Méthodes algébriques pour la décomposition de Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : modèles comportementaux :
Application à la détection et à la localisation de Application à la détection et à la localisation de défaillancesdéfaillances
Méthodes algébriques pour la décomposition de Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : modèles comportementaux :
Application à la détection et à la localisation de Application à la détection et à la localisation de défaillancesdéfaillances
Par Denis BERDJAGPar Denis BERDJAG(Thèse soutenue le 26/10/2007 )(Thèse soutenue le 26/10/2007 )
Encadrants : Encadrants : Vincent COCQUEMPOT et Cyrille CHRISTOPHEVincent COCQUEMPOT et Cyrille CHRISTOPHE
Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal de LilleLaboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal de LilleÉquipe Sûreté de Fonctionnement des Systèmes DynamiquesÉquipe Sûreté de Fonctionnement des Systèmes Dynamiques
CNRS-UMR 8146CNRS-UMR 8146Polytech’Lille,Polytech’Lille,
59655, Villeneuve d’Ascq59655, Villeneuve d’Ascq
Réunion du GT SDH (17/01/2008)Réunion du GT SDH (17/01/2008)
ContexteContexteContexteContexte
Constat : Constat : – Techniques de surveillance à base de modèles: Techniques de surveillance à base de modèles:
• Plusieurs communautés (SEC, SED,SDH…).Plusieurs communautés (SEC, SED,SDH…).• Modèles et outils différentsModèles et outils différents
– Outils mathématiques (abstraction élevée)Outils mathématiques (abstraction élevée)• Algèbre des paires : Algèbre des paires : Hartmanis & Stearns Hartmanis & Stearns (1966)(1966)• Algèbre des fonctions : Algèbre des fonctions : Zhirabok & Shumsky Zhirabok & Shumsky (1987(1987))
22
ObjectifsObjectifsObjectifsObjectifs
– Comprendre et rendre accessibles les outils Comprendre et rendre accessibles les outils algébriquesalgébriques
– Approfondir l’utilisation de ces outils.Approfondir l’utilisation de ces outils.– Généraliser les concepts des SEC vers les SED et Généraliser les concepts des SEC vers les SED et
inversement.inversement.– Vers une démarche générale d’étude pour les SDHVers une démarche générale d’étude pour les SDH
3
Proposer une méthodologie d’étude des Proposer une méthodologie d’étude des propriétés du système indépendante du type de propriétés du système indépendante du type de
modèle : application à la surveillancemodèle : application à la surveillance
Proposer une méthodologie d’étude des Proposer une méthodologie d’étude des propriétés du système indépendante du type de propriétés du système indépendante du type de
modèle : application à la surveillancemodèle : application à la surveillance
4
Notions de surveillance à base de Notions de surveillance à base de modèlemodèle
Notions de surveillance à base de Notions de surveillance à base de modèlemodèle
Entrée commandeEntrée commandeEntrée commandeEntrée commande Sorties Sorties capteurscapteursSorties Sorties
capteurscapteurs
5
Modèle Modèle mathématique mathématique du processusdu processus
Modèle Modèle mathématique mathématique du processusdu processus
Indicateur de Indicateur de défautsdéfauts
Indicateur de Indicateur de défautsdéfauts
SortiesSortiesSortiesSorties
Module détecteur Module détecteur de défautsde défauts
Module détecteur Module détecteur de défautsde défauts
Module de Module de décisiondécision
Module de Module de décisiondécision
Défaut ?Défaut ?OUI ou NONOUI ou NON
CommandeCommandeCommandeCommande
Types de représentationsTypes de représentationsTypes de représentationsTypes de représentationsModèle Modèle
mathématique mathématique du processusdu processus
Modèle Modèle mathématique mathématique du processusdu processus
Représentation Représentation temporelletemporelle
Représentation Représentation temporelletemporelle
Représentation Représentation événementielleévénementielleReprésentation Représentation événementielleévénementielle
6
o Équations différentiellesÉquations différentielles
o Équations aux différencesÉquations aux différences
o Machines séquentiellesMachines séquentielles
o Réseaux de PetriRéseaux de Petri
124
3
Quelques techniques de surveillance à Quelques techniques de surveillance à base de modèlebase de modèle
Quelques techniques de surveillance à Quelques techniques de surveillance à base de modèlebase de modèle
Modèle temporelModèle temporel– Filtres & observateursFiltres & observateurs
• BeardBeard• FrankFrank• MassoumniaMassoumnia• Isidori & alIsidori & al
– Espace de paritéEspace de parité• WillskyWillsky• StaroswieckiStaroswiecki• LeuschenLeuschen
– Estimation de paramètresEstimation de paramètres• IsermannIsermann• Fliess & alFliess & al
Modèle événementielModèle événementiel– DiagnostiqueurDiagnostiqueur
• Sampath & alSampath & al• UshioUshio• ZadZad• LarssonLarsson
– RedondanceRedondance• HadjicostisHadjicostis
– Contraintes temporellesContraintes temporelles• BouyerBouyer• GhazelGhazel
7
Problématique communeProblématique commune
Méthodes / Outils différentsMéthodes / Outils différents
Problématique communeProblématique commune
Méthodes / Outils différentsMéthodes / Outils différents
Principe de la surveillance (SEC)Principe de la surveillance (SEC)Principe de la surveillance (SEC)Principe de la surveillance (SEC)
CommandeCommandeCommandeCommande Sorties capteursSorties capteursSorties capteursSorties capteurs
Module détecteur de Module détecteur de défautsdéfauts
Module détecteur de Module détecteur de défautsdéfauts
8
Décomposition pour la détectionDécomposition pour la détectionDécomposition pour la détectionDécomposition pour la détection
Module détecteurModule détecteurModule détecteurModule détecteurMDMD22MDMD22 MDMD33MDMD33 MDMD44MDMD44MDMD11MDMD11
CommandesCommandesCommandesCommandes
Indicateur 4Indicateur 4Indicateur 4Indicateur 4
Entrées InconnuesEntrées InconnuesEntrées InconnuesEntrées Inconnues
Estimation des Estimation des sortiessorties
Estimation des Estimation des sortiessorties
Indicateur 3Indicateur 3Indicateur 3Indicateur 3
Indicateur 1Indicateur 1Indicateur 1Indicateur 1
Indicateur 2Indicateur 2Indicateur 2Indicateur 2
9
111
222
333
444
SortiesSortiesSortiesSorties
CommandesCommandesCommandesCommandesIndicateur Indicateur Indicateur Indicateur
Structure du module détecteurStructure du module détecteurStructure du module détecteurStructure du module détecteur
10
Bloc d’élimination Bloc d’élimination des conditions des conditions
initialesinitiales
Bloc d’élimination Bloc d’élimination des conditions des conditions
initialesinitiales
Bloc deBloc decomparaisoncomparaison
Bloc deBloc decomparaisoncomparaison
SortiesSortiesSortiesSorties
IndicateurIndicateurIndicateurIndicateur
CommandesCommandesCommandesCommandes
FonctionsFonctionsFonctionsFonctionsEnsemblesEnsemblesEnsemblesEnsembles
Représentation mathématique du Représentation mathématique du modèlemodèle
Représentation mathématique du Représentation mathématique du modèlemodèle
Modèle temporelModèle temporel Modèle événementielModèle événementiel
Modèle ComportementalModèle Comportemental
11
Le sous-modèleLe sous-modèleLe sous-modèleLe sous-modèle
12
Conditions d’existence d’un sous-modèleConditions d’existence d’un sous-modèle
1.1. Les ensembles Les ensembles ’,’,’,’, ‘ sont obtenus à partir de ‘ sont obtenus à partir de ,,,,2.2. Les fonctions Les fonctions ’,’,’ sont des restrictions des fonctions ’ sont des restrictions des fonctions ,,
sur les ensembles sur les ensembles ’,’,’,’, ‘ . ‘ .
Modèle completModèle complet
Sous-modèleSous-modèle
•Propriété de substitution (SED)Propriété de substitution (SED)•Propriété d’invariance (SEC)Propriété d’invariance (SEC)
•Propriété de substitution (SED)Propriété de substitution (SED)•Propriété d’invariance (SEC)Propriété d’invariance (SEC)
Fonction de Fonction de décompositiondécomposition
Fonction de Fonction de décompositiondécomposition
Décomposition avec critère de Décomposition avec critère de découplagedécouplage
Décomposition avec critère de Décomposition avec critère de découplagedécouplage
13
• Décomposition connue en SEC et en SEDDécomposition connue en SEC et en SED– Formalisée avec des outils spécifiques au modèle Formalisée avec des outils spécifiques au modèle
considéréconsidéré
• Généraliser la décomposition quel que soit le Généraliser la décomposition quel que soit le modèle comportemental ?modèle comportemental ?
Définir des outils mathématiques Définir des outils mathématiques pour homogénéiser la démarche pour homogénéiser la démarche
de décompositionde décomposition
Définir des outils mathématiques Définir des outils mathématiques pour homogénéiser la démarche pour homogénéiser la démarche
de décompositionde décomposition
14
Rappel : structures algébriquesRappel : structures algébriquesRappel : structures algébriquesRappel : structures algébriques
AlgèbreAlgèbre• Un ensemble Un ensemble
d’élémentsd’éléments• Des lois (opérations) Des lois (opérations)
sur ces élémentssur ces éléments– Deux lois internesDeux lois internes– Une loi externeUne loi externe
TreillisTreillis• Un ensemble Un ensemble
d’élémentsd’éléments• Une relation d’ordreUne relation d’ordreOuOu• Deux lois internesDeux lois internes
15
PropriétésPropriétésPropriétésPropriétésHiérarchieHiérarchieHiérarchieHiérarchie
Algèbre d’ensemblesAlgèbre d’ensemblesAlgèbre d’ensemblesAlgèbre d’ensembles
Algèbre sur Algèbre sur DDAlgèbre sur Algèbre sur DD
Treillis sur Treillis sur DDTreillis sur Treillis sur DD
16
Relation d’ordreRelation d’ordre
Opération d’intersectionOpération d’intersection
Opération unionOpération union
DD: tous les sous-ensembles de : tous les sous-ensembles de AA , , BB : éléments de : éléments de DD
Ensemble de définitionEnsemble de définitionEnsemble de définitionEnsemble de définition
RelationsRelationsRelationsRelations
Propriété de substitutionPropriété de substitutionPropriété de substitutionPropriété de substitution
((A,BA,B)) est une paire algébrique par rapport à est une paire algébrique par rapport à ssi ssi
Si Si ((A,AA,A)) est une paire algébrique par rapport à est une paire algébrique par rapport à alorsalors
AA possède possède la propriété de substitutionla propriété de substitution par rapport à par rapport à ou ou ((AA,,AA)) ∈ ∈ ΔΔ
Paire algébriquePaire algébrique ( (A,BA,B) ) par rapport à la fonction par rapport à la fonction
AA est l’ensemble d’état d’un sous-modèle est l’ensemble d’état d’un sous-modèleAA est l’ensemble d’état d’un sous-modèle est l’ensemble d’état d’un sous-modèle17
Définition:Définition: AA possède la propriété de substitution si et seulement si il existe une restriction possède la propriété de substitution si et seulement si il existe une restriction de de sur sur AA telle que telle que
Formalisme algébriqueFormalisme algébriqueFormalisme algébriqueFormalisme algébriqueOpérateur Opérateur m m (borne inférieure d’une paire)(borne inférieure d’une paire)Opérateur Opérateur m m (borne inférieure d’une paire)(borne inférieure d’une paire)
Opérateur Opérateur MM(borne supérieure d’une paire)(borne supérieure d’une paire)Opérateur Opérateur MM(borne supérieure d’une paire)(borne supérieure d’une paire)
m(A)m(A) donne le plus grand sous-ensemble qui forme une paire avec donne le plus grand sous-ensemble qui forme une paire avec AA
M(B)M(B) donne le plus petit sous-ensemble qui forme une paire avec donne le plus petit sous-ensemble qui forme une paire avec BB
Propriété de substitution (Critère)Propriété de substitution (Critère)Propriété de substitution (Critère)Propriété de substitution (Critère)
18
Manipuler des ensembles… problème ?Manipuler des ensembles… problème ?Manipuler des ensembles… problème ?Manipuler des ensembles… problème ?
• La décomposition d’un modèle requiert la La décomposition d’un modèle requiert la manipulation d’ensembles d’éléments.manipulation d’ensembles d’éléments.
SolutionSolution
oDéfinir des « délimiteurs » pour Définir des « délimiteurs » pour caractériser les différents ensembles.caractériser les différents ensembles.
oManipuler des ensembles d’éléments Manipuler des ensembles d’éléments revient à manipuler les délimiteurs.revient à manipuler les délimiteurs.
oDéfinir des « délimiteurs » pour Définir des « délimiteurs » pour caractériser les différents ensembles.caractériser les différents ensembles.
oManipuler des ensembles d’éléments Manipuler des ensembles d’éléments revient à manipuler les délimiteurs.revient à manipuler les délimiteurs.
Hartmanis, Stearns, Shumsky, ZhirabokHartmanis, Stearns, Shumsky, ZhirabokHartmanis, Stearns, Shumsky, ZhirabokHartmanis, Stearns, Shumsky, Zhirabok
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Principe du Principe du délimiteurdélimiteurPrincipe du Principe du délimiteurdélimiteur
PartitionsPartitions– Hartmanis & StearnsHartmanis & Stearns
FonctionsFonctions– Shumsky & ZhirabokShumsky & Zhirabok
Délimiteur Délimiteur Classe d’équivalence Classe d’équivalence
Proposition :Proposition :Manipuler les délimiteurs au lieu Manipuler les délimiteurs au lieu de manipuler les ensemblesde manipuler les ensembles
20
Ensembles finisEnsembles finisEnsembles finisEnsembles finis
Ensembles infinisEnsembles infinisEnsembles infinisEnsembles infinis
11
22
33
44
55
66
Délimiteur d’ensembles finisDélimiteur d’ensembles finisDélimiteur d’ensembles finisDélimiteur d’ensembles finis
Une partition de S Une partition de S est un ensemble de blocs est un ensemble de blocs supplémentaires dont l’union recouvre supplémentaires dont l’union recouvre l’ensemble l’ensemble SS
Une partition de S Une partition de S est un ensemble de blocs est un ensemble de blocs supplémentaires dont l’union recouvre supplémentaires dont l’union recouvre l’ensemble l’ensemble SS
Par exemplePar exemple•11 est une partition qui regroupe les est une partition qui regroupe les nombres pairs et les nombres impairs.nombres pairs et les nombres impairs.
21
Délimiteur d’ensembles infinisDélimiteur d’ensembles infinisDélimiteur d’ensembles infinisDélimiteur d’ensembles infinis
• Toute fonction Toute fonction f(x)f(x) crée un partitionnement de crée un partitionnement de son ensemble de définition son ensemble de définition XX
• Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction même image avec la fonction f(x).f(x).
• Toute fonction Toute fonction f(x)f(x) crée un partitionnement de crée un partitionnement de son ensemble de définition son ensemble de définition XX
• Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction même image avec la fonction f(x).f(x).
Par exemple :Par exemple :Le noyau de toute fonction définit le bloc Le noyau de toute fonction définit le bloc d’une partition de d’une partition de XX..
22
Propriété d’invariancePropriété d’invariancePropriété d’invariancePropriété d’invariance
Soit une fonctionSoit une fonction
Si Si AA possède la propriété de substitution par rapport à possède la propriété de substitution par rapport à alors alors
la fonction la fonction est invariante par rapport à est invariante par rapport à
23
Structures algébriques…Structures algébriques…Structures algébriques…Structures algébriques…
24
Algèbre d’ensembles Algèbre d’ensembles Algèbre d’ensembles Algèbre d’ensembles
• Relation d’ordre «Relation d’ordre «⊆⊆»»• Opération d’union «Opération d’union «∪∪»»• Opération d’intersection «Opération d’intersection «∩∩»»
Algèbre de partitions Algèbre de partitions Algèbre de partitions Algèbre de partitions
• Relation d’ordre « ≤ »Relation d’ordre « ≤ »• Addition de partitions « + »Addition de partitions « + »• Multiplication de partitions « . »Multiplication de partitions « . »
Algèbre des fonctions Algèbre des fonctions Algèbre des fonctions Algèbre des fonctions
• Relation d’ordre « Relation d’ordre « » »• Opération d’union « Opération d’union « » »• Opération d’intersection « Opération d’intersection « » »
Outils identiques Outils identiques indépendants des indépendants des
équations des modèleséquations des modèles
Outils identiques Outils identiques indépendants des indépendants des
équations des modèleséquations des modèles
25
Formulation du problème de Formulation du problème de décompositiondécomposition
Formulation du problème de Formulation du problème de décompositiondécomposition
Ensemble Ensemble de de
commandecommande
Ensemble Ensemble de de
commandecommande
Ensemble Ensemble d’entrées d’entrées inconnuesinconnues
Ensemble Ensemble d’entrées d’entrées inconnuesinconnues
Ensemble Ensemble de de
défaillancesdéfaillances
Ensemble Ensemble de de
défaillancesdéfaillances
A découplerA découpler
avecavec
Fonction de Fonction de décompositiondécomposition
Fonction de Fonction de décompositiondécomposition
26
ModèleModèleModèleModèle
Sous-modèleSous-modèleSous-modèleSous-modèle
Méthode de décompositionMéthode de décompositionMéthode de décompositionMéthode de décomposition
Initialisation: Initialisation: Ensemble de solutions possiblesEnsemble de solutions possibles
Initialisation: Initialisation: Ensemble de solutions possiblesEnsemble de solutions possibles
Recherche itérative de la Recherche itérative de la solution optimalesolution optimale
Recherche itérative de la Recherche itérative de la solution optimalesolution optimale
Validation de la Validation de la solution obtenuesolution obtenueValidation de la Validation de la
solution obtenuesolution obtenue
Sous-modèle Sous-modèle découplédécouplé
Sous-modèle Sous-modèle découplédécouplé
27
Problème Problème d’optimisation d’optimisation
Problème Problème d’optimisation d’optimisation
Plus petit sous-ensemble Plus petit sous-ensemble qui remplit les critèresqui remplit les critères
Plus petit sous-ensemble Plus petit sous-ensemble qui remplit les critèresqui remplit les critères
Sous-modèle de Sous-modèle de dimension dimension minimaleminimale
Sous-modèle de Sous-modèle de dimension dimension minimaleminimale
Critères de Critères de décompositiondécomposition
•Robustesse Robustesse •Sensibilité Sensibilité
Critères de Critères de décompositiondécomposition
•Robustesse Robustesse •Sensibilité Sensibilité
Contraintes de Contraintes de décompositiondécomposition
•Existence du SMExistence du SM•Synthèse du MDSynthèse du MD
Contraintes de Contraintes de décompositiondécomposition
•Existence du SMExistence du SM•Synthèse du MDSynthèse du MD
Critères de décompositionCritères de décompositionCritères de décompositionCritères de décompositionCritère de découplageCritère de découplageCritère de découplageCritère de découplage
Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de
Propriété de couplagePropriété de couplagePropriété de couplagePropriété de couplage
Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de
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Robustesse aux Robustesse aux perturbationsperturbations
Robustesse aux Robustesse aux perturbationsperturbations
Sensibilité aux Sensibilité aux défaillancesdéfaillances
Sensibilité aux Sensibilité aux défaillancesdéfaillances
Contraintes de décompositionContraintes de décompositionContraintes de décompositionContraintes de décomposition
Contrainte d’invarianceContrainte d’invarianceContrainte d’invarianceContrainte d’invariance
Contrainte de mesurabilitéContrainte de mesurabilitéContrainte de mesurabilitéContrainte de mesurabilité
Déterminer le plus grand sous ensemble invariant et découpléDéterminer le plus grand sous ensemble invariant et découpléDéterminer le plus grand sous ensemble invariant et découpléDéterminer le plus grand sous ensemble invariant et découplé
Fait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sortiesFait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sortiesFait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sortiesFait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sorties
29
Existence du Existence du sous-modèlesous-modèleExistence du Existence du sous-modèlesous-modèle
Synthèse du Synthèse du module détecteurmodule détecteur
Synthèse du Synthèse du module détecteurmodule détecteur
ImplémentationImplémentationImplémentationImplémentation
30
simplesimple
InitialisationInitialisationInitialisationInitialisation
ItérationItérationItérationItération
ValidationValidationValidationValidation
Sous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découplé
Test d’invarianceTest d’invarianceTest d’invarianceTest d’invariance
Composante mesurableComposante mesurableComposante mesurableComposante mesurable
Test d’invarianceTest d’invarianceTest d’invarianceTest d’invariance
CouplageCouplageCouplageCouplage
Ensemble de Ensemble de définitiondéfinition
Ensemble de Ensemble de définitiondéfinition
Ensemble Ensemble d’étatd’état
Ensemble Ensemble d’étatd’état
Sous-ensemble Sous-ensemble d’états visibles à d’états visibles à travers les sortiestravers les sorties
Sous-ensemble Sous-ensemble d’états visibles à d’états visibles à travers les sortiestravers les sorties
31
Sous-ensembles Sous-ensembles invariantsinvariants
Sous-ensembles Sous-ensembles invariantsinvariants
32
Sous-ensemble Sous-ensemble d’état découpléd’état découpléSous-ensemble Sous-ensemble d’état découpléd’état découplé
Sous-ensemble d’état Sous-ensemble d’état non-découplénon-découplé
Sous-ensemble d’état Sous-ensemble d’état non-découplénon-découplé
Critère de Critère de découplagedécouplageCritère de Critère de
découplagedécouplage
33
Le plus grand Le plus grand sous-ensemble sous-ensemble
découplédécouplé
Le plus grand Le plus grand sous-ensemble sous-ensemble
découplédécouplé
InitialisationInitialisationInitialisationInitialisation
34
ItérationItérationItérationItération
35
Le plus grand Le plus grand ensemble découplé ensemble découplé
et invariantet invariant
Le plus grand Le plus grand ensemble découplé ensemble découplé
et invariantet invariant
36
Contrainte de Contrainte de mesurabilitémesurabilité
Contrainte de Contrainte de mesurabilitémesurabilité
37
Détermination du plus Détermination du plus petit sous-ensemble petit sous-ensemble découplé invariant et découplé invariant et
mesurablemesurable
Détermination du plus Détermination du plus petit sous-ensemble petit sous-ensemble découplé invariant et découplé invariant et
mesurablemesurable
38
Sous-ensemble Sous-ensemble découplé invariant et découplé invariant et
mesurablemesurable
Sous-ensemble Sous-ensemble découplé invariant et découplé invariant et
mesurablemesurable
39
Vérification du Vérification du critère de couplagecritère de couplage
Vérification du Vérification du critère de couplagecritère de couplage
Sous-ensemble Sous-ensemble d’état non-coupléd’état non-couplé
Sous-ensemble Sous-ensemble d’état non-coupléd’état non-couplé
Sous-ensemble Sous-ensemble d’état coupléd’état couplé
Sous-ensemble Sous-ensemble d’état coupléd’état couplé
40
Problèmes rencontrés et traitésProblèmes rencontrés et traitésProblèmes rencontrés et traitésProblèmes rencontrés et traités
• La contrainte d’invarianceLa contrainte d’invariance– Que faire s’il n’existe pas de sous-ensemble découplé Que faire s’il n’existe pas de sous-ensemble découplé
invariant ?invariant ?
• Problème d’initialisationProblème d’initialisation– Comment trouver le sous-ensemble découplé maximal ?Comment trouver le sous-ensemble découplé maximal ?
• Aspect calculatoiresAspect calculatoires– Comment déterminer les opérateurs Comment déterminer les opérateurs mm et et MM dans les cas dans les cas
calculatoires complexes?calculatoires complexes?
41
Injection de sortiesInjection de sortiesInjection de sortiesInjection de sorties
Élimination de variablesÉlimination de variablesÉlimination de variablesÉlimination de variables
Fonctions équivalentesFonctions équivalentesFonctions équivalentesFonctions équivalentes
Injection de sortiesInjection de sortiesInjection de sortiesInjection de sorties
• ProblèmeProblèmeRelâcher la contrainte d’invariance et proposer un critère général Relâcher la contrainte d’invariance et proposer un critère général
d’invariance étendued’invariance étendue
• SolutionSolution– Injection de sorties pour pallier à l’information perdue par Injection de sorties pour pallier à l’information perdue par
décompositiondécomposition– Seules les sorties insensibles aux perturbations sont injectéesSeules les sorties insensibles aux perturbations sont injectées– Extension de la technique connue dans le cadre des SEC au cas Extension de la technique connue dans le cadre des SEC au cas
des SEDdes SED
42
Injection de sortiesInjection de sortiesInjection de sortiesInjection de sorties
43
Les sorties compensent l’information perdue lors Les sorties compensent l’information perdue lors de la décompositionde la décomposition
x1 x2x4
x3Injection de sortiesInjection de sortiesInjection de sortiesInjection de sorties
InvarianceInvarianceInvarianceInvariance étendueétendueétendueétendue
SortieSortieSortieSortie
Sous-modèle réalisableSous-modèle réalisableSous-modèle n’est pas réalisableSous-modèle n’est pas réalisable
Extension événementielleExtension événementielleExtension événementielleExtension événementielle
44
Indéterminisme si Indéterminisme si b se produitb se produit
Indéterminisme si Indéterminisme si b se produitb se produit
Algorithme de décompositionAlgorithme de décompositionAlgorithme de décompositionAlgorithme de décomposition
45
étendu (Injection de sorties)étendu (Injection de sorties)
InitialisationInitialisationInitialisationInitialisation
ItérationItérationItérationItération
ValidationValidationValidationValidation
Sous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découplé
Test Test d’invariance d’invariance
étenduétendu
Test Test d’invariance d’invariance
étenduétendu
Composante mesurableComposante mesurableComposante mesurableComposante mesurable
Test d’invariance Test d’invariance étendu étendu
Test d’invariance Test d’invariance étendu étendu
CouplageCouplageCouplageCouplage
Algorithme de décompositionAlgorithme de décompositionAlgorithme de décompositionAlgorithme de décomposition
46
étendu (algèbre des fonctions)étendu (algèbre des fonctions)
Élimination Élimination de variablesde variablesÉlimination Élimination de variablesde variables
InitialisationInitialisationInitialisationInitialisation
ItérationItérationItérationItération
ValidationValidationValidationValidation
Sous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découpléSous-ensemble d’état découplé
Test Test d’invariance d’invariance
étenduétendu
Test Test d’invariance d’invariance
étenduétendu
Composante mesurableComposante mesurableComposante mesurableComposante mesurable
Test d’invariance Test d’invariance étendu étendu
Test d’invariance Test d’invariance étendu étendu
CouplageCouplageCouplageCouplage
Algorithme de décompositionAlgorithme de décompositionAlgorithme de décompositionAlgorithme de décomposition
47
étendu (algèbre des paires)étendu (algèbre des paires)
Inutile car Inutile car vérifiévérifié
Inutile car Inutile car vérifiévérifié
InitialisationInitialisationInitialisationInitialisation
ItérationItérationItérationItération
ValidationValidationValidationValidation
Partition d’état découpléePartition d’état découpléePartition d’état découpléePartition d’état découplée
Test Test d’invariance d’invariance
étenduétendu
Test Test d’invariance d’invariance
étenduétendu
Composante mesurableComposante mesurableComposante mesurableComposante mesurable
Test d’invariance Test d’invariance étendu étendu
Test d’invariance Test d’invariance étendu étendu
CouplageCouplageCouplageCouplage
MesurabilitéMesurabilitéMesurabilitéMesurabilité
48
Le système à trois cuvesLe système à trois cuvesLe système à trois cuvesLe système à trois cuves
49
Modèle temporelModèle temporel(Système d’équations différentielles)(Système d’équations différentielles)
Modèle temporelModèle temporel(Système d’équations différentielles)(Système d’équations différentielles)
Modèle événementielModèle événementiel(Machine séquentielle)(Machine séquentielle)Modèle événementielModèle événementiel(Machine séquentielle)(Machine séquentielle)
Détection et localisation de défaillancesDétection et localisation de défaillancesDétection et localisation de défaillancesDétection et localisation de défaillances
50
Représentation événementielleReprésentation événementielleReprésentation événementielleReprésentation événementielle
51
Détecteurs de sensDétecteurs de sensDétecteurs de sensDétecteurs de sens
ffVV1313ffVV3232
Défauts actionneursDéfauts actionneursDéfauts actionneursDéfauts actionneurs
Information disponible :Information disponible :Sens des débits (Sens des débits (,0,,0,))Commande des vannesCommande des vannes
Information disponible :Information disponible :Sens des débits (Sens des débits (,0,,0,))Commande des vannesCommande des vannes
Etats transitoiresEtats transitoiresEtats transitoiresEtats transitoires
Modèle de fonctionnement défaillantModèle de fonctionnement défaillantModèle de fonctionnement défaillantModèle de fonctionnement défaillant
Machine séquentielle Machine séquentielle 16 états,8 entrées + 2 défaillances16 états,8 entrées + 2 défaillances
Machine séquentielle Machine séquentielle 16 états,8 entrées + 2 défaillances16 états,8 entrées + 2 défaillances
DéfaillancesDéfaillancesDéfaillancesDéfaillances
52
Cahier des chargesCahier des chargesCahier des chargesCahier des charges
Deux machines séquentielles Deux machines séquentielles partielles découpléespartielles découplées
Deux machines séquentielles Deux machines séquentielles partielles découpléespartielles découplées
Découplée de l’influence de Découplée de l’influence de ffVV1313Découplée de l’influence de Découplée de l’influence de ffVV1313
Couplée à l’influence de Couplée à l’influence de ffVV3232Couplée à l’influence de Couplée à l’influence de ffVV3232
Découplée de l’influence de Découplée de l’influence de ffVV3232
Couplée à l’influence de Couplée à l’influence de ffVV1313
53
ffVV1313ffVV3232
Détermination de la machine séquentielle Détermination de la machine séquentielle partielle partielle ffVV1313
Détermination de la machine séquentielle Détermination de la machine séquentielle partielle partielle ffVV1313
Critères de décomposition• Critère de découplageCritère de découplage
– En généralEn général
– La partition d’entrées découpléeLa partition d’entrées découplée
– La partition d’état découpléeLa partition d’état découplée
• Critère de couplageCritère de couplage
– En généralEn général
– La partition d’entrée coupléeLa partition d’entrée couplée
– La partition d’état couplée La partition d’état couplée
Contraintes de décomposition• Contrainte d’invarianceContrainte d’invariance
– En général En général
– Partition avec propriété de substitutionPartition avec propriété de substitution
• Contrainte de mesurabilité Contrainte de mesurabilité
– Condition généraleCondition générale
– Sous ensemble découplé et mesurableSous ensemble découplé et mesurable
54
Banc de machines séquentielles Banc de machines séquentielles partielles découpléespartielles découplées
Banc de machines séquentielles Banc de machines séquentielles partielles découpléespartielles découplées
55
Génération d’indicateursGénération d’indicateursGénération d’indicateursGénération d’indicateurs
56
Table de correspondance des sortiesTable de correspondance des sortiesTable de correspondance des sortiesTable de correspondance des sorties
Calcul de l’indicateurCalcul de l’indicateurCalcul de l’indicateurCalcul de l’indicateur
• Si la sortie du système appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP Si la sortie du système appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP indicateur à 0indicateur à 0
• Si la sortie du système n’appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP Si la sortie du système n’appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP indicateur à 1indicateur à 1
57
Constantes du Mode glissant
Légende sorties :jaune cuve 1mauve cuve 2bleu cuve 3
Modèle Simulink/Stateflow du système à trois cuves+ Modules détecteurs à base de modèle temporel
et à base de modèle événementiel
Indicateurs de défauts
f
vecteur defaillance
u
vecteur commandes
Y
vecteur Sorties
continu
pulse
ferme
vanne V_{32}
continu
pulse
ferme
vanne V_20
continu
pulse
ferme
vanne V_2
continu
pulse
ferme
vanne V_13
continu
pulse
ferme
vanne V_1
seq ind 1
seq valid
seq ind 2
seq ind val 1
seq ind val 2
validation indicateurs
sortiesMSP2
sortiesMSP1
valid_ind
sequence validation
MSmes
seq etat eve mesure
MSest
seq etat eve estime
MSPf2
seq MSP 2
MSPf1
seq MSP 1
scope indicateurs valides
rb13
residu robuste a b_13
rb32
residu robuste a b32
rf2
residu rob. a f_2,b_20
rf1
residu rob. a f_1
rMS2_val
indicateur 2 valide
rMS2
indicateur 2 brut
rMS1_val
indicateur 1 valide
rMS1
indicater 1 brut
bruit blanc
generateurbruit capteurs
seq ind 1
seq MSP1
seq MSP2
seq ind 2
indic_1_filtr
indic_2_filtr
valid_indic
filtrage et calculvalidite
evenements d'entreeeve_vanne
eve vannes
eve_niveau
eve dir flux
erreur estimation
v aleur
nul
coeff Mv aleur
nul
coeff L
0.2
amplitude bruit
t
Temps
Scope mesures discretisees
Scope indicateurs bruts
Scope bruit
Scopecommandes
Residuscas temporel
three_tank_sfcn
Process Reel
Niveaux cuves
Niveaux
C3 vers C1
C1 vers C3
C2 vers C3
C3 vers C2
V13 fer
V13 ouv
V32 fer
V32 ouv
C13 neglig
C32 neglig
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
s9
s10
s11
s12
s13
s14
s15
s16
Mesures discretisees
MSP decouplee MS_f2
MSP decouplee MS_f1
0 Le niveau C3 n'est pas mesuré
Initialisation
genb32_sfcn
Gen res 4
genb13_sfcn
Gen res 3
genf2b20_sfcn
Gen res 2
genf1_sfcn
Gen res 1
Mesures
SM_2r2
Gen indicateur 2
Mesures
SM_1r1
Gen Indicateur 1
K*u
K*u
K*u
K*u
entree MSP1
entree MSP2seq etat est
Estimateur seq etat eve
gen1_sfcn
Estimateur Mode FN
en V_13
en V_32
def ev e
def temp
Défaillances
f lux13
flux32
C3 vers C1C1 vers C3C3 vers C2C2 vers C3
V13 ferv13 ouvV32 ferv32 ouvC13negC32 neg
Discretisation mesures continues
L_1,L_2,L_3
V_13
V_32
dir f lux
ouv/ferm vanne
dir f lux cont
ouv/ferm cont
Discretisation des entrees/sorties
Clock
en. commande
en. mesures
capt. f lux C_13
capt. f lux C_32
Capteurs flux
flux32
Capteur C32
flux13
Capteur C13
Add5
commande
commande
c3c3 c2c2
rf1rf1
rf2b20rf2b20
rb13rb13
rb32
c1c1
y
CommandesCommandesCommandesCommandes
DéfaillancesDéfaillancesDéfaillancesDéfaillances
Module détecteur à base Module détecteur à base de modèle événementielde modèle événementielModule détecteur à base Module détecteur à base de modèle événementielde modèle événementiel
ProcessusProcessusProcessusProcessus
Discrétisation Discrétisation des mesuresdes mesures
Discrétisation Discrétisation des mesuresdes mesures
SimulationsSimulationsSimulationsSimulationsEvolution des niveauxEvolution des niveaux
CC11, C, C22, C, C33
Evolution des niveauxEvolution des niveauxCC11, C, C22, C, C33
Commande des vannesCommande des vannesCommande des vannesCommande des vannes DéfaillancesDéfaillancesDéfaillancesDéfaillances
Capteurs de débitCapteurs de débitCapteurs de débitCapteurs de débit Evénements en entréeEvénements en entréeEvénements en entréeEvénements en entrée
58
aaaa
cccc
bbbb
dddd
eeee
gggg
ffff
hhhh
ffVV1313ffVV1313
ffVV3232ffVV3232
150
100
VV2020VV2020VV22
VV22VV11VV11
VV3232VV3232VV1313
VV1313
CC1313CC1313
CC3232CC3232
Non mesuréNon mesuré
SimulationsSimulationsSimulationsSimulationsSorties discrétisées du systèmeSorties discrétisées du systèmeSorties discrétisées du systèmeSorties discrétisées du système Sorties estimées par le modèleSorties estimées par le modèleSorties estimées par le modèleSorties estimées par le modèle
Evolution de la 1Evolution de la 1èreère MSP MSPEvolution de la 1Evolution de la 1èreère MSP MSP Evolution de la 2Evolution de la 2ndende MSP MSPEvolution de la 2Evolution de la 2ndende MSP MSP
59
SimulationsSimulationsSimulationsSimulations
Défaillance VDéfaillance V3232Défaillance VDéfaillance V3232
Réaction de l’indicateurRéaction de l’indicateursensible à Vsensible à V3232
Réaction de l’indicateurRéaction de l’indicateursensible à Vsensible à V3232
Réaction de l’indicateur Réaction de l’indicateur sensible à Vsensible à V1313
Réaction de l’indicateur Réaction de l’indicateur sensible à Vsensible à V1313
EntréesEntréesEntréesEntrées
Indicateur robuste à la défaillance de VIndicateur robuste à la défaillance de V1313Indicateur robuste à la défaillance de VIndicateur robuste à la défaillance de V1313
Indicateur robuste à la défaillance de VIndicateur robuste à la défaillance de V3232Indicateur robuste à la défaillance de VIndicateur robuste à la défaillance de V3232
Indicateur de validitéIndicateur de validitéIndicateur de validitéIndicateur de validité
60
Défaillance VDéfaillance V1313Défaillance VDéfaillance V1313
61
Le système à trois cuvesLe système à trois cuvesLe système à trois cuvesLe système à trois cuves
62
Encrassement de conduiteEncrassement de conduite
Fuite dans les cuvesFuite dans les cuves
Les défaillancesLes défaillances
Capteurs Capteurs de niveaude niveauCapteurs Capteurs de niveaude niveau
Modèle de fonctionnement défaillantModèle de fonctionnement défaillantModèle de fonctionnement défaillantModèle de fonctionnement défaillant
63
Equations d’étatEquations d’étatEquations d’étatEquations d’état
Banc de sous-modèles découplésBanc de sous-modèles découplésBanc de sous-modèles découplésBanc de sous-modèles découplés
Sous-modèle découplé de Sous-modèle découplé de bb3232Sous-modèle découplé de Sous-modèle découplé de bb3232Sous-modèle découplé de Sous-modèle découplé de bb1313Sous-modèle découplé de Sous-modèle découplé de bb1313
Sous-modèle découplé de Sous-modèle découplé de ff2 2 , b, b2020Sous-modèle découplé de Sous-modèle découplé de ff2 2 , b, b2020Sous-modèle découplé de Sous-modèle découplé de ff11Sous-modèle découplé de Sous-modèle découplé de ff11
64
Synthèse des générateurs Synthèse des générateurs d’indicateurs de défaillancesd’indicateurs de défaillances
Synthèse des générateurs Synthèse des générateurs d’indicateurs de défaillancesd’indicateurs de défaillances
Observateur d’UtkinObservateur d’Utkin
Le générateur de résidu robuste par rapport à Le générateur de résidu robuste par rapport à bb1313
UtilisationUtilisation des modes glissants des modes glissants
65
GiD robuste par rapport à GiD robuste par rapport à bb3232
GiD robuste par rapport à GiD robuste par rapport à bb3232
GiD robuste par rapport à GiD robuste par rapport à bb1313
GiD robuste par rapport à GiD robuste par rapport à bb1313
Banc de générateurs d’indicateurs de Banc de générateurs d’indicateurs de défaillancesdéfaillances
Banc de générateurs d’indicateurs de Banc de générateurs d’indicateurs de défaillancesdéfaillances
GiD robuste par rapport à GiD robuste par rapport à ff11GiD robuste par rapport à GiD robuste par rapport à ff11 GiD robuste par rapport à GiD robuste par rapport à ff22,,bb2020GiD robuste par rapport à GiD robuste par rapport à ff22,,bb2020
66
Signature des défaillancesSignature des défaillancesSignature des défaillancesSignature des défaillances
67
Constantes du Mode glissant
Légende sorties :jaune cuve 1mauve cuve 2bleu cuve 3
Modèle Simulink/Stateflow du système à trois cuves+ Modules détecteurs à base de modèle temporel
et à base de modèle événementiel
Indicateurs de défauts
f
vecteur defaillance
u
vecteur commandes
Y
vecteur Sorties
continu
pulse
ferme
vanne V_{32}
continu
pulse
ferme
vanne V_20
continu
pulse
ferme
vanne V_2
continu
pulse
ferme
vanne V_13
continu
pulse
ferme
vanne V_1
seq ind 1
seq valid
seq ind 2
seq ind val 1
seq ind val 2
validation indicateurs
sortiesMSP2
sortiesMSP1
valid_ind
sequence validation
MSmes
seq etat eve mesure
MSest
seq etat eve estime
MSPf2
seq MSP 2
MSPf1
seq MSP 1
scope indicateurs valides
rb13
residu robuste a b_13
rb32
residu robuste a b32
rf2
residu rob. a f_2,b_20
rf1
residu rob. a f_1
rMS2_val
indicateur 2 valide
rMS2
indicateur 2 brut
rMS1_val
indicateur 1 valide
rMS1
indicater 1 brut
bruit blanc
generateurbruit capteurs
seq ind 1
seq MSP1
seq MSP2
seq ind 2
indic_1_filtr
indic_2_filtr
valid_indic
filtrage et calculvalidite
evenements d'entreeeve_vanne
eve vannes
eve_niveau
eve dir flux
erreur estimation
v aleur
nul
coeff Mv aleur
nul
coeff L
0.2
amplitude bruit
t
Temps
Scope mesures discretisees
Scope indicateurs bruts
Scope bruit
Scopecommandes
Residuscas temporel
three_tank_sfcn
Process Reel
Niveaux cuves
Niveaux
C3 vers C1
C1 vers C3
C2 vers C3
C3 vers C2
V13 fer
V13 ouv
V32 fer
V32 ouv
C13 neglig
C32 neglig
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
s9
s10
s11
s12
s13
s14
s15
s16
Mesures discretisees
MSP decouplee MS_f2
MSP decouplee MS_f1
0 Le niveau C3 n'est pas mesuré
Initialisation
genb32_sfcn
Gen res 4
genb13_sfcn
Gen res 3
genf2b20_sfcn
Gen res 2
genf1_sfcn
Gen res 1
Mesures
SM_2r2
Gen indicateur 2
Mesures
SM_1r1
Gen Indicateur 1
K*u
K*u
K*u
K*u
entree MSP1
entree MSP2seq etat est
Estimateur seq etat eve
gen1_sfcn
Estimateur Mode FN
en V_13
en V_32
def ev e
def temp
Défaillances
f lux13
flux32
C3 vers C1C1 vers C3C3 vers C2C2 vers C3
V13 ferv13 ouvV32 ferv32 ouvC13negC32 neg
Discretisation mesures continues
L_1,L_2,L_3
V_13
V_32
dir f lux
ouv/ferm vanne
dir f lux cont
ouv/ferm cont
Discretisation des entrees/sorties
Clock
en. commande
en. mesures
capt. f lux C_13
capt. f lux C_32
Capteurs flux
flux32
Capteur C32
flux13
Capteur C13
Add5
commande
commande
c3c3 c2c2
rf1rf1
rf2b20rf2b20
rb13rb13
rb32
c1c1
y
CommandesCommandesCommandesCommandes
DéfaillancesDéfaillancesDéfaillancesDéfaillances
Module détecteur à base Module détecteur à base de modèle temporelde modèle temporel
Module détecteur à base Module détecteur à base de modèle temporelde modèle temporel
ProcessusProcessusProcessusProcessus
Fonctionnement NormalFonctionnement NormalFonctionnement NormalFonctionnement NormalNiveaux Niveaux
des cuvesdes cuvesNiveaux Niveaux
des cuvesdes cuvesDéfaillanceDéfaillanceDéfaillanceDéfaillance iDiD
Robuste à Robuste à ff11
iDiDRobuste à Robuste à ff11
iDiDRobuste à Robuste à ff22,,bb2020
iDiDRobuste à Robuste à ff22,,bb2020
iDiDRobuste à Robuste à bb1313
iDiDRobuste à Robuste à bb1313
iDiDRobuste à Robuste à bb3232
iDiDRobuste à Robuste à bb3232
68
MesuresMesuresMesuresMesures
Défaillance permanente Défaillance permanente bb1313Défaillance permanente Défaillance permanente bb1313
DéfaillanceDéfaillanceDéfaillanceDéfaillance iDiDRobuste à Robuste à ff11
iDiDRobuste à Robuste à ff11
iDiDRobuste à Robuste à ff22,,bb2020
iDiDRobuste à Robuste à ff22,,bb2020
iDiDRobuste à Robuste à bb1313
iDiDRobuste à Robuste à bb1313
iDiDRobuste à Robuste à bb3232
iDiDRobuste à Robuste à bb3232
69
RéactionRéactionRéactionRéaction
70 s70 s
Niveaux Niveaux des cuvesdes cuvesNiveaux Niveaux
des cuvesdes cuves
Défaillance intermittente Défaillance intermittente bb1313Défaillance intermittente Défaillance intermittente bb1313
DéfaillanceDéfaillanceDéfaillanceDéfaillance iDiDRobuste à Robuste à ff11
iDiDRobuste à Robuste à ff11
iDiDRobuste à Robuste à ff22,,bb2020
iDiDRobuste à Robuste à ff22,,bb2020
iDiDRobuste à Robuste à bb1313
iDiDRobuste à Robuste à bb1313
iDiDRobuste à Robuste à bb3232
iDiDRobuste à Robuste à bb3232
70
70sec70sec
RéactionRéactionRéactionRéaction
Niveaux Niveaux des cuvesdes cuvesNiveaux Niveaux
des cuvesdes cuves
71
ConclusionConclusionConclusionConclusion
72
FDI à base de FDI à base de modèles temporelsmodèles temporels
FDI à base de FDI à base de modèles temporelsmodèles temporels
FDI à base de modèles FDI à base de modèles événementielsévénementiels
FDI à base de modèles FDI à base de modèles événementielsévénementiels
Formalisme général de Formalisme général de FDI à base de modèles FDI à base de modèles
comportementauxcomportementaux
Formalisme général de Formalisme général de FDI à base de modèles FDI à base de modèles
comportementauxcomportementaux
Algèbre des fonctionsAlgèbre des fonctionsAlgèbre des fonctionsAlgèbre des fonctionsAlgèbre des PairesAlgèbre des PairesAlgèbre des PairesAlgèbre des Paires
Algèbre d’ensemblesAlgèbre d’ensemblesAlgèbre d’ensemblesAlgèbre d’ensembles
PerspectivesPerspectives PerspectivesPerspectives• Définir un formalisme adapté aux SDHDéfinir un formalisme adapté aux SDH
• Techniques d’élimination de variables non linéairesTechniques d’élimination de variables non linéaires– Bases de GroebnerBases de Groebner
• Utilisation alternative d’outilsUtilisation alternative d’outils– Décomposition canonique (Kalman)Décomposition canonique (Kalman)– Flux de données corrélées (théorie de l’information)Flux de données corrélées (théorie de l’information)
• Détection et de localisation de défaillances SECDétection et de localisation de défaillances SEC– Description du modèle sous forme de paires algébriquesDescription du modèle sous forme de paires algébriques– Définition d’indicateurs de défaillances directionnelsDéfinition d’indicateurs de défaillances directionnels
73
Perspectives : Décomposition de Perspectives : Décomposition de modèles hybridesmodèles hybrides
Perspectives : Décomposition de Perspectives : Décomposition de modèles hybridesmodèles hybrides
74
1.1. Considérer les dynamiques événementielles et temporelles comme Considérer les dynamiques événementielles et temporelles comme indépendantes (commutation)indépendantes (commutation)
– Décompositions indépendantes du modèle temporel et du modèle Décompositions indépendantes du modèle temporel et du modèle événementielévénementiel
2.2. Considérer le cas général et les couplages temporels-Considérer le cas général et les couplages temporels-événementielsévénementiels
– Décrire le modèle hybride sous forme de quintupletDécrire le modèle hybride sous forme de quintuplet– Proposer une structure algébrique adaptéeProposer une structure algébrique adaptée
Modèle Modèle complet hybridecomplet hybride
Sous-modèle Sous-modèle hybridehybride
Perspectives : Décomposition de Perspectives : Décomposition de modèles hybridesmodèles hybrides
Perspectives : Décomposition de Perspectives : Décomposition de modèles hybridesmodèles hybrides
75
( ) 0x
satisfaite 1
non satisfaite 0i i
i i
1..
( )( , )i
i i l
f xf x
Algèbre Algèbre des des
fonctionsfonctions
Algèbre Algèbre des des
fonctionsfonctions