Les équations différentielles en Les équations différentielles en mathématiques et en physiquemathématiques et en physique
Etude des conditions de leur enseignement et Etude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des caractérisation des rapports personnels des
étudiants de première année de l’université à cet étudiants de première année de l’université à cet objet de savoirobjet de savoir
Ayse SAGLAM-ARSLAN Laboratoire Lidset
29 Octobre 2004
2
Plan de exposé Plan de exposé ☛ProblématiqueProblématique☛Étude des choix didactiques de Étude des choix didactiques de
l’enseignement du concept équation l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en différentielle en mathématiques et en physique physique
☛Étude des conséquences de ces choix sur Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université de la première année de l’université
☛Perspectives Perspectives
3
Mathématiques…Mathématiques…Physique…Physique…
F(x, y(x)), y'(x), F(x, y(x)), y'(x), …,y…,y(n)(n)(x)=0(x)=0
1.1. Problématique
4
Statut du concept d’équation différentielle Statut du concept d’équation différentielle dans les deux disciplinesdans les deux disciplines
Objet d’étude
MathématiqMathématiques ues ?
Physique Physique
1.2. Problématique
5
Les équations différentielles en physiqueLes équations différentielles en physique
t=? Exemple: 3 Exemple: 3
q'(t)+(1/q'(t)+(1/RC)q(t)=0RC)q(t)=0
i(t) C R
E
Question/ problème
Réponse/ validation
Système réel
Modèle
Étape 1: Définition du système à étudier Étape 2: Construction d’un modèle et travail dans le modèle construit Étape 3: Retour au système
Démarche théorique Démarche expérimentale
6
Et l’apprenant?Et l’apprenant?
Que représente, pour Que représente, pour l’étudiant, l’objet équation l’étudiant, l’objet équation
différentielle?différentielle?
Comment un apprenant Comment un apprenant perçoit-il les différents statuts perçoit-il les différents statuts
de l’objet équation de l’objet équation différentielle?différentielle?
1.4. Problématique
7
Reformulation de l’objet d’étude dans le Reformulation de l’objet d’étude dans le cadre de la théorie anthropologique de la cadre de la théorie anthropologique de la
didactique didactique L’ensemble des rapports
institutionnels aux équations différentielles (de l’étudiant)
L’institution de l’enseignement des
mathématiques
L’institution de l’enseignement de la
physique
D’autres institutions
Rapport personnel de l’étudiant à l’objet
équation différentielle
1.5. Problématique
8
Questions de rechercheQuestions de recherche
Effets de ces choix sur l’apprentissage de ce concept.
Choix didactiques de l’enseignement des ED en mathématiques.
Q1
Rôle joué par les équations différentielles, pour les étudiants: modèle ou outil?
Caractéristiques du processus de modélisation à l’aide des ED.
Q2
1.6. Problématique
Rapport Rapport institutionnel institutionnel
Rapport personnel Rapport personnel
9
Dans l’exposé…Dans l’exposé…☛ProblématiqueProblématique☛Étude des choix didactiques de Étude des choix didactiques de
l’enseignement du concept équation l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en différentielle en mathématiques et en physique physique
10
Rapport institutionnel à l’objet équation Rapport institutionnel à l’objet équation différentielle différentielle
Décrire le rapport Décrire le rapport institutionnel de l’étudiant à institutionnel de l’étudiant à un objet de savoir c’est…un objet de savoir c’est…
……déterminer ce que cet déterminer ce que cet étudiant doit connaître à étudiant doit connaître à propos de cet objet de propos de cet objet de savoir.savoir.
2.1. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle
11
Comment caractériser le rapport Comment caractériser le rapport institutionnel ?institutionnel ?
2.
Approche praxéologique
Approche écologique
Outil pour l’analyse de l’accès au rapport institutionnel
2.2. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle
Caractériser les rapports institutionnels par les matériaux scolaires 1.
En Terminale S: Manuels scolaires
En 1ère année de DEUG :-polycopiés des cours -feuilles de travaux dirigés-notes d’observation des classes
Mathématiques
Physique
12
Ce qui est attendu de l’étudiant… Ce qui est attendu de l’étudiant… enen mathématiques mathématiques
Terminale
DEUG
2.3. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle
Changement de
registre (3%)
Modélisation (13%)
Résolution algébrique
(84%)
Recherche ED (5%)
Changement de
registre (9%)
Modélisation (7%)
Généralité (linéarité, ordre
…) (8%)
Résolution algébrique
(71%)
Résolution algébrique
(84%)
Résolution algébrique
(71%)
13
Choix didactiques de l’enseignement des ED en mathématiques
Q1
L’enseignement des équations différentielles est caractérisé par la prédominance des méthodes algébriques.
14
Ce qui est attendu de l’étudiant…Ce qui est attendu de l’étudiant… en physique en physique
Terminale
DEUG
2.4. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle
Étape 2Construction du
modèle « différentiel »
(21%)Travail dans le modèle (79%)
Étape 2Construction du
modèle « différentiel »
(33%)Travail dans le modèle (67%)
Étape 2Construction du
modèle « différentiel »(21%
)Travail dans le modèle (79%)
Étape 3Retour au
réel (0%)
Étape 1Définition
du système
(0%)
Étape 2Construction du
modèle « différentiel »(33%
)Travail dans le modèle (67%)
Étape 3Retour au
réel (0%)
Étape 1Définition
du système
(0%)
15
Caractéristiques du processus de modélisation à l’aide des ED?
Q2
Le processus de modélisation à l’aide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique.
16
Dans l’exposé…Dans l’exposé…☛ProblématiqueProblématique☛Étude des choix didactiques de Étude des choix didactiques de
l’enseignement du concept équation l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en différentielle en mathématiques et en physique physique
☛Étude des conséquences de ces choix sur Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université de la première année de l’université
17
Rapports personnels des étudiants à l’objet Rapports personnels des étudiants à l’objet équation différentielle- équation différentielle- Dispositif Dispositif
expérimentalexpérimental
En mathématiques
En physique
Deux tests
-Étude sur les généralités des ED -Étude qualitative -Étude d’un circuit électrique modélisé par une ED
-Étude expérimentale -Étude théorique
3.1. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle
18
Conceptions des étudiants Conceptions des étudiants
3.2. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle
0')( 2/1 yy
tdt
xddtdx cos2
2
0)'(cos xx
05)sin1('2 xyxyx
0)(' xf
0)'( te
Exercice proposé
47 étudiants 13 étudiants ont des conceptions
correctes 34 étudiants
5 étudiants exigent forcément une fonction et l’une de ses dérivées
dans une ED
21 étudiants réduisent toutes les ED aux
linéaires 3 étudiants associent le
signe de dérivation aux ED
19
Viabilité d’une autre approche Viabilité d’une autre approche
Etudier le comportement de la fonction solution y(x) quand x tend vers + pour l’équation différentielle : y' (x)=-y(x)+g(x) satisfaisant y(2)=4.Technique Technique
qualitative qualitative Technique Technique algébrique algébrique
Tracer le graphique de la fonction g(x) définie par g(x)=3 si 0 x 1 et g(x)=2e1-x + 1 si x 1.
3.3. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle
20
Zone I
Zone II
- Définir le - Définir le signe de la première fonction signe de la première fonction dérivéedérivée de y(x) de y(x) : : y'(x)= -y(x) y'(x)= -y(x) ++2e2e1-x1-x+1+1
- C- Construire un tableau de variation onstruire un tableau de variation 2e2e1-x1-x+1+1y'(xy'(x
))y(x)y(x)+ -
Zone II Zone I
21
Implications de la prédominance de la Implications de la prédominance de la résolution algébrique résolution algébrique
Technique Technique qualitativequalitative
(aucun étudiant) (aucun étudiant)
Technique algébrique Technique algébrique (45 étudiants)(45 étudiants)
3.5. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle
Groupe 1Groupe 115 étudiants15 étudiants
Groupe 2Groupe 213 étudiants13 étudiants
Groupe 3Groupe 317 étudiants 17 étudiants
10 réponses10 réponses correctescorrectes
22
Implications de la "modélisation Implications de la "modélisation algorithmisée"algorithmisée"
t(ms) (t0)
(t0 ; (u(t0))
u(volt)
1
i(t) L,r R
Rg
E
Etablir l’équation différentielle décrivant la courbe ci-dessus sachant que le paramètre est constant (l’équation de la tangente à une courbe quelconque en un point donné, par exemple t0 est donnée par :f(t)-f(t0)=f‘(t0)(t-t0)).
Etablir l’équation différentielle qui représente le circuit ci-dessus à l’instant t à partir des lois de l’électrocinétique. Justifier chaque étape de votre raisonnement.
3.6. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle
a
"Trouver la courbe WW telle qu’en traçant la tangente WC jusqu’à l’axe x, XC soit toujours égale à un même segment constant a. » (Debeaune 1638)
23
Réponses obtenuesRéponses obtenues
Démarche expérimentale
(24 étudiants)
Démarche théorique (49
étudiants)2 réponses correctes
f’(t)+(1/)f(t)=022 réponses erronéesf’(t0)+(1/)f(t0)=0
f’(t0)+(1/)f(t0)=y
9 réponses erronées
40 réponses correctesL.i'(t)+(R+r)i(t)=0
3.7. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle
Démarche théorique (10 étudiants)
24
Le concept d’équation différentielle Le concept d’équation différentielle a-t-il du sens pour l’étudiant en physique?a-t-il du sens pour l’étudiant en physique?
f(t)=t.et est-elle la solution de l’équation différentielle traduisant le fonctionnement d’un circuit électrique RL? (u’(t)+(1/)u(t)=0 /f’(t)+(1/)f(t)=0))
La tension existante aux bornes de la résistance d’un circuit RL peut-elle s’annuler en un temps fini ? Pourquoi ?
76%
Etudiant: "Pour que la tension soit nulle à la résistance il faut que i(t) soit nul. Pour cela il faut que e-((r+R)t)/L soit nul; ce qui n’est possible que pour t=. Donc la tension ne peut pas être nulle en un temps fini, mais elle sera très proche de 0" .
70%
3.8. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle
Maths ou Physique
25
Choix institutionnels… Choix institutionnels… et l’étudiant…et l’étudiant…
Le processus de modélisation à l’aide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique.
L’enseignement des équations différentielles est caractérisé par l’application des méthodes algébriques.
Difficultés à comprendre et à connaître « le concept d’équation différentielle »,Cloisonnement entre les deux disciplines: Difficultés à mobiliser et à intégrer les connaissances relatives à l’objet équations différentielles, Limitation aux systèmes familiers Difficultés à donner du sens physique aux équations du sens physique aux équations différentielles. différentielles.
26
Dans l’exposé…Dans l’exposé…
☛ProblématiqueProblématique☛Étude des choix didactiques de Étude des choix didactiques de
l’enseignement du concept équation l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en différentielle en mathématiques et en physique physique
☛Étude des conséquences de ces choix sur Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université de la première année de l’université
☛Perspectives Perspectives
27
Perspectives pour une ingénierie Perspectives pour une ingénierie
4. Perspectives
Systèmes dynamiques
Construction du modèle
Équation différentielle
Résolution mathématique
Interprétation
Démarche expérimentale Résolutio
n Qualitative et/ou numérique
Résultat mathématique
28
Merci… Merci…
29
Théorie
Modèle Champ expérimental de référence
Validation
Point de vue du physicien
A. Tiberghien, 1994
Principes, lois…
Formalisme: relations entre quantités physiques…
Mesures, dispositifs expérimentales…