La proportionnalité
G. Martiel -2014
Mise en situation
G. Martiel -2014
La petite géante de ROYAL DE LUXE
• Le spectacle de rue
« ROYAL DE LUXE » a
des marionnettes
géantes.
• Une de ces
marionnettes est « La
Petite Géante »
G. Martiel -2014
Quelle est la taille de La Petite Géante ?
G. Martiel -2014
La Petite Géante
• La Petite Géante mesure 5 mètres de haut.
• Pourquoi, n’avons-nous pas trouvé 5mètres?
G. Martiel -2014
Les différents types de
problèmes
Classer la liste de problèmes
distribuée
G. Martiel -2014
Les différents types de problèmes
Classer la liste de problèmes distribuée
G. Martiel -2014
Problèmes à classer Problèmes classés
Les différents types de problèmes
�La proportionnalité simple et directe
�Recherche de 4ième proportionnelle
- un des nombres est égal à 1
- aucun des nombres n’est égal à 1
�Les problèmes de comparaison
�Problèmes de proportionnalité composée et
multiple
G. Martiel -2014
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Deux grandeurs sont en relation de proportionnalité si
on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par un
même nombre.
Exemple:
Grandeur 1: le nombre d’objets identiques.
Grandeur 2: le prix de ces objets.
Contre exemple:
Grandeur 1: l’âge des humains
Grandeur 2: leur poids
G. Martiel -2014
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Les problèmes de quatrième proportionnelle:
on recherche lune des quantités.
4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien
coûtent 14 de ces stylos ?
G. Martiel -2014
Nombre de stylos 4 14
Prix des stylos 2,42 ?
Grandeur 1 a a’
Grandeur 2 b b’
Grandeur 1 a a’
Grandeur 2 b b’
Les problèmes de proportionnalité
simple et directeLes problèmes de quatrième proportionnelle.
Cas particulier où l’un des nombres est égal à 1.
Pb1: En rangeant ses photos de vacances dans son album, Jean a rempli 12 pages de 8 photos. Combien a-t-il de photos?
Remarques: Le 1 n’est pas explicitement dit dans l’énoncé.
C’est un problème « de multiplication »
Il fait intervenir deux grandeurs
G. Martiel -2014
Nombre de pages 1 12
Nombre de photos 8 ?
Les problèmes de proportionnalité
simple et directeLes problèmes de quatrième proportionnelle.
Cas particulier où l’un des nombres est égal à 1.
Pb2 : Jean a 15 euros et Marc lui dit « j’ai trois fois plus que toi ! ». Quelle somme a Marc ?
Remarques: Le 1 n’est pas explicitement dit dans l’énoncé.
C’est un problème « de multiplication »
Il fait intervenir une seule grandeur
G. Martiel -2014
Somme de Jean 1 12
Somme de Marc 8 ?
Les problèmes de proportionnalité
simple et directeLes problèmes de quatrième proportionnelle.
Cas particulier où l’un des nombres est égal à 1.
Pb3: Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours le même nombre de photos par page. Il a rempli 12 pages. Combien met-il de photos par page ?
Remarques: Le 1 n’est pas explicitement dit dans l’énoncé.
C’est un problème « de division » partition(recherche de la valeur d’une partition)
Il fait intervenir deux grandeurs
G. Martiel -2014
Nombre de pages 12 1
Nombre de photos 96 ?
Les problèmes de proportionnalité
simple et directeLes problèmes de quatrième proportionnelle.
Cas particulier où l’un des nombres est égal à 1.
Pb 3:
Remarques: Le 1 n’est pas explicitement dit dans l’énoncé.
C’est un problème « de division » partition(recherche de la valeur d’une part)
Il fait intervenir deux grandeurs
G. Martiel -2014
Nombre de pages 12 1
Nombre de photos 96 ?
Les problèmes de proportionnalité
simple et directeLes problèmes de quatrième proportionnelle.
Cas particulier où l’un des nombres est égal à 1.
Pb4: Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours 8 photos par page. Combien de pages a t-il rempli ?
Remarques: Le 1 n’est pas explicitement dit dans l’énoncé.
C’est un problème « de division » quotition(recherche du nombre de parts)
G. Martiel -2014
Nombre de pages ? 1
Nombre de photos 96 8
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Les problèmes de quatrième proportionnelle:
Cas où aucun des nombres n’est égal à 1.
4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien
coûtent 14 de ces stylos ?
G. Martiel -2014
Nombre de stylos 4 14
Prix des stylos 2,42 ?
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Les problèmes de comparaison:
Dans la bouteille A je mets 12 verres d’eau et 10
morceaux de sucre. Dans la bouteille B je mets 4
verres d’eau et 2 morceaux de sucre. Quelle
bouteille contient le sirop le plus sucré ?
G. Martiel -2014
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Les problèmes de comparaison:
G. Martiel -2014
Bouteille A Bouteille B
Nombre de verres
d’eau
12 4
Nombre de
morceaux de sucre
10 2
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Les problèmes de comparaison:
G. Martiel -2014
Bouteille A Bouteille A Bouteille A
Nombre de verres
d’eau
12
Nombre de
morceaux de sucre
10
Bouteille B Bouteille B Bouteille B
Nombre de verres
d’eau
4 12
Nombre de
morceaux de sucre
2 ?
On se ramène à
un multiple
commun
Les problèmes de proportionnalité
multiple ou composée
Problèmes dans lesquels une grandeur varie
proportionnellement à deux grandeurs
indépendantes
G. Martiel -2014
Exemples
• Le prix d’une journée au camping est de 10€ par jour et par personne. Combien paie une personne pour 5 jours? Trois personnes pour une nuit? Un couple pour une semaine?
• 3 poules pondent 3 œufs en 3 jours. Combien d’œufs pondent 6 poules en 6 jours?
Les problèmes de proportionnalité
multiple ou composée
G. Martiel -2014
Exemples
• Le prix d’une journée au camping est de 10€ par jour et par personne. Combien paie une personne pour 5 jours? Trois personnes pour une nuit? Un couple pour une semaine?
Nombre de jours 1 5 1 7 2
Nombre de
personnes
1 1 3 1 2
Prix en € 10 50 30 70€ 140€
Les problèmes de proportionnalité
multiple ou composée
G. Martiel -2014
Exemples
• 3 poules pondent 3 œufs en 3 jours. Combien d’œufs pondent 6 poules en 6 jours?
Nombre de
poules
3 3 6 6
Nombre de
jours
3 1 1 6
Nombre
d’oeufs
3 1 2 12
12 oeufs
Les différentes méthodes de
résolution
Pour la recherche de la 4ième
proportionnelle
G. Martiel -2014
Les différentes méthodes de résolution
4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent
14 de ces stylos ?
Trouver toutes les méthodes de résolution
possibles.
G. Martiel -2014
Les différentes méthodes de résolution
4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien
coûtent 14 de ces stylos ?
Procédure 1+2: linéarité multiplicative et additive.
4 stylos coûtent 2,42€
12 stylos coûtent 3 fois plus 3x2,42= 7,26 €
2 stylos coûtent la moitié de 4 donc 1,21€
14 stylos coûtent 7,26 + 1,21 = 8,47€
G. Martiel -2014
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien
coûtent 14 de ces stylos ?
Procédure 3: passage à l’unité ou règle de trois.
4 stylos coûtent 2,42 €
1 stylo coûte 4 fois moins: 0,605€
14 stylos 14 fois plus :14x0,605= 8,47€
G. Martiel -2014
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien
coûtent 14 de ces stylos ?
Procédure 4: coefficient de proportionnalité.
G. Martiel -2014
Nombre de personnes 4 14
Nombre de citrons 2,42 ?
X 0,605
14 X 0,605= 8 ,47€
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent
14 de ces stylos ?
Procédure 5: produit en croix
? = ���,��
�= 8,47 €
G. Martiel -2014
Nombre de personnes 4 14
Nombre de citrons 2,42 ?
Les problèmes de proportionnalité simple et directe
4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos ?
Procédure 6: résolution graphique
G. Martiel -2014
€-
€2,00
€4,00
€6,00
€8,00
€10,00
€12,00
€14,00
0 5 10 15 20 25
prix
prix
Des productions d’élèves de CM1-
CM2-6ième
G. Martiel -2014
Productions d’élèves de CM1-CM2-6èmeSource : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
Linéarité additiveG. Martiel -2014
Productions d’élèves de CM1-CM2-6èmeSource : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
Linéarité multiplicative et additive
G. Martiel -2014
Productions d’élèves de CM1-CM2-6èmeSource : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
Linéarité multiplicative
G. Martiel -2014
Productions d’élèves de CM1-CM2-6èmeSource : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
Passage à l’unité
G. Martiel -2014
Productions d’élèves de CM1-CM2-6èmeSource : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
Coefficient de proportionnalité fractionnaire: sixième?
G. Martiel -2014
Productions d’élèves de CM1-CM2-6èmeSource : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
Coefficient de proportionnalité : sixième?
G. Martiel -2014
A l’école primaire
Quelles méthodes de résolution?
G. Martiel -2014
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Procédures 1 et 2: linéarité multiplicative et additive.
Pour 5 personnes 2 citrons.
Pour 20 personnes 4 fois plus de citrons donc 8 citrons.
Oui est à privilégier!
Remarques:
- il n’est pas utile de faire un tableau, ni dans l’énoncé,
ni dans la résolution.
- cela demande une habileté en calcul mental.
G. Martiel -2014
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Procédure 3: passage à l’unité ou règle de trois.Pour 5 personnes 2 citrons.
Pour une personne 5 fois moins de citrons: 0,4 citron.
Pour 20 personnes: 20 fois plus de citrons
20x0,4= 8 citrons.
Oui, mais uniquement si on ne peut pas faire autrement.
Remarques:
- demande une division: pas simple
- le résultat de l’unité peut amener à des arrondis ou des résultats peu élégants.
G. Martiel -2014
Les problèmes de proportionnalité
simple et directe
Procédure 4: coefficient de proportionnalité.
G. Martiel -2014
Nombre de personnes 5 20
Nombre de citrons 2 ?
X 0,4
Oui, parfois quand ce coefficient est simple.
Ici ce n’est pas intéressant. Cela ne serait pas une
méthode très pertinente à l ’école primaire.
Les problèmes de proportionnalité
simple et directeProcédure 5: produit en croix
G. Martiel -2014
Nombre de personnes 5 20
Nombre de citrons 2 ?
Non, en aucun cas à l’école primaire
? = ���
�= 8 €
Pourquoi?
- le trait de fraction n’est pas une division à l’école primaire.
- cela devient une technique sans sens derrière
- cela demande aux élèves de savoir dresser un tableau
correct.
- Basé sur
=�
�⇔ � × � = � × � programme de 4ième
Les problèmes de proportionnalité simple et directe
Procédure 6: résolution graphique
G. Martiel -2014
€-
€2,00
€4,00
€6,00
€8,00
€10,00
€12,00
€14,00
0 5 10 15 20 25
prix
prix
N’est plus au programme de l’école primaire, mais peut-
être amenée
- Pour vérifier s’il y a proportionnalité ou non.
- Pour vérifier un résultat.
- Pour trouver une quatrième proportionnelle.
Une expérience
G. Martiel -2014
Problèmes posés à des 6ièmes et des 3ièmes
En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout.
Combien consomme-t-elle en 90 heures ?
En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout.
Combien consomme-t-elle en 18 heures ?
En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout.
Combien consomme-t-elle en 108 heures ?
En 32 heures, une installation de chauffage consomme 104 litres de
mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures ?
En quoi ces exercices sont-ils semblables ? En quoi
sont-ils différents ?
G. Martiel -2014
Problèmes posés à des 6ièmes et des 3ièmes
En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout.
Combien consomme-t-elle en 90 heures ?
En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout.
Combien consomme-t-elle en 18 heures ?
En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout.
Combien consomme-t-elle en 108 heures ?
En 32 heures, une installation de chauffage consomme 104 litres de
mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures ?
Les classer du plus facile au plus difficile .
G. Martiel -2014
Résultats du tests avec des élèves
Problème posé6ème : 68% réussite
3ème : 107% réussite
En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien
consomme-t-elle en 90 heures ?
18 (26,5%)
71 (66,4%)
En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout. Combien
consomme-t-elle en 18 heures ?
48 (78,6%)
101 ( 94,4%)
En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout. Combien
consomme-t-elle en 108 heures ?
42 (61,8%)
97 (90,7%)
En 32 heures, une installation de chauffage consomme104 litres de mazout. Combien
consomme-t-elle en 8 heures ?34 (50%)
94 (87,8%)
G. Martiel -2014
Résultats du tests avec des élèves
Problème posé réussite
En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures ? N°4
En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 18 heures ? N°1
En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 108 heures ? N°2
En 32 heures, une installation de chauffage consomme104 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures ? N°3
D’après vous, pourquoi?
G. Martiel -2014
Analyse de ces exercices
En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de
mazout. Combien consomme-t-elle en 18 heures ?
Premier au niveau réussite
Temps(heures)
6 18
Consommation.(litres)
78
x 3
G. Martiel -2014
Analyse de ces exercices
En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de
mazout. Combien consomme-t-elle en 108 heures ?
Deuxième au niveau réussite
Temps(heures)
9 108
Consommation.(litres)
36x 4
G. Martiel -2014
Analyse de ces exercices
En 32 heures, une installation de chauffage consomme 104 litres de
mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures ?
troisième au niveau réussite
Temps(heures)
32 8
Consommation.(litres)
104
: 4
G. Martiel -2014
Analyse de ces exercices
En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de
mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures ?
Quatrième au niveau réussite
Temps(heures)
21 90
Consommation.(litres)
7: 3
G. Martiel -2014
Conclusion de l’expérience
• Il est plus facile pour les élèves de trouver
une quatrième proportionnelle en utilisant
une multiplication qu’une division.
• Il est plus facile de trouver une quatrième
proportionnelle en utilisant la linéarité
que le coefficient de proportionnalité
G. Martiel -2014
Difficultés des élèves
Avec la proportionnalité
G. Martiel -2014
Difficultés des élèves que vous avez
repérées
G. Martiel -2014
1) Confusion entre linéarité additive et
addition.
Source : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
G. Martiel -2014
2) Proportionnalité, non
proportionnalité
Source : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
G. Martiel -2014
Source : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
G. Martiel -2014
Source : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012G. Martiel -2014
Un problème de CRPE Blanc
Source : travail en temps limité – étudiants préparant le CRPE - 2012
Justine et Hélène courent à une même vitesse autour d’une piste. Justine est partie la première. Au moment où elle a couru 9 tours, Hélène a couru 3 tours. Combien de tours Justine aura-t-elle courus quand Hélène aura couru 15 tours ?
G. Martiel -2014
Un problème de CRPE Blanc: quelques réponses
Source : travail en temps limité – étudiants préparant le CRPE - 2012G. Martiel -2014
Source : travail en temps limité – étudiants préparant le CRPE - 2012G. Martiel -2014
3) Tableaux et proportionnalité
G. Martiel -2014
3) Tableaux et proportionnalité
G. Martiel -2014
Source : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012
G. Martiel -2014
4) La confusion entre croissance et
proportionnalité
-
Les élèves considèrent ce tableau comme un tableau de proportionnalité parce que les valeurs de la seconde ligne augmentent régulièrement : « plus on achète, plus c’est cher ».
G. Martiel -2014
Masse (en kg) 3 13 23
Prix (en €) 5 20 35
Conséquences
• Proposer des problèmes de proportionnalité sans tableau.
Proposer des tableaux sans proportionnalité
• Mettre en place « Si j'achète n fois plus je paie n fois plus cher » et travailler le calcul mental.
• Identifier clairement ce qui est de la proportionnalité et ce qui n’en est pas: exemples des deux catégories.
• Faire travailler les élèves sur des agrandissements de puzzles, pour constater que si on ajoute un même nombre à chacune des dimensions des pièces on déforme le puzzle.
G. Martiel -2014
G. Martiel -2014
Une progression possible
I. Résoudre des problèmes en « fois plus, fois moins »
II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité
III. Reconnaître une situation de proportionnalité
IV. Autres méthodes: passage à l’unité - règle de trois
V. Exercices avec choix de la méthode
VI. Applications : des problèmes de la vie courante
I. Résoudre des problèmes en « fois plus, fois moins »
• En CE2 et repris dans les autres classes,
résoudre des problèmes :
- De multiplication :
Sens produit de mesures
Sens additions réitérées
Posés en « fois plus, fois moins »
G. Martiel -2014
I. Résoudre des problèmes en « fois plus, fois moins »
• En CE2 et repris dans les autres classes,
résoudre des problèmes :
- De division :
Sens groupements (quotition)
Sens partage (partition)
Posés en « fois plus, fois moins »
G. Martiel -2014
G. Martiel -2014
II. Situations de proportionnalité:
résolution par linéarité
RECETTE DES BANANES AU FOUR
20 grammes de beurre
4 bananes
10 grammes de sucre
Questions:
1) pour 120g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre?
2) Pour 10g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre?
2) Pour 50g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre?
Un problème introductif qui servira de référence
G. Martiel -2014
II. Situations de proportionnalité:
résolution par linéarité
Pour 20 grammes de beurre, il faut 4 bananes
Pour 6 fois plus de beurre, il faut 6 fois plus de bananes.
On dit que le nombre de bananes est proportionnel à la quantité de beurre
Une « définition » à partir de cette introduction
G. Martiel -2014
II. Situations de proportionnalité:
résolution par linéarité
• Pour les élèves:
Ce n’est pas le tableau qui va leur permettre de
résoudre le problème
C’est uniquement le sens de la situation qui va
les guider
Ils vont se poser la question:
« si j’ai deux fois plus de l’un, est-ce que j’ai
deux fois plus de l’autre? »
G. Martiel -2014
II. Situations de proportionnalité:
résolution par linéarité
Des exercices d’entraînement qui se résolvent par linéarité.
1) Darius a pesé ensemble 10 feuilles de papier. Il a trouvé 60g.
Combien pèsent 5 feuilles identiques à celle-ci?
2) Une personne a acheté 4 places de cinéma, elle a payé 20€. Une
autre a payé 40€. Combien a-t-elle acheté de places?
3) Marc range 280 pêches dans 8 cageots et 420 pêches dans 12
cageots. Combien de pêches range-t-il dans 20 cageots
G. Martiel -2014
II. Situations de proportionnalité:
résolution par linéarité
Une fois la linéarité acquise, on peut donner une
représentation en tableau.
G. Martiel -2014
II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité
Une idée du site « Comment aider les élèves »
Faire un long tableau et avancer petit à petit vers la
question posée.
9 mètres de toile coûtent 105 euros, que coûtent 150 mètres de
toile ?
Longueur de toile en m. 0 9 150
Coût en euros de cette
longueur.
0 105 ?
G. Martiel -2014
II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité
Une idée du site « Comment aider les élèves »
Faire un long tableau et avancer petit à petit vers la question posée.
9 mètres de toile coûtent 105 euros, que coûtent 150 mètres de
toile ?
Longueur de toile en m. 0 9 90 60 54 144 3 6 150
Coût en euros de cette
longueur.
0 105 1050 630 1680 35 70 1750
Longueur de toile en m. 0 9 90 150
Coût en euros de cette
longueur.
0 105 1050 ?
III. Reconnaître une situation de
proportionnalité
Poser aux élèves des situations de non-
proportionnalité, de manière à ce qu’ils se
posent la question de savoir s’il y a
proportionnalité ou non.
G. Martiel -2014Cap maths CM1
G. Martiel -2014
III.Reconnaître une situation de proportionnalité
Cap maths CM1
III. Reconnaître une situation de
proportionnalité
G. Martiel -2014
Résoudre des problèmes qui ne relèvent pas tous de la
proportionnalité.
1) Quand j’achète 5 gâteaux, le prix est 12€Quand j’achète 10 gâteaux, le prix est 24€Quand j’achète 25 gâteaux, le prix est 60 €Le prix des gâteaux est-il proportionnel au nombre de
gâteaux?
2) Quand Alim a 10 ans, Karim a 14 ansQuand Alim a 20 ans , Karim a 24 ansL’âge de Karim est-il proportionnel à l’âge d’Alim?
III. Reconnaître une situation de
proportionnalité
G. Martiel -2014
Résoudre des problèmes qui ne relèvent pas tous de la
proportionnalité.
3) Un carré de 1cm de côté a une aire de 1cm2
Un carré de 2 cm de côté a une aire de 4 cm2
Un carré de 4 cm de côté a une aire de 16cm2
L’aire du carré est-elle proportionnelle à son côté?
4) L’épaisseur d’une pile de 7 revues identiques est 3 cm et l’épaisseur d’une pile de 14 revues est 6 cm.
L’épaisseur de la pile de revues est-elle proportionnelle au nombre de revues?
G. Martiel -2014
Comment décider si une situation est « de proportionnalité ou non ?
1er cas:
•Décision arbitraire, par référence à une pratique sociale- 6 objets coûtent 15€, combien coûtent 9 objets?
- pour 50g de chocolat, il faut 10 g de sucre et pour100g de chocolat, il faut 20g de sucre; combien faut-il de sucre pour 325g de chocolat?
C’est aussi ce que nous avons fait avec La Petite Géante
La relation de proportionnalité entre les deux grandeurs est alors implicite.
III.Reconnaître une situation de proportionnalité
G. Martiel -2014
Comment décider si une situation est « de proportionnalité ou non ?
2ième cas:
• A partir de données expérimentales, qui laissent penser que le modèle proportionnelle est plausible dans certaines conditions
C’est ce que vous avez fait avec « La bougie »
III.Reconnaître une situation de proportionnalité
G. Martiel -2014
Comment décider si une situation est « de proportionnalité ou non ?
3ième cas:
•A partir d’une formule établissant une relation entre les deux grandeurs.
Exemple : longueur de la diagonale d’un carré en fonction de la longueur c du côté (elle est égale à , en vertu du théorème de Pythagore)c2
III.Reconnaître une situation de proportionnalité
IV. Autres méthodes: passage à l’unité - règle de trois
• Résolution d’un problème facilité par la recherche du coefficient de proportionnalité ou la règle de 3.
G. Martiel -2014
Trois livres coûtent 12 € . Combien coûtent 7 livres?
IV. Autres méthodes: passage à l’unité - règle de trois
Résolution d’un problème facilité par la recherche du coefficient
de proportionnalité ou le passage à l’unité.
G. Martiel -2014
Trois livres coûtent 12 € . Combien coûtent 7 livres?
• 3 livres coûtent 12€, un livre coûte 3 fois moins donc 4 €
• 7 livres coûtent 7 x 4 = 28 €
Le terme ‘coefficient de proportionnalité est au programme
de sixième
IV. Autres méthodes: passage à l’unité - règle de trois
1) 2 billes ont une masse de 30 grammes. Quelle est la masse de 3 billes?
1) Jérémie achète 5 kg de pêches au prix de 13€. Combien coûtent 7kg de pêches?
G. Martiel -2014
IV. Autres méthodes: passage à l’unité - règle de trois
G. Martiel -2014
V. Exercices avec choix de la méthode
1) Lors de l’essorage, le tambour d’une
machine à laver effectue 5 700 tours en 6
minutes. Combien de tours fait ce tambour
en 5 minutes?
2) Jia Li achète 4 bandes dessinées de son
héros favori. Elle paye 13,00€. Combien
coûtent 3 de ces bandes dessinées?
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V. Exercices avec choix de la méthode
3) Michel achète 4 croissants pour 3,80€. Combien va-t-il payer pour 7 croissants?
4) Sarah fabrique des coupelles en terre. 24 coupelles ont une masse de 1,32 kg. Quelle est la masse de 16 coupelles?
5) Pour fabriquer un collier, Aude achète 35 perles pour un prix de 6,30€. Il lui manque 15 perles pour terminer son collier. Combien va-t-elle payer ces 15 perles?
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VI. Applications : des problèmes de la vie courante
• La bougie: voir séance d’hier
• Dominique Valentin
• ERMEL
• La longueur du cercle
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Longueur du cercle
1) Expérimentation
- Mesure du diamètre
- Mesure du périmètre
Tableau des résultats
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Longueur du cercle2) Questions à poser aux élèves:
Si le diamètre est de 16 cm , quel sera
le périmètre ?
Si le périmètre est de 60 cm, quel est le
diamètre?
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Réponses possibles:
Faire un graphique pour voir
Supposer un proportionnalité et regarder si la
linéarité est vérifiée, puis déduire.
Une curiosité• Vous prenez une balle de ping pong, dont le diamètre
fait 4 centimètres.
A l'aide d'une ficelle, vous vous en faites exactement le
tour. Vous ajoutez un mètre à votre bout de ficelle, et
vous écartez le tout pour former un nouveau cercle
parfait centré sur votre balle.
schéma
• De quelle distance la ficelle s'écarte-t-elle de la balle ?
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Une curiosité
2/ Imaginons maintenant que vous puissiez faire le tour de la Terre à l'équateur avec une ficelle. On suppose que la Terre est parfaitement ronde le long de la ligne d'équateur, et on prendra un diamètre de 12 756 km. Vous ajoutez un mètre à votre ficelle, vous écartez le tout pour que ça fasse un cercle parfait centré sur la terre.
De quelle distance votre ficelle s'écarte-t-elle de la surface de la Terre ?
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Monter une séquence sur la
proportionnalité pour votre classe
Plan de séquence;
Choix des problèmes et activités;
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Fin
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