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1/16 Fiche d’exercices 6 : Fonction logarithme Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2017/2018
PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr
Fiche d’exercices 6 : Fonction logarithme
Propriétés des fonctions logarithmes
Exercice 1 1. Donner la définition, l’ensemble de définition et la dérivée de xln
2. a. Quelle est la qualification de la fonction ln(x) pour la fonction exp(x) ? b. Comment cela se traduit-il au niveau de leur représentation graphique ? c. Représenter exp(x) et ln(x) dans un même repère en indiquant les valeurs
particulières. 3. Quel est l’ensemble de définition de xexpln
4. Démontrer les formulations ou relations suivantes : a. La fonction ln(x) est strictement croissante sur son ensemble de définition
b. La fonction ln(x) est continue en 1 puis sur ℝ+*
c. Donner la démonstration de (ln(x))’ d. xylnylnxln
e. xlnx
1ln
f. ylnxlny
xln
g. xlnnxln n pour nℕ puis nℤ
5. Démontrer les limites suivantes : a.
xlnlim
x
b.
xlnlim0x
c. 0x
xlnlim
nx
*INn
d. 0xlnxlim n
0x
*INn
e.
11x
xlnlim
h
h1lnlim
1x0h
Exercice 2 Résoudre les équations et inéquations suivantes, après avoir déterminer l’ensemble de définition.
1. 03x2
1xln
2. xln1xln2x4ln
3. 3xln1xln23x2ln
4. 03lnln2 2 xx
5. 13
45
x
xLn
Exercice 3
Résoudre les équations et inéquations suivantes, après avoir déterminer l’ensemble de définition.
1. 132
1 xLnxLn
2. 01272 xLnxLn
3. xLnLnxLn 242 4. 0157 xLnx 5. 0135 xLnLnxLn
Exercice 4 Déterminer chacune des limites de chacune des fonctions suivantes en 0 et +.
1. xln
1x:f 3.
1xln
1x:f
2. xlnx
1x:f 4. xlnxlnx:f 2
Exercice 5
Rechercher chacune des limites suivantes :
1.
1x
5x3lnlim
x 3.
x
2xlnxlim
0x
2.
1x2
xlnxlim
x
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Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I donné et étudier le signe de la fonction dérivée.
1. x
1xlnx:f , sur ;0I
2. xxlnxx:f , sur ;0I
3. x
xlnx:f , sur ;0I
Exercice 14
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Exercice 15
Exercice 16
Exercice 17
Exercice 18
Problèmes de synthèse
Exercice 19
Exercice 20
Exercice 21
PARTIE A Soit g la fonction définie sur ]0 ;+[ par :
xlnxxg
1. Etudier les variations de g. 2. En déduire que, pour tout x de ]0 ;+[, on a 1xg
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PARTIE B
On considère la fonction f définie sur ]0 ;+[ par : xlnx
xlnxf
1. Justifier que f est bien définie sur ]0 ;+[ 2. Déterminer les limites de f en 0 et en +. 3. Etudier les variations de f et donner son tableau de variation.
Exercice 22
Soit f la fonction définie sur ]1 ;+[ par :
4x3
1xlnx
2
1xf
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1. Déterminer les limites de f en 1 et en +. 2. Etudier les variations de f et donner son tableau de variations.
3. a. Montrer que la droite d’équation 3lnx2
1y est asymptote à C.
b. Etudier la position de C par rapport à . 4. Tracer la droite et la courbe C. 5. Soit g la fonction définie sur ]- ;-1[]1 ;+[ par xfxg .
a. Justifier que g est une fonction paire. b. Déduire de l’étude de f le tableau complet des variations de g. c. Expliquer comment on obtient la courbe représentative représentative de g à
partir de la courbe C puis tracer .
Exercice 23
Exercice 24
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Exercice 25
Exercice 26
Exercice 27
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Exercice 28
Exercice 29
Exercice 30
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Exercice 31
Exercice 32
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Exercice 33
Exercice 34
Exercice 35
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Exercice 36
Exercice 37
Exercice 38
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Exercice 39
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Annales baccalauréat
Exercice 40 Antilles-Guyane 22 Juin 2015
Exercice 41 Métropole, La réunion 22 Juin 2015
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Exercice 42 Amérique du Nord 2 Juin 2015
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Exercice 42 Amérique du Nord 30 mai 2013
Exercice 43 Nouvelle Calédonie 16 novembre 2012
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Exercice 44 Antilles-Guyane - 16 Juin 2017
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Exercice 45 Nouvelle Calédonie - 28 Novembre 2017