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1/16 Fiche d’exercices 6 : Fonction logarithme Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2017/2018

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Fiche d’exercices 6 : Fonction logarithme

Propriétés des fonctions logarithmes

Exercice 1 1. Donner la définition, l’ensemble de définition et la dérivée de xln

2. a. Quelle est la qualification de la fonction ln(x) pour la fonction exp(x) ? b. Comment cela se traduit-il au niveau de leur représentation graphique ? c. Représenter exp(x) et ln(x) dans un même repère en indiquant les valeurs

particulières. 3. Quel est l’ensemble de définition de xexpln

4. Démontrer les formulations ou relations suivantes : a. La fonction ln(x) est strictement croissante sur son ensemble de définition

b. La fonction ln(x) est continue en 1 puis sur ℝ+*

c. Donner la démonstration de (ln(x))’ d. xylnylnxln

e. xlnx

1ln

f. ylnxlny

xln

g. xlnnxln n pour nℕ puis nℤ

5. Démontrer les limites suivantes : a.

xlnlim

x

b.

xlnlim0x

c. 0x

xlnlim

nx

*INn

d. 0xlnxlim n

0x

*INn

e.

11x

xlnlim

h

h1lnlim

1x0h

Exercice 2 Résoudre les équations et inéquations suivantes, après avoir déterminer l’ensemble de définition.

1. 03x2

1xln

2. xln1xln2x4ln

3. 3xln1xln23x2ln

4. 03lnln2 2 xx

5. 13

45

x

xLn

Exercice 3

Résoudre les équations et inéquations suivantes, après avoir déterminer l’ensemble de définition.

1. 132

1 xLnxLn

2. 01272 xLnxLn

3. xLnLnxLn 242 4. 0157 xLnx 5. 0135 xLnLnxLn

Exercice 4 Déterminer chacune des limites de chacune des fonctions suivantes en 0 et +.

1. xln

1x:f 3.

1xln

1x:f

2. xlnx

1x:f 4. xlnxlnx:f 2

Exercice 5

Rechercher chacune des limites suivantes :

1.

1x

5x3lnlim

x 3.

x

2xlnxlim

0x

2.

1x2

xlnxlim

x



Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I donné et étudier le signe de la fonction dérivée.

1. x

1xlnx:f , sur ;0I

2. xxlnxx:f , sur ;0I

3. x

xlnx:f , sur ;0I

Exercice 14



Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Problèmes de synthèse

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

PARTIE A Soit g la fonction définie sur ]0 ;+[ par :

xlnxxg

1. Etudier les variations de g. 2. En déduire que, pour tout x de ]0 ;+[, on a 1xg



PARTIE B

On considère la fonction f définie sur ]0 ;+[ par : xlnx

xlnxf

1. Justifier que f est bien définie sur ]0 ;+[ 2. Déterminer les limites de f en 0 et en +. 3. Etudier les variations de f et donner son tableau de variation.

Exercice 22

Soit f la fonction définie sur ]1 ;+[ par :

4x3

1xlnx

2

1xf

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1. Déterminer les limites de f en 1 et en +. 2. Etudier les variations de f et donner son tableau de variations.

3. a. Montrer que la droite d’équation 3lnx2

1y est asymptote à C.

b. Etudier la position de C par rapport à . 4. Tracer la droite et la courbe C. 5. Soit g la fonction définie sur ]- ;-1[]1 ;+[ par xfxg .

a. Justifier que g est une fonction paire. b. Déduire de l’étude de f le tableau complet des variations de g. c. Expliquer comment on obtient la courbe représentative représentative de g à

partir de la courbe C puis tracer .

Exercice 23

Exercice 24



Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27



Exercice 28

Exercice 29

Exercice 30



Exercice 31

Exercice 32



Exercice 33

Exercice 34

Exercice 35



Exercice 36

Exercice 37

Exercice 38



Exercice 39



Annales baccalauréat

Exercice 40 Antilles-Guyane 22 Juin 2015

Exercice 41 Métropole, La réunion 22 Juin 2015



Exercice 42 Amérique du Nord 2 Juin 2015



Exercice 42 Amérique du Nord 30 mai 2013

Exercice 43 Nouvelle Calédonie 16 novembre 2012



Exercice 44 Antilles-Guyane - 16 Juin 2017



Exercice 45 Nouvelle Calédonie - 28 Novembre 2017



Exercice 46 Amérique du Sud - 21 Novembre 2017