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12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 1 / 33
Régulation automatique (REG)Chapitre 5 : Performances des systèmes asservis
Prof. Michel [email protected]
Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-VD)Département des Technologies Industrielles (TIN)
http://www.heig-vd.ch/tin
12 juin 2014
Performances des systèmes asservis
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 2 / 33
1. Stabilité (notamment le degré de stabilité)2. Précision (notamment en régime permament)3. Rapidité4. Qualité
Stabilité
Performances dessystèmes asservis
StabilitéStabilité dessystèmes linéaires:définitionStabilité: critèremathématique
Mode apériodiqueCi · esi·t · ǫ(t)
Mode oscillatoire|Ci| · e
−δ·t ·sin (ω0 · t) · ǫ(t)
Conditionfondamentale destabilitéStabilité: propriétéintrinsèque dusystème
Exemple:asservissement deposition aveccontrôle decouple/courant(exercice 21):régulateur P
Exemple:asservissement deposition aveccontrôle decouple/courant(exercice 21):régulateur PD
Précision en
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 3 / 33
Stabilité des systèmes linéaires : définition
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 4 / 33
U ( s )
u ( t )
Y ( s )
y ( t )G ( s )f _ 0 5 _ 0 4 . e p s
t [ s ]0
u ( t )
t [ s ]0
i n s t a b l e
s t a b l e
y ( t )
m a r g i n a l e m e n t
s t a b l e
Stabilité des systèmes linéaires : définition
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 4 / 33
U ( s )
u ( t )
Y ( s )
y ( t )G ( s )f _ 0 5 _ 0 4 . e p s
t [ s ]0
u ( t )
t [ s ]0
i n s t a b l e
s t a b l e
y ( t )
m a r g i n a l e m e n t
s t a b l e
Un système dynamique linéaire est stable si, et seulement si, écarté de sa position
d’équilibre par une sollicitation extérieure, le système revient à cette position
d’équilibre lorsque la sollicitation a cessé.
Stabilité des systèmes linéaires : définition
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 4 / 33
u
xC a p t e u r
r é g u l a t e u r n u m é r i q u ei m p l a n t é d a n s u n P C
y
wDA
AD
j ( t )
r
F
i a
u a ( t )
L aR a
M
f _ 0 5 _ 2 0 . e p s
Stabilité : critère mathématique
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 5 / 33
U ( s )
u ( t )
Y ( s )
y ( t )G ( s )f _ 0 5 _ 0 5 . e p s
t [ s ]0
u ( t ) = d ( t )
t [ s ]0
y ( t )
?
Stabilité : critère mathématique
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 5 / 33
U ( s )
u ( t )
Y ( s )
y ( t )G ( s )f _ 0 5 _ 1 5 . e p s
Y (s) = G(s) · U(s)︸︷︷︸
L{δ(t)}
= G(s)
G(s) est une fraction rationelle en s :
G(s) =Y (s)
U(s)=
bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . .+ b1 · s+ b0
sn + an−1 · sn−1 + . . .+ a1 · s+ a0
Stabilité : critère mathématique
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 5 / 33
G(s) =Y (s)
U(s)=
bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . .+ b1 · s+ b0
sn + an−1 · sn−1 + . . .+ a1 · s+ a0
On admet pour ce qui suit que :
1. G(s) a plus de pôles que de zéros, i.e. son degré relatif d = n−m > 02. Tous les pôles s1, s2, . . . , sn de G(s) sont simples
Stabilité : critère mathématique
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 5 / 33
La décomposition de G(s) en éléments simples prend la forme
Y (s) = G(s) =bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . .+ b1 · s+ b0
sn + an−1 · sn−1 + . . .+ a1 · s+ a0
=C1
s− s1+
C2
s− s2+ . . .+
Cn
s− sn
=n∑
i=1
Ci
s− si
où C1 à Cn sont les résidus associés aux pôles s1 à sn.
Stabilité : critère mathématique
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 5 / 33
On peut alors calculer la réponse y(t) à la sollicitation u(t) = δ(t) :
y(t) = L−1{Y (s)} = L−1
{C1
s− s1+
C2
s− s2+ . . .+
Cn
s− sn
}
= g(t) = C1 · es1·t · ǫ(t) + C2 · es2·t · ǫ(t) + . . .+ Cn · esn·t · ǫ(t)
=n∑
i=1
Ci · esi·t · ǫ(t)
La réponse impulsionnelle y(t) = g(t) est formée de n modes typeCi · esi·t · ǫ(t).A chaque pôle si est associé le mode temporel Ci · esi·t · ǫ(t).
Mode apériodique Ci · esi·t · ǫ(t)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 6 / 33
Un mode apériodique est un mode associé à un pôle réel.
Ci
s− si−→ Ci · esi·t · ǫ(t)
On voit qu’il s’agit d’un mode ayant l’allure d’une exponentielle paramétréepar le pôle lui-même.
Mode apériodique Ci · esi·t · ǫ(t)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 6 / 33
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
g(t)
Mode apériodique
0 1 2 3 4 50
0.5
1
g(t)
0 1 2 3 4 50
5
10
t [s]
g(t)
−10 −5 0−5
0
5Configuration pôle−zéro
Re
Im
−10 −5 0−5
0
5
Re
Im
−10 −5 0−5
0
5
Re
Im
f_mode_rap_1.eps
T_K.sq T_K.sq.exe
Mode apériodique Ci · esi·t · ǫ(t)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 6 / 33
0 1 2 3 4 50
0.5
1
g(t)
Mode apériodique
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
g(t)
0 1 2 3 4 50
50
100
150
t [s]
g(t)
−2 0 2
−10
0
10
Configuration pôle−zéro
Re
Im
−2 0 2
−10
0
10
Re
Im
−2 0 2
−10
0
10
Re
Imf_mode_exp_1.eps
Mode oscillatoire |Ci| · e−δ·t · sin (ω0 · t) · ǫ(t)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 7 / 33
Un mode oscillatoire est associé à une paire de pôles complexes :
Ci
(s− si)+
Ci
(s− si)−→ |Ci| · e−δ·t · sin (ω0 · t) · ǫ(t)
où {−δ = ℜ{si}ω0 = ℑ{si}
Le mode oscillatoire est constitué d’un terme sinusoïdal pondéré par uneexponentielle.
Mode oscillatoire |Ci| · e−δ·t · sin (ω0 · t) · ǫ(t)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 7 / 33
0 1 2 3 4 5−5
0
5
g(t)
Mode sinusoïdal
0 1 2 3 4 5−10
−5
0
5
10
g(t)
0 1 2 3 4 5
−20
−10
0
10
20
t [s]
g(t)
−1.5 −1 −0.5 0 0.5
−20
−10
0
10
20
0.05
0.05
Configuration pôle−zéro
Re
Im
−1.5 −1 −0.5 0 0.5
−20
−10
0
10
20
0.05
0.05
Re
Im
−1.5 −1 −0.5 0 0.5
−20
−10
0
10
20
0.05
0.05
Re
Imf_moderap2_1.eps
zeta_wn_K.sq zeta_wn_K.sq.exe
Mode oscillatoire |Ci| · e−δ·t · sin (ω0 · t) · ǫ(t)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 7 / 33
0 1 2 3 4 5−10
−5
0
5
10
g(t)
Mode sinusoïdal
0 1 2 3 4 5−20
−10
0
10
20
g(t)
0 1 2 3 4 5−2000
−1000
0
1000
t [s]
g(t)
−2 0 2
−10
0
10
Configuration pôle−zéro
Re
Im
−2 0 2
−10
0
10
Re
Im
−2 0 2
−10
0
10
Re
Imf_mode_sin_1.eps
Condition fondamentale de stabilité
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 8 / 33
Un système dynamique linéaire est stable si et seulement si tous les pôles
de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative :
ℜ{si} < 0 [s−1]
R e0
s
I m
z o n e i n s t a b l e
( d e m i - p l a n c o m p l e x e
d r o i t )
z o n e s t a b l e
( d e m i - p l a n c o m p l e x e
g a u c h e )
f _ 0 5 _ 0 6 . e p s
Stabilité : propriété intrinsèque du système
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 9 / 33
m~F (t)
Rf
x(t)
~v(t) system_Rf_m_0(.mp)
Modélisation (Newton) m · dvdt
= F (t)−Rf · v(t)Fonction de transfert (c.i. nulles) m · s · V (s) = F (s)−Rf · V (s)
=⇒ G(s) = Y (s)U(s) =
1m·s+Rf
=1
Rf
1+s· mRf
=1
Rf
1+s·τ
Stabilité : propriété intrinsèque du système
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 9 / 33
m~F (t)
Rf
x(t)
~v(t) system_Rf_m_0(.mp)
Fonction de transfert (c.i. nulles)
=⇒ G(s) = Y (s)U(s) =
1m·s+Rf
=1
Rf
1+s· mRf
=1
Rf
1+s·τ
Pôle de G(s) s1 = −Rf
m= − 1
τ
=⇒ Le pôle s1, et par suite la stabilité de G(s), ne dépend que desparamètres du système représenté par G(s).
Stabilité : propriété intrinsèque du système
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 9 / 33
ℜ{si} < 0 [s−1]
La stabilité d’un système dynamique linéaire ne dépendant que des pôles de
sa fonction de transfert, elle est donc une propriété intrinsèque au système, i.e.elle ne dépend que de ses paramètres (Ra, J , CL, etc) mais aucunement del’excitation u(t).
Il est donc faut de dire "le signal d’excitation a rendu le système instable".
Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur P
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 10 / 33
Σ
−
Kwi KT Σ
+
Kmθw(t) y(t)
ia(t) Tem(t) ω(t) θ(t)
Trés(t)
Kp
u(t)Temc(t)e(t)
1
s·J1
s
ex_ra_21_1(.mp)
Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur P
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 10 / 33
Σ
−
Kwi KT Σ
+
Kmθw(t) y(t)
ia(t) Tem(t) ω(t) θ(t)
Trés(t)
Kp
u(t)Temc(t)e(t)
1
s·J1
s
ex_ra_21_1(.mp)
Σ
e(t)
w(t) y(t)Ka
s2Kp
ex_ra_21_4(.mp)
Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur P
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 10 / 33
Σ
e(t)
w(t) y(t)Ka
s2Kp
ex_ra_21_4(.mp)
Σ
e(t)
w(t) y(t)Ko
s2
ex_ra_21_5(.mp)
Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur P
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 10 / 33
Σ
e(t)
w(t) y(t)Ko
s2
ex_ra_21_5(.mp)
Fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) =Ko
s2
(Go(s) est instable !)Fonction de transfert en boucle fermée (régul. de correspondance)
Gyw(s) =Y (s)W (s) =
Go(s)1+Go(s)
=Kos2
1+Kos2
= Ko
s2+Ko
Pôles en boucle fermée s2 +Ko = 0 =⇒ sf1,2 = ±j ·√
Ko
(Gyw(s) est marginalement stable !)
Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur PD
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 11 / 33
Kp · (1 + s · Td)Σ
−
Kwi KT Σ
+
Kmθw(t) y(t)
ia(t) Tem(t) ω(t) θ(t)
Trés(t)
1
s·J1
s
u(t)Temc(t)e(t)
ex_ra_21_3(.mp)
Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur PD
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 11 / 33
Kp · (1 + s · Td)Σ
−
Kwi KT Σ
+
Kmθw(t) y(t)
ia(t) Tem(t) ω(t) θ(t)
Trés(t)
1
s·J1
s
u(t)Temc(t)e(t)
ex_ra_21_3(.mp)
Σ
e(t)
w(t) y(t)Ka
s2Kp · (1 + s · Td)
ex_ra_21_6(.mp)
Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur PD
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 11 / 33
Σ
e(t)
w(t) y(t)Ka
s2Kp · (1 + s · Td)
ex_ra_21_6(.mp)
Σ
e(t)
w(t) y(t)Ko ·1+s·Td
s2
ex_ra_21_7(.mp)
Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur PD
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 11 / 33
Σ
e(t)
w(t) y(t)Ko ·1+s·Td
s2
ex_ra_21_7(.mp)
Fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) = Ko · 1+s·Td
s2
(Go(s) est instable !)Fonction de transfert en boucle fermée (régul. de correspondance)
Gyw(s) =Y (s)W (s) =
Go(s)1+Go(s)
=Ko·
1+s·Tds2
1+Ko·1+s·Td
s2
= . . . = 1+s·Td
1+s·Td+s2· 1Ko
Pôles (complexes) en boucle fermée
1 + s · Td + s2 · 1Ko
= 0 =⇒ sf1,2 = −Td
2± j ·
√4Ko
− Td
2
(ℜ{sf1,2} = −Td
2 < 0 =⇒ Gyw(s) est stable !)
Précision en régime permanent
Performances dessystèmes asservis
Stabilité
Précision enrégime permanent
Précision enrégime permanent
Précision enrégime permanent(rég. corresp.)
Précision enrégime permanent
Schémafonctionneluniversel
Calcul de l’erreurPrécision enrégime permanent
Cas particulier:erreur statiqueE∞
Tableau deserreurspermanentes
Rapidité dessystèmes derégulationautomatique
Qualité
Pôles dominants12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 12 / 33
Précision en régime permanent
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 13 / 33
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_2(.mp)
Ep = limt→∞
e(t) = limt→∞
(w(t)− y(t))
Précision en régime permanent (rég. corresp.)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 14 / 33
t [ s ]0
w ( t )y a ( t ) , e r r e u r s t a t i q u e n u l l e
y b ( t ) , e r r e u r s t a t i q u e n o n - n u l l e
R é g i m e t r a n s i s t o i r e R é g i m e p e r m a n e n t
R é g i m e p e r m a n e n t c o n s t a n t
= > e r r e u r d ' o r d r e 0 o u e r r e u r s t a t i q u e
f _ 0 5 _ 1 6 . e p s
Précision en régime permanent (rég. corresp.)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 14 / 33
y b ( t ) , e r r e u r e n v i t e s s e n o n - n u l l e
0
w ( t )
t [ s ]
y c ( t ) , e r r e u r e n v i t e s s e i n f i n i e
y a ( t ) , e r r e u r e n v i t e s s e n u l l e
R é g i m e p e r m a n e n t v a r i a b l e d ' o r d r e 1
= > e r r e u r d ' o r d r e 1 o u e r r e u r e n v i t e s s e
f _ 0 5 _ 1 7 . e p s
R é g i m e t r a n s i s t o i r e R é g i m e p e r m a n e n t
Précision en régime permanent (rég. corresp.)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 14 / 33
0
w ( t )
t [ s ]
y c ( t ) , e r r e u r e n a c c é l é r a t i o n i n f i n i e
y b ( t ) , e r r e u r e n a c c é l é r a t i o n n o n - n u l l ey a ( t ) , e r r e u r e n a c c é l é r a t i o n n u l l e
R é g i m e p e r m a n e n t v a r i a b l e d ' o r d r e 2
= > e r r e u r d ' o r d r e 2 o u e r r e u r e n a c c é l é r a t i o n
f _ 0 5 _ 1 8 . e p s
R é g i m e t r a n s i s t o i r e R é g i m e p e r m a n e n t
Précision en régime permanent (rég. corresp.)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 14 / 33
0 0.5 1 1.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
θ(t)
Déplacement de position angulaire de 1 [rad]
f_demo_bb_3.eps
Précision en régime permanent (rég. corresp.)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 14 / 33
0 0.5 1 1.50
0.5
1θ
Déplacement élémentaire de position angulaire de 1 [rad]
0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
ω
0 0.5 1 1.5−4
−2
0
2
4
t [s]
α
f_demo_bb_1.eps
Précision en régime permanent (rég. corresp.)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 14 / 33
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.5
1θ
Déplacement élémentaire de position angulaire de 1 [rad]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.2
0.4
0.6
0.8
ω
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−4
−2
0
2
4
t [s]
α
f_demo_bb_2.eps
Précision en régime permanent (rég. corresp.)
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 14 / 33
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
θ(t)
Déplacement de position angulaire de 1 [rad]
f_demo_bb_4.eps
Précision en régime permanent
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 15 / 33
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_2(.mp)Forme des fonctions de transfert (forme de Bode) :
Ga1(s) =Ka1
sαa1·Ra1(s)
Ga2(s) =Ka2
sαa2·Ra2(s)
Gc(s) =Kc
sαc·Rc(s)
Go(s) =Ko
sα·Ro(s)
avec Ko = Kc ·Ka1 ·Ka2 =Kp
Ti︸︷︷︸
gain permamentdu régulateur
·Ka1 ·Ka2
Précision en régime permanent
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 15 / 33
Kp ·
1+s·Tis·Ti
e(t) y(t)Ka1
1+s·τ1
Ka2s
·
11+s·τ2
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_31(.mp)
Précision en régime permanent
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 15 / 33
Kp ·
1+s·Tis·Ti
e(t) y(t)Ka1
1+s·τ1
Ka2s
·
11+s·τ2
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_31(.mp)Forme des fonctions de transfert (forme de Bode) :
Ga1(s) =Ka1
sαa1·Ra1(s) = Ka1 ·
1
1 + s · τ1Ra1(0) = 1
Ga2(s) =Ka2
sαa2·Ra2(s) =
Ka2
s· 1
1 + s · τ2Ra2(0) = 1
Gc(s) =Kc
sαc·Rc(s) =
Kc
s· (1 + s · Ti) Rc(0) = 1
Go(s) =Ko
sα·Ro(s) =
Ko
s2· 1
(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)Ro(0) = 1
avec Ko = Kc ·Ka1 ·Ka2 =Kp
Ti︸︷︷︸
gain permamentdu régulateur
·Ka1 ·Ka2
Précision en régime permanent
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 15 / 33
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_2(.mp)Forme des fonctions de transfert (forme de Bode) :
Ga1(s) =Ka1
sαa1·Ra1(s) Ra1(0) = 1
Ga2(s) =Ka2
sαa2·Ra2(s) Ra2(0) = 1
Gc(s) =Kc
sαc·Rc(s) Rc(0) = 1
Go(s) =Ko
sα·Ro(s) Ro(0) = 1
avec Ko = Kc ·Ka1 ·Ka2 =Kp
Ti︸︷︷︸
gain permamentdu régulateur
·Ka1 ·Ka2 Rk(s) (Ra1(s), Ra2(s),
Rc(s) et Ro(s)) sont des fractions rationnelles en s de forme
Schéma fonctionnel universel
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 16 / 33
Désignation des intégrateurs des fonctions de transfert :
nombre d’intégrateurs situés avant l’introductiondes perturbations
α1
nombre d’intégrateurs situés après l’introductiondes perturbations
α2
nombre total d’intégrateurs de la boucle α = α1 + α2
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
α1 α2
α = α1 + α2
reg_05_1_32(.mp)
Schéma fonctionnel universel
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 16 / 33
Désignation des intégrateurs des fonctions de transfert :
nombre d’intégrateurs situés avant l’introductiondes perturbations
α1 = 1
nombre d’intégrateurs situés après l’introductiondes perturbations
α2 = 1
nombre total d’intégrateurs de la boucle α = α1 + α2 = 1 + 1 = 2
Kp ·
1+s·Tis·Ti
e(t) y(t)Ka1
1+s·τ1
Ka2s
·
11+s·τ2
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_31(.mp)
Calcul de l’erreur
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 17 / 33
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_2(.mp)
Expression de l’erreur :e(t) = w(t)− y(t)
Dans le domaine de Laplace :
E(s) = W (s)− Y (s)
= W (s)− [Gc(s) ·Ga(s) · E(s)−Ga2(s) · V (s)]︸ ︷︷ ︸
Y (s)
Calcul de l’erreur
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 17 / 33
Expression de l’erreur :e(t) = w(t)− y(t)
Dans le domaine de Laplace :
E(s) = W (s)− Y (s)
= W (s)− [Gc(s) ·Ga(s) · E(s)−Ga2(s) · V (s)]︸ ︷︷ ︸
Y (s)
E(s) · (1 +Gc(s) ·Ga(s)) = W (s) +Ga2(s) · V (s)
E(s) =1
1 +Gc(s) ·Ga(s)·W (s) +
Ga2(s)
1 +Gc(s) ·Ga(s)· V (s)
E(s) =1
1 +Go(s)·W (s) +
Ga2(s)
1 +Go(s)· V (s)
Précision en régime permanent
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 18 / 33
E(s) =1
1 +Go(s)·W (s) +
Ga2(s)
1 +Go(s)· V (s)
En régime permanent (théorème de la valeur finale) :
Ep = limt→∞
e(t) = lims→0
s · E(s)
= lims→0
[s
1 +Go(s)·W (s)
]
+ lims→0
[s ·Ga2(s)
1 +Go(s)· V (s)
]
= lims→0
[
s
1 + Ko
sα·Ro(s)
·W (s)
]
+ lims→0
[
s · Ka2sαa2 ·Ra2(s)
1 + Ko
sα·Ro(s)
· V (s)
]
= lims→0
[sα+1
sα +Ko·W (s)
]
+ lims→0
[Ka2 · sα−αa2+1
sα +Ko· V (s)
]
= lims→0
[sα+1
sα +Ko·W (s)
]
+ lims→0
[Ka2 · sα1+1
sα +Ko· V (s)
]
Précision en régime permanent
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 18 / 33
E(s) =1
1 +Go(s)·W (s) +
Ga2(s)
1 +Go(s)· V (s)
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_2(.mp)
Ep = limt→∞
e(t) = lims→0
s · E(s) = lims→0
[sα+1
sα +Ko·W (s)
]
+lims→0
[Ka2 · sα1+1
sα +Ko· V (s)
]
Cas particulier : erreur statique E∞
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 19 / 33
■ w(t) = ǫ(t)■ v(t) = ǫ(t)
(w(t) et v(t) constantes pour t → ∞)Ep est l’erreur statique ou erreur d’ordre 0.
Ep = limt→∞
e(t) = lims→0
s · E(s) = lims→0
[sα+1
sα +Ko·W (s)
]
+lims→0
[Ka2 · sα1+1
sα +Ko· V (s)
]
Cas particulier : erreur statique E∞
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 19 / 33
Ep = limt→∞
e(t) = lims→0
s · E(s) = lims→0
[sα+1
sα +Ko·W (s)
]
+lims→0
[Ka2 · sα1+1
sα +Ko· V (s)
]
1. Si α = 0 (aucune intégration dans la boucle, α1 = α2 = 0) :
Ep = E∞ = lims→0
sα+1
sα +Ko·
W (s)︷︸︸︷
1
s
+ lims→0
Ka2 · sα1+1
sα +Ko·
V (s)︷︸︸︷
1
s
= lims→0
[s0
s0 +Ko
]
+ lims→0
[Ka2 · s0s0 +Ko
]
=
[1
1 +Ko
]
+
[Ka2
1 +Ko
]
= E∞w︸ ︷︷ ︸
6=0
+E∞v︸︷︷︸
6=0
Cas particulier : erreur statique E∞
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 19 / 33
Ep = limt→∞
e(t) = lims→0
s · E(s) = lims→0
[sα+1
sα +Ko·W (s)
]
+lims→0
[Ka2 · sα1+1
sα +Ko· V (s)
]
2. Si α = 1, α1 = 1, α2 = 0 (une intégration dans la boucle, intégrateursitué avant le point d’introduction des perturbations) :
Ep = E∞ = lims→0
[sα+1
sα +Ko· 1s
]
+ lims→0
[Ka2 · sα1+1
sα +Ko· 1s
]
= lims→0
[s1
s1 +Ko
]
+ lims→0
[Ka2 · s1s1 +Ko
]
= [0] +[0]
= E∞w +E∞v
Cas particulier : erreur statique E∞
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 19 / 33
3. Si α = 1, α1 = 0, α2 = 1 (une intégration dans la boucle, intégrateursitué après le point d’introduction des perturbations) :
Ep = E∞ = lims→0
[sα+1
sα +Ko· 1s
]
+ lims→0
[Ka2 · sα1+1
sα +Ko· 1s
]
= lims→0
[s1
s1 +Ko
]
+ lims→0
[Ka2 · s0s1 +Ko
]
= [0] +
[Ka2
Ko
]
= E∞w︸ ︷︷ ︸
=0
+E∞v︸︷︷︸
6=0
Cas particulier : erreur statique E∞
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 19 / 33
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
α1 α2
α = α1 + α2
reg_05_1_32(.mp)
Pour annuler une erreur statique, il faut une intégration dans la boucle, celle-ci devant
impérativement se situer en amont du point d’introduction des perturbations si l’on
veut annuler l’effet de ces dernières.
Tableau des erreurs permanentes
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 20 / 33
Erreur statique Erreur en vitesse Erreur en accélération(erreur d’ordre 0) (erreur d’ordre 1) (erreur d’ordre 2)
E∞ Ev Eaα1 α2 α
E∞w E∞v Evw Evv Eaw Eav
0 0 0 11+Ko
Ka21+Ko
∞ ∞ ∞ ∞0 1 1 0 Ka2
Ko
1Ko
∞ ∞ ∞1 0 1 0 0 1
Ko
Ka2Ko
∞ ∞1 1 2 0 0 0 Ka2
Ko
1Ko
∞2 0 2 0 0 0 0 1
Ko
Ka2Ko
2 1 3 0 0 0 0 0 Ka2Ko
Tableau des erreurs permanentes
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 20 / 33
En résumé :
1. Mettre le schéma du système de régulation automatique sous forme deschéma fonctionnel universel
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
−
w(t)
v(t)
reg_05_1_2(.mp)
2. Mettre les fonctions de transfert Gc(s), Ga1(s), Ga2(s) et Go(s) sousforme de Bode : en déduire les gains permanents Ka2 et Ko
3. Identifier le nombre d’intégrateurs α1 de Gc(s) et Ga1(s) réunis, α2 deGa2(s) et α = α1 + α2 de Go(s)
4. Utiliser le tableau des erreurs permanentes pour calculer les erreursstatiques E∞w en régulation de correspondance et E∞v en régulation demaintien :
Erreur statique
E∞α1 α2 α
E∞w E∞v
0 0 01
1+Ko
Ka2
1+Ko
0 1 1 0Ka2
Ko
1 0 1 0 0
Rapidité des systèmes de régulation
automatique
Performances dessystèmes asservis
Stabilité
Précision enrégime permanent
Rapidité dessystèmes derégulationautomatique
Rapidité dessystèmes derégulationautomatique
Cas particulier:Gyw(s) d’ordre 1fondamentalCas particulier:Gyw(s) d’ordre 2fondamentalSystèmes à tempsmort
Qualité
Pôles dominants
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 21 / 33
Rapidité des systèmes de régulation automatique
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 22 / 33
T 1 0 %
T 9 0 %
D
T d é pT m
T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 0 7 . e p s
t [ s ]0
¥y¥× y0 5.1
¥× y9 5.0
La durée de réglage Trég est la durée mesurée entre l’instant d’application dusaut de consigne w(t) et l’instant où la grandeur réglée y(t) ne s’écarte plusd’une bande de tolérance de ±5% tracée autour de sa valeur finale y∞.
Rapidité des systèmes de régulation automatique
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 22 / 33
T 1 0 %
T 9 0 %
D
T d é pT m
T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 0 7 . e p s
t [ s ]0
¥y¥× y0 5.1
¥× y9 5.0
Le temps de montée Tm est la durée que met le signal y(t) pour passer de10 à 90% de sa valeur finale y∞.
Cas particulier : Gyw(s) d’ordre 1 fondamental
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 23 / 33
Si, en régulation de correspondance, on a
Gyw(s) =Y (s)
W (s)=
Kyw
1 + s · τf=
Kyw
τf· 1
s− (− 1τf)=
kyw
s− sf
alors y(t) = γ(t) = Kyw ·(
1− e− t
τf
)
· ǫ(t).
Cas particulier : Gyw(s) d’ordre 1 fondamental
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 23 / 33
Si, en régulation de correspondance, on a
Gyw(s) =Y (s)
W (s)=
Kyw
1 + s · τf=
Kyw
τf· 1
s− (− 1τf)=
kyw
s− sf
alors y(t) = γ(t) = Kyw ·(
1− e− t
τf
)
· ǫ(t). Donc :
y(Trég) = 0.95 · y∞ = 0.95 ·Kyw = Kyw ·(
1− e−
Trégτf
)
Cas particulier : Gyw(s) d’ordre 1 fondamental
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 23 / 33
Si, en régulation de correspondance, on a
Gyw(s) =Y (s)
W (s)=
Kyw
1 + s · τf=
Kyw
τf· 1
s− (− 1τf)=
kyw
s− sf
alors y(t) = γ(t) = Kyw ·(
1− e− t
τf
)
· ǫ(t). Donc :
y(Trég) = 0.95 · y∞ = 0.95 ·Kyw = Kyw ·(
1− e−
Trégτf
)
Trég = −τf · log (1− 0.95) ≈ 3 · τf
Trég = 3 · τf =3
|sf |=
3
|ℜ{sf}|
Cas particulier : Gyw(s) d’ordre 1 fondamental
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 23 / 33
0R e
I m
s
s f 2 = - 1 / T f 2
f _ 0 5 _ 0 8 . e p s
s f 1 = - 1 / T f 1
1. Gyw1(s) =Y (s)W (s) =
Kyw1
1+s·τf1
2. Gyw2(s) =Y (s)W (s) =
Kyw2
1+s·τf2
Cas particulier : Gyw(s) d’ordre 2 fondamental
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 24 / 33
0R e
I m s
f _ 0 5 _ 0 9 . e p s
+ j w 0
- j w 0
- d
wn
■ Gyw(s) =Y (s)W (s) =
Kyw
1+ 2·ζωn
·s+ 1
ω2n·s2
=kyw
(s+δ)2+ω20
■ Pôles : sf1,2 = −δ ± j · ω0
Cas particulier : Gyw(s) d’ordre 2 fondamental
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 24 / 33
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Réponse indicielle d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω
n 1+s2/ω
n2)=k
2/((s+δ)2+ω
02)
t [s]
f_sys_fond_02_1.eps
Réponse indicielle de Gyw(s) :
y(t) = γ(t) = Kyw ·
1− 1√
1− ζ2· e−δ·t︸︷︷︸
enveloppe
· sin (ω0 · t+ ϕ)
· ǫ(t)
Cas particulier : Gyw(s) d’ordre 2 fondamental
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 24 / 33
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Réponses indicielles d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω
n 1+s2/ω
n2)=k
2/((s+δ)2+ω
02)
t [s]
δ=1 [s−1]=const
ω0 variable
f_sys_fond_treg_01_1.eps
Trég ≈ 3
δ=
3
|ℜ{sf}|
Systèmes à temps mort
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 25 / 33
T rt [ s ]0
u ( t )
y ( t )
f _ 0 5 _ 1 0 . e p s
Un temps mort, ou retard pur, est l’intervalle de temps Tr compris entrel’instant où l’on provoque une variation de la grandeur d’entrée u(t) d’unsystème et celui où débute la variation corrélative de la grandeur de sortie y(t).
L{x(t− Tr)} = X(s) · e−s·Tr e−s·Tr
Qualité
Performances dessystèmes asservis
Stabilité
Précision enrégime permanent
Rapidité dessystèmes derégulationautomatique
Qualité
Qualité
Pôles dominants
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 26 / 33
Qualité
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 27 / 33
T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 1 1 . e p s
t [ s ]0
y 1 ( t )
y 2 ( t )
Qualité
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 27 / 33
T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 1 1 . e p s
t [ s ]0
y 1 ( t )
y 2 ( t )
ISE : "integral of square of error"
JISE =
∫ Trég
0e(τ)2 · dτ
Qualité
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 27 / 33
T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 1 1 . e p s
t [ s ]0
y 1 ( t )
y 2 ( t )
"ITSE" : integral of time multiplied by square of error
JITSE =
∫ Trég
0τ · e(τ)2 · dτ
Qualité
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 27 / 33
T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 1 1 . e p s
t [ s ]0
y 1 ( t )
y 2 ( t )
Prise en compte de l’énergie nécessaire
J = q ·∫ Trég
0e(τ)2 · dτ
︸ ︷︷ ︸
JISE
+r ·∫ Trég
0u(τ)2 · dτ
︸ ︷︷ ︸
JISU
Pôles dominants
Performances dessystèmes asservis
Stabilité
Précision enrégime permanent
Rapidité dessystèmes derégulationautomatique
Qualité
Pôles dominants
Pôles dominantsℜ{Pôles dominants}des systèmesasservisPôles dominantscomplexesconjugés
ℑ{Pôles dominants}des systèmesasservisCourbes équi-amortissement
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 28 / 33
Pôles dominants
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 29 / 33mod_dom.m
Pôles dominants
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 29 / 33
0
0.5
1
−5
0
5
0.5
0.5
Im
0
0.5
1
−5
0
5
0.5
0.5
Im
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
t [s]−10 −5 0
−5
0
5
0.5
0.5
Re
Im
f_mode_dom_02_1.eps
Pôles dominants
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 29 / 33
0
0.5
1
−10
−5
0
5
10
0.5
0.5
Im
0
0.5
1
−10
−5
0
5
10
0.5
0.5
Im
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
t [s]−20 −15 −10 −5 0
−10
−5
0
5
10
0.5
0.5
Re
Im
f_mode_dom_03_1.eps
ℜ{Pôles dominants} des systèmes asservis
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 30 / 33
La partie réelle des pôles dominants impose la durée de réglage Trég :
Trég ≈ 3
|ℜ {sf}|=
3
δ
■ Position du pôle dominant (système à 1 seul pôle dominant, réel) :
sf = − 3
Trég
■ Partie réelle de la paire de pôles dominants (système à1 paire de pôles dominants complexes conjugés )
ℜ{sf1,2} = − 3
Trég
Pôles dominants complexes conjugés
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 31 / 33
0R e
I m s
f _ 0 5 _ 1 2 . e p s
+ j w 0
- j w 0
- d = - 3 / T r e gw
n
Y = a r c si n ( z )
ℑ{Pôles dominants} des systèmes asservis
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 32 / 33
La partie imaginaire ω0 des pôles impose le taux d’amortissement ζ :
sf1,2 = −δ ± j · ω0 = −ζ · ωn ± j · ωn ·√
1− ζ2
d’où :
ζ =δ
ωn=
δ√
δ2 + ω20
−→ courbes équi-amortissement
ζ = δ√δ2+ω2
0
= δωn
= sin (Ψ) = const.0
R e
I m s
f _ 0 5 _ 1 2 . e p s
+ j w 0
- j w 0
- d = - 3 / T r e g
wn
Y = a r c si n ( z )
Courbes équi-amortissement
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 33 / 33
0 R e
I m s
f _ 0 5 _ 1 3 . e p s
z = 1 . 0
z = 0 . 7 0 7
z=0.0
z=0 . 5
Y =4 5 [
d e g ]
Y =3 0 [ d
e g ]
Courbes équi-amortissement
12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 33 / 33
−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2
2
0.9
0.8
0.7
0.60.5
0.4 0.3 0.2 0.1
0.9
0.8
0.7
0.60.5
0.4 0.3 0.2 0.1
Re
Im
Plan complexe
f_exemple_sgrid_1.eps
sgrid([0:0.1:1.0],[],’new’)