N° d’ordre 2006-ISAL-00129 Année 2006
Thèse
ETUDE DE L’ATTENUATION DES ONDES ULTRASONORES. APPLICATION AU CONTROLE NON DESTRUCTIF DES
SOUDURES EN ACIER INOXYDABLE AUSTENITIQUE
présentée devant
L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
pour obtenir
le grade de docteur
Ecole doctorale : MEGA
par
Marie-Aude PLOIX
Soutenue le 20 décembre 2006 devant la Commission d’examen
Jury
CONOIR Jean-Marc Directeur de recherche CNRS, LAUE Rapporteur ELGUERJOUMA Rachid Professeur, LAUM Directeur de thèse GUY Philippe Maître de conférence, GEMPPM LHEMERY Alain HDR, Ingénieur de recherche, CEA Rapporteur MOYSAN Joseph HDR, LCND ROYER Daniel Professeur, LOA Président du jury Membres invités : CHASSIGNOLE Bertrand Ingénieur de recherche, EDF R&D CORNELOUP Gilles Professeur, LCND Directeur de thèse
3
SOMMAIRE
Introduction générale........................................................................................ 11
CHAPITRE 1
PROBLEMATIQUE DU CONTROLE NON DESTRUCTIF DES SOUDURES ANISOTROPES HETEROGENES ............................................................................. 15
1.1. Contexte de l’étude.......................................................................................................... 16
1.1.1. Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique ....................................... 16 1.1.2. Le contrôle non destructif par ultrasons ..................................................................... 18 1.1.3. Modélisation des soudures : approximation en sous-domaines homogènes............... 21
1.2. Propagation ultrasonore à travers un milieu homogène anisotrope .......................... 24
1.2.1. Equation de Christoffel ............................................................................................... 24 1.2.2. Courbes des lenteurs : généralités et exemples .......................................................... 26 1.2.3. Coefficients de transmission en incidence quelconque ............................................... 28
1.3. Atténuation et bruit de structure................................................................................... 34
1.3.1. Généralités et définition de l’atténuation.................................................................... 34 1.3.2. Modèles théoriques de l'atténuation dans les matériaux polycristallins .................... 37 1.3.3. Méthodes de mesure de l'atténuation ultrasonore ...................................................... 46
1.4. Description des échantillons étudiés .............................................................................. 51
1.4.1. Découpe....................................................................................................................... 51 1.4.2. Propriétés élastiques ................................................................................................... 52
1.5. Synthèse et objectifs ........................................................................................................ 55
CHAPITRE 2
METHODE CLASSIQUE DE MESURE DE L’ATTENUATION EN TRANSMISSION...... 57
2.1. Principe de la mesure...................................................................................................... 58
4
2.2. Mesure de la vitesse de phase ......................................................................................... 61
2.2.1. Dispersion de vitesse : méthode de déroulement de phase ......................................... 61 2.2.2. Calcul d'incertitude ..................................................................................................... 64 2.2.3. Méthodes d'intercorrélation et de Hilbert................................................................... 65 2.2.4. Résultats et comparaison ............................................................................................ 68
2.3. Mesure de la dispersion d'atténuation .......................................................................... 70
2.3.1. Méthode de calcul ....................................................................................................... 70 2.3.2. Calcul d'incertitude ..................................................................................................... 71 2.3.3. Résultats de mesure en fonction de la fréquence ........................................................ 72 2.3.4. Evolution de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains ............................ 78
2.4. Synthèse et discussion ..................................................................................................... 82
CHAPITRE 3
MESURE DE L'ATTENUATION PAR DECOMPOSITION DU FAISCEAU EN SPECTRE D’ONDES PLANES ................................................................................................. 85
3.1. Dispositif expérimental et principe général .................................................................. 86
3.2. Mesures point par point.................................................................................................. 88
3.2.1. Principe ....................................................................................................................... 88 3.2.2. Cartographies du faisceau ultrasonore....................................................................... 89
3.3. Décomposition en spectre angulaire d'ondes planes .................................................... 92
3.3.1. Cartographie spectrale ............................................................................................... 92 3.3.2. Spectre d'ondes planes ................................................................................................ 93
3.4. Application des coefficients de transmission ................................................................ 95
3.4.1. Calcul des coefficients de transmission ...................................................................... 95 3.4.2. Comparaison des résultats ........................................................................................ 100
3.5. Calcul de l'atténuation.................................................................................................. 102
3.5.1. Formulation............................................................................................................... 102 3.5.2. Résultats expérimentaux............................................................................................ 103
3.6. Conclusions et perspectives .......................................................................................... 106
5
CHAPITRE 4
DISCUSSION ET EXPLOITATION DES RESULTATS ....................................... 109
4.1. Synthèse des travaux expérimentaux .......................................................................... 110
4.1.1. Technique classique de mesure de la vitesse et de l’atténuation .............................. 110 4.1.2. Estimation de l’atténuation avec décomposition des faisceaux ................................ 110
4.2. Intégration de l'atténuation dans le code de calcul ATHENA.................................. 111
4.2.1. Le code ATHENA [FOU 03, TSO 99]....................................................................... 111 4.2.2. Modélisation à l'échelle du grain [SCH 06] ............................................................. 113 4.2.3. Intégration de l'atténuation par diffusion à ATHENA [DUW 06] ............................ 114 4.2.4. Résultats de simulation et comparaison.................................................................... 116 4.2.5. Conclusions ............................................................................................................... 120
Conclusion générale et perspectives .............................................................. 121
Références bibliographiques ............................................................................................... 125
Annexe 1 : Résolution de l'équation de Christoffel............................................................... 131
Annexe 2 : Rotation d'un tenseur orthotrope autour de l'axe 2.............................................. 135
Annexe 3 : Mesures d'atténuation en ondes transversales..................................................... 137
Annexe 4 : Détermination de la taille et de l'orientation des grains ...................................... 139
Annexe 5 : Etablissement des matrices permettant le calcul des coefficients de réflexion et
transmission............................................................................................................................ 141
6
7
LISTE DES FIGURES Figure 1.1 : Circuit primaire des réacteurs à eau pressurisée. ............................................................... 16 Figure 1.2 : Macrographie d'une soudure multipasses en acier inoxydable austénitique...................... 17 Figure 1.3 : Propagation et polarisation des ondes longitudinales (a) et transversales (b).................... 18 Figure 1.4 : Définition de la vitesse de phase et de la vitesse d'énergie. ............................................... 19 Figure 1.5 : Propagation d'un faisceau émis par une source de dimensions finies................................ 20 Figure 1.6 : Déviation théorique ∆ du faisceau en fonction de l'angle θ formé par le faisceau et
l'orientation des grains dans du métal soudé austénitique [EDE 86]. ................................ 21 Figure 1.7 : Variations de la largeur du faisceau dues à l'effet de déviation [EDE 86]......................... 21 Figure 1.8 : Exemple de microstructure des soudures étudiées : (a) Macrographie – (b) et (c)
Description en sous-domaines homogènes orthotropes – (d) Simulation de la propagation............................................................................................................................................ 22
Figure 1.9 : Schéma des angles définissant la direction de propagation dans le matériau. ................... 26 Figure 1.10 : Courbes des lenteurs (grains: 0°, plan: 0) avec les directions de polarisation. ................ 27 Figure 1.11 : Courbes des lenteurs (grains: 45°, plan: 30) : absence de symétrie. ................................ 27 Figure 1.12 : Incidence quelconque à une interface liquide/solide : loi de Snell-Descartes. ................ 29 Figure 1.13 : Visualisation des six solutions mathématiques sur les courbes des lenteurs. .................. 30 Figure 1.14 : Trois cas de choix des solutions physiquement admissibles............................................ 32 Figure 1.15 : Décroissance exponentielle des échos en négligeant la diffraction [GOE 80]. ............... 35 Figure 1.16 : Diffusion par une hétérogénéité....................................................................................... 36 Figure 1.17 : Schéma du principe de la diffusion multiple. .................................................................. 37 Figure 1.18 : Vitesse de phase normalisée des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la direction
de propagation par rapport à l’axe d’orientation des grains [HIR 86]. .............................. 40 Figure 1.19 : Coefficient de diffusion normalisé des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la
direction de propagation par rapport à l’axe d’orientation des grains [HIR 86]. ............... 40 Figure 1.20 : Coefficient d'atténuation normalisé des (a) OL, (b) OT, dans un aluminium
polycristallin, en fonction de la fréquence normalisée [STA 84]. ..................................... 42 Figure 1.21 : Coefficient d'atténuation normalisé des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la
direction de propagation, pour différentes fréquences normalisées [TUR 99]. ................. 43 Figure 1.22 : Coefficient d'atténuation normalisé des OL (a) en fonction de la fréquence normalisée,
(b) en fonction de la direction de propagation [AHM 92]. ................................................ 45 Figure 1.23 : Coefficient d'atténuation normalisé des OTH (a) en fonction de la fréquence normalisée,
(b) en fonction de la direction de propagation [AHM 92]. ................................................ 45 Figure 1.24 : Principe de la mesure au contact, en mode réflexion....................................................... 48 Figure 1.25 : Exemples de dispositifs en immersion : (a) réflexion avec échos successifs [KUM 96,
BAD 03], (b) transmission avec mesure de référence [JEO 95, WAN 01]. ...................... 50 Figure 1.26 : Schéma de la découpe des échantillons. .......................................................................... 52 Figure 1.27 : Figures de pôle : (a) principe et (b) figure de pôle 100 expérimentale. ....................... 53 Figure 1.28 : Repère associé à la description élastique du Tableau 1.4. ............................................... 54 Figure 2.1 : Schéma du dispositif expérimental. ................................................................................... 59 Figure 2.2 : Réglages du dispositif. ....................................................................................................... 59 Figure 2.3 : Recalage des signaux pour calculer la différence de phase. .............................................. 63 Figure 2.4 : Exemple de parties linéaire et dispersive de la phase. ....................................................... 63 Figure 2.5 : Incertitude de la vitesse dans l'eau en fonction de la température. .................................... 64 Figure 2.6 : Fonction d'intercorrélation de deux signaux. ..................................................................... 67 Figure 2.7 : Transformée de Hilbert du rapport de deux spectres. ........................................................ 67
8
Figure 2.8 : Courbes de dispersion de la vitesse de phase pour chaque échantillon. ............................ 69 Figure 2.9 : Courbes théorique et expérimentale de la vitesse de phase en fonction de l’angle
faisceau/grains à 2,25 MHz. .............................................................................................. 70 Figure 2.10 : Courbes de dispersion de l’atténuation pour chaque échantillon..................................... 72 Figure 2.11 : Filtrage d'un signal par une fenêtre rectangulaire (a) et de Hanning (b).......................... 73 Figure 2.12 : Courbes de dispersion de l’atténuation après filtrage des signaux. ................................. 74 Figure 2.13 : Pression normalisée sur l'axe d’un émetteur de diamètre 0,5" à 2,25 MHz..................... 74 Figure 2.14 : Raccordement des courbes de dispersion de l’atténuation de 1,5 à 10 MHz. .................. 76 Figure 2.15 : Lois d'atténuation de différents échantillons de soudure et du métal de base.................. 76 Figure 2.16 : Courbe de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz. ................. 78 Figure 2.17 : Courbes de vitesse et de déviation des ondes longitudinales : comparaison entre la
soudure de notre étude et la soudure étudiée par Seldis. ................................................... 79 Figure 2.18 : Atténuation en fonction de l'orientation des grains : comparaison avec les valeurs
mesurées par Seldis [SEL 00]. ........................................................................................... 80 Figure 2.19 : Atténuation à 2,25 MHz en fonction de l'orientation des grains : résultats du modèle
d'Ahmed pour différentes valeurs de (d;h), avec d/h=0.05................................................ 80 Figure 3.1 : Dispositif expérimental. ..................................................................................................... 86 Figure 3.2 : Visualisation du faisceau en fonction de la distance à l'émetteur. ..................................... 87 Figure 3.3 : Vues de dessus (a) et de face (b) des zones scannées par le récepteur. ............................. 88 Figure 3.4 : Exemples de variations d’amplitude en fonction de la distance entre l’échantillon et le
récepteur (échantillons : 10 et 85°). ................................................................................... 89 Figure 3.5 : Image du faisceau incident................................................................................................. 90 Figure 3.6 : Image du faisceau transmis à travers l'échantillon de métal de base. ................................ 90 Figure 3.7 : Images du faisceau transmis à travers chaque échantillon de soudure. ............................. 91 Figure 3.8 : Diagramme de rayonnement d’un émetteur circulaire en champ lointain : schéma de la
décomposition d'un faisceau en somme d'ondes planes..................................................... 92 Figure 3.9 : Schéma du principe de calcul du spectre d'ondes planes. .................................................. 92 Figure 3.10 : Cartographie spectrale en amplitude du faisceau incident à 2,25 MHz. .......................... 93 Figure 3.11 : Spectre d'ondes planes du faisceau incident à 2,25 MHz : cartographie (a) et coupe
horizontale, à 03 =k (b). ................................................................................................. 94
Figure 3.12 : Spectre d'ondes planes du faisceau incident : tracé sous forme angulaire. ...................... 94 Figure 3.13 : Diagramme de rayonnement expérimental du faisceau. .................................................. 95 Figure 3.14 : Repère de travail pour le calcul des coefficients de transmission.................................... 96 Figure 3.15 : Conversions de mode dans un plan non principal............................................................ 97 Figure 3.16 : Détermination des ondes réfléchies en deuxième interface. ............................................ 98 Figure 3.17 : Amplitude des coefficients de transmission globale pour une orientation de grains de 10°
: cartographie (a) et coupe dans le plan φ =0° (b). .......................................................... 100 Figure 3.18 : Comparaison des cartographies spectrales "théoriques" et expérimentales en amplitude à
2,25 MHz, pour chaque orientation de grain (échelle de couleur en dB). ....................... 101 Figure 3.19 : Atténuation mesurée en fonction de l’orientation des grains, à 2,25 MHz, avec
l’hydrophone en réception. .............................................................................................. 103 Figure 3.20 : Atténuation globale en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz avec le capteur de
0,5" en réception. ............................................................................................................. 104 Figure 3.21 : Atténuation globale en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz en tenant compte
de la désorientation des grains de 5° dans le sens de soudage (rouge). ........................... 105 Figure 3.22 : Atténuation locale pour ( 02 =k ; 03 =k ) en fonction de l’orientation des grains à 2,25
MHz comparée aux résultats de la méthode classique (petites croix bleues). ................. 105
9
Figure 3.23 : Transmission totale des modes longitudinal et transversal, pour des grains orientés à 0° (a) et à 35° (b). ................................................................................................................. 106
Figure 4.1 : Exemple de simulation de la propagation d'un faisceau ultrasonore (b) à partir de la description en sous-domaines orthotropes de la soudure (a). .......................................... 112
Figure 4.2 : Exemple d'une soudure décrite à l'échelle des grains [SCH 06]. ..................................... 114 Figure 4.3 : Vitesses (m/s) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des grains :
données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés)............................................... 116 Figure 4.4 : Atténuations (Np/m) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des
grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).................................. 116 Figure 4.5 : Atténuations (Np/m) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des
grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).................................. 117 Figure 4.6 : Schéma de la structure de la soudure D704. .................................................................... 117 Figure 4.7 : Structure de la soudure D717B [CHA 00]. ...................................................................... 118 Figure 4.8 : Configuration de contrôle pour la soudure D704............................................................. 118 Figure 4.9 : Exemple de représentation de type B pour le contrôle en L60 de la soudure D704. ....... 119 Figure 4.10 : Amplitudes étudiées pour la soudure D717B. ............................................................... 119
10
LISTE DES TABLEAUX Tableau 1.1 : Composition du métal d'apport des soudures industrielles.............................................. 17 Tableau 1.2 : Définition des trois régions de diffusion. ........................................................................ 37 Tableau 1.3 : Composition du métal d'apport de la soudure-école (D704). .......................................... 52 Tableau 1.4 : Constantes d'élasticité de la soudure d'étude D704 (en GPa) [CHA 00]......................... 53 Tableau 2.1 : Incertitudes sur les mesures de vitesse à 2,25 MHz. ....................................................... 65 Tableau 2.2 : Comparaison des valeurs des vitesses de phase obtenues par les trois méthodes pour
chaque échantillon (m/s). ................................................................................................... 68 Tableau 2.3 : Incertitudes sur les mesures d'atténuation à 2,25 MHz. .................................................. 72 Tableau 2.4 : Comparaison des valeurs de constantes d’élasticité avec celles des échantillons de Seldis
[SEL 00] (GPa). ................................................................................................................. 79 Tableau 4.1 : Résultats de simulation comparés à l'expérience pour chaque cas. ............................... 120
Introduction générale
11
INTRODUCTION GENERALE
Les tuyauteries des circuits primaires des centrales nucléaires sont soumises à de fortes
contraintes dues au fonctionnement à haute température et à haute pression. C’est pourquoi
elles sont réalisées en acier inoxydable austénitique, qui présente de nombreux avantages en
termes de résistance à la corrosion et d’utilisation aux températures élevées. Par ailleurs, ces
tuyauteries sont assemblées par soudage, et le contrôle de l’intégrité des soudures est donc
indispensable. Ainsi, le contrôle non destructif est utilisé pour détecter d’éventuels défauts et
les caractériser de manière à évaluer leur nocivité.
Les techniques ultrasonores s’avèrent efficaces, en complément de la radiographie, pour la
localisation en profondeur et le dimensionnement des défauts. Mais les soudures
austénitiques, élaborées par dépôt de passes successives du métal d’apport, possèdent une
structure fortement anisotrope et hétérogène. La forte anisotropie est causée par la croissance
cristalline, selon le gradient thermique local, qui se développe lors de la solidification du
métal déposé. L’hétérogénéité vient du fait que les grains présentent des directions de
croissance différentes selon les passes et leur enchaînement. Ces deux caractéristiques
perturbent la propagation des ondes ultrasonores : le faisceau peut subir des déformations
(déviation, division…) et une diminution d’amplitude due à la diffusion aux joints des grains.
La contrôlabilité du composant peut alors, dans certains cas, présenter des difficultés
importantes.
Il est donc essentiel de bien comprendre comment se propagent les ondes ultrasonores dans ce
type de soudure, afin de pouvoir émettre un jugement fiable quant à l’état de santé du
composant contrôlé. Pour cela, un code de calcul, appelé ATHENA, a été développé par EDF
R&D et l’INRIA. Il modélise la propagation des ultrasons dans les structures anisotropes
hétérogènes à partir de la description élastique de chaque sous-domaine homogène de la
structure. Par ailleurs, depuis une dizaine d’années, différentes études ont été menées pour
mieux appréhender les phénomènes de propagation et améliorer leur modélisation. Une
première thèse a permis de valider l’hypothèse d’une décomposition des soudures multipasses
Introduction générale
12
en zones anisotropes homogènes [CHA 00], et un second travail a abouti à l’élaboration d’un
modèle, appelé MINA, qui prédit de manière non destructive les orientations des grains dans
une soudure donnée [APF 05a]. Ces études ont notamment permis une meilleure
compréhension des phénomènes de déviation du faisceau. Par contre les phénomènes liés à la
diffusion aux joints des grains, se manifestant par une atténuation et un bruit de structure,
n’ont été que partiellement étudiés et n’ont pas été intégrés dans le code de simulation. En
effet, ces phénomènes de diffusion sont difficiles à prévoir car ils dépendent de l’orientation,
de la géométrie et des propriétés élastiques des grains.
Nous nous intéressons plus particulièrement ici à l’atténuation par diffusion. La bibliographie
menée a montré la complexité de ce phénomène, tant pour le modéliser que pour le mesurer,
en particulier dans les structures anisotropes hétérogènes telles que les soudures multi-passes
en acier inoxydable austénitique. Le travail exposé dans ce manuscrit a pour but d’apporter
des réponses à ce problème, d’étudier et de quantifier l’atténuation ultrasonore par diffusion
en fonction de l’orientation des grains, afin de fournir des valeurs fiables au modèle de
propagation.
Nous commençons dans le premier chapitre par détailler le contexte de l’étude, en insistant
sur l’aspect métallurgique, et les conséquences pour le contrôle ultrasonore. Puis la théorie
générale de la propagation ultrasonore à travers un matériau de structure hétérogène et
anisotrope est développée et appliquée aux soudures. Nous expliquons ensuite le phénomène
d’atténuation, intimement lié au bruit de structure, et présentons quelques modèles théoriques
et méthodes de mesure expérimentales permettant d’accéder à l’atténuation par diffusion dans
les milieux anisotropes homogènes. Cela nous conduit d’une part à identifier le modèle
théorique correspondant le mieux à notre étude, afin d’effectuer une comparaison avec les
mesures, et d’autre part à choisir une première méthode de mesure que nous développons
dans le chapitre suivant.
Le second chapitre expose donc la première technique expérimentale de mesure de
l’atténuation des ondes longitudinales. C’est la technique la plus couramment utilisée pour la
caractérisation des matériaux. Elle s’effectue en immersion, en transmission et en incidence
normale, et est basée sur la comparaison entre le faisceau propagé dans l’eau et le faisceau
ayant traversé l’échantillon inséré entre l’émetteur et le récepteur. Nous présentons la
méthode de calcul de la vitesse de phase et de l’atténuation à partir de ces deux mesures. Puis
Introduction générale
13
les résultats sont analysés, en les comparant aux résultats expérimentaux et théoriques de la
littérature. Nous montrons que la méthode de mesure a ses limites, dont la principale est la
non prise en compte des effets de l’ouverture angulaire du faisceau, particulièrement sensible
pour un matériau anisotrope. C’est pourquoi une seconde approche, plus précise, est alors
étudiée.
Cette seconde voie de travail, exposée dans le troisième chapitre, repose sur la mesure point
par point des faisceaux et la modélisation de la transmission du faisceau incident à travers les
échantillons. Les réalités physiques du faisceau (en particulier son ouverture) et du matériau
(son anisotropie) peuvent alors être prises en compte, par le biais de la décomposition des
faisceaux en spectres angulaires d’ondes planes, et l’application des coefficients de
transmission en incidence quelconque à chaque composante en onde plane du faisceau
incident. Nous montrons que cette méthode donne de meilleurs résultats.
Le dernier chapitre vise à exploiter ces résultats en les intégrant au code de calcul ATHENA.
Nous commençons ce chapitre en effectuant une synthèse des différents résultats de mesure.
Puis le principe de fonctionnement du code ATHENA est exposé, pour expliquer la manière
dont l’atténuation a pu être intégrée. Les confrontations des simulations aux expériences
mettent en évidence l’importance de la prise en compte de l’atténuation. Par ailleurs, la bonne
cohérence entre simulations et essais ultrasonores valide les valeurs d’atténuation mesurées
expérimentalement.
La conclusion rappelle la difficulté d’estimer avec précision l’atténuation par diffusion, mais
montre que la méthode basée sur la mesure point par point donne de très bons résultats. Elle
est plus précise que la méthode classique utilisée a priori. Elle permet en effet de prendre en
compte la réalité du faisceau ultrasonore et l’anisotropie du matériau. Nous proposons
finalement des perspectives à ce travail, notamment la mesure précise de l’atténuation des
ondes transversales.
14
15
1. PROBLEMATIQUE DU CONTROLE NON DESTRUCTIF DES SOUDURES ANISOTROPES HETEROGENES
1.1. Contexte de l’étude.......................................................................................................... 16
1.1.1. Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique ........................................ 16 1.1.2. Le contrôle non destructif par ultrasons...................................................................... 18
1.1.2.1. Généralités......................................................................................................................18 1.1.2.2. Le contrôle des soudures austénitiques ..........................................................................20
1.1.3. Modélisation des soudures : approximation en sous-domaines homogènes ............... 21 1.1.3.1. Description de la soudure...............................................................................................22 1.1.3.2. Simulation de la propagation ultrasonore......................................................................23
1.2. Propagation ultrasonore à travers un milieu homogène anisotrope .......................... 24
1.2.1. Equation de Christoffel ............................................................................................... 24 1.2.2. Courbes des lenteurs : généralités et exemples ........................................................... 26 1.2.3. Coefficients de transmission en incidence quelconque............................................... 28
1.2.3.1. Equation et résolution ....................................................................................................28 1.2.3.2. Détermination des trois solutions physiquement admissibles ........................................29 1.2.3.3. Calcul des coefficients de réflexion et de transmission ..................................................33
1.3. Atténuation et bruit de structure................................................................................... 34
1.3.1. Généralités et définition de l’atténuation .................................................................... 34 1.3.2. Modèles théoriques de l'atténuation dans les matériaux polycristallins...................... 37
1.3.2.1. Description de quelques modèles .................................................................................. 37 1.3.2.2. Synthèse ......................................................................................................................... 45
1.3.3. Méthodes de mesure de l'atténuation ultrasonore ....................................................... 46 1.3.3.1. Méthodes au contact .......................................................................................................47 1.3.3.2. Méthodes sans contact....................................................................................................49 1.3.3.3. Méthodes en immersion ..................................................................................................49 1.3.3.4. Choix de la méthode de mesure : immersion et transmission.........................................51
1.4. Description des échantillons étudiés .............................................................................. 51
1.4.1. Découpe....................................................................................................................... 51 1.4.2. Propriétés élastiques.................................................................................................... 52
1.5. Synthèse et objectifs ........................................................................................................ 55
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
16
Ce chapitre expose la problématique liée au contrôle non destructif par ultrasons des
matériaux anisotropes hétérogènes tels que les soudures multipasses en acier inoxydable
austénitique. Le contexte de l'étude est d'abord présenté via les aspects métallurgique et
ultrasonore. Puis la théorie liée au problème de la propagation des ondes et à leur transmission
à travers un milieu anisotrope est étudiée. Une étude bibliographique sur les travaux
théoriques et expérimentaux concernant l'atténuation est ensuite réalisée. Une fois la première
technique expérimentale choisie pour les mesures, les échantillons étudiés seront alors décrits.
1.1. Contexte de l’étude
1.1.1. Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique
Les aciers inoxydables austénitiques sont fréquemment utilisés pour leurs propriétés de
grande résistance à la corrosion et de bonne performance mécanique aux températures
élevées. En effet, ils conservent leur structure austénitique aussi bien à température ambiante
qu'aux hautes températures. L'acier AISI 316L (Dénomination AFNOR : Z2CND17-13) est
en particulier utilisé en raison de sa composition présentant un faible pourcentage de ferrite δ
qui permet de dissoudre en grande partie les impuretés et donc de minimiser la formation de
microségrégations, qui peuvent être des points de départ de fissures sous l'effet des contraintes
thermiques [BAI 77]. Du fait de ces propriétés, l’acier 316L est utilisé comme métal d’apport
pour de nombreuses soudures du circuit primaire des centrales nucléaires à réacteurs à eau
pressurisée (Figure 1.1). Ces soudures étant de taille importante, elles sont élaborées par
superposition de passes (ou cordons) successives (Figure 1.2).
Figure 1.1 : Circuit primaire des réacteurs à eau pressurisée.
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
17
Figure 1.2 : Macrographie d'une soudure multipasses en acier inoxydable austénitique.
La composition du métal d’apport des soudures industrielles en acier 316L est détaillée dans
le Tableau 1.1. Par ailleurs, l’étude porte sur des soudures réalisées par procédé manuel à
l'électrode enrobée. Elles présentent une microstructure texturée induite par la croissance des
grains lors du procédé de soudage et de la solidification. En effet, les grains sont allongés (en
forme de "cigare") selon un axe cristallographique <100>.
Elément Cr Ni Mo Mn Si C P S
Teneur (%) 19 12.5 2.3 1.6 0.5 0.03 0.016 0.01
Tableau 1.1 : Composition du métal d'apport des soudures industrielles.
Plusieurs facteurs entrent en jeu lors de la croissance des grains : la direction du gradient
thermique et les phénomènes de croissance par épitaxie et de croissance sélective. La
direction locale de croissance des grains aura tendance à suivre la direction du gradient
thermique local. Ce dernier est notamment influencé par la position de soudage (soudure à
plat, verticale, plafond…) et par l'ordre d'enchaînement des passes. Le phénomène d'épitaxie
signifie que les cristaux d'une passe qui vient d'être déposée vont adopter l'orientation des
cristaux sur lesquels ils reposent. D'autre part, la croissance sélective implique que les grains
colonnaires dont l'axe cristallographique <100> coïncide le mieux avec la direction du
gradient thermique auront tendance à croître préférentiellement par rapport aux autres grains.
En effet, la croissance des grains le long du gradient thermique est plus rapide dans la
direction de l'axe cristallographique <100>, et les grains dont l'orientation est défavorable
finissent par disparaître [TOM 80]. Les grains peuvent alors atteindre plusieurs millimètres de
longueur.
1 cm 1
2 3 4 5 6 7
8 9
10 11
12 131415 16 17
18 19 20 2122 23 24 25
ordre d'enchaînement des passes
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
18
En conclusion, les soudures présentent à la fois un caractère anisotrope (croissance des grains
selon une direction cristallographique privilégiée) et hétérogène (l’orientation des grains varie
d’une zone à l’autre de la soudure).
1.1.2. Le contrôle non destructif par ultrasons
1.1.2.1. Généralités
Les méthodes de contrôle non destructif sont nombreuses. Le contrôle par ultrasons est
fréquemment utilisé car il présente de nombreux avantages : facilité de mise en œuvre,
possibilité de travailler sur une seule face de la pièce à contrôler (pas besoin d'un accès à la
deuxième face), et capacité à traverser d'importantes épaisseurs de matière en fonction de la
fréquence de travail. De plus, l'existence de relations entre la propagation des ultrasons et les
caractéristiques du matériau permet sa caractérisation. L'utilisation des ultrasons offre donc la
possibilité, sans aucune détérioration, d'une part de caractériser des matériaux afin d'en
connaître les propriétés élastiques, et d'autre part de contrôler des pièces pour vérifier leur
intégrité et repérer d'éventuels défauts d'élaboration (inclusions, soufflures, défauts de
collage…) ou d'endommagement dû aux sollicitations (fissures…).
Les ondes ultrasonores les plus couramment utilisées pour la caractérisation et le contrôle sont
les ondes de volume longitudinales (ou de compression) et transversales (ou de cisaillement).
Une onde longitudinale (resp. transversale) a la direction de vibration des particules (appelée
polarisation) parallèle (resp. perpendiculaire) à sa direction de propagation (Figure 1.3).
Figure 1.3 : Propagation et polarisation des ondes longitudinales (a) et transversales (b).
La propagation des ondes dépend directement des propriétés élastiques du milieu traversé.
Comme nous le verrons dans le paragraphe 1.2, la résolution de l’équation de Christoffel
donne les vitesses et les directions de polarisation des ondes pouvant se propager dans une
direction donnée. Elles sont définies par leur direction de propagation n , leur nombre d'onde
Vk ω= (ω : pulsation, V : vitesse de propagation), et leur vecteur de polarisation P .
Direction de propagation
Vibration des particules
a)
b)
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
19
Dans le cas général d'un milieu anisotrope, on trouve trois ondes de vitesses différentes et de
directions de polarisation perpendiculaires entre elles. L'une de ces ondes a sa direction de
polarisation proche de sa direction de propagation : c'est l'onde quasi-longitudinale, notée L.
Les deux autres sont des ondes dites quasi-transversales. L'une sera dite horizontale, et l'autre,
verticale, par rapport au plan de propagation considéré, notées TH et TV respectivement. La
connaissance de ces éléments permet de prévoir la façon de se propager des ondes
ultrasonores et donc de détecter d'éventuels défauts dans les pièces contrôlées.
D'autre part, dans les matériaux anisotropes, il faut distinguer la vitesse de phase et la vitesse
d'énergie (ou vitesse de groupe). En effet, ces deux vecteurs ne coïncident pas forcément du
fait de la déviation de l'énergie causée par l'anisotropie du matériau traversé (Figure 1.4). La
vitesse de phase désigne la vitesse du front d'onde. Le vecteur vitesse de phase est donc
perpendiculaire au front d'onde. En revanche, la vitesse d'énergie représente la vitesse de
propagation de l'énergie, dans la direction du flux d'énergie. Ces deux vitesses sont liés par la
relation suivante : αcosVV énergiephase = , où α est l'angle que forment les deux vecteurs. La
théorie fait en général intervenir la vitesse de phase dans les équations. Nous rentrerons plus
en détail dans la théorie de la propagation dans les milieux anisotropes dans le paragraphe 1.2.
Figure 1.4 : Définition de la vitesse de phase et de la vitesse d'énergie.
Le phénomène de diffraction d'un faisceau d’ultrasons est également important à prendre en
compte. En effet, les dimensions finies de la source utilisée pour générer les ultrasons
implique un phénomène de diffraction (ou divergence) du champ ultrasonore émis. Dans le
cas d'une source circulaire de diamètre D , l'ouverture du faisceau peut être calculée par le
biais de la formule : D.sin λδ 221= , où λ est la longueur d'onde. Le faisceau sera donc
plus ou moins ouvert selon la taille de la source, la fréquence de travail et le milieu de
propagation (Figure 1.5). On distingue alors deux zones de propagation : le champ proche, où
le faisceau est droit et où l'amplitude oscille, et le champ lointain, où le faisceau est ouvert
mais où l'amplitude décroît de façon monotone. La limite entre ces deux zones, appelée limite
vitesse de phase ⊥ front d'onde vitesse d'énergie // flux d'énergie
matériau anisotrope
émetteur
α
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
20
de champ proche, se situe à la distance λ42
D de la source. C'est une caractéristique très
importante en contrôle non destructif.
Figure 1.5 : Propagation d'un faisceau émis par une source de dimensions finies.
1.1.2.2. Le contrôle des soudures austénitiques
La propagation ultrasonore dans les milieux anisotropes hétérogènes tels que les soudures
étudiées est complexe. L'orientation des grains peut varier de façon très importante d'un point
à l'autre de la soudure. Un faisceau traversant ce type de soudure pourra alors subir des
déviations, des divisions, ainsi qu’une forte atténuation par la microstructure. Ces
phénomènes dépendent directement de la direction de propagation des ondes par rapport à
l'orientation des grains.
En effet, dans les matériaux anisotropes comme les soudures, la vitesse d'énergie subit une
déviation par rapport à la vitesse de phase. Cette déviation dépend de l'angle entre la direction
de propagation et l'axe d'orientation des grains. La Figure 1.6 montre l'angle de déviation de la
vitesse d'énergie par rapport à la vitesse de phase, pour chaque mode de propagation : L, TH
et TV. Les trois courbes sont tracées en fonction de l'angle entre la vitesse de phase et l'axe
d'élongation des grains, pour du métal soudé austénitique [EDE 86].
La déviation des ondes ultrasonores en fonction de l'orientation des grains implique une
déformation du faisceau qui traverse une soudure austénitique. En effet, comme nous l’avons
vu précédemment, un faisceau d'ultrasons n'est pas parfaitement cylindrique, mais il présente
une certaine ouverture en fonction du diamètre du transducteur et de la distance au
transducteur. Dans le cas des ondes longitudinales, pour des grains orientés à 0° par rapport à
l'incidence des ondes, le faisceau aura tendance à fortement diverger (Figure 1.7, schéma de
gauche), alors que pour des grains à 45°, sa divergence sera la plus faible (Figure 1.7, schéma
de droite).
source circulairegénérant le faisceau
ouverture du faisceau δ
D
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
21
Figure 1.6 : Déviation théorique ∆ du faisceau en fonction de l'angle θ formé par le faisceau et
l'orientation des grains dans du métal soudé austénitique [EDE 86].
Figure 1.7 : Variations de la largeur du faisceau dues à l'effet de déviation [EDE 86].
Il est donc essentiel de bien connaître la structure de la soudure contrôlée afin de prévoir la
propagation des ondes ultrasonores, et ainsi pouvoir localiser un éventuel défaut et estimer sa
taille.
1.1.3. Modélisation des soudures : approximation en sous-domaines homogènes
Les outils de simulation sont des outils essentiels permettant d’aider à la compréhension de la
propagation des ondes dans ce type de structure. Ils permettent par ailleurs de réaliser des
études paramétriques et d'analyser l'influence de la configuration de contrôle (matériau
5° 5° 5°5° 5° 5°
ϕ
Angle du faisceau par rapport aux grains (ϕ ) 0° 24° 48°
Angle de déviation 0° 12° 0°
Divergence du faisceau Elevée Moyenne Faible
Vitesse de propagation Faible Moyenne Elevée
vitesse d'énergie vitesse de phase
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
22
insonifié, type et position d’un défaut, type d'onde…) sur la propagation des ondes. La
simulation est divisée en deux grandes étapes : la description de la soudure qui sera introduite
dans le modèle, puis la simulation de la propagation ultrasonore dans cette soudure.
1.1.3.1. Description de la soudure
Une précédente étude [CHA 99, CHA 00] a proposé un modèle de description de la
microstructure des soudures. La soudure est divisée en sous-domaines homogènes
orthotropes. Le nombre de sous-domaines est fonction du degré d'hétérogénéité de la soudure.
Dans chacun de ces domaines, une orientation particulière des grains (notée ω dans le tableau
de la Figure 1.8.b) est déterminée par le biais de méthodes numériques d'analyse d'image à
partir de la macrographie de la soudure étudiée (Figure 1.8.a). Les valeurs des constantes
d’élasticité, liées au repère défini par la structure locale (angle ω), sont supposées invariantes
d’un sous-domaine à l’autre. Les sous-domaines sont donc simplement désorientés les uns par
rapport aux autres.
Figure 1.8 : Exemple de microstructure des soudures étudiées : (a) Macrographie – (b) et (c)
Description en sous-domaines homogènes orthotropes – (d) Simulation de la propagation.
Une autre étude [MOY 03, APF 05b] a été réalisée, visant à simuler la microstructure à partir
des données caractéristiques du soudage multipasses. Le modèle développé, appelé MINA
b)
c) d)
a)
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
23
(Modelling anIsotropy from Notebook of Arc welding), prend en compte deux types de
paramètres :
des paramètres propres au procédé de soudage : refusion entre passes, inclinaison des
passes et paramètre traduisant les phénomènes de croissance sélective et de croissance par
épitaxie ;
des paramètres propres à la soudure spécifiquement étudiée et susceptibles d’être
mentionnés dans le cahier de soudage : géométrie du chanfrein, diamètre des électrodes
utilisées par le soudeur ainsi que le nombre et l'ordre d'enchaînement des passes.
Au final, la description obtenue est un maillage régulier de sous-domaines homogènes
orthotropes (Figure 1.8.c). Ce modèle permet d’estimer l’orientation des grains et ainsi de
s’affranchir d’une analyse métallographique.
1.1.3.2. Simulation de la propagation ultrasonore
La description de la soudure est introduite dans le code ATHENA développé par EDF et
l'INRIA. C'est un modèle 2D qui résout les équations de l'élastodynamique exprimées en
terme de contraintes et de vitesses particulaires par une méthode d'éléments finis. Les
éléments sont des carrés de côté égal à 1/15 de la longueur d'onde. ATHENA simule la
propagation des ondes ultrasonores dans un plan de symétrie de matériaux hétérogènes
anisotropes complexes, en particulier dans les soudures étudiées [CHA 01]. Le code est basé
sur l'hypothèse que le milieu peut être décrit par un nombre fini de domaines homogènes
anisotropes. Il prend également en compte les interactions entre le faisceau et des défauts
pouvant avoir des géométries complexes. Le modèle sera expliqué plus en détail dans le
quatrième chapitre.
La simulation fournit une très bonne prédiction des déviations et des divisions du faisceau
(Figure 1.8.d), ainsi que des temps de vol [CHA 00]. En revanche, les amplitudes obtenues ne
sont pas représentatives des amplitudes réelles pouvant être recueillies in situ [APF 05a, CHA
04]. En effet, le modèle actuel simule les effets de divergence du faisceau et de diffusion aux
frontières des différents domaines en raison des sauts de propriétés élastiques. Par contre, il ne
prend pas en compte la diffusion aux joints des grains à l'intérieur de chaque domaine du
matériau traversé.
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
24
1.2. Propagation ultrasonore à travers un milieu homogène anisotrope
La propagation des ondes élastiques dans les milieux homogènes élastiques est régie par
l’équation de Christoffel. Sa résolution donne accès, pour une direction de propagation
donnée, à la vitesse et à la polarisation des trois modes susceptibles de se propager [AUL 73,
DIE 74].
1.2.1. Equation de Christoffel
On considère un matériau homogène élastique soumis à une perturbation ultrasonore. Sous
l'hypothèse d'un comportement élastique linéaire, la relation entre le tenseur des contraintes T
et le tenseur des déformations ε est donnée par la loi de Hooke :
klijklij CT ε= (1.1)
où ijklC sont les composantes du tenseur d'ordre 4 des constantes d'élasticité du matériau.
Les tenseurs des contraintes et des déformations étant symétriques, le tenseur d'élasticité C
est donc symétrique également.
Le tenseur des déformations s'exprime en fonction du vecteur de déplacement u par :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=k
l
l
kkl x
uxu
21ε (1.2)
D'autre part, ρ étant la masse volumique du milieu soumis à la perturbation, le principe
fondamental de la dynamique conduit à :
j
iji
x
T
t
u
∂
∂=
∂
∂2
2
ρ (1.3)
La combinaison de ces trois équations donne les équations de propagation pour les
composantes du déplacement u :
(1.4)
La solution recherchée est classiquement une onde plane progressive monochromatique de
pulsation ω , et dont le champ de déplacement, en un point défini par le vecteur position r à
l'instant t , est de la forme :
kj
lijkl
i
xxuC
tu
∂∂∂=
∂∂ 2
2
2
ρ
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
25
(1.5)
où A est l'amplitude initiale de l'onde, P (unitaire) sa polarisation et k son vecteur d'onde :
nVk ω= où n est le vecteur unitaire normal au plan d'onde et V est la vitesse de phase.
NB: La présence d'atténuation s'exprime dans la partie imaginaire du vecteur d'onde, en
posant njV
'kjkk ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
∗ αω
, où α est le coefficient d'atténuation (avec α >0).
La substitution de l'expression dans l'équation (1.4) permet d’aboutir au système d'équations
de Christoffel :
(1.6)
où l'on a posé kjijklil nnC=Γ , appelé tenseur de Christoffel. C'est un tenseur d'ordre 2,
symétrique en raison des propriétés de symétrie du tenseur élastique.
Pour un matériau de symétrie quelconque (i.e. avec 21 constantes d'élasticité indépendantes),
les expressions explicites des ilΓ s'écrivent :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
233213311221
324423314536212546
2
334
2
224
2
15623
324536315513215614
2
335
2
246
2
11513
322546315614216612
2
345
2
226
2
11612
323431352145
2
333
2
244
2
15533
322431462126
2
344
2
222
2
16622
325631152116
2
355
2
266
2
11111
222
222
222
Γ=ΓΓ=ΓΓ=Γ++++++++=Γ
++++++++=Γ
++++++++=Γ
+++++=Γ
+++++=Γ
+++++=Γ
,,nnCCnnCCnnCCnCnCnC
nnCCnnCCnnCCnCnCnC
nnCCnnCCnnCCnCnCnC
nnCnnCnnCnCnCnC
nnCnnCnnCnCnCnC
nnCnnCnnCnCnCnC
(1.7)
Les solutions recherchées par la résolution du système d'équations sont les vitesses V et les
polarisations P associées à chacun des trois modes de propagation : longitudinal, transversal
horizontal et transversal vertical. Elles s'obtiennent en cherchant les valeurs propres et les
vecteurs propres du tenseur de Christoffel, qui sont respectivement 2Vρ et u . Les vecteurs de
polarisation se calculent en normalisant les vecteurs de déplacement u .
( ) ( )( )rktjexpPAt,ru ⋅−= ω
02 =−Γ ilil uVu ρ
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
26
1.2.2. Courbes des lenteurs : généralités et exemples
La résolution de l'équation , par la recherche des valeurs propres et vecteurs propres, permet
de calculer, pour une direction donnée de propagation, les vitesses et les polarisations de
chaque mode susceptible de se propager dans le matériau. Nous avons appliqué cette équation
dans le cas de sous-domaines de soudure supposés homogènes orthotropes.
Le calcul a été effectué pour chaque direction de propagation, définie par l'angle θ , dans
différents plans de propagation contenant le vecteur 1x du repère ( 1x , 2x , 3x ), et repérés par
l'angle φ (Figure 1.9). Cela nous permet de tracer les courbes des lenteurs ( Vnm = ) de
chacun de nos échantillons, et donc de mieux comprendre comment se propage une onde
plane quelconque dans le matériau.
Figure 1.9 : Schéma des angles définissant la direction de propagation dans le matériau.
Dans le cas de modes de propagation purs, chaque couple vitesse ; polarisation est
classiquement associé à un mode de la façon suivante :
mode longitudinal : le vecteur de polarisation est colinéaire à la direction de propagation,
mode transversal horizontal : le vecteur de polarisation est normal au plan de propagation,
mode transversal vertical : il correspond au dernier vecteur de polarisation, normal aux
deux autres, et qui est donc dans le plan de propagation.
Un exemple de courbes de lenteurs avec la visualisation des directions de polarisation est
donné sur la Figure 1.10. Elles ont été tracées dans un plan principal du matériau orthotrope.
Les modes propagés sont donc des modes purs. Comme on peut le voir sur la figure, les ondes
longitudinales sont les plus rapides (i.e. lenteurs les plus faibles). D'autre part, la direction de
1x
2x
3x
direction depropagation
θ
φ
plan de propagation
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
27
polarisation des ondes transversales horizontales est perpendiculaire au plan de la feuille. On
peut également remarquer que les trois courbes sont symétriques par rapport à 1x et à 2x .
Figure 1.10 : Courbes des lenteurs (grains: 0°, plan: 0) avec les directions de polarisation.
En dehors des plans principaux, les modes générés ne sont pas purs. Les trois modes de
propagation sont dits quasi-longitudinal, quasi-transversal vertical et quasi-transversal
horizontal. Il devient alors difficile de classer les modes transversaux en deux catégories, l'une
verticale et l'autre horizontale. C’est pourquoi nous choisissons de caractériser les modes
transversaux plutôt sur un critère de vitesse, en les attribuant à un mode transversal rapide et
un mode transversal lent [LAN 98]. D'autre part, on peut également remarquer qu'en dehors
des plans principaux, la symétrie des courbes des lenteurs par rapport à 1x disparaît (Figure
1.11).
Figure 1.11 : Courbes des lenteurs (grains: 45°, plan: 30) : absence de symétrie.
1x
2x
1x
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
28
1.2.3. Coefficients de transmission en incidence quelconque
Nous avons vu qu'un faisceau ultrasonore présente une certaine ouverture. Or comme nous
l'expliquerons plus loin, nous avons choisi d'effectuer les mesures expérimentales en
immersion et en transmission sur des échantillons sous forme de lames à faces parallèles. Le
faisceau traversera alors une interface eau/solide et une interface solide/eau. La description
complète du faisceau et de sa propagation dans le solide nécessite la connaissance des
coefficients de réflexion et de transmission théoriques pour une incidence quelconque.
1.2.3.1. Equation et résolution
L'équation de Christoffel est utilisée lorsque la direction de propagation dans le matériau est
donnée. Dans le cas d'une onde plane arrivant à la surface d'un matériau, l'incidence dans l'eau
est connue, et on cherche les directions de propagation dans le matériau de chaque mode
transmis, ainsi que leur vitesse et leur polarisation.
Pour cela, on travaille sur une autre forme de l'équation de Christoffel [HOS 91] :
(1.8)
où ω est la pulsation, et où l'on a posé kjijklil kkC=Λ . Le tenseur Λ présente les mêmes
propriétés que le tenseur de Christoffel Γ , et ses expressions explicites sont les mêmes que
celles de Γ , en remplaçant les in par ik .
L'idée est de calculer la direction de propagation, la vitesse de propagation et la polarisation
de chaque mode. Les inconnues sont donc les composantes des vecteurs d'onde ik pour avoir
les directions et les vitesses de propagation, et les composantes des vecteurs de déplacement
iu pour avoir les polarisations. Or les lois de Snell-Descartes établissent que les vecteurs
d'onde des ondes incidentes, réfléchies et réfractées dans le matériau sont contenus dans le
même plan, et que tous ces vecteurs admettent la même projection sur l'interface (Figure
1.12). Les deux composantes 2k et 3k du vecteur d'onde de chaque mode généré sont donc
égales aux composantes 2k et 3k de l'onde incidente. Les solutions recherchées sont alors la
composante normale à l'interface 1k du vecteur d'onde de chaque mode, ainsi que leur vecteur
de déplacement.
02 =−Λ ilil uu ρω
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
29
Figure 1.12 : Incidence quelconque à une interface liquide/solide : loi de Snell-Descartes.
On recherche dans un premier temps les inconnues 1k . Pour cela, il faut résoudre l'équation
suivante :
(1.9)
où I est la matrice identité.
L'annulation de ce déterminant donne un polynôme d'ordre 6 en 1k (détails de calcul en
Annexe1). On obtient donc 6 solutions mathématiques pour 1k , dont 3 sont physiquement
admissibles. Nous verrons dans le paragraphe suivant comment sélectionner les solutions
physiquement admissibles.
Le vecteur de polarisation P associé à chaque solution est ensuite déterminé en normalisant
le vecteur v colinéaire au déplacement, de composantes 1v , 2v et 3v telles que :
( ) ( )[ ]( ) 113132121
3
2
122211231113122
3 1
ΠΠ−Π−=Π−ΠΠΠΠ−ΠΠ=
=
vvvvv
v
(1.10)
où l'on a préalablement posé I2ρω−Λ=Π .
1.2.3.2. Détermination des trois solutions physiquement admissibles
Les six solutions mathématiques obtenues par la résolution de l'équation vérifient toutes la loi
de Snell-Descartes. C'est-à-dire qu'elles correspondent à des vecteurs d'onde dont la
composante parallèle à l'interface est égale à celle du vecteur d'onde de l’onde incidente. Les
six vecteurs d'onde solutions ont donc leur extrémité sur la droite D de la Figure 1.13.
solide anisotrope
onde incidente
onde réfléchie
liquide
ondes transmises
interface
inck
réflk
1x
Lk 1Tk D2Tk
Lk1
11T
k2
1T
k
( ) 02
=−Λ Idet ρω
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
30
Figure 1.13 : Visualisation des six solutions mathématiques sur les courbes des lenteurs.
Cas d'un solide orthotrope : Dans le cas orthotrope, du fait de la symétrie des courbes des lenteurs par rapport au plan de
l'interface, les solutions 1k sont opposées deux à deux. On retrouve cela analytiquement :
l'annulation du déterminant donne un polynôme du troisième ordre en ( )21k . On devra donc
choisir une solution dans chaque couple de solutions 1k opposées. D'autre part, les solutions
sont soit réelles soit imaginaires pures. Les solutions réelles correspondent au régime sous-
critique d'un mode, pour lequel une onde de volume est propagée vers l'intérieur du matériau.
Les solutions imaginaires pures correspondent au régime hypercritique, pour lequel il existe
des ondes dites hétérogènes qui se propagent parallèlement à la surface et dont l'amplitude
décroît exponentiellement avec la profondeur [HOS 91]. Cela se traduit graphiquement par
l’absence d’intersection entre la courbe des lenteurs d’un mode et la droite D . Ces deux
régimes sont classiquement définis à l'aide de l'angle critique de chaque mode, donné par :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
emod/solide
liquidec V
Vsin 1θ (1.11)
On distingue donc les deux cas suivants :
Le couple de solutions est réel : La solution physiquement admissible est sélectionnée à l'aide du vecteur de flux d'énergie E
de chacune de ces solutions [ROK 86a, ROK 86b, RIB 92, LAN 93]. Ce vecteur est en tout
1x
D
interface
eau solide
onde incidente
onde réfléchie
Solutions mathématiques
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
31
point normal à la surface des lenteurs, et sa composante suivant 1x (direction de l'épaisseur du
solide) doit être positive pour que l'onde propage de l'énergie dans le matériau (Figure
1.14.a). Pour une onde hétérogène, cette composante sera nulle, ce qui signifie que l'onde ne
propage pas d'énergie vers l'intérieur du matériau.
La composante suivant 1x de l’énergie, que l’on note 1E , peut s'écrire :
( )∗∗∗ += lkjlkjijkl mPPmPPCAE 221 4
1 ω (1.12)
où A est l'amplitude de l'onde, iP la ième composante du vecteur de polarisation, im la ième
composante du vecteur lenteur ( ωkm = ), et ∗Z désigne le conjugué de la grandeur
complexe Z .
Ainsi, une onde dont le vecteur d'onde est dirigé vers le liquide pourra quand même être
retenue comme solution si sa composante 1E est positive, puisque cela signifie que le flux
d'énergie est dirigé vers l'intérieur du solide (Figure 1.14.c). A l’inverse, une onde dont le
vecteur d’onde est dirigé vers l’intérieur du matériau ne sera pas systématiquement une
solution admissible.
Le couple de solutions est imaginaire pur (Figure 1.14.b) :
La solution physiquement admissible parmi les deux est la solution négative. Ainsi, l'onde
correspondante, dite hétérogène, s'atténue exponentiellement dans la direction 1x de la
profondeur du matériau [NAY 95].
Dans la plupart des cas, lorsque l'angle d'incidence augmente, on passe du régime sous-
critique au régime hypercritique. Autrement dit, au-delà de l'angle critique, l'onde de volume
n'existe plus et cède sa place à une onde hétérogène. Or dans certains cas, on note la
"réapparition" d’une onde de volume lorsque l'angle d'incidence augmente même après l'angle
critique. Ce phénomène est illustré sur la Figure 1.14.c : l'angle critique de l'onde
longitudinale est dépassé, donc il ne devrait rester que deux ondes de volume, mais on en
observe une troisième.
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
32
En effet, pour une certaine plage angulaire d’incidence, la courbe des lenteurs des ondes
transversales lentes présente deux points d’intersections avec la droite D . Lanceleur [LAN
92] définit alors la notion d’angle critique comme l’angle pour lequel la direction de
propagation de l’énergie devient parallèle à l’interface.
Figure 1.14 : Trois cas de choix des solutions physiquement admissibles.
Cas général : Dans le cas général, étant donné l’absence de symétrie des courbes de lenteurs par rapport au
plan de l’interface eau/solide, les solutions mathématiques sont totalement distinctes. D’autre
part, les solutions peuvent être complexes avec partie réelle non nulle. En effet, le point d'une
courbe des lenteurs pour lequel le flux d'énergie devient parallèle à l'interface ne se situe pas
forcément sur l'interface, ce qui signifie que la partie réelle de la composante du vecteur
d'onde suivant 1x n'est pas nulle. Le critère de sélection des solutions reste comme
précédemment la direction du vecteur de flux d’énergie, ainsi que le signe de la partie
imaginaire de 1k pour les solutions complexes.
On retiendra que le choix des trois solutions physiquement admissibles se base sur le flux
d'énergie de chacune des six solutions. Ce flux d’énergie doit être dirigé vers l'intérieur du
matériau et le signe négatif de la partie imaginaire de 1k . Ainsi, les ondes correspondant aux
Solutions physiquement admissibles Solutions physiquement non admissibles
Vecteur de flux d'énergie
onde incidente dans l'eau
a)
D
couple de solutions imaginaires pures
b)
D
c)
D
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
33
solutions choisies se propagent dans le matériau, et s’atténuent dans la direction de la
profondeur de l’échantillon pour les ondes hétérogènes.
1.2.3.3. Calcul des coefficients de réflexion et de transmission
Les coefficients de réflexion et de transmission à travers une interface sont obtenus en
établissant les conditions aux limites de continuité des contraintes et des déplacements,
appliquées aux trois ondes planes solutions de l'équation et physiquement admissibles pour
une onde incidente donnée.
Pour établir les conditions aux limites à une interface, on utilise les expressions des
contraintes et des déformations, données dans le cas général par :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++=
+++++=
+++++=
=
65655544533522511513
66655644633622611612
61651541431321211111
εεεεεεεεεεεεεεεεεε
CCCCCCT
CCCCCCT
CCCCCCT
T
et ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂=
i
j
j
iij x
uxu
21ε , où
( )332211 xkxkxktjii eAPu
−−−=
ω (1.13)
⇒ ( ) ( )332211
21 xkxkxktj
ijjiij ekPkPjA−−−
+−=ωε
avec la convention : 126135234 22231 εεεεεεεε ===== ,,et,i,iii à ,
et où JIC est la notation contractée de ijklC .
A chaque interface, on établit quatre équations qui permettent de déterminer à chaque fois les
quatre inconnues :
Un coefficient de réflexion et trois coefficients de transmission à une interface eau/solide.
En effet, une seule est réfléchie car seules les ondes longitudinales se propagent dans l'eau. En
revanche, trois modes peuvent se propager dans le solide anisotrope.
Un coefficient de transmission et trois coefficients de réflexion à une interface solide/eau
pour chaque mode incident, pour les mêmes raisons que précédemment.
Les quatre équations des conditions aux limites sont les suivantes :
1. Continuité de la contrainte normale à l'interface :
pT ±=11 (1.14)
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
34
où p désigne la pression dans le fluide et le signe dépend du repère et de l'interface
considérée.
2 & 3. Annulation des contraintes tangentielles :
013 =T et 012 =T (1.15)
4. Continuité de la composante normale à l'interface du champ de déplacement des particules :
1)(1)(1)( transmréflincuuu ∑∑ =+ (1.16)
Le développement et la résolution de ce système de quatre équations fournit les coefficients
de réflexion et de transmission à une interface entre l'eau et un solide anisotrope pour une
incidence quelconque. Les calculs seront étudiés plus en détail dans le troisième chapitre.
1.3. Atténuation et bruit de structure
L’un des problèmes pratiques rencontrés lors de l'inspection des soudures austénitiques est la
diffusion des ondes ultrasonores par la structure. Cette diffusion conduit à une atténuation
ainsi qu’à une éventuelle rétrodiffusion des ondes vers le transducteur (phénomène
communément appelé bruit de structure). Ces deux phénomènes sont intimement liés [SAN
88], et varient selon la direction de propagation par rapport à l’orientation des grains. De plus,
ils induisent un faible ratio du signal sur bruit [EDE 86, NEU 89]. Ils peuvent alors fausser le
diagnostic d’un contrôle en masquant la manifestation d’un défaut par exemple. La
propagation des ondes dans les milieux anisotropes a donc beaucoup été étudiée. Des modèles
relativement simples permettent de comprendre le comportement des ondes en terme de
vitesse et de direction de propagation. En revanche, l'atténuation et le bruit de structure sont
deux phénomènes plus complexes, moins étudiés.
1.3.1. Généralités et définition de l’atténuation
Une onde ultrasonore perd de l'énergie lors de sa propagation dans un milieu réel. Cette
observation expérimentale immédiate constitue une caractéristique importante de la
propagation. Dans un matériau homogène et à faces parallèles par exemple, on observe cette
perte d’énergie en enregistrant les échos successifs par une mesure en écho. L'enveloppe d'une
séquence d'échos de fond de pièce présente alors une décroissance exponentielle de
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
35
l'amplitude de la forme ( )xexp α− , en négligeant les effets de la diffraction du faisceau
[GOE 80] (Figure 1.15).
Figure 1.15 : Décroissance exponentielle des échos en négligeant la diffraction [GOE 80].
La notion d'"atténuation intrinsèque" que nous étudions désigne la perte d'énergie due
exclusivement aux interactions entre la microstructure du milieu et l'onde. Elle ne dépend ni
de la géométrie de la pièce, ni de la méthode et de la configuration de mesure. Autrement dit,
tous les phénomènes extérieurs ne peuvent être assimilés à l'atténuation intrinsèque du milieu
traversé. Ces phénomènes peuvent être la réflexion/transmission aux interfaces entre
l'échantillon et le milieu extérieur, ou encore la divergence du faisceau, propre à la
propagation de tout faisceau de section limitée.
L'atténuation intrinsèque est causée par deux catégories de phénomènes :
L'absorption :
Elle résulte de la conversion de l'énergie mécanique vibratoire en chaleur. Ce type
d'atténuation intrinsèque est lié à la viscosité du matériau contrôlé. La dissipation de l'énergie
sous forme de chaleur est due d'une part à des pertes thermoélastiques résultant du déphasage
entre contrainte et déformation, et d'autre part à la non linéarité entre la contrainte et le
déplacement atomique. Certains défauts cristallins comme les dislocations peuvent contribuer
à l'atténuation par absorption.
L'objet de notre étude concerne un matériau métallique polycristallin fortement texturé.
L'atténuation par absorption est négligeable dans les métaux polycristallins [BAI 77, EDE
86]. Nous nous intéresserons donc plus particulièrement à l'atténuation par diffusion.
enveloppe ~ ( )xexp α−
amplitude
distance échos de fond
impulsion envoyée
transducteur
échantillon
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
36
La diffusion :
Dans le cas de la diffusion (aussi appelée dispersion), une fraction de l'onde est déviée ou
réfléchie lors de la rencontre de discontinuités d'impédance acoustique (Figure 1.16). Ces
hétérogénéités acoustiques peuvent être des porosités, des précipités, des inclusions, des joints
de grains, ou encore des défauts… Ici, une partie de l'énergie "quitte" le trajet rectiligne prévu
par la théorie.
Figure 1.16 : Diffusion par une hétérogénéité.
Dans notre étude, nous nous intéressons plus particulièrement à la diffusion aux joints de
grains qui est due à la différence d’impédance acoustique d’un grain à l’autre résultant de
leurs orientations cristallographiques différentes.
Dans un milieu statistiquement isotrope, l'atténuation par diffusion est indépendante de la
direction de propagation des ondes. C’est le cas du métal de base de part et d’autre des
soudures, qui est constitué de grains aléatoirement orientés. Elle dépend de la taille, de la
forme et de l'orientation des grains, et également du type d'ondes propagé : la diffusion est
plus forte en mode transversal qu'en mode longitudinal [EDE 86].
En revanche, dans un milieu anisotrope tel qu’une soudure en acier inoxydable austénitique,
l’atténuation est également fonction de la direction de propagation [AHM 92]. L'analyse de
l'atténuation par diffusion dans le cas anisotrope est donc plus compliquée que dans le cas
isotrope.
On distingue classiquement trois domaines de diffusion, selon le rapport de la longueur d'onde
sur la taille moyenne des grains [PAP 65]. Chaque domaine est associé à une loi théorique du
coefficient d'atténuation par diffusion dα . Elles sont données dans le Tableau 1.2, où λ est la
longueur d'onde, d est la taille moyenne des grains, et f est la fréquence. On peut remarquer
que lorsque les grains sont très grands par rapport à la longueur d'onde, c'est-à-dire dans le
domaine géométrique, l'atténuation ne dépend plus de la fréquence.
onde incidente onde transmise
ondes diffusées
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
37
Domaine dλ Loi de dα
Rayleigh >>1 43fd∝
Stochastique 1≅ 2fd∝
Géométrique << 1 d1∝
Tableau 1.2 : Définition des trois régions de diffusion.
La notion de taille moyenne des grains est à prendre avec précaution. En effet, dans le cas des
métaux, selon le procédé de fabrication, la distribution des tailles de grains autour de la valeur
moyenne peut être plus ou moins dispersée. D'autre part, la taille à prendre en compte est la
dimension "vue" par les ondes. Pour un même matériau, elle dépend donc de la direction de
propagation.
1.3.2. Modèles théoriques de l'atténuation dans les matériaux polycristallins
Les chercheurs se sont intéressés à l'atténuation ultrasonore par diffusion depuis les années
50, et ont proposé des modèles théoriques visant à prévoir la valeur du coefficient
d'atténuation des ondes longitudinales et transversales à partir des caractéristiques du matériau
étudié.
1.3.2.1. Description de quelques modèles
On peut distinguer deux types d'hypothèse de départ : la diffusion simple et la diffusion
multiple. L'hypothèse de diffusion simple considère que chaque grain diffuse les ondes
incidentes indépendamment des autres grains, alors que la diffusion multiple prend en compte
le fait que l'onde arrivant sur un grain a déjà été diffusée par d'autres grains (Figure 1.17). La
diffusion simple est donc une approximation afin de simplifier le problème. Prendre en
compte la diffusion multiple permet de se rapprocher de la réalité. Nous présentons ici les
principaux modèles théoriques de la littérature ainsi que leurs résultats.
Figure 1.17 : Schéma du principe de la diffusion multiple.
transducteur ondes incidentes ondes après diffusion
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
38
Modèle de Merkulov
Les premiers travaux de recherche concernant l'atténuation ultrasonore par diffusion portaient
sur les métaux à cristaux cubiques et hexagonaux, où les grains sont sphériques et
aléatoirement orientés. Ces études ont abouti à des formules relativement simples des
coefficients d'atténuation des ondes longitudinales et transversales. Elles sont valables pour
certaines plages de fréquence et selon la structure des cristaux du matériau. En particulier,
Merkulov [MER 56] a étendu les travaux de Lifshitz et Parkhomovskii, et donne les formules
suivantes pour les métaux à cristaux cubiques :
Dans le domaine de Rayleigh,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
5532
42332
375
8
tll
lvvv
fT
ρ
µπα et
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
5532
42332
125
2
tlt
tvvv
fT
ρ
µπα (1.17)
avec le facteur d'anisotropie 441211 2ccc −−=µ , où les ijc sont les constantes d'élasticité du
cristal, T est le volume moyen des grains, f est la fréquence, ρ est la densité, et lv et tv
sont les vitesses des ondes respectivement longitudinales et transversales.
Dans le domaine stochastique,
62
222
525
16
l
lv
fd
ρ
µπα = et
62
222
210
4
t
tv
fd
ρ
µπα = (1.18)
Les formules sont plus simples dans le domaine stochastique car elles ne prennent pas en
compte les conversions de mode, contrairement aux formules du domaine de Rayleigh.
La diffusion dans les matériaux isotropes a largement été étudiée dans la littérature. En
revanche, le problème de propagation dans les milieux polycristallins texturés a reçu moins
d'attention. Nous allons maintenant détailler quatre modèles proposés dans la littérature pour
ces matériaux.
Modèle de Hirsekorn
Hirsekorn [HIR 82] est le premier auteur à proposer un modèle de diffusion ultrasonore dans
les polycristaux anisotropes en fonction du diamètre des grains sans limitation fréquentielle.
Sa théorie prend en compte les conversions de mode et la diffusion multiple, et peut
s'appliquer aux polycristaux avec des grains aussi bien aléatoirement orientés que
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
39
préférentiellement orientés, mais sphériques et tous de la même taille. Elle se base sur la
méthode de perturbation pour résoudre le problème de diffusion.
Comme la plupart des modèles, l'hypothèse fondamentale est la faible anisotropie du
matériau. On doit donc avoir 1<<2ε , où ε est le degré d'inhomogénéité dans un matériau
monophasé polycristallin. Il est proportionnel à l'anisotropie des grains et peut être défini par :
( )[ ] 222
oo kkrk >−<≡ε (1.19)
où >⋅< désigne la moyenne sur le volume de l'échantillon, et ok est le nombre d'onde dans
le milieu homogénéisé.
L'équation de départ est l'équation du mouvement, exprimée pour le vecteur de déplacement
u dans le milieu inhomogène :
(1.20)
La notation ",i" en indice signifie " ix∂∂ ", et on utilise la convention d'Einstein pour la
sommation des indices répétés.
Les constantes d'élasticité varient d'un grain à l'autre. Pour modéliser l'inhomogénéité, on
définit alors :
'o ρρρ += et ijklijklijkl 'CCC +>=< (1.21)
où oρ et >< ijklC sont les valeurs moyennes respectivement de la densité et des constantes
d'élasticité, et où les déviations sont faibles par rapport à ces valeurs moyennes.
L'équation (1.20) est alors résolue par la théorie de la perturbation au second ordre.
Les vitesses de phase et les coefficients de diffusion (i.e. les coefficients d’atténuation par
diffusion) normalisés sont tracés en fonction de la direction de propagation par rapport à l'axe
des grains (Figure 1.18 et Figure 1.19).
[ ] 02
=+ ij,l,kijkl uuC ρω
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
40
a) b) c)
Figure 1.18 : Vitesse de phase normalisée des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la
direction de propagation par rapport à l’axe d’orientation des grains [HIR 86].
a) b) c)
Figure 1.19 : Coefficient de diffusion normalisé des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la
direction de propagation par rapport à l’axe d’orientation des grains [HIR 86].
On peut tout d'abord noter la forte anisotropie dans le comportement de la vitesse de phase en
fonction de la direction de propagation, pour les trois modes de propagation. Ensuite,
l'atténuation présente également un comportement anisotrope, avec une croissance monotone
en fonction de la direction de propagation pour les OL et les OTH, et un maximum autour de
45° pour les OTV.
Modèle de Stanke et Kino
Stanke et Kino [STA 84] se sont intéressés à un modèle de la diffusion des ondes dans les
matériaux polycristallins anisotropes en général. La méthode théorique est applicable quelle
que soit la fréquence, et à tout matériau polycristallin sous l'hypothèse d'une anisotropie du
monocristal pas trop grande. C'est donc un modèle très général qui sera étendu et adapté par la
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
41
suite par plusieurs auteurs. La méthode est basée sur l'association d'un modèle décrivant la
structure d'un grain avec un modèle de distribution géométrique des grains.
Le modèle de grain choisi est le modèle anisotrope. Il demeure une approximation dans la
mesure où il ne prend pas en compte les variations de structure à l'intérieur des grains ou aux
joints des grains (comme les dislocations…). Il est néanmoins le plus complet pour le
problème des matériaux polycristallins anisotropes. Il permet de tenir compte des conversions
de mode dans la mesure où la possibilité d'avoir trois modes de propagation est incluse dans le
modèle.
Le modèle de distribution géométrique des grains le plus approprié, appelé modèle de
procédé stochastique, permet de rendre compte du fait que les grains ne sont pas réguliers.
C'est un modèle statistique qui amène à la définition d'une fonction de corrélation
géométrique ( )rW . Cette fonction exprime la probabilité que deux points séparés d'une
certaine distance r appartiennent au même grain. Ce modèle intègre un certain degré de
diffusion multiple.
L'hypothèse fondamentale est un faible degré d'inhomogénéité. Les auteurs proposent alors
l'approximation de Keller du second ordre pour résoudre le problème de propagation. En
effet, l'approximation de Keller fournit une solution générale, quelle que soit la fréquence.
D'autres auteurs utilisent l'approximation de Born qui est limitée à un certain domaine
fréquentiel : ε1>= dkx oo , où ε est le degré d'inhomogénéité précédemment défini.
Le point de départ du modèle est, comme Hirsekorn, l'équation d'onde élastique stochastique :
( ) ( )[ ] ( ) 02
=+ rururC ij,l,kijkl
ξξξ ρω (1.22)
où ξijklC est le tenseur élastique local.
Afin d'utiliser l'approximation de Keller, on définit la perturbation du tenseur d'élasticité local
par rapport au tenseur élastique isotrope "non perturbé" :
( ) ( ) o
ijklijklijkl CrCr −=∆ξξε (1.23)
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
42
où o
ijklC sont les constantes moyennes de Voigt non pondérées. Ce tenseur est choisi isotrope
pour pouvoir utiliser une fonction de Green isotrope.
Pour simplifier les équations, deux autres hypothèses sont utilisées : les grains sont
statistiquement homogènes, et les angles d'Euler des grains sont statistiquement indépendants.
Cela permet d'aboutir à une équation finale en fonction de l'inconnue k , avec une précision de 2ε et applicable à tout matériau de symétrie arbitraire avec une texture et une orientation
privilégiée des grains.
Les résultats sont présentés en fonction de la fréquence normalisée, pour un aluminium
polycristallin (Figure 1.20). On peut notamment remarquer les transitions entre les différents
domaines de diffusion définis précédemment, ainsi que la croissance monotone de
l'atténuation en fonction de la fréquence jusqu'à un plateau, aussi bien pour les ondes
longitudinales que pour les ondes transversales.
Figure 1.20 : Coefficient d'atténuation normalisé des (a) OL, (b) OT, dans un aluminium
polycristallin, en fonction de la fréquence normalisée [STA 84].
Modèle de Turner
Le modèle de Turner [TUR 99, YAN 04] se base sur la théorie développée par Stanke et
Kino. Mais l'auteur est en désaccord avec l'utilisation d'une fonction de Green isotrope pour
décrire la diffusion, ainsi qu'avec l'utilisation des directions de polarisation du cas isotrope. En
effet, dans les matériaux polycristallins texturés, le milieu est anisotrope. Une fonction de
a) b)
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
43
Green anisotrope ainsi que les polarisations anisotropes semblent donc plus appropriées. Le
problème est alors formulé par l'équation de Dyson. L'auteur applique cependant
l'approximation de Born pour la résolution de cette équation, ce qui restreint le domaine
fréquentiel des solutions.
Les résultats sont présentés sur la Figure 1.21 pour le cas de grains sphériques et
préférentiellement orientés. L'auteur fait remarquer que pour les OL et les OTH, lorsque la
fréquence augmente, l'atténuation perpendiculairement à l'axe des grains augmente davantage
que dans les autres directions de propagation. D'autre part, l'atténuation des OTV est nulle
dans la direction des fibres et perpendiculairement aux fibres. Elle présente un maximum
proche de 45°, avec apparition d’un second lorsque la fréquence augmente.
Figure 1.21 : Coefficient d'atténuation normalisé des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de
la direction de propagation, pour différentes fréquences normalisées [TUR 99].
Modèle de Ahmed et Thompson
Le modèle de Ahmed et Thompson [AHM 92, AHM 02] vise à étendre la théorie développée
par Stanke et Kino à des grains allongés (ellipsoïdaux). Comme Stanke et Kino, il aboutit à la
forme suivante du système d'équations :
02
2
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−Γ kikik u
kδ
ωρ (1.24)
où [ ] ( ) ( ) lj
,
k.rki
klkl
o
ijkl
ik kkdverWrG
C
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡×>∆><∆<−>∆∆<+
>∆<+=Γ
∫βδ
αγγδαβγδαβ ijij2
ijkl
ε
ε .
et où v désigne le vecteur v normalisé ( k désigne donc la direction de propagation que nous
avons appelé n ).
a) b) c)
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
44
Il est intéressant de noter la signification des différents termes de ikΓ . Le premier terme, o
ijklC ,
décrit la propagation dans le matériau isotrope si les grains étaient aléatoirement orientés
(approximation de Voigt). Le second terme, >∆< ijklε , introduit les effets de l'orientation
préférentielle des grains, au premier ordre. Enfin le dernier terme établit les effets de la taille
et de la forme des grains (avec ( )rW ), et de la fréquence (avec k.rki
e ).
Stanke et Kino émettent dans leur article l'hypothèse de grains sphériques. Le fonction de
corrélation géométrique associée est alors :
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
d
sexpsW 2 (1.25)
Ahmed et Thompson généralisent le modèle en définissant une fonction de corrélation
géométrique pour des grains ellipsoïdaux :
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+−= θ2
2
2
112 cosh
d
d
rexprW (1.26)
où d est le diamètre moyen des grains, dans le plan perpendiculaire à la direction privilégiée
des grains, h est la longueur moyenne des grains suivant la direction privilégiée et θ est
l'angle mesuré par rapport à la direction privilégiée.
Le ratio hd caractérise donc l'aspect des grains : les petites valeurs de hd désignent les
grains allongés, et les grandes valeurs correspondent aux grains aplatis.
Les résultats en terme d'atténuation sont présentés sur la Figure 1.22 pour les ondes
longitudinales et sur la Figure 1.23 pour les ondes transversales horizontales, pour différentes
valeurs du ratio hd (avec d fixé). La notation oχ désigne la fréquence normalisée :
dkoo =χ où ok est le nombre d'onde dans le milieu homogénéisé.
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
45
Figure 1.22 : Coefficient d'atténuation normalisé des OL (a) en fonction de la fréquence
normalisée, (b) en fonction de la direction de propagation [AHM 92].
Figure 1.23 : Coefficient d'atténuation normalisé des OTH (a) en fonction de la fréquence
normalisée, (b) en fonction de la direction de propagation [AHM 92].
On peut remarquer que plus les grains sont allongés ( hd petit), plus l'atténuation est
importante quelque soit la fréquence et la direction de propagation. Il est également
intéressant de noter que le début du régime géométrique, marqué par le pic de l'atténuation en
fonction de la fréquence, arrive à des fréquences de plus en plus basses lorsque hd diminue.
1.3.2.2. Synthèse
Différents modèles théoriques ont été présentés. Ils ont pour but de calculer le coefficient
d'atténuation par diffusion dans les matériaux polycristallins. Les modèles aboutissent
globalement aux conclusions suivantes :
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
46
la texture du matériau influe sur la valeur du coefficient d’atténuation,
pour des grains préférentiellement orientés, l'atténuation des ondes longitudinales
augmente lorsque l'angle entre l'axe des grains et le faisceau ultrasonore augmente,
l'atténuation est nulle lorsque la direction de propagation des ondes coïncide avec l'axe
cristallographique privilégié des grains,
l'atténuation présente en revanche un comportement en fonction de la fréquence qui
diffère selon les modèles.
Les premiers modèles développés (Lifshitz et Parkhomovskii, Merkulov) proposent des
formules très simplifiées du modèle de diffusion dans les métaux polycristallins isotropes. Les
modèles suivants (Hirsekorn, Stanke et Kino, Turner) sont plus complets mais limités aux cas
où les grains sont sphériques. Le modèle correspondant le mieux à notre matériau est donc le
modèle d'Ahmed et Thompson, qui considère un matériau polycristallin texturé, avec des
grains préférentiellement orientés et allongés.
La théorie traduit le fait que l’atténuation dans les matériaux polycristallins est due à la
diffusion des ondes aux joints des grains, c’est-à-dire aux changements de propriétés
élastiques. On pourra donc s’attendre expérimentalement à une croissance globale de
l’atténuation en fonction de l’orientation des grains. En effet, pour une épaisseur donnée, les
ondes se propageant à 0° par rapport aux grains rencontreront très peu d’interfaces donc de
sauts de propriétés élastiques, et en rencontreront d’autant plus que l’orientation des grains
augmente.
1.3.3. Méthodes de mesure de l'atténuation ultrasonore
Les méthodes de caractérisation sont nombreuses. Celles utilisées pour mesurer l'atténuation
ultrasonore peuvent être regroupées en trois catégories principales :
- les mesures au contact, pour lesquelles le (ou les) transducteur(s), piézoélectriques, sont en
contact direct soit avec la pièce via un couplant, soit avec une pièce tampon elle-même en
contact avec la pièce à caractériser,
- les mesures sans contact, c'est-à-dire les méthodes de mesure ne nécessitant aucun
intermédiaire spécifique entre le capteur et la pièce,
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
47
- les mesures en immersion, où les transducteurs, piézoélectriques, peuvent être plus ou
moins éloignés de la pièce, le dispositif étant plongé dans l'eau afin de permettre une
meilleure propagation des ondes ultrasonores.
Elles présentent toutes diverses sources d'erreur déterministes et/ou aléatoires. Generazio
[GEN 85] fait remarquer qu'il existe un lien entre la technique expérimentale de mesure
utilisée et les résultats expérimentaux obtenus. Par exemple, l'effet de diffraction du faisceau
ultrasonore, dû à sa dimension finie, introduit une erreur systématique dépendante de la
fréquence et de l'espace. Il est donc important de bien connaître les limites et incertitudes de
la méthode de mesure utilisée. Cela montre la complexité à mesurer l'atténuation intrinsèque
d'un matériau.
Toutes les méthodes de mesure sont fréquemment associées à une méthode de traitement du
signal : la spectroscopie. C’est une technique qui permet de déterminer la relation de
dispersion dans les matériaux dispersifs. Cette approche, basée sur l'analyse spectrale d'échos
successifs, a été développée par Sachse et Pao [SAC 78], en 1978. Elle est actuellement très
utilisée pour la caractérisation des matériaux.
Cependant, dans ce type de méthode, il est nécessaire de prendre en compte plusieurs
phénomènes importants pour avoir une mesure de l'atténuation précise. Les deux principaux
phénomènes pouvant altérer la précision de la mesure sont :
1. la diffraction (ou divergence) du faisceau se propageant, susceptible d’induire une perte
d'énergie qui n’est pas causée par le matériau lui-même,
2. la propagation dans le milieu couplant, entre le capteur et le matériau, en particulier pour
les méthodes au contact.
Il est possible de s'affranchir des problèmes de diffraction, car des formules permettent de
corriger cette erreur [PAP 73], bien que ce problème soit plus complexe pour les matériaux
anisotropes comme nous l’avons indiqué dans les paragraphes précédents. En revanche, la
question du couplant paraît plus difficile à résoudre.
1.3.3.1. Méthodes au contact
Les mesures d'atténuation au contact s'effectuent avec un ou deux transducteurs ultrasonores
positionnés directement contre la pièce ou par l'intermédiaire d'une pièce tampon ou d'un
sabot, avec une fine couche de couplant (Figure 1.24). Ce type de mesure est utilisé lorsque le
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
48
matériau à caractériser est très fortement atténuant (le contact direct évite la perte d'énergie
par réflexion à la première interface) et/ou lorsque les conditions environnementales ne
permettent pas une autre méthode, les mesures au contact étant les plus faciles à mettre en
œuvre. Plusieurs auteurs travaillent au contact pour mesurer vitesse et atténuation ultrasonore
dans les bétons [GOU 02, OUL 02] ou relier l'atténuation à la taille des grains dans certains
métaux [NIC 92].
Figure 1.24 : Principe de la mesure au contact, en mode réflexion.
Le principe de la mesure de l'atténuation ultrasonore par contact en réflexion (Figure 1.24)
repose sur l'acquisition de plusieurs échos successifs. Le transducteur piézoélectrique génère
un faisceau d'ondes planes qui se réfléchit en fond de pièce et revient vers le transducteur. Le
signal de chaque écho est traité par transformée de Fourier, et l'atténuation peut être calculée
dans le domaine fréquentiel par le biais de la formule :
( ) ( )( ) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=
fS
fSlog
Df
2
1202
1α (1.27)
où D est l'épaisseur de l'échantillon.
Cependant, comme nous l'avons souligné précédemment, ces méthodes présentent le
problème non négligeable de maîtrise des coefficients de réflexion/transmission au niveau du
couplant, en particulier pour des mesures d'atténuation. En effet, il est très difficile d'une part
de déterminer l'épaisseur du couplant et les phénomènes de réflexion et de transmission aux
interfaces capteur/couplant/solide, et d'autre part de reproduire une mesure dans des
conditions de couplage identiques.
couplant pièce
transducteur
échos successifs observés sur l'oscilloscope
envoi d'une impulsion
t
V
…
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
49
1.3.3.2. Méthodes sans contact
Les méthodes de mesures d'atténuation sans contact ne nécessitent aucun milieu spécifique
entre le capteur et la pièce. Elles permettent donc de s'affranchir du problème de couplant
précédemment évoqué. On retrouve dans cette catégorie deux types de mesures :
Les mesures par laser :
La vibration du faisceau laser sur la surface du matériau génère des ondes ultrasonores dans le
solide. Le fait de focaliser le faisceau laser incident permet en plus d'éviter la diffraction
[POU 93]. Cependant, les mesures par laser se limitent à l’incidence normale, et les ondes
générées sont des ondes sphériques, ce qui complique la mesure d'atténuation. De plus, la
mesure par laser est très ponctuelle et implique qu'une très petite partie du matériau est
insonifiée. Or il est préférable pour nos mesures d'avoir un large faisceau afin de moyenner
sur un assez grand nombre de grains.
Les mesures par EMAT :
Les forces de Laplace induites à la surface par le capteur EMAT génèrent une vibration
ultrasonore dans le matériau [OGI 95]. Cette technique est applicable aux matériaux
conducteurs uniquement, tels que les métaux. De plus, elle présente l’inconvénient d’avoir un
faible coefficient de conversion, ce qui pose problème en particulier pour les matériaux
fortement atténuants comme nos soudures. En effet, les mesures d'atténuation seront d'autant
moins précises que l'amplitude mesurée est faible.
Comme pour les mesures au contact, le principe des mesures sans contact repose sur
l'acquisition d'échos successifs. Ces deux types de mesures permettent également de
s'affranchir de la question de réflexion à la première interface. Elles présentent cependant des
inconvénients non négligeables pour les mesures que nous voulons effectuer, et elles sont
moins faciles à mettre en œuvre matériellement que des dispositifs avec des capteurs
piézoélectriques.
1.3.3.3. Méthodes en immersion
Les mesures en immersion s'effectuent dans une cuve remplie d'un liquide couplant
(généralement de l'eau) et dans laquelle on dispose le (ou les) transducteur(s) ainsi que
l'échantillon à caractériser. Les méthodes en immersion sont les méthodes les plus
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
50
fréquemment utilisées pour leur meilleure précision et leur bonne reproductibilité par rapport
aux méthodes de contact, ainsi que pour leur relative simplicité de mise en œuvre.
Lorsqu'on fait des mesures d'atténuation en immersion, il faut considérer l'atténuation dans le
liquide couplant, afin de ne pas surestimer l'atténuation dans le matériau étudié. Le couplant
est généralement l’eau, dont l’atténuation à 20°C est donnée par la formule [KAY 95] :
( ) 2410172 f.,feau
−=α (dB/mm) (1.28)
où f est la fréquence, exprimée en MHz.
L’atténuation dans l'eau est très faible (3
1011−
= .,eauα dB/mm à 2,25 MHz) et la plupart du
temps négligeable, en particulier pour les mesures sur les matériaux très atténuants.
Diverses méthodes en immersion ont été développées : en émission-réception ou en
transmission, par l'acquisition d'échos successifs uniquement ou en utilisant le liquide
couplant comme milieu de référence (Figure 1.25).
Figure 1.25 : Exemples de dispositifs en immersion : (a) réflexion avec échos successifs [KUM
96, BAD 03], (b) transmission avec mesure de référence [JEO 95, WAN 01].
Le dispositif en transmission avec mesure de référence est la méthode classique de mesure de
l’atténuation, la plus couramment utilisée. Ce type de technique permet de mesurer la
dispersion de vitesse et d'atténuation, à l'aide de transducteurs large bande. La connaissance
de la vitesse donne accès au coefficient de transmission global classique en incidence
normale, dont la formule, pour une fréquence donnée, est :
( )2
2211
22114
VV
VVT
ρρ
ρρ
+= (1.29)
lorsque les ondes traversent un milieu homogène 2 inséré dans un milieu homogène 1.
Cette formule est limitée à l’hypothèse d’incidence normale du faisceau, et néglige
l’ouverture du faisceau.
E R
E R
transducteur
a) b)
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
51
1.3.3.4. Choix de la méthode de mesure : immersion et transmission
Les mesures au contact sont les plus simples à mettre en œuvre, et très efficaces pour
effectuer des mesures de vitesse. En revanche, les problèmes de propagation dans le couplant
et le manque de reproductibilité en font des méthodes peu adaptées à la mesure précise de
l’atténuation intrinsèque.
Les mesures sans contact sont quant à elles plus difficiles et plus coûteuses à mettre en œuvre.
Nous avons montré qu’elles présentent de plus des inconvénients non négligeables pour les
mesures que nous voulons effectuer.
Nous choisissons donc de travailler en immersion. Le laboratoire disposant d'un dispositif de
mesures ultrasonores en immersion performant, en particulier pour l'évaluation des constantes
d'élasticité par mesures de vitesses en incidence variable, nous l’utilisons pour une application
simple en transmission, en incidence normale.
1.4. Description des échantillons étudiés
Les échantillons sur lesquels vont être effectuées les mesures doivent permettre d’obtenir des
courbes d’atténuation en fonction de l’orientation des grains. C’est pourquoi, du fait de la
méthode de mesure choisie, en incidence normale, il est nécessaire d’avoir plusieurs
échantillons avec différentes orientations.
1.4.1. Découpe
Le contrôle ultrasonore des soudures industrielles est rendu très complexe à cause de leur
forte hétérogénéité. On rappelle que l’objectif est la simulation de ce contrôle à partir d’une
description de la soudure en un nombre fini de domaines anisotropes homogènes. L'étude a
donc été menée sur des échantillons homogènes, en fonction de l'orientation des grains. Les
soudures industrielles sont très hétérogènes et de dimensions trop petites pour permettre des
découpes d’échantillons homogènes. Une soudure-école (référence D704) a donc été réalisée,
par rechargement, pour obtenir un volume soudé homogène et suffisamment grand. Plusieurs
échantillons homogènes orthotropes avec différentes orientations de grains ont alors été
prélevés dans cette maquette. Cette soudure est en acier 316L de composition très proche de
celle des soudures industrielles (Tableau 1.3).
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
52
NB : La notion d’homogénéité est ici définie et utilisée macroscopiquement. En effet, les
grains demeurent des hétérogénéités, à plus petite échelle, qui induisent la diffusion des ondes
ultrasonores.
Elément Cr Ni Mo Mn Si Cu Co C P S
Teneur (%) 19.8 11.9 2.34 1.9 0.41 0.07 0.056 0.03 0.01 0.001
Tableau 1.3 : Composition du métal d'apport de la soudure-école (D704).
Nous avons opté pour des échantillons avec des orientations de grains par pas de 15° (Figure
1.26). L'intérêt d'avoir des échantillons avec différentes orientations est de pouvoir faire des
mesures en fonction de l'orientation des grains tout en restant en incidence normale. En effet,
comme nous l'avons souligné précédemment, les mesures en incidence oblique ajoutent des
problèmes liés à la connaissance précise de la direction de propagation, aux conversions de
mode et aux déviations. Ces problèmes cumulés affaiblissent considérablement la précision
des valeurs mesurées.
Figure 1.26 : Schéma de la découpe des échantillons.
Ainsi, sept échantillons ont été prélevés dans la soudure-école D704. Les angles indiqués sur
la figure sont les angles théoriques que forment les grains avec la normale à la surface de
chaque échantillon. Les orientations réelles des grains après analyse d'image sont : 0°, 10°,
35°, 45°, 60°, 80°, 85°. Les traitements et figures seront donc effectués par la suite à partir de
ces orientations.
1.4.2. Propriétés élastiques
Chaque échantillon est homogène et orthotrope. L’orthotropie se caractérise par un axe
principal, l’axe cristallographique d’élongation des fibres pour un matériau à texture fibrée, et
deux orientations privilégiées des deux autres axes cristallographiques. On peut observer cette
texture sur les figures de pôles obtenues par analyse EBSD (Figure 1.27) : l'axe des fibres au
centre et les zones privilégiées sur les bords.
0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
53
Figure 1.27 : Figures de pôle : (a) principe et (b) figure de pôle 100 expérimentale.
Remarque : il est à noter que dans ce cas précis, le matériau est proche d’une symétrie
isotrope transverse, définie par le fait que le plan perpendiculaire à l’axe des fibres est
isotrope. En effet, les zones privilégiées de la figure de pôle ne sont pas très marquées.
Le tenseur des constantes d'élasticité des matériaux homogènes orthotropes se compose de 9
constantes indépendantes et est de la forme :
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
66
55
44
33
2322
131211
000000000000
CCsym
CCCCCCC
C (1.30)
D'après les mesures de Chassignole [CHA 00], les constantes d'élasticité de la soudure D704
sont données par le Tableau 1.4. Elles ont été déterminées par une méthode ultrasonore de
mesure de vitesses associée à un algorithme d'optimisation. Ces données correspondent au
repère pour lequel l'axe 3 est l'axe d'élongation des grains et le plan (23) est plan principal
(Figure 1.28). Notons que les plans (13) et (12) sont également des plans principaux.
11C 22C 33C 23C 13C 12C 44C 55C 66C
237 247 210 134 132 84 122 125 70
Tableau 1.4 : Constantes d'élasticité de la soudure d'étude D704 (en GPa) [CHA 00].
x y
z
100
x
y
axe des fibres
orientations privilégiées des 2 autres axes
a) b)
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
54
Figure 1.28 : Repère associé à la description élastique du Tableau 1.4.
La description élastique du Tableau 1.4 correspond donc à l’échantillon dont les grains sont
orientés à 90° par rapport à la normale 1x . Les constantes d'élasticité des différents domaines
de la soudure sont donc obtenues par la rotation du tenseur précédemment défini autour de
l'axe 2x , à l'aide de la formule suivante :
0ijklploknjmimnop CaaaaC = (1.31)
où 0C est la matrice des constantes d'élasticité du Tableau 1.4, et la matrice a , pour une
rotation d’un angle ψ autour de l'axe 2x , est définie par :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
ψψ
ψψ
cossin
sincosa
0010
0 (1.32)
On remarque que les domaines où les grains sont orientés à 0° et à 90° auront une description
élastique orthotrope dans ce repère orthonormé, alors que les autres domaines auront une
description monoclinique, avec 13 constantes d'élasticité, de la forme :
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
66
55
4644
3533
252322
15131211
00
000000
CCsym
CCCCCCCCCCC
C (1.33)
NB : Il y a toujours 9 constantes d'élasticité indépendantes (cf. Annexe2).
3xaxe d'élongation des grains
1x
2x(23) : plan principal
Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes
55
1.5. Synthèse et objectifs
Les travaux effectués durant cette thèse ont pour objectif la détermination de l'atténuation
ultrasonore dans les milieux anisotropes fortement texturés tels que les soudures. Les données
mesurées seront injectées dans le code de calcul ATHENA pour permettre une simulation de
contrôle réaliste.
Ce chapitre a montré que l'atténuation ultrasonore est un phénomène complexe et difficile à
quantifier. Diverses méthodes expérimentales existent mais mesurent l'atténuation avec plus
ou moins de précision. La présence d’anisotropie et d’hétérogénéité complique cette
problématique. Quelques modèles ont été développés pour simuler l'atténuation par diffusion
dans les matériaux polycristallins, et un seul prend en compte la texture.
Pour tester les prévisions de ce modèle, et les comparer à des valeurs fiables obtenues
expérimentalement sur nos soudures, nous adoptons une démarche abordant les difficultés par
ordre croissant. Nous choisissons de travailler d’abord sur des échantillons anisotropes
homogènes, mais prélevés sur des soudures réelles d’acier inoxydable austénitique. Nous
commençons avec l’étude de l’atténuation des ondes longitudinales. Nous optons pour un
premier montage en transmission qui permet d’appréhender les difficultés de la mesure
d’atténuation.
56
57
2. METHODE CLASSIQUE DE MESURE DE L’ATTENUATION EN TRANSMISSION
2.1. Principe de la mesure...................................................................................................... 58
2.2. Mesure de la vitesse de phase ......................................................................................... 61
2.2.1. Dispersion de vitesse : méthode de déroulement de phase ......................................... 61 2.2.1.1. Méthode classique ..........................................................................................................61 2.2.1.2. Modification apportée ....................................................................................................62
2.2.2. Calcul d'incertitude...................................................................................................... 64 2.2.3. Méthodes d'intercorrélation et de Hilbert.................................................................... 65
2.2.3.1. Intercorrélation ..............................................................................................................66 2.2.3.2. Transformée de Hilbert ..................................................................................................67
2.2.4. Résultats et comparaison............................................................................................. 68 2.2.4.1. Comparaison des trois méthodes....................................................................................68 2.2.4.2. Courbes de dispersion ....................................................................................................68 2.2.4.3. Courbe d’évolution de la vitesse en fonction de l’orientation des grains ......................69
2.3. Mesure de la dispersion d'atténuation .......................................................................... 70
2.3.1. Méthode de calcul ....................................................................................................... 70 2.3.2. Calcul d'incertitude...................................................................................................... 71 2.3.3. Résultats de mesure en fonction de la fréquence ........................................................ 72
2.3.3.1. Courbes de dispersion de 1,5 à 3 MHz...........................................................................72 2.3.3.2. Origines des oscillations ................................................................................................73 2.3.3.3. Conclusions ....................................................................................................................77
2.3.4. Evolution de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains ............................. 78 2.3.4.1. Courbe expérimentale.....................................................................................................78 2.3.4.2. Comparaison aux valeurs expérimentales de la littérature............................................79 2.3.4.3. Comparaison aux résultats du modèle d’Ahmed ............................................................80
2.4. Synthèse et discussion ..................................................................................................... 82
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
58
Nous présentons dans ce chapitre le premier type de mesures effectuées. Parmi les différentes
méthodes de mesure de la vitesse et de l'atténuation ultrasonores précédemment exposées,
nous avons choisi une méthode en immersion pour différentes raisons. Tout d'abord, la
reproductibilité de l'interface eau/matériau assure la reproductibilité des mesures,
contrairement aux méthodes par contact pour lesquelles l'utilisation de couplant entre le
capteur et la pièce introduit d'importantes incertitudes. De plus, la connaissance des
caractéristiques de l'eau permet une meilleure précision de la mesure d'atténuation. Ensuite, ce
type de méthode offre la possibilité d'effectuer des mesures en incidence variable, en
particulier pour les mesures de vitesses donnant accès aux constantes d'élasticité. La mesure
par immersion est par ailleurs relativement simple à mettre en œuvre.
Nous présenterons tout d'abord le principe de la mesure, puis les calculs et résultats de mesure
des dispersions de la vitesse de phase et de l'atténuation des ondes ultrasonores longitudinales.
Il est à noter que cette méthode ne permet pas les mesures d’atténuation en ondes quasi-
transversales à polarisation verticale mais on rappelle que ces ondes sont très perturbées par
les structures anisotropes et hétérogènes, et sont donc peu utilisées pour le CND des soudures.
Des valeurs pour ce type d’ondes sont toutefois indiquées en Annexe 3.
2.1. Principe de la mesure
Les mesures de dispersion de vitesse de phase et d'atténuation présentées dans ce chapitre ont
été effectuées en immersion et en incidence normale. Le dispositif est constitué de deux
transducteurs piézoélectriques : un émetteur de diamètre 0,5" et un récepteur de diamètre
0,75" immergés dans une cuve (Figure 2.1). Tous deux sont de fréquence centrale 2,25 MHz.
Notons que nous travaillons à la fréquence de 2,25 MHz qui est préconisée pour le contrôle
des soudures austénitiques [YON 95]. Les capteurs sont reliés à un générateur d’impulsions
ultrasonores, lui-même relié à un oscilloscope. Les signaux visualisés sur l’oscilloscope sont
récupérés sur ordinateur par le biais d’une liaison GPIB.
Les deux capteurs sont fixés sur un étrier et séparés d'une distance L d'environ 50mm. Pour
les mesures dans le matériau, l'échantillon est inséré entre les deux capteurs, sur le trajet du
faisceau ultrasonore.
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
59
Figure 2.1 : Schéma du dispositif expérimental.
Deux rotations sont autorisées par ce dispositif : l'une autour d'un axe horizontal
perpendiculaire au faisceau, et l'autre autour d'un axe vertical (Figure 2.2). Ces deux degrés
de liberté, pilotés par ordinateur via un appareil Microcontrôle, permettent de régler la
perpendicularité de l'incidence du faisceau par rapport à la surface de l'échantillon. Ils
permettent également d'acquérir des signaux en incidence variable de manière automatisée,
notamment dans le cas de la détermination de constantes d'élasticité [DUB 96, MOU 96, DUC
00]. Les vis de réglage du capteur émetteur permettent quant à elles de régler la coaxialité des
faisceaux des deux transducteurs.
Figure 2.2 : Réglages du dispositif.
La méthode utilisée est basée sur l'analyse des spectres d'amplitude et de phase des signaux
enregistrés pour en déduire la valeur de la vitesse de phase et de l'atténuation en fonction de la
fréquence. Les deux signaux acquis sont : 1. le signal de référence ( )tseau , enregistré après une
simple propagation dans l'eau, 2. le signal ( )tséch enregistré sur le même trajet ultrasonore
mais avec l’échantillon placé entre les deux capteurs.
E R
vis de réglage de l'émetteur
émetteur
récepteur
axes de rotation (motorisés) (i.e. degrés de liberté pour le réglage de la normale)
échantillon
support de l'échantillon
blocs fixant le support
générateur SOFRANEL oscilloscope TEKTRONICS
GPIB
DL
E R
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
60
Les différences entre les signaux ( )tseau et ( )tséch sont d'abord dues à la traversée de
l'échantillon d'épaisseur D : le temps d’arrivée est modifié par la propagation à la vitesse échV
dans le milieu, et l’amplitude diminue en raison de l’atténuation échα intrinsèque au milieu.
La forme du signal peut également être modifiée par le phénomène de dispersion, qui
correspond à une variation de la vitesse en fonction de la fréquence. D’autre part, la différence
d'impédance acoustique entre l'eau et le matériau entraîne la réflexion d'une partie de l'énergie
incidente à chaque interface. Rappelons que cette perte d'énergie due aux réflexions aux
interfaces est dissociée de l'atténuation intrinsèque, que nous cherchons à mesurer.
En régime d’onde plane harmonique, les deux signaux temporels acquis sont de la forme :
(2.1)
où les coefficients d’atténuation eauα et échα sont positifs.
Le coefficient de transmission global T en incidence normale pour un échantillon immergé
dans l'eau s'écrit, en supposant la vitesse dans l’eau indépendante de la fréquence [DIE 74] :
( ) ( )( )( )2
4
ωρρ
ωρρω
échécheaueau
échécheaueau
VV
VVT
+= (2.2)
Le rapport des transformées de Fourier ( )ωeauS et ( )ωéchS respectivement de ( )tseau et ( )tséch
peut alors s'écrire :
(2.3)
où ( )ωϕ∆ désigne la différence de phase entre les deux spectres ( )ωeauS et ( )ωéchS :
eauéch ϕϕϕ −=∆ avec Lkeaueau −=ϕ et ( ) DkDLk écheauéch −−−=ϕ .
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )[ ]( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=
∆==
DVV
jexpDexpT
jexpS
S
S
SG
écheau
écheau
eau
éch
eau
éch
ω
ωωωααω
ωϕω
ω
ω
ωω
( ) ( )LktjexpEts eauoeau −= ωeau
eau
eau jV
k αω
−=
( ) ( )( )DkDLktjexpETts écheauoéch −−−= ωéch
éch
éch jV
k αω
−=
avec
avec
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
61
Le module de la fonction ( )ωG est directement lié à l'atténuation lors du trajet du faisceau, et
sa phase est liée aux vitesses de propagation dans l'eau et dans le matériau. On partira donc de
cette équation pour calculer les dispersions de vitesse de phase et d'atténuation. Notons que le
coefficient de transmission intervient dans le module de ( )ωG . La mesure précise de la
vitesse de phase est donc indispensable au calcul de l'atténuation. Nous avons donc dans un
premier temps effectué des mesures de la vitesse de phase.
2.2. Mesure de la vitesse de phase
2.2.1. Dispersion de vitesse : méthode de déroulement de phase
Le calcul de la vitesse de phase en fonction de la fréquence a été effectué par le biais de la
méthode de déroulement de phase, légèrement modifiée pour une meilleure précision. Nous
allons tout d'abord présenter la méthode de déroulement de phase classique, puis les
modifications apportées.
2.2.1.1. Méthode classique
Connaissant la fonction ( )ωG par le calcul des transformées de Fourier des deux signaux
enregistrés, on peut calculer la vitesse de phase en fonction de la fréquence d'après l'équation
(2.3) et la méthode de déroulement de phase classique avec la formule suivante :
(2.4)
où ( )fϕ∆ est la phase déroulée de ( )fG [HUL 85].
La phase d’un nombre complexe est calculée numériquement grâce à la fonction arctan qui
donne un résultat compris entre π− et π . Or dans l’expression d’une onde plane, le
déphasage dû à la propagation est une fonction croissante de la distance parcourue. Il faut
donc linéariser le résultat obtenu par la plupart des codes de calcul standard en déroulant la
phase.
Deux autres termes interviennent dans le calcul de la vitesse : D et eauV . L'épaisseur D de
l'échantillon a été mesurée à l'aide d'un micromètre. Quant à la vitesse des ondes ultrasonores
( ) ( )fD
VfV
fVeau
eauéch
π
ϕ
21
∆−
=
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
62
dans l'eau, elle peut s'obtenir soit par la mesure, en enregistrant les temps de vol pour deux
distances parcourues différentes, soit par la formule suivante, en fonction de la température T
[DEL 72] :
(2.5)
avec 3
0 10.140238754,0=a , 11 10.503711129,0=a , 1
2 10.580852166,0 −−=a
33 10.334198834,0 −=a , 5
4 10.147800417,0 −−=a , 85 10.314643091,0 −=a .
La vitesse dans l'eau n'est pas fonction de la fréquence car l'eau n'est pas un milieu dispersif.
La difficulté de cette méthode vient des sauts intempestifs de la phase, pouvant être dus à la
dispersion ou aux bruits sur les signaux traités. Ces sauts peuvent altérer le déroulement de la
phase, en particulier au point de départ du déroulement (début de la bande de fréquence de
travail). La pente de la phase reste alors juste, mais la détermination de la valeur absolue de la
phase est relativement difficile et présente alors une incertitude de πk2 .
2.2.1.2. Modification apportée
En raison de ces difficultés, nous avons été amenés à modifier légèrement cette méthode
classique de déroulement de phase, en nous basant sur les travaux de Peters [PET 03]. L'idée
est de recaler préalablement les deux signaux temporels (dans l'eau et à travers l'échantillon)
par intercorrélation, puis d'appliquer ensuite le déroulement de phase classique. Cette
opération a pour but d'augmenter la fiabilité du terme ( )fϕ∆ .
L'intercorrélation est couramment utilisée pour calculer l'écart de temps de vol global entre
deux signaux. La méthode d'intercorrélation sera expliquée plus en détail dans le paragraphe
suivant. La fonction d'intercorrélation étant discrète, on obtient en fait un nombre m de points
d'écart entre les deux signaux. La Figure 2.3 décrit la translation temporelle de m points
appliquée à l'un des signaux afin de superposer les deux signaux.
On calcule alors la différence de phase ϕ~∆ des deux signaux ainsi superposés, qui est
comprise entre 2π− et 2π . La différence de phase totale est donc composée de deux
termes :
( ) ( ) ( )f~dtmff ϕπϕ ∆+−=∆ 12 (2.6)
( ) k
k keauaV TT ∑ =
= 5
0
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
63
avec dt la période d'échantillonnage temporel.
Figure 2.3 : Recalage des signaux pour calculer la différence de phase.
Ces deux termes sont tracés séparément sur la Figure 2.4. Le premier terme est la partie
linéaire par rapport à la fréquence (courbe verte). Il correspond à l'écart global entre les deux
signaux calculé par intercorrélation. Le second terme correspond à la dispersion, c'est-à-dire
les modifications locales, faibles, de la phase en fonction de la fréquence (courbe bleue). On
remarque que si le matériau avait simplement fait subir au faisceau une translation temporelle
par rapport au signal dans l'eau, sans aucune dispersion, le second terme serait nul. La
différence de phase serait alors purement linéaire par rapport à la fréquence, ce qui implique
une vitesse constante par rapport à la fréquence.
Figure 2.4 : Exemple de parties linéaire et dispersive de la phase.
Le principal avantage de cette modification est qu'elle supprime l'erreur possible sur la phase
de πk2 de la méthode classique de déroulement de phase [HE 99, PET 03], en déterminant la
partie linéaire de la phase. Elle a été adoptée en raison des écarts importants observés dans un
premier temps entre les résultats de la méthode classique et les résultats des méthodes
d'intercorrélation et de Hilbert, que nous allons expliquer maintenant.
m points
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
64
2.2.2. Calcul d'incertitude
Le degré de confiance sur les valeurs obtenues a été vérifié. Pour cela, l'incertitude de la
mesure a été calculée. Elle se calcule en répercutant les incertitudes des différents termes
intervenant dans l'équation de la vitesse de phase, c'est-à-dire la vitesse de propagation dans
l'eau, la différence de phase et l'épaisseur de l'échantillon.
Vitesse de propagation dans l'eau :
Le couplant utilisé ici est de l'eau déminéralisée. La vitesse de propagation des ultrasons est
calculée à partir de la température par le biais du polynôme du cinquième ordre [DEL 72]
donné par l’équation (2.5).
L'incertitude liée à la vitesse ultrasonore dans l'eau est donc obtenue à partir de l'incertitude de
mesure de la température, qui est de 0,1°C.
Le calcul de l'erreur est alors : ( )( ) TTakTdTdV
Vk
kk
eaueau δδδ ⋅+== ∑ = +
4
0 11 .
Le coefficient devant Tδ est positif donc le passage aux incertitudes donne :
( )( ) TTakVk
kkeau ∆⋅+=∆ ∑ = +
4
0 11
La Figure 2.5 montre que ce terme de l'incertitude jouera peu sur l'incertitude globale de la
mesure de vitesse car les valeurs d'incertitude de la vitesse dans l'eau sont de l'ordre de 0,3
m/s pour une incertitude sur la température de 0,1°C.
Figure 2.5 : Incertitude de la vitesse dans l'eau en fonction de la température.
Ecart du temps de vol :
La différence de phase, apparaissant dans la formule de la vitesse, est calculée sur la base de
l'écart du temps de vol global τ des deux signaux temporels :
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
65
( ) ( )f~ff ϕτπϕ += 2 , où ( ) dtm 1−=τ .
La fonction d'intercorrélation utilisée pour calculer τ est discrète. La précision de la mesure
est donc le pas d'échantillonnage de la fonction d'intercorrélation : τ∆ . Pour nos mesures, le
pas est de 4.10-9 s. Il est possible d'affiner la mesure en extrapolant la fonction afin de
diminuer le pas de discrétisation temporelle.
Epaisseur de l'échantillon :
L'épaisseur de l'échantillon est mesurée à l'aide d'un micromètre électronique. On peut donc
estimer la précision de cette mesure à 10-5m.
⇒ Vitesse de propagation dans l'échantillon :
A partir de toutes ces données, on peut calculer la précision de la mesure de la vitesse de
phase :
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
D
D
fD
ffV
fD
fV
V
V
fD
ffV
fV
fV échéch
eau
eauéch
éch
éch∆
+∆+∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=
∆
π
φτ
ππ
φ
2221 (2.7)
Le Tableau 2.1 montre les valeurs des incertitudes absolues et relatives pour chaque
échantillon. Cela conduit à une incertitude expérimentale sur la mesure de la vitesse de phase
de l'ordre de 40 m/s, soit 0,7 % environ. Ce résultat est très acceptable.
Echantillon 0° 10° 35° 45° 60° 80° 85°
Incertitude absolue (m/s) 35 37 46 47 47 40 40
Incertitude relative (%) 0.66 0.68 0.75 0.77 0.76 0.70 0.73
Tableau 2.1 : Incertitudes sur les mesures de vitesse à 2,25 MHz.
2.2.3. Méthodes d'intercorrélation et de Hilbert
Deux autres méthodes de traitement du signal ont été utilisées afin de valider les valeurs de
vitesse obtenues avec la méthode précédemment exposée. Elles ne permettent d'estimer la
vitesse qu'à une fréquence, et ne donnent donc pas accès à la dispersion. Elles représentent
cependant un très bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur des résultats obtenus.
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
66
Leur principe est basé sur la mesure précise de l'écart de temps de vol τ entre les deux
signaux considérés, en les comparant de façon globale afin de limiter l'effet de la dispersion.
La vitesse est ensuite calculée à l'aide de la formule suivante :
eau
eauéch
VD
VDV
τ−= (2.8)
qui résulte du fait que τ désigne la différence de temps de parcours entre un trajet dans l'eau,
à la vitesse eauV , et un trajet dans l'échantillon, à la vitesse échV , sur une même distance D .
2.2.3.1. Intercorrélation
L'intercorrélation de deux signaux est une mesure de leur degré de similitude de forme et de
position particulièrement utilisée pour le régime impulsionnel. La fonction d'intercorrélation
de deux signaux ( )ts1 et ( )ts2 est définie par [DUB 96] :
( ) ( ) ( )∫+∞
∞−
−= dutusustC SS 2121 (2.9)
Nous travaillons sur les spectres des signaux. Nous utiliserons donc la fonction
d'intercorrélation dans le domaine spectral, où elle se calcule de la façon suivante [MOU 96] :
( ) ( ) ( )( )fSfSFouriertC SS 21
1
21
−= (2.10)
où ( )fS2 désigne le complexe conjugué de la transformée de Fourier ( )fS2 du signal ( )ts2 .
La fonction d'intercorrélation présente alors un maximum à τ=t , où τ correspond au
décalage temporel à appliquer à ( )ts2 pour qu'il se superpose au mieux à ( )ts1 . La Figure 2.6
montre deux signaux expérimentaux et leur fonction d'intercorrélation. L'un des signaux a été
enregistré après un trajet dans l'eau, et l'autre après insertion de l'échantillon de soudure. Le
signal en présence de l'échantillon arrive plus tôt car les ondes longitudinales ont une vitesse
beaucoup plus grande dans l'acier que dans l'eau. Le décalage temporel entre les deux signaux
est alors déduit de l'abscisse du maximum de la fonction.
La vitesse ainsi calculée correspond à la vitesse pour une fréquence proche de la fréquence
centrale du signal [HUL 85].
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
67
Figure 2.6 : Fonction d'intercorrélation de deux signaux.
2.2.3.2. Transformée de Hilbert
La troisième méthode de calcul de la vitesse que nous avons utilisée est basée sur la
transformée de Hilbert. La transformée de Hilbert d’une fonction ( )tg est le produit de
convolution de ( )tg par tπ1− et est donc définie comme suit [AUD 96, MOU 96] :
( )( ) ( )∫
+∞
∞− −−= du
ut
ugtgTH
π
1 (2.11)
Dans le domaine spectral, la transformée de Hilbert de la fonction ( )tg s’écrit :
( )( ) ( ) ( )( )fGfsignejFouriertgTH −=−1
(2.12)
où ( )fG désigne la transformée de Fourier de ( )tg .
La transformée de Hilbert du rapport ( ) ( ) ( )fSfSfGeauéch
= présente alors deux branches
hyperboliques, d'asymptote verticale située à l’abscisse τ=t où τ désigne l’écart temporel
entre les deux signaux ( )tseau et ( )tséch (Figure 2.7).
Figure 2.7 : Transformée de Hilbert du rapport de deux spectres.
( )( )tgTH
τ
Transformée de Hilbert
τ signal dans l'eau
signal avecl'échantillon
eauéch SSC
Fonction d'intercorrélation
τ
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
68
A la différence de l'intercorrélation, la vitesse de phase calculée par transformée de Hilbert
correspond à la vitesse pour les basses fréquences de la largeur de bande du spectre [AUD
96].
2.2.4. Résultats et comparaison
Nous avons enregistré le signal de référence dans l'eau et le signal à travers le matériau pour
chaque échantillon de soudure ainsi que pour un échantillon prélevé dans le métal de base,
isotrope. La dispersion de vitesse de phase pour chaque échantillon a ensuite été calculée,
ainsi que la vitesse résultant des méthodes d'intercorrélation et de Hilbert.
2.2.4.1. Comparaison des trois méthodes
Nous avons comparé dans un premier temps les résultats du calcul de dispersion à 2,25 MHz
avec les valeurs données par les méthodes d'intercorrélation et de Hilbert. Les résultats sont
présentés dans le Tableau 1.1.
Les valeurs de vitesse de phase obtenues par les différentes méthodes de calcul sont très
proches les unes des autres pour tous les échantillons. L'écart maximal entre les résultats des
différentes méthodes est en effet de 0,46 %, ce qui est un très bon résultat.
Métal de base 0° 10° 35° 45° 60° 80° 85°
Dispersion à 2,25 MHz 5675 5381 5431 6050 6096 6078 5658 5545
Intercorrélation 5675 5373 5425 6054 6104 6085 5680 5548
Hilbert 5683 5384 5406 6047 6078 6069 5654 5548
Ecart max. (m/s) 8 11 25 7 26 16 26 3
Tableau 2.2 : Comparaison des valeurs des vitesses de phase obtenues par les trois méthodes
pour chaque échantillon (m/s).
2.2.4.2. Courbes de dispersion
Nous nous sommes ensuite intéressés aux courbes de dispersion de la vitesse de phase de
chaque échantillon. Les valeurs des vitesses de phase ont été calculées par le biais de la
méthode de déroulement de phase modifiée, comme expliqué précédemment. La bande de
fréquence 1,5 − 3 MHz a été exploitée. Elle correspond à la bande à -6dB du spectre du signal
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
69
émis. La Figure 2.8 présente le tracé des courbes de dispersion de chaque échantillon sur cette
bande de fréquences.
Figure 2.8 : Courbes de dispersion de la vitesse de phase pour chaque échantillon.
On peut observer que les courbes de vitesse de phase sont quasiment constantes en fonction
de la fréquence. Cela confirme que le matériau est faiblement dispersif du point de vue de la
vitesse de phase.
2.2.4.3. Courbe d’évolution de la vitesse en fonction de l’orientation des grains
Nous avons tracé la vitesse de phase à 2,25 MHz en fonction de l’orientation des grains. La
courbe est obtenue à partir des valeurs de dispersion précédentes, en ne gardant que les
valeurs à 2,25 MHz. D’autre part, la vitesse de phase théorique a été calculée, en fonction de
l’angle formé par la direction de propagation des ondes longitudinales avec l’orientation des
grains. Le calcul a été effectué par la résolution de l’équation de Christoffel à partir des
constantes d’élasticité de la soudure, données dans le premier chapitre. La Figure 2.9 présente
la courbe théorique ainsi que les points expérimentaux mesurés sur chaque échantillon de
soudure à 2,25 MHz.
On note tout d’abord sur la courbe expérimentale de grandes variations de vitesses selon
l’orientation des grains. L’amplitude maximale de variation est en effet d’environ 700 m/s.
Cela montre le comportement fortement anisotrope de la soudure. D’autre part, les points
expérimentaux sont en bon accord avec la courbe théorique. L'écart plus important à 0° peut
s’expliquer par le fait que les vitesses théoriques sont calculées en supposant la propagation
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
70
dans un plan principal de la symétrie orthotrope ce qui n'est pas tout à fait le cas pour les
échantillons expérimentaux (légère désorientation des grains dans le sens de soudage).
Figure 2.9 : Courbes théorique et expérimentale de la vitesse de phase en fonction de l’angle
faisceau/grains à 2,25 MHz.
Après la comparaison de différentes méthodes de mesure, et la comparaison à la théorie, nous
pouvons considérer que la mesure de vitesse de phase est validée.
2.3. Mesure de la dispersion d'atténuation
Après validation des mesures de vitesse de phase, l’atténuation a pu alors être calculée. Nous
présentons tout d’abord la méthode de calcul, puis les résultats de mesure sur les échantillons
de soudure. Nous commenterons ensuite ces résultats en détail.
2.3.1. Méthode de calcul
La mesure de l’atténuation est obtenue à partir du module ( )fG du rapport des spectres des
deux signaux transmis dans l’eau et dans l’échantillon. L’atténuation est donnée, d'après
l'équation (2.3), par l’expression suivante :
(2.13)
De manière à soustraire la perte d’énergie due aux réflexions à l’entrée et à la sortie de
l’échantillon, un premier terme correctif apparaît ( ( )( )fTln ). Le second terme correctif
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )ffGlnfTlnD
f eauéch αα +−=1
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
71
( ( )feauα ) est relatif à l’atténuation des ondes ultrasonores dans l’eau, qui peut être négligé,
comme nous l’avons vu.
2.3.2. Calcul d'incertitude
Dans le calcul de l'atténuation intervient le coefficient de transmission ainsi que la densité de
l'eau et de l'échantillon.
Coefficient de transmission :
Rappelons que le coefficient global de transmission s'écrit :
( ) ( )( )( )2
4
fVV
fVVfT
échécheaueau
échécheaueau
ρρ
ρρ
+=
L'incertitude ( )( )fT∆ du coefficient de transmission dépend donc de l’incertitude sur la
vitesse dans l’eau et dans l’échantillon, ainsi que sur la densité de l’eau et de l’échantillon :
( )( )( )
( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ∆+
∆+
∆+
∆
+
−=
∆
fV
fV
V
V
fVV
fVV
fT
fT
éch
éch
éch
éch
eau
eau
eau
eau
échécheaueau
échécheaueau
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρρ
Densité de l'eau :
La densité de l'eau est classiquement égale à 1000 kg/m3. Nous estimerons que l'incertitude
sur cette valeur est de 5 kg/m3.
Densité de l'échantillon :
Nous reprendrons la mesure de Chassignole [CHA 00] par la méthode de double pesée, et qui
obtient, pour la soudure D704, une incertitude de 5 kg/m3.
⇒ Atténuation dans l'échantillon :
On peut alors calculer l'incertitude sur l'atténuation mesurée :
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )D
D
fGlnfTln
fT
fT
Dféch ∆
−+
∆=∆ 2
1α (2.14)
Expérimentalement, on trouve une incertitude de l'ordre de 0,012 dB/mm quelle que soit la
valeur de l'atténuation. Cela signifie que l'incertitude relative sera d'autant plus grande que la
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
72
valeur de l'atténuation est faible, comme le montre le Tableau 2.3 qui détaille les valeurs
d'incertitude sur les mesures d'atténuation.
Echantillon 0° 10° 35° 45° 60° 80° 85°
Incertitude absolue (dB/mm) 0.0113 0.0118 0.0121 0.0122 0.0123 0.0119 0.0130
Incertitude relative (%) 5.50 6.65 15.79 26.34 13.68 4.80 3.90
Tableau 2.3 : Incertitudes sur les mesures d'atténuation à 2,25 MHz.
2.3.3. Résultats de mesure en fonction de la fréquence
L’atténuation a été déduite des traitements des signaux mesurés sur les différents échantillons
de soudure. Les courbes de dispersion sont tout d’abord tracées, et au vu des questions
soulevées par l'allure de ces courbes, la bande de fréquence de travail est élargie.
2.3.3.1. Courbes de dispersion de 1,5 à 3 MHz
Nous nous intéressons dans un premier temps aux courbes d’atténuation en fonction de la
fréquence pour chaque échantillon. Elles sont présentées sur la Figure 2.10.
Figure 2.10 : Courbes de dispersion de l’atténuation pour chaque échantillon.
Notons tout d'abord que l'atténuation dans le métal de base, isotrope, est très faible, de l'ordre
de 0,01 dB/mm. D'autre part, pour quatre des sept échantillons de soudure, on observe une
croissance globale de l'atténuation en fonction de la fréquence. Cependant, les courbes
correspondant aux grains orientés à 0°, 10° et 80° présentent des oscillations, qui n'ont a priori
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
73
aucun sens physique. Ce comportement a été observé sur toutes les séries de mesures
effectuées. Nous allons tenter d'identifier et d'analyser les sources possibles de ce
comportement dans le paragraphe suivant.
2.3.3.2. Origines des oscillations
Les oscillations des courbes d’atténuation en fonction de la fréquence peuvent être dues, soit
au traitement numérique effectué, soit à la configuration expérimentale, soit à la valeur de la
fréquence choisie. Nous allons donc étudier ces différents paramètres.
Le traitement des signaux :
La première cause possible est le fenêtrage numérique des signaux acquis pour appliquer la
transformée de Fourier. En effet, les signaux sont découpés à l'aide d'un fenêtrage
rectangulaire (Figure 2.11.a), qui peut amener du bruit dans la transformée de Fourier en
raison des discontinuités que cela peut introduire aux extrémités du signal traité.
a) b)
Figure 2.11 : Filtrage d'un signal par une fenêtre rectangulaire (a) et de Hanning (b).
Les courbes d'atténuation ont été recalculées en découpant les signaux à l'aide d'une fenêtre de
Hanning (Figure 2.11.b), qui supprime les discontinuités aux extrémités. Ces nouvelles
courbes sont tracées sur la Figure 2.12.
On peut noter que les oscillations observées sur la Figure 2.10 ont été considérablement
réduites, mais persistent pour les échantillons à 0° et 10°. Le traitement des signaux contribue
donc en grande partie aux oscillations des courbes. Mais ce n'est pas a priori la seule cause.
D'autres hypothèses, liées à la configuration expérimentale, peuvent être formulées pour
expliquer l’allure des courbes.
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
74
Figure 2.12 : Courbes de dispersion de l’atténuation après filtrage des signaux.
La mesure en champ proche :
La limite de champ proche à 2,25 MHz pour un capteur de diamètre 0,5" est de 60 mm
(rappelons qu'elle est donnée par : λ42
Dzlim = où D est le diamètre du capteur et λ la
longueur d'onde). Or les deux transducteurs sont séparés d'environ 50 mm. Les mesures sont
donc faites en champ proche. Dans cette zone, la pression (donc l'amplitude) varie selon la
distance au capteur. Sur l'axe du capteur, elle est donnée par :
( ) tj
o ezzDksinVUt,zpωρ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
22
2
12 (2.15)
où oU est un terme d'amplitude dépendant de l'impulsion électrique du capteur, ρ et V sont
respectivement la masse volumique et la vitesse des ondes dans le milieu et k est le nombre
d'onde dans le milieu.
La pression théorique sur l'axe à 2,25 MHz est représentée sur la Figure 2.13, en fonction de
la distance à l'émetteur. On peut observer l’allure classique consistant en de fortes variations
de l'amplitude dans le champ proche, puis un maximum à la limite de champ proche, et une
décroissance en z1 dans le champ lointain.
Figure 2.13 : Pression normalisée sur l'axe d’un émetteur de diamètre 0,5" à 2,25 MHz.
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
75
Les mesures sont effectuées à 50 mm de l’émetteur. Or les vitesses des ondes planes dans la
soudure sont plus grandes que la vitesse dans l'eau. La distance parcourue dans un échantillon
équivaut alors à une distance parcourue quatre fois plus petite dans l’eau si l’on considère que
la vitesse dans le matériau est quatre fois supérieure à celle dans l’eau. L’épaisseur des
échantillons étant d’environ 8 mm, la distance équivalente de mesure est assez peu modifiée,
de l’ordre de 48 mm. Ce paramètre jouera donc peu à ces fréquences et avec cette épaisseur
d'échantillon.
D'autre part, le même type de mesures a été réalisé en champ lointain, les échantillons étant
disposés à 80mm de l'émetteur, et les mêmes oscillations sur les courbes de dispersion
d'atténuation ont encore été observées. Cela ne semble donc pas être la raison de l'allure de
ces courbes.
La fréquence de travail : Une autre origine possible des oscillations est liée à la longueur d’onde associée à la
fréquence de travail relativement à l’épaisseur des échantillons. C’est pourquoi nous avons
étendu les mesures sur les échantillons de soudure à d’autres fréquences, dans le but de
vérifier si le problème n'est pas propre à la bande de fréquence 1,5−3 MHz.
Deux autres séries de mesures ont alors été réalisées. Nous avons effectué des mesures
identiques aux précédentes, en remplaçant les deux capteurs de fréquence centrale 2,25 MHz
par deux capteurs de fréquence centrale 5 MHz puis 7,5 MHz. Le même traitement des
signaux mesurés a permis de tracer l’atténuation de 1,5 à 10 MHz. Les raccordements des
courbes sur les trois bandes de fréquences sont tracés sur la Figure 2.14. Les résultats tracés
n’ont pas été traités par fenêtrage de Hanning afin de mieux observer l’effet de la fréquence
sur le comportement oscillatoire des courbes.
Tout d’abord, la croissance de l’atténuation avec la fréquence est confirmée, quelle que soit
l’orientation des grains. D’autre part, les raccordements de chaque courbe sur les différents
domaines fréquentiels sont relativement bons, ce qui renforce la confiance en la méthode de
mesure et de traitement (l'incertitude liée aux mesures sera calculée ultérieurement).
On remarque également que les oscillations tendent à disparaître dans les plus hautes
fréquences. Notons que la conclusion précédente sur l'absence d'influence du champ proche
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
76
est confirmée ici. En effet, l'augmentation de la fréquence implique une augmentation de la
distance de champ proche. Les oscillations sont donc propres aux plus basses fréquences pour
les échantillons étudiés.
Figure 2.14 : Raccordement des courbes de dispersion de l’atténuation de 1,5 à 10 MHz.
D'autre part, l'atténuation dans le métal de base, faible aux basses fréquences, augmente de
manière importante et atteint des valeurs supérieures à celles de la plupart des échantillons de
soudure. Cela peut paraître étonnant, mais peut s'expliquer par les lois d'atténuation prévues
en fonction de la région de diffusion concernée par les différents échantillons. La Figure 2.15
présente le tracé des lois que devraient suivre l’atténuation de différents échantillons (valeurs
basées sur la valeur expérimentale atteinte à 10 MHz).
Figure 2.15 : Lois d'atténuation de différents échantillons de soudure et du métal de base.
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
77
En effet, le métal de base est constitué de grains très petits (de l'ordre de 50-100 µm) par
rapport à la longueur d'onde (de 6 mm à 1 MHz, à 0,6 mm à 10 MHz). Le métal de base doit
donc suivre la loi d'atténuation de la région de Rayleigh, en 4
f . Les échantillons de soudure,
dont les dimensions des grains ont été estimées à 150-200 µm x 4-5 mm, se situent davantage
dans la région stochastique, en 2
f (ou à la transition stochastique – Rayleigh selon
l’orientation des grains et la fréquence). La courbe en 4
f du métal de base a des valeurs très
faibles pour les basses fréquences, mais croît ensuite plus rapidement que les courbes en 2
f
des échantillons de soudure.
2.3.3.3. Conclusions
Les orientations de grains pour lesquelles on observe des oscillations des courbes
d'atténuation en fonction de la fréquence sont très différentes (0°, 10° et 80°), ce qui exclut
l’effet d’une orientation particulière des grains sur les ondes. On peut par ailleurs remarquer
que les courbes de dispersion de vitesse de phase de ces trois échantillons sont celles qui
oscillent le plus (cf. Figure 2.8).
Le fenêtrage rectangulaire des signaux mesurés est une cause très importante de l'oscillation
de ces courbes d'atténuation. Cependant, l'application d'un fenêtrage de Hanning a montré que
les oscillations observées sur les trois échantillons demeurent. Il semble donc que ce
comportement ne soit pas essentiellement lié à un problème de traitement du signal. D'autres
hypothèses ont alors été avancées. Nous avons tout d'abord exploré le fait que les mesures de
l'atténuation soient effectuées en champ proche. Mais des mesures en champ lointain n'ont pas
conduit à de meilleurs résultats. La bande de fréquence de travail a alors été élargie jusqu'à 10
MHz. Nous avons alors pu remarquer que les oscillations se dissipent lorsque la fréquence
augmente.
D'autre part, on peut remarquer que les oscillations semblent périodiques. Ceci peut faire
penser à un phénomène de guide d'ondes ou de résonance. En effet, ce type de phénomène
apparaît lorsque la dimension des "lames" (ici, des grains) est comparable à λ . Or la longueur
d'onde est de l'ordre de 2,5 mm pour une fréquence de 2,25 MHz, et nous avons vu
précédemment que les dimensions des grains sont de l'ordre de 150 à 200 µm de diamètre et
en moyenne 4 mm de longueur. Si, cette hypothèse est plausible pour les échantillons dont les
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
78
grains sont orientés à 0° et à 10°, elle ne l'est pas pour l'échantillon à 80°. Une autre piste à
explorer serait la mesure sur deux autres jeux d'échantillons, d'épaisseurs différentes. Cette
étude est en perspective.
Bien que les résultats semblent poser moins de questions à plus haute fréquence, nous
essayons de répondre au problème industriel de contrôle des soudures qui s’effectue
généralement à la fréquence de 2,25 MHz. Nous allons donc maintenant observer l’évolution
de l’atténuation mesurée à 2,25 MHz en fonction de l’orientation des grains.
2.3.4. Evolution de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains
2.3.4.1. Courbe expérimentale
L’atténuation a été tracée à 2,25 MHz en fonction de l’orientation des grains, à partir des
courbes de dispersion de la Figure 2.10. Rappelons que l’intégration de l’atténuation
intrinsèque au matériau dans le code ATHENA sera effectuée sur la base de cette courbe. La
courbe correspondant aux mesures effectuées est tracée sur la Figure 2.16.
Figure 2.16 : Courbe de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz.
La courbe présente une décroissance jusqu’à un minimum en 45°, puis une croissance
jusqu’au maximum en 90°. Elle traduit, comme pour la vitesse de phase, un comportement
fortement anisotrope du matériau du fait de son allure et de l’écart important entre le
minimum et le maximum.
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
79
2.3.4.2. Comparaison aux valeurs expérimentales de la littérature
Nous avons comparé cette courbe à des valeurs de la littérature afin de vérifier l’ordre de
grandeur de nos mesures. En effet, Seldis [SEL 00] a mesuré l’atténuation des ondes
ultrasonores longitudinales sur des échantillons de soudure très similaires aux nôtres. Le
Tableau 2.4 montre que les valeurs de constantes d’élasticité des échantillons étudiés par
Seldis sont très proches des nôtres. De même, les courbes de vitesse et de déviation des ondes
longitudinales tracées sur la Figure 2.17 montrent cette similitude.
C11 C13 C33 C55 C66
Echantillons étudiés 2.37 1.32 2.10 1.22 0.70
Seldis 2.575 1.505 2.201 1.187 0.768
Tableau 2.4 : Comparaison des valeurs de constantes d’élasticité avec celles des échantillons
de Seldis [SEL 00] (GPa).
a) b)
Figure 2.17 : Courbes de vitesse et de déviation des ondes longitudinales : comparaison entre
la soudure de notre étude et la soudure étudiée par Seldis.
Cela nous autorise à comparer nos mesures d’atténuation à celles reportées dans l'article de
Seldis. Ces mesures ont été effectuées dans une configuration de mesure semblable à la nôtre :
en immersion et en transmission, à une fréquence centrale de 2,25 MHz, mais avec deux
transducteurs de même diamètre (0,5''). La Figure 2.18 présente sur le même graphique les
deux séries de mesures.
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
80
Figure 2.18 : Atténuation en fonction de l'orientation des grains : comparaison avec les valeurs
mesurées par Seldis [SEL 00].
Un très bon accord entre les deux séries de valeurs expérimentales est observé. En effet,
l’allure des courbes et les valeurs d’atténuation sont similaires. Nous allons maintenant
comparer ces résultats expérimentaux aux prévisions théoriques du modèle d'Ahmed.
2.3.4.3. Comparaison aux résultats du modèle d’Ahmed
Nous avons vu dans le premier chapitre qu'Ahmed [AHM 92, AHM 02] proposait un modèle
théorique de diffusion adapté aux soudures hétérogènes anisotropes. Nous avons donc
effectué des calculs du coefficient d'atténuation pour les différentes orientations de grains
étudiées et avec diverses tailles de grain ("d" est le diamètre moyen des grains, et "h" la
longueur moyenne). Les résultats à 2,25 MHz sont présentés sur la Figure 2.19.
Atténuation pour d/h=0.05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0 15 30 45 60 75 90Orientation des grains (°)
Atté
nuat
ion
(dB
/mm
) d=150µm,h=3mmd=200µm,h=4mmd=350µm,h=7mmd=400µm,h=8mm
Figure 2.19 : Atténuation à 2,25 MHz en fonction de l'orientation des grains : résultats du
modèle d'Ahmed pour différentes valeurs de (d;h), avec d/h=0.05.
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
81
Comme nous l'avons vu dans le premier chapitre, le modèle prévoit une croissance monotone
de l’atténuation de 0° à 90°. La comparaison de nos mesures aux prévisions du modèle
théorique d’Ahmed montre donc un désaccord du point de vue de l'allure de la courbe pour
des orientations de grains allant de 0° à 45°, et un bon accord de 45° à 90°.
D'autre part, divers couples de valeurs (d;h) ont été testés pour comparer les valeurs
d'atténuation obtenues. Il apparaît que le modèle est très sensible aux valeurs de taille de
grains. Or l’estimation des dimensions des grains est très difficile. Elle peut se faire par
analyse d’images macrographiques ou par analyse EBSD (cf. Annexe 4).
L'utilisation des dimensions estimées des grains pour nos échantillons (150 à 200 µm de
diamètre et 3 à 4 mm de longueur) aboutit à des valeurs inférieures aux valeurs
expérimentales. En revanche, le couple de valeurs (d = 400 µm; h = 8 mm) permet d'obtenir
des valeurs d'atténuation théorique proches de nos valeurs expérimentales.
Diverses hypothèses peuvent être avancées afin d’expliquer ces différences d'allure et de
valeur :
L'inhomogénéité des capteurs ajoutée à la déviation du faisceau :
Les transducteurs n'émettent pas et ne reçoivent pas de façon homogène sur toute leur surface.
En effet, nous utilisons des capteurs Panametrics en immersion qui comportent un ruban de
contact à la surface. Ce ruban a été mis en évidence visuellement et acoustiquement. De plus,
comme nous l'avons vu dans le premier chapitre, le faisceau est dévié en fonction de
l'orientation des grains qu’il traverse. La comparaison des faisceaux enregistrés par le
récepteur avec et sans échantillon peut alors être altérée. Cependant, cette hypothèse a été
infirmée par d'autres mesures. Ceci joue donc très peu sur les valeurs d’atténuation.
La structure réelle du matériau :
C’est l’hypothèse la plus probable expliquant les différences constatées. En effet,
expérimentalement, l'atténuation dans l'échantillon à 0° n'est pas nulle, comme le prédit le
modèle d'Ahmed. Cependant le modèle part de l'hypothèse d'un matériau parfaitement
isotrope transverse, alors que dans la réalité, les grains de nos échantillons présentent une
légère désorientation dans le sens de soudage, et ne sont pas forcément parfaitement alignés
selon un axe cristallographique <100>. Par ailleurs, le modèle s'applique à une onde plane
unique, alors qu'expérimentalement, le faisceau ultrasonore a une extension spatiale limitée et
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
82
peut être vu comme une superposition d'ondes planes monochromatiques d'incidences
variables.
Ces différences entre les prédictions théoriques et les valeurs expérimentales constituent l'une
des raisons pour laquelle nous avons décidé de mettre en œuvre une autre approche
expérimentale, qui sera exposée dans le chapitre suivant.
2.4. Synthèse et discussion
La méthode de mesure décrite et utilisée dans ce chapitre fournit de très bons résultats sur les
échantillons de soudure en terme de vitesse de phase. En effet, d'une part la comparaison entre
différentes méthodes de calcul confirme l'ordre de grandeur des vitesses mesurées, et d'autre
part la comparaison avec les valeurs théoriques calculées à partir des constantes d'élasticité du
matériau a également révélé un très bon accord. De plus, l'incertitude de mesure est de l'ordre
de 0,7 %, ce qui est aussi un très bon résultat.
Les mesures d'atténuation sur les différents échantillons montrent des oscillations en fonction
de la fréquence pour certaines orientations de grains. Ces oscillations ne sont a priori pas
intrinsèques au matériau, et révèlent donc des imperfections dans le dispositif expérimental
et/ou le traitement des mesures. Diverses explications possibles ont été analysées. Nous avons
pu en outre remarquer que les oscillations tendent à disparaître lorsque la fréquence des ondes
augmente, ainsi que lorsque les signaux sont filtrés par une fenêtre de Hanning plutôt que
rectangulaire.
D'autre part, bien que l’atténuation augmente globalement lorsque la fréquence augmente, le
matériau étudié est faiblement dispersif puisque les vitesses sont quasi-constantes par rapport
à la fréquence. Ces deux paramètres présentent par ailleurs d’importantes variations selon
l’angle entre le faisceau et l'axe d’orientation des grains, caractérisant un comportement
fortement anisotrope.
Les prédictions du modèle théorique d'Ahmed ont montré un bon accord avec nos mesures du
point de vue de l'allure de la courbe pour des orientations de grains allant de 45° à 90°. En
revanche, l’allure de 0° à 45° diffère des prédictions de cette théorie. Il faut cependant noter
que Seldis, le seul auteur qui à notre connaissance a réalisé le même type de mesures
Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission
83
expérimentales sur des échantillons assez similaires aux nôtres, a obtenu les mêmes résultats
que nous avec un montage expérimental similaire. Les allures des courbes et les valeurs
obtenues sont en très bon accord avec les nôtres.
La technique présente des limites du fait du caractère 1D des mesures effectuées, et également
du fait que les soudures étudiées sont des matériaux complexes (anisotropie et grains de taille
importante). D’autres limites sont également à prendre en compte, comme le fait que les
capteurs soient fixes et la prise en compte simplifiée des coefficients de transmission.
Diverses perspectives sont envisageables pour améliorer les mesures : déplacement du
récepteur, mesures sur des échantillons plus épais, travail en champ lointain...
Nous avons choisi d'aborder une seconde approche expérimentale, plus élaborée. Elle est
basée sur la cartographie des faisceaux incident et transmis à travers chaque échantillon. Cette
autre technique permettra de considérer l'aspect 2D du faisceau, et ainsi de mieux comprendre
et de visualiser la propagation des ondes ultrasonores à travers les différents échantillons
étudiés. Elle permettra également de prendre en compte l'ouverture du faisceau par
l'application des coefficients de transmission adaptés.
84
85
3. MESURE DE L'ATTENUATION PAR DECOMPOSITION DU FAISCEAU EN SPECTRE D’ONDES PLANES
3.1. Dispositif expérimental et principe général .................................................................. 86
3.2. Mesures point par point.................................................................................................. 88
3.2.1. Principe........................................................................................................................ 88 3.2.2. Cartographies du faisceau ultrasonore ........................................................................ 89
3.3. Décomposition en spectre angulaire d'ondes planes .................................................... 92
3.3.1. Cartographie spectrale................................................................................................. 92 3.3.2. Spectre d'ondes planes................................................................................................. 93
3.4. Application des coefficients de transmission ................................................................ 95
3.4.1. Calcul des coefficients de transmission ...................................................................... 95 3.4.2. Comparaison des résultats......................................................................................... 100
3.5. Calcul de l'atténuation.................................................................................................. 102
3.5.1. Formulation ............................................................................................................... 102 3.5.2. Résultats expérimentaux ........................................................................................... 103
3.5.2.1. Avec l’hydrophone en réception ...................................................................................103 3.5.2.2. Avec le capteur de 0,5" en réception ............................................................................104
3.6. Conclusions et perspectives .......................................................................................... 106
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
86
Une seconde approche expérimentale a été abordée dans le but de considérer l’aspect 2D de la
mesure et les conversions de mode à la traversée des échantillons en raison de l’ouverture du
faisceau. Nous présentons tout d'abord le dispositif mis en œuvre, comprenant un récepteur
effectuant des mesures point par point. Puis, les coefficients de transmission en incidence
quelconque sont calculés afin de prendre en compte l'ouverture du faisceau ultrasonore,
préalablement décomposé en spectre d'ondes planes. Enfin différents résultats de mesure
seront présentés.
3.1. Dispositif expérimental et principe général
Le dispositif de mesure vise à cartographier l'amplitude du faisceau transmis à travers un
échantillon donné. Cela permettra d'observer les effets de la divergence du faisceau émis ainsi
que sa déviation lors de la traversée de l'échantillon. Le dispositif est toujours en immersion et
est schématisé sur la Figure 3.1. Il est composé d'un transducteur émetteur de diamètre 0,5" et
de fréquence centrale 2,25 MHz (capteur identique à l'émetteur du dispositif précédent), et
d'un capteur en réception. Deux options sont envisagées pour le récepteur : un hydrophone, de
diamètre 0,5 mm, ou un capteur identique à l’émetteur, de 0,5". L'émetteur est fixe, et le
récepteur est piloté par des moteurs pas à pas de Microcontrôle.
Figure 3.1 : Dispositif expérimental.
GPIB
80 mm
générateur SOFRANEL amplificateur
oscilloscope TEKTRONICS
Microcontrôle
GPIB
émetteur
récepteur
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
87
L'échantillon est placé dans le champ lointain de l'émetteur, à une distance de 80 mm. De ce
fait, le faisceau arrivant sur l'échantillon est homogène, comme le montre la Figure 3.2, sur
laquelle est représentée l'amplitude crête-à-crête du signal mesuré en réception en chaque
point de mesure. De manière identique au dispositif précédent, la normale du faisceau à
l'échantillon est réglée sur l'émetteur, à l'aide de vis de réglage. D’autre part, les deux axes de
mobilité du récepteur permettent son déplacement dans un plan parallèle aux grandes faces de
l'échantillon.
Figure 3.2 : Visualisation du faisceau en fonction de la distance à l'émetteur.
La mesure de l'atténuation par cette technique repose sur la comparaison de l'énergie
transmise à travers l'échantillon à l'énergie théoriquement transmise [SEL 98]. Cette dernière
est calculée à partir du faisceau incident auquel nous avons appliqué les coefficients de
transmission théoriques : le faisceau incident est mesuré point par point à la distance
correspondant à la position de la face avant de l'échantillon, puis il est décomposé en spectre
angulaire d'ondes planes auquel on applique les coefficients de transmission. Chaque onde
plane composant le faisceau est ainsi prise en compte. Ce traitement nécessite donc le calcul
des coefficients de transmission en incidence quelconque à travers un matériau orthotrope.
L'application des coefficients de transmission au faisceau incident permet de modéliser les
émetteur
limite de champ proche
position choisie de l'échantillon
faisceau inhomogène
faisceau homogène
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
88
phénomènes induits par l'ouverture du faisceau, comme les conversions de mode à chaque
interface.
Nous allons décrire en détail les démarches expérimentale et théorique effectuées pour aboutir
à la valeur de l’atténuation : tout d’abord les mesures en C-scan (représentation de type C
selon la norme française) pour chaque échantillon, puis la décomposition de chaque faisceau
en spectre angulaire d’ondes planes, afin d’appliquer les coefficients de transmission, et pour
finir, le calcul de l’atténuation à partir du calcul des énergies incidentes et transmises.
3.2. Mesures point par point
3.2.1. Principe
Le récepteur décrit un quadrillage de 32 mm sur l’axe 2x par 28 mm sur l’axe 3x , avec un pas
de déplacement de 1 mm dans les deux directions (Figure 3.3.a). La zone scannée a donc une
surface de 896 mm² pour une surface d'émetteur de 126 mm². En chaque point de mesure, le
signal reçu par le récepteur est moyenné et enregistré. Cette première étape permet par ailleurs
de visualiser le faisceau incident et sa déformation éventuelle après la traversée de chaque
échantillon.
Deux séries de mesures point par point (C-scan) sont nécessaires pour un échantillon :
1. une cartographie du faisceau incident, pour laquelle le récepteur scanne le plan
correspondant à la face avant de l'échantillon ;
2. une cartographie du faisceau transmis, pour laquelle l'échantillon est inséré et le récepteur
reculé afin de scanner un plan derrière la pièce (Figure 3.3.b).
Figure 3.3 : Vues de dessus (a) et de face (b) des zones scannées par le récepteur.
échantillonzone scannéepar l'hydrophone
taille et positionde l'émetteur
80 mm
40 mm
plan scanné avec échantillon
plan scanné sans échantillon
a) b) 2x
3x
7,86 mm
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
89
En présence de l’échantillon, le récepteur a été positionné à 40 mm de la face arrière de
l’échantillon. En effet, la mesure de l’amplitude en fonction de la distance entre l’échantillon
et le récepteur a mis en évidence d’importantes fluctuations dans la zone proche de la face
arrière, comme le montre la Figure 3.4. Ce phénomène est comparable à un effet de champ
proche avec comme émetteur le matériau polycristallin (les grains étant autant de sources
diffusant les ondes ultrasonores). Pour une distance de 40 mm, les variations apparaissent
stabilisées.
Figure 3.4 : Exemples de variations d’amplitude en fonction de la distance entre l’échantillon et
le récepteur (échantillons : 10 et 85°).
3.2.2. Cartographies du faisceau ultrasonore
Nous commençons par visualiser les faisceaux incident et transmis à travers chaque
échantillon : en chaque point de la cartographie, l'amplitude crête-à-crête du signal enregistré
est codée en couleur. La Figure 3.5 montre le champ ultrasonore mesuré au niveau de la face
avant de l'échantillon, c'est-à-dire le champ qui arrivera à l'interface eau/échantillon lorsqu'un
échantillon sera inséré. On observe que le faisceau est homogène, comme prévu par la théorie
puisque la mesure est effectuée en champ lointain. La taille et la position de l'émetteur sont
superposées à l’image afin d'avoir une référence pour les déviations et divergences
éventuelles du faisceau.
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
90
Figure 3.5 : Image du faisceau incident.
La Figure 3.6 représente les amplitudes captées après la traversée de l'échantillon de métal de
base, isotrope. Le faisceau n'a pas été dévié et est toujours relativement homogène, mais il est
plus "étalé".
Figure 3.6 : Image du faisceau transmis à travers l'échantillon de métal de base.
Sur la Figure 3.7 sont représentées les images en amplitude du faisceau pour chacun des
échantillons de soudure. On peut tout d’abord noter qu’on retrouve les déviations du faisceau
prédites par la théorie (voir la courbe de la Figure 1.6). Les différentes orientations des grains
entraînent des déviations du faisceau selon l'axe horizontal des figures (axe 2x ). En
particulier, on observe une déviation importante pour l’échantillon "à 10°" et une déviation
quasi-nulle pour l’échantillon "à 45°". Les déviations du faisceau selon l’axe vertical sont
liées aux légères désorientations des grains dans le sens de soudage évoquées dans le
deuxième chapitre. Ce phénomène est notamment sensible pour l’échantillon "à 0°".
taille et position de l'émetteur
2x
3x
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
91
Figure 3.7 : Images du faisceau transmis à travers chaque échantillon de soudure.
D'autre part, on observe une déformation du faisceau plus ou moins importante selon
l’échantillon traversé. En particulier, la partie centrale du faisceau est divisée en plusieurs pics
pour les grains orientés à 80° et à 85°, c'est-à-dire quasi-parallèles aux grandes faces des
échantillons. Ces zones de fortes amplitudes sont étalées selon l’axe 2x qui correspond à l’axe
d’élongation des grains. La cartographie ultrasonore est donc dans ce cas révélatrice de la
structure granulaire de l’échantillon.
35° 45°
60° 80°
85°
0° 10°
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
92
En conclusion, la soudure perturbe davantage le faisceau que l’acier forgé isotrope, les
perturbations étant fonction de l’orientation des grains.
3.3. Décomposition en spectre angulaire d'ondes planes
Chaque faisceau va ensuite être décomposé en spectre d’ondes planes monochromatiques.
Cette décomposition a pour but de pouvoir appliquer les coefficients de transmission au
faisceau incident pour ensuite comparer les résultats aux spectres expérimentaux
correspondant aux différentes orientations de grains. La décomposition consiste à considérer
un faisceau ultrasonore comme une somme d'ondes planes monochromatiques (Figure 3.8).
Figure 3.8 : Diagramme de rayonnement d’un émetteur circulaire en champ lointain : schéma
de la décomposition d'un faisceau en somme d'ondes planes.
La décomposition s'effectue en deux étapes : à partir de la mesure de type C-scan, la
cartographie spatiale en terme de spectre est calculée puis on en déduit le spectre d'ondes
planes, par transformées de Fourier successives (Figure 3.9).
Figure 3.9 : Schéma du principe de calcul du spectre d'ondes planes.
3.3.1. Cartographie spectrale
Les spectres des signaux mesurés en chaque point par le récepteur sont calculés par
transformée de Fourier temporelle. Le choix d'une fréquence donne une nouvelle
cartographie, que nous appellerons "cartographie spectrale". En chacun de ses points
Cartographie avec 1 signal en
chaque point
Cartographie spectrale
Spectre d'ondes planes
TF 1D temporelle
TF 2D spatiale
+ choix d'une fréquence
émetteur
faisceau
iθ
jθ
amplitude de l’onde plane émise dans la direction iθ
amplitude de l’onde plane émise dans la direction jθ
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
93
correspondent l’amplitude et la phase de la composante du spectre à la fréquence choisie. La
Figure 3.10 montre la cartographie des amplitudes spectrales, à la fréquence de 2,25 MHz, du
faisceau incident.
Figure 3.10 : Cartographie spectrale en amplitude du faisceau incident à 2,25 MHz.
Cette image est définie dans le domaine spatial, en ( 2x , 3x ). On observe que le faisceau
incident présente une répartition spectrale quasi symétrique, comme pour la cartographie de
départ (Figure 3.5).
3.3.2. Spectre d'ondes planes
Le spectre d'ondes planes s'obtient alors en calculant la transformée de Fourier 2D spatiale de
la cartographie spectrale. Les spectres d’ondes planes sont définis dans le domaine des
fréquences spatiales, en ( 2k , 3k ). Rappelons que nous travaillons à une fréquence temporelle
fixe, qui est 2,25 MHz. La Figure 3.11 montre le spectre d’ondes planes du faisceau incident
tracé en amplitude.
La représentation graphique d'un spectre d'ondes planes, telle que la Figure 3.11.a, équivaut à
une figure de diffraction en optique. Chaque point du spectre angulaire représente la somme
des contributions des ondes arrivant avec l’incidence correspondante. Le centre de la figure
( 02 =k , 03 =k ) correspond à la somme des contributions des ondes arrivant en incidence
normale.
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
94
a) b)
Figure 3.11 : Spectre d'ondes planes du faisceau incident à 2,25 MHz : cartographie (a) et
coupe horizontale, à 03 =k (b).
Figure 3.12 : Spectre d'ondes planes du faisceau incident : tracé sous forme angulaire.
Notons que le terme de spectre "angulaire" vient du fait que la figure peut également se lire en
fonction de l’incidence de chaque composante en onde plane. En effet, les fréquences
spatiales 2k et 3k sont fonctions des angles θ et φ :
φθ cossinkk =2 et φθ sinsinkk =3 (3.1)
où θ est l'angle d'incidence de l'onde considérée dans le plan défini par l'angle φ .
La Figure 3.12 ci-dessus montre la représentation du spectre angulaire du faisceau incident en
coordonnées polaires, à l'aide des angles θ et φ définis ci-dessus et représentés sur le schéma
de droite.
1k
2k
3kk
θ
φφ = 0°
φ = 30°
φ = 60°
θ = 15°
θ = 30°
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
95
Les représentations ci-dessus du spectre angulaire d’ondes planes montrent la faible ouverture
du faisceau ultrasonore émis, que l'on peut estimer, d'après la coupe horizontale du spectre
(Figure 3.11.b), à environ 3,5°. On note que cette courbe présente une allure semblable à une
fonction de Bessel. La faible ouverture du faisceau est également mise en évidence par son
diagramme de rayonnement expérimental (Figure 3.13), qui est la représentation de la Figure
3.11.b en coordonnées polaires pour 03 =k .
Figure 3.13 : Diagramme de rayonnement expérimental du faisceau.
3.4. Application des coefficients de transmission
Le faisceau ayant été décomposé en une somme d'ondes planes monochromatiques, la
propagation dans le matériau peut alors être modélisée par l'application des coefficients de
transmission à chaque onde plane du spectre avec l'incidence correspondante. Nous
commençons donc par calculer les coefficients de transmission globale en incidence
quelconque.
3.4.1. Calcul des coefficients de transmission
Le principe général du calcul des coefficients de réflexion et de transmission a été abordé
dans le premier chapitre. Nous allons maintenant entrer davantage dans les détails de calcul.
Le but est d’obtenir le coefficient de transmission globale d’une onde plane longitudinale
incidente traversant un matériau orthotrope.
On considère donc une onde incidente longitudinale dans l'eau, arrivant avec une incidence
quelconque à la surface d’un matériau orthotrope. Le repère est choisi de façon à ce que l'axe
1 soit normal à la surface à l'échantillon, et que le plan (13) soit le plan de désorientation des
grains (Figure 3.14). Notons que nous nous basons sur l’hypothèse d’un matériau orthotrope,
mais sa description peut devenir monoclinique voir triclinique dans le repère choisi, lorsque
les axes principaux sont désorientés par rapport à la surface. C’est pourquoi les calculs seront
présentés dans le cas général triclinique.
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
96
A la première interface, la propagation de l'onde incidente peut être caractérisée par le vecteur
de déplacement incPuu = , où incP est le vecteur (unitaire) de polarisation, et par le vecteur
d'onde nkk incinc = , où n est la direction (unitaire) de propagation de l’onde. Ici, l'onde est
purement longitudinale car le milieu d’incidence est l’eau, et
[ ]φθφθθ sinsin,cossin,cosnPinc == .
Figure 3.14 : Repère de travail pour le calcul des coefficients de transmission.
Dans un plan non principal d'un milieu anisotrope, l'incidence de l'onde à la première
interface génère une onde réfléchie dans l'eau, purement longitudinale, de vecteur d'onde
réflréflréflréflréfl Pknkk == , où [ ]φθφθθ sinsin,cossin,cosPn réflréfl −== , et trois ondes
transmises mm k,P dans le matériau, où m désigne les trois modes générés L , 1T et 2T . A la
deuxième interface, chacun des trois modes propagés dans le matériau génère à nouveau trois
modes réfléchis. Et les ondes transmises sont définies par inctr PP = et inctr kk = (Figure
3.15).
Comme nous l'avons évoqué dans le paragraphe 1.2.3.2 du premier chapitre, la loi de Snell-
Descartes permet de connaître deux des trois composantes des vecteurs d'onde de toutes les
ondes générées : 22 incm kk = et 33 incm kk = . Pour pouvoir calculer les coefficients de réflexion
et transmission à chaque interface, les inconnues sont donc les vecteurs de polarisation de
chaque mode ainsi que la composante suivant l'axe 1 des vecteurs d'onde. Une fois les
vecteurs d’onde et de polarisation déterminés, les coefficients de réflexion et transmission
sont calculés par la résolution des quatre équations traduisant les conditions aux limites à
chaque interface.
3x
direction des grains (dans ce cas)
normale à l'échantillon 1x
k
2xθ
φ
plan d'incidence
onde incidente
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
97
Figure 3.15 : Conversions de mode dans un plan non principal.
Première interface : A la première interface, les vecteurs d’onde et de polarisation sont déterminés par la
résolution de l’équation (1.8) du premier chapitre. Les quatre équations de conditions aux
limites sont alors établies, et le système de quatre équations à quatre inconnues (le coefficient
de réflexion r et les trois coefficients de transmission Lt , 1Tt et 2Tt ) s'exprime sous forme
matricielle par :
[ ]⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
inc
incl
T
T
L
P
k
tttr
M
1
2
2
1 00ωρ
⇒ [ ]⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
inc
incl
T
T
L
P
k
M
tttr
1
2
1
2
1 00ωρ
(3.2)
où inck désigne le nombre d'onde de l'onde incidente et lρ la densité du liquide.
Les équations et les différents termes de la matrice M sont détaillés en Annexe 5.
Deuxième interface : Pour chaque mode incident en seconde interface, l'établissement des quatre équations
traduisant les conditions aux limites nécessite la connaissance des vecteurs d'onde et de
polarisation des trois modes réfléchis. Nous allons donc commencer par déterminer ces
vecteurs.
inctr kk =
trk
trk
onde incidente
onde réfléchie
liquide
1ère interface
inck
réflk1x
2ème interface
liquide
Lk 1Tk2Tk
solide anisotrope
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
98
Nous avons représenté sur la Figure 3.16 les courbes des lenteurs correspondant à chacune
des interfaces d'un échantillon immergé dans l'eau. Dans chaque cas, une moitié de la figure
montre la courbe des lenteurs des ondes longitudinales dans l'eau (courbe verte), et l'autre
moitié montre les courbes des lenteurs des trois modes susceptibles de se propager dans le
matériau (OL : courbe rouge, OT1 : courbe bleue, OT2 : courbe magenta). Ces deux zones
sont séparées par l'interface eau/échantillon, représentée graphiquement par le trait pointillé
vertical.
Figure 3.16 : Détermination des ondes réfléchies en deuxième interface.
On considère alors une onde incidente dans l'eau en première interface, arrivant à la surface
de l'échantillon avec un angle d'incidence incθ . A partir des droites 1D et 2D définies par la
loi de Snell-Descartes, les trois ondes transmises dans le matériau sont déterminées
graphiquement. Ces trois ondes transmises en première interface deviennent les trois ondes
incidentes en seconde interface. Celles-ci sont déterminées par les intersections entre la droite
1D et les trois courbes des lenteurs en raison de la symétrie centrale des courbes de lenteurs.
Ces trois ondes incidentes génèrent trois ondes réfléchies dans le matériau ainsi qu'une onde
transmise dans l'eau, toutes déterminées à partir de la droite 2D . On voit alors que les trois
ondes réfléchies en seconde interface peuvent être déterminées en considérant une onde
incidente qui arriverait en première interface avec un angle d'incidence de incθ− . Le problème
onde incidente
ondes transmises
ondes incidentes
ondes réfléchies
onde "incidente" équivalente dans l'eau
incθ incθ−
incθonde transmise
Première Interface Deuxième Interface
1D
2D
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
99
consiste donc à résoudre l’équation (1.8) pour des ondes incidentes de –90° à 90° et ainsi
déterminer l’ensemble des vecteurs d’onde et de polarisation.
Les vecteurs d’onde et de polarisation étant déterminés, les coefficients de réflexion et de
transmission peuvent alors être calculés. Chaque mode incident est traité séparément, de la
même manière. Les quatre équations de conditions aux limites sont donc établies pour chaque
mode incident m , afin de déterminer dans chaque cas les trois coefficients de réflexion m
nrr
( n désignant le mode réfléchi) et le coefficient de transmission global à travers la plaque global
mt . Le coefficient global
mt tient compte de la transmission à la première interface ainsi que de
la transmission en seconde interface du mode m propagé dans le matériau.
Les quatre coefficients sont déterminés à partir des équations (3.3) :
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
42
32
22
12
1
2
1
1
21
11
1
1
M
M
M
M
Net
rre
rre
rre
te
Ljk
L
LrT
djk
LrT
djk
LrL
djk
globalL
djk
L
rT
rT
rL
inc
, (3.3)
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
43
33
23
13
111
12
11
11
11
21
11
1
1
M
M
M
M
Net
rre
rre
rre
te
Tjk
T
TrT
djk
TrT
djk
TrL
djk
globalT
djk
T
rT
rT
rL
inc
, [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
44
34
24
14
122
22
21
22
21
21
11
1
1
M
M
M
M
Net
rre
rre
rre
te
Tjk
T
TrT
djk
TrT
djk
TrL
djk
globalT
djk
T
rT
rT
rL
inc
.
où les exposants rL , 1rT et 2rT désignent les trois modes réfléchis.
Les équations et les termes des matrices LN , 1TN et 2TN sont également donnés en Annexe 5.
Ces calculs sont effectués pour chaque incidence, et on obtient alors une matrice de
coefficients de transmission globale de l'onde incidente globalT
globalT
globalL
global tttt 21 ++= , définie
dans le domaine ( 2k , 3k ). Le coefficient de transmission globale de l’onde incidente comprend
donc la transmission de chacun des modes propagés dans le matériau. Un exemple est
présenté sur la Figure 3.17, pour lequel les grains sont orientés dans le matériau à 10°. On
observe sur cet exemple des variations de la transmission dues aux interférences,
constructives ou destructives, des ondes transmises. On peut également noter que les ondes
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
100
transversales, générées pour des angles d’incidence suffisamment grands (i.e. 2k et 3k
suffisamment grands en valeur absolue), sont mieux transmises que les ondes longitudinales
( 2k et 3k faibles).
a) b)
Figure 3.17 : Amplitude des coefficients de transmission globale pour une orientation de grains
de 10° : cartographie (a) et coupe dans le plan φ =0° (b).
Les coefficients de transmission globale ont été calculés pour chaque orientation de grains, à
la fréquence de 2,25 MHz. En multipliant le spectre angulaire d'ondes planes du faisceau
incident (Figure 3.11.a) par les coefficients de transmission (Figure 3.17.a pour les grains
orientés à 10°), on obtient le spectre angulaire d'ondes planes du faisceau théoriquement
transmis par l’échantillon. Dans ce modèle, les pertes d’amplitude aux interfaces ainsi que les
phénomènes de propagation dans l’échantillon sont pris en compte. Seule l’atténuation due à
la diffusion par la microstructure n’est pas prise en compte. La comparaison de ces résultats
numériques avec les résultats expérimentaux doit donc permettre de quantifier l’atténuation.
3.4.2. Comparaison des résultats
Les coefficients de transmission globale ont été appliqués au spectre d'ondes planes du
faisceau incident, pour chaque valeur d'orientation des grains. Nous avons voulu dans un
premier temps comparer graphiquement les résultats numériques aux résultats expérimentaux.
Les spectres angulaires étant trop concentrés autour des petits angles de diffraction, nous
avons choisi d’effectuer la comparaison entre les cartographies spectrales. Les cartographies
spectrales théoriques sont obtenues par la transformée de Fourier 2D (spatiale) inverse du
spectre d'ondes planes théorique (Figure 3.18).
Coefficient de transmission globale dans le plan 0(grains à 10°)
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
101
Figure 3.18 : Comparaison des cartographies spectrales "théoriques" et expérimentales en
amplitude à 2,25 MHz, pour chaque orientation de grain (échelle de couleur en dB).
Chaque couple de figures montre de fortes similitudes, autant sur les zones très énergétiques
que sur les zones périphériques. On peut également remarquer que les figures expérimentales
sont davantage bruitées par rapport aux figures dites théoriques, certainement en raison de la
structure granulaire des échantillons, qui n’est pas prise en compte dans la modélisation de la
propagation par l'application des coefficients de transmission. Ceci constitue un premier
résultat très encourageant.
0° 10°
35° 45°
60° 80°
85°
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
102
3.5. Calcul de l'atténuation
3.5.1. Formulation
L'application des coefficients de transmission au faisceau incident permet de modéliser sa
propagation à travers un échantillon, en prenant en compte l'ouverture du faisceau et les
conversions de mode, mais pas l'atténuation intrinsèque au matériau traversé. La seule
différence existant entre les spectres d'ondes planes "théorique" ( )32 k,kUth et expérimental
( )32 k,kUexp doit donc être l'atténuation du faisceau due aux interactions entre les ondes et la
microstructure. Celle-ci se calcule alors en effectuant le rapport des énergies, à l’aide de la
formule suivante :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
exp
thglobal E
Elog
d10α (3.4)
où d est l'épaisseur de l'échantillon, et thE et expE sont les énergies théoriques et
expérimentales qui sont calculées de la façon suivante :
( )∫∫= 32
2
32 dkdkk,kUE thth et ( )∫∫= 32
2
32 dkdkk,kUE expexp . (3.5)
Notons que globalα correspond à l’atténuation globale du faisceau, et non uniquement à
l’atténuation des ondes longitudinales qui ont traversé le matériau. Cependant, étant donnée la
faible ouverture du faisceau, les conversions en mode transversales sont minimes, rendant les
ondes longitudinales très majoritaires, et nous pouvons a priori l’assimiler à l’atténuation des
ondes longitudinales. Cette question sera développée plus en détail dans le paragraphe 3.5.2.2.
L'atténuation peut également être calculée localement, c'est-à-dire pour une incidence donnée,
avec la formule suivante :
( ) ( )( )
( )( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= 32
32
3232
20k,ktlog
k,kU
k,kUlog
dk,k
total
tra
inclocalα (3.6)
On peut noter que ( )00 ,localα correspond à l'atténuation des ondes arrivant en incidence
normale.
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
103
3.5.2. Résultats expérimentaux
3.5.2.1. Avec l’hydrophone en réception
Nous avons dans un premier temps travaillé avec l’hydrophone en réception. Pour chaque
orientation de grains, l’atténuation du faisceau a été calculée, à la fréquence de 2,25 MHz.
Nous présentons ici les premiers résultats obtenus avec cette technique. Ils sont représentés
sur la Figure 3.19.
Figure 3.19 : Atténuation mesurée en fonction de l’orientation des grains, à 2,25 MHz, avec
l’hydrophone en réception.
Il apparaît que les valeurs obtenues ne correspondent pas aux résultats attendus. En effet,
l’ordre de grandeur des valeurs d’atténuation paraît très élevé par rapport aux résultats du
chapitre précédent et aux résultats de la littérature. Par ailleurs, la croissance monotone de la
valeur de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains, prévue par la théorie, n’est pas
retrouvée.
Il apparaît donc que les mesures avec l’hydrophone sont très intéressantes pour l’imagerie.
Cependant, l’amplitude mesurée est sous-estimée dès lors qu’un échantillon anisotrope est
introduit. Nous pouvons supposer que l’hydrophone est trop sensible aux perturbations du
faisceau et des fronts d’onde. La mesure ponctuelle ne semble donc pas appropriée dans ce
cas. Au vu de ces résultats, nous avons décidé de remplacer l’hydrophone en réception par un
capteur identique à l’émetteur, c’est-à-dire de diamètre 0,5" et de fréquence centrale 2,25
MHz.
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
104
3.5.2.2. Avec le capteur de 0,5" en réception
Les mêmes mesures et calculs ont donc été effectués, et les résultats sont représentés sur la
Figure 3.20. La première remarque concernant ces résultats est leur cohérence avec l’ordre de
grandeur attendu. Les valeurs d'atténuation sont légèrement plus faibles que les valeurs
obtenues par la méthode classique mais demeurent du même ordre de grandeur. D’autre part,
si l’on ne tient pas compte de l'échantillon dont les grains sont orientés à 0°, l’ensemble des
points peut être approché par une loi présentant une croissance monotone.
Figure 3.20 : Atténuation globale en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz avec le
capteur de 0,5" en réception.
Mais la valeur à 0° n’est pas cohérente avec cette croissance monotone. Or, comme nous
l'avons évoqué précédemment, les grains présentent également une désorientation dans la
direction de soudage, de l'ordre de 5°. Cette désorientation peut avoir de l'importance lors du
calcul des coefficients de transmission, en particulier pour l'échantillon à 0°. Cette influence
est clairement visible sur les images de la Figure 3.7.
C'est pourquoi les coefficients de transmission ont été recalculés pour tous les échantillons, en
ajoutant une désorientation de 5° dans la direction de soudage, c’est-à-dire dans le plan
( 1x , 2x ) (cf. axes de la Figure 3.14). La Figure 3.21 montre la comparaison entre les valeurs
d’atténuation obtenues précédemment et celles obtenues avec les coefficients de transmission
recalculés. La valeur d'atténuation obtenue avec ces coefficients a considérablement diminué
pour l’échantillon à 0°. En revanche, la désorientation dans la direction de soudage est
beaucoup moins influente pour les autres échantillons. On retrouve alors la croissance globale
de l'atténuation en fonction de l'orientation des grains à laquelle nous pouvions nous attendre.
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
105
Figure 3.21 : Atténuation globale en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz en tenant
compte de la désorientation des grains de 5° dans le sens de soudage (rouge).
Nous avons également tracé l'atténuation locale pour ( 02 =k ; 03 =k ). En effet, ces valeurs
doivent correspondre aux valeurs de la méthode classique dans la mesure où elles ne prennent
en compte que la transmission en incidence normale. La Figure 3.22 montre la concordance
entre les valeurs d'atténuation locale et les valeurs obtenues dans la méthode classique
exposée dans le chapitre précédent.
Figure 3.22 : Atténuation locale pour ( 02 =k ; 03 =k ) en fonction de l’orientation des grains
à 2,25 MHz comparée aux résultats de la méthode classique (petites croix bleues).
NB : Notons que l’atténuation obtenue à 10° ne paraît pas cohérente, et nécessitera donc une
nouvelle mesure sur l’échantillon à 10°.
Nous avons considéré que l’atténuation obtenue peut être assimilée à l’atténuation des ondes
longitudinales. Il paraît important de noter qu'il est théoriquement possible d'accéder à
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
106
l'atténuation des ondes longitudinales exclusivement. En effet, il existe pour chaque
orientation de grains un angle d'incidence pour lequel seules des ondes longitudinales sont
transmises dans le matériau. Cela s'observe sur les valeurs des coefficients de transmission
totale de chaque mode propagé dans le matériau. La Figure 3.23.a montre par exemple que les
ondes du faisceau arrivant avec une incidence de 3° sur l'échantillon dont les grains sont
orientés à 10° ne transmettent dans le solide que des ondes longitudinales. Il en est de même
pour une incidence à environ -6° sur l'échantillon à 35° (Figure 3.23.b). Cependant, dans
notre cas, le faisceau est ouvert de 3,5°, et les amplitudes mesurées au-delà de cet angle ne
sont plus fiables.
Figure 3.23 : Transmission totale des modes longitudinal et transversal, pour des grains
orientés à 0° (a) et à 35° (b).
Ces courbes montrent également les proportions d’ondes longitudinales et transversales
transmises. Elles confirment la faible influence des ondes transversales par rapport aux ondes
longitudinales propagées dans le matériau.
3.6. Conclusions et perspectives
Une seconde approche expérimentale a été exploitée. Par le calcul des coefficients de
transmission dans le domaine ( 2k , 3k ), elle permet de prendre en compte la réalité 2D du
faisceau et l'anisotropie du matériau. En effet, la propagation du faisceau dans les échantillons
est modélisée en prenant en compte les conversions de mode dues à son ouverture, ainsi que
les pertes d’énergie dues aux réflexions aux interfaces entre l’eau et le matériau. Pour ces
raisons, cette approche paraît plus complète et plus précise que la technique classique exposée
dans le chapitre précédent. D’autre part, la modélisation par le calcul des coefficients de
a) b)
Transmission globale de chaque mode, dans le plan -90 (grains : 10°) Transmission globale de chaque mode, dans le plan -90 (grains : 35°)
Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes
107
transmission en incidence quelconque pourra s’appliquer à d’autres configurations
expérimentales. Elle ouvre par exemple la perspective de la mesure d’atténuation des ondes
transversales en immersion en incidence oblique.
La comparaison des images du faisceau théoriquement transmis à travers chaque échantillon
avec les faisceaux transmis mesurés expérimentalement avec l’hydrophone montre un très
bon accord, bien que la modélisation par l’application des coefficients de transmission ne
permette pas de prendre en compte la structure granulaire du matériau. Ce premier résultat
confirme la pertinence de l’approche.
Les courbes d'atténuation obtenues par cette méthode, avec un capteur de 0,5" en réception,
montrent un meilleur accord avec les prédictions théoriques du modèle d'Ahmed que les
mesures de la technique classique. De plus, la prise en compte de l'anisotropie du matériau
amène à des valeurs d'atténuation légèrement inférieures à celle de la méthode classique, qui
est moins précise du fait de l'utilisation d'un coefficient de transmission unique.
Cette technique de mesure par cartographie est plus précise que la technique classique,
fréquemment utilisée. Elle mérite par ailleurs d’être approfondie dans le futur car le dispositif
et les calculs des coefficients de transmission devraient permettre la mesure d’atténuation en
incidence oblique. Ceci présenterait notamment deux avantages majeurs : la possibilité de
n’utiliser qu’un seul échantillon au lieu de sept pour estimer l’évolution de l’atténuation en
fonction de l’orientation des grains, et la possibilité d’obtenir des valeurs d’atténuation
précises en ondes transversales.
108
109
4. DISCUSSION ET EXPLOITATION DES RESULTATS
4.1. Synthèse des travaux expérimentaux .......................................................................... 110
4.1.1. Technique classique de mesure de la vitesse et de l’atténuation............................... 110 4.1.2. Estimation de l’atténuation avec décomposition des faisceaux ................................ 110
4.2. Intégration de l'atténuation dans le code de calcul ATHENA.................................. 111 4.2.1. Le code ATHENA [FOU 03, TSO 99] ..................................................................... 111 4.2.2. Modélisation à l'échelle du grain [SCH 06] .............................................................. 113 4.2.3. Intégration de l'atténuation par diffusion à ATHENA [DUW 06] ............................ 114 4.2.4. Résultats de simulation et comparaison .................................................................... 116
4.2.4.1. Calages numériques et types de soudure testés ............................................................116 4.2.4.2. Comparaison simulation/expérience ............................................................................118
4.2.5. Conclusions ............................................................................................................... 120
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
110
Ce dernier chapitre présente dans un premier temps la synthèse des différents résultats de
mesure obtenus par les deux techniques étudiées. Un jeu de valeurs d’atténuation est alors
choisi pour être intégré au code ATHENA. Nous présentons les résultats de simulation avec
ces valeurs, en comparaison avec des mesures expérimentales.
4.1. Synthèse des travaux expérimentaux
4.1.1. Technique classique de mesure de la vitesse et de l’atténuation
La première méthode de mesure en transmission avec un récepteur fixe est la plus
couramment proposée dans la littérature. Elle permet de mesurer simultanément la vitesse et
l’atténuation ultrasonore dans un échantillon d’épaisseur donnée.
Les mesures de vitesse par le biais de cette méthode s’avèrent très bonnes, en bon accord avec
les valeurs théoriques, et avec une incertitude de l’ordre de 0,7%. De plus, le dispositif
expérimental peut également permettre d’effectuer des mesures de vitesses en incidence
oblique. Il est par conséquent un outil très fiable de mesure de vitesses ultrasonores, aussi
bien des ondes longitudinales que des ondes transversales.
En revanche, les mesures d’atténuation amènent quelques réserves. En effet, la méthode
donne de relativement bons résultats, mais le fait d'utiliser un coefficient de transmission
unique implique que l'on considère le matériau étudié comme isotrope insonifié par un
faisceau parfaitement cylindrique. Ceci est une approximation qui amoindrit la précision de la
mesure d’atténuation, en particulier pour les matériaux fortement anisotropes tels que les
soudures avec forte croissance des grains.
4.1.2. Estimation de l’atténuation avec décomposition des faisceaux
La seconde méthode que nous avons présentée part de la mesure point par point de
l’amplitude ultrasonore reçue. Cela permet de prendre en compte l’ouverture du faisceau. De
plus, le calcul des coefficients de transmission en incidence quelconque implique que la
réalité physique de l’expérience (ouverture du faisceau impliquant des déviations, conversions
de mode…) est reproduite. Dans la mesure où la première méthode donnait de bonnes valeurs
de vitesse, nous ne les avons pas recalculées.
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
111
Cette technique a permis d’aboutir à des valeurs d’atténuation en fonction de l’orientation des
grains qui se rapprochent des prédictions théoriques du modèle d’Ahmed. En effet, on obtient
une allure croissante de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains. Cependant, nous
avons pu noter que, comme pour la première méthode, l’atténuation obtenue est l’atténuation
du faisceau, que l’on peut assimiler à l’atténuation des ondes longitudinales vu la faible
génération d’ondes transversales.
Les valeurs d’atténuation en fonction de l’orientation des grains, obtenues pour chaque
méthode, à la fréquence de 2,25 MHz classiquement utilisée pour le contrôle des soudures,
ont alors été intégrées au code ATHENA développé par EDF. Le code nécessitant également
les valeurs d’atténuation des ondes transversales, les mesures présentées en Annexe 3 ont été
utilisées pour les simulations présentées dans le paragraphe suivant.
4.2. Intégration de l'atténuation dans le code de calcul ATHENA
Nous allons d'abord décrire succinctement le modèle développé dans le code ATHENA, puis
nous présenterons deux possibilités d'intégration de l'atténuation au modèle, et nous finirons
par la comparaison de résultats de simulation à l’expérience.
4.2.1. Le code ATHENA [FOU 03, TSO 99]
Le code ATHENA a été développé par EDF en collaboration avec l’INRIA. Il résout les
équations de l’élastodynamique exprimées en termes de contraintes et de vitesses particulaires
par une méthode d’éléments finis. Les traducteurs peuvent être modélisés soit au contact de la
pièce, soit en immersion.
Ce code permet de décrire la propagation des ultrasons dans des milieux complexes
anisotropes et hétérogènes, et de prendre en compte des interactions du faisceau avec des
défauts de géométrie complexe. Les maillages de la pièce et du défaut sont séparés grâce à la
méthode des domaines fictifs [BEC01].
Dans la version élastique du code, les données d'entrée sont la géométrie de la pièce et les
constantes d'élasticité (exemple sur la Figure 4.1). Par ailleurs, nous travaillons dans cette
étude avec la version 2D du code.
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
112
a) b)
Figure 4.1 : Exemple de simulation de la propagation d'un faisceau ultrasonore (b) à partir de la
description en sous-domaines orthotropes de la soudure (a).
Le modèle est basé sur les équations de l'élastodynamique dans un domaine Ω contenant un
défaut Γ :
( )
( )( )
Γ=⋅Ω∂=⋅
==
Ω=∂
∂
=−∂
∂
surnsurn
,x,xv
survCt
divt
v
00
0000
0
σσσ
εσ
σρ
(4.1)
où ρ est la densité du solide, v est la vitesse des petits déplacements, σ est le tenseur des
contraintes, C est le tenseur des constantes d'élasticité (de dimension 4×4 pour une
propagation dans un plan principal du matériau), et ( ) ( )vvvT
∇+∇=21ε est le tenseur des
vitesses de déformation.
Le système est ensuite réécrit sous une forme équivalente appelée formulation variationnelle.
Pour prendre en compte le défaut Γ , un nouveau terme est introduit : −+
−= vvλ , appelé
multiplicateur de Lagrange, et qui désigne le saut de vitesse à la traversée de la fissure. Cette
nouvelle formulation est alors discrétisée en espace et en temps ( t∆ définit le pas de
discrétisation en temps), et on obtient un schéma matriciel quasi-explicite de la forme :
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
113
(4.2)
où 21+n
σ désigne une discrétisation en espace de σ au temps tn ∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
21 ,
nV et nΛ désignent une discrétisation en espace de V et Λ au temps tn∆ ,
et les matrices σM , vM , K et B sont respectivement appelées matrice de masse des
contraintes, matrice de masse des déplacements, matrice "dérivée" (ou matrice de rigidité) et
matrice associée à la fissure.
La condition de stabilité du schéma est : 1≤∆∆⋅ xtVL , où LV désigne la vitesse maximale
(sur l'ensemble des directions de propagation) des ondes longitudinales, et x∆ définit la taille
de la maille carrée.
La version "utilisateurs" actuelle du code permet donc de rendre compte des phénomènes de
déviation, divergence ou division du faisceau dans un milieu anisotrope et hétérogène
élastique. Le phénomène de diffusion ultrasonore n’est pour l’instant simulé
qu’artificiellement par les réfractions aux interfaces séparant deux domaines anisotropes
homogènes différents.
EDF R&D propose de nouvelles approches pour simuler dans le code la diffusion ou
l’atténuation due à la diffusion par la structure granulaire du matériau polycristallin. Nous
présentons dans les paragraphes suivants ces développements.
4.2.2. Modélisation à l'échelle du grain [SCH 06]
L'une des pistes en cours d'étude est la modélisation à l'échelle du grain. L'idée est de décrire
la soudure comme un ensemble discret de grains (Figure 4.2) dont un axe cristallographique
<100> est commun à tous les grains de même axe d’élongation, et dont les deux autres axes
<100> sont aléatoirement orientés (modélisation caractéristique d’un milieu isotrope
transverse). Ce modèle n’est pas encore finalisé.
0
0
0
21
211
21
21
=
=+∆−
=Λ−+∆−
+
++
−+
n
nTnn
v
nTnnn
B
Kt
VVM
BKVt
M
σ
σ
σσσ
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
114
Figure 4.2 : Exemple d'une soudure décrite à l'échelle des grains [SCH 06].
Au final, cette approche devrait permettre de modéliser l’ensemble des phénomènes de
diffusion, c’est-à-dire à la fois l’atténuation et le bruit de structure. Les déviations de faisceau
seraient bien évidemment toujours simulées.
4.2.3. Intégration de l'atténuation par diffusion à ATHENA [DUW 06]
L'autre démarche mise en œuvre au département Sinetics d'EDF R&D est l'extension du
modèle élastique d'ATHENA à un modèle reproduisant uniquement l'atténuation par diffusion
des ondes lors de la traversée du matériau.
On s'intéresse donc à un modèle où les solutions, dans le sens des x croissants, sont de la
forme ( ) ( )( )kxtiexpxexpvvo
−−= ωγ où γ est le coefficient d'atténuation et le nombre
d'onde, complexe, est défini par : γikk −=∗ .
La modélisation de l'atténuation en espace, qui paraît la plus naturelle, n'est au final pas
satisfaisante, car des phénomènes d'amplification apparaissent pour une onde se propageant
dans le sens des x décroissants. C'est pourquoi le choix s'est porté sur l'atténuation modélisée
"en temps". Le terme d'atténuation ( )xexp γ− est alors remplacé par le terme ( )ctexp γ− où
c est la vitesse de propagation. Dans les équations, cela revient à ajouter un terme
d'amortissement anisotrope à l'équation d'évolution des contraintes :
( )vCDt
εσσ =+∂∂ Ωsur (4.3)
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
115
où D est un tenseur à déterminer.
Il est important de noter que le tenseur C n'est plus un tenseur d'élasticité, mais est également
un tenseur à déterminer, comme nous allons le voir plus loin.
La discrétisation en temps et en espace fait alors apparaître une nouvelle matrice DM , appelée
"matrice d'atténuation", et construite à partir du tenseur DC1−
. Le système matriciel (4.2)
s'écrit alors :
0
0
0
21
211
21
21
=
=−∆−
=Λ−+∆−
+
++
−−++
n
nTnn
v
nTn
nn
B
Kt
VVM
BKVtMM
σ
σ
σσ σσ
(4.4)
où les matrices DMtMM2∆+=
+
σσ et DMtMM2∆−=
−
σσ sont la seule différence avec
le cas élastique sans atténuation.
Le schéma ainsi obtenu est stable.
Les tenseurs C et D sont ensuite déterminés par calage de façon à reproduire les données
expérimentales de vitesse et d'atténuation pour les ondes longitudinales et transversales. Ces
données sont les résultats de mesure exposés dans le second et le troisième chapitre. Le calage
est effectué par optimisation à l'aide de la technique des moindres carrés pondérés associée à
la méthode d'optimisation du gradient conjugué. La pondération permet de prendre en compte
les incertitudes de mesure, en particulier de tenir compte du fait que certaines valeurs
d'atténuation sont moins fiables que d’autres.
Après le calage des deux tenseurs, la simulation du contrôle ultrasonore peut être effectuée.
Nous allons maintenant exposer les résultats de calage et les simulations associées, avec
comparaison aux mesures expérimentales.
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
116
4.2.4. Résultats de simulation et comparaison
4.2.4.1. Calages numériques et types de soudure testés
Le calage se fait d’une part sur les vitesses, et d’autre part sur les atténuations. Celui sur les
vitesses est tracé sur la Figure 4.3. Les données expérimentales sont les mesures en immersion
pour les ondes longitudinales, et les mesures au contact pour les ondes transversales (voir
Annexe 3).
Figure 4.3 : Vitesses (m/s) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des
grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).
Deux types de calage sur les atténuations ont été testés :
Calage 1 :
Il est basé sur les valeurs d’atténuation obtenues par la méthode classique pour les ondes
longitudinales, et les mesures au contact pour les ondes transversales (Figure 4.4).
Figure 4.4 : Atténuations (Np/m) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation
des grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
117
Calage 2 :
Il est basé sur les valeurs d’atténuation obtenues par la méthode de mesure basée sur la
décomposition des faisceaux pour les ondes longitudinales, et les mesures au contact pour les
ondes transversales (Figure 4.5).
Figure 4.5 : Atténuations (Np/m) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation
des grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).
D'autre part, deux types de soudure sont étudiés :
La soudure référencée D704 : moule de soudage avec une structure "quasi-homogène"
(soudure étudiée dans cette thèse), schématisée sur la Figure 4.6.
Figure 4.6 : Schéma de la structure de la soudure D704.
La soudure référencée D717B (Figure 4.7) : cette maquette est représentative d’une
soudure austénitique de la ligne d’expansion du pressuriseur de centrale à réacteur à eau
pressurisée. Elle est caractérisée par une structure "hétérogène" (évolution de l’orientation des
grains au sein de la soudure du fait de la géométrie des chanfreins).
Métal de base Métal de base Soudure à structure "homogène"
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
118
Figure 4.7 : Structure de la soudure D717B [CHA 00].
4.2.4.2. Comparaison simulation/expérience
Pour la soudure D704 :
La comparaison porte sur les différences d'amplitude 12 AAA −=∆ simulée et
expérimentale des échos renvoyés par deux trous génératrices, localisés à des profondeurs de
20 et 40 mm (Figure 4.8). Nous étudions la propagation d’ondes longitudinales réfractées à
60° dans un matériau isotrope (ondes L60). Un exemple de représentation de type B pour
l’examen expérimental est indiqué sur la Figure 4.9.
Figure 4.8 : Configuration de contrôle pour la soudure D704.
A1 A2
Défauts
20 mm
40 mm
Métal de base
Métal de base
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
119
Figure 4.9 : Exemple de représentation de type B pour le contrôle en L60 de la soudure D704.
Pour la soudure D717B :
On compare les amplitudes des échos renvoyés par deux trous génératrices localisés à une
profondeur de 25 mm (Figure 4.10). Dans un cas, la détection du défaut nécessite la traversée
de la soudure (amplitude A1), alors que pour l’autre défaut, le faisceau ne pénètre pas dans la
soudure (amplitude A2). Deux propagations sont étudiées : celles des ondes longitudinales à
45° et à 60° (L45 et L60). L’atténuation dans le métal de base est également prise en compte
(valeur prise égale à 0,006 dB/mm).
Figure 4.10 : Amplitudes étudiées pour la soudure D717B.
Le Tableau 4.1 présente, pour chaque configuration considérée, la valeur de A∆ obtenue par
simulation sans et avec atténuation (avec les deux calages), ainsi que la valeur expérimentale.
Quelle que soit la configuration, la perte d'amplitude calculée par la simulation sans
atténuation est sous-estimée par rapport à la mesure expérimentale. Par ailleurs, avec le code
élastique, les différences d’amplitude constatées pour le cas de la soudure D717B sont liées
aux phénomènes de déviation et de division du faisceau, ainsi qu’aux réfractions aux
interfaces. Pour la soudure "homogène" D704, le code élastique ne prévoit aucun écart
A2
A1
A2
A1 L45
L60
métal de base
défaut à 20mm de profondeur
défaut à 40mm de profondeur
temps
axe de balayage du capteur
Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats
120
d’amplitude entre les deux défauts localisés à des profondeurs différentes. Ceci est dû à un
phénomène de focalisation lié l’anisotropie du matériau, qui conduit à une largeur de faisceau
identique pour les deux profondeurs. Dans le cas du métal de base, l’amplitude est plus faible
pour le défaut à 40 mm car le faisceau s’élargit avec la profondeur.
Simulation avec atténuation Configuration
Simulation sans
atténuation Calage 1 Calage 2
Expérience
Soudure D704
L60 -0,5 dB -11 dB -8,4 dB -8 dB
Soudure D717B
L45 -4,5 dB -13,8 dB -9,9 dB -10,5 dB
Soudure D717B
L60 +1,5 dB -8,7 dB -4,9 dB -4 dB
Tableau 4.1 : Résultats de simulation comparés à l'expérience pour chaque cas.
Avec le modèle incluant l’atténuation, on observe que les résultats de simulation se
rapprochent des résultats expérimentaux. On constate notamment un très bon accord entre les
deux approches avec les valeurs du calage utilisant les mesures d’atténuation de la seconde
méthode de mesure. Le calage à partir des mesures de la méthode classique aurait tendance à
surestimer l’atténuation.
4.2.5. Conclusions
L’intégration de l’atténuation dans le code de calcul ATHENA nécessite un choix de calage
selon la confiance associée aux mesures d’atténuation des ondes longitudinales et
transversales. Le choix des valeurs d’atténuation et du calage associé a une influence
importante sur les résultats de simulation. Cependant, quel que soit le calage choisi, la
simulation avec intégration de nos mesures d’atténuation aboutit, pour les trois configurations
de contrôle étudiées, à des résultats beaucoup plus proches de l’expérience. De nouveaux cas
de validation devront être testés pour confirmer ces premiers résultats.
Conclusion générale et perspectives
121
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
L’objectif des travaux présentés dans ce manuscrit était l’étude et la quantification de
l’atténuation par diffusion des ondes ultrasonores longitudinales dans les soudures en acier
inoxydable austénitique. Cette évaluation n’est pas triviale, d’autant plus que pour des
matériaux polycristallins anisotropes, l’atténuation est fonction de l’orientation des grains.
Les valeurs trouvées sont ensuite destinées à être intégrées dans le code de calcul ATHENA
développé par EDF. Elles permettent ainsi une simulation réaliste du contrôle, que ce soit
pour aider au choix de la technique la plus appropriée, ou pour interpréter les mesures
expérimentales in situ et proposer un diagnostic. La validation de ces coefficients
d’atténuation est donc essentielle pour la qualification des procédures de contrôle non
destructif appliquées aux composants du circuit primaire des centrales nucléaires à réacteur à
eau pressurisée (REP).
L’étude bibliographique a permis d’analyser les différents modèles théoriques et méthodes
expérimentales visant à évaluer le coefficient d’atténuation dans les matériaux anisotropes.
Leurs limites, dans le cas des soudures d’acier inoxydable austénitique, ont été montrées. Une
stratégie de recherche a alors été établie, identifiant notamment les méthodes de mesure
potentiellement applicables et les échantillons à étudier.
Une première approche de la mesure de l’atténuation a d’abord été retenue, couramment
utilisée pour la caractérisation de matériaux. Elle consiste en une mesure comparative en
immersion du faisceau ayant effectué un trajet dans l’eau avec le faisceau ayant traversé un
échantillon inséré. Des mesures ont alors été réalisées sur une bande de fréquence comprise
entre 1 et 10 MHz. Cette méthode a donné de très bons résultats en terme de vitesse de phase.
En ce qui concerne l’atténuation des ondes longitudinales, les valeurs estimées à une
fréquence de 2,25 MHz sont du même ordre de grandeur que les résultats indiqués dans la
littérature. Une variation de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains a également
été mise en évidence. Par contre, la loi de comportement prévue par le modèle théorique
proposé par Ahmed n’a pas été retrouvée. Ceci a été imputé à l’application d’un unique
Conclusion générale et perspectives
122
coefficient de transmission qui ne reflète pas parfaitement la réalité physique (ouverture
angulaire du faisceau).
Une seconde approche a alors été étudiée, basée sur la prise en compte de la réalité physique
du faisceau par sa décomposition en spectre angulaire d’ondes planes, et de la modélisation de
sa transmission à travers un matériau anisotrope. Pour cela, nous avons développé le calcul
des coefficients de transmission d’une onde arrivant en incidence quelconque sur un matériau
triclinique. Cette approche a fourni des valeurs d’atténuation, en fonction de l’orientation des
grains, qui se sont révélées cohérentes avec les évolutions théoriques attendues. Ces mesures
ont été en partie validées en intégrant les valeurs de l’atténuation au code de calcul ATHENA,
et en obtenant une très bonne cohérence entre simulation et expérience pour trois
configurations de contrôle. Il est prévu de poursuivre cette validation sur d’autres types de
configurations (différents types de soudure et différents traducteurs).
Ce travail présente donc une avancée importante dans la compréhension du phénomène
complexe d’atténuation ultrasonore dans les matériaux anisotropes, et dans la modélisation de
la mesure qui permet de reconstruire de manière quantitative les coefficients d’atténuation.
Plusieurs perspectives intéressantes ont été mises en évidence. Il serait tout d’abord
souhaitable qu’une étude soit réalisée sur des échantillons de soudure d’épaisseurs plus
importantes, et également avec des capteurs différents, pour valider le caractère intrinsèque de
l’atténuation. Des fortes épaisseurs d’échantillon devraient également permettre une meilleure
séparation des ondes longitudinales et transversales.
Le calcul des coefficients de transmission en incidence quelconque à travers un matériau
triclinique devrait également permettre d’effectuer des mesures orbitales d’atténuation sur un
seul échantillon, en incidence variable. Ceci allègera la procédure expérimentale car il n’y
aura plus besoin de réaliser un échantillon par orientation de grains. D’autre part, ces mesures
impliquant un seul échantillon devraient être mieux recalées les unes par rapport aux autres.
La mesure en incidence oblique permettra également l’estimation des coefficients
d’atténuation des ondes transversales, qui jusque là sont obtenues par des mesures au contact,
moins fiables en raison des incertitudes de couplage. Un important travail de traitement du
Conclusion générale et perspectives
123
signal sera cependant nécessaire pour pouvoir séparer les contributions longitudinales et
transversales des signaux mesurés.
Enfin, cette méthode de mesure pourrait être appliquée à d’autres types de matériaux présents
sur le circuit primaire des centrales REP tels que les alliages à base nickel (inconel) et les
aciers austénoferritiques moulés.
124
Références bibliographiques
125
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
[AHM 92] AHMED S. & THOMPSON R.B., Effect of Preferred Grain Orientation and Grain Elongation on Ultrasonic Wave Propagation in Stainless Steel, Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation, 1992, Vol. 11, p. 1999-2006.
[AHM 02] AHMED S. & PANETTA P.D., Ultrasonic Attenuation and Backscattering in Polycrystalline Materials with Nonspherical Grains, Proceedings of NDE - National Seminar of ISNT, Chennai, 2002.
[APF 05a] APFEL A., Modélisation de l'Orientation Cristalline des Soudures Multi-Passes en Acier Inoxydable Austénitique : Application au Contrôle Non Destructif Ultrasonore, Thèse de Doctorat. Marseille : Université de la Méditerranée, 2005.
[APF 05b] APFEL A., MOYSAN J., CORNELOUP G., FOUQUET T. & CHASSIGNOLE B., Coupling an Ultrasonic Propagation Code with a Model of the Heterogeneity of Multipass Welds to Simulate Ultrasonic Testing, Ultrasonics, 2005, Vol. 43, No. 6, p. 447-456.
[AUD 96] AUDOIN B. & ROUX J., An Innovative Application of the Hilbert Transform to Time Delay Estimation of Overlapped Ultrasonic Echoes, Ultrasonics, 1996, Vol. 34, No. 1, p. 25-33.
[AUL 73] AULD B.A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol. 1&2, New York : Wiley, 1973.
[BAD 03] BADIDI BOUDA A., LEBAILI S. & BENCHAALA A., Grain Size Influence on Ultrasonic Velocities and Attenuation, NDT&E International, 2003, Vol. 36, p. 1-5.
[BAI 77] BAIKIE B.L. & YAPP D., Oriented Structures and Properties in Type 316 Stainless-Steel Weld Metal, Proceedings of the International Conference on Casting Metals Society, London, United Kingdom, 1977, p. 438-443.
[BEC 01] BECACHE E., JOLY P. & TSOGKA C., Fictitious Domains, Mixed Finite Elements and Perfectly Matched Layers for 2D Elastic Wave Propagation, Journal of Computational Acoustics, 2001, Vol. 9, No. 3, p. 1175-1202.
[CHA 99] CHASSIGNOLE B., VILLARD D., DUBUGET M., BABOUX J.-C. & EL GUERJOUMA R., Characterization of Austenitic Stainless Steel Welds for Ultrasonic NDT, Review of Progress in Quantitative Non Destructive Evaluation, 1999, Vol. 19, p. 1325-1332.
Références bibliographiques
126
[CHA 00] CHASSIGNOLE B., Etude de l'Influence de la Structure Métallurgique des Soudures en Acier Inoxydable Austénitique sur le Contrôle Non Destructif par Ultrasons, Thèse de Doctorat. Lyon : INSA Lyon, 2000, 217 p.
[CHA 01] CHASSIGNOLE B., VILLARD D., SCHUMM A. & FOUQUET T., Use of Modeling for the Ultrasonic Non Destructive Testing of Austenitic Stainless Steel Welds, Proceedings of 3rd ICNDE, Seville, 2001.
[CHA 04] CHASSIGNOLE B., DUPOND O., SCHUMM A. & FOUQUET T., Ultrasonic modelling of austenitic stainless steel welds : improvement in the comprehension of anisotropic and heterogeneous structure effects, Proceedings of 4th ICNDE, Londres, 2004.
[DEL 72] DEL GROSSO V.A. & MADER C.W., Speed of Sound in Pure Water, Journal of the Acoustical Society of America, 1972, Vol. 52, No. 5, p. 1442-1446.
[DIE 74] DIEULESAINT E. & ROYER D., Ondes Elastiques dans les Solides – Application au Traitement du Signal, Paris : Masson, 1974.
[DUB 96] DUBUGET M., Evaluation Non Destructive des Matériaux par Ultrasons : Caractérisation de l'Etat Initial et Suivi Sous Charge des Propriétés d'Elasticité Linéaire et Non Linéaire d'Alliages d'Aluminium, Thèse de Doctorat. Lyon : INSA Lyon, 1996, 194 p.
[DUC 00] DUCRET D., Elasticité Anisotrope et Endommagement des Matériaux Composites : Caractérisation Ultrasonore et Modélisation Micromécanique, Thèse de Doctorat. Lyon : INSA Lyon, 2000, 155 p.
[DUW 06] DUWIG V., Ajout d'un Module d'Amortissement dans Athena 2D, Note interne EDF HI-23/06/002/A, 2006, 49 p.
[EDE 86] EDELMANN X., Manuel pour l'Examen par Ultrasons des Soudures à Structure Austénitique, Paris : Institut International de la Soudure, 1986, 69p.
[FOU 03] FOUQUET V., Contenu et Utilisation d’ATHENA, Note interne EDF HI-23/03/027/A, 2003.
[GEN 85] GENERAZIO E.R., The Role of the Reflection Coefficient in Precision Measurement of Ultrasonic Attenuation, Materials Evaluation, 1985, Vol. 43, No. 8, p. 995-1004.
[GOE 80] GOEBBELS K., Structure Analysis by Scattering Ultrasonic Radiation, In: R.S. SHARPE. Research Techniques in Nondestructive Testing, chapter 4, New York : Academic Press, New York, 1980, chapter 4, p. 87-157.
[GOU 02] GOUEYGOU M., PIWAKOWSKI B., OULD NAFFA S. & BUYLE-BODIN F., Assessment of Broadband Ultrasonic Attenuation Measurements in Inhomogeneous Media, Ultrasonics, 2002, Vol. 40, p. 77-82.
Références bibliographiques
127
[HE 99] HE P., Direct Measurement of Ultrasonic Dispersion Using a Broadband Transmission Technique, Ultrasonics, 1999, Vol. 37, No. 1, p. 67-70.
[HIR 82] HIRSEKORN S., The Scattering of Ultrasonic Waves by Polycrystals, Journal of the Acoustical Society of America, 1982, Vol. 72, No. 3, p. 1021-1031.
[HIR 86] HIRSEKORN S., Directional Dependence of Ultrasonic Propagation in Textured Polycrystals, Journal of the Acoustical Society of America, 1986, Vol. 79, No. 5, p. 1269-1279.
[HOS 91] HOSTEN B., Reflection and Transmission of Acoustic Plane Waves on an Immersed Orthotropic and Viscoelastic Solid Layer, Journal of the Acoustical Society of America, 1991, Vol. 89, No. 6, p. 2745-2752.
[HUL 85] HULL D.R., KAUTZ H.E. & VARY A., Measurement of Ultrasonic Velocity Using Phase-Slope and Cross-Correlation Methods, Materials Evaluation, 1985, Vol. 43, No. 11, p. 1455-1460.
[JEO 95] JEONG H. & HSU D.K., Experimental Analysis of Porosity-Induced Ultrasonic Attenuation and Velocity Change in Carbon Composites, Ultrasonics, 1995, Vol. 33, No. 3, p. 195-203.
[KAY 95] KAYE G.W.C. & LABY T.H., Tables of Physical and Chemical Constants - 16th Edition, London : Longmans, Green and Co, 1995, 611 p.
[KUM 96] KUMAR B. & KUMAR A., Evaluation of Ultrasonic Attenuation without Invoking the Diffraction Correction Separately, Ultrasonics, 1996, Vol. 34, p. 847-853.
[KUM 03] KUMAR A., JAYAKUMAR T., RAJ B. & RAY K.K., Characterization of Solutionizing Behavior in VT14 Titanium Alloy Using Ultrasonic Velocity and Attenuation Measurements, Materials Science and Engineering, 2003, Vol. A360, p. 58-64.
[LAN 93] LANCELEUR P., RIBEIRO H. & DE BELLEVAL J.F., The Use of Inhomogeneous Waves in the Reflection-Transmission Problem at a Plane Interface Between Two Anisotropic Media, Journal of the Acoustical Society of America, 1993, Vol. 93, No. 4, p. 1882-1892.
[LAN 98] LANCELEUR P., DE BELLEVAL J.F. & MERCIER N., Synthetic Tridimensionnal Representation of Slowness Surfaces of Anisotropic Materials, Acta Acustica, 1998, Vol. 84, No. 6, p. 1047-1054.
[LEE 90] LEE C.C., LAHHAM M. & MARTIN B.G., Experimental Verification of the Kramers-Krönig Relationship for Acoustical Waves, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 1990, Vol. 37, No. 4, p. 286-294.
Références bibliographiques
128
[MAT 72] MATSUMOTO S. & KIMURA K., The Relationship between Grain Size and Ultrasonic Attenuation Coefficient in Austenitic Stainless Steel and Iron, Transactions of National Research Institute for Metals, 1972, Vol. 14, No. 4, p. 155-164.
[MER 56] MERKULOV L.G., Investigation of Ultrasonic Scattering in Metals, Soviet Physics - Technical Physics, 1956, Vol. 1, p. 59-69.
[MOU 96] MOUCHTACHI A., Evaluation Non Destructive par Ultrasons des Propriétés d'Elasticité des Matériaux Anisotropes : Mesure de Vitesses et Résolution du Problème Inverse, Thèse de Doctorat. Lyon : INSA Lyon, 1996, 181 p.
[MOY 03] MOYSAN J., APFEL A., CORNELOUP G. & CHASSIGNOLE B., Modelling the Grain Orientation of Austenitic Stainless Steel Multipass Welds to Improve Ultrasonic Assessment of Structural Integrity, International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2003, Vol. 80, p. 77-85.
[NAY 95] NAYFEH A.H., Wave Propagation in Layered Anisotropic Media, Amsterdam : Elsevier, 1995, 332 p. (North Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 39).
[NEU 89] NEUMANN A.W.E., On the State of the Art of the Inspection of Austenitic Welds with Ultrasound, International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1989, Vol. 39, p. 227-246.
[NIC 92] NICOLETTI D., ONARAL B. & BILGUTAY N., Scaling Properties of Ultrasonic Attenuation for Inverse Power-Law Grain-Size Distribution for Different Annealing Durations, Materials Evaluation, 1992, Vol. 50, No. 6, p. 788-792.
[ODO 81] O'DONNELL M., JAYNES E.T. & MILLER J.G., Kramers-Krönig Relationship Between Ultrasonic Attenuation and Phase Velocity, Journal of the Acoustical Society of America, 1981, Vol. 69, No. 3, p. 696-701.
[OGI 95] OGI H., HIRAO M. & HONDA T., Ultrasonic Attenuation and Grain-Size Evaluation Using Electromagnetic Acoustic Resonance, Journal of the Acoustical Society of America, 1995, Vol. 98, No. 1, p. 458-454.
[OUL 02] OULD NAFFA S., GOUEYGOU M., PIWAKOWSKI B. & BUYLE-BODIN F., Detection of Chemical Damage in Concrete Using Ultrasound, Ultrasonics, 2002, Vol. 40, p. 247-251.
[PAP 65] PAPADAKIS E.P., Revised Grain-Scattering Formulas and Tables, Journal of the Acoustical Society of America, 1965, Vol. 37, No. 4, p. 703-710.
[PAP 73] PAPADAKIS E.P., FOWLER K.A. & LYNNWORTH L.C., Ultrasonic Attenuation by Spectrum Analysis of Pulses in Buffer Rods : Method and Diffraction Corrections, Journal of the Acoustical Society of America, 1973, Vol. 53, No. 5, p. 1336-1343.
Références bibliographiques
129
[PAP 84] PAPADAKIS E.P., Absolute Measurements of Ultrasonic Attenuation Using Damped Nondestructive Testing Transducers, Journal of Testing and Evaluation, 1984, Vol. 12, No. 5, p. 273-279.
[PET 03] PETERS F. & PETIT L., A Broad Band Spectroscopy Method for Ultrasound Wave Velocity and Attenuation Measurement in Dispersive Media, Ultrasonics, 2003, Vol. 41, p. 357-363.
[POU 93] POUET B.F. & RASOLOFOSAON N.J.P., Measurement of Broadband Intrinsic Ultrasonic Attenuation and Dispersion in Solids with Laser Techniques, Journal of the Acoustical Society of America, 1993, Vol. 93, No. 3, p. 1286-1292.
[RIB 92] RIBEIRO H., DE BELLEVAL J.F. & LANCELEUR P., Existence de Domaines Angulaires Disjoints de Génération des Ondes Réfractées dans un Matériau Anisotrope: Nouvelle Notion d'Angle Critique, Journal de Physique IV, Colloque C1, suppl. au Journal de Physique III, 1992, Vol. 2, p. 915-918.
[ROK 86a] ROKHLIN S.I., BOLLAND K. & ADLER L., Splitting of Domain of Angles for Incident Wave Vectors in Elastic Anisotropic Media, Journal of Applied Physics, 1986, Vol. 59, No. 11, p. 3672-3677.
[ROK 86b] ROKHLIN S.I., BOLLAND T.K. & ADLER L., Reflection and Refraction of Elastic Waves on a Plane Interface Between Two Generally Anisotropic Media, Journal of the Acoustical Society of America, 1986, Vol. 79, No. 4, p. 906-918.
[SAC 78] SACHSE W. & PAO Y.-H., On the Determination of Phase and Group Velocities of Dispersive Waves in Solids, Journal of Applied Physics, 1978, Vol. 49, No. 8, p. 4320-4327.
[SAN 88] SANIIE J., WANG T. & BIGUTAY N.M., Statistical Evaluation of Backscattered Ultrasonic Grain Signals, Journal of the Acoustical Society of America, 1988, Vol. 84, No. 1, p. 400-408.
[SCH 06] SCHUMM A., DIAZ J., DUWIG V., FOUQUET T. & CHASSIGNOLE B., Structural Noise in Modelisation, Proceedings of 9th ECNDT, Berlin, 2006, 13 p.
[SEL 98] SELDIS T., PECORARI C. & BIETH M., Measurement of Longitudinal Wave Attenuation in Austenitic Steel, 1st International Conference on NDE in Relation to Structural Integrity for Nuclear and Pressurised Components, Amsterdam, Netherlands, 1998, p. 769-777.
[SEL 00] SELDIS T. & PECORARI C., Scattering-Induced Attenuation of an Ultrasonic Beam in Austenitic Steel, Journal of the Acoustical Society of America, 2000, Vol. 108, No. 2, p. 580-587.
[STA 84] STANKE F.E. & KINO G.S., A Unified Theory for Elastic Wave Propagation in Polycrystalline Materials, Journal of the Acoustical Society of America, 1984, Vol. 75, No. 3, p. 665-681.
Références bibliographiques
130
[TOM 80] TOMLINSON J.R., WAGG A.R. & WHITTLE M.J., Ultrasonic Inspection of Austenitic Welds, British Journal of NDT, 1980, Vol. 22, p. 119-127.
[TSO 99] TSOGKA C., Modélisation Mathématique et Numérique de la Propagation des Ondes Elastiques Tridimensionnelles dans les Milieux Fissurés, Thèse de Doctorat. Paris : Université de Paris IX, 1999.
[TUR 99] TURNER J.A., Elastic Wave Propagation and Scattering in Heterogeneous, Anisotropic Media: Textured Polycrystalline Materials, Journal of the Acoustical Society of America, 1999, Vol. 106, No. 2, p. 541-552.
[WAN 01] WANG H., Improved Ultrasonic Spectroscopy Methods for Characterization of Dispersive Materials, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2001, Vol. 48, No. 4, p. 1060-1065.
[YAN 04] YANG L. & TURNER J.A., Attenuation of Ultrasonic Waves in Rolled Metals, Journal of the Acoustical Society of America, 2004, Vol. 116, No. 6, p. 3319-3327.
[YON 95] YONEYAMA H., Ultrasonic Flaw Detection in Austenitic Welds, Welding International, 1995, Vol. 9, No. 6, p. 494-499.
Annexe 1
131
ANNEXE 1
Résolution de l'équation de Christoffel
Cas orthotrope Le tenseur de Christoffel en k s'écrit :
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++++
++++
=Λ2333
2244
2155324423315513
3244232344
2222
2166216612
3155132166122355
2266
2111
kCkCkCkkCCkkCC
kkCCkCkCkCkkCC
kkCCkkCCkCkCkC
La résolution de l'équation de propagation implique :
( ) 02 =−Λ Idet ρω
Posons I2ρω−Λ=Π , avec : 22
35522661111
211111 ωργγ skCkC,kC −+=+=Π
22344
22222222
216622 ωργγ skCkC,kC −+=+=Π
22333
22443333
215533 ωργγ skCkC,kC −+=+=Π
( ) 266121211212 kCC,k +==Π αα
( ) 355131311313 kCC,k +==Π αα
( ) 32442323 kkCC +=Π
233213311221 Π=ΠΠ=ΠΠ=Π et,
On obtient alors le polynôme du 3ème ordre suivant :
( ) ( ) ( ) 021
221
321 =+++ dkckbka ,
où 665511 CCCa =
6621355
212336611221155116655 CCCCCCCCb ααγγγ −−++=
2231123131222
21333
212332211331166221155 2 Π−Π+−−++= CCCCc ααγαγαγγγγγγ
( )223332211 Π−= γγγd
Annexe 1
132
Cas général triclinique On considère le cas triclinique où le tenseur des constantes élastiques est de la forme :
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
C
CCsym
CCC
CCCC
CCCCC
CCCCCC
C
Les composantes de la matrice I2ρω−Λ=Π sont données par :
ijijijij kk γβα ++=Π 12
1
où : 23256
2355
226611216315111111 222 ρωγβα −++=+== kkCkCkC,kCkC,C
23224
2344
222222346226226622 222 ωργβα skkCkCkC,kCkC,C −++=+==
23234
2333
224433335245335533 222 ωργβα skkCkCkC,kCkC,C −++=+==
( ) ( ) ( ) 3225462345
2226123561426612121612 kkCCkCkC,kCCkCC,C +++=+++== γβα
( ) ( ) ( ) 3245362335
2246133551325614131513 kkCCkCkC,kCCkCC,C +++=+++== γβα
( ) ( ) ( ) 3244232334
2224233364522546235623 kkCCkCkC,kCCkCC,C +++=+++== γβα
On obtient alors le polynôme d'ordre 6 suivant :
00112
12313
414
515
616 =++++++ akakakakakaka
avec :
23131221233
21322
223113322116 2 αααααααααααα +−−−=a
( )121233131322232311231312231312231312
21233
21322
223113322113322113322115
2 βααβααβααααβαβαβαααβαβαβααβαβαβαα
−−−+++−−−++=a
Annexe 1
133
( )( )
21233
21322
22311
21233
21322
22311
121233131322232311112323221313331212
231312231312231312231312231312231312
3322113322113322113322113322113322114
22
αγαγαγβαβαβα
γααγααγααββαββαββαααγαγαγαααβββαβββα
ααγαγαγααββαβαβαββ
−−−−−−
+++++−++++++
+++++=a
( )( ) ( )( ) 2
12332
132222311121233131322232311
121233131322232311121233131322232311
121323131223122313231213132312231312231312
3322113322113322113322113322113322113322113
2
222
βββββββαγβαγβαγ
γαβγαβγαβγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαβββ
αβγαγββαγγαββγαγβαβββ
−−−++−
++−++−+++++++
++++++=a
( )( )
21233
21322
22311
21233
21322
22311
121233131322232311121233131322232311
231312231312231312231312231312231312
3322113322113322113322113322113322112
22
βγβγβγγαγαγα
γαγγαγγαγγββγββγββαγγγαγγγαββγβγβγββ
ββγβγβγββαγγγαγγγα
−−−−−−
+++++−++++++
+++++=a
( )( ) 2
123321322
22311121233131322232311
2313122313122313123322113322113322111
2
2
γβγβγβγβγγβγγβγ
βγγγβγγγβγγβγβγβγγ
−−−++−
+++++=a
23131221233
21322
223113322110 2 γγγγγγγγγγγγ +−−−=a
134
Annexe 2
135
ANNEXE 2
Rotation d'un tenseur orthotrope autour de l'axe 2
La rotation d'un tenseur élastique autour de l’axe 2x se déduit du tenseur initial 0C de la
façon suivante :
0ijklploknjmimnop CaaaaC =
où la matrice a , pour une rotation d’un angle ψ autour de l'axe 2x , est définie par :
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −=
ψψ
ψψ
cossin
sincosa
0010
0
Dans le cas d'un tenseur initial orthotrope, on obtient alors un tenseur monoclinique de la
forme :
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
66
55
4644
3533
252322
15131211
00
000000
CCsym
CCCCCCCCCCC
C
avec :
( ) ( ) 033
2013
033
055
4033
055
013
01111 22442 CcosCCCcosCCCCC ++−++−−= ψψ
02222 CC =
( ) ( ) 011
2013
011
055
4033
055
013
01133 22442 CcosCCCcosCCCCC ++−++−−= ψψ
( ) 066
2066
04444 CcosCCC +−= ψ
( ) ( ) 055
2033
055
013
011
4033
055
013
01155 4242 CcosCCCCcosCCCCC ++−−++−−−= ψψ
( ) 044
2044
06666 CcosCCC +−= ψ
( ) 023
2023
01212 CcosCCC +−= ψ
Annexe 2
136
( ) ( ) 013
2033
055
013
011
4033
055
013
01113 4242 CcosCCCCcosCCCCC ++−−++−−−= ψψ
( ) 012
2012
02323 CcosCCC +−= ψ
( )[ ] ψψψ sincosCCCcosCCCCC 033
055
013
2033
055
013
01115 242 −+++−−=
( ) ψψ sincosCCC 023
01225 −=
( )[ ] ψψψ sincosCCCcosCCCCC 011
055
013
2033
055
013
01135 242 +−−+−−−=
( ) ψψ sincosCCC 044
06646 −=
Annexe 3
137
ANNEXE 3
Mesures d'atténuation en ondes transversales
Principe de mesure Les mesures sont effectuées en mode écho, au contact. Nous avons choisi le mode écho afin
de minimiser les incertitudes liées au couplant. On utilise les deux premiers échos, qui
correspondent respectivement à deux trajets et quatre trajets dans l'échantillon (Figure A.1).
Figure A.1 : Dispositif de la mesure en OT, en écho et au contact.
Une première mesure est effectuée avec la polarisation des ondes perpendiculaire au plan des
grains, et une seconde dans le plan des grains (Figure A.2). Nous appellerons ondes
transversales horizontales (OTH) le cas a) et ondes transversales verticales (OTV) le cas b).
Figure A.2 : Directions de polarisation par rapport à l'axe des grains.
Le calcul de la vitesse a été effectué par simple mesure de temps de vol entre deux échos
successifs. La valeur de l'atténuation a été obtenue en moyennant les valeurs obtenues par
traitement spectral et par fit exponentiel des extremums des échos successifs (exemple sur la
Figure A.3).
couplant Sofranel émetteur : OT V156,
2.25 MHz, ∅ 0.5''.
90° 90°
a) b)
Annexe 3
138
Figure A.3 : Exemple de calcul de l'atténuation par fit exponentiel.
Les résultats de mesure des vitesses et atténuations dans les deux cas de direction de
polarisation sont résumés dans le Tableau A.1, et tracés sur la Figure A.4.
Orientation des grains 0° 10° 35° 45° 60° 80° 85°
Vitesse TH (m/s) 3590 3910 3575 3380 3120 2800 2710
Vitesse TV (m/s) 3915 3690 2420 2385 2725 3655 3820
Atténuation TH (dB/mm) 0.4 0.21 0.35 0.4 0.5 0.7 0.5
Atténuation TV (dB/mm) 0.3 0.25 0.6 0.5 0.5 0.38 0.25
Tableau A.1 : Vitesses et atténuations des ondes transversales.
a) b)
Figure A.4 : Vitesse (a) et atténuation (b) des deux types d'ondes transversales.
atténuation = 23,63 Np/m,
soit 0,205 dB/mm.
atténuation = 25,98 Np/m,
soit 0,226 dB/mm.
Annexe 4
139
ANNEXE 4
Détermination de la taille et de l'orientation des grains
Taille des grains
La seule manière d’estimer la taille (et la forme) des grains dans les échantillons de soudure
en acier inoxydable austénitique est par analyse EBSD. Une série d’analyse EBSD a été
effectuée sur quelques uns de nos échantillons, et un exemple d’imagerie est montré sur la
Figure A.5. Elle montre que la diffraction n’était pas d’assez bonne qualité pour permettre
d’identifier clairement les grains.
Figure A.5 : Cartographie des orientations cristallographiques dans la direction x : (a) coupe
transversale par rapport aux grains, (b) coupe longitudinale par rapport aux grains.
Les tailles de grains utilisées dans le manuscrit, diamètre moyen de 150µm et longueur
moyenne de 4mm, proviennent de l’étude précédente de Chassignole [CHA 00].
Orientation des grains
L’orientation des grains dans nos échantillons peut s’obtenir soit par attaque chimique de la
surface et analyse d’image, soit par diffraction par rayons X, complémentaire à l’analyse
EBSD. Les orientations indiquées dans ce manuscrit ont été déterminées par analyse d’image.
111
101001
a) b)
x y
z
140
Annexe 5
141
ANNEXE 5
Etablissement des matrices permettant le calcul des coefficients de réflexion et transmission
Les équations sont écrites pour le cas général triclinique.
Première interface La première équation de continuité de la contrainte normale à la surface se traduit par :
( ) ( ) ( ) ( ) inclm
mmmmmmmm
i
m
i
m
iim krkPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCt2
122116
133115
233214
3
11 1
222ωρ+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++∑ ∑
=
où inck désigne le nombre d'onde de l'onde incidente et lρ la densité du liquide.
Les deuxième et troisième équations s'obtiennent par annulation des contraintes tangentielles:
( ) ( ) ( ) 0222
122156
133155
233245
3
15 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++∑ ∑
=m
mmmmmmmm
i
m
i
m
iim kPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCt
( ) ( ) ( ) 0222
122166
133156
233246
3
16 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++∑ ∑
=m
mmmmmmmm
i
m
i
m
iim kPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCt
La dernière équation traduit la continuité de la composante normale à l'interface du champ de
déplacement : inc
m
m
m
incPPtrP 111 =+ ∑
Ces équations se traduisent sous forme matricielle par :
[ ]⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
inc
incl
T
T
L
P
k
tttr
M
1
2
2
1 00ωρ
où la matrice M est définie par :
Annexe 5
142
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
1
1
111
343332
242322
141312
2
00
TTLe
incl
PPPPMMMMMMMMMk
M
ωρ
avec ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++−= ∑
=
LLLLLLLL
i
Li
Lii kPkP
CkPkP
CkPkP
CkPCM 1221
161331
152332
143
1112
222,
13M et 14M : idem pour les modes 1T et 2T respectivement.
( ) ( ) ( )LLLLLLLL
i
L
i
L
ii kPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCM 122156
133155
233245
3
1522
222++++++= ∑
=,
23M et 24M : idem pour les modes 1T et 2T respectivement.
( ) ( ) ( )LLLLLLLL
i
L
i
L
ii kPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCM 122166
133156
233246
3
1632
222++++++= ∑
=,
33M et 34M : idem pour les modes 1T et 2T respectivement.
Deuxième interface La première équation de continuité de la contrainte normale à la surface se traduit donc par :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
tl
djkglobal
L
m
mmmmmmmm
i
m
i
m
ii
djkL
m
LLLLLLLL
i
L
i
L
ii
djk
L
ket
kPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCerr
kPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCe
t
t
m
L
2
122116
133115
233214
3
11
122116
133115
233214
3
11
1
1
1
222
222
ωρ−
=
−
=
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++
∑ ∑
∑
Les deuxième et troisième équations s'obtiennent par annulation des contraintes tangentielles :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0
222
222
122156
133155
233245
3
15
122156
133155
233245
3
15
1
1
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++
∑ ∑
∑
=
−
=
−
m
mmmmmmmm
i
m
i
m
ii
djkL
m
LLLLLLLL
i
L
i
L
ii
djk
L
kPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCerr
kPkPC
kPkPC
kPkPC
kPCe
tm
L
Annexe 5
143
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0
222
222
122166
133156
233246
3
16
122166
133156
233246
3
16
1
1
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++
∑ ∑
∑
=
−
=
−
m
mmmmmmmm
i
mi
mii
djkLm
LLLLLLLL
i
Li
Lii
djk
L
kPkPCkPkPCkPkPCkPCerr
kPkPCkPkPCkPkPCkPCe
tm
L
La dernière équation traduit la continuité de la composante normale à l'interface du champ de
déplacement :
incdjkglobal
Lm
mdjkL
mL
Ljk
L PetPerrtPetincmL
111111 −−−
=+ ∑
Ces équations se traduisent sous forme matricielle par :
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
42
32
22
12
1
2
1
1
21
11
1
1
M
M
M
M
Net
rre
rre
rre
te
L
jk
L
L
)T(
djk
L
)T(
djk
L
)L(
djk
global
L
djk
L
rT
rT
rL
inc
,
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
43
33
23
13
111
1
2
1
1
11
11
21
11
1
1
M
M
M
M
Net
rre
rre
rre
te
T
jk
T
T
)T(
djk
T
)T(
djk
T
)L(
djk
global
T
djk
T
rT
rT
rL
inc
,
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
44
34
24
14
122
2
2
2
1
22
21
21
11
1
1
M
M
M
M
Net
rre
rre
rre
te
T
jk
T
T
)T(
djk
T
)T(
djk
T
)L(
djk
global
T
djk
T
rT
rT
rL
inc
.
où la matrice LN est définie par :
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
2
1
1
111
343332
242322
141312
2
00
rT
L
rT
L
rL
L
inc
LLL
LLL
LLL
incl
L
PtPtPtPNNNNNNNNNk
N
ωρ
Annexe 5
144
avec
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++−= ∑
=
LLLLLLrLrL
i
rL
i
rL
iiL
LkPkP
CkPkP
CkPkP
CkPCtN 1221
161331
152332
143
1112
222,
L
N13 et L
N14 : idem pour les modes 1rT et 2rT respectivement.
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++= ∑
=
rLrLrLrLrLrLrLrL
i
rL
i
rL
iiL
LkPkP
CkPkP
CkPkP
CkPCtN 1221
561331
552332
453
1522
222,
L
N23 et L
N24 : idem pour les modes 1rT et 2rT respectivement.
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++= ∑
=
rLrLrLrLrLrLrLrL
i
rLi
rLiiL
LkPkPCkPkPCkPkPCkPCtN 1221
661331
562332
463
1632 222
,
L
N33 et L
N34 : idem pour les modes 1rT et 2rT respectivement.
et de même pour 1TN et 2TN , en remplaçant l’indice L respectivement par 1T et 2T .
ETUDE DE L’ATTENUATION DES ONDES ULTRASONORES. APPLICATION AU
CONTROLE NON DESTRUCTIF DES SOUDURES D’ACIER INOXYDABLE AUSTENITIQUE
Mots-clés :
Propagation ultrasonore, atténuation, diffusion, anisotropie, hétérogénéité, soudures, acier inoxydable
austénitique.
Résumé :
La simulation de la propagation ultrasonore est un enjeu important du contrôle non destructif des
soudures multipasses en acier inoxydable austénitique, spécifiques des tuyauteries de centrale
nucléaire. Ces soudures anisotropes hétérogènes causent une diffusion des ultrasons aux joints de
grains entraînant une forte atténuation, fonction de l’orientation des grains. La mesure de cette
atténuation est complexe. La méthode mise en œuvre permet de prendre en compte la réalité physique
des faisceaux et l’anisotropie du matériau. La propagation ultrasonore à travers les échantillons est
modélisée à l’aide des coefficients de transmission calculés en incidence quelconque sur un matériau
triclinique. Cette méthode permet d’aboutir à une atténuation croissante en fonction de l’orientation
des grains. Pour la première fois, les coefficients d’atténuation mesurés ont été intégrés à un code de
simulation qui a permis leur validation par la comparaison avec l’expérience.
STUDY OF THE ULTRASONIC ATTENUATION. APPLICATION TO THE NONDESTRUCTIVE
TESTING OF AUSTENIC STAINLESS STEEL WELDS
Keywords :
Ultrasonic propagation, attenuation, scattering, anisotropy, heterogeneity, welds, austenitic stainless
steel.
Summary :
Ultrasonic propagation simulation in anisotropic and heterogeneous media is essential for
nondestructive testing by ultrasounds of multipass austenitic stainless steel welds that are specific of
piping in nuclear power stations. Scattering at grain boundaries leads to a strong attenuation as a
function of grain orientation. Attenuation measurement is complex. The implemented technique
allows taking into account the physical reality of the beams and the material anisotropy. Ultrasonic
propagation through the samples is modeled with transmission coefficients calculated with any
incidence on a triclinic material. This method results in an increase of the attenuation versus grain
orientation. For the first time, measured attenuation coefficients are integrated into a simulation code
that validated them by comparison with experience.