Introduction historique
Quelle est le point commun entre
• le graphène,
• l’effet Hall quantique
• et les isolants topologiques ?
... et qu’est-ce-que c’est ?
Les années 1920 : la théorie des bandes
• traitement quantique des électrons (sans interaction) sur unréseau périodique
• bandes = énergie des électrons en fonction d’unequasi-impulsion
Les électrons dans un cristal et le théorème de Bloch
• translations discrètes T = exp(ip · Rj)représentent une symétrie dans un réseaude Bravais (décrit par les vecteurs deréseau Rj)
• l’opérateur p (générateur destranslations discretes) joue le rôled’une impulsion (quasi-impulsionou impulsion de réseau)
R j
Les électrons dans un cristal et le théorème de Bloch
• translations discrètes T = exp(ip · Rj)représentent une symétrie dans un réseaude Bravais (décrit par les vecteurs deréseau Rj)
• les valeurs propres de p sont debons nombres quantiques :bandes d’énergie ǫl(p)
• fonctions de Bloch :
ψ(r) =∑
p
eip·r/~up(r)
Réseaux de Bravais et réseaux quelconques
réseau quelconque=
réseau de Bravais+
motif (à N “atomes”)
motif compliquéréseau triangulaire +
M. C. Escher (décomposé)
Il y a autant de bandes électroniques que d’atomes par maille
Structures de bande et propriétés de conduction
I II I II
gap
niveau
de Fermisemi−métal (2D)
niveau
énergie
impulsion
de Fermi
isolant (2D)
métal (2D)
métal d’électrons métal de trous
de Fermi
niveau
de Fermi
niveau
énergie
densité
d’états
Les années 1950-70 : théorie à N corps
• système décrit par un paramètre d’ordre(a) ∆k = 〈ψ†
−k,↑ψ†k,↓〉 (supraconductivité)
(b) Mµ(r) = 〈ψ†σ(r)τµ
σ,σ′ψσ′(r)〉 (ferromagnétisme)
• Théorie de Ginzburg-Landau des transitions de deuxièmeordre (1957)
∆ = 0(desordonnee)
↔∆ 6= 0
(ordonnee)
• brisure de symétrie(a) symétrie (de jauge) U(1) brisée(b) symétrie (de rotation) O(3) brisée
• émergence de modes (collectifs) de Goldstone(a) mode superfluide, avec ω ∝ |k|(b) ondes de spin, avec ω ∝ |k|2
Les révolutions des années 1980
3 découvertes essentielles :
• l’effet Hall quantique entier (1980, v. Klitzing, Dorda, Pepper)
• l’effet Hall quantique fractionnaire (1982, Tsui, Störmer,Gossard)
• la supraconductivité à haute température critique (1986,Bednorz, Müller)
L’effet Hall quantique entier (I)
8 12 160 4Magnetic Field B (T)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ρ xy
(h/e
)2
0
0.5
1.0
1.5
2.0
ρΩ
xx(k
)
2/3 3/5
5/9
6/11
7/15
2/53/74/9
5/11
6/13
7/13
8/15
1 2/3 2/
5/7
4/5
3 4/
Vx
VyIx
4/7
5/34/3
8/57/5
123456
Magnetic Field B[T]
[mesure par J. Smet et al., MPI-Stuttgart]
EHQ = plateau dans rés. de Hall & annulation de rés. long.
L’effet Hall quantique entier (II)
Résistance de Hall quantifiée à basse température
RH =h
e21
n
h/e2 : constante universellen : nombre quantique (invariant topologique)
• résultat indépendant des détails géométriques etmicroscopiques
• très grande précision de la quantification (> 109)
⇒ étalon pour la résistance : RK−90 = 25 812, 807 Ω
L’effet Hall quantique fractionnaire
un niveau de Landau partiellement rempli → interactionscoulombiennes pertinentes
1983 : fonction d’onde de Laughlin à N particules
• pas de paramètre d’ordre (local) associé à une brisure desymétrie
• pas de mode de Goldstone• quasi-particules avec des charges et une statistique
fractionnaires
années 1990 : description en termes de théorie des champstopologique (Chern-Simons)
Les années 2000
• simulation des modèles de la matière condensée par desréseaux optiques (atomes froids)
• 2004 : physique du graphène (graphite 2D)
• 2005-07 : isolants topologiques
Le graphène – premier cristal 2D
• réseau en nid d’abeille =deux réseaux triangulaires
AB
B
B
e3
e1
2e
structure de bandes
Structures de bande et propriétés de conduction (bis)
I II I II
gap
niveau
de Fermigraphène (non dopé)
niveau
énergie
impulsion
de Fermi
isolant (2D)
métal (2D)
métal d’électrons métal de trous
de Fermi
niveau
de Fermi
niveau
niveau
de Fermisemi−métal (2D)
énergie
densité
d’états
Isolants topologiques
forme générique d’un hamiltonien à deux bandes :
H = ǫ0(q)1+∑
j=x,y,z
ǫj(q)σj
• Haldane (1988) : effet Hall quantique anomal• Kane et Mele (2005) : graphène avec couplage spin-orbite• Bernevig, Hughes, Zhang (2006) : prédiction d’un EHSQ
dans HgTe/CdTe• König et al. (2007) : vérification expérimental
⇒ isolants topologiques 3D (à base de bismuth) : états desurface ∼ électrons ultra-relativistes sans masse
Structure du cours
• électrons du graphène
• effets Hall quantiques : entier (non-relativiste et relativiste)et fractionnaire (?)
• invariants topologiques
• isolants topologiques : l’effet Hall de spin quantique, de 2Dà 3D
Prix Nobel de Physique 2010 : Graphène
Kostya Novoselov Andre Geim
"for groundbreaking experiments regarding the two-dimensionalmaterial graphene"
Qu’est-ce que le graphène ?
2s
2p 2p 2p 2px y z zsp spsp
Hybridation sp 2
120o
cristal de carbone 2D(nid d’abeille)
graphène =
Du graphite au graphène
dans les plansliaisons covalentes (fortes)
liaisons de van der Waals(faibles) entre les plans
Petite histoire des matériaux graphitiques
• 1565 (?) : Découverte d’une mine de graphite, Barrowdale(Angleterre)
• ∼1750-80 : Découverte que le graphite est composé decarbone (Scheele); première fabrication de crayons
• 1789 : Première occurrence du nom “graphite” (Werner)• 1985 : Synthèse de fullerènes 0D (Curl, Kroto, Smalley; prix
Nobel 1996)• 1991 : Nanotubes de carbones 1D en physique (Iijima)• 2004 : Isolation du graphène 2D (Geim; de Heer)• 2005 : Découverte des propriétés relativistes des électrons
dans le graphène (Geim; Kim)• 2009 : Fabrication du graphène à grande échelle (CVD)
Comment faire du graphène : recette de cuisine (2)
: replier le scotch sur la pastille et le défaire :~10
Comment faire du graphène : recette de cuisine (5)
mettre le substrat sous en microscope optique
graphite épais
marques pourse répérer
graphite moinsépais
graphène ?
Comment faire du graphène : recette de cuisine (6)
agrandir la région où il peut y avoir du graphène
Modèle de liaisons fortes (I)
– Fonction d’onde de Bloch :
ψ(j)k (r) =
∑
Rl
eik·Rlφ(j)(r + δj − Rl)
– Fon d’onde pour n atomes/maille :
ψk(r) =n
∑
j=1
a(j)k ψ
(j)k (r) l
j
iij
R
δδ
δ
– Matrice hamiltonienne, matrice de recouvrement :
Hijk = ψ
(i)∗k Hψ
(j)k , S ij
k = ψ(i)∗k ψ
(j)k
– Equation séculaire :det
[
Hijk − ǫλkS
ijk
]
= 0
Modèle de liaisons fortes (II)
– Matrice de saut (hamiltonienne) :
tijk =∑
Rl
eik·Rl
∫
d2rφ(i)∗(r)∆Hφ(j)(r+δij−Rl)
∆H : potentiel ionique au-delà del’atome
– Matrice de recouvrement :
sijk =
∑
Rl
eik·Rl
∫
d2rφ(i)∗(r)φ(j)(r+δij−Rl)
l
j
iij
R
δδ
δ
ǫ(i) : énergie atomique (énergie sur site du sous-réseau i)
– Equation séculaire :det
[
tijk −(
ǫλk − ǫ(i))
sijk
]
= 0
Relation de dispersion du graphène (bis)
-2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4(a)(b)
π
π∗
π
π∗
Ene
rgy
K K’K
K’KK’
k
ky
x
2 31−1−2
−1
4
2
1
3
−2
Ene
rgy
[in u
nits
of t
]
wave vector
M KK Γ
• Relation de dispersion avec saut deuxième plus prochevoisin tnnn/t = 0.1
Contours d’énergie constante
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
-0.4 -0.2 0.2 0.4
-0.4
-0.2
0.2
0.4
(a) (b)
K’K’ K
q
k
k
x
y
y
xq
1eV
1.5eV
2eV
Γ
• Contours de la relation de dispersion du modèle de liaisonsfortes
• “Plissage triangulaire” (trigonal warping) à plus hauteénergie
Mesures d’ARPES (II)
(a) Dispersion d’énergie
(b) Première zone de Brillouin
(c) Contour d’énergie au niveau de Fermi (∼ 0.45 eV)
(d) “Plissage triangulaire” à ǫ ∼ −1.0 eV
Symétries et structure de bandes
• symétrie ponctuelle→ forme précise de la structure de bandes(rotations/miroire/... : théorie des groupes discrets)
• brisure de la symétrie d’inversion du réseau (échange dessous-réseaux)→ deux bandes séparées (sans points de contact)
• symétrie de renversement du temps– Hk = H∗
−k et ǫλ,k = ǫλ,−k
– dégénérescence de Kramers si T 2 = −1 (pour unnombre impair de spin 1/2 par atome)
Séparation des bandes sans brisure de symétrie
AB
B
B t t
t’
saut anisotrope :
tγk → γ′k
avec
γ′k = t′ + t(eik·a2 + eik·a2)
KK’
t′ = t
Séparation des bandes sans brisure de symétrie
AB
B
B t t
t’
saut anisotrope :
tγk → γ′k
avec
γ′k = t′ + t(eik·a2 + eik·a2)
KK’
M
t′ = 1.5t
Séparation des bandes sans brisure de symétrie
AB
B
B t t
t’
saut anisotrope :
tγk → γ′k
avec
γ′k = t′ + t(eik·a2 + eik·a2)
KK’
M
t′ = 2t
Séparation des bandes sans brisure de symétrie
AB
B
B t t
t’
saut anisotrope :
tγk → γ′k
avec
γ′k = t′ + t(eik·a2 + eik·a2)
KK’
M
t′ = 2.5t
Transport diffusif (incohérent) dans le graphène
relation d’Einstein donne :
σ ≃ ge2
h
τ
~max(kBT, |ǫF |)
temps de diffusion (règle d’or de Fermi) :
1
τk=
2π
~
∑
k′
|〈k|V |k′〉|2δ(ǫk − ǫk′) ∼2π
~nimp[v(kF )]2ρ(ǫF )
• diffuseurs de courte portée : τ ∝ 1/ǫF
• diffuseurs coulombiens écrantés : τ ∝ ǫF
• diffuseurs résonants (courte portée) : τ ∝ ǫF ln2(ǫF )
Effet Hall classique (1879)
B
I
résistancelongitudinale
résistancede Hall
gaz d’électrons 2D
C1
C4
C2 C3
C5C6
_ _ _ _ _ _
++ + + ++
système à effet Hall quantique :électrons 2D dans un champ B
RH
rési
stan
ce d
e H
all
champ magnétique B
résistance de Hall :
RH = B/enel
modèle de Drude (équation classique stationnaire) :
dp
dt= −e
(
E +p
m× B
)
−p
τ= 0
Effet Shubnikov-de Haas (1930)
Bc
(a)
EF
(b)
rési
stan
ce lo
ngitu
dina
le
rési
stan
ce d
e H
all
champ magnétique B
dens
ité d
’éta
ts
énergie
n+1E −E n
oscillations dans la résistance longitudinale→ relations d’Einstein→ quantification de Landau (en niveaux ǫn)
σ0 ∝ ρ(ǫF ) ∝∑
n
f(ǫF − ǫn)
Effet Hall quantique (EHQ)
8 12 160 4Magnetic Field B (T)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ρ xy
(h/e
)2
0
0.5
1.0
1.5
2.0ρ
Ωxx
(k)
2/3 3/5
5/9
6/11
7/15
2/53/74/9
5/11
6/13
7/13
8/15
1 2/3 2/
5/7
4/5
3 4/
Vx
VyIx
4/7
5/34/3
8/57/5
123456
Magnetic Field B[T]
EHQ = plateau dans RH & RL = 0
1980 : Effet Hall quantique entier (EHQE)1982 : Effet Hall quantique fractionnaire (EHQF)
Transistor à effet de champ (MOSFET)
métal oxyde
E
z
F
bande deconduction
bande de valence
niveauxd’accepteurs
métal oxyde semiconducteur
E
z
F
bande deconduction
bande de valence
niveauxd’accepteurs
métal semiconducteur
E
z
F
bande deconduction
bande de valence
niveauxd’accepteurs
(a)oxyde
(isolant)
(isolant) (isolant)
(b) (c)
VVG
G
II
I
métaloxyde
semiconducteurV
G
z
z
E
E
E
1
0
électrons 2D
matériaux à base de silicium (interfaces Si/SiO2)
Heterostructure GaAs/AlGaAs
dopants(récepteurs)
AlGaAs
z
EF
GaAs
dopants(récepteurs)
AlGaAs
z
EF
GaAs(a) (b)
électrons 2D
rugosité de surface réduite (comparée à Si/SiO2)
⇒ meilleure mobilité (EHQF)
µ ∼ 107cm2/Vs
Graphène
2300 nmSiO
Vg
graphène (métal 2D)
silicium dopé (métal)
(isolant)
Changement de la densité des porteurs par l’application d’unetension de grille Vg
Spectroscopie par transmission infra-rouge
10 20 30 40 50 60 70 80
0.96
0.98
1.00
B
E
2L3L
2L
3L
0L
1L
Be2cE1 ~1L
1E
1E
A
B
C
D
B
E
2L3L
2L
3L
0L
1L
Be2cE1 ~1L
1E
1E
A
B
C
D
(D)(C)
(B)
Rel
ativ
e tra
nsm
issi
on
Energy (meV)
(A)
0.4 T1.9 K
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
10
20
30
40
50
60
70
80 )(32 DLL )(23 DLL
)(12 CLL )(21 CLL
)(01 BLL )(10 BLL
)(21 ALL
Tran
sitio
n en
ergy
(meV
)
sqrt(B)
10 20 30 40 50 60 70 80 900.86
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
Rel
ativ
e tra
nsm
issi
on
Energy (meV)
1 T
0.4T
2T4T
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.99
1.00
0.7T
0.2T
0.3T
0.5T
Grenoble high−field group: Sadowski et al., PRL 97, 266405 (2007)
transition C
transition B
rela
tive
tran
smis
sion
rela
tive
tran
smis
sion
Energy [meV]
Energy [meV]
Tra
nsm
issi
on e
nerg
y [m
eV]
Sqrt[B]
règles desélection :
λ, n→ λ′, n±1
États de bord
ymaxn+1
ν = n ν =
n−1
yymaxymaxn n−1
n+1
n
n−1
(a)
(b)
y
xν = n+1
µ
NL courbés vers le hautaux bords (potentiel deconfinement)
états de bord chiraux⇒ seule diffusion versl’avant
ν= n+1 ν= n ν= n−1
Mesure à quatre terminaux
I I
R ~
56
2 3
41
R ~ µ − µ = µ − µ
3µ − µ = 02
5
L
H
µ = µµ = µ2 LL3
µ = µ = µ6 5 R
3 R L
[Klass et al, Z. Phys. B:Cond. Matt. 82, 351 (1991)]: points chauds
EHQE – localisation à une particule
n
ε
(n+1)
ν
NL
(a)
n
ε(b)
densité d’états densité d’états
RxyxxR
B=n
h/e n2
FE
RxyxxR
B
EF
EHQE – localisation à une particule
n
ε
(n+1)
ν
NL
(a)
n
ε
n
ε(b) (c)
densité d’états densité d’états
états localisés
états étendus
densité d’états
RxyxxR
B=n
h/e n2
FE
RxyxxR
B
EF
Rxy
B
xx
EF
R
h/e (n+1)
h/e n2
2
EHQE dans le graphène Novoselov et al., Nature 438, 197 (2005)
Zhang et al., Nature 438, 201 (2005)
V =15V
Density of states
B=9T
T=30mK
T=1.6K
∼ ν
∼ 1/ν
Graphene IQHE:
R = h/e
at = 2(2n+1)
at = 2n
ν
ν
H ν2
(no Zeeman)
Usual IQHE:
g
Modèle de percolation – mesure
gaz 2D sur surface de n-InSb Hashimoto et al., PRL 101, 256802 (2008)
(a)-(g) dI/dV pour différentes valeurs du potential (branche despin inf. du NL n = 0)
(i) densité d’états locale (calculée) pour un potentiel de désordredonné dans n = 0
(j) dI/dV dans branche de spin sup. du NL n = 0
Modèle de percolation – lois d’échelle
0.10 1.00T(K)
1.0
10.0
100.0
(∆B)−1
(∆B
)−1
N = 1N = 1
N = 0N = 1N = 1dxydB max dxydB max largueur de plateau ∆B
Wei et al., Phys. Rev. Lett. 61, 1294 (1988)
⇒ transition de second or-dre (transition de phasequantique)
exposants critiques : 1/zν = 0.42 ± 0.04 et z ≃ 1⇒ ν ≃ 2.3
percolation classique : ν = 4/3modèle quantique particulier (numérique): ν = 2.5 ± 0.5
Transport non local dans l’EHQS (I)
puits quantique de CdTe/HgTe [Roth et al., Science 2009]
I1
2 3
4
56
V
I1
2 3
4
56
V
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
5
10
15
20
25
30
35
40
R (
kΩ)
V* (V)
(1 x 0.5) µm2
(2 x 1) µm2
R14,14=3/2 h/e2
R14,23=1/2 h/e2
Transport non local dans l’EHQS (II)
puits quantique de CdTe/HgTe [Roth et al., Science 2009]
Fig. 4
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
5
10
15
20
25
R (
kΩ)
V* (V)
I: 1-4
V: 2-3
1
3
2
4
R14,23=1/4 h/e2
R14,14=3/4 h/e2
Isolants topologiques 3D (I)
Première génération à base de Bi1−xSbx [Hasan et Kane, RMP 2010]
→ inversion de bande au-delà d’un dopage critique xc ≃ 0.04
Isolants topologiques 3D (II)
• fermeture du gap (∼ masse) lors de l’inversion de bande
⇒ fermions de Dirac à la surface d’un isolant topologique 3D(∼ états de bord en 2D) :
Hsurface = vp · σ
p : impulsion dans la surfaceσ : caractérise vrai spin
⇒ un seul point de Dirac (contrairement au graphène avec 4)
Isolants topologiques 3D (III)
2e génération à base de Bi2Se3, Bi2Te2, Sb2Te3 [Zhang et al., 2009]
(calculs ab initio)