Unit: Base de systmes logiques (BSL)
Portes logiques et algbre de Boole,
Portes logiqueset algbre de Boole
Etienne Messerli& collgues REDS
10 septembre 2013
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Portes logiques et algbre de Boole,
Polycopi : Electronique numrique
Portes logiques et algbre de Boolechapitre 4, pages 35 54
Circuits logiques combinatoires Simplification, tables de Karnaugh
chapitres 5-1 5-6, pages 55 64 Symboles utiliss
chapitre 4-9, pages 46 et 47
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Portes logiques et algbre de Boole,
Principe de la logique (postulat)
tre logique, cest avoir une rponse unique sans contradiction : Pas dAffirmation et de Ngation en mme temps !!! Pas de Vrai et de Faux en mme temps !!!
Une lampe ne peut jamais tre Allume (ON) et Eteinte (OFF)en mme temps
0OFF
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Portes logiques et algbre de Boole,
principe de la logique (postulat)
1ON
tre logique, cest avoir une rponse unique sans contradiction : Pas dAffirmation et de Ngation en mme temps !!! Pas de Vrai et de Faux en mme temps !!!
Une lampe ne peut jamais tre Allume (ON) et Eteinte (OFF)en mme temps
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principe de la logique (postulat)
On voit clairement une Variable binaire :
1ON
1 ON
0OFF
0 OFF
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Systme logique
C'est un systme qui traite l'information de faon logique
Pour tudier un systme logique, il faut connatre les fonctions de base (les composants) et le langage mathmatique qui permet de dcrire un comportement sous forme dquations
Pour un additionneur: X Y Z0 0 00 1 1 1 0 11 1 0
Z = (X, Y)
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Systme binaire
Systme logique qui emploie des informations lmentaires (signaux) deux valeurs
Avantages : on peut utiliser des interrupteurs comme lments
de base du systme un signal binaire est plus fiable qu'un autre plus
d'tats les dcisions prises dans un systme digital sont trs
souvent binaires En gnral, les 2 valeurs sont reprsentes par
les chiffres 0 et 1 (facilite le calcul arithmtique)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 7
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Dfinitions
Etat logique : chacune des 2 valeurs que peut prendre une variable
logique Variable logique :
grandeur qui ne peut prendre que les 2 tats logiques Variable dentre (ou simplement entre) :
information 2 tats reue par un systme logique Variable de sortie (ou simplement sortie) :
information 2 tats gnre par un systme logique Fonction logique :
relation logique entre une sortie et une ou plusieurs entres
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Types de systmes logiques
Systme combinatoire : la valeur des sorties un moment donn dpend
uniquement des valeurs des entres cet instant le comportement est entirement spcifi par une table,
nomme table de vrit, qui pour chaque combinaison des entres donne la valeur des sorties
pour n entres, la table de vrit comporte 2n lignes la sortie est immdiate
Systme squentiel : la valeur des sorties dpend de la valeur des entres au
cours du temps: il faut une mmoire l'obtention d'un rsultat peut demander plusieurs tapes,
avec mmorisation de rsultats intermdiaires
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Additionneur combinatoire
X1X0Y1Y0
Z2Z1Z0
+
X1 X0 Y1 Y0 Z2 Z1 Z00 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 00 0 1 1 0 1 10 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0 01 0 0 0 0 1 01 0 0 1 0 1 11 0 1 0 1 0 01 0 1 1 1 0 11 1 0 0 0 1 11 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1 0
Y
X
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Additionneur squentiel
XiYi
mmoire
Zi
retenue
+
Pour effectuer laddition, il faudra acheminer les bits des oprandes vers les entres Xi et Yi, dans le bon ordre
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Dcomposition sortie par sortie
Chaque bit de sortie peut tre exprim en fonction des entres indpendamment des autres
sorties Z2 vaut 1 lorsque (X1=0 et X0=1 et Y1=1 et Y0=1)
ou (X1=1 et X0=0 et Y1=1 et Y0=0)ou (X1=1 et X0=0 et Y1=1 et Y0=1)ou (X1=1 et X0=1 et Y1=0 et Y0=1)ou (X1=1 et X0=1 et Y1=1 et Y0=0)ou (X1=1 et X0=1 et Y1=1 et Y0=1)
Un systme combinatoire N sorties peut tre dcompos en N systmes combinatoires une seule sortie
X1 X0 Y1 Y0 Z2 Z1 Z00 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 00 0 1 1 0 1 10 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0 01 0 0 0 0 1 01 0 0 1 0 1 11 0 1 0 1 0 01 0 1 1 1 0 11 1 0 0 0 1 11 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1 0
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Conventions : quations logiques
Pour abrger lcriture : Z vaut 1 lorsque remplac par Z = Y vaut 1 remplac par Y Y vaut 0 remplac par / Y linverse de remplac par / et remplac par ou remplac par + ordre de priorit : / +
Ainsi, la sortie Z2 peut tre dcrite par lquation logique : Z2 = /X1 X0 Y1 Y0 + X1 /X0 Y1 /Y0 +
X1 /X0 Y1 Y0 + X1 X0 /Y1 Y0 +X1 X0 Y1 /Y0 + X1 X0 Y1 Y0
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Les portes logiques de bases
Etude des fonctions d'une variableNous verrons la porte logique de base : NON
Etude des fonctions de deux variablesNous verrons les portes logiques de base : ET, OUnous verrons ensuite des combinaisons : NON-ET, NON-OU OU-Exclusif
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4 fonctions d'une variable
F1.0 = 0 constanteF1.1 = A transmissionF1.2 = not A = /AF1.3 = 1 constante
VariableA01
Fonctions F1.0 00
F1.1 01
F1.2 10
F1.3 11
Seule fonction non triviale dune seule variable :
le NON (inversion logique)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 15
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Inverseur NON NOT
Symbolis par un triangle pointant vers la sortie, suivi ou prcd dun petit cercle ou dune demi-flche
La sortie du circuit est ltat logique inverse de son entre
0 1
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Portes logiques et algbre de Boole,
Inverseur NON NOT
1 0
Symbolis par un triangle pointant vers la sortie, suivi ou prcd dun petit cercle ou dune demi-flche
La sortie du circuit est ltat logique inverse de son entre
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16 fonctions de deux variables ...
F2.0 = 0 F2.4 = not A and B = /A BF2.1 = A and B = A B F2.5 = BF2.2 = A and not B = A /B F2.6 = A xor B = A BF2.3 = A F2.7 = A or B = A + B
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16 fonctions de deux variables
Nous pouvons reprer les fonctions : ET (AND, intersection) = F2.1 OU (OR, runion) = F2.7
Autre fonction logique intressante : OU-EXCLUSIF (XOR) = F2.6
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16 fonctions de deux variables
F2.8 = /F2.7 = /(A + B) F2.C = /F2.3 = /AF2.9 = /F2.6 = /(A B) F2.D = /F2.2 F2.A = /F2.5 = /B F2.E = /F2.1 = /(A B)F2.B = /F2.4 F2.F = /F2.0 = 1
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.16 fonctions de deux variables
Les fonctions F2.8 F2.F sont respectivement les inverses des fonctions F2.7 F2.0
3 de ces fonctions sont intressantes : NON-ET (NAND) : fonction universelle NON-OU (NOR) : fonction universelle NON-OU-EXCLUSIF (XNOR) : fonction galit
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Porte logique ET AND
La sortie de la porte ET est 1 si toutes les entres sont 1 . sortie ET a 1 si : a ET b ET c ET d sont 1
a
bc
d
S
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porte logique ET AND
La sortie de la porte ET est 1 si toutes les entres sont 1. Il y a un seul cas :
1
1
1
1
1
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porte logique ET AND
Dans les autres cas la sortie est '0'
0000
0
01
1
1
0
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Porte logique OU OR
La sortie du circuit OU est 1 si une entre est 1. sortie OU a 1 si : a OU b OU c OU d est 1
a
bc
d
S
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porte logique OU OR
Si une entre est 1, la sortie est 1.
1000
1
1111
1
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porte logique OU OR
Si tous les entres sont 0 alors la sortie est 0. Il y a un seul cas :
0000
0
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Porte logique NON-ET NAND
La sortie de la porte NON-ET est 1 si une entre est 0 . sortie NON-ET a 1 si : a OU b OU c OU d est 0
a
bc
d
S
Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 28
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Porte logique NON-OU NOR
La sortie du circuit NON-OU est 1 si toutes les entres sont 0. sortie NON-OU a 1 si : a ET b ET c ET d sont 0
a
bc
d
S
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Fonctions de base
NON (NOT): inversion ou complment logique
ET (AND): produit ou intersection logique
a /a0 11 0
a b ab0 0 00 1 01 0 01 1 1
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OU (OR): somme ou union logiquea b a#b0 0 00 1 11 0 11 1 1
a b ab0 0 00 1 11 0 11 1 0
Impossible dafficher limage.
fonctions de base
OU-exclusif (XOR) : pas une fonction de base, mais proprits intressantes
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fonctions de base
Les fonctions ET, OU et OU-EXCLUSIF plus de 2 entres peuvent tre ralises laide des fonctions correspondantes 2 entres seulement
3 formes : Parallle (non dcompose) Dcomposition pyramidale Dcomposition en cascade
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ABCD
F
AB
CD
F
AB
CD
F
Parallle
Pyramidale
Cascade
fonctions de base
Exemple : fonction ET 4 entres
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fonctions de base
Nous pouvons dcrire tout systme combinatoire, quel que soit son nombre dentres, avec seulement les 3 fonctions de base : inversion ET 2 entres OU 2 entres
ou seulement avec la fonction universelle NAND 2 entres
ou seulement avec la fonction universelle NOR 2 entres
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Fonctions universelles
Un fonction est universelle lorsquelle permet la ralisation des trois fonctions logiques de base (NON, ET, OU)
NAND
NOR
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Logigramme
Logigramme = schma logique Utilise les symboles graphiques des
fonctions usuelles (ET, OU, ) Montre les liaisons entre les entres, les
fonctions utilises et les sorties Par convention, les signaux vont de gauche
droite (entres gauche, sorties droite)
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Conventions
A lintrieur dune fonction : logique positive (tat actif = 1)
A lextrieur : logique mixte (tat actif indiqu)
UNIQUEMENTen logique positive
Bouton_Press
nContactnAllume
Ferme
Logique mixte : ltat actif est prcis dans le nom
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Exercices
Ecrivez lquation logique des sorties Z1 et Z0 de ladditionneur 2 bits de la page 10.
Exprimez la fonction OU-EXCLUSIF 2 entres laide des fonctions de base uniquement, dessiney le logigramme.
Pourquoi la fonction XNOR est-elle appele galit ?
Faites une dcomposition en pyramide dune fonction OU 4 entres, en utilisant des fonctions OU 2 entres.
Ralisez la fonction impair 3 entres, en utilisant des fonctions OU-EXCLUSIF 2 entres.
Dmontrez que les fonctions NAND et NOR sont universelles.
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Exercices
Dessinez un schma de la fonction Z2 (pages 12 et 13), en nutilisant que des fonctions ET et OU 2 entres, ainsi que des inversions (voir symboles pages 30 et 31).
Dessinez le schma de la fonction S2 = X1 Y1 + X1 X0 Y0 + X0 Y1 Y0en nutilisant que des fonctions ET et OU 2 entres, ainsi que des inversions.
Dmontrez que les fonctions S2 et Z2 ci-dessus sont identiques (ont exactement le mme comportement logique)
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Algbre de Boole : postulats
Postulats de l'algbre de BooleA + /A = 1 (A or /A = 1)A /A = 0 (A and /A = 0)
dcoulent de l'hypothse :l'inverse d'une variable ne peut jamais avoir la mme valeur que la variable
Les postulats seront viols dans les circuits rels !
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Algbre de Boole : thormes
I /(/A) = A thorme de linvolution not(notA) = AII A + 0 = AIII A 0 = 0IV A + 1 = 1V A 1 = AVI A + A = A idempotence de loprateur OUVII A A = A idempotence de loprateur ET
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thormes
VIII A + B = B + A commutativit
IX A B = B A commutativit
X A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C associativitXI A (B C) = (A B) C = A B C associativitXII A + B C = (A + B) (A + C) distributivitXIII A (B + C) = (A B) + (A C) distributivit
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thormes
Thormes de De Morgan (1806-1871)XIV /(A + B) = /A /BXV /(A B) = /A + /B
ConsensusXVI (A B) + (/A C) + (B C) = (A B) + (/A C)XVII (A + B) (/A + C) (B + C) = (A + B) (/A + C)
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Table de vrit (TDV)
Liste des valeurs de sortie en fonction des combinaisons des entres
Permet de spcifier touts les tats d'une fonction logique => cahier des charges
A
B S
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Construction TDV
Lister les combinaisons des entres N entres => 2N lignes dans la table
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Mintermes
On appellee minterme, ou function unit de deux variables chacun des quatre monmes de ces deux variables:
Ceci se gnralise n variables
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F2.8 = /A /BF2.4 = /A BF2.2 = A /BF2.1 = A B
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Liste des mintermes d'une fonction
Soit la TDV d'une fonction :
Nous pouvons rsumer la TDV en donnant la liste des mintermes :
F (C,B,A) = 0, 3, 5, 7
0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1
No C B A F
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Forme canonique dcimale
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Notion de Systme
Un systme est une collection organise d'objets qui interagissent pour former un tout
Objets = composants du systme Interconnexions = liens entre les objets
ncessaires pour les interactions Structure = organisation du systme
(composants, interconnexions) Comportement = fonctionnement du systme
(entres, sorties)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 48
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entres sorties
composant
interconnexion
Vue d'un systme
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Analyse: Dterminer le comportement d'un systme
partir dune description textuelle
Conception: Dterminer la structure ncessaire qui produit
un comportement donn. Plusieurs structures sont possibles pour obtenir
un mme comportement (entres sorties)
Ralisation d'un systme
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Solution logicielle ou matrielle
Tout traitement ralis par un programme peut tre ralis par un composant matriel
Solution logicielle souplesse grande capacit de traitement (beaucoup de
donnes) lent
Solution matrielle rapide ncessite beaucoup de matriel (composants
logiques) temps de dveloppement important
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Les niveaux d'abstraction
L'abstraction se rfre la distinction entre les proprits externes d'un systme et les dtails de sa composition interne
L'abstraction d'un systme comprend: la suppression de certains dtails pour montrer
seulement l'essence du sujet (pour chaque niveau d'abstraction il faut pouvoir diffrencier ce qui est essentiel des dtails superflus)
une structure une division en sous-systmes (composants)
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Ralit versus Abstraction
L'abstraction est utile et ncessaire, mais il ne faut pas oublier la ralit
Les abstractions possdent toujours des limites qu'il faut connatre
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Exemples
Les int (integer) ne sont pas des entiers et les float ne sont pas des rels
Est-ce que x2 0 est toujours vrai? pour les float, oui pour les int (32 bits sign), pas toujours:
40'000 * 40'000 1'600'000'000 50'000 * 50'000 ??
Est-ce que (x+y)+z = x+(y+z) est toujours vrai? pour les integer, oui pour les float, pas toujours:
(1e20 + -1e20) + 3.14 3.14 1e20 + (-1e20 + 3.14) ??
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Conception de systmes logiques combinatoires
plusieurs quationssont possibles
plusieurs logigrammessont possibles
Cahier des charges(souvent textuelle)
Table de vrit
Logigramme
Equations logiques(simplification)
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Equation canonique dcoule directement de la TDV. Mais il peut exister des solutions quivalentes.
Exemple: la fonction OU
Comment simplifi la fonction => deux mthodes: algbrique (algbre de Boole) graphique (table de Karnaugh)
B A Z
0 0 00 1 11 0 11 1 1
Equation logique
solution canonique:
Z(B,A) = BA + BA + BA
solution simplifie:
Z(B,A) = B + A
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Diagramme de Venn
Reprsentation graphique dune fonction logiqueET: intersection OU: runion
ETA B
OUA B
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Table de Karnaugh
Forme stylise dun diagramme de Venn Chaque case correspond
une combinaison des valeurs des entres donc un minterme donc une ligne de la table de vrit
N entres 2N cases Dans chaque case on indique la valeur de la
fonction 0 1 - ou => tat indiffrent
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table de Karnaugh
Variables dentre indpendantes : chaque variable a une intersection avec toutes les autres variables et avec toutes les intersections des autres variables
Fonction de 3 variables : 23 cases = 8
A
B CA
C B00 01 11 10
0
1
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table de Karnaugh
Autre notation de la table
A
B
C
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Table de Karnaugh 4 variables
D C00 01 11 10
00
01
B A
11
10
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Structure de la table de Karnaugh
Une table de Karnaugh est similaire une table de vrit:tat des sorties pour toutes les combinaisons des entres
Dans la table de vrit, chaque combinaison des entres correspond une ligne; dans la table de Karnaugh chaque combinaison des entres correspond une case.
Le nombre de cases table de Karnaugh d'une fonction n variables est donc gal 2n
Les cases de la table de Karnaugh sont arranges de telle faon qu'une seule variable change entre deux cases contigus
Toute case d'une table de Karnaugh n variables est contigu n autres cases
Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 62
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Voici les 4 cases contigus pour la combinaison des entres DCBA
D
C
B
A
Exemple table de Karnaugh 4 variables
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Portes logiques et algbre de Boole,
0
1
2
3
0
1
2
3
6
7
4
5
D
B
A
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
B
A
C
A
B
C
f(B,A)
f(D,C,B,A)
f(C,B,A)
00 01 11 10
00
01
11
10
DC
BA
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Portes logiques et algbre de Boole,
D
B
A
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
C
f(E,D,C,B,A)
D
24
25
27
26
28
29
31
30
20
21
23
22
16
17
19
18
C
E
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Portes logiques et algbre de Boole,
0 4 12 8
1 5 13 9
3 7 15 11
2 6 14 10
32 36 44 40
33 37 45 41
35 39 47 43
34 38 46 42
16 20 28 24
17 21 29 25
19 23 31 27
18 22 30 26
48 52 60 56
49 53 61 57
51 55 63 59
50 54 62 58
F
D D
E
B
B
A
A
C C
f(F,E,D,C,B,A)
Ordre D inverser!
Ordre B inverser!
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Portes logiques et algbre de Boole,
Reprsentation d'une fonction
Une fonction est reprsente l'aide d'une table de Karnaugh en mettant la valeur de la fonction l'intrieur de chaque case
Exemple: Z(D,C,B,A) = (3,4,5,6,7,11,12,13,14,15)
C
D
B
A
0 1 1 0
0 1 1 0
1 1 1 1
0 1 1 0
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
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Portes logiques et algbre de Boole,
Exemple partir d'une table de vrit:
0
1
2
3
6
7
4
5
C
A
00 01 11 10
0
1
B
C B A f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1
f(C,B,A)
1 1 1
1
reprsentation d'une fonction
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Portes logiques et algbre de Boole,
Simplification par Karnaugh
Simplification base sur lapplication graphique de lalgbre de Boole
AC B
00 01 11 10
0
1
1
1
terme /C B /A
terme /C B A
somme des 2 termes:
/C B /A + /C B A =
/C B ( /A + A ) = /C B
groupe /C B
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Portes logiques et algbre de Boole,
simplification par Karnaugh
Un groupe de deux '1' adjacents (ayant une frontire commune non rduite un point) sexprime sous la forme dun produit comportant N-1 variables
Par analogie : le groupement de deux groupes adjacents de
deux '1' sexprime sous la forme dun produit comportant N-2 variables, etc
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AC B
00 01 11 10
0
1
Lexpression d'un groupe donne ses caractristiques
Le groupe ci-dessous est caractris par le fait quil est contenu dans A mais lextrieur de C. Donc il sexprime par
/C A
simplification par Karnaugh
1 1
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D C00 01 11 10
00
01
B A
11
10
simplification par Karnaugh
Expression : groupe de quatre '1'
produit de N-2 variables
(4-2=2) caractristiques :
dans A et lextrieur de D /D A
1 1
1 1
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Portes logiques et algbre de Boole,
simplification par Karnaugh
Rsum : groupe de deux '1' => produit de N - 1 variables groupe de quatre '1' => produit de N - 2 variables groupe de huit '1' => produit de N - 3 variablesfinalement : groupe de 2N '1' => 1
un groupe est nomm: Impliquant dune fonction il s'agit du produit des variables de la fonction.
Chaque impliquant est reprsent dans la table de Karnaugh par un groupe de cases contigus, en un nombre gal une puissance de deux
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Portes logiques et algbre de Boole,
La table de Karnaugh permet l'obtention de l'quation minimale d'une fonction logique, sous la forme d'une somme de produits
En effet, tout produit logique correspond un ensemble de cases contigus dont le nombre est une puissance de 2
Si le nombre de variables de la fonction est gal n et le nombre de cases contigus est gal 2m, le produit correspondant aura seulement n-m variables
La somme de produits minimale d'une fonction correspond donc l'ensemble minimal de groupes de cases de la table de Karnaugh o la fonction est gale 1. Le nombre de cases de chaque groupe doit tre une puissance de 2
simplification par Karnaugh
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Impliquant premier:impliquant qui n'est pas inclus dans un autre impliquant plus grand.La solution minimale d'une fonction est forme seulement d'impliquants premiers. Mais tous les impliquants premiers ne font ncessairement pas partie de la solution minimale.
Impliquant premier essentiel:impliquant premier qui contient au moins un mintermequi n'est pas inclus dans un autre impliquant premier. Un impliquant premier essentiel fait toujours partie de la solution minimale.
Marche suivre avec Karnaugh
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Portes logiques et algbre de Boole,
Mthode de minimisation Dresser la liste de tous les impliquants
premiers de la fonction Dresser la liste de tous les impliquants
premiers essentiels Tous les impliquants premiers essentiels
font partie de la solution minimale Couvrir les mintermes restants avec un
nombre minimal dimpliquants premiers
marche suivre avec Karnaugh
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Portes logiques et algbre de Boole,
Marche suivre avec Karnaugh
Pour trouver lexpression en somme de produits la plus simple rechercher les plus grands groupes possibles commencer par les groupes contenant des '1' isols
'1' isol = '1' qui nentre que dans un seul groupe ajouter les groupes les plus grands qui incluent des
'1' nayant pas encore t pris ajouter les '1' ne pouvant pas tre groups
(= mintermes) jusqu ce que tous les '1' aient t pris un '1' peut faire partie de plusieurs groupes (1 ou 1
= 1), mais il suffit quil soit pris une seule fois
Rsum
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Portes logiques et algbre de Boole,
Exercices
Ecrivez la table de vrit, cherchez lexpression simplifie en somme de produits puis dessinez le logigramme de la fonction majorit 3 entres.MAJ = 1 si la majorit des 3 entres est 1.
Dessinez le logigramme ci-dessus en utilisant un nombre minimum de NAND 2 entres ( lexclusion de toute autre fonction).
Dessinez le logigramme ci-dessus en utilisant un nombre minimum de NOR 2 entres ( lexclusion de toute autre fonction).
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Portes logiques et algbre de Boole,
exercices
Dessinez le logigramme le plus simple dun encodeur de priorit 4 entres, In3, In2, In1, In0. Les 4 entres sont classes par ordre de priorit de 3 (la plus prioritaire) 0 (la moins prioritaire). Une sortie 2 bits donne le numro de lentre 1 la plus prioritaire. Une sortie supplmentaire indique si une des entres au moins est 1.
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Portes logiques et algbre de Boole,
exercices
Donner l'quation la plus simple pour la fonction Z donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:
D C00 01 11 10
00
01
B A
11
10
0
0
1
0
1 0
0 1 0
1
1 1 0
10 1Z
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Portes logiques et algbre de Boole,
exercices
Donner l'quation la plus simple pour la fonction Z donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:
D C00 01 11 10
00
01
B A
11
10
0
0
0
0
1 0
0 1 1
1
1 1 1
11 1Z
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Portes logiques et algbre de Boole,
exercices
Donner l'quation la plus simple pour la fonction Z donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:
D C00 01 11 10
00
01
B A
11
10
1
1
1
1
1 0
1 0 0
1
0 1 0
11 1Z
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Portes logiques et algbre de Boole,
Fonction incompltement dfinie
Frquemment, il y a des combinaisons d'entrs qui ne sont pas utilises (inexistantes)
Nous pouvons alors choisir l'tat de sortie de la fonction pour la combinaison d'entres correspondante
Nous l'indiquerons par : - ou (tat indiffrent) Dans la table de Karnaugh, ltat indiffrent
pourra tre considr comme 0 ou 1 Sert crer des impliquants les plus grands
possibles
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Portes logiques et algbre de Boole,
Valeur impaire d'un nombre BCD
La fonction de sortie Impaire nest dfinie que pour les combinaisons BCD
Il y a 6 combinaisons o la fonction n'est pas spcifie=> choix tat de sortie => -
Dterminer l'quation simplifie de la fonction Impaire
Nombre BCD Impaire0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 -1 0 1 1 -1 1 0 0 -1 1 0 1 -1 1 1 0 -1 1 1 1 -
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Portes logiques et algbre de Boole,
3, 200 01 11 10
00
01
1, 0
11
10
Nbr_BCD
valeur impaire d'un nombre BCD
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Portes logiques et algbre de Boole,
Exercices
Donner l'quation la plus simple pour la fonction P donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:
D C00 01 11 10
00
01
B A
11
10
1
-
0
0
1 0
1 - -
0
- 1 0
11 0P
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Portes logiques et algbre de Boole,
exercices
Donner l'quation la plus simple pour la fonction F donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:
D C00 01 11 10
00
01
B A
11
10
0
0
0
-
1 0
0 0 -
1
- 1 1
11 -F
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