Fl
ES− 0) = F
V.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis
La méthode des éléments finis est basée sur l’écriture de l’équilibre des éléments. La résolu-
tion d’un problème par éléments finis permet de déterminer les inconnues d’efforts de liaisons
(résolution du problème de statique) et les inconnues de déplacements et d’efforts normaux
(résolution du problème de r.d.m.) ; que le problème soit isostatique ou hyperstatique.
V.2 Etude de deux barres
V.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires
On suppose deux barres de longueurs, de modules d’Young et de sections différentes collées
bout à bout et soumises à de la traction (Fig. V.3). Les barres sont numérotées I et II, elles
sont reliées à trois nœuds 1, 2 et 3. Ces trois nœuds subissent les forces extérieures F1−→x ,
F2−→x et F3
−→x . L’équilibre global s’écrit
F1 + F2 + F3 = 0.
A l’équilibre, l’ensemble des deux barres s’est déformé, les nœuds 1, 2 et 3 se sont déplacés
respectivement de u1−→x , u2
−→x et u3−→x (u1 < u2 < u3 si les deux barres sont en traction).
Les différentes équations s’écrivent :
– équilibre du nœud 1 (méthode des nœuds)
F1 + N1 = 0 ⇒ −N1 = F1
50 Initiation au calcul éléments finis
II−N2−→x N2
−→x
F3−→x−N2
−→x 3
1 2 3I II
F1−→x N1
−→x1
I N1−→x
N2−→x2
−N1−→x
−N1−→x
F2−→x
u1−→x u2
−→x u3−→x
état déformé
E2, S2E1, S1
Figure V.3 – Deux barres en traction.
– équilibre de la barre I (section précédente)
[
k1 −k1
−k1 k1
] [
u1
u2
]
=
[
−N1
N1
]
avec k1 = E1S1
l1. Ce système s’écrit aussi
k1 −k1 0
−k1 k1 0
0 0 0
u1
u2
u3
=
−N1
N1
0
– équilibre du nœud 2
F2 − N1 + N2 = 0 ⇒ N1 − N2 = F2
– équilibre de la barre II
[
k2 −k2
−k2 k2
] [
u2
u3
]
=
[
−N2
N2
]
avec k2 = E2S2
l2. Ce système s’écrit aussi
0 0 0
0 k2 −k2
0 −k2 k2
u1
u2
u3
=
0
−N2
N2
V.2 Etude de deux barres 51
– équilibre du nœud 3
F3 − N2 = 0 ⇒ N2 = F3
En ajoutant les deux systèmes d’équations précédents décrivant les équilibres des deux
barres, on a :
k1 −k1 0
−k1 k2 + k1 −k2
0 −k2 k2
u1
u2
u3
=
−N1
N1 − N2
N2
En utilisant enfin les résultats provenant des équilibres des nœuds : −N1 = F1, N1−N2 = F2
et N2 = F3, il vient :
k1 −k1 0
−k1 k2 + k1 −k2
0 −k2 k2
︸ ︷︷ ︸
K
u1
u2
u3
︸ ︷︷ ︸
Q
=
F1
F2
F3
︸ ︷︷ ︸
F
Cette opération est l’opération d’assemblage des matrices de rigidité élémentaires, la matrice
K est appelée matrice de rigidité de la structure, le vecteur Q est le vecteur des inconnues
de déplacements et le vecteur F est le vecteur des forces extérieures :
KQ = F
V.2.2 Mise en œuvre pratique
La première étape consiste à écrire les deux matrices de rigidité des deux éléments
k1 =
u1 u2[ ]
k1 −k1 u1
−k1 k1 u2
et k2 =
u2 u3[ ]
k2 −k2 u2
−k2 k2 u3
en repérant les lignes et les colonnes de chaque matrice par les inconnues de déplacements
associées. On range ensuite dans la matrice de rigidité K de la structure chaque terme des
deux matrices à la ligne et la colonne correspondante :
K =
u1 u2 u3
k1 −k1 0 u1
−k1 k1 + k2 −k2 u2
0 −k2 k2 u3
Le système à résoudre est alors KQ = F .
La deuxième étape consiste à faire le bilan des déplacements et des forces connus et
inconnus. En prenant un encastrement à l’extrémité gauche et en appliquant une force F à
l’extrémité droite, on a :
Q =
u1
u2
u3
= 0, connu
inconnu
inconnu
F =
u1
u2
u3
inconnu, réaction à l’encastrement
= 0, connu
= F, connu
52 Initiation au calcul éléments finis
u1
Y
u1
X
u2
X
θ
1
u2
Y −→x
−→X
−→Y
2
Figure V.4 – Elément barre dans une base globale.
Si le déplacement est connu en un nœud alors la force est inconnue, si la force est connue
alors le déplacement est inconnu.
La troisième étape est la résolution du système d’équations complet afin de déterminer
toutes les inconnues
k1 −k1 0
−k1 k2 + k1 −k2
0 −k2 k2
0
u2
u3
=
F1
0
F
Une toutes les inconnus trouvées, on peut calculer les efforts normaux dans chaque barre :
N1 =E1S1
l1(u2 − u1
︸︷︷︸
=0
)
et
N2 =E2S2
l2(u3 − u2).
V.3 Elément barre pour le calcul des treillis
Dans leur environnement, les barres composant un treillis sont positionnées arbitrairement
dans l’espace et font des angles différents avec le repère global de la structure (−→X,
−→Y ) (Fig.
V.4).
On note θ l’angle entre l’axe−→X du repère global et l’axe −→x du repère local à la barre.
Le vecteur déplacement d’un point de la barre s’écrit dans le repère local
−→u = u−→x .
Il s’écrit dans le repère global−→u = uX
−→X + uY
−→Y .
En projetant les deux équations précédentes sur −→x il vient
u = uX cos θ + uY sin θ.
En notant u1X et u1
Y les déplacements suivant−→X et
−→Y du nœud 1 de la barre dans le repère
global, et en appliquant la formule précédente au nœud 1, on a
u1 = u1X cos θ + u1
Y sin θ.
V.3 Elément barre pour le calcul des treillis 53
En utilisant les mêmes notations pour le nœud 2, on a
u2 = u2X cos θ + u2
Y sin θ.
Ceci peut s’écrire sous la forme matricielle suivante
[
u1
u2
]
=
[
cos θ sin θ 0 0
0 0 cos θ sin θ
]
︸ ︷︷ ︸
=T
u1X
u1Y
u2X
u2Y
︸ ︷︷ ︸
=Q
soit
q = TQ
où Q est le vecteur des inconnus de déplacements aux nœuds de l’élément dans le repère
global et T est la matrice de transformation passant du repère global au repère local.
Il est possible d’écrire les mêmes relations pour les forces extérieures agissant aux nœuds
de l’élément :
−→F 1 = F1
−→x = F 1X
−→X + F 1
Y
−→Y et
−→F 2 = F2
−→x = F 2X
−→X + F 2
Y
−→Y
donc
F 1X = F1
−→x · −→X = F1 cos θ et F 1
Y = F1−→x · −→
Y = F1 sin θ
de même,
F 2X = F2 cos θ et F 2
Y = F2 sin θ
ce qui s’écrit sous forme matricielle
F 1X
F 1Y
F 2X
F 2Y
=
cos θ 0
sin θ 0
0 cos θ
0 sin θ
︸ ︷︷ ︸
=TT
[
F1
F2
]
La matrice qui apparait pour les forces est la transposée de celle présente dans les relations
des déplacements. Finalement, l’équilibre de la barre écrit en fonction des déplacements et
des forces dans le repère local à la barre
[
F1
F2
]
=ES
l
[
1 −1
−1 1
] [
u1
u2
]
devient en fonction des déplacements et des forces dans le repère global
F 1X
F 1Y
F 2X
F 2Y
=
cos θ 0
sin θ 0
0 cos θ
0 sin θ
ES
l
[
1 −1
−1 1
] [
cos θ sin θ 0 0
0 0 cos θ sin θ
]
u1X
u1Y
u2X
u2Y
54 Initiation au calcul éléments finis
I
II
III
IV
V
Figure V.5 – Exemple de portique discrétisé par des éléments poutres
−→y
−→x
0 l
θ(x)
w(x)
θ2
θ1w2w1
x
Figure V.6 – Elément de poutre en flexion
Tous calculs faits, l’équilibre de la barre en deux dimensions s’écrit
ES
l
cos2 θ cos θ sin θ − cos2 θ − cos θ sin θ
cos θ sin θ sin2 θ − cos θ sin θ − sin2 θ
− cos2 θ − cos θ sin θ cos2 θ cos θ sin θ
− cos θ sin θ − sin2 θ cos θ sin θ sin2 θ
︸ ︷︷ ︸
=kg
u1X
u1Y
u2X
u2Y
=
F 1X
F 1Y
F 2X
F 2Y
où la matrice kg est la matrice de rigidité de l’élément barre en deux dimensions.
L’effort normal est déterminé par
N =ES
l(u2 − u1) =
ES
l
(
(u2X − u1
X) cos θ + (u2Y − u1
Y ) sin θ)
V.4 Elément de poutre pour le calcul des portiques
Un portique est constitué d’un ensemble de poutre assemblées entre elles par des liaisons
encastrements (Fig. V.5).
Soit un élément de poutre de longueur l, de section S, de module d’Young E et de
moment d’inertie de section I (Fig. V.6). Les deux extremités de la poutre sont les nœuds
1 et 2 d’abscisses respectives 0 et l.
On utilise les notations suivantes :
– w(x) : déplacement suivant −→y de la section d’abscisse x,
– θ(x) : rotation de la section d’abscisse x,
– w1 : déplacement suivant −→y de la section au nœud 1,
– w2 : déplacement suivant −→y de la section au nœud 2,
– θ1 : rotation de la section au nœud 1,
– θ2 : rotation de la section au nœud 2,
– F1 : force extérieure suivant −→y au nœud 1,
V.4 Elément de poutre pour le calcul des portiques 55
– F2 : force extérieure suivant −→y au nœud 2,
– M1 : moment extérieur suivant −→z au nœud 1,
– M2 : moment extérieur suivant −→z au nœud 2.
En suivant la même démarche que pour l’élément barre, on peut montrer que l’équilibre
d’un élément s’écrit
2EI
l3
6 3l −6 3l
3l 2l2 −3l l2
−6 −3l 6 −3l
3l l2 −3l 2l2
︸ ︷︷ ︸
k
w1
θ1
w2
θ2
︸ ︷︷ ︸
q
=
F1
M1
F2
M2
︸ ︷︷ ︸
q
VI — Moyens expérimentaux
VI.1 Jauges de déformation
VI.1.1 Principe
Le principe utilisé par les jauges de déformation est que la résistance électrique de certains
fils varie lorsqu’ils sont étirés (fig. VI.1). La jauge est collée à la surface de la pièce, la
déformation de la pièce est alors reliée directement à la variation de résistance électrique de
la jauge. En notant R et L la résistance électrique nominale et la longueur initiale, et ∆R
et ∆L leurs variations, on a la relation suivante :
∆R
R= k
∆L
L= kǫ
où k est le facteur de jauge et ǫ est la l’allongement unitaire dans la direction de la jauge.
allongement du fil
avant déformation
aprés déformation ∆L
Figure VI.1 – Jauge de déformation.
58 Moyens expérimentaux
V
Ra
Rb
Rc
RdS
i1
i1i2
i2
Va
Vd
Vc
Vb
i
i
Figure VI.2 – Pont de Wheatstone.
VI.1.2 Pont de Wheatstone
Le pont de Wheatstone est un montage de quatre résistances pour lequel on impose la
tension d’entrée V et on mesure la tension de sortie S (Fig. VI.2) :
Va = Rai1 ; Vb = Rbi2 ; Vc = Rci2 ; Vd = Rdi1V = Reqi
avec1
Req
=1
Ra + Rd
+1
Rb + Rc
.
i = i1 + i2
S = Va − Vb
S = Vc − Vd
⇔
VReq
= i1 + i2 (1)
S = Rai1 − Rbi2 (2)
S = Rci2 − Rdi1 (3)
(1) ⇔ i1 =V
Req
− i2
En remplaçant dans (2) :
S = Ra
( V
Req
− i2
)
− Rbi2 =Ra
Req
V − (Ra + Rb)i2
⇒ i2 =( Ra
Req
V − S) 1
Ra + Rb
En remplaçant dans (3) :
S =Rc
Ra + Rb
( Ra
Req
V − S)
− Rd
V
Req
+Rd
Ra + Rb
( Ra
Req
V − S)
S(
1 +Rc
Ra + Rb
+Rd
Ra + Rb
)
=V
Req
( RaRc
Ra + Rb
− Rd +RaRd
Ra + Rb
)
SRa + Rb + Rc + Rd
Ra + Rb
= VRa + Rb + Rc + Rd
(Ra + Rd)(Rb + Rc)
(RaRc + RaRd − RaRd − RbRd
Ra + Rb
)
Finalement
S = VRaRc − RbRd
(Ra + Rd)(Rb + Rc)
VI.1 Jauges de déformation 59
Le pont est dit équilibré si S = 0, c’est à dire si RaRc = RbRd ou encore si
Ra
Rd
=Rb
Rc
.
On suppose le pont équilibré et on cherche quelle est la variation de tension de sortie
∆S quand les résistances varient respectivement de ∆Ra, ∆Rb, ∆Rc et ∆Rd. On sait que
au premier ordre on a
∆S =∂S
∂Ra
∆Ra +∂S
∂Rb
∆Rb +∂S
∂Rc
∆Rc +∂S
∂Rd
∆Rd.
Le calcul des dérivés donne
∂S
∂Rd
= V( −Rb
(Ra + Rd)(Rb + Rc)+ (RaRc − RbRd)
−Rb − Rc
(Ra + Rd)2(Rb + Rc)2
)
mais comme le pont est équilibré, on a RaRc − RbRd = 0 ce qui donne
∂S
∂Rd
= V( −Rb
(Ra + Rd)(Rb + Rc)
)
.
De même∂S
∂Ra
= V( Rc
(Ra + Rd)(Rb + Rc)
)
,
∂S
∂Rb
= V( −Rd
(Ra + Rd)(Rb + Rc)
)
,
∂S
∂Rc
= V( Ra
(Ra + Rd)(Rb + Rc)
)
.
Finalement
∆S =V
(Ra + Rd)(Rb + Rc)
(
− Rb∆Rd + Rc∆Ra − Rd∆Rb + Ra∆Rc
)
.
Pour simplifier les calculs dans la suite, on prend les mêmes résistances nominales pour
les quatres résistances :
R = Ra = Rb = Rc = Rd.
Ceci se justifie car les jauges branchées sur le pont de wheatstone sont généralement les
mêmes. La valeur de ∆S se simplifie
∆S =V
4
(
− ∆Rd
R+
∆Ra
R− ∆Rb
R+
∆Rc
R
)
.
En remarquant que
∆Ra
R= kǫa ;
∆Rb
R= kǫb ;
∆Rc
R= kǫc ;
∆Rd
R= kǫd ;
où k est le facteur de jauge, il vient
∆S =V
4k
(
− ǫd + ǫa − ǫb + ǫc
)
,
ou encore4∆S
kV= ǫa − ǫb + ǫc − ǫd.
60 Moyens expérimentaux
réglage du facteur de jauge
équilibrage du pont
Figure VI.3 – Boitier contenant le montage en pont de Wheatstone.
a
cd
b
Figure VI.4 – Exemple de montage en pont complet : essai de traction.
VI.1.3 Utilisation du boitier
Le boitier utilisé permet de faire le montage du pont de Wheatstone et d’afficher sur l’écran
la grandeur caractéristique de la variation de tension (Fig. VI.3). Dans le cas où moins de
4 jauges sont utilisées, il est possible de les remplacer par des résistances présentes dans
le boitier et ayant des valeurs de résistance nominales équivalentes aux jauges branchées.
Après branchement des jauges, il faut indiquer le facteur de jauge k et équilibrer le pont.
Le boitier impose une tension V de 2 Volts.
La mesure affiche sur l’écran la valeur A
A =4∆S
kV.106
soit aussi
A = (ǫa − ǫb + ǫc − ǫd).106 .
Le facteur d’affiche 106 est due au fait que les déformations sont souvent comprises entre
10−6 et 10−3.
VI.1.4 Différents montages
Exemple d’un pont complet
Les 4 jauges sont actives. En équipant judicieusement une éprouvette de traction de 4 jauges
montées en pont complet (Fig. VI.4), on peut corriger les effets suivants :
– dilatation due à la température,
– flexion parasite.
VI.1 Jauges de déformation 61
b
a
Figure VI.5 – Exemple de montage en demi-pont : essai de flexion.
On note ǫt la déformation due à la traction, ǫf la déformation due à la flexion sur la face
supérieure et −ǫf sur la face inférieure, enfin ǫd est la déformation due à la dilatation.
La disposition des jauges est la suivante :
– a : face supérieure, direction de traction → ǫa = ǫt + ǫf + ǫd
– b : face supérieure, direction transversale → ǫb = −νǫt + ǫd
– c : face inférieure, direction de traction → ǫc = ǫt − ǫf + ǫd
– d : face inférieure, direction transversale → ǫd = −νǫt + ǫd
l’affichage indique alors
A =4∆S
kV.106 = ǫa − ǫb + ǫc − ǫd = 2(1 + ν)ǫt
si k est le facteur de jauge. Si l’on souhaite que l’affichage donne ǫt, il suffit de multiplier k
par k′ de façon à avoir :
A =4∆S
kk′V.106 =
2(1 + ν)
k′ǫt = ǫt
c’est à dire k′ = 2(1 + ν). Le réglage du facteur de jauge sur le boitier est alors 2k(1 + ν).
Exemple d’un demi-pont
Seulement 2 jauges sont actives. En équipant judicieusement une éprouvette de flexion de
2 jauges montées en demi-pont (fig. VI.5), on peut corriger les effets suivants :
– dilatation due à la température,
– traction parasite.
On note ǫt la déformation due à la traction, ǫf la déformation due à la flexion sur la face
supérieure et −ǫf sur la face inférieure, enfin ǫd est la déformation due à la dilatation.
La disposition des jauges est la suivante :
– a : face supérieure, direction axiale → ǫa = ǫt + ǫf + ǫd
– b : face inférieure, direction axiale → ǫb = ǫt − ǫf + ǫd
l’affichage indique alors
A =4∆S
kV.106 = ǫa − ǫb = 2ǫf
si k est le facteur de jauge. Si l’on souhaite que l’affichage donne ǫf , il suffit de multiplier k
par k′ de façon à avoir :
A =4∆S
kk′V.106 =
2
k′ǫf = ǫf
c’est à dire k′ = 2. Le réglage du facteur de jauge sur le boitier est alors 2k.
62 Moyens expérimentaux
Figure VI.6 – Capteur de force d’une balance de cuisine.
Quart de pont
Une seule jauge est active. Les 3 autres résistance doivent avoir les mêmes valeurs nominales
de résistance que la jauge. Si seule la jauge a est active, l’affichage indique
A =4∆S
kV.106 = ǫa.106
L’affichage donne directement l’allongement unitaire de la jauge a en µm/m si k est le facteur
de jauge. L’utilisation d’une seule jauge ne permet pas de corriger les effets parasites comme
l’influence des variations de température.
VI.1.5 Capteurs à jauges
En vue de mesurer des grandeurs physiques (forces, accélérations, pressions ...), il est possible
de les faire agir sur un corps d’épreuve dont les déformations sont proportionnelles à la
grandeur mesurée. La figure VI.6 montre un capteur de force utilisé dans une balance de
cuisine.
Ce type de capteur est précis, fidèle et permet une certaine souplesse d’emploi. On
trouve ces capteurs dans des applications comme la pesée, la mesure de pression, la mesure
de force, la mesure de couple. Les domaines d’applications sont vastes : automobile, médical,
instruments de mesures...
Suivant les applications, les montages en quart de pont, demi-pont ou pont complet
peuvent être utilisés.
VI.1.6 Exploitation d’une rosette de 3 jauges à 45o
Une rosette à 45o est constituée de 3 jauges collées en un même point et mesurant les
allongements unitaires dans 3 directions distinctes à 45o l’une de l’autre (Fig. VI.7).
On place le repère (−→x , −→y ) de telle manière à aligner −→x et −→y avec les jauges perpendic-
ulaires. On note ǫ0, ǫ45 et ǫ90 les allongements unitaires mesurés par les 3 jauges. Donc on
a les relations suivantes :
ǫ0 = ǫx
ǫ90 = ǫy
ainsi que
ǫ45 = λ(α = 45o)
ǫ45 =ǫx − ǫy
2cos (2 × 45o) + ǫxy sin (2 × 45o) +
ǫx + ǫy
2
VI.2 Photoélasticité 63
ǫ0 = ǫx
ǫ45 −→x
−→y
3 jauges à 0o, 45o et 90o
45o90o
0o
ǫ90 = ǫy
Figure VI.7 – Rosette de 3 jauges à 45o.
Figure VI.8 – Dispositif de photoélasticité
ǫ45 = ǫxy +ǫx + ǫy
2
On peut finalement en déduire les déformations au point de mesure dans la base (−→x , −→y ) en
fonction des allongements mesurés :
ǫx = ǫ0
ǫy = ǫ90
ǫxy = ǫ45 − ǫ0 + ǫ90
2
On peut ensuite en déduire l’opérateur des contraintes au point de mesure.
VI.2 Photoélasticité
VI.2.1 Principes
La photoélasticité permet d’étudier les contraintes dans des pièces planes en polymère trans-
parent par un système optique. La photo VI.8 présente le dispositif disponible au Cnam.
64 Moyens expérimentaux
lumière quelconque
polariseur 1 polariseur 2lumièrepolariséedirection
−→d 1
lumière polariséeSortie :
car−→d 1 ‖ −→
d 2−→d 1
−→d 2
lumière quelconque
polariseur 1 polariseur 2lumièrepolariséedirection
−→d 1
extinctionSortie :
car−→d 1⊥−→
d 2−→d 1
−→d 2
Figure VI.9 – Filtres polarisants.
Définition électromagnétique de la lumière
Les phénomènes lumineux peuvent, selon la théorie électromagnétique, être considérés comme
liés à la propagation simultanée d’un champ électrique E et d’un champ magnétique H,
constamment perpendiculaires entre eux ainsi qu’à la direction de propagation, et dont les
valeurs sont des fonctions sinusoïdales du temps.
Lumière polarisée
Un filtre polarisant possède la propriété de ne laisser passer qu’une composante du champ
parallèle à une direction fixe dite axe de polarisation. Deux filtres polarisants successifs à
axes parallèles laissent passer la lumière ; s’ils ont croisés, c’est à dire à axes perpendiculaires,
ils ne laissent pas passer la lumière, le faisceau polarisé par le premier ayant une composante
nulle suivant l’axe du second (Fig. VI.9).
Biréfringence accidentelle
Une lumière plane se présentant suivant une direction de polarisation quelconque par rapport
aux axes d’un corps biréfringent se décompose en deux composantes parallèles−→b 1 et
−→b 2 à
ces axes (Fig. VI.10), chacune d’entre elles se comportant comme une onde plane autonome
progressant à une vitesse propre à sa direction.
La plupart des corps transparents isotropes deviennent biréfringents lorsqu’ils sont soumis
à des contraintes ; cette biréfringence accidentelle est telle que les axes de biréfringence co-
incident avec les directions principales des contraintes.
En plaçant le milieu biréfringent entre deux polariseurs croisés (Fig. VI.10), on observe
alors une extinction de lumière lorsque les axes de biréfringence sont parallèles aux axes des
polariseurs : ce sont les isoclines.
De plus, chaque onde se propageant dans le milieu biréfringent suivant chacune des
directions de biréfrince−→b 1 et
−→b 2 se propage avec une vitesse différente (Fig. VI.11). L’onde
VI.2 Photoélasticité 65
lumière quelconque
polariseur 1 milieu biréfringent
−→d 1
−→b 2
polariseur 2
−→d 2
Sortie :extinction
lumière quelconque
polariseur 1 milieu biréfringent
−→d 1
−→b 1
−→b 2
polariseur 2
−→d 2
Sortie :lumière polarisée
−→b 1
−→b 1 est
direction principale
β −→z
−→y −→x
Figure VI.10 – Phénomène de biréfringence accidentelle.
effet de la traversée de la lame dans la direction−→b 1
lumière dans le vide
effet de la traversée de la lame dans la direction−→b 2
retard
Milieubiréfringent
Figure VI.11 – Différence de phase entre les deux ondes qui sortent du milieu biréfringent.
66 Moyens expérimentaux
suivant−→b 1 se propage à la vitesse c1 et celle suivant
−→b 2 se propage à la vitesse c2. Les
longueurs d’onde λ1 et λ2 des deux ondes sont différentes dans le milieu biréfringent, mais
sont identiques dans l’air après la traversée du milieu. Ce retard induit une extinction de la
lumière telle que (loi de Maxwell) :
σ1 − σ2 = Nλ
ce
où σ1 et σ2 sont les contraintes principales, N est l’ordre de frange, λ est la longueur d’onde,
c est la vitesse de la lumière et e est l’épaisseur du milieu biréfringent.
Le lieu des points où la lumière est éteinte due au retard sont les isochromatiques. L’ordre
de frange N est la composante de la lumière éteinte en lumière blanche. Il y a extinction
totale en lumière monochromatique. L’observation des couleurs permet de déterminer N .
Ordre N couleur visible
1 passage rouge-bleu
2 passage rouge-vert
n passage rouge-vert
Dans la pratique, l’effet des isoclines perturbe l’observation des isochromatiques. On
ajoute alors dans le montage deux lames quart-d’onde pour faire disparaitre les isoclines
(l’explication du fonctionnement des lames quart-d’onde n’est pas donnée ici).
VI.2.2 Mise en équation
En sortie du polariseur 1 le vecteur lumineux est parallèle à−→d 1 = −→x :
−→L = a −→x sin
2π
T
(
t − z
c
)
.
Le vecteur −→x se décompose suivant−→b1 et
−→b2 comme :
−→x = cos β−→b1 − sin β
−→b2 .
Donc le vecteur lumière se présentant à l’entrée du milieu biréfringent vaut :
−→L = a cos β
−→b1 sin
2π
T
(
t − z
c
)
− a sin β−→b2 sin
2π
T
(
t − z
c
)
.
Pendant la traversée du milieu biréfringent d’épaisseur e, la lumière se propage à la vitesse
c1 suivant−→b1 et c2 suivant
−→b2 . Les temps de traversée suivant chaque direction valent :
t1 =e
c1et t2 =
e
c2.
Le retard par rapport au temps qu’aurait mis chaque onde pour traverser le mileu est :
δ1 = c(t1 − tvide) = c( e
c1− e
c
)
= e( c
c1− 1
)
et
δ2 = c(t2 − tvide) = e( c
c2− 1
)
.
On appelle n1 et n2 les indices du milieu biréfringent tels que :
n1 =c
c1et n2 =
c
c2.
VI.2 Photoélasticité 67
Les retards δ1 et δ2 deviennent alors :
δ1 = e (n1 − 1) et δ2 = e (n2 − 1).
A la sortie du milieu biréfringent, le vecteur lumière a pour expression :
−→L = a cos β
−→b1 sin
2π
T
(
t − z
c− δ1
c
)
− a sin β−→b2 sin
2π
T
(
t − z
c− δ2
c
)
,
soit :
−→L = a cos β
−→b1 sin
2π
T
(
t − z + (n1 − 1)e
c
)
− a sin β−→b2 sin
2π
T
(
t − z + (n2 − 1)e
c
)
.
En effectuant le changement de variable :
z′ = z + (n1 − 1)e
on peut écrire :
z + (n2 − 1)e = z + (n1 − 1)e + (n2 − 1)e − (n1 − 1)e = z′ + (n2 − n1)e = z′ − δ
avec δ = e(n1 − n2) qui est le retard entre les deux composantes du vecteur lumière à
la sortie du milieu biréfringent. En remplacant dans l’expression du vecteur lumière, son
expression devient :
−→L = a cos β
−→b1 sin
2π
T
(
t − z′
c
)
− a sin β−→b2 sin
2π
T
(
t − z′ − δ
c
)
L’analyseur (ou polariseur 2) a pour direction de polarisation −→y . Le vecteur lumière à la
sortie de l’analyseur vaut :
−→L = a cos β sin β −→y sin
2π
T
(
t − z′
c
)
− a sin β cos β −→y sin2π
T
(
t − z′ − δ
c
)
car−→b1 .−→y = sin β et
−→b2 .−→y = cos β
En simplifiant, on a :
−→L = −→y a cos β sin β
[
sin2π
T
(
t − z′
c
)
− sin2π
T
(
t − z′ − δ
c
)]
avec :
sin p − sin q = 2 cosp + q
2sin
p − q
2
on a :−→L = −−→y a sin 2β cos
2π
T
(
t − z′
c+
δ
2c
)
sin2π
T
( δ
2c
)
L’amplitude de sortie du vecteur lumière vaut :
A = a sin 2β sinπ δ
T c
En introduisant la longueur d’onde λ = c T , on a :
A = a sin 2β sinπδ
λ
68 Moyens expérimentaux
Cette amplitude vaut zéro dans deux cas différents :
sin 2β = 0 ou sinπδ
λ= 0.
Le premier cas sin 2β = 0 correspond aux isoclines, en effet ceci est équivalent à β = 0
ou β = π2 .
Le deuxième cas correspond aux isochromatiques :
sinπδ
λ= 0 ⇔ πδ
λ= Nπ ⇔ δ = λN
or la loi de Maxwell étant :
n1 − n2 = c(σ1 − σ2)
et δ = (n1 − n2)e, on a :
σ1 − σ2 =λ N
c e
Dans le cas d’une lumière monchromatique, on observe une extinction de lumière (bande
noire). Dans le cas d’une lumière blanche, seule la radiation correspondante à
c e (σ1 − σ2)
λ= N
est éteinte.
VI.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques
Isoclines
Lieu des points du plan ou les contraintes principales ont une direction constante, chaque
isocline est accompagnée d’une cote donnant cette orientation.
Exemple d’application :
Sur l’isocline dessinée pour l’angle 30o, les directions principales des contraintes pour
tous les points de cette isocline sont 30o et 30 + 90 = 120o.
Isochromatiques
Lieu des points du plan pour lesquels la différence des contraintes principales est constante,
proportionnelle à N : σ1 − σ2 = kN .
Exemple d’application :
On étudie une pièce rectangulaire trouée en son milieu, sur laquelle on applique un effort
de traction (fig. VI.12). On peut considérer que loin du trou, l’état de contrainte est celui
d’une pièce en traction. Cela entraine que σ2 = 0 et donc par conséquent σ1 = kN . Si de
plus, on place le premier passage rouge-bleu (N = 1) dans cette partie de la pièce, alors
σ1 = k, ou encore k = σ∞ où σ∞ est la contrainte de traction appliquée loin du trou.
Le long du trou, au point A, les directions principales des contraintes sont −→x et −→y . La
contrainte principale σyy est nulle car aucun effort extérieur n’est appliqué en ce point. On
a donc en ce point :
σxx = kN = Nσ∞
VI.2 Photoélasticité 69
σ∞
−→y
−→x
loin du trou, la pièce est en état de traction
Isochromatique N=1
A
Figure VI.12 – Plaque trouée en "traction".
En connaissant le numéro de l’isochromatique passant par ce point, on connait N , et par
conséquent la valeur de σxx. Si le point A est situé entre les isochromatiques 4 et 5, on en
déduit que
4σ∞ < σxx < 5σ∞
ou encore
4 <σxx
σ∞< 5.
Le coefficient de concentration de contraintes à cause de la présence du trou est compris
entre 4 et 5.
Isostatiques
Les isostatiques sont les courbes donnant en chaque point du plan, par leur tangente et leur
normale en ce point, la direction des contraintes principales. Ce réseau peut se construire
graphiquement à partir du réseau des isoclines. La méthodologie est la suivante (Fig. VI.13) :
– fixer le tracé des isoclines sous une feuille de papier calque,
– tracer le contour de la pièce étudiée,
– placer une feuille de papier avec un quadrillage sous l’ensemble précédent,
– orienter le quadrillage pour qu’il soit parallèle à la direction 0o (tous les points de
l’isocline 0o ont donc pour directions principales les axes du quadrillage),
– tracer le long de l’isocline 0o des petites croix parallèles et perpendiculaires au quadrillage
(par exemple avec un intervalle de 1 cm entre deux croix),
– orienter le quadrillage pour qu’il soit parallèle à la direction 15o,
– tracer le long de l’isocline 15o des petites croix parallèles et perpendiculaires au
quadrillage,
– recommencer ces opérations pour les directions 30o, 45o, 60o et 75o,
– enlever le tracé des isoclines de façon à avoir seulement les croix et le contour de la
pièce,
– placer une nouvelle feuille de papier calque sur les croix pour pouvoir effacer les iso-
statiques sans effacer les croix,
– tracer les isostatiques en suivant les trois règles :
70 Moyens expérimentaux
– les isostatiques sont tangentes aux croix,
– les isostatiques sont parallèles et perpendiculaires entre elles,
– le bord de la pièce est une isostatique,
– garder seulement le tracé des isostatiques et vérifier que les trois règles sont respectées.
VI.2 Photoélasticité 71
isoclines
croix
tracé des isostatiques
isostatiques
Figure VI.13 – Etapes de construction des isostatiques.