Formulaire d'élasticité

Contraintes et directions principales : (λ, n) tel que (σij −λ.δij).nj = 0 ; σI = λ1 ; avec σI = λ1 ; σII = λ2 ; σIII = λ3 et σI > σII > σIII . Equation caractéristique et invariants : −λ3 + I1 λ2 − I2 λ + I3 = 0. I1 = σii = σI + σII + σIII ; I2 = ½(σii σjj − σij σji) = σIσII + σIIσIII + σIIIσI ; I3 = det(σij)= σIσIIσIII. Etat des contraintes simples :

uniaxial σI ≠ 0, σII = σIII = 0 sphérique σI = σII = σIII cisaillement σI = − σIII, σII = 0 cylindrique σI ≠ σII = σIII

Tenseurs sphérique et déviateur : )()( ds σ+σ=σ ; ijii

sij δσ=σ 3

1)( ; )()( sd σ−σ=σ Equation d'équilibre statique : 0=+σ ijij f, Relation déformations–déplacements : )( ,, ijjiij uu +=ε 2

1 ; Relations contraintes–deformations.

Ιλ+εµ2=σ e ppTre ε=ε+ε+ε=ε= 332211)( ν+1

=µ2E

Ιν

−σν+1

=ε sEE

ppTrs σ=σ+σ+σ=σ= 332211)( ))(( ν+1ν2−1

ν=λ

E

Equations de compatibilité :

20=ε−ε−ε+ε10=ε−ε−ε+ε

1213131211232311

1221211211222211

)()(

,,,,

,,,,

2σν+1

ν=σ−σ−σ+σ

1σ+σν+1

ν=σ−σ−σ+σ

231213131211232311

22111221211211222211

)(

)()(

,,,,,

,,,,,,

pp

pppp

les équations (3) à (6) s'obtiennent avec rotation circulaire d'indices 1,2,3.

Fonction de contraintes d'Airy : ),( yxφ ou ),( 21φ xx telle que 0=φ∆∆=φ∆2 )( ; 22

2

21

2

∂∂

+∂∂

=∆xx

1122

2

11 −∂φ∂

=σ xkx

; 2221

2

22 −∂φ∂

=σ xkx

; 21

2

12 ∂∂φ∂

−=σxx

; )()( 2211221133 −−φ∆ν=σ+σν=σ xkxk

avec forces de volume : >0=< 21 ,, kkf tel que k1et k2 constantes. Contrainte – Déformation planes :

σσσ

=

τσσ

=σ12

22

11

xy

y

x;

ε2εε

=

γεε

=ε12

22

11

xy

y

x ;

ε=σ D ;

0000

=3

12

21

ddddd

D

Déformations planes Contraintes planes

d1 ))(()(ν2−1ν+1

ν−1E )( 2ν−1

E

d2 1ν−1ν d

)( 1ν d

d3 )( 2121 − dd

σ33 ν (σ11 + σ22) 0

ε33 0 )( 2211 ε+εν−1ν−