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adelouarti
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Formulaire d'élasticité
Contraintes et directions principales : (λ, n) tel que (σij −λ.δij).nj = 0 ; σI = λ1 ; avec σI = λ1 ; σII = λ2 ; σIII = λ3 et σI > σII > σIII . Equation caractéristique et invariants : −λ3 + I1 λ2 − I2 λ + I3 = 0. I1 = σii = σI + σII + σIII ; I2 = ½(σii σjj − σij σji) = σIσII + σIIσIII + σIIIσI ; I3 = det(σij)= σIσIIσIII. Etat des contraintes simples :
uniaxial σI ≠ 0, σII = σIII = 0 sphérique σI = σII = σIII cisaillement σI = − σIII, σII = 0 cylindrique σI ≠ σII = σIII
Tenseurs sphérique et déviateur : )()( ds σ+σ=σ ; ijii
sij δσ=σ 3
1)( ; )()( sd σ−σ=σ Equation d'équilibre statique : 0=+σ ijij f, Relation déformations–déplacements : )( ,, ijjiij uu +=ε 2
1 ; Relations contraintes–deformations.
Ιλ+εµ2=σ e ppTre ε=ε+ε+ε=ε= 332211)( ν+1
=µ2E
Ιν
−σν+1
=ε sEE
ppTrs σ=σ+σ+σ=σ= 332211)( ))(( ν+1ν2−1
ν=λ
E
Equations de compatibilité :
20=ε−ε−ε+ε10=ε−ε−ε+ε
1213131211232311
1221211211222211
)()(
,,,,
,,,,
2σν+1
ν=σ−σ−σ+σ
1σ+σν+1
ν=σ−σ−σ+σ
231213131211232311
22111221211211222211
)(
)()(
,,,,,
,,,,,,
pp
pppp
les équations (3) à (6) s'obtiennent avec rotation circulaire d'indices 1,2,3.
Fonction de contraintes d'Airy : ),( yxφ ou ),( 21φ xx telle que 0=φ∆∆=φ∆2 )( ; 22
2
21
2
∂∂
+∂∂
=∆xx
1122
2
11 −∂φ∂
=σ xkx
; 2221
2
22 −∂φ∂
=σ xkx
; 21
2
12 ∂∂φ∂
−=σxx
; )()( 2211221133 −−φ∆ν=σ+σν=σ xkxk
avec forces de volume : >0=< 21 ,, kkf tel que k1et k2 constantes. Contrainte – Déformation planes :
σσσ
=
τσσ
=σ12
22
11
xy
y
x;
ε2εε
=
γεε
=ε12
22
11
xy
y
x ;
ε=σ D ;
0000
=3
12
21
ddddd
D
Déformations planes Contraintes planes
d1 ))(()(ν2−1ν+1
ν−1E )( 2ν−1
E
d2 1ν−1ν d
)( 1ν d
d3 )( 2121 − dd
σ33 ν (σ11 + σ22) 0
ε33 0 )( 2211 ε+εν−1ν−