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LOIS CONTINUES - EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Dans chacun des cas, dites si la fonction f définit une densité de probabilité

1) ( ) 4

3f xx

= si [ [1;x∈ +∞ ; ( ) 0f x = sinon 2) ( ) xf x xe−= si [ [0;x∈ +∞ ; ( ) 0f x = sinon

Exercice n°2. 1) Soit I l’intervalle [1 ;10] et fλ la fonction définie sur I par : ( ) 2f t tλ λ −= . Déterminer le réel λ pour lequel fλ est une densité de probabilité 2) Même question avec [ [1;I = +∞ Exercice n°3. Dans un parc national, un guide propose quotidiennement l’observation de chamois venant s’abreuver dans un lac au coucher du soleil. Le temps d’attente du groupe T, en heures, avant l’arrivée des animaux, suit une loi uniforme sur [0 ;1]. Calculer les probabilités suivantes : 1) ( )0,5p T > 2) ( )0, 2 0,6p T< < 3) ( )0,6p T = Exercice n°4. Une variable T soit une loi exponentielle de paramètre 0λ > 1) Trouvez le paramètre de cette loi sachant que ( )70 0,05p T ≤ =

2) Déduisez-en ( )30p T > Exercice n°5.

Le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine suit la loi exponentielle de paramètre 12

λ = .

1) Quelle est la probabilité que le temps de réparation excède deux heures ? 2) Quelle est la probabilité qu’une réparation prenne au moins dix heures, étant donné que sa durée a déjà dépassé neuf heures ? Exercice n°6. (sujet baccalauréat Antilles Guyane septembre 2006) Partie A – Restitution Organisée de Connaissances On suppose connu le résultat suivant : Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre

strictement positif λ alors, pour t réel positif, ( )0

t xp X t e dxλλ −≤ = ∫

* Démontrer l’égalité ( ) tp X t e λ−≥ =

* En déduire que pour s et t réels positifs, l’égalité suivante est vraie : ( ) ( ) ( )X tp X s t p X s> > + = >

(loi de durée sans vieillissement), ( ) ( )X tp X s t> > + désignant la probabilité de l’événement ( )X s t> + sachant que

( )X t> est réalisé. Partie B La durée d’attente exprimée en minutes à chaque caisse d’un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif λ 1) a) Déterminer une expression exacte de λ sachant que ( )10 0,7p T ≤ = On prendra pour la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur approchée de λ . b) Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle ( ) ( )10 15Tp T> >

c) Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes. On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près de la réponse 2) On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement 6 caisses sont ouvertes. On désigne par, Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes. a) Donner la nature et les élements caractéristiques de Y. b) Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes. Déterminer à 0,01 près la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.

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LOIS CONTINUES CORRECTION

Exercice n°1 1) La fonction f est continue et strictement positive sur [ [1;+∞ en tant que fraction rationnelle définie sur [ [1;+∞ .

De plus, pour tout réel x>1, ( ) 4 3 31 11

3 1 1 1x

x xf t dt dt

t t x = = − = − + ∫ ∫

Ainsi, ( ) 31

1lim lim 1 1x

x xf t dt

x→+∞ →+∞= − + =∫

La fonction f définit donc une densité de probabilité 2) La fonction f est continue et strictement positive sur [ [0;+∞ en tant que composée et produit de fonctions qui le sont.

De plus, pour tout réel x>0, ( )00 0

1x x xt t xf t dt te dt e e− − − = = − = − + ∫ ∫

Ainsi, ( )0

lim lim 1 1x x

x xf t dt e−

→+∞ →+∞= − + =∫ car

limlim 0

lim 0x x

u xu

xe

e→+∞ −

→+∞→−∞

− = −∞⇒ ==

La fonction f définit donc une densité de probabilité Exercice n°2 1) fλ est continue sur [1 ;10] en tant que produit de fonctions qui le sont. De plus fλ sera une densité de probabilité si

pour tout [ ]1;10t∈ , ( ) 20 0 0f t tλ λ λ−≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .

Enfin, il est nécessaire que : ( )10

11f t dtλ =∫ , soit :

( )10

10 10 10221 1 1

1

1 11 1 1 1

1 9 101 1 110 10 9

f t dt t dt dtt tλ λ λ λ

λ λ λ

− = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =

⇔ − + = ⇔ = ⇔ =

∫ ∫ ∫

Conclusion : fλ est une densité de probabilité si et seulement si 109

λ =

2) fλ est continue sur [ [1;+∞ en tant que produit de fonctions qui le sont. De plus fλ sera une densité de probabilité si

pour tout [ [1;t∈ +∞ , ( ) 20 0 0f t tλ λ λ−≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .

Enfin, il est nécessaire que : ( )1

lim 1x

xf t dtλ→+∞

=∫ .

Pour tout x>1

( ) 221 1 1

1

1 1 1 1x

x x xf t dt t dt dt

t t xλ λ λ λ λ− = = = − = − + ∫ ∫ ∫

Ainsi ( )1

1lim lim 1x

x xf t dt

xλ λ λ→+∞ →+∞

= − + = ∫ , et la condition ( )

1lim 1

x

xf t dtλ→+∞

=∫ est alors équivalente à 1λ =

Conclusion : fλ est une densité de probabilité si et seulement si 1λ = Exercice n°3 Notons p la loi de probabilité définie par la loi uniforme. On a alors : 1) ( ) ( ) [ ]( )0,5 1 0,5 1 0;0,5 1 0,5 0,5p T p T p> = − ≤ = − = − =

2) ( ) ] [( )0,2 0,6 0,2;0,6 0,6 0,2 0,4p T p< < = = − =

3) ( )0,6 0p T = =

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Exercice n°4 1) a) L’égalité ( )70 0,05p T ≤ = se traduit par :

( ) ( )

70 70 70

00

70

0,05 0,05 1 0,05

ln 0,950,95 70 ln 0,95

70

x xe dx e e

e

λ λ λ

λ

λ

λ λ

− − −

−

= ⇔ − = ⇔ − =

⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

∫

2) On calcule :

( ) ( ) ( )

( )( )

30

030 30 0 30 30

0

30 1 30 1 30 1

1 1 1 1

x

x

p T p T p T e dx

e e e e e

λ

λ λ λ λ λ

λ −

− − − × − −

> = − ≤ = − ≤ = −

= − − = − − − − = + − =

∫

En utilisant la valeur ( )ln 0,9570

λ = − , on obtient ( )( ) ( )ln 0,95 3ln 0,95

3070 730 0,978p T e e

− ×−> = = ≈ à 0,001 près

Exercice n°5 Notons T la variable aléatoire mesurant le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine.

Puisque T suit la loi exponentielle de paramètre 12

λ = , on a :

1) La probabilité que le temps de réparation excède deux heures est égale à :

( ) ( )122

0

21 1 12 0 12 2 2

0

12 1 2 12

11 1 1 1

x

x

p X p X e dx

e e e ee

−

− − × − × −

≥ = − ≤ = −

= − − = − − − − = + − =

∫

2) La probabilité qu’une réparation prenne au moins dix heures, étant donné que sa durée a déjà dépassé neuf heures est égale à :

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )9

10 9 1010

9 9X

p X X p Xp X

p X p X>

> ∩ > >> = =

> > car 10 9X X> ⇒ > .

Ainsi, ( )( )

110 1 102 10 10 9 12 20 2 2 21 1 99 92 2 2

0

1110 1 129 11 1 1

2

x

x

e dxp X e e e ep X e dx e e

−− × −

− + −

− − × −

−> + −= = = = =

>− + −

∫

∫

Exercice n°6 (sujet baccalauréat Antilles Guyane septembre 2006) Partie A – Restitution Organisée de Connaissances * Pour tout réel t, on a :

( ) ( )

( )( )0

0

0

1 1

1 1 1 1

t x

tx t t t

p X t p X t e dx

e e e e e

λ

λ λ λ λ λ

λ −

− − − × − −

≥ = − ≤ = −

= − − = − − − − = + − =

∫

* Pour s et t réels positifs, on a :

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )X t

p X s t X t p X s tp X s t

p X t p X t>

> + ∩ > > +> + = =

> > car X s t X t> + ⇒ > .

D’après ce qui précède, ( )( )

( )( ) ( )

s ts t t s

t p X sp X s t e e e

p X t e

λλ λ λ

λ

− +− + + −

− = >> +

= = =>

, donc

( ) ( ) ( )X tp X s t p X s> > + = >

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Partie B 1) a) L’égalité ( )10 0,7p T ≤ = se traduit par :

( ) ( )

10 10 10

00

10

0,7 0,7 1 0,7

ln 0,30,3 10 ln 0,3

10

x xe dx e e

e

λ λ λ

λ

λ

λ λ

− − −

−

= ⇔ − = ⇔ − =

⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

∫

On prendra pour la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur approchée de λ . b) On utilise la deuxième propriété de la partie A :

( ) ( ) ( ) 5 0,12 5 0,610

1015 10 5 5

t

TT t s

p T p T p T e e eλ− × − × −>

>

> = > + = > = = =

c) Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15

minutes est égale à ( ) ( ) ( ) ( ) 0,610 1015 1 15 1 0,45T Tp T p T e−> >≤ = − > = − ≈ à 0,01 près

2) a) On répète 6 fois de manière indépendante une épreuve de Bernouilli pouvant se solder par l’issue « la durée d’attente à une caisse est inférieure à 10 minutes », de probabilité ( )10 0,7p p T= ≤ = (donné par l’énoncé), ou par l’issue « la durée d’attente à une caisse est supérieure à 10 minutes », de probabilité 1-p=0,3 Si on note Y le nombre de caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes, Y suit la loi binomiale de

paramètre n=6 et p=0,7 , de sorte que pour tout entier k tel que 0 6k≤ ≤ , ( ) 660,7 0,3k kp Y k

k−

= =

b) La probabilité d’ouverture de nouvelles caisses est égale à ( )4p Y ≥ On calcule : ( ) ( ) ( ) ( )

2 4 1 5 0 6

4 4 5 6

6 6 60,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3

4 5 6

0,07 à 0,01 près

p Y p Y p Y p Y≥ = = + = + =

= + +

≈