Physique & Contrôle des Systèmes – S3 19/20
Les systèmes asservis
http://twitter.com/poujoulyhttp://poujouly.netStéphane POUJOULY [email protected] IUT CACHAN Département Geii1
9 bd de la Div Leclerc 94230 CACHAN
Chap 1 : Asservissement des systèmes linéaires à temp s continu
Chap 2 : Asservissement des systèmes linéaires à temp s discret
Chap 1.1 : Introduction & outils mathématiques
Chap 1.2 : Stabilité des systèmes bouclés
Chap 1.3 : Correction des systèmes asservis & étude de cas
Chap 2.1 : Echantillonnage : Rappels & outils mathém atiques associés
Chap 2.2 : Etude & Mise en œuvre des asservissements numériques
Chap 1.1 : Introduction aux SA & outils mathématique s
http://twitter.com/poujoulyhttp://poujouly.netStéphane POUJOULY [email protected] IUT CACHAN Département Geii1
9 bd de la Div Leclerc 94230 CACHAN
Physique & Contrôle des Systèmes
Asservissement des systèmes linéaires à temps continu
Plan de la présentation
1
4
2
Exemple et structure d’un Système Asservi – Qualités d’un asservissement
Transformée de Laplace : Un outil indispensable pour l’étude des asservissements
6 Modélisation & représentation classique d’un asservissement
3
Système linéaire du 1er & 2nd ordre : réponse temporelle & harmonique
Le cas important des systèmes linéaires
5 Retour sur la construction des diagrammes de Bode : Un outil essentiel !
Les systèmes asservis : Introduction1
3http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Processus Physique Système
Commande Grandeur de sortie
Système, processus : Dispositif réalisant une fonction dont la grandeur de sortie évolue de façon plus ou moins maitrisé par l’entrée de commande.Exemple :
Sans information sur la grandeur de sortie , il n’y a aucune certitude sur l’état de la sortiepar rapport à la grandeur de commande
On appelle alors un système asservi , un système dont la commande est réglé à partir des observations de la sortie et de la consigne préalablement fixée.
Un système asservi est donc un système bouclé possédant une rétro action de la sortie sur l’entrée.
+-
Consigne
Structure d’un système asservi1
Erreur
Mesure CAPTEUR
CORRECTEUR
Grandeur asservieCommande PROCESSUS
(a asservir)
Structure générale
Exemples : Asservissement de vitesse, de position, de température….
Perturbations
4http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
COMPARATEUR (Soustracteur)
5http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Les qualités d’un asservissement : Rapidité1
Rapidité : Il s’agit de la vitesse à laquelle répond le système vers son état stable lorsqu’il est soumis à une réponse indicielle. On caractérise son temps de réponse tr à 5%, c’est-à-dire le temps à partir duquel la sortie reste comprise entre 95% & 105% de la valeur finale.
t
Consigne
Sortie cas n°1
Sortie cas n°2
trep1
trep2
0
100%105%
95%
6http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Les qualités d’un asservissement : Stabilité1
Consigne
Sortie stable
Sortie instable
t
t
t
Stabilité : Il s’agit de l’aptitude d’un système à évoluer vers une sortie constante (stable) lorsqu’on applique en entrée un échelon.
La stabilité des systèmes bouclés est un point essentiel dans l’étude des systèmes asservis (voir Chap1.2).
En électronique des télécoms (SEI), l’instabilité d’un système peut être mis àprofit pour réaliser des oscillateurs. Dans le cadre du module PCS nous chercherons le plus souvent à rendre un système stable !
Les qualités d’un asservissement : Précision1
7http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Précision : Il s’agit de la capacité d’un système à suivre les variations d’entrée en toute circonstances. On caractérise la précision par l’erreur qui existe (ou non) entre la sortie et la consigne.
Erreur de précision
t
Sortie système précis
Sortie système peu précis
Consigne
Que représente un système linéaire ?2
8http://poujouly.net
Définition : Un système est dit linéaire s’il vérifie le principe de superposition
SLe(t) s(t)
e1
e2
s1
s2
Lorsque e(t) = α.e1+β.e2
S est linéaire ssi s(t) = α.s1+β.s2
Exemple de systèmes linéaire/non linéaire
e
ss=k.e
e se
ss=|e|
e s
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Contexte : Dans le cadre du module PCS/S3 nous allons rencontrer de nombreux systèmes à asservir que l’on suppose linéaire.
Propriété 1 : Si le système linéaire est stationnaire ( c ’est à dire son comportement n ’évolue pas au cours du temps ), alors on peut décrire ce système par une équation différentielle à coefficients constants entre l ’entrée et la sortie.
Propriété 2 : L ’association de systèmes linéaires est un système linéaire
SL1 SL2 SLi
SL1
SL2
SLi
L ’ordre du système correspond alors à l ’ordre n (n≥k) de l ’équation différentielle.
Propriétés des systèmes linéaires2
9http://poujouly.net
)t(e.bdt
)t(de.b........
dt
)t(ed.b
dt
)t(ed.b)t(s.a
dt)t(ds
.a........dt
)t(sd.a
dt
)t(sd.a 01
1k
1k
1kk
k
k011n
1n
1nn
n
n ++++=++++ −
−−−
−−
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Transformée de Laplace : Un outil indispensable3
10http://poujouly.net
Etude de la réponse temporelle d’un système linéair e
PROCESSUSSystème linéaire
e(t) s(t)
p : variable de Laplace
⇒ Résolution d’équation différentielle
La transformée de Laplace est un outil permettant d e résoudre les équations diff
1 - Description physique d’un système :équation différentielle
2- Application de la transformée de Laplace
3- Décomposition en forme type
4- Solution du système par transformation de Laplace inverse (tableau)
dt(.)d p(.) × ω× j(.)
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Transformée de Laplace : Les fondamentaux3
11http://poujouly.net
Définition Table des transformées de Laplace usuelle
Théorème de la valeur finale
)p(p.S lim)t(s lim0pt →∞→
=
)p(S)t(sTL→
∫∞
−=0
pt dt)t(se)p(S
p : variable de Laplace complexe p=a+jb
(Intégrale sous réserve de convergence)
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Transformée de Laplace : Exemple électrique3
12http://poujouly.net
C
R
e(t) s(t)
i
i
)t(s)t(i.R)t(e +=
dt)t(ds
C)t(i ⋅=
)t(sdt
)t(ds.RC)t(e +=
R
i
Traduction du système linéaire sous la forme d’une fonction de transfert
RCp11
+E(p) S(p)
e(t)=Eo.u(t)u(t) : fonction échelonu(t)=1 pour t>0 u(t)=0 pour t<0
Eo
Résolution du système en présence d’un échelon en e ntrée
Résolution du système en présence d’une rampe en en trée
e(t)=K.t.u(t)
K
t
t
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Transformée de Laplace : Exemple électromécanique3
Moteur à courant continu + Charge
U(t)
i(t)
Ω(t)
Hyp : inductance de l’induit négligeable
E(t)
r
Equation électrique
Equation mécanique
Equations électromécanique
)t(E)t(i.r)t(U +=
)t(.f)t(Cemdt
)t(dJ Ω−=Ω
)t(.k)t(E Ω= )t(i.k)t(Cem =
U(p) Ω(p)Cem : Couple électromécaniquef : Coefficient de frottements visqueux
13http://poujouly.net
Modélisation
Identification
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Les systèmes linéaires : les formes canoniques pass e bas4
14http://poujouly.net
cp
1
1p.1
1)p(T
ω+
=τ+
=
2
2
o
po
pm21
1)p(T
ω+
ω⋅+
=
Cas très fréquent
1er ordre passe bas 2nd ordre passe bas
τ
cω
m
oω
E(p) S(p)T(p)
e(t)=Eo.u(t)Eo
s(t)
?t t
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Retour sur les systèmes linéaires du 1 er ordre passe bas4
15http://poujouly.net
Exemple : circuit RC
)t(sst
)t(ds.)t(e += τ RC=τ
−−=τ
texp1)t(s
( ) )(st
exp.)(s)0(s)t(s ∞+
−∞−+=τ
)0(s +
)(s ∞
fc35,0
2,2tr %90%10 ==− τ τ7,0tp =τ.3ts %5 =
Si e(t) est un échelon d ’amplitude 1V
Alors
Pour un système du premier ordre soumis à une entrée échelon la réponse est de la forme générale
représente la valeur prise par la sortie juste après la variation de l ’entrée
représente la valeur prise par la sortie en régime asymptotique
τ est la constante de temps du système
0 1 2 3 4 5 6 70
0.10.20.30.4
0.5
0.60.7
0.80.9
1
Réponse indicielle
t/τ
C
R
e(t) s(t)
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Retour sur les systèmes linéaires du 2 nd ordre passe bas 4
01pom2
po
1 22
=+⋅ω
+⋅ω
( )1mo
4 22
−⋅=∆ω
1moomp 22,1 −⋅ω±ω−=
op0 ω−=
Équation caractéristique d’un 2nd ordre :
Calcul du discriminant :
∆>0 ⇒ m>1 : 2 racines réelles
∆<0 ⇒ m<1 : 2 racines complexes conjuguées
∆=0 ⇒ m=1 : 1 racine double
22,1 m1ojomp −⋅ω±ω−=
2
op
1
1)j(T
ω+
=ω
ω+⋅
ω+
=
2p
11
p1
1)p(T
2
2
o
po
pm21
1)j(T
ω+
ω+
=ω
Réécriture de la fonction de transfert :
m>1 m=1 m<1
16http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Expression des réponses indicielles pour m>04
( ) ( )( )texptexp1
1)t(s .21.1221
ωωωωωω
−−−⋅−
+=
−+= 1mmo 2
1 ωω
−−= 1mmo 2
2 ωω
( ) )t.oexp(t.o11)t(s ωω −⋅+−=
( )ϕωω +⋅⋅−
−= − t.sinem1
11)t(s p
t.om
2
2p m1o −⋅= ωω )marccos(=ϕ
• m>1 : Régime apériodique
• m<1 : Régime pseudo-périodique
• m=1 : Régime critique
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
ωo.t
Réponse indicielle
m=0.2
m=1
m=2
17http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Caractérisation de la réponse indicielle4
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
ttpic
D%
100%
Tp
Réponse indicielle m<1
00
0.10.20.30.40.5
0.60.70.80.9
1
ttrα%
1-α%
Réponse indicielle m>1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
5
10
15
20
25
30
tr5%.ωo
m
Temps de réponse à 5%
−−⋅
=1mmo
3tr
2%5
ω
Tp2
pπω =
2m1o2Tp
tpic−⋅
==ω
π
−
−=2m1
mexp.100%D
π
−=
+ 21n
n
m1
m2exp
DD π
18http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Diagramme de Bode : Principe5
19http://poujouly.net
1 2 10 205 50 100 200 500 1k
f
log(f)
Gain (dB) et/ou Phase (degré ou radian)
Principe : Il s’agit d’une représentation très utilisée en électronique permettant de tracer le gain (dB) et l’argument (ou phase) d’une fonction de transfert en fonction de la fréquence. Pour l’axe de la fréquence on choisit une échelle logarithmique permettant d’obtenir une représentation compacte pour une grande dynamique.
« papier semi-log »
Hendrik Wade Bode(24/12/1905- 22/06/1982) ingénieur, chercheur et inventeur américaind’origine néerlandaise.
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Diagramme de Bode : Tracé asymptotique & réel5
20http://poujouly.net
cp
1
1)p(T
ω+
=Gain (dB)
Phase
ωωc 10.ωc
0,1. ωc
ωc 10.ωcω
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Diagramme de Bode : Intérêt majeur5
21http://poujouly.net
Le diagramme de Bode permet de fournir une indication sur la réponse fréquentielle d’un filtre pour une très grande dynamique.
L’intérêt majeur réside dans sa construction : Une fonction de transfert se décompose traditionnellement en produit de fonction de transfert élémentaires (ou canoniques). Le tracé du diagramme de Bode est alors obtenu en effectuant une somme graphique de chaque gain et chaque phase (ou argument) des fonctions de transferts élémentaires composant la fonction de transfert du système étudié.
)p(T)p(T)p(T)p(T 321 ⋅⋅=
( ) ( ) ( ) ( ))j(Tlog20)j(Tlog20)j(Tlog20)j(Tlog20G 321dB ω⋅+ω⋅+ω⋅=ω⋅=
dB3dB2dB1dB GGGG ++=
( ) ( ) ( ) ( ))j(TArg)j(TArg)j(TArg)j(TArg 321 ω+ω+ω=ω
)j(T)j(T)j(T)j(T 321 ω⋅ω⋅ω=ω
Exemple : Fonction de transfert sous la forme d’un produit de fonction de transfert élémentaire
Calcul du gain :
Tracé diag. de Bode total = Somme graphique de chaque diag. de Bode élémentaire
Tracé diag. de Bode total = Somme graphique de chaque diag. de Bode élémentaire
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Diagramme de Bode : Formes canoniques 15
22http://poujouly.net
0ω
Gain (dB)
0dB
+20dB/dec
ω
2π+
ω
Phase (rad)
010 ω⋅
10/0ω
0
+20dB
-20dB
0
p)p(T
ω= pp
1)p(T 0
0
ω=
ω
=
0ω
Gain (dB)
0dB
-20dB/dec
ω
2π−
ωPhase (rad)
010 ω⋅
10/0ω
0
+20dB
-20dB
Dérivateur Pur
Intégrateur Pur
Dérivateur Pur
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Diagramme de Bode : Formes canoniques 25
23http://poujouly.net
K)p(T =
Gain (dB)
0dBω
( )Klog20 ⋅1K si >
( )Klog20 ⋅1K si <
ω
π−0K si <
0K si ≥
Phase (rad)
Cω
Gain (dB)
0dB
+20dB/dec
ω
2π+
ω
Phase (rad)
C10 ω⋅
0
+20dB
C
p1)p(T
ω+=
Cω
4π+
3dB
Tracé asymptotiqueTracé réel
Action proportionnelleAction proportionnelle
ProportionnelDérivé
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Fonction de transfert en BF / en BO6
24http://poujouly.net
Modélisation classique d’un asservissement
FTBF : Fonction de Transfert en Boucle Fermée
FTBO : Fonction de Transfert en Boucle Ouverte
+-
E(p)A(p)
S(p)
B(p)
Chaine d’action
Chaine de retour
ε(p)
)p(B).p(A1)p(A
)p(E)p(S
)p(FTBF+
== )p(B).p(A)p(FTBO =
Consigne
Grandeur de sortie asservie
Erreur
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Chap 1.2 : Stabilité des systèmes asservis linéaires
Physique & Contrôle des Systèmes – S3 2016
Asservissement des systèmes linéaires à temps continu
Plan de la présentation
1 La stabilité d’un système : à la recherche d’un énoncé mathématique simple
http://twitter.com/poujoulyhttp://poujouly.netStéphane POUJOULY [email protected] IUT CACHAN Département Geii1
9 bd de la Div Leclerc 94230 CACHAN
2 Critère de Routh : Le système est-il stable ?
3 Critère du Revers : Le système est-il stable et quelle est sa marge de stabilité ?
4 Les systèmes bouclés instables mais… utiles : Les oscillateurs électroniques
Un système physique est stable s’il retourne spontanément vers sa position d’équilibre lorsqu’il en est écarté.
La stabilité d’un système1
Consigne
Sortie stable
Sortie instable
t
t
t
26http://poujouly.net
Consigne SortieSystème physique
Chap 1.2 - Systèmes linéaires bouclés - Asservissement - S.POUJOULY
Stabilité d’un système bouclé : recherche d’un énoncé …1
+-
E(p)A(p)
S(p)
B(p)
)p(D)p(N
)p(B).p(A1)p(A
)p(E)p(S
)p(FTBF =+
==
011n
1nn
n ap.a....p.ap.a)p(D ++++= −−
( ) ( ) ( )n21n pp(...)pppp.a)p(D −⋅⋅−⋅−=
:p,...p,p n21
27http://poujouly.net
Le dénominateur D(p) de la fonction de transfert en boucle fermée peut s’écrire sous la forme :
Que l’on peut aussi écrire sous la forme :
Zéros de D(p) que l’on appelle aussi les Poles de la fonction de transfert en boucle fermée
Chap 1.2 - Systèmes linéaires bouclés - Asservissement - S.POUJOULY
Stabilité d’un système bouclé : recherche d’un énoncé …1
28http://poujouly.net
n
n
2
2
1
1
ppA
...pp
App
A)p(S
−++
−+
−=
Afin d ’analyser la sortie en fonction de temps pour une entrée E(p) sous la forme d’un Dirac par exemple il est possible d’écrire la sortie sous la forme suivante :
tpk
keA Si le pole pk est réelk
k
ppA− pk > 0
pk < 0
( )ϕ+ωtcoseA atk
Si le pole pk est complexek
k
ppA−
a=Re(pk)< 0
a=Re(pk)> 0
jbapk +=
STABLE
STABLE
INSTABLE
INSTABLE
Chap 1.2 - Systèmes linéaires bouclés - Asservissement - S.POUJOULY
Stabilité d’un système bouclé : énoncé1
Résoudre cette équation dans la majorité des cas (ordre > 2) n’est pas possible analytiquement d’où la mise en place de critères :
Un critère arithmétique (Critère de Routh) avec une étude effectuée sur le dénominateur de la FTBF permettant de déterminer si un système est stable ou non.
Un critère géométrique (Critère du revers) avec une étude effectuée sur la fonction de transfert en boucle ouverte FTBO (d’où l’intérêt porté à la FTBO) permettant de déterminer si un système est stable ainsi que sa marge de stabilité.
Un système linéaire bouclé est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) sont à partie réelle strictement négative.
Rechercher les pôles de la FTBF revient àrésoudre l ’équation)p(B).p(A1
)p(A)p(FTBF
+= 1)p(B).p(A)p(FTBO −==
29http://poujouly.net Chap 1.2 - Systèmes linéaires bouclés - Asservissement - S.POUJOULY
Critère de Routh2
30http://poujouly.net
)p(D)p(N
)p(B).p(A1)p(A
)p(E)p(S
)p(FTBF =+
==01
1n1n
nn ap.a....p.ap.a)p(D ++++= −
−
0an >avec
Enoncé du critère :
Si les ai sont nuls ou négatifs alors D(p) a des zéros (pôles de la FTBF) àpartie réelle positive donc le système est instable
Si tous les ai sont positifs, on construit alors le tableau de Routh et il faut que les coefficients de la 1ère
colonne soient de même signe pour que le système soit stable
1np −
np
p
2p
1
Tableau de Routh
2np −
na
1na − 3na − 5na −
2na − 4na − ….
….
A B
C3np −
X
Y
Z
1n
3nn2n1n
aaaaa
A−
−−− ⋅−⋅=
1n
5nn4n1n
aaaaa
B−
−−− ⋅−⋅=
ABaaA
C 1n3n ⋅−⋅= −−
Chap 1.2 - Systèmes linéaires bouclés - Asservissement - S.POUJOULY
31http://poujouly.net
Critère du revers3
Remarque Importante : l ’application du critère du revers qui est d ’un emploi très commode permet de déterminer la stabilité d ’un système en BF. Toutefois son utilisation est soumise à quelques conditions. Pour tous les exemples proposés dans le cadre de ce cours ces condit ions sont bien évidemment respectées
Re(FTBO(jω))
Im(FTBO(jω))
ω croissant
-1
Point critique
Énoncé du critère du revers : Un système (stable en BO) est stable en BF si le tracé de Nyquist de la FTBO, décrit dans le sens des pulsations croissantes (ω=0 ω=+∞), laisse le point critique à sa gauche
Application dans le diagramme de BODE :
⇒ STABLE
-180°
0dB
Mϕ >0
MG >0
f
f
Gain FTBO
Phase FTBO
⇒ INSTABLE
-180°
0dBMG <0
f
f
Gain FTBO
Phase FTBO
Mϕ <0
Mϕ : Marge de Phase
MG : Marge de Gain
Chap 1.2 - Systèmes linéaires bouclés - Asservissement - S.POUJOULY
32http://poujouly.net
Un oscillateur : Un système bouclé volontairement in stable4
Schéma électronique :
+
-
0G
H
1) Mise sous forme d ’un système bouclé :
G(p) =
H(p) =
2) Calcul de la FTBO
3) Tracé du diagramme de Bode de la FTBO
4) Application du Critère du Revers
Condition pour obtenir une oscillation
Fréquence des oscillations en limite de stabilité
Chap 1.2 - Systèmes linéaires bouclés - Asservissement - S.POUJOULY
R1
R2
R
RR
C
C
C
VA
VB
VA
VB
Chap 1.3 : Correction des systèmes asservis linéaire s
Physique & Contrôle des Systèmes
Asservissement des systèmes linéaires à temps continu
Plan de la présentation
1 Correction : Généralités
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9 bd de la Div Leclerc 94230 CACHAN
2 Correction proportionnelle : un problème de précision
3 Correction intégrale : Annulation de l’erreur statique
4 Correction proportionnelle intégrale : Un peu de rapidité
5 Etude de cas : Asservissement de puissance d’une diode LASER
+-
Consigne Erreur
Mesure CAPTEUR
CORRECTEUR
Grandeur asservieCommande PROCESSUS
(a asservir)
Structure générale d’un asservissement :Perturbations
COMPARATEUR (Soustracteur)
Rôles du correcteur :
Rôle du correcteur dans un asservissement 1
34http://poujouly.net Chap1.3 - Correction des systèmes asservis - S.POUJOULY
35http://poujouly.net
Correction : Un exemple basique1
+-
E : consigneε : erreur
S : grandeur asservie
CorrecteurC : commande
Intérêt du correcteur L’erreur ε est évaluée en permanence par l’observation de la grandeur de sortie et la consigne imposée. Le signal de commande est alors ajusté en permanence de manière automatique par le correcteur afin de corriger l’erreur. Dans la plupart des cas on cherche à annuler l’erreur statique. Le choix du correcteur est effectué de telle sorte àobtenir la stabilité du système tout en assurant une réponse la plus rapide.
Un correcteur de type tout ou rien
ε
C
Il s’agit d’une loi de commande très utilisée dans les dispositifs basiques possédant une très forte inertie comme la commande thermostatique des appareils de chauffage.
Umax
19°C
12°C
500W
Commande de chauffage
Température
t
t
Chap1.3 - Correction des systèmes asservis - S.POUJOULY
Correction : principales lois de commandes1
Action proportionnelle
Action intégrale
Action dérivée
)p(Kp)p(C ε⋅=
)p(p.Ti
1)p(C ε⋅=
)p(p.Kd)p(C ε⋅=
Il s’agit d’une amélioration classique de la loi de type tout ou rien ou l’idée consiste à doser la quantité de puissance quand on s’approche du but à atteindre sans envoyer nécessairement la puissance maximale.
Cette loi de commande permet de réagir calmement aux variations brusques de l’erreur et assure un rattrapage progressif mais persévérant p u i s q u e c e l l e - c i p e r m e t d ’ a n n u l e r l ’ e r r e u r s t a t i q u e
L’action dérivée permet une correction rapide de l’erreur et permet d’améliorer la stabilité et la rapidité du système régulé. Un dérivateur pur ne peut fonctionner seul car un système linéaire ne peut pas avoir un ordre du numérateur supérieur à celui du dénominateur . O n u t i l i s e a l o r s u n e c o m m a n d e d e t y p e :
)p(p1p.Td
)p(C ε⋅τ+
=
Correcteur : P, PI, PD, PID Il s’agit ici d’actions combinées en exploitant l’intérêt de chaque action et en effectuant un dosage en fonction du système à asservir.
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Action proportionnelle : Exemple d’un 1 er ordre2
+-
E(p) S(p)
p.11
)p(Hτ+
=Kε
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H(p) : processus à asservir
K : Correcteur proportionnel
pK1
1
1K1
K)p(E)p(S
+τ+
⋅+
=Erreur de position
t
Sortie en boucle ouverte sans correction
Sortie corrigé(K=9)
Consigne E
p1G
)p(FTBFBF
BF
τ+=
Contexte :
Remarques : A propos de l’erreur de position
)p(p. lim)t( lim0pt
ε=ε→∞→
Théorème de la valeur finale
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Action intégrale : Annulation de l’erreur statique3
+-
E(p)
p.11
)p(Hτ+
=ε
Contexte :
p.i1
τ++ S(p)
Perturbation
Sortie corrigéeconsigne
perturbation t
Exemple de fonctionnement :
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Exemple de réglage :
ms20=τ
Choix de τi pour obtenir un réponse indicielle avec
2
1m =
pour
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Correction PI : Compensation du pôle dominant4
+-
E(p) S(p)
( )( )p.1p.11
)p(H21 τ+τ+
=ε
( )
⋅τ+⋅=
p1
1KpCPI
PI
Contexte :
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H(p) : processus à asservir avec une constante de temps C(p) : Correcteur Proportionnel Intégral
Réglage du correcteur : Compensation du pôle dominant donc 2PI τ=τ
12 τ>>τ
Choix de KPI : Réponse indicielle non oscillante par exemple (m=1)
Exemple : ms1002 =τ ms101 =τ
Comparaison BO / BF
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Conception d’un asservissement 5
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Contexte : Asservissement de puissance pour une dio de LASER SLD1131VS
Intérêt de la régulation ?
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IF
Imon
++ P0KD
fθ
Ith
TC
KM
Recherche des grandeurs pour la DL SLD1131VS :
KD =
KM =
Ith = f(TC) (fonction non linéaire)
NB : il existe une caractéristique supplémentaire qui permet de constater que les variations du courant Imon sont quasi-indépendante des variations de la température TC.
Modélisation de la diode LASER5
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Il existe 3 caractéristiques essentielles dont on doit tenir compte lors de l’utilisation de la D.L• Puissance optique PO en fonction du courant direct IF• Courant inverse de la photodiode Imon (Monitor Current) en fonction de la puissance optique • Le courant de seuil Ith (Threshold Current) en fonction de la température du boîtier TC
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Mise en œuvre du correcteur intégral5
Le choix du correcteur dans cette chaîne d’asservissement se porte sur un correcteur intégral permettant d’annuler toute d’erreur de position notamment dues aux variations possible de température du boîtier de la DL.
La constante du système en BF doit être suffisamment longue pour que le système asservi ne soit pas perturbé par une modulation en puissance de la diode DL (exemple dans une transmission) et suffisamment courte pour répondre aux variations de puissance optique moyenne dues aux variations de température.
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Choix de Ki pour τBF=100ms ? Schéma du correcteur ?
IF
Imon
++ P0KD
fθ
Ith
TC
KM
VPO?
?
Ki/p
ConsigneCPo ++
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