PROPORTIONNALITÉ - POURCENTAGES I. PROPORTIONNALITÉ …

LFM – Mathématiques – 3ème

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3Ch2 : Proportionnalité I Tableaux et graphiques

1) Tableau de proportionnalité

Exemples : Grandeur

1 1 2 3 5 10 12 13 15

Grandeur 2 1,2 2,4 3,6 6 12 14,4 15,6 18

1,21 =

2,42 =

3,63 =

65 =

1210 =

14,412 =

15,613 =

1815 = 1,2

Ici le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à la seconde ligne est : 1,2 Pour passer de la seconde ligne à la première ligne, on multiplie par !

!,!= !"

!"= !

!

2) Le produit en croix

Grandeur 1 1 2

Grandeur 2 1,2 2,4

Les grandeurs 1 et 2 sont proportionnelles, on a donc : 1×2,4 = 1,2×2

PROPORTIONNALITÉ - POURCENTAGES I. PROPORTIONNALITÉ 1/ DÉFINITION Deux grandeurs x et y sont dites proportionnelles lorsque pour passer de l’une à l’autre on multiplie par un même nombre k (non nul) appelé coefficient de proportionnalité.

On a y = kx ou x = 1k y.

2/ TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ Dans un tableau de proportionnalité (présenté en ligne), on passe de la première ligne à la deuxième en

multipliant par le coefficient de proportionnalité k (et de la deuxième à la première en multipliant par 1k) .

Autrement dit, pour vérifier qu’un tableau est de proportionnalité, on peut calculer tous les quotients yx

et vérifier qu’ils sont tous égaux (égaux à k). On peut ajouter deux colonnes entre elles pour en former une troisième et on peut multiplier une colonne par un nombre pour en former une autre. Enfin, si on considère deux colonnes d’un tableau de proportionnalité, on peut déterminer une quatrième proportionnelle à l’aide de l’égalité des produits en croix. 3/ REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors elles sont représentées graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère. Réciproquement, si deux grandeurs sont représentées graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors elles sont proportionnelles.

II. VITESSES MOTENNES On appelle vitesse moyenne d’un véhicule sur un trajet le quotient de la distance parcourue par la durée écoulée.

v = dt (on a aussi d = v u t et t = dv)

Les unités utilisées sont des grandeurs quotients : km.h-1 (ou km/h) m.s-1 (m/s). Les unités des distances et des durées doivent concorder avec celle de la vitesse dans les formules précédentes, sinon on est amené à faire des conversions au préalable ...

o u60 o o u60 o o u3600 o o u1000o 1 h 60 min 1 min 60 s 1 h 3600 s 1 km 1000 m m : 60 m m : 60 m m : 3600 m m : 1000 m

Pour convertir une vitesse, il faut faire deux conversions : Exemple : Une voiture roule pendant 5 h et parcourt 600 km. Sa vitesse moyenne est :

v = 600 km

5 h = 120 km.h-1 = 600u1000 m5u3600 s = 33,33 m.s-1

On pourra retenir la règle de conversion suivante : o u 3,6o

m.s-1 km.h-1 m : 3,6 m

Détermination d’une quatrième proportionnelle :

a b c x ?

L’égalité des produits en croix donne : aux = cub

donc, x = cuba

x x1 x2 x3 = x1+x2 x4 x5 = nux4 y y1 y2 y3 = y1+y2 y4 y5 = nuy4

y1 x1

= y2 x2

= y3 x3

= y4 x4

= y5 x5

= k

+

u1k uk

un


2

Propriété : a c b d

Si un tableau représente une situation de proportionnalité alors on a l’égalité des produits en croix : a x d = b x c.

3) Graphique Sur un graphique, on reconnaît une situation de proportionnalité, lorsque cette situation est représentée par des points alignés avec l’origine du repère.

II La quatrième proportionnelle Méthode : 2,5 kg de pommes coûtent 3 €. Combien coûtent 1,8 kg ? x = 1,8 x 3 : 2,5 = 2,16 € (produit en croix) 1,8 kg de pommes coûtent 2,16 €. Application : Enoncé : Pour une connexion Internet un hôtel propose le tarif suivant :

0,05 € pour 10 minutes de connexion. Sachant que le prix est proportionnel à la durée de connexion, combien devra payer un

utilisateur qui se connecte pendant 3 heures ?

a) Compléter le tableau de proportionnalité traduisant cette situation Prix (en ) Durée de connexion (en )

b) Répondre au problème posé

PROPORTIONNALITÉ : Tableaux, graphiques et 4ème proportionnelle

II)) Reconnaître une situation de proportionnalité 11)) Avec un tableau de nombres

Un tableau de nombres représente une situation de proportionnalité si on peut passer de la 1ère ligne à la 2ème ligne en multipliant par un même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. On dit que les nombres de la première ligne sont proportionnels à ceux de la deuxième ligne (et inversement). Exemples

4 10 15 9 14 5 4,5 2 1,2 3 4,5 2,7 39,2 14 12,15 5,6

1,24 = 0,3 ;

310 = 0,3 ;

4,515 = 0,3 ;

2,79 = 0,3

39,214 = 2,8 ;

145 = 2,8 ;

121,54,5 = 2,7

Tous les quotients sont égaux. Il existe un quotient différent des autres. Le tableau ci-dessus représente donc une Le tableau ci-dessus ne représente donc pas une situation de proportionnalité. situation de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est : 0,3. 22)) Avec un graphique

a) Propriété directe

Dans un repère du plan, si un graphique représente une situation de proportionnalité alors tous les points obtenus sont alignés entre eux et avec l’origine du repère de coordonnées (0;0).

b) Exemple

Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité.

Grandeur 1 1 2 3 Grandeur 2 1,5 3 4,5

Donc les points A(1 ;1,5) B(2 ;3) et C(3 ;4,5) sont alignés entre eux et avec l’origine du repère O(0 ; 0)

1 2 3 4

1

2

3

4

5

A

B

C

prix : 3 x poids : 2,5 1,8

x :


3

III Utilisation des pourcentages

× 100

5% x =5

100× x = 0,05x ; t% x =

t

100× x

x 5% = x+5

100x =

(

1 +5

100

)

× x = 1,05x

x t% = x+t

100x =

(

1 +t

100

)

× x

t% 1 +t

100

= ·

x 5% = x−5

100x =

(

1−5

100

)

× x = 0,95x

x t% = x−t

100x =

(

1−t

100

)

× x

t% 1−t

100

20% 1 +20

100= 1,2

10% 1 −10

100= 0,9

50% 1 +50

100= 1,5

50% 1−50

100= 0,5

100% 1 +100

100= 2

100% 1−100

100= 0

1,1 10%

0,8 20%

0,95 5%

0,5 50%

3 200%

1,035 3,5%

2 0,5 50%

0,5 2 100%

1,25 0,8 20%

1,5 =3

2

2

3≃ 0,667

33,3% (1− 0, 667) × 100

= −

=−

× 100

× 100

5% x =5

100× x = 0,05x ; t% x =

t

100× x

x 5% = x+5

100x =

(

1 +5

100

)

× x = 1,05x

x t% = x+t

100x =

(

1 +t

100

)

× x

t% 1 +t

100

= ·

x 5% = x−5

100x =

(

1−5

100

)

× x = 0,95x

x t% = x−t

100x =

(

1−t

100

)

× x

t% 1−t

100

20% 1 +20

100= 1,2

10% 1 −10

100= 0,9

50% 1 +50

100= 1,5

50% 1−50

100= 0,5

100% 1 +100

100= 2

100% 1−100

100= 0

1,1 10%

0,8 20%

0,95 5%

0,5 50%

3 200%

1,035 3,5%

2 0,5 50%

0,5 2 100%

1,25 0,8 20%

1,5 =3

2

2

3≃ 0,667

33,3% (1− 0, 667) × 100

= −

=−

× 100


4

3%100

1,159 2

1,03 × 100 = 103 1

1,03 × 1,03 = 1,032 × 100 = 106,09 2

1,033 × 100 = 109,272 7 3

. . . 4

1,035 × 100 ≃ 115, 92 5

x

1,159 2

15,92%

1,03x 1

1,032 x 2

1,033 x 3

. . . 4

1,035 x 5

20% 20%

x 20% 1,2x20% 0,8× 1,2x = 0,96x

4% (4 = (1− 0,96) × 100)

6% 0,5%

0,5% 1 +0,5

100= 1,005

100 0,5% 1,005×100 = 100,512 1,00512 × 100 = 106,17

x 0,5% 1,00512×x = 106,17x

6,17%

3,5%6 1 598

= × 100

= × 100

= × 1 000

1 000


5

Application 1 : Sylvain a fait des travaux d’isolation dans sa maison. Avant les travaux, il consommait 14000 kWh par an en moyenne et, depuis les travaux, il consomme 9000 kWh par an. De quel pourcentage sa consommation a-‐t-‐elle diminué ? Application 2 : Donner les coefficients multiplicateurs correspondant aux pourcentages suivants :

Pourcentages Coefficient multiplicateur Augmentation de 6% Réduction de 20%

Augmentation de 300% Application 3 : Dire si les coefficients multiplicateurs suivants correspondent à des augmentations ou des réductions en pourcentage, puis donner ce pourcentage.

Coefficient multiplicateur Augmentation ou réduction pourcentage 1,4 0,65 3 12

Application 4 : Après une augmentation de 20%, le prix d’un smartphone est de 549 euros. Quel était son prix avant l’augmentation.

Application 5: Le prix de la baguette de pain a augmenté de 33% entre 1990 et 2000, puis de 31% entre 2000 et 2010. De combien le prix de la baguette de pain a-‐t-‐il augmenté entre 1990 et 2010 ?

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