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Systèmes

Volume 4

Asservissements digitaux

J.-M. Allenbach

Ecole d’Ingénieurs de Genève Laboratoire d’Automatique

N° 8

Edition 2006


Jean-Marc Allenbach i 15-08-2003

TABLE DES MATIÈRES 11 RÉGLAGE DIGITAL 11.1 PRINCIPE 11.1.1 Conduite de processus discontinue 1 11.1.2 Echantillonnage et quantification 2 11.1.3 Boucle de réglage 4 11.1.4 Cycles limites 6 11.2 RÉGLAGE PSEUDO-CONTINU 11.2.1 Réglage de processus réel: dimensionnements analytiques 9 11.2.2 Réglage de processus réel: dimensionnements expérimentaux 13 11.2.3 Régulateurs programmés 14 11.2.4 Réglage en simulation 16 11.3 SYSTÈMES ÉCHANTILLONNÉS 11.3.1 Fonction de transfert et pôles 19 11.3.2 Réponse harmonique 23 11.3.3 Réponse indicielle 24 11.4 STABILITÉ 11.4.1 Définition 25 11.4.2 Critères 26 11.5 RÉGULATEURS DISCRETS 11.5.1 Régulateurs classiques 30 11.5.2 Autres régulateurs 30 11.6 DIMENSIONNEMENT 11.6.1 Choix d'un régulateur classique 31 11.6.2 Critère de Nyquist 33 11.6.3 Critère de Bode 34 11.6.4 Critère d'Evans 35 11.6.5 Calcul des coefficients 36 11.6.6 Réglage en simulation 36 11.6.7 Autre imposition des zéros 36 11.6.8 Imposition des pôles en boucle fermée 37 11.6.9 Filtre de consigne et RST 38


Jean-Marc Allenbach ii 15-08-2003

11.7 EXEMPLES 39 Annexes 11.A TRANSFORMÉE EN Z 11.A.1 Motivation 49 11.A.2 Définition 49 11.A.3 Transformation en z inverse 53 11.A.4 Règles de calcul en z 55 11.A.5 Passage direct de s à z 55 11.A.6 Pôles dans s et z 57 11.B CHOIX DE LA MÉTHODE 11.B.1 Procédure 59 11.C RATIONALISATION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE 11.C.1 But 61 11.C.2 Taylor 61 11.C.3 Padé 62 11.D EFFET FRÉQUENTIEL DE L'ÉCHANTILONNAGE 11.D.1 Exposé du problème 63 11.D.2 Mesure corrective 65 11.E RAPPEL DE LA RÉGLAGE ANALOGIQUE 11.E.1 Exposé du principe 67 11.E.2 Stabilité 68 11.E.3 Dimensionnement de régulateur 70 11.E.4 Exemples 76


Jean-Marc Allenbach iii 15-08-2003

BIBLIOGRAPHIE [1] H. BÜHLER: Conception de systèmes automatiques, PPUR, Lausanne. [2] H. BÜHLER: Electronique de réglage et commande, PPUR, Lausanne. [3] L. MARET: Régulation automatique, PPUR, Lausanne. [4] H. BÜHLER: Systèmes échantillonnés I, PPUR, Lausanne. [5] H. BÜHLER: Systèmes échantillonnés II, PPUR, Lausanne. [6] J. NEYRINCK: Théorie des circuits et systèmes, PPUR, Lausanne. [7] GILLE, DECAULNE ET PELEGRIN: Théorie et calcul des asservissements linéaires,

Dunod, Paris. [8] M. ROSSI: Simulation d'un essieu moteur, EPFL/LEI, Lausanne. [9] O. FÖLLINGER: Regelungstechnik , Hüthig. [10] B. C. KUO: Automatic Control Systems , Prentice-Hall. [11] E. JUCKER: Equations fondamentales des micromoteurs à courant continu avec rotor

sans fer, Portescap, La Chaux-de-Fonds. [12] L. POVY: Identification de processus, Dunod, Paris. [13] L. MARET: Régulation automatique 2, Eivd, Yverdon. [14] J.-M. ALLENBACH: Réglage de système à retard pur, EIG/LAE, Genève. [15] J.-M. ALLENBACH: Réglage de système instable, EIG/LAE, Genève. [16] C. T. CHEN: Analog & Digital Control System Design, Saunders HBJ. [17] W. A. WOLOWICH: Automatic Control Systems, Saunders HBJ. [18] B. C. KUO: Digital Control Systems, Saunders HBJ. [19] M. RIVOIRE, J.-L. FERRIER: Cours d'automatique, Eyrolles, Paris. [20] R. LONGCHAMP: Commande numérique de systèmes dynamiques , PPUR, Lausanne. [21] F. DE CARFORT, C. FOULARD: Asservissements linéaires continus, Dunod, Paris. [22] P. NASLIN: Les régimes variables dans les systèmes linéaires et non linéaires, Dunod,

Paris. [23] W. OPPELT: Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge, Verlag Chemie GMBH. [24] E. GROSCHEL: Regelungstechnik, R. Oldenburg, München et Wien. [25] F. MILSANT: Asservissements linéaires – analyse et synthèse, Dunod, Paris. [26] H.GASSMANN: Einführung in die Regelungstechnik, Harri Deutsch, Thun [27] M. KUNT: Traitement numérique des signaux, PPUR, Lausanne. [28] DIVERS PROFESSEURS: Cours de mathématique, EIG, Genève. [29] DIVERS PROFESSEURS: Electronique, EIG, Genève.

GLOSSAIRE

Symbole Description Pageai Coefficient de zi du polynôme dénominateur 21bj Coefficient de zj du polynôme numérateur 21ci Résidu n°i 20e Ecart de réglage 8e* Ecart de réglage discret (échantillonné et quantifié) 5D1max Dépassement maximal accepté sur la réponse indicielle 29


Jean-Marc Allenbach iv 15-08-2003

G0(z) Fonction de transfert échantillonnée en boucle ouverte 31Geb(s) Fonction de transfert approximée continue du convertisseur D/A 10GR(s) Fonction de transfert continue du régulateur analogique 11GR*(s) Fonction de transfert approximée continue du régulateur

numérique 11

GR*(z) Fonction de transfert échantillonnée du régulateur numérique 4Gs(s) Fonction de transfert continue du système à régler 4Gs'(z) Fonction de transfert échantillonnée du système à régler à travers

le convertisseur D/A Kd Facteur de dérivation discrète 10kd Facteur de dérivation continue 10Ki Facteur d'intégration discrète 10ki Facteur d'intégration continue 10Kp Facteur de proportionnalité 10trmax Temps de réponse maximal accepté 55T Période d'échantillonnage 9Tc Temps de calcul du régulateur 11TD Constante de temps de dérivation (forme somme-produit) 13TDAC Petite constante de temps due à la conversion D/A 10Ti Constante de temps d'intégration (forme somme ou quotient) 11TJ Constante de temps d'intégration (forme somme-produit) 13Tn Temps de corrélation d'intégrale 11TpR Petite constante de temps due à l'algorithme de calcul du

régulateur numérique 11

Tv Temps de corrélation de dérivée 11ucm Signal de commande 5ucm' Signal de commande en peigne de Dirac 5ucm* Valeur numérique du signal de commande 5uid Signal de commande idéal (non limité) 15v Grandeur de perturbation 9w Grandeur de consigne 5xR Intégrale discrète de l'écart de réglage 10y Grandeur de sortie (réglée) 5y* Grandeur de sortie quantifiée et échantillonnée 5z Variable discrète 5zpi pôle échantillonné n°i 19zzj zéro échantillonné n°j 19ϕM Marge de phase 27ψ Marge de stabilité relative 28ρ Marge de stabilité absolue 27σ Partie réelle d'un pôle 25ω Pulsation (partie imaginaire d'un pôle) 23ω1=Ω1/T Pulsation pour laquelle la réponse harmonique a un module unité 34ωc=Ωc/T Pulsation qui limite la pente de –1 et celle de –2 sur la réponse

harmonique en boucle ouverte 34

Ω Pulsation réduite 23

Asservissement digitaux

Jean-Marc Allenbach EIG 11–1 31-10-2003

CHAPITRE 11: RÉGLAGE DIGITAL 11.1 PRINCIPE 11.2.1 Conduite discontinue de processus On a traité jusqu'ici des systèmes à conduite continue, particulièrement des systèmes dont on ne règle qu'une seule grandeur physique avec une seule commande. Dans le cas de systèmes multiples, la structure se complexifie. Fig. 11.1 Représentation schématique d'une conduite continue de processus.

On reconnaît dans le schéma le processus, ses organes de commande analogiques (OCM) ou binaires (AB) et ses organes de mesure analogiques (OM) ou binaires (CB). La conduite est opérée depuis les régulateurs (R) et la logique de commande séquentielle (LCS).

Le même système peut faire l'objet d'une conduite discontinue de processus (fig. 11.2). Les fonctions de commande séquentielle et de réglage sont assurées par un calculateur de processus qui accède aux organes de commande et de mesure via des interfaces d'entrée et de sortie et des convertisseurs digital–analogique ou analogique–digital. Que le calculateur soit implanté su un microcontrôleur, un ordinateur personnel, un gros ordinateur ou processeur de signal, les opérations de conduite sont réalisées par traitement numérique. Pour des raisons de prix, on n'implante parfois qu'un seul convertisseur analogique–digital, accédant aux grandeurs mesurées par multiplexage. Le pupitre de commande (PC) permet à l'opérateur de modifier les valeurs de consigne, voire les paramètres des régulateurs.

Les fonctions de commande et de réglage sont élaborées par des algorithmes programmés. L'exécution du calcul a lieu à des instants fixés: les instants d'échantillonnage. On doit tenir compte des temps de sélection de mesure, de conversion analogique–digital, d'exécution de l'algorithme et de conversion digital–analogique. Pareillement, un changement de variable logique ne sera pris en compte qu'au prochain instant d'échantillonnage.

OC1

M

OCM1 OM1

OB1

M MM

OCk

OBm

Signaux analogiques

Signaux logiques

M

OCMk

LCS

AB1

ABn

Rk

R1

CB1

OMk

CBj

M

M M

+

+

–

– PROCESSUS



Le temps qui sépare deux instants d'échantillonnage successifs est appelé période d'échantillonnage. Les différentes boucles de réglage peuvent avoir des périodes d'échantillonnage différentes. Fig. 11.2 Représentation schématique d'une conduite discontinue de processus. 11.1.2 Echantillonnage et quantification

On peut représenter un échantillonneur par un contact qui s'ouvre et se ferme. Le

signal échantillonné est égal au signal continu pendant que le contact est fermé et nul le reste du temps. Pour ne pas alourdir exagérément le traitement mathématique, on s'arrangera pour maintenir constante la période d'échantillonnage. Fig. 11.3 Echantillonnage.

M

OCM1 OM1

OB1

M

OBm

Signaux analogiques

Signaux logiques

OCMk

AB1

ABn

CB1

OMk

CBj

M

M M

ADC

MUX

DAC1 DACk

unité d'entrées–sorties

Calculateur de processus

MMI

Programme

PROCESSUS

xe

t

xs

t

xe xs



Dans un calculateur de processus, un signal ne varie pas de manière continue, il est représenté par un nombre fini de chiffres (p. ex. 16 bit, 3 digit, ...). La quantification peut être représentée par un dispositif non linéaire à gradins. Fig. 11.4 Quantification Une conversion analogique–digital combine les deux opérations. Fig. 11.5 Conversion analogique–digital: échantillonnage et quantification. La quantification, par la non-linéarité qu'elle introduit, rend difficile le traitement mathématique. Cependant, avec un choix de quantification suffisamment fine (< 5‰), on pourra négliger son effet dans les calculs. On pourra toutefois observer des oscillations entre deux niveaux consécutifs: les cycles limites (§ 11.1.4). L'échantillonneur de la figure 11.3 ne peut pas être traité simplement sur le plan mathématique: le temps de fermeture est non nul et le signal a le temps de varier. Pour pallier à cet inconvénient, on définit deux échantillonneurs qui représentent assez bien la réalité et dont le traitement mathématique ne rencontre pas d'obstacle majeur. L'échantillonneur idéal se ferme pendant un temps infiniment court. Le signal de sortie est discret, sans énergie, et ne peut pas agir sur un système concret. Ce modèle convient bien pour décrire l'acquisition d'une mesure par le calculateur de processus. Fig. 11.6 Echantillonneur idéal.

xe

t

xs

t

xe xs

xe

t

xs

t

xe xs

xe

t

xs

t

xe xs



L'échantillonneur à pulsations s'obtient à partir de l'échantillonneur réel en faisant tendre la largeur des impulsions vers zéro en maintenant leur surface. On obtient en sortie une suite d'impulsions de Dirac, dont la surface est égale à la valeur du signal d'entrée divisée par la période d'échantillonnage. Fig. 11.7 Echantillonneur à pulsations. Ce modèle convient pour un signal d'entrée continu ou discret, il convient bien pour exprimer la sortie du calculateur de processus. Entre deux rafraîchissements du contenu du registre d'un convertisseur digital–analogique, la sortie analogique reste constante. Pour exprimer cette propriété, on définit l'élément de maintien, dont la valeur pendant une période d'échantillonnage est égale à la surface de l'impulsion de Dirac reçue en début de période. Fig. 11.8 Elément de maintien. La mise en cascade d'un échantillonneur à pulsations et d'un élément de maintien est un bon modèle d'un convertisseur digital–analogique, appelé aussi échantillonneur-bloqueur. 11.1.3 Boucle de réglage Les modèles développés au paragraphe précédent permettent d'expliciter tous les éléments d'une boucle de réglage assurée par calculateur de processus (fig. 11.9). Le système à régler, dont les signaux sont des fonctions continues du temps, est modélisé par une fonction de transfert continue Gs(s) (bloc 5). L'algorithme de calcul du régulateur, est modélisé par une fonction de transfert discrète G*R(z) (bloc 2). Le convertisseur analogique–digital (bloc 1) est modélisé par un échantillonneur idéal et le convertisseur digital–analogique (blocs 3 & 4) est modélisé par un échantillonneur-bloqueur.

xe xs

xe

t

xs

t

xe

t

xe xs

xs

t



Fig.

11.

9 B

oucl

e de

régl

age

écha

ntill

onné

w

y

ucm

u

* cm

u

' cm

e*

––

#

∩

GR*(

z)

Gs(s

)

w*

y*

1

2 3

4 5

w

t

w*

t

y*

t

u*cm

t u’cm

t

u cm

t

y

t



Dans la boucle de réglage apparaissent deux variables abstraites: s pour l'expression de la fonction de transfert du système à régler et z pour celle du régulateur digital. Pour dimen-sionner le régulateur ou analyser le comportement dynamique du système, il faut choisir (annexe 11B) une des variables abstraites pour effectuer les calculs, puis revenir le cas échéant dans la variable concrète temps. • Ou bien on calcule tout dans l'espace s, considérant que les instants d'échantillonnage sont

suffisamment rapproché pour qu'on puisse assimiler les signaux échantillonnés à des signaux continus (section 11.2). Dans ce cas, il faudra établir des fonctions de transfert approchées pour les blocs 2 à 4. On pourra alors largement appliquer les méthodes de dimensionnement et de calculs vues au chapitres 6 à 8.

• Ou bien on calcule tout dans l'espace z, après avoir traduit dans l'espace z la fonction de transfert du bloc 5. Il faudra transporter dans l'espace z les critères de dimensionnement établis dans l'espace s (sections 11.3 à 11.6).

11.1.4 Cycles limites La dimension finie des grandeurs digitales provoque une quantification (§ 11.1.2) qui intervient à chaque point d'un circuit de réglage où se produit une conversion. Dans un schéma de réglage, on peut représenter la quantification par un bloc "fonction non linéaire à gradins"(fig. 11.4).

Fig. 11.10 Circuit de réglage avec quantifications explicites. Souvent, c'est la quantification est la plus grossière dans la conversion analogique-digital, ce qui permet de négliger l'effet de la quantification dans la conversion digital-analogique. On se propose – sans démonstration mathématique rigoureuse – de mettre en évidence les effets de la quantification et de l'échantillonnage sur le comportement dynamique d'un système réglé comme celui représenté à la figure 11.11. Pour faciliter le raisonnement, on a choisi un simple régulateur R proportionnel ainsi qu'un organe de commande OCM idéal qui n'introduit pas de constante de temps, mais se content d'amplifier le signal reçu. Le système à régler S est d'ordre 3 ou 4 sans qu'on le précise explicitement. On étudiera le comportement dynamique de ce système pour une consigne constante avec comme condition initiale une écart de réglage non nul. Pour une description plus approfondie de ces phéno-mènes, on se reportera à des ouvrages spécialisés [1].

w

v

R OCM S

D/A

A/D

y

y# –

+ u#

cm ucm u



Fig. 11.11 Circuit de réglage avec la quantification la plus critique. Fig. 11.12 Comportement dynamique et formation des cycles limites. (Pour assister au développement de ce dia-gramme temporel, une animation pas-à-pas PowerPoint est accessible depuis la page html précédente)

w

v

R OCM S

A/D

y

y# –

+ ucm u

y

y#

w

u

∆yq

T Tc

t



Le quadrillage de la figure 11.12 exprime horizontalement les intervalles TE entre ins-tants d'échantillonnage et verticalement les pas de quantification ∆yq correspondant à la varia-tion du bit le moins significatif de la conversion. A l'instant zéro, la valeur initiale de la sortie y est arrondie au niveau de quantification le plus proche donne la grandeur de sortie échantil-lonnée y#[0]. On constate que l'écart de réglage initial vaut un pas de quantification. Le coef-ficient de proportionnalité du régulateur et celui de l'organe de commande définissent la va-leur de commande u[0+Tc] dont le changement intervient un temps de calcul plus tard. Le système réagit à cette nouvelle valeur de commande selon son comportement dynamique propre qu'on observe par la grandeur y(t). A l'instant d'échantillonnage, cette grandeur est de nouveau mesurée et quantifiée: y#[1]. On constate que l'écart de réglage nul. Le système réagit à la va-leur de commande nulle selon son comportement dynamique. Et ainsi de suite pour les ins-tants d'échantillonnage suivants. On observe des oscillations autour de la valeur de consigne qu'on appelle cycles limites ou encore bruit de quantification. On peut citer deux causes: • Des variations de la grandeur de sortie y(t) plus faibles qu'un pas de quantification ne sont

pas répercutées sur la valeur échantillonnée y#[k]. Pour des variations de l'ordre de grandeur du pas de quantification, le système réglé se comporte comme un réglage tout-ou-rien au niveau microscopique du bit.

• Entre deux instants d'échantillonnage, les variations de la grandeur de sortie y(t) ne sont pas prises en compte et la grandeur de commande reste constante. Le système réglé se comporte comme un système en boucle ouverte.

Souvent, le calcul se fait sur un nombre de bits plus importants que la conversion. La valeur de consigne peut se superposer exactement à un niveau de quantification comme dans l'exemple étudié (fig. 11.13b). Elle peut aussi se trouver à mi-distance entre deux niveaux (fig. 11.13c) ou en un point quelconque (fig. 11.13a). Selon le cas de figure, les oscillations pourront porter sur deux voire trois niveaux de quantification, et leur périodicité sur un nombre différent de périodes d'échantillonnage. a b c Fig. 11.13 Ecart de réglage et écart de réglage quantifié.

e# e# e#

e e e

∆yq

∆e#0


Jean-Marc Allenbach EIG 11–9 15–08–2003

11.2 RÉGLAGE PSEUDO-CONTINU 11.2.1 Réglage de processus réel: dimensionnements analytiques Le dimensionnement pseudo-continu d'un régulateur discret a ceci d'intéressant qu'on peut lui appliquer – moyennant certaines adaptations – les règles de dimensionnement établies pour les régulateurs continus (chap. 8). On se doute bien qu'un tel calcul ne peut être valable que si l'échantillonnage est suffisamment rapide par rapport au système pour qu'on puisse négliger ses effets. On a vu au chapitre 8 qu'il est judicieux de classer les constantes de temps du système à régler en constantes de temps dominantes – qu'on cherche à compenser par le numérateur du régulateur – et petites constantes de temps qui sont de faible influence sur le comportement dynamique du système. On peut définir la période d'échantillonnage T maximale en fonction de TDoMin la plus petite des constantes de temps dominantes.

TT

≤ DoMin2

(11.01)

Par cette approche, on obtient à partir du circuit de réglage de la figure 11.9 un circuit approximé par un modèle purement continu dont tous les blocs sont exprimés en fonction de la variable s. Fig. 11.14 Système échantillonné bouclé dans un modèle pseudo-continu. Si le système à régler est connu par sa fonction de transfert continue Gs(s), il faut établir une fonction de transfert continue pour chacun des autres blocs de manière à représenter au mieux la réalité. L'échantillonneur bloqueur est un bon modèle de la conversion digitale-analogique. On procédera par étape en calculant d'abord la fonction de transfert de l'élément de maintien recevant une impulsion de Dirac de surface u0. ucm'(t) = u0δ(t) (11.02) Selon la définition (§ 11.1.3), le signal de sortie est une fonction créneau. ucm(t) = u0ε(t) – u0ε(t – T) (11.03)

6 74444 84444

1 24444444444 34444444444

G so ( )

G zR∗ ( )

G ssv( )

G ss ( )

w

y yu yv

ucm u*cm u'cm e +

–

v

+ +

# ∩



Le quotient de la sortie sur l'entrée, exprimé dans l'espace s, définit la fonction de transfert.

( )G ses

sT

m =− −1

(11.04)

On obtient une fonction non rationnelle, ce qui nous empêche d'appliquer un certain nombre de méthodes de calcul bien pratiques tel le dimensionnement de Bode. On va donc l'approximer par une fonction rationnelle. Au développement limité d'ordre 1 de la fonction exponentielle, on lui préférera l'approximation de Padé dont la validité s'étend sur une plus large plage de pulsation (Annexe 11.C).

exx

x− ≅−+

1 051 05

.

. (11.05)

On peut injecter cette approximation dans (11.04).

( )G s

sTsT

sm ≅−

−+

11 051 05

.

. (11.06)

( )G sT

sTm ≅+1 05.

(11.07)

On ne démontrera pas ici la fonction de transfert qu'il faut attribuer à l'échantillonneur

pour qu'il sorte le signal ucm' de la relation (11.02) lorsqu'il est excité par un nombre u0 [4].

( )G sTe ≅1

(11.08)

On en déduit que l'échantillonneur-bloqueur, ou si on préfère le convertisseur D/A, introduit simplement une petite constante de temps supplémentaire dans le circuit de réglage.

( )G s G s G ssT

T T

eb e mDAC

DACavec

( ) ( )

.

= ≅+

=

11

05 (11.09)

Pour que le circuit de réglage soit entièrement déterminé, il faut encore calculer la fonction de transfert du régulateur. On va le faire pour un PID sur la base de son équation temporelle (7.32) dans laquelle les constantes sont désignées de façon légèrement différente.

( )u t k e t k e d kde t

dt

t

cm p i d= + +∫( ) ( )( )

τ τ0

(11.10)

Traduite dans le temps discret, l'intégration temporelle devient somme et la dérivée différence. Pour alléger l'écriture, on omet l'exposant *.

u k K e k K e j K e k e kj

k

cm p i d[ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ])= + + − −=∑

11 (11.11)

Pour éviter de calculer à chaque instant d'échantillonnage une somme de k termes, avec pour corollaire la réservation de k places mémoire, on préfère avoir recours au calcul récursif en définissant une variable auxiliaire xR, qui est la composante intégrale du régulateur. Cela permet d'écrire différemment (11.11).

x k K e j x k K e kj

k

R i R i[ ] [ ] [ ] [ ]= = − +=∑

11 (11.12)



u k K e k x k K e k e kcm p R d[ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ])= + + − −1 (11.13) Si on traduit dans l'espace de Laplace les relations (11.12) et (11.13), on peut calculer la fonction de transfert.

R s e R s K E ssT( ) ( ) ( )= +−i (11.14)

U s K E s R s K E s e E ssT( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))= + + − −p d (11.15)

R sKe

E ssT( ) ( )=− −

i

1 (11.16)

U s K E sKe

E s K e E ssTsT( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

−+ −−

−p

id1

1 (11.17)

Le quotient de la sortie sur l'entrée donne la fonction de transfert.

G s KKe

K esTsT

R pi

d* ( ) ( )= +−

+ −−−

11 (11.18)

La fonction n'est pas rationnelle, on a ici encore recours à l'approximation de Padé.

G s Ks T K

s TK

s Ts TR p

id* ( )

( . ).

≅ ++

++

1 051 05

(11.19)

Plutôt que qu'une somme de terme, on préfère la fonction de transfert en quotient de polynômes.

G ss T

K KK

s TK K K

K

sTK

s TR

p i

i

d p i

i

i

* ( )

. .

( . )=

++

++ +

+

105 0 25

1 05

2 2

(11.20)

En réalité, le calcul de ucm[k] par un processeur nécessite un temps de calcul Tc, qu'on peut traduire par un retard pur.

G ss T

K KK

s TK K K

K

sTK

s Te sT

R

p i

i

d p i

i

i

c* ( )

. .

( . )=

++

++ +

+

−1

05 0 25

1 05

2 2

(11.21)

On approxime par une fonction rationnelle; Tc étant très petit, on se contente du dévelop-pement limité d'ordre 1.

G ss T

K KK

s TK K K

K

sTK

s T s TR

p i

i

d p i

i

ic

* ( )

. .

( . )( )≅

++

++ +

+ +

105 0 25

1 05 1

2 2

(11.22)

On a établi au chapitre 7 la fonction de transfert d'un régulateur analogique.

G ss T s T

s Ts T T s T T

s TRn v

i

n v n v

i( )

( )( ) ( )=

+ +=

+ + +1 1 1 2 (11.23)

Si les numérateurs des deux régulateurs de construction différente sont du même ordre, le numérateur du système discret est plus élevé: il y a bien intégration pure, mais multipliée par deux cellules du premier ordre à petites constantes de temps: celle introduite par l'algorithme de calcul TpR (qui vaut 0.5 T pour le PID) et le temps de calcul Tc proprement dit. On peut construire GR*(s) la fonction de transfert du régulateur discret à partir de GR(s) celle du régulateur analogique.



G s G ss T s TR R

pR c* ( ) ( )=

+ +1

11

1 (11.24)

En comparant (11.22) et (11.23) à la lumière de (11.24), on peut identifier les termes.

TTK

T T TK K

K

T T TK K K

K

ii

n vp i

i

n vd p i

i

=

+ =+

=+ +2 05 0 25. .

(11.25)

On peut établir la fonction de transfert en boucle ouverte.

G s G s G s G s G ss T s T s T

G s01

1 11

1( ) * ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )= =

+ + +R eb s RpR c DAC

s (11.26)

La relation (11.26) montre que – pour un réglage pseudo-continu – tout se passe

comme si on avait un régulateur continu GR(s) qui agisse sur un système à régler qui est le processus proprement dit Gs(s) multiplié par trois cellules du premier ordre. Si on dimensionne un régulateur continu à l'aide d'une petite constante de temps équivalente Tpe, on utilise une autre petite constante de temps équivalente TpE pour dimensionner un régulateur discret par méthode pseudo-continue.

T T T T TpE pe pR DAC c= + + + (11.27) On peut donc dimensionner Tn et Tv en compensant les constantes de temps dominantes et Ti d'après TpE et le critère de la marge de phase (Nyquist) du rapport de pulsation (Bode) ou de la marge de stabilité relative (Evans) (sect. 8.3). On peut aussi dimensionner Tn , Tv et Ti par la méthode d'Evans (sect. 8.4). On calcule alors Kp, Kd et Ki de la relation (11.28), établie à partir de (11.25).

KTT

KT T T

TT T

TK

KT TT T

T T TT

T TT T

T TT

TT

T TT T

K K

ii

pn v

i

n v

ii

dn v

i

n v

i

n v

i

n v

i i

n v

i

p i

=

=+ −

=+

−

= −+ −

= −+

+

= − −

24 2 4

2 4

( ) (11.28)

La constante de temps TpR dépend du type de régulateur utilisé.

Régulateur P PI PD PID TpR 0 0 0.5 T 0.5 T Fig. 11.15 Petite constante de temps due à l'algorithme de calcul du régulateur.



Pour les autres types de régulateurs, on peut faire le même calcul qu'avec les équations (11.11) à (11.22). Le résultat de ces calculs est résumé au tableau 11.16. Régulateur GR*(s) Ki Kp Kd P kp kp

I 1 05+ s T

sT.

i

TTi

PI 1+ s T

sTn

i

TTi

T T

Tn

i

− 05.

PD ks Ts Tp

v11 05++ .

kp kT T

Tpv

i

− 05.

PID ( )( )

( . )1 1

1 05+ +

+s T s T

sT s Tn v

i

TTi

T T T

Tn v

i

+ −

T TT T

T T TT

n v

i

n v

i−

+ −24

( )

Fig. 11.16 Principaux régulateurs discrets et leur approximation pseudo-continue. 11.2.2 Réglage de processus réel: dimensionnements expérimentaux Lorsqu'on ne connaît pas la fonction de transfert du système à régler, on dimensionne le régulateur sur la base d'une mesure typique (section 8.2). Pour les critères de Ziegler-Nichols ou Chien-Hroner-Reswick, on corrige le tableau de dimensionnement sans changer le type de mesure sur l'installation réelle.

G s Ks T

s TR PJ

D( ) ( )= + +11

(11.29)

Régulateur KP TJ TD A B A B A&B

P T

T Tg

u +

TTT+u

g3,0 ∞ ∞ 0

PI TT

T+u

g9,0

TTT+u

g35,0 33 05. ( . )T Tu + g2,1 T 0

PID TT

T+u

g2,1

TTT+u

g6,0 2 05( . )T Tu + gT 05 05. ( . )T Tu +

Fig. 11.17 Dimensionnement pseudo-continu, A : Ziegler-Nichols, B : Chien-Hroner-Reswick.



De la relation (11.29), on tire la valeur du signal de commande à l'instant t = kT.

( )u kT K e kTKT

e d K Tde kT

dt

kT

cm PP

JP D= + +∫( ) ( )

( )τ τ

0 (11.30)

On déduit le signal discret en approximant explicitement l'intégrale par une somme de rectangle de largeur T et la dérivée par la différence entre deux points successifs divisée par T.

u k K e kKT

T e j K Te k e k

Tj

k

cm PP

JP D[ ] [ ] [ ]

( [ ] [ ])= + +

− −

=∑

1

1 (11.31)

Fig. 11.18 Signal avec approximation de son intégrale et de sa dérivée en k.

En identifiant avec (11.11), on déduit comment calculer Kp, Kd et Ki d'après les résultats du tableau 11.17.

K K

K KTT

K KTT

p P

i PJ

d PD

=

=

=

(11.32)

11.2.3 Régulateurs programmés

Sur la base de (11.12) et (11.13), on peut écrire une forme qui se programme mieux. u k K K K e k x k K e kcm p i d R d[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]= + + + − − −1 1 (11.33)

On en tire un algorithme de programmation en notation simplifiée. 1 lire y 2 e = w – y calcul de l'écart de réglage 3 ucm = xR + (Kp + Ki + Kd)e – Kd e1 calcul du signal de commande 4 sortir ucm 5 xR = xR + Ki e mise à jour de la composante intégrale précédente 6 e1 = e mise à jour de l'écart de réglage précédent 7 fin

e(t)

dd

e kTt

( )

t

ekT

( )dτ τ0∫



Cet algorithme sera parcouru à chaque instant d'échantillonnage. Les constantes Kp, Kd et Ki devront être stockées en mémoire non volatile et les variables e1 et xR devront être initialisées à zéro à l'enclenchement de l'installation. On peut traduire cet algorithme sous forme de schéma-bloc, dans lequel le retard d'une période d'échantillonnage est représentée par l'opérateur “z–1” (Voir Annexe 11.A); on a désigné par Kpid la somme de coefficients Kp + Ki + Kd.

x k z x k[ ] [ ]− = −1 1 (11.34)

Comme un régulateur continu, un régulateur discret peut être muni d'une limitation du signal de commande. Comme en continu, on prendra garde à éviter que la composant intégrale ne sature pendant le temps de limitation, ce qui provoquerait un retard d'action au moment du changement de signe de l'écart de réglage: blocage la composante intégrale pendant ce temps par dispositif antiwindup.

S6

S5S4

S3S2

S1

Limitation

1/Kpid

G4

KdG3

KpidG2

Ki

G1z

1

D2

z

1

D1

Fig. 11.19 Diagramme structurel d'un régulateur PID discret avec limitation et correction de la composante intégrale. On doit encore compléter l'algorithme par la limitation du signal de commande idéal. 1 lire y 2 e = w – y calcul de l'écart de réglage 3 uid = xR + (Kp + Ki + Kd)e – Kd e1 calcul du signal de commande idéal 4 si uid > umax calcul de la limitation 5 alors ucm = umax 6 sinon si uid < umin 7 alors ucm = umin 8 sinon ucm = uid 9 sortir ucm 10 elim = e – (uid – ucm ) /(Kp + Ki + Kd) dispositif antiwindup 11 xR = xR + Ki elim mise à jour de la composante intégrale précédente 12 e1 = e mise à jour de l'écart de réglage précédent 13 fin

elim[k]

e[k]

e[k-1]

w[k]

y[k]

uid[k] ucm[k]

xR[k]

xR[k+1]



On peut se demander s'il est vraiment légitime de calculer de manière continue un système échantillonné. Pour vérifier la validité de la méthode, on a comparé sur la figure 11.20 les valeurs des coefficients d'un régulateur PI discret obtenues par dimensionnement échantillonné – trait continu – (voir section 11.6) et par dimensionnement pseudo-continu – trait interrompu – avec un système à régler du second ordre.

Fig. 11.20 Coefficients d'un régulateur PI discret en fonction de T la période d'échantillonnage rapportée à T1 la constante de temps dominante du système à régler. [4] Méthode: pseudo-continue échantillonnée. 11.2.4 Régulateurs en simulation numérique

Avant d'appliquer un réglage sur une installation, il est bon de vérifier le

dimensionnement en simulation. Le langage MATLAB, et son éditeur de schéma-blocs SIMULINK se prêtent très bien à cet usage. Sous SIMULINK, on peut créer un régulateur en copiant simplement le schéma de la figure 11.19. On peut aussi utiliser des blocs tout faits en y injectant les coefficients du régulateurs. Ces blocs sont de deux types, qui correspondent aux deux formes d'écriture des fonctions de transfert sous MATLAB: Zero-Pole et Transfer Fcn.

Du schéma de la figure 11.19, on peut exprimer la fonction de transfert en z d'un

régulateur PID discret.

G z KK

zKzPID pid

i d* ( ) = +−

−1

(11.35)

On peut aussi l'écrire comme quotient de polynômes (voir aussi § 11.5.1).

G zK z K K z K

z zPIDpid p d d

* ( )( )

( )=

+ + +

−

2 21

(11.36)



Il s'agit donc d'un quotient de deux polynômes, chacun de degré deux. Etudions les deux manières d'écrire un quotient de polynômes de degré deux. Sous SIMULINK le bloc Transfer Fcn correspond à des polynômes développés.

G zb z b z b

z zPID

2 1 0* ( ) =+ +

−

2

2 (11.37)

En MATLAB, on peut définir cette fonction de transfert par deux vecteurs des coefficients des polynômes. »num=[b2 b1 b0];den=[1 -1 0]; (11.38)

Gpid=(num,den) (11.39)

Sous SIMULINK le bloc Zero-Pole correspond à des polynômes factorisés.

G z Kz z z z

z zPID R2* ( )

( )( )( )

=− +

−1

1 (11.40)

En MATLAB, on peut définir cette fonction de transfert par deux vecteurs des coefficients des polynômes. » zéro=[z1 z2];pôle=[0 1];gain=Kr; (11.41)

Gpid=(zéro,pôle,gain] (11.42) Si on a calculé le régulateur de manière analytique (11.23), on peut directement calculer la forme Transfer Fcn (11.43) ou la forme Zero-Pole (11.44).

num

den

n v n v

i

n v

i

n v n v

i=

+ + + − − + +

= −

[( ) ( )

]

[ ]

T T T T T TT T

T T TT T

T T T T T TT T

2 2 22 44

42

2 44

1 1 0 (11.43)

zéros

poles

gain

n v n v

i

n v n v

i

n v n v

i

=+ − − − − −

=

=+ + +

[( ) ( )

]

[ ]

( )

4 44

4 44

1 0

4 24

2 2

2

T T T T T TT T

T T T T T TT T

T T T T T TT T

(11.44)

Si on a calculé le régulateur de manière expérimentale (11.29), on peut directement

calculer la forme Transfer Fcn (11.45) ou la forme Zero-Pole (11.46).

num

den

PJ

DP

DP

D= + + +

= −

[ ( ) ( ) ]

[ ]

KTT

TT

KTT

KTT

1 1 2

1 1 0 (11.45)



zéros

poles

gain

D D

J

D

D D

J

D

PJ

D

=+ − −

+ +

+ + −

+ +

=

= + +

[( ) ( )

]

[ ]

( )

1 4 1 4

2 1

1 4 1 4

2 1

1 0

1

TT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

KTT

TT

(11.46)

Enfin, si on a déjà calculé les coefficients Kp, Kd et Ki , les expressions sont beaucoup plus immédiates, en particulier pour la forme Transfer Fcn. Pour la forme Zero-Pole, les expressions sont à peine moins simples. On lit en (11.47) les valeurs à insérer dans (11.38).

b Kb K K

b K K K K

0

1

2

2== − +

= + + =

d

p d

p d i pid

( ) (11.47)

On lit en (11.48) les valeurs à insérer dans (11.41).

z

gain

1p d p i d

pid

p d p i d

pid

pid

=+ − −

=+ + −

=

K K K K K

K

zK K K K K

K

K

2 4

2

2 4

2

2

2

2

(11.48)

On prendra garde à bien respecter la syntaxe MATLAB, en particulier utiliser le point

décimal et non la virgule qui sert de signe de séparation pour des variables différentes. Par ailleurs, la forme requiert un nombre de chiffres significatifs assez élevé (≥4) sous peine de comportement surprenant du à l'apparition de zéros conjugués complexes là où on attendait des zéros réels.

1.573(z-0.741)(z-0.472)

z(z-1)

DiscreteZero-Pole

1.573z -1.908z+0.552

z -z2

DiscreteTransfer Fcn

Fig 11.21 Blocs SIMULINK pour régulateur PID: Kp = 0.81 Ki = 0.55 Kd = 0.22 T = 0.15 [s].



11.3 SYSTÈMES ÉCHANTILLONNÉS 11.3.1 Réglage de processus réel: dimensionnements analytiques

Lorsqu'on est en présence d'un système continu réglé par un régulateur digital, on peut

décrire l'ensemble du problème par l'outil mathématique spécifique au temps discret: la trans-formée en z (annexe 11.A). Comme on avait – pour des systèmes continus – établi des rela-tions en s sur la base des équations différentielles, on établira – pour des systèmes échan-tillonnés – des relations en z sur la base des équations aux différences. Comme en continu, on établira des fonctions de transfert exprimant la relation entre signal de sortie et signal d'entréée d'un bloc fonctionnel.

On se limite ici à étudier deux cas: • La fonction de transfert échantillonnée Gs'(z) pour un système Gs(s) excité à travers un

échantillonneur - bloqueur. • La fonction de transfert discrète Gs*(z) pour un régulateur numérique excité à travers un

échantillonneur idéal. Pour tous les autres cas dont le besoin ne se fait pas ressentir pour la suite de l'exposé, on se reportera à des ouvrages plus fouillés [4]. La fonction de transfert échantillonnée se définit par analogie avec la fonction de transfert continue.

S z G z E z( ) ( ) ( )= (11.49) Fig. 11.22 Système continu avec échantillonneur à pulsation. Dans le cas d'un système physique, sa fonction de transfert continue Gs(s) est souvent connue. Pour calculer la fonction de transfert échantillonnée, on veut éviter de rechercher la fonction du temps correspondante, de la discrétiser, puis d'en chercher la transformée en z. On lui préfère le passage direct de s à z établi au § 11.A.6. Les pôles et zéros continus étant des valeurs particulières de s , on peut leur appliquer la définition (11.A09) pour définir les pôles échantillonnés zpi et les zéros échantillonnés zzj . z ep T

pii= (11.50)

z e z Tzj

j= (11.51)

On se propose d'illustrer notre propos par l'exemple d'un filtre du deuxième ordre qu'on veut échantillonner.

G s s T s T( ) ( )( )=+ +

11 11 2

(11.52)

Pour pouvoir appliquer la règle de calcul (11.A30), il faut d'abord écrire la fonction de transfert continue dans sa forme somme, après avoir mis en évidence les pôles pi = – Ti

-1.

G s T T s p s p( ) ( )( )=− −

1 11 2 1 2

(11.53)

G ss ( )y u* u'



G s T T p p s p p p s p( ) ( )=− −

−− −

1 1 1 1 11 2 1 2 1 1 2 2

(11.54)

On peut maintenant passer en z.

G zT T p p

zz z p p

zz z

( ) ( )=− −

−− −

1 1 1

1 2 1 2 1 1 2p p2 (11.55)

avec z e z ep T p Tp p21

1 2= = (11.56)

On en tire la forme quotient.

))((

)(p21p21

p21p

zzzzz

TTzz

zG−−−

−= (11.57)

Dans la pratique, on n'excite pas un système concret par une suite d'impulsions de Dirac, mais par une fonction escalier (§11.1.2). Fig. 11.23 Système continu échantillonné à travers un échantillonneur bloqueur (DAC). La fonction du système qui tient compte de l'élément de maintien peut être calculée à partir de (11.04).

G s G s G ses

G ssT

s m s s'( ) ( ) ( ) ( )= =− −1

(11.58)

Le calcul n'est pas trivial, le produit n'étant pas conservé dans le passage de s à z. G z G z G z( ) ( ) ( )≠ m s (11.59) Pour faciliter le calcul, on définit Gi(s) l'intégrale de la fonction de transfert du système, qu'on peut aussi écrire sous forme de somme.

G ss

G si s( ) ( )=1

– § G zi ( ) (11.60)

G sc

s pi

n

si

i( ) =

−=∑

1 (11.61)

G ss

cs p

cp s s pi

n

i

ni

i

i

i

i i( ) ( )=

−=

−−

−= =∑ ∑1 1 1

1 1 (11.62)

On applique le tableau des transformées (fig. 11.A03) pour calculer la fonction de transfert échantillonnée.

G zcp

zz

zz z

cp

z zz z zi

n

i

n

ii

i pi

i

i

pi

pi( ) ( )

( )( )( )

=− −

−−

=−

−

− −= =∑ ∑

1 1111

(11.63)

On applique le théorème du retard à cette fonction pour en tirer Gs'(z).

( ) ( ) '( )1− =−e G s G ssTi s – § G z

zz

G zs i'( ) ( )=− 1

(11.64)

G s' ( )s

1 24444 34444 G ss ( )

y u u* u'



On peut tirer la règle de calcul pour un système commandé à travers un convertisseur DAC modélisé par un échantillonneur bloqueur en injectant (11.63) dans (11.64).

G zz

zcp

zz

zz z

cp

zz zi

n

i

n

si

i pi

i

i pi'( ) ( ) ( )=

−− −

−−

=−

−−

−= =∑ ∑1

11

1

1 1 (11.65)

G zcp

zz zi

n

si

i

pi

pi'( )

( )( )

=−

−

−=∑

1

1 (11.66)

Il faut relever que, pour une constante de temps Tk de Gs(s) inférieure à T/5, le pôle échantillonné correspondant zpk est inférieur à 10-2. On peut dans ce cas se simplifier le calcul de Gs'(z) en négligeant le terme "(1 + s Tk)" dans l'expression de Gs(s); cela est particuliè-rement utile lors d'un dimensionnement sans assistance d'ordinateur. Fig. 11.24 Système discret Pour un système purement numérique, on part de l'équation caractéristique aux différences.

][*...]1[*

][*...]1[*][*][*

01n

01nnnkyakya

nkubkubkubky−−−−−

−++−+=

−

− (11.67)

Ici encore le théorème du retard permet le passage dans l'espace z.

)(*...)(*

)(*...)(*)(*)(*n

01

1n

n0

11nn

zYzazYza

zUzbzUzbzUbzY−−

−

−−−

−−−

+++= (11.68)

On exprime la fonction de transfert discrète en appliquant (11.49).

)(*)(*)(*

zUzYzG = (11.69)

G zb b z b z

a z a z* ( )

......

=+ + +

+ + +−

− −

−− −

n n 11 n

n1 n

0

1 01 (11.70)

Plutôt que la forme développée avec exposants négatifs de z, on lui préfère souvent la forme développée avec exposants positifs.

G zb z b z bz a z a

* ( )...

...=

+ + +

+ + +−

−

−−

nn

n 1n 1

nn

n 10

1 0 (11.71)

On ne signalera que les principales combinaisons de fonctions de transfert échantillonnées, sans les démontrer.

La fonction de transfert de deux systèmes en série, échantillonnés par deux échantillonneurs synchronisés, est le produit des fonctions de transfert de chaque système.

G z∗( ) y* u*



Fig. 11.25 Système continu échantillonné en série avec un système discret. G z G z G z( ) * ( ) ( )= a b (11.72) La fonction de transfert d'un système bouclé se calcule comme en continu. Fig. 11.26 Circuit de réglage échantillonné.

G zG z G z

G z G zcfR s

R s( )

* ( ) ' ( )* ( ) '( )=

+1 (11.73)

Pour calculer l'effet d'une perturbation, on calcule d'abord la sortie dans l'espace continu. La

fonction de transfert de perturbation a été obtenue par manipulation de blocs selon le chapitre 3.

Y s G s W s Y s G s V s( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )= − +0 sv (11.74)

Fig. 11.27 Circuit de réglage échantillonné avec perturbation. On note Yv(z) la traduction en z du signal de sortie de Gsv(s). Yv(z) § – Gsv(s)V(s) (11.75)

Y zG z G z W z Y z

G z G z( )* ( ) '( ) ( ) ( )

* ( ) '( )=+

+R s v

R s1 (11.76)

G s' ( )s

1 24444 34444

G zR∗ ( )

G ssv ( )

G ss ( )

w

y

w*

y*

yu yv ucm u*cm u'cm e* +

–

v

+ +

y* G s' ( )s

1 24444 34444 G zR

∗ ( ) G ss ( )

w

y

w*

ucm u*cm u'cm e* +

–

G za∗( ) G sb( )

u y y*a y'a u*



11.3.2 Réponse harmonique échantillonnée

La réponse harmonique continue a été définie comme la fonction de transfert continue dans laquelle la variable s est purement imaginaire: jω. On remplace donc s par jω dans la définition de z (11.A09).

z = e jωT = ejΩ (11.77) z j= +cos sinΩ Ω (11.78)

Fig. 11.28 Variable ejΩ dans le plan z.

On a introduit la pulsation réduite Ω qui inclut la période d'échantillonnage. Si, dans le plan s, jω décrit l'axe imaginaire, on s'est contenté des valeurs positives pour le calcul de la réponse harmonique en raison de la symétrie par rapport à l'axe réel. Dans le plan z l'axe imaginaire est envoyé sur le cercle unité selon par la fonction complexe (11.77). En raison de la périodicité de cette fonction, on a pas besoin de calculer jusqu'à ±∞, mais on peut se limiter à ±π . Pour la même raison de symétrie des fonctions rationnelles en z, on se contente de calculer la réponse harmonique échantillonnée pour 0 ≤ Ω ≤ π .

G j G z

z e j( ) lim ( )Ω

Ω=

→ (11.79)

A titre d'exemple, on peut calculer la réponse harmonique échantillonnée à T pour un filtre RC continu actif du premier ordre.

G zz

z e T RC( ) /=− − (11.80)

On obtient, en appliquant la définition, l'expression analytique de la réponse harmonique échantillonnée de ce filtre.

Ω+−Ω

Ω+Ω=Ω

− sincossincos)( / je

jjG RCT (11.81)

Il s'agit d'un demi-cercle suspendu à l'axe réel. On relèvera – contrairement au cas continu – que la réponse harmonique échantillonnée ne se termine pas à l'origine, mais à une valeur finie non nulle.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Ω

Plan z



Fig. 11.29 Réponse harmonique échantillonnée d'un filtre pour T/RC = 0,3. On peut aussi prendre comme exemple un filtre numérique du deuxième ordre.

G zb z b z

z a z a* ( ) =

+

+ +2

21

21 0

(11.82)

G jb b j b b

a a j a* ( )cos cos ( sin sin )

cos cos (sin sin )ΩΩ Ω Ω Ω

Ω Ω Ω Ω=

+ + ++ + + +

2 1 2 1

1 0 1

2 22 2

(11.83)

Fig. 11.30 Réponse harmonique discrète de (11.83): a0 = 0,75 a1 = –1 b1 = 1 et b2 = –0,25. 11.3.3 Réponse indicielle échantillonnée

La réponse indicielle échantillonnée H(z) est le produit de la fonction de transfert avec un

saut unité échantillonné. H z E z G z( ) ( ) ( )= (11.84)

γ[k] ú – § H zz

zG z( ) ( )=

− 1 (11.85)

-3 -2 -1 0 1 2 3 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

0.5

0.8

Ω=0

0.9 0.95

1

1.1

1.5

π G*(jΩ)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -2

-1.5

-1

-0.5

0 G (jΩ) Ω=0

0.1

π

0.4 0.2

0.6

1

1.6

2


Jean-Marc Allenbach 11–25 22-03-2005

11.4 STABILITÉ 11.4.1 Définition

Lorsqu'on a un système échantillonné bouclé, il est nécessaire de pouvoir évaluer sa stabilité,

comme on sait le faire pour un système continu. On va donc partir de ce qu'on connaît en continu pour le traduire en échantillonné. Fig. 11.31 Circuit de réglage échantillonné. On peut déterminer la stabilité d'un système continu en boucle fermée par l'étude de sa fonction de transfert Gf(s). On a vu au chapitre 6 qu'il est nécessaire que tous les pôles pi de Gf(s) soient à partie réelle négative.

p ji i i iavec= ± <σ ω σ 0 (11.86)

Pour un système échantillonné, on peut également calculer sa fonction de transfert en boucle fermée Gcf(z). Fig. 11.32 Modèle simplifié d'un circuit de réglage échantillonné. Pour traduire dans le plan échantillonné la condition (11.86) pour les pôles continus, on lui applique la définition (11.50) qui donne les pôles échantillonnés zpi.

z e e jj T Tpi i i

i i i= = ±±( ) (cos sin )σ ω σ ω ω (11.87)

On en tire le module.

| |z e iTpi = σ (11.88)

σ i pi< ⇒ <0 1| |z (11.89)

On tire donc la règle que pour que Gf(z) soit stable, tous ses pôles échantillonnés zpi doivent se trouver à l'intérieur du cercle unité.

G zR∗ ( ) G z' ( )s

w

y

w*

y*

u*cm u'cm e* +

–

Gcf(z)

w[k] y[k]



Fig. 11.33 Domaine de stabilité pour les pôles continus et échantillonnés. 11.4.2 Critères On peut aussi, comme en continu, établir des critères portant sur la réponse harmonique en boucle ouverte G0(jΩ) pour déterminer le comportement du système asservi. Fig. 11.34 Système échantillonné en boucle fermée.

Critère de Nyquist: On trace dans le plan complexe la réponse harmonique échantillonnée en boucle ouverte et on applique – comme en continu – le critère du revers par rapport au point «–1» pour déterminer le comportement en boucle fermée.

Fig. 11.35 Diagramme de Nyquist échantillonné.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

Go(jΩ)

Ω = 0 Ω = π

Ω

−1

a b c

Im Im

Re Re

stable instable

instable

stable

plan s plan z

1

G0(z)

w[k] y[k] e*[k]

–

+



Dans la figure 11.35, le tracé a correspond à un système stable en boucle fermée, le tracé b à un système en limite de stabilité et le tracé c à un système instable. Un système est stable si, en parcourant la réponse harmonique pour des pulsations de 0 à π , le point «–1» est laissé sur la gauche. Comme en continu, la marge de phase permettra de déterminer le dépassement D1 sur la réponse indicielle.

ϕϕϕ

M

M

M

= ° ⇒ ≅= ° ⇒ ≅≥ ° ⇒ ≅

45 16%63 5%76 0%

1

1

1

DDD

(11.90)

On prendra encore garde à respecter une marge de gain AM assez confortable. (on rappelle qu'il s'agit du nombre par lequel il faut multiplier G0 pour amener le système en limite de stabilité). AM > 2 5... (11.91)

Critère de Bode: par extension, on peut aussi appliquer ce critère en jouant sur le rapport de pulsations entre celle définie par un module unité de la réponse harmonique en boucle ouverte et celle définie par la cassure entre la pente de –1 et celle de –2.

On désire – par rapport à la stabilité définie (§ 11.4.1) – pouvoir être plus précis sur le

comportement dynamique. Critère d'Evans: Dans le plan s, on a défini des marges de stabilité absolue et relative. Il

s'agit de les traduire dans le plan z. Le temps de réponse maximal accepté impose que tous les pôles du système asservi se

trouvent à gauche d'une verticale définie par –ρi. p j yiy = − ±ρ (11.92)

Dans le plan z, cela correspond à un cercle de rayon e T−ρi centré à l'origine. z e eT jyT

yi= − ±ρ (11.93)

Ces deux limites sont dessinées en traitillé sur les figures 11.36 et 11.37. Les tronçons

renforcés en trait gras (bleu) sont correspondantes dans les plan s et z. Un dépassement de 5 % sur la réponse indicielle correspond à une marge de stabilité relative

de ψ = °45 définissant deux droites affines dans le plan s. p x j xx = − ± (11.94)



Dans le plan z, cela correspond à une cardioïde, ou plutôt deux spirales symétriques par rapport à l’axe réel (Figure 11.A.9).

z e xT j

x = − ±( )1 (11.95)

Ces deux limites sont dessinées en trait mixte sur la figure 11.36. Les parties renforcées en trait gras (rouge) sont correspondantes dans les plan s et z.

Fig. 11.36 Critère d'Evans dans les plans s et z pour un comportement optimal.

Un dépassement de 16 % sur la réponse indicielle correspond à une marge de stabilité

relative de ψ = °30 définissant deux droites affines dans le plan s.

zx

j xx = − ±3

(11.96)

Dans le plan z, cela correspond à une cardioïde.

z exT j

x =− ±( )

13 (11.97)

Ces deux limites sont dessinées en trait gras sur la figure 11.37. Tous les pôles du système devront donc se trouver dans la zone tramée (jaune) limitée par zx et zy pour respecter les exigences de temps de réponse et de dépassement prescrites par le cahier des charges.

-1 -0.5 0 0.5 1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Z

e–ρcliT

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

jπ/T

S

Ψcli

–ρcli



Fig. 11.37 Critère d'Evans dans les plans s et z pour un comportement unipériodique.

Pour éviter tout dépassement, les pôles continus doivent être réels. p xx = − (11.98) Dans le plan, cela correspond à des nombres réels positifs inférieurs à 1. z e xT

x = − (11.99) Plus généralement, pour un dépassement maximal 0 % < D1max < 100 %, on a aussi des

droites affines.

pD

j xx = − ±(ln[ max]

)1π

(11.100)

z exT

Dj

x =− ±(

ln)max1

π (11.101)

-1 -0.5 0 0.5 1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Z -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

jπ/T

S

–ρcli

Ψcli

Jean-Marc Allenbach 30 14/12/01

11. 5 REGULATEURS DISCRETS

11.5.1 Régulateurs classiques

Les régulateurs peuvent être représentés par une fonction de transfert échantillonnée:quotient de polynômes en z de degré 0 à 2. Leur expression dans le temps discret avait déjàété exprimée au paragraphe 11.2.1, de même que leurs algorithmes de calcul.

G zS zR z

K z z

z z

zkk

p

phh

qR

R

* ( )( )( )

( )

( )= =

−

−

=

=

∏

∏1

1

(11.102)

Pour les régulateurs classiques, tant p que q ne peuvent prendre que les valeurs 0, 1 ou2. Les valeurs de zph ne peuvent être que 0 ou 1. On a résumé les régulateurs classiques dansun tableau, dans lequel on constate que R(z) est entièrement défini dès qu'on a choisi le typede régulateur.

Régulateur R(z) S(z) b2 b1 b0

P 1 b0 – – Kp I z–1 b1z – Ki – PI z–1 b1z+b0 – Ki+Kp –Kp PID z(z–1) b2z2+b1z+b0 Ki+Kp+Kd –(Kp+2Kd) Kd PD z b1z+b0 – Kp+Kd –Kd PD2 z b2z2+b1z+b0 Kp+Kd+Kd2 –(Kp+2Kd2) Kd2

Fig. 11.38 Régulateurs classiques.

11.5.2 Autres régulateurs

D'autres régulateurs auront également une fonction de transfert sous forme de quotientde polynômes de degré non limité à 2. Les régulateurs RST sont de plus équipés d'un filtre deconsigne Gfl.

G zT zS zfl * ( )

( )( )

= (11.103)



11. 6 DIMENSIONNEMENT 11.6.1 Choix d'un régulateur classique Comme pour les régulateurs continus, on choisit un régulateur échantillonné d'après la fonction de transfert du système à régler, qui sera ici échantillonnée avec élément de maintien.

G zN zD z

K z z

z zs

s

s

zjj

m

pii

n' ( )( )( )

( )

( )= =

−

−

=

=

∏

∏

s1

1

(11.104)

L'idée maîtresse – comme en continu – est de compenser certains pôles du système à régler zpi par les zéros zzk du régulateur classique. On observera un certain nombre de règles: on ne compense pas un pôle décrivant une intégration pure (–1), on ne compense que les pôles dominants, et pas ceux de faible influence. Qu'entend-on par pôles dominants? On les mettra en relation avec les pôles continus. On peut ajouter encore le cas les très petits pôles, qu'on peut simplifier dans le calcul manuel: on divise Ns(z) et Ds(z) par (z – zpi), en négligeant le reste du numérateur.

Pôles dominants à compenser: 1 > zpi > 0,82 < = > –1/pi > 5T

Pôles à ne pas compenser: zpi < 0,82 < = > –1/pi < 5T

Pôles à simplifier: zpi < 6,7 10-3 < = > –1/pi < T/5

Ayant choisi les pôles à compenser, on a entièrement déterminé le régulateur, à l'exception de KR. D'après les relations (11.102) et (11.104), on peut exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte et y appliquer les critères de stabilité vus à la section 11.4. Les tableaux 11.39 et 11.40 guident le bon choix du régulateur.

G z G z G z KN zD zR s0

0

0( ) * ( ) ' ( )

( )( )

= ∗ = R (11.105)

Système à régler

sans comportement intégral

avec comportement intégral

plus petite constante de temps non compensée

S(z)

K D zR s ( ) K

D zzR

s ( )− 1

KD z

z zRs

pn

( )−

ns = 1

PI P I

ns = 2

PID PD PI

ns = 3 – PD2 PID Fig. 11.39 Guide de choix de régulateurs classiques.



G zN zD zs

s

s' ( )

( )( )

=

deg[Ds(z)] = n zpi>0,82 i = 0...k < n

k = 0 k =1 k= 2 k ≥ 3 zp1 ≠ 1 zp1 ≠ 1 ≠ zp2

zp1 = 1 zp2 = 1 zp3 = 1

P PD PD2 S(z) = KR S(z) = KR(z–zp1) S(z) = KR(z–zp1)(z–zp2)

I PI PID S(z) = KR S(z) = KR(z–zp1) S(z) = KR(z–zp1)(z–zp2)

G0(z) = GR*(z) Gs’(z)

choix de la méthode

Réponse harmonique échantillonnée Lieu des pôles échantillonné

calcul de KR

Fig. 11.40 Dimensionnement d’un régulateur échantillonné. Après avoir déterminé, G0(jΩ), il ne reste donc qu'à déterminer KR.



11.6.2 Critère de Nyquist Comme dans le cas continu, le critère porte sur la réponse harmonique en boucle ouverte pour déterminer la stabilité du système réglé Gcf(z). Pour appliquer ce critère on définit une fonction F(jΩ):

RK

jGjF )()( 0 Ω=Ω (11.106)

On trace F(Ω) et on cherche son intersection – à la pulsation Ωx – avec la demi-droite définie par la marge de phase ϕM = x + 180°, d'où on détermine KR.

[ ] [ ]°=Ω

Ω=

xjFjFK R

)(argavec)(

1

x

x (11.107)

On vérifie encore que, pour cette valeur de KR, on observe une marge de gain AM supérieure à 6 [dB] (facteur 2).

[ ] °−=Ω

≤Ω

180)(argavec5,0)(

1800

1800jG

jG (11.108)

On rappelle les valeurs de phase: x ≤ –104° pour une réponse indicielle sans dépassement (D1 = 0 %) x = –116,5° (~120°) pour une réponse indicielle optimale (D1 = 5 %) x = –135° pour une réponse indicielle unipériodique (D1 = 17 %)

Fig. 11.41 Exemple du critère de Nyquist pour comportement optimal (Ωx = Ω120).

-1 -0.5 0 0.5 -1

-0.5

0

0.5

arg(F(jΩx))

ϕM

F(jΩ)

G0(jΩ)

|F(jΩx)|

AM



11.6.3 Critère de Bode Comme dans le cas continu, il existe une relation entre le rapport ωc/ω1 et le dépassement D1 sur la réponse indicielle de Gcf(z). Fig. 11.42 Réponse harmonique continue (module). Dans le cas présent, la forme de la réponse harmonique échantillonnée – composée de nombres complexes de la forme cosΩ – zpi + j sinΩ – ne permet pas un tracé manuel simple par segments de droites. On aura recours à une aide informatique. La difficulté est de déterminer ωc. On sait que la phase peut être approximée à –90° lorsque la pente du module vaut –1 et à –180° lorsqu'elle vaut –2; à ωc, on peut l'admettre à –135° (voir vol. 1, chap. 3 et 4). On lira ωc sur le graphe de phase lorsque celle-ci vaut –135°. On détermine ω1 alors d'après le comportement dynamique recherché: ωc/ω1 =ωc/ω1 ≥ 4 pour une réponse indicielle sans dépassement (D1 = 0%) ωc/ω1 =ωc/ω1 = 2 pour une réponse indicielle optimale (D1 = 5%) ωc/ω1 =ωc/ω1 = 1 pour une réponse indicielle unipériodique (D1 = 17%). Il reste à lire la valeur du module pour ω1, ce qui permet de calculer KR.

KFR = 1

( )Ω1 (11.109)

100

101

102

103

104

-300

-200

-100

0

Fré quence [rad/s]

Pha

se [°

]

( 73.7846 , -135 )Wc

100

101

102

103

104

10-10

100

Fré quence [rad/s]

Am

plitu

de

Diagramme de Bode : Go(z)= ----------------------------------------------------------------------2*5.0337e-005*(z+0.98842)(z-0.96923)*(z-0.9963)

( 36.8924 , 0.29678 )W1

Fig. 11.43 Exemple du critère de Bode pour comportement optimal.

log|G(jω)|

ω1 =Ω1T

ωcc

T=Ω

logω

|Go(jω)|



11.6.4 Critère d'Evans Comme dans le cas continu, on peut exprimer l'équation (11.110) des pôles en boucle fermée à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte (11.105).

0 0 0= +K N z D zR ( ) ( ) (11.110) On doit tracer le lieu des pôles et le superposer à la zone du plan complexe – limitée

par le contour d'Evans – dans laquelle tous les pôles doivent se trouver pour que le cahier des charges soit respecté (fig.11.36 et 11.37). Les intersections du lieu des pôles avec le contour d'Evans donnent les valeurs extrêmes de KR permettant le respect du cahier des charges. Le tracé du lieu et la recherche des intersections sont toutefois plus ardus que dans le plan continu, ce qui impose l'aide de méthodes numériques programmées. On choisira ensuite librement une valeur de KR comprise entre les extrêmas calculés.

Fig. 11.44 Critère d'Evans.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

KRmax KRmin

KR



11.6.5 Calcul des coefficients du régulateur Le dimensionnement des paragraphes précédents donne le régulateur sous forme de zéros de pôles et de gain. L'algorithme programmé l'exprime par des coef-ficients (sect. 11.2), mis en évidence au tableau 11.38. L'exemple pour un PID est présenté ci-dessous, pour les autres régulateurs, on procédera de la même manière: S z K K K z K K z K K z z z zp p( ) ( ) ( ) ( )( )= + + − + + = − −i p d p d d R

21 22 (11.111)

K K z zK K z z K K z z z zK K K K K z z z z

p p

p p p p p p

p p p p

d R

p R d R

i R p d R

=

= + − = + −

= − − = − − +

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 21

( ) ( )( )

(11.112)

11.6.6 Régulateurs en simulation On peut introduire les régulateurs dans une simulation MATLAB. Pour la forme Zero-Pole, c'est immédiat.

zéros

polesgain

p1 p2

R

=

==

[ ]

[ ]

z z

K0 1 (11.113)

Pour la forme Transfer Fcn , le calcul reste simple. num

denR R p1 p2 R p1 p2= − +

= −

[ * ( ) * * )]

[ ]

K K z z K z z

1 1 0 (11.114)

11.6.7 Autre imposition des zéros Plutôt que de compenser les pôles dominants – différents de 1 – du système à régler, on peut aussi imposer selon d'autre critères les zéros du régulateur, par exemple en privilégiant le comportement dynamique face en une perturbation en s'inspirant des réflexions des paragraphes 8.3.4 et 8.4.5 . On se base sur le petit pôle équivalent zppE. 4 ppEzR1 zz = (11.115)

Il faut toutefois rappeler que, dans ce cas, ce zéro se retrouve parmi les zéros du système global, provoquant un dépassement accru sur la réponse indicielle par rapport à celui qu'on obtiendrait avec les pôles seuls (§ 6.6.5 et 8.3.4).Il faut donc ajouter un filtre de consigne qui admet un pôle égal au zéro subsistant dans le système en boucle fermée. Cette structure de régulateur avec filtre de consigne peut être considéré comme un régulateur RST minimal. Il se peut qu'on ne trouve pas de valeur de gain KR qui permette le respect simultané des conditions du cahier des charges: certains pôles demeurent hors du contour d'Evans. On



peut alors ajouter au régulateur une paire zéro–pôle (dipôle) de manière à rapprocher du centre du disque de rayon e–ρT le lieu des pôles en boucle fermée. L'effet de contraction du lieu des pôles est obtenu si le zéro occupe l'extrémité droite du dipôle [20].

11.6.8 Imposition des pôles en boucle fermée On peut aussi s'inspirer des méthodes développées à la section 8.4 en choisissant une paire de pôles dominants en boucle fermée à l'intersection du cercle et de la cardioïde définis par le cahier des charges. Le régulateur peut ensuite être construit à l'aide des conditions des angles et des modules. On se souvient qu'un régulateur PI admet un pôle à 1 et un PID deux pôles à 1 et 0. Les zéros du régulateur se construisent alors par la condition des angles et son gain se calcule par la condition des modules. Seul un zéro du régulateur est effectivement calculé, le deuxième d'un PID doit être choisi par l'utilisateur, par exemple pour compenser celui des pôle qui est le plus proche de 1.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

zpf1

Fig. 11.45 Pôles (x) et zéros (o) en boucle ouverte et pôle imposé (+) en boucle fermée.

Lorsque le cahier des charges ne peut pas être atteint avec seulement deux zéros du

régulateur situés entre 0 et 1, il faut faire appel à un régulateur polynomial pour lequel il faut choisir un troisième pôle, à l'origine ou en tout cas tout proche de zéro, comme déjà mentionné au paragraphe précédent. Le choix d'un deuxième zéro permet de contracter le lieu des pôles en boucle fermée et ainsi d'obtenir par calcul un troisième zéro inférieur à 1.

L'expérience professionnelle peut conduire à d'autres choix que la compensation du

pôle dominant, en particulier lorsqu'on veut à la fois obtenir de bonnes performances face aux variations de consigne et face aux variations de perturbation.



11.6.9 Filtre de consigne et RST Si on dimensionne le régulateur – polynômes R(z) et S(z) – pour privilégier le comportement dynamique lors de l'intervention d'une perturbation, comme cela est évoqué aux deux paragraphes précédents, on peut être conduit à adjoindre un filtre de consigne pour que le comportement face à une variation de consigne soit convenable. En effet, un dimensionnement privilégiant un bon rattrapage de consigne aboutit souvent à une réponse indicielle de consigne apériodique à fort dépassement, dû à la subsistance d'un zéro en boucle fermée par le régulateur. L'idée est de compenser ce zéro de transmission par un pôle au filtre de consigne qui admet un zéro à l'origine, en veillant à préserver un gain unité. Pour un régulateur RST, les pôles du filtre sont identiques aux zéros du régulateur, dont certains ne sont peut-être pas gênants en boucle fermée, les pôles du filtre qui ne compensent pas des zéros en boucle ouverte ont pour effet un ralentissement malvenu du réglage. L'astuce consiste à placer des zéros dans T(z) pour annuler les pôles qu'on ne veut pas introduire dans le filtre de consigne. La règle du gain unité du filtre doit en tout cas être observée. Les ouvrages de régulation proposent d'autres stratégies – plus sophistiquées – de dimensionnement de régulateur RST, mais qui ne donnent pas un résultat unique et requièrent aussi des choix arbitraires du concepteur [20]. Cette stratégie du filtre de consigne peut aussi être appliquée lorsque le système à régler n'est pas connu de manière analytique et qu'on a dimensionné le régulateur par Chien-Hroner-Reswick ou Ziegler-Nichols (sect. 8.2) puis converti dans le plan échantillonné (§ 11.2.2). Le choix du filtre peut être ici un peu plus laborieux, par notre méconnaissance du processus, mais l'idée reste de compenser le zéro du régulateur – qui subsiste en boucle fermée, en particulier avec Chien-Hroner-Reswick – par un pôle du filtre de consigne.



11. 7 EXEMPLES DE DIMENSIONNEMENT DE RÉGULATEURS DISCRETS 11.7.1 Système à régler et spécifications pour le système réglé. On prend un exemple de système à régler. Fig. 11.701 Système à régler. On exprime les exigences du cahier des charges pour: La consigne: temps de réponse inférieur à tr = 40 [ms] et dépassement

inférieur à D1 = 5 %. Une perturbation de 0,1: écart de réglage inférieur à e = 0,25 et temps de correction

inférieur à tcp = 100 [ms]. On veut assurer le réglage avec un microcontrôleur dont la période d'échantillonnage est fixée à 2 [ms] et qui exécute un calcul signal de sortie en 50 [µs]

On établit la fonction de transfert du système à régler à travers le convertisseur DA.

G zz z

z z zs ' ( ), ( . )( , )

( , )( , )( , )=

+ +− − −

−2 1712 10 3104 0 21900 5134 0 9048 0 9941

3

(11.701)

11.7.2 Compensation des pôles dominants du système à régler. On applique la compensation décrite au paragraphe 11.6.1.

G z Kz z

z zR R* ( )( , )( , )

( )=

− −−

0 9048 0 99411

(11.702)

On fait calculer le lieu des pôles en boucle fermée, en partant de la fonction de transfert en boucle ouverte G0(z) =GR*(z)Gs'(z), selon la méthode décrite au paragraphe 11.6.4 pour KR ∈ [4,5 ; 9].

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagramme de Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)/(z*(z-1)*(z-0.5134))

Fig. 11.702 Lieu des pôles avec régulateur (11.702).

51 0 02+ s ,

8

1 0 34+ s ,1

1 0 003+ s ,

v u y

+ +



Tout choix à l'intérieur de l'intervalle permet de respecter le cahier des charges. On choisit la valeur supérieure.

G zz z

z zR * ( )( , )( , )

( )=

− −−

90 9048 0 9941

1 (11.703)

On vérifie le comportement dynamique, avec une perturbation qui intervient 100 [ms] après la variation de consigne.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 ( 0.12332 , 1.2346 )

( 0.026108 , 1.0452 )

( 0.017592 , 0.95 )

Fig. 11.703 Comportement dynamique avec régulateur (11.703). Si le comportement dynamique face à une perturbation donne satisfaction (D1 = 4,5 % et tr = 17,6 [ms]), le comportement dynamique face à une perturbation est insuffisant. Certes l'erreur maximale n'est pas dépassée, mais sa correction met beaucoup trop de temps. A partir de (11.702), on peut aussi faire tracer la réponse harmonique selon la méthode décrite au paragraphe 11.6.3 pour KR = 1. On applique ensuite le critère du rapport de pulsation.

10

010

110

210

310

4-400

-300

-200

-100

0

Phase [°]

( 164.6203 , -135 )

100

101

102

103

104

10-10

100

Fréquence [rad/s]

Amplitude

Diagramme de Bode : Go(z)= -----------------------------------------------------------------------2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)(z*(z-1)*(z-0.5134))

( 82.3102 , 0.1313 )

Fig. 11.704 Réponse harmonique avec régulateur (11.702).



Pour la moitié de la pulsation de cassure ωc = 164 [s–1], on observe un module de 0,1313. On adopte donc KR = 1/0,1313 = 7,6.

G zz z

z zR * ( ) ,( , )( , )

( )=

− −−

7 60 9048 0 9941

1 (11.704)

A partir de (11.702), on peut aussi faire tracer la réponse harmonique selon la méthode décrite au paragraphe 11.6.2 pour KR = 1. On applique ensuite le critère de la marge de phase.

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0Diagramme de Nyquist échantillonné: Go = -----------------------------------------------

2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)(z*(z-1)*(z-0.5134))

( 0.11358 , -116.5° )

Fig. 11.705 Réponse harmonique avec régulateur (11.702).

Pour une marge de phase ϕM = 63,5 [°], on observe un module de 0,1136. On adopte donc KR = 1/0,1136 = 8,8.

G zz z

z zR * ( ) ,( , )( , )

( )=

− −−

8 80 9048 0 9941

1 (11.705)

Avec ces régulateurs, on obtient quasiment le même comportement qu'à la figure 11.703, avec un dépassement un tout petit peu plus faible par le dimensionnement de Bode. 11.7.3 Calcul pseudo–continu On part de la fonction de transfert de la figure 11.701. On compense les deux constantes de temps dominantes du système à régler par celles du régulateur.

G ss s

s TRi

( )( , )( , )

=+ +1 0 02 1 0 34

(11.706)

On calcule la constante de temps d'intégration selon le critère de Bode optimal. T K Ti s pE s= = + + =2 2 40 0 003 0 001 0 001 0 4( , , , ) , [ ] (11.707) De là on peut calculer la fonction de transfert échantillonnée.



K K

K

i

d

p= = =+

− =

= − − =

0 0020 4

0 0050 34 0 02

0 40 025 0 895

0 34 0 020 002 0 4

0 8952

0 0054

8 05

,,

,, ,

,, ,

, * ,, * ,

, ,,

(11.708)

G zz z

z zR * ( ) ,( , )( , )

( )=

− −−

8 950 9941 0 9047

1 (11.709)

Le régulateur obtenu est extrêmement proche de ceux obtenus par les dimensionnement d'Evans et de Nyquist. Le comportement dynamique ne présente pas de différence perceptible par rapport à celui obtenu par Evans (fig. 11.703). 11.7.4 Imposition de zéro différent d'un pôle du système à régler On essaye un choix de zéro selon 11.6.7. zzR1 = =0 5134 0 84354 , , (11.710)

On compense le deuxième pôle par l'autre zéro du régulateur.

G z Kz z

z zR R* ( )( , )( , )

( )=

− −−

0 9048 0 84351

(11.711)

On fait tracer les lieu des pôles pour KR ∈ [4,5; 20].

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diagramme de Evans de2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.8465)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9941))

Fig. 11.706 Lieu des pôles avec régulateur (11.711).

On choisit KR = 9 qui correspond à la valeur la plus proche du cahier des charges, mais on s'attend à des valeurs plus élevées que requises, tant pour le dépassement que pour le temps de réponse.

G zz z

z zR * ( )( , )( , )

( )=

− −−

90 9048 0 8435

1 (11.712)



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 ( 0.025775 , 1.5721 )

( 0.071672 , 0.95 )

Fig. 11.707 Comportement dynamique avec régulateur (11.712).

Comme prévu, on observe un très fort dépassement (57 %) et un long temps de réponse (72 [ms]): aux pôles complexes à forte composante imaginaire s'ajoute l'effet du zéro voisin. On ajoute donc un filtre de consigne pour compenser ce zéro.

G zz

zlc * ( ),

,=

−0 135

0 8435 (11.713)

0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5 0 .3

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

( 0 .0 3 7 9 0 3 , 1 .2 3 2 1 )

Fig. 11.708 Comportement dynamique avec régulateur (11.712) et filtre de consigne (11.713).

Le filtre de consigne a certes contribué à réduire le dépassement, mais la forte partie imaginaire des pôles reste prépondérante. On essaye un nouveau choix de zéro, plus à droite, donc plus actif.

)1(

)9048,0)(8920,0()(* RR −−−

=zzzzKzG (11.714)

On fait tracer le lieu des pôles en boucle fermée pour KR ∈ [4,5 ;12].



-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagramme de Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.892)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9941))

Fig. 11.709 Lieu des pôles avec régulateur (11.714). On exprime les pôles en boucle fermée pour la valeur KR =12. polebf = 0.8460+0.2244i 0.8460–0.2244i 0.8147 –0.0253 (11.715)

Le zéro 0,8435 subsiste en boucle fermée. On prévoit d'emblée un filtre de consigne.

G zz

zlc * ( ),

,=

−0 135

0 8435 (11.716)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

( 0.036192 , 1.0461 ) ( 0.026958 , 0.95 )

( 0.11531 , 1.1739 )

( 0.15017 , 0.99 )

Fig. 11.710 Comportement dynamique avec régulateur (11.714) pour KR = 12, avec filtre (11.716). On a obtenu cette fois le comportement désiré: l'effet du zéro est compensé par le pôle du filtre de consigne et celui des pôles complexes à forte partie imaginaire est contrecarré par le pôle réel voisin 0,8147.



11.7.5 Imposition des pôles en boucle fermée On définit les pôles et zéros du système à régler selon (11.701) On fixe le pôle dominant en boucle fermée selon le cahier des charges pour la réponse indicielle de consigne. D

t p

1

r f1ms

≤ ⇒ = °

= ⇒ = − = −

5% 45

402 1

0 0452 5

Ψ

[ ] PE( ),

,,

⇒ = − ±p jf1 52 5 52 5, , (11.717)

On en déduit le pôle dominant dans le plan z. z e jp T

pf1 = = +1 0 8954 0 0944, , (11.718) A priori, on choisit un régulateur PID, ce qui impose deux pôles 0 et 1 en boucle

ouverte.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Diagramme d'Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9048)*(z-0.9941))

0,8954+0,0944j

Fig. 11.711 Pôles (x) et zéros (o) en boucle ouverte et pôle imposé (+) en boucle fermée. On calcule l'angle total dû aux zéros du régulateur par la condition des angles. α β β β β β α αtot R1= − °+ + + + + − − = °180 203 61 2 3 2 1 2R , (11.719) On choisit de compenser le pôle dominant par zn, ce qui détermine zv. zn = 0 9941, (11.720) zv = 0 8560, (11.721) On calcule le gain par la condition des modules. Le régulateur est alors entièrement défini.

G zz z

z zR* ( ) ,

( , )( , )( )

=− −

−4 756

0 9941 0 85601

(11.722)

On vérifie si le comportement dynamique est conforme aux attentes.



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.044797 , 1.0937 )

( 0.13196 , 1.3328 )

Fig. 11.712 Comportement dynamique avec régulateur (11.722) sans filtre de consigne. Le cahier des charges n'est respecté ni pour le dépassement face à la variation de consigne ni pour le comportement face à une variation de perturbation. Pour expliquer, on fait tracer le lieu des pôles en boucle fermée.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.856)*(z-0.9941)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9048)*(z-0.9941))

Fig. 11.713 Pôles (+) et zéros (o) en boucle fermée avec régulateur (11.722).

Outre la paire de pôles qu'on a imposée, on observe le zéro non négligeable en 0,856 – dû au régulateur – qui est responsable du dépassement et un pôle issu de 0,5134 – en 0,63 – dont l'effet est insuffisant pour limiter le dépassement. On pourrait placer un filtre de consigne, mais cela ne réglerait pas le problème de la lenteur de correction de l'écart dû à la perturbation. On préfère donc choisir un zéro de manière à obtenir en boucle fermée un dipôle dont le pôle est à gauche. On place le zéro entre 0,9941 et 0,9048, d'où on calcule l'autre.

zn = 0 92, (11.723) zv = 0 9103, (11.724) KR = 7 1409, (11.725) On en tire le régulateur.



G zz z

z zR* ( ) ,

( , )( , )( )

=− −

−7 141

0 92 0 91031

(11.726)

On place encore un filtre de consigne estimé sans trop d'investigation pour compenser

l'effet des zéros en garantissant un gain unité.

G zzlc

* ( ),

,=

−0 075

0 925 (11.727)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.12144 , 1.2417 )

( 0.046164 , 0.95 )

Fig. 11.714 Comportement dynamique avec régulateur (11.726) avec filtre de consigne (11.727). Cette fois, le cahier des charges est respecté pour la consigne et pour une perturbation. Par cet exemple traité par différentes méthodes, on a pu démontrer que chacune d'entre elles peut être appliquée, sous réserve d'une approche soigneusement réfléchie si on veut obtenir de bonnes performances tant pour le comportement dynamique en présence de perturbation que pour le comportement face à un changement de consigne. On peut, pour le filtre de consigne, entrer complètement dans la conception de régulateur RST en choisissant S(z) pour le dénominateur du filtre. On a choisi ensuite un zéro voisin – pour garantir un dépassement de consigne inférieur à 5 % – et un gain unité du filtre. Ce choix s'est fait de manière pragmatique.

G zz

z zlc* ( )

, ( , ), ( , )( , )

=−

− −0 51 0 9

7 141 0 92 0 9103 (11.728)



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.070065 , 1.0312 )

( 0.049781 , 0.95 )

( 0.12144 , 1.2381 )

( 0.15107 , 1.05 ) ( 0.15107 , 1.05 )

Fig. 11.715 Comportement dynamique avec régulateur (11.726) avec filtre de consigne (11.728). Toutes les exigences du cahier des charges sont tenues, l'erreur due à l'apparition de perturbation est corrigée à 5 % près en 51 [ms] et à 1 % près en 95 [ms].


Jean-Marc Allenbach & Francis Marchino 11–49 16-11-2000

11.A ANNEXE: TRANSFORMÉE EN Z 11.A.1 Motivation Comme pour les systèmes continus où on utilisait la transformée de Laplace pour ramener le calcul différentiel dans le temps à un calcul simplement algébrique dans un espace abstrait, on veut se simplifier le calcul pour des systèmes échantillonnés. Comme on le verra ci-dessous, l'application de la transformée de Laplace à des fonctions discrètes donne des fonctions très lourdes à manier, voire transcendantes; le but de simplification n'est pas atteint. On développera donc un outil spécifique inspiré du précédent: la transformée en z. 11.A.2 Définition Dans les applications, on a souvent à faire au lieu d'une fonction continue f(t), à une suite de valeurs f[k] (k entier) qui ont été mesurées à certains intervalles de temps. C'est en particulier le cas lorsqu'on fait appel à des systèmes numériques. Une fonction du temps est lue aux instants t = 0, t = T, t = 2T, ..., t = kT, T étant la période d'échantillonnage. f k f kT[ ] ( )= (11.A01) f(t) f[3] f[4] f[n+1] f[2] f[n] f[1] f[5] f[6] f[n–1] T 2T 3T 4T 5T 6T (n–1)T nT (n+1)T t Fig. 11.A01 Fonction échantillonnée dans le temps. Pour pouvoir traiter une telle suite par la transformée de Laplace (L ), on fait correspondre à la suite f[k] une fonction escalier ~( )f t . ~( )f t f[3] f[4] f[n+1] f[2] f[5] f[n] f[1] f[6] f[n–1] T 2T 3T 4T 5T 6T (n–1)T nT (n+1)T t Fig. 11.A02 Fonction escalier dans le temps.



~( ) [ ] ( )f t f n n T t n T= ≤ < +pour 1 (11.A02) La fonction ~f est continue par morceaux, on peut donc en calculer sa transformée de Laplace.

L ~ [ ] [ ]

[ ] [ ]( )

( ) ( )

( )

f e f n dt f ne

s

f ne e

sf n

e es

st

nT

n T

n

st

n nT

n T

snT s n T

n

snT sT

n

= =−

=−

=−

−+

=

+∞ −

=

+∞ +

− − +

=

+∞ − −

=

+∞

∫∑ ∑

∑ ∑

1

0 0

1

1

0 0

1 (11.A03)

On peut mettre en facteur les fonctions indépendantes de n.

L ~ [ ]fes

f n esT

snT

n=

− −−

=

+∞

∑1

0 (11.A04)

Chaque fois qu'on applique la transformée de Laplace à une fonction escalier apparaît le terme (1 – e-sT)/s. Il est judicieux de simplifier l'écriture en définissant la transformée de Laplace discrète D.

D [ ] [ ]f k f k e skT

k= −

=

+∞

∑0

(11.A05)

La transformée de Laplace discrète peut aussi s'interpréter comme une transformée de Laplace normale portant, non sur une fonction, mais sur une distribution. En effet, la suite (f[k]) peut être interprétée comme un peigne de Dirac pondéré par les valeurs f[k].

( [ ]) [ ] ( )f k f k t kTk

= −=

+∞

∑ δ0

(11.A06)

Comme les valeurs f[k] proviennent d'une fonction temporelle f(t), on peut définir la

distribution f*(t).

f t f t t kTk

*( ) ( ) ( )= −=

+∞

∑δ0

(11.A07)

On peut appliquer la transformée de Laplace à la distribution f*(t).

L L L

D

* ( ) [ ] ( ) [ ] ( )

[ ] [ ]

f t f k t kT f k t kT

f k e f k

k k

k

snT

= − = −

= =

=

+∞

=

+∞

=

+∞−

∑ ∑

∑

δ δ0 0

0

(11.A08)



On peut donc traiter les problèmes faisant intervenir des suites en leur appliquant la transformée de Laplace discrète. Les calculs se simplifient encore si on effectue un changement de variable de s à z. z esT= (11.A09)

On peut définir à partir de (11.A05) la fonction transformée en z par l'opérateur Z..

F z f k z f kk

k( ) [ ] [ ]= =−

=

∞

∑0

Z (11.A10)

On allège volontiers l'écriture par une notation spécifique pour exprimer la relation

entre une fonction discrète du temps et sa correspondante dans l'espace z. f[k] – F(z) (11.A11) La série (11.A10) est une série de Laurent. Si elle converge, elle le fait dans un domaine DR du plan complexe. D R z z R= ∈ > ≥ C 0 (11.A12)

C'est une "couronne infinie", car la série ne contient pas de puissances strictement positives de z. On démontre que la transformée en z d'une suite f[k] possède un domaine de convergence (càd que R n'est pas infini) si et seulement si il existe deux constantes positives m et n telles que: f k m n kk[ ] < ∀ (11.A13) La fonction F(z) est analytique dans DR ainsi qu'en z = ∞, ce qui signifie qu'elle est bornée pour z → ∞ . Toutes les singularités de F(z) sont donc contenues dans le disque fermé: z z R∈ ≤C (11.A14) Traitons l'exemple d'une exponentielle complexe. f k e k[ ] = ∈α αavec C (11.A15)

F z e z e ze z

z ek k

k

k

k( ) ( ) Re( )= = =

−>−

=

+∞−

=

+∞

−∑ ∑α αα

α

0

1

01

11

pour (11.A16)

F zz

z e( ) =

− α (11.A17)

On peut obtenir par ce type de calcul la transformée en z de toutes les fonctions courantes du temps discret. Le tableau suivant l'expose sans le démontrer, et indique également la transformée de Laplace de la fonction continue de même nom.



f(t) ou f(kT) F(z) F(s)

1 z

z −1

1s

t T z

z( )−1 2 12s

t2 T z zz

2

31

1( )

( )+

−

23s

e–at z

z e aT− − 1

s a+

1 – e–at ( )

( )( )11−

− −

−

−e z

z z e

aT

aT a

s s a( )+

sinω0t z T

z z Tsincosω

ω0

202 1− +

ω

ω0

202s +

cosω0t z z T

z z T

20

202 1

−

− +

coscos

ω

ω

ss2

02+ω

t e–at z T ez e

aT

aT

−

−−( )2 1

2( )s a+

e tat− sinω0 z e T

z z e T e

aT

aT aT

−

− −− +

sincos

ω

ω0

20

22

ω

ω02

02( )s a+ +

e tat− cosω0 z z e T

z z e T e

aT

aT aT

20

20

22−

− +

−

− −cos

cosω

ω

ss a( )+ +2

02ω

Fig. 11.A03 Principales fonctions du temps et leurs transformées.



11.A.3 Transformation en z inverse Au paragraphe précédent, on a donné la définition de l'image F(z) – fonction analytique dans DR – pour toute suite f[k] qui satisfait à la condition (11.A13). Réciproquement, toute fonction F(z) analytique dans un domaine DR est l'image d'une seule suite f[k], que l'on peut calculer de plusieurs manières. 1. D'après la définition pour les coefficients de la série:

f kj

F z z dzk[ ] ( )= −∫1

21

πΓ

(11.A18)

On souligne que l'intégrale doit être calculée sur une courbe fermée Γ orientée positivement contenant toutes les singularités de F(z), par exemple un cercle de rayon r > R. Γ R Fig.11.A04 Intégration dans z pour le calcul de la transformée inverse. 2. En posant z = r ejθ, on obtient une nouvelle expression.

f kr

F r e e dk

j jk[ ] ( )=−∫2π

θθ

π

πθ (11.A19)

Les f kr k[ ]

peuvent être interprétés comme les coefficients c-k de la série de Fourier de F( r

ejθ). 3. On peut former la fonction F(z-1), d'où on obtient une série de puissances positives de z :

une série de Taylor. Et ainsi:

0))((!

1][ 1=

−= zzFdzd

kkf k

k (11.A20)

4. Dans les applications courantes, F(z) est très souvent une fonction rationnelle.

F zN zD z

b z b z b z bz a z a z an

nn

n

nn

n( )( )( )

......

= =+ + + +

+ + +−

−

−−

11

1 0

11

1 0 (11.A21)



On rappelle que le degré de D est plus grand ou égal au degré de N, puisque F est

analytique en z = ∞. Deux techniques sont possibles:

4a. En divisant N par D, on obtient autant de termes f[k] que l'on veut, avec l'inconvénient de ne pas obtenir de forme générale pour f[k]. F z d d z d z( ) ...= + + +− −

0 11

22 (11.A22)

Si on compare le résultat de la division avec la définition (11.A10) qu'on récrit explicitement, il apparaît que chaque terme dk de la division correspond bien à f[k]. F z f f z f z( ) [ ] [ ] [ ] ...= + + +− −0 1 21 2 (11.A23) (en vertu de l'unicité de la série de Laurent) Si on veut éviter le calcul analytique de la division, on peut faire appel à une forme récursive aisément programmable. f k d b a d a d a d[ ] ...= = − + + +− − − − − −k n k n 1 k 1 n 2 k 2 k n0 (11.A24) 4b. On décompose F(z) en éléments simples, on calcule la série de Laurent de chacun de ceux-ci, puis on fait la somme.

F zc

z zi

n( ) =

−=∑ i

pi1où les z D zpi sont les racines de ( ) (11.A25)

(cas de racines simples) 5. Comme conséquence du théorème de la valeur initiale (tableau 11.A05), on a une formule

récurrente.

f F z

f z F z f

f z F z f f z

z

z

z

[ ] lim ( )

[ ] lim ( ( ) [ ])

[ ] lim ( ( ) [ ] [ ] )

0

1 0

2 0 12 1

=

= −

= − −

→∞

→∞

→∞

−

L

(11.A26)



11.A.4 Règles de calcul en z A chaque opération dans l'espace temps correspond une opération équivalente dans l'espace z. On les énonce à la figure 11.A05 sans les démontrer, en ajoutant encore pour rappel l'opération correspondante dans l'espace s. opération f[k] F(z) F(s) linéarité K f k K f k K F z K F z K F s K F s1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )+ + + retard f k n z F z e F sn snT

1 1 1[ ] ( ) ( )− − −

avance f k n z F z f m z e F sn m

m

nsnT

1 10

1

1[ ] ( ( ) [ ] ) ( )+ −+ −

=

−+∑

amortissement f k e F z e F sT

k1 1 1[ ] ( ) ( )− +α α α

"dérivée" f k f kz

zF z f s T F s f1 1 1 1 1 11

10 0[ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]− −

−− −

"intégrale" f jz

zF z

s TF s

j

k

10

1 111

[ ] ( ) ( )=∑ −

valeur initiale f F z s F s

z s1 1 10[ ]* lim ( ) lim ( )

→∞ →∞

valeur finale )(lim)()1(lim][lim 1

01

11 sFszFzkf

szk →→∞→−

*remarque: dans le cas continu, cela correspond à: lim ( )

tf t

→01

Fig. 11.A05 Principales opérations dans le temps et leurs transformées. 11.A.5 Passage direct de s en z Lorsqu'on connaît la fonction de transfert continue G(s) d'un système, il paraît opportun d'en calculer la fonction de transfert échantillonnée. Fig. 11.A06 Système continu.

G(s)

u(t) y(t)



On sera le plus souvent en présence d'une fonction rationnelle.

G sN sD s

( )( )( )

= (11.A27)

Un système physique réel aura le plus souvent des pôles (racines de D(s)) simples, ce qui permet d'exprimer la fonction de transfert comme somme d'éléments simples.

G sc

s pc

s pc

s pc

s pi

n( ) ...=

−+

−+ + =

−=∑1

1

2

2 1

n

n

i

i- (11.A28)

La fonction de transfert échantillonnée peut être calculée si on connaît la correspondance de chacun des termes. Fig. 11.A07 Système échantillonné. Si on se reporte au tableau 11.A03, la correspondance des termes de (11.A28) est assez immédiate.

1s p− i

– z

z e p T− i (11.A29)

On en déduit la fonction de transfert échantillonnée.

G z cz

z e p Ti=

n( ) =

−∑ i i

1 (11.A30)

Il faut encore noter que dans le cas rare d'un pôle de multiplicité m, on n'aura pas

seulement un terme correspondant dans la somme, mais m.

G sc

s p jj

m i

i

n( )

( )

( )=

−==∑∑ ij

i11 (11.A31)

La correspondance est dans ce cas un peu moins triviale.

1( )s p m− i

– 1

1

1

1( )!( )

m pz

z e

m

im p T− −

−

−∂∂ i

(11.A32)

On peut aussi s'intéresser au passage de s à z pour des courbes dans le plan s. Ce que

deviennent certaines droites par la transformation complexe (11.A09) est très intéressant.

G(z)

u[k] y[k] u*[k]



Fig. 11.A08 Croix centrée à l'origine du plan s (pondéré ici par la période d'échantillonnage; on devrait dire le plan s T ) et sa correspondance dans z. On a encore obtenu par MapleV la correspondance d'une demi-droite vectorielle du plan s formant un angle de 30° avec la verticale dans le deuxième quadrant.

Fig. 11.A09 Spirale issue du passage de s à z d'une demi-droite à 30° 11.A.6 Pôles dans s et z. Il peut encore être utile de présenter la position des pôles dans les deux espaces abstraits, avec leur effet sur le comportement dynamique du système. La figure 11.A10 est établie en utilisant la pulsation d'échantillonnage ωs.

ωπ

s T=

2 (11.A33)



Fig. 11.A10 Pôles continus et échantillonnés et réponses libres correspondantes.



11.B ANNEXE: CHOIX DE LA MÉTHODE 11.B.1 Procédure Le graphe de choix ci-dessous est destiné à guider la décision pour une méthode de calcul pour un régulateur échantillonné. Fig. 11.B01 Diagramme de sélection.

Constantes de temps du système ? > ?

2 périodes d'échantillonnage

Calcul de la petite constante de temps équivalente

(section 11.2)

OUI

Calcul de la fonction de transfert du système à régler

(section 11.3)

NON

Dimensionnement pseudo-continu du régulateur (section 8.3 ou 8.4)

Dimensionnement du régulateur par le lieu des

pôles (section 11.6)

Dimensionnement du régulateur par la réponse

harmonique (section 11.6)

Calcul des coefficients du régulateur (section 11.2)

Calcul des coefficients du régulateur

(section 11.5 et 11.6)

Programmation de l'algorithme du régulateur

(section 11.2)




Jean-Marc Allenbach & Francis Marchino 61 16-11-2000

11.C ANNEXE: RATIONALISATION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE 11.C.1 But La fonction exponentielle apparaît souvent dans l'expression de fonction de transfert lorsque le système contient de petits retards purs (hacheurs, variateurs à courant alternatifs, régulateurs discrets,...). Plusieurs critères de dimensionnement des circuits de réglage posent la condition restrictive d'une fonction de transfert rationnelle pour le système à régler. Cela conduit à rechercher une approximation rationnelle de la fonction exponentielle valable pour l'intervalle de valeurs qui convient à l'application. f x e xx( ) exp( )= = (11.C01) 11.C.2 Taylor La fonction exponentielle peut être – comme toute autre fonction – approximée par un polynôme de Taylor.

f x t x x x( ) ( ) ...≅ = + + +112

2 (11.C02)

Le domaine de x pour lequel l'approximation est valable sera d'autant plus vaste qu'on prend un nombre élevé de termes du polynôme.

-1 5

-1 -0 5

0 0.5

10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t(x)

exp(x)

Fig. 11.C01 Fonction exponentielle et l'approximation par un polynôme de Taylor de degré 2. Calculs par MATLAB. On constate que le domaine de validité de l'approximation est plus large pour des arguments positifs que pour des arguments négatifs. Le domaine de validité se restreint encore pour un polynôme de degré 1, qu'on utilise le plus souvent en technique de réglage. On préférera toutefois écrire l'inverse du développement de l'exponentielle d'argument positif plutôt que le développement de l'exponentielle d'argument négatif.


Jean-Marc Allenbach & Francis Marchino 62 16-11-2000

11.C.3 Padé On utilise volontiers l'approximation de Padé, définie par un quotient de polynômes de degré n au dénominateur et m au numérateur. On se limite souvent à l'approximation la plus simple de degré 2 (n = 1 et m = 1).

f x r xxx

( ) ( ),,

≅ =+−

1 0 51 0 5

(11.C03)

-1 5

-1 -0 5

0 0.5

10

0.5

1

1.

2

2.5

3

exp()r(x)

Fig. 11.C02 Fonction exponentielle et l'approximation de Padé de degré 2. Calculs par MATLAB. Cette approximation donne un domaine de validité plus large, en particulier pour les arguments négatifs.


Jean-Marc Allenbach 11– 63 19-12-2001

11.D ANNEXE: EFFET FRÉQUENTIEL DE L'ÉCHANTILLONNAGE 11.D.1 Exposé du problème Fig. 11.D01 Boucle de réglage échantillonné. En observant la structure, on peut être tenté de penser que pour une période d'échantil-lonnage T, toutes les fréquences du signal y(t) supérieures à 1/T sont simplement absentes du signal y*[k]. Mathématiquement, la fonction y* est le produit de la fonction continue avec un peigne de Dirac de pas T. y t y t t*( ) ( ) ( )= ⋅δT (11.D01)

avec Tδ δ( ) ( )t t kTk

= −=−∞

∞∑ (11.D02)

La traduction dans l'espace fréquentiel par la transformée de Fourier est un produit de convolution [27].

Y f Y f fT

Y fnTn

* ( ) ( ) ( ) ( )= ∗ = −=−∞

∞∑∆T

1 (11.D03)

Si on échantillonne assez vite pour que, dans le spectre de y, l'amplitude des fréquen-ces supérieures à 1/2T soit négligeable, il n'y a pas de problème. Pour isoler le signal utile dans y*, on place un filtre digital dont le gabarit est indiqué en traitillé sur la figure 11.D02.

Fig. 11.D02 Signaux de la figure 11.D01 dans les espaces temporel et fréquentiel (T idéale).

G s' ( )s1 24444 34444

G zR∗ ( ) G ss ( )

w

y

w*

y*

ucm u*cm u'cm e* +

–



Dans la pratique la fréquence d'échantillonnage est souvent plus basses et le spectre du signal s'étend au-delà de celle-ci.

Fig. 11.D03 Signaux de la figure 11.D01 dans les espaces temporel et fréquentiel (T pratique). Pour comprendre le phénomène, imaginons qu'on ouvre en ucm la boucle de réglage de

la figure 11.D01. De plus on impose w(t) = 0 et on choisit G zR∗ =( ) 1 . Si l'hypothèse formulée

en début de paragraphe est correcte doit retrouver en ucm le signal y reconstitué.

Fig. 11.D04 Signal reconstitué dans les espaces temporel et fréquentiel (T pratique). On constate que non seulement le spectre est tronqué, ce qui lisse les variations brusques du signal dans le temps, mais il s'ajoute des composantes aux fréquences légèrement inférieures à 1/2T, ce qui augmente la déformation du signal. L'hypothèse formulée n'est donc pas vérifiée. Le spectre d'un signal n'est pas forcément décroissant de part et d'autre de zéro, on peut constater un pic à une fréquence supérieure à 1/2T, dû par exemple à la perturbation d'une installation voisine.



Fig. 11.D05 Pic à haute fréquence et signal reconstitué dans l'espace fréquentiel (T pratique). Ce cas est encore plus désagréable puisqu'on voit apparaître un pic image à une

fréquence inférieure à 1/2T, propre à introduire des instabilités ou des vibrations car il apparaît dans un domaine de fréquence utile. On rappelle que le théorème de Shannon demande d'échantillonner un signal au moins au double de la fréquence maximale de son spectre.

11.D.2 Mesure corrective Pour se rapprocher le plus possible du cas idéal, on souhaite supprimer du spectre de y toutes le fréquences supérieures à 1/2T. Cela nécessite l'adjonction d'un filtre analogique avant la conversion A/D (échantillonnage et quantification). Il faut souligner que le filtrage côté digital ferait aussi disparaître une partie du signal utile. Fig. 11.D06 Boucle de réglage échantillonné avec filtre de garde.

Fig. 11.D07 Spectre du signal avant échantillonnage.

On souhaite un filtre de gain 1 pour les fréquences – dans le plan de Fourier – comprises entre -1/2T et 1/2T, et de gain nul en dehors. Comme ce filtre n'existe pas, on cher-che un filtre réel qui s'en approche le plus possible. On adopte volontiers un filtre de deuxiè-me ordre qui offre – dans le plan de Bode – un très faible amortissement aux pulsations infé-rieures à la celle de dimensionnement ωd et un passage rapide à une pente d'amortissement de –2 pour les supérieures. On peut choisir un modèle de Butterworth, Tchebycheff ou elliptique (de Cauer). Si les exigences du gabarit ne sont pas trop pointues, un filtre de Butterworth d'ordre 2 peut convenir et est de réalisation facile, pour le dimensionnement, on choisit une pulsation ωd voisine de la pulsation d'échantillonnage, pour ne pas trop atténuer le signal utile:

G s

ss

fB2

d d

( ) =

+ +

1

12 2

ω ω

(11.D04)

G s' ( )s1 24444 34444

G zR∗ ( ) G ss ( )

w

y

w*

y*

ucm u*cm u'cm e* +

–

≈



Fig. 11.D08 Filtre de garde du deuxième ordre sans zéros. Pour calculer les composants de ce schéma, on écrit sa fonction de transfert:

G sR C R C s R R C C sf ( )

( )=

+ + +

11 1 2 2 2 1 2 1 2

2 (11.D05)

Après choix de deux composants, les deux restants se calculent par identification des

relations (11.D05) et (11.D04). Ce schéma convient aussi pour d'autres filtres sans zéros, avec facteur d'amortissement plus grand ou plus petit que celui de Butterworth.

En cas de nécessité on a recours à deux cellules en casca-de pour obtenir une

atténuation encore plus rapide des fréquences élevées. Pour les gabarits exigeants on choisira des filtres de Cauer ou de Tchebycheff II, on fait appel à un schéma qui permet des zéros dans la fonction de transfert. Le dimensionnement des composants (schéma possible à la fig. 11.D09) – plus laborieux – fait de préférence appel à un programme auquel on fournit le gabarit de filtrage. Pour le choix des gabarits, des types et le dimensionnement des filtres, on se reportera au cours de Traitement du Signal.Quel que soit le modèle choisi, on prend garde au fait que le filtre introduit un retard de phase déjà pour des pulsations inférieures à ωd et que cela a un incidence sur la dynamique et la stabilité du système bouclé.

Exemple de filtre de Cauer d'ordre 3 pour ωd = 1 [s–1] et ondulation maximale dans la bande passante de 0,25 [dB]:

G ss

s s sfC3( ),

, , ,=

+

+ + +1 0 194

1 0 411 1 0271

1 2 024

2

2 (11.D06)

Fig. 11.D09 Filtre de garde du troisième ordre avec deux zéros.

Enfin, on peut imaginer d'acquérir les mesures à une fréquence k fois plus élevée que celle d'échantillonnage – si le calculateur le permet – puis de calculer la valeur du signal mesuré par un filtre digital moyenneur sur k mesures. On peut ainsi se contenter d'exigence peu élevée sur le filtre de garde. Pour en savoir plus, on se reportera au cours de Traitement Numérique du Signal.



11.E ANNEXE: RAPPEL DE RÉGLAGE DE ANALOGIQUE 11.E.1 Exposé du principe

Le réglage consiste à comparer la valeur mesurée y de la grandeur à régler (sortie du système à régler S) avec la valeur de consigne w (valeur souhaitée); à partir de la différence de ces grandeurs, le régulateur R élabore le signal de commande ucm qui agit sur le système après amplification par l'organe de commande OCM.

Fig. 11.E01 Boucle de réglage.

La technique de réglage consiste à dimensionner correctement le régulateur pour garantir la stabilité du système en boucle fermée ainsi qu'un comportement dynamique sou-haité face à une variation de consigne w ou de perturbation v. Grossièrement dit, on souhaite que le signal de sortie suive les variations du signal de consigne sans retard excessif ni trop forte altération de forme et que la sortie ne soit pas trop affectée par une perturbation. On peut trouver deux descriptions du comportement dynamique:

Description dans le temps: La réponse indicielle (variation de la sortie du système dont l'entrée varie comme une fonction échelon unité) ne doit pas admettre de dépassement supérieur à D1max et son temps de réponse à 5 % doit être inférieur à trmax.

Fig. 11.E02 Gabarit de réponse indicielle.

Description fréquentielle: Si on décompose le signal de consigne w selon Fourier, toutes les pulsations inférieures à ωp doivent être transmises sans altération au signal réel y et toutes les pulsations supérieures à ωb doivent être fortement atténuées.

Fig. 11.E03 Gabarit de réponse harmonique.

OCM

w S

v

y u ucm +

–

R

t

y(t)

D1max 1

tr

ω

ωp ωb

|Gcf(s)|



11.E.2 Stabilité Un système est stable si, abandonné dans un état quelconque, il atteint son état d'équilibre en un temps raisonnable. A l'inverse, un système est instable si, abandonné dans un état quelconque, il s'éloigne de l'équilibre linéairement, exponentiellement ou par oscillations d'amplitude croissante. Mathématiquement, on définit la stabilité d'un système par la position de ses pôles: Est stable un système qui n'admet aucun pôle à partie réelle positive (fig. 11.A10). On rappelle qu'un système peut être décrit par sa fonction de transfert: le quotient du signal d'entrée et du signal de sortie exprimés dans l'espace de Laplace. Le système bouclé de la figure 11.E01 peut être décrit:

G sY sW scf ( )

( )( )

= (11.E01)

l'indice «cf» spécifiant qu'on parle de la fonction de transfert en boucle fermée par rapport à la valeur de consigne. Pour les systèmes linéaires (traités dans le cadre de ce cours), la fonction de transfert s'écrit comme un quotient de polynômes en S. Les pôles sont les racines du polynôme dénominateur et les zéros celles du numérateur. Fig. 11.E04 Domaine de stabilité dans le plan complexe. On peut aussi définir la fonction de transfert du système seul: organe de commande – processus – organe de mesure (le polynôme dénominateur est de degré n, le numérateur de degré m < n:

G sY s

U ssyscm

( )( )

( )= (11.E02)

La stabilité d'un système en boucle fermée peut aussi être définie par la réponse har-

monique en boucle ouverte, si et seulement si celui-ci est stable. La réponse harmonique en boucle ouverte est issue de la fonction de transfert en boucle ouverte, elle-même produit des fonctions de transfert du régulateur et du système à régler.

G j G s

s jo o( ) lim ( )ω

ω=

→ (11.E03)

Plan S Im

Re

stable instable



G s G s G so R sys( ) ( ) ( )= (11.E04) La réponse harmonique est un fonction complexe du paramètre réel pulsation ω. Si on

représente Go(jω) pour des pulsations variant de 0 à ∞, on obtient une courbe paramétrée appelée représentation de Nyquist. Si, en parcourant la courbe de réponse harmonique en boucle ouverte dans les sens des pulsations croissantes, on laisse le point «–1» à gauche, le système Gcf(s) en boucle fermée est stable.

Fig. 11.E05 Stabilité dans le plan de Nyquist. Si on représente le module de la réponse harmonique en fonction de la pulsation selon des échelles logarithmiques, on obtient la représentation de Bode du module. Le système en boucle fermée est stable, si le module de la réponse harmonique en boucle ouverte croise l'horizontale de valeur 1 (0 [dB]) pour une pente supérieure ou égale à –2 (–40 [dB/décade]). Fig. 11.E06 Stabilité dans le plan de Bode.

|Go(jω)|

–1

1/Am

ϕ m

ω1

ϕ ω( )1

Re

Im

log|G(jω)|

ω cω1

ω

logω

|Go(jω)|

1 2 3

1 système stable 2 système en limite de stabilité 3 système instable

–1 –1

–1

–2

–2

–3

1 système stable 2 système en limite de stabilité 3 système instable

1

2

3

ω

ω



11.E.3 Dimensionnement d'un régulateur Dans ce résumé, on se limitera aux systèmes linéaires (ou linéarisables) connus par un modèle mathématique approchant la réalité: la fonction de transfert. Les régulateurs les plus fréquents sont les P, PI et PID, donnés ici par leur fonction de transfert idéalisée: P:

PI:

PID:

R p

R pi

n

i

R pi

dn v

i

G s K

G s KsT

sTsT

G s KsT

sTsT sT

sT

( )

( )

( )( )( )

=

= + =+

= + + =+ +

1 1

1 1 1

(11.E05)

En règle générale, on choisira un régulateur avec composante intégrale, pour garantir l'annulation de l'écart statique. On discerne deux approches dans le dimensionnement: 1. On compense la (les) constante(s) de temps dominante(s) par Tn (et Tv), puis on ajuste 1/Ti

pour obtenir le comportement désiré en appliquant le critère de la marge de phase (Nyquist) ou celui du rapport de pulsation (Bode) (fig. 11.E09).

2. On impose deux des pôles en boucle fermée qu'on considère comme dominants (les plus influents, l'effet des autres étant négligeable comme celui des zéros), puis on calcule le régulateur par construction géométrique (Evans).

Si le système à régler est stable et à déphasage minimal (pôles et zéros en boucle fermée

ont une partie réelle négative), on appliquera de préférence une méthode simple et rapide: la méthode de Bode. Prenons un système d'ordre n:

G s

KsT sT sT sT

T T T T

syss

1 2 3 n

1 2 3 navec

( )( )( )( ) ( )

=+ + + +

> > > >1 1 1 1L

L

(11.E06)

On considère les deux premières constantes de temps comme dominantes ( leur effet sur

une réponse libre se prolonge plus longtemps que celui des autres constantes de temps) et on les compense par celles du numérateur du régulateur. On remplace les constantes de temps restantes par une petite constante de temps équivalente (développement limité d'ordre 1 du polynôme d'ordre n–2) et on calcule la constante de temps d'intégration avec cette petite constante de temps et la dynamique souhaitée pour le système en boucle fermée:

réponse optimale (D 5 %):

réponse unipériodique (D 16 %):

réponse sans dépassement:

réponse avec autre dépassement: (voir fig. 11.E09)

avec

1 i s pe

1 i s pe

i s pe

ic

s pe

pe k

= =

= =

≥

=

==∑

T K T

T K T

T K T

T K T

T Tk

n

2

4

1

2

ωω

(11.E07)



Un petit retard pur sera assimilé à une petite constante de temps (développement limité d'ordre 1 de la fonction exponentielle):

esT

s T− ≅+

p

p

11

(11.E08)

Avec ce dimensionnement, le temps de réponse est minimalisé. On peut toutefois

vérifier si le temps de réponse est respecté: dimensionnement optimal:

dimensionnement unipériodique:

dimensionnement sans dépassement:

r pe

r pe

r pe

t T

t T

t T

=

=

=

4 2

5

9

,

(11.E09)

Fig. 11.E07 Système à régler à deux constantes dominantes: régulateur dimensionné par la méthode de Bode. Si les exigences de temps de réponse ne sont pas trop serrées, on peut se contenter d'un régulateur PI et ne compenser qu'une seule constante de temps, la petite constante de temps équivalente est alors calculée en conséquence en sommant dès la deuxième constante de temps. S'il y a plus de deux constantes de temps dominantes, on aura recours au réglage cascade avec plusieurs régulateurs:

ω1s

i=

KT

log|G(jω)|

logω

|Gs(jω)|

|GR(jω)|

|Go(jω)|

Ks

1 1T Tn 1

=1 1

T Tv 2=

ω cpe

=1

TTTn

i



Fig. 11.E08 Réglage cascade à deux régulateurs. Après compensation des constantes de temps dominantes, on peut aussi appliquer la méthode de Nyquist: on fait tracer la réponse harmonique à l'ordinateur pour une valeur arbitraire de Ti, on lit le module de la réponse harmonique pour la valeur de marge de phase prescrite par le dépassement souhaité (fig. 11.E09), puis on multiplie la valeur arbitraire de Ti par la valeur lue du module. Le système à régler doit être stable, mais il n'y a pas de condition sur les zéros et les retards pur peuvent être laissés sous forme exponentielle. La méthode d'Evans n'a pas d'autres contrainte sur le système à régler qu'une expres-sion rationnelle de sa fonction de transfert, il peut être instable. C'est une méthode essentiel-lement graphique qui est décrite ci-dessous mais qui peut aussi être informatisée: • On reporte dans le plan complexe les pôles pi et les zéros zj du système à régler, plus le pôle

à l'origine dû à la composante intégrale du régulateur (s'il y a lieu). • On calcule le facteur d'Evans ks du système à régler.

k K

z

p

j

m

i

ns s

j

i

==

=

∏

∏

1

1

(11.E10)

• On place dans le plan complexe le pôle pf1, une des pôles dominants (conjugués complexes)

du système en boucle fermée, calculé d'après le cahier des charges:

ρ

π

=

=−

3

1

t

arctgD

rmax

Ψ (ln

)max (11.E11)

p jf1 = − +ρ( cotg )1 Ψ (11.E12) • On détermine les zéros du régulateur par la condition des angles. Les αj sont les angles

formés par l'horizontale et les vecteurs reliant les zéros zj au pôle pf1. Les βi sont les angles formés par l'horizontale et les vecteurs reliant les pôles en boucle ouverte pi au pôle pf1. La relation est une somme modulo 360°

w=w1 S1

v

y1 = y y2=u1 ucm2 +

–

R1

F

S2

R2

ucm1=w2 +

–

F2



α α β β αn v R i jj=1

m+ = °+ + −

=∑ ∑180

1i

n (11.E13)

• Un des angles doit être choisi arbitrairement, si αv est choisi nul, on aura un régulateur PI,

sinon un PID. Les zéros sont déterminés par tracé depuis pf1 selon l'angle calculé ci-dessus, puis mesurés sur l'axe réel. On en calcule les constantes de temps.

Tz

Tzn

nv

v=

−=

−1 1 (11.E14)

• On calcule le facteur d'Evans ko en boucle ouverte par la condition des modules:

kp p p

p z p z p z

i

n

j

mo

f1 f1 i

f1 n f1 v f1 j

=

−

− − −

=

=

∏

∏1

1

(11.E15)

• On calcule la constante de temps d'intégration:

T T Tkki n v

s

o= (11.E16)

Si la condition des angles ne peut pas être respectée, on aura recours au réglage cascade. Cette méthode garantit effectivement que les pôles imposés feront partie des pôles en boucle fermée, en revanche elle ne peut pas garantir que les autres pôles et les zéros seront d'influence négligeable. On a résumé à la figure 11.E09 l'ensemble des critères.



B

oucl

e fe

rmée

Bou

cle

ouve

rte

Fon

ctio

n de

P

ôles

R

épon

se in

dici

elle

R

épon

se h

arm

oniq

ue

tr

ansf

ert

(Eva

ns)

δ

Ψ

D1

t mω

c t

rωc

ρtr

dési

gnat

ion

Q

Q

ϕ

m

ω

c/ω1

tg[

ϕ m]

(Eva

ns)

[ ]

[dB

]

(Ny,

Bo,

Bl.)

(

Bo.

)

(Ny.

)

≥1.0

00

9

0°

0

∞

9

3

s

ans d

épas

sem

ent

0

–∞

≥76

°

≥4

0.7

07

4

5°

0.04

3

4

.71

4.

20

2.1

optim

ale

1

0

63.5

°

2

0.5

91

3

6.2°

0.

100

3.2

3

6.21

3

(apé

riodi

que)

1.

05

0.4

54.5

°

1

.4

0

.500

30°

0.

163

2.5

0

5

2.6

unip

ério

diqu

e

1

.15

1.3

45°

1

0

.450

27°

0.

200

2.0

5

4.5

2.

3 os

cilla

toire

1

.24

1.9

*39

°

0.8

–

0

.425

25°

0.

230

1.9

5

3

"

1

.3

2.3

35.5

°

0.7

2 –

0

.400

23.

5°

0.25

0

1

.73

6

3

"

1.3

6 2

.7

32

.5°

0

.64

–

0.3

83

2

2.5°

0.

270

1.6

2

6

3

"

1

.42

3

30°

0

.59

–

0.2

59

1

5°

0.43

0

0

.98

5

3

"

2

6

15

°

0.2

7 –

0

.215

12.

5°

0.50

0

0

.78

5.

5

3

"

2

.38

7.5

10

°

0.1

8 –

0

.100

5.

7°

0.72

0

0

.34

6

3

"

5

1

4

2.5

°

0.0

4 –

0

.035

2°

0.

900

0.1

1

5.5

3

"

1

4.3

23

0.3

°

0.0

05

– t r:

tem

ps d

e ré

pons

e à

5%

t m

: tem

ps d

e m

onté

e de

0 à

100

%

D

1: dé

pass

emen

t max

imal

δ

: coe

ffic

ient

d'am

ortis

sem

ent

ω1:

puls

atio

n po

ur la

quel

le le

mod

ule

de la

répo

nse

harm

oniq

ue v

aut 1

( 0[

dB])

ω

c: pu

lsat

ion

pour

laqu

elle

la p

ente

du

mod

ule

de la

répo

nse

harm

oniq

ue –

app

roxi

mé

par s

egm

ents

de

droi

tes –

|

pass

e de

–1

à –2

v

oir f

ig. 1

1.E1

0

|

Ψ: m

arge

de

stab

ilité

rela

tive

ρ: m

arge

de

stab

ilité

abs

olue

ϕ m

: mar

ge d

e ph

ase

(*: v

aleu

rs p

eu ra

ison

nabl

es!)

Fig.

11.

E09

Sys

tèm

e as

serv

i à 2

e ord

re d

omin

ant:

vale

urs d

es p

aram

ètre

s en

fonc

tion

du c

ompo

rtem

ent d

ynam

ique

.



Fig.

11.

E10

Loc

alis

atio

n de

s par

amèt

res.

x x

Ψ

–ρ

Evan

s (Ro

ot L

ocus

) lo

g|G

(jω)|

logω

|Go(

jω)|

ω c

Bod

e

ωc

ω1

Nyq

uist

|Go(

jω)|

Im

Re

–1

1/A m

ω1

ϕ m

ϕ(ω

1)



11.E.4 Exemples Soit un système à régler donné par sa fonction de transfert:

G se

s s s s

s

sys ( ),

( , )( , )( , )( , )=

+ + + +

−3 3331 0 2 1 0 1 1 0 0035 1 0 0025

0,004 (11.E17)

Le client spécifie le cahier des charges pour la réponse indicielle: écart statique nul, dépas-sement maximal de 5 % et temps de réponse maximal de 60 [ms].

On rationalise la fonction: on approxime le retard pur de 4 [ms] par un constante de temps de même valeur. On simplifie la tâche, on remplace les trois plus petites des constantes de temps par une petite constante de temps équivalente: Tpe = 4 + 3,5 + 2,5 = 10 [ms].

G ss s ssys ( )

,( , )( , )( , )

=+ + +

3 3331 0 2 1 0 1 1 0 01

(11.E18)

On dimensionne d'abord par la méthode de Bode: 1. L'écart statique nul demandé impose une composante intégrale pour le régulateur: PI ou

PID. 2. Les constantes de temps dominantes sont 0,1 et 0,2 [s], on choisit un PID. 3. On compense les deux constantes de temps dominantes par Tn et Tv. 4. On dimensionne la constante de temps d'après la 3e colonne depuis la gauche et la colonne

de droite du tableau 11.E09: Ti s= =2 3 333 0 01 0 6666, , , [ ] . 5. On vérifie que le temps de réponse est aussi respecté d'après la 5e colonne depuis la gauche

du tableau 11.E09: t r s s= = <4 2 0 01 0 042 0 060, , , [ ] , [ ] : c'est bon. 6. On écrit la fonction de transfert du régulateur sous forme de quotient de polynômes

factorisés:

G ss s

sR ( )( , )( , )

,=

+ +1 0 2 1 0 10 067

(11.E19)

On dimensionne aussi par la méthode d'Evans: 1. On met en évidence le facteur d'Evans, les pôles et les zéros:

G ss s ssys ( )

,( )( )( )

=+ + +

16 7 105 10 100

3 (11.E20)

2. On traduit le cahier des charges en déterminant les pôles dominants:

ρ

π

= =

=−

= °

30 06

50

0 0545

,

(ln ,

)Ψ arctg (11.E21)

p j jf1 = − + = − +ρ( cotg )1 50 50Ψ (11.E22)

3. On applique la condition des angles sur pf1 (fig. 11.E11): α αn v+ = °+ °+ °+ °+ ° = °180 135 133 130 45 263 (11.E23) 4. On choisit arbitrairement:



αn = β1=133° => αv =130° (11.E24) 5. Par construction, on détermine les zéros du régulateur et ses constantes de temps:

z z T s T sn v n vet= − = − => =−−

= =−

−=5 10

15

0 21

100 1, [ ] , [ ] (11.E25)

6. On applique la condition des modules:

ko = =71 68 64 71

68 645041 (11.E26)

7. On calcule la constante de temps d'intégration:

Ti s= =0 2 0 116 75041

0 066, ,,

, [ ] (11.E27)

8. On écrit la fonction de transfert du régulateur sous forme de quotient de polynômes

factorisés:

G ss s

sR ( )( , )( , )

,=

+ +1 0 2 1 0 10 066

(11.E28)

Fig. 11.E11 Tracé des pôles et zéros. Il faut souligner que les deux méthodes ne donnent pas souvent le même régulateur!

–50–ρ

–100 p3

pf1 50j

ψ

p1 zn

p2 zv

pR

β3 αv=β2 αn=β1

βR

Im

Re

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