01 lois-à-densité

Probabilités 2 : Lois à densité ou Lois de probabilités continues

« I » : Grandes binomiales

1/ Evolution d'une loi binomiale en fonction du nombre d'essais n

X est la loi binomiale B (0,4 ; n). Ci-dessous, l'histogramme des probabilités pour n ∈ {5;10;15;20;25;60}

n = 5 n = 10 n = 15

n = 20 n = 25 n = 60

2/ Du calcul de probabilité à un calcul d'intégrale ►Dans les cas où n est assez grand par exemple n = 60, on peut approximer l' histogramme par la fonction f représentée en rouge.► La probabilité p(20 ≤ X ≤ 30) représentée en bleu interprétée

comme une aire peut être approximée par l’intégrale ∫20

30

f (x )d x

►C'est ce principe que l'on va généraliser. On va ainsi être amené à calculer des intégrales pour déterminer des probabilités. ► On reviendra sur les lois binomiales plus tard pour les lois normales.

3/ Historique

La célèbre courbe en cloche a été définie au début du XIXième siècle par la mathématicien allemand Karl Friedrich Gauss (1777-1855) lorsqu'il étudia la distribution des erreurs d'observation de l'astéroïde Cérès. A la même époque elle fut aussi décrite par la scientifique français Laplace (1812) qui repris et compléta les travaux du mathématicien Abraham de Moivre (1167-1754) en calculs de probabilité.

La loi associée à la courbe en cloche est appelée loi normale ou loi Laplace-Gauss. On qualifie la loi de normale car elle modélise des situations normales ou naturelles. Par exemple sur une population de 1000 personnes dont la taille moyenne est 1m 70, a un histogramme des tailles proche de la courbe en cloche de Gauss.

1 Lycée de Font Romeu SC

« I I » : Introduction, v ariables aléatoires discrètes ou continues

1/ Remarque : ► Si on choisit au hasard un nombre entier entre 3 et 6 compris, Ω = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, on obtient un univers fini composé de 4 entiers. On dit que l'univers est un univers discret et fini►Si on choisit au hasard un nombre entier, Ω = N, on obtient un univers infini dont les éléments sont des valeurs isolés. On dit que l'univers est un univers discret et infini► Si on choisit au hasard un nombre réel entre 3 et 6 compris, Ω = [3 ; 6], on obtient un univers infini dont les valeurs ne sont pas isolées mais continues. On dit que l'univers est un univers continu.

2/ Définitions

Une variable aléatoire discrète est une variable aléatoire dont les valeurs sont isolées, ou discrète.

Exemples :1) Lancer un dé parfaitement équilibré et définir la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si c'est un nombre pair, la valeur 2 si c'est 3 et 0 si on obtient 1 ou 5. X( Ω) = {0 ; 1 ; 2}2) Lancer une pièce de monnaie équilibré et définir la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si c'est F et la valeur 0 si c'est P. X( Ω) = {0 ; 1}

Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire qui prend toutes les valeurs d'un intervalle.

Exemples : 1) Appeler un opérateur mobile, attendre moins de 5 minutes et noter le temps d'attente en minutes, X( Ω) = [0; 5]2) Théoriquement un composant électronique peut durer indéfiniment. On note sa durée de vie. X( Ω) = [0 ; +∞[.

3/ Vers la densité de probabilité

► Dans la suite on va étudier des lois de probabilités de variables aléatoires continues telles que X( Ω) = I Avec I = [a ; b] avec a < b

ou I = [a ; + ∞ [ ou I = R

► Il est clair que pour tout réel k qui n' appartient pas à I, p(k) = 0. L'événement {k} est impossible et la probabilité de l’événement « choisir un nombre voisin de k » reste nulle De même, il paraît évident que pour tout réel k de I, p(k) = 0 car il y a une infinité de nombres dans I. Mais l'événement {k} n'est pas impossible, et la probabilité de l'événement « choisir un nombre voisin de k » n'est plus nulle puisque qu'une infinité de nombre conviennent.

► On ne s’intéresse donc pas à la probabilité d'un nombre mais à la probabilité d'un minuscule intervalle contenant ce nombre, cette probabilité f(k) est alors appelée densité de probabilité de ce nombre k . On distingue les deux cas précédents en disant que :

Si k ∉ I alors k est affectée d'une densité de probabilité nulle Si k ∈ I alors est affectée d'une densité de probabilité f(k) non nulle.

► Si on veut calculer la probabilité d'un intervalle [c ; d] de I, on doit calculer la somme infinie de toutes les densité de probabilité des nombres x de l'intervalle [c ; d]

On va donc utiliser un intégrale, et calculer p ([c ; d ])=∫c

d

f ( x)d x ,

► p([c ; d]) = p(X ∈ [c ; d]) est l'aire sous la courbe sur l'intervalle [c ; d] de la fonction densité de probabilité f.

p([c ; d]) est l'aire coloriée en rose


« II I »: Densité de probabilité f sur un intervalle I avec I = [a ; b] ou I = [a ; + ∞ [ ou I = R

1/ Définition

On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de R toute fonction f continue et positive sur I pour laquelle l'aire sous la courbe sur l'intervalle I vaut 1 ua

2/ Conséquences

Si I = [a ; b] avec a < b ∫a

b

f (x )dx=1

Si I = [a ; + ∞ [ limt→+∞

∫a

t

f (x )dx=1 qui peut se noter ∫a

+∞

f ( x)dx=1

Si I = R limt→−∞

∫t

0

f ( x)dx+ limt→+∞

∫0

t

f (x )dx=1 qui peut se noter ∫−∞

+∞

f (x )dx=1

Exercice 0 1 1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 1 est une densité de probabilité sur [0 ; 1]

2/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 12

est une densité de probabilité sur [1; 3]

3/Montrer que la fonction f définie par f(x) = 0,2 e -0,2 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[

4/ 1/ Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur [0;1] par : f ( x ) = k

1+x soit une densité de

probabilité sur [1 ; 2]

1/ f est continue et positive sur [0 ; 1]

∫0

1

1dx=[ x ]10=1

2/ f est continue et positive sur [1 ; 3]

∫1

312

dx=[x2]31=

32−

12=1

3/ f est continue et positive sur [0 ; + ∞[

limt→+∞

∫a

t

f (x )dx= limt→+∞

∫a

t

0,2e−0,2 x dx=limt→+∞

[−e−0,2x] y0= lim

t→+∞

(−e−0,2 t+1)=0+1=1

4/ 1/ f est continue et positive sur [0;1] si k > 0 et on doit avoir ∫1

2k

1+ xdx=1

Or ∫1

2k

1+ xdx=[k ln(1+ x)]2

1=kln3−kln2=kln

32

Donc k ln32=1 et k=

1

ln32

qui est bien positif

« I V »: Loi de probabilité de densité f sur l'intervalle I

1/ Définition

X est la variable aléatoire qui donne les valeurs de I

On appelle loi de probabilité sur I de densité f la probabilité définie de la manière suivante:

Pour tout intervalle J de I, p(J) est l'aire sous la courbe de la fonction f sur l' intervalle J.

Ainsi : pour tout intervalle [c ; d] de I, p ([c ; d] = p(X ∈ [c ; d]) = p (c ≤ X ≤ d) = ∫d

cdxxf )(


2/ Illustrations

Si I = [a ; b]

p([c ; d]) est l'aire sous la courbe coloriée

Si I = [a ; + ∞ [

p([c ; d]) est l'aire sous la courbe en vert foncé

D'après la définition de la densité de probabilité,

Si I = [a ; b]

P([a ; b]) = 1 , c'est l' aire du domaine teinté.

Si I = [a ; + ∞ [

p([a ; + ∞ [ ) = 1 , c'est l' aire du domaine teinté.

Si I = [a ; + ∞ [ alors pour tout c ≥ a :

p( [c ; + ∞ [ ) = p(X ∈ [c ; + ∞ [) = p( X ≥ c ) = limt→+∞

∫c

t

f (x )dx

Remarque : p( [c ; + ∞ [ ) = 1 – p([a ; c]

p([c ; + ∞ [) est l'aire coloriée en vert foncé Si I = R

L'aire totale sous la courbe est 1.

p(]-∞ ; c[) est colorié en vert

p ([c ; d]) est colorié en gris

p([d ; + ∞ [) est en blanc.

Si I = R alors pour c réel, p( ]-∞ ; c] ) = p(X ∈ ]-∞ ; c] ) = p( X ≤ c ) = limt→−∞

∫t

c

f ( x)dx

pour d réel, p( [d ; + ∞ [ ) = p(X ∈ [d ; + ∞ [) = p( X ≥ d ) = limt→+∞

∫c

t

f (x )dx

L'interprétation d'un probabilité comme une aire induit des propriétés évidentes. ( p(X > d) = 1 – p(x < d) )


Exercice 0 2 1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = x est une densité de probabilité sur [0 ; √2 ] 2/Déterminer alors p([0,5 : 1])

1/ est continue et positive sur [0 ; 2 ]. De plus ∫0

√2

x dx = [12

x2]√2

0= 1

2/ p ([0,5 ; 1]= ∫1

5,0.dxx = [

12

x2] √10,5

=12−

12

14=

12−

18=

38=0,375

Exercice 0 3

1/ Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur [0;1] par : f ( x ) = kx

1+x2 soit une densité de probabilité

sur [0 ; 1] 2/ Déterminer alors p([0,5 : 1])

1/ f est continue et positive sur [0;1]. On doit avoir ∫0

1kx

1+ x2 dx=1

Or ∫0

1kx

1+ x2 dx=[k2

ln (1+ x2)]1

0=

k2

ln(2)−k2

ln(1)=k2

ln (2) Donc k2

ln2=1 et k=2

ln2

2/ f (x )=kx

1+ x2 et p([0,5 : 1]) = ∫0,5

1kx

1+ x2 dx=[k2

ln (1+ x 2)] 1

0,5=

k2

ln(2)−k2

ln(54)=

k2

ln (85)

Mais k=2

ln2 donc p([0,5 : 1]) =

1ln2

ln(85)=

ln8−ln5ln2

≈0,678

Exercice 0 4 Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire continue X, en tonnes, qui prend

ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une densité de probabilité f définie par : f (x) = 0,015x – 0,00075 x2

1/ Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20].

2/ Calculer la probabilité de l'événement E "La production quotidienne est supérieure ou égale à 12 tonnes".

3/ Par définition, l'espérance de X vaut ∫0

20

xf (x )dx . Calculer l'espérance mathématique de X.

1/ f est une fonction trinôme du second degré avec a < 0 sa concavité est tournée vers le bas de plus, f(0) = 0 et f(20) = 0 donc sur [0 ; 20] f(x) ≥ 0 .

Elle est continue comme toute fonction polynôme.

∫0

20

f (x )dx=∫0

20

(0,015 x−0,00075 x2)dx=[0,0075 x2

−0,00025x3]20

0=1

La fonction f est donc une densité de probabilité sur [0 ; 20]

2/ On cherche p(X > 12) = p(12 < X < 20) = ∫12

20

0,015 x−0,00075 x2 dx=[0,0075 x2−0,00025 x3

]2012

= (0,0075× 20 2 – 0,00025× 20 3) - (0,0075× 12 2 – 0,00025× 12 3)

= 0,352

3/ E(X) = ∫0

20

xf (x )dx=∫0

20

(0,015 x2−0,00075 x3

)dx=[0,005 x3−0,0001875 x4

]200

=10


Exercice 0 5 1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 3e−3 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[2/ Calculer alors p ([1 ; 2]) 3/ Calculer alors p ([3 ; + ∞[)

1/ f est continue et positive su[0 ; + ∞[.

De plus limt →+∞

∫0

t

3 e−3x dx = limt →+∞

[−e−3x] t0

= limt →+∞

(−e−3t+ 1) = 1

2/ p ([1 ; 2]) = ∫1

2

3e−3x dx=[−e−3x]21

= - e -6 + e -3 = 1

e3−

1

e6=0,047

3/ p ([3 ; + ∞[) = limt →+∞

∫3

t

3 e−3x dx = limt →+∞

[−e−3x] t3

= limt →+∞

(−e−3t+ e−9

) = e - 9

Exercice 0 6

1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 110

e−110

x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[

2/ a) p est la loi de probabilité sur [0 ; + ∞[ de densité f. Déterminer p([ 1 ; 5]) et p ( 0 ≤ X ≤ 1 ). Donner la valeur exacte puis la valeur approchée à 10 -3 près3/ On note en minutes la durée X d'une conversation téléphonique. On suppose que X suit la loi de probabilité sur

[0 ; + ∞[ de densité f ( x ) = 110

e−110

x. Quelle est la probabilité que la conversation dure :

a) Plus de 10 minutes ? Donner la valeur exacte puis approchée à 10 3 prèsb) Entre 10 et 20 minutes ? Donner la valeur exacte puis approchée à 10 3 près

1/ f est continue et positive su[0 ; + ∞[. De plus limt →+∞

∫0

t110

e−110

xdx = lim

t →+∞

[−e−110

x] t0

= limt →+∞

(−e−110

x+ 1) = 1

2/ a) p([ 1 ; 5]) = ∫1

5110

e−110

x

dx = [−e−110

x

]51=−e

−12 + e

−110 ≈0,298

p ( 0 ≤ X ≤ 1 )= ∫0

1110

e−110

x

dx = [−e−110

x

]10=−e

−110 + 1≈0,095

3/ a) p ( X > 10 ) = 1 – p([0 ; 10]) = 1 - ∫0

10110

e−110

xdx = 1 - [−e

−110

x]10

0 = 1−−e−11=e−1 ≈ 0,368

b) p(10 < X < 20) = dxet

∫−20

10

10

1

10

1 = 21 −− − ee ≈ 0,233


Economy & Finance

01 lois-à-densité