Rayons cosmiques et l'accéleration

stochastique

Rebai Ahmed

23 janvier 2013

Résumé

La présence des rayons cosmiques sur la terre dont l'énergie est supé-

rieure au PeV pose encore des problèmes théoriques à la communauté des

astrophysiciens. Les di�cultés sont dues à l'explication des mécanismes

d'accélération de ces particules microscopiques. Devant l'insu�sance du

mecanisme d'accéleration classique des particules chargées, de nombreux

mécanismes ont surgis pour éxpliquer ce phénomène. L'accéleration Sto-

chastique , qui est l'un de ces mécanismes, reprèsente une approche per-

tinente du problème.

1 Introduction

Les rayons cosmiques reprèsentent des particules non-thermiques, ie généréspar un processus autre que le rayonnement de corps noirs, supposées chargées,dont les énergies observées s'étendent du MeV jusqu'à quelques 1020eV. La dé-tection dès 1962 d'un rayon cosmique d'énergie supérieure à 1020eV par JohnLinsley et ses collaborateurs a soulevé de multiples questions qui sont toujoursd'actualité. Si l'existence de rayons cosmiques à de telles énergies a été con�r-mée par d'autres expériences, ni les nombreux travaux théoriques, ni les quelquesdonnées expérimentales disponibles à ce jour, ne permettent de comprendre com-plètement l'origine et la nature de ce rayonnement hautement énergétique. laproduction de rayons cosmiques à des énergies supérieures à l'exa-électronvolt li-mite le champ possible des sources à l'origine de l'accélération de ces particules.Cette accélération fait appel essentiellement à deux mécanismes : l'accéléra-tion par un champ électrique stationnaire ou l'accélération statistique dans unplasma magnétisé.

2 Insu�sance de l'accélération via un champ élec-

trique stationnaire

Naturellement, le mécanisme favorisé pour accélérer une particule chargéeest le champ électrique. Pour accélérer une particule chargée, la force la plus

1

e�cace est celle de Lorentz ~F = q( ~E + ~v ∧ ~B). Cette accélération est due àla force électrique et non pas à celle magnétique car cette dernière ne travaillepas  : q.(~v∧ ~B)∧ ~v = 0. Toutefois, les zones magnétisées fournissent de l'énergieaux particules chargées via les variations temporelles du champ magnétique quigénèrent un champ électrique variable.

Les champs électriques durables ne se rencontrent que dans des environne-ments propices à leur stabilité tels que les étoiles à neutrons. Si on prend lecas des pulsars, qui sont des étoiles à neutrons en rotation, on trouve qu'unchamps électrique stationnaire intervient vraisemblablement dans son magnéto-sphère. Cependant, ce champs n'est pas favorisé en raison des pertes synchro-tons 1 importantes subies par les particules au cours du processus d'accélération.De plus, le spectre en énergie des particules ainsi générées n'est pas en loi depuissance, contrairement à celui du rayonnement cosmique. En e�et, pour ac-célérer des particules de nombre atomique Z jusqu'à des énergies de 1020eV ,les champs électrostatiques requis doivent correspondre à une di�érence de po-tentiel de 10

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Z Volts. Cependent, Peu d'objets astrophysiques à l'exception despulsars, présentent de tels champs. En e�et, pour une pulsation angulaire ty-pique de 70 rad/s, le champ magnétique ~B à la surface de l'étoile est de l'ordrede 109 Tesla. L'amplitude du champ électrique induit est alors donnée par :ε = W.L.B soit71014 V/m pour un rayon typique de pulsar de 10 km. L'énergiemaximale acquise par une particule de charge Ze dans un tel champ est doncEmax = Ze.Lε ' 1019eV pour un proton. Cependant, il faut tenir comptedes pertes énergétiques, principalement par émission synchrotron, subies lors del'accélération. Ainsi, une charge Q de masse m émet lors d'une acccélérationde nature relativiste, une puissance P négilgeable devant la puissance gagnéelorsque la taille requise pour accélerer les particules jusqu'à 1020est d'au moinségale à un parsec 2. Ce qui exclut les pulsar et les étoiles à neutrons. Ainsivoit-on que le mécanisme d'accélération via un champ stationnaire ne peut pasexpliquer la grande énergie de ces rayons cosmiques.

3 Accéleration stochastique :

Devant l'incapacité du mécanisme évoqué dans la première partie, plusieursétudes ont été faites pour expliquer le transfert d'énergie à ces particules chargés.Parmi ces études, on peut citer l'article de P.A. Sturrock sur ce type d'accélé-ration 3. On se propose dans cette partie de passer en révision les hypothèsesutilisés dans l'article original. On �nira par une résolution numérique d'uneéquation à dérivé partielle de type équation de chaleur.

1. les pertes sont dûes à l'émission que connaient les particules à cause de l'accéleration

relativiste

2. 1 parsec = 3,2616 années-lumière.

3. P.A. Sturrock : Stochastic acceleration - PHYSICAL REVIEW - Volume 144, numero

1- Janvier 1966

3.1 Cadre théorique :

Pour des raisons de simplicité, on considère le problème d'accélération desparticules chargées jusqu'à des énergies relativistes, c-à-d que l'énergie fournieà la particule est du même ordre de grandeur que l'énergie de la particule aurepos. D'autre part, le champ électromagnétique ( ~E, ~B) dans lequel baignent lesparticules est un champ aléatoire d'intensité faible 4. Sa composante magnétiqueest stationnaire et uniforme, par contre sa composante électrique est aléatoire.La variation aléatoire du champ électrique est faible pour qu'on puisse utili-ser un formalisme des fonctions de corrélation du second-ordre. On distingueral'étude du mouvement parallèle au champ magnétique et celui perpendiculaireà ce dernier. Nous nous contenterons d'étudier, dans ce qui, suit le mouvementparallèle. Finalement, un formalisme se basant sur sur la résilution de l'équationde Fokker-Planck est utilisé. On dé�nit f la fonction de distribution de l'ensembledes particules dans un espace de phase à 6 dimensions (x, y, z, vx, vy, vz).

3.2 Cas d'accéleration parrallèle au champ magnétique :

Dans ce cas, on s'intéressera à une fonction de distribution réduite expriméedans l'espace de phase des vitesses (vx, vy, vz). L'équation est donnée par laformule suivante

∂f

∂t= − ∂

∂v(A.f) +

1

2.∂2

∂v2(B.f)

avec

A =<4v

4t>;B =<

(4v)2

4t>

Le but du jeu maintenant est d'exprimer les coe�cients A et B en fonctiondes paramètres du problème. L'équation du mouvement s'exprime sur l'axe Ozcomme suit  :

d2z

dt2=

dv

dt=

q

m.Ez(z; t)

Dans l'approximation du champ faible, on peut utiliser un calcul perturbatif dela position z :

z = z0 + v0t+ ZI(t) + ZII(t) + ...

Tout calcul fait 5 on obtient :

B = 2π(q

m)2

∫dk.Szz(k, vk)

A =1

2π(

q

m)2

∂

∂v

∫dk.Szz(k, vk)

l'équation de Fokker-Planck dans le cas d'un mouvement parrallèle au champmagnétique s'ecrit :

∂f

∂t= − ∂

∂v(A.f) +

1

2.∂2

∂v2(B.f) =

∂

∂v(D(v).

∂f

∂v)

4. C'est l'approximation du champ faible

5. Pour plus de précisions, se référer à l'article de P.A. Sturrock

Figure 1 � E�et d'un champ électromagnétique stochastique sur une distribu-tion gaussienne normalisée d'électrons.

avec D(v) = π( qm )2

∫dk.Szz(k, vk) . Les bornes des integrales précedentes

étant−∞ et +∞.Il reste à mentionner que la puissance de l'équation de Fokker-Planck obtenu

réside dans la variation du terme D(v) = π( qm )2

∫dk.Szz(k, vk). En e�et, étu-

diant une distibustion d'électrons gaussienne et normalisée à une températureinitiale de100K et supposons que D(v) est constant. On aboutit à une équationsimpli�ée qu'on résout avec un chemin numérique et on trace la solution enbleu :

On voit bien l'étalement de la fonction de distribution dans l'espace desvitesse, ce qui veut dire l'accéleration des électrons. Cependant, la vitesse maxi-male obtenue est de 106 � 1020. On conclut l'importance des variations de D(v)dans la pertinence de ce mécanisme.

4 Conclusion

L'insu�sance de l'accéleration à champs électrostatique a donné lieu à l'ap-parition de plusieurs mécanismes approchant le mécanisme d'accéleration réelledes rayons cosmiques et qui est jusqu'à présent inconnu. L'accéleration sto-chastique, étant l'une des approches, traduisant l'accéleration dans un champsélectrique aléatoire, arrive à justi�é de telle très grandes énergies de ces rayons.En se donnant des hypothèses sur les champs, on est arrivé à l'équation de

Fokker-Planck donnant la fonction de distribution des vitesses.

Références

[1] P.A. Sturrock. Stochastic acceleration. Janvier 1966. PHYSICAL REVIEW.Numéro 1. Volume 144.

[2] Xavier GARRIDO. 2008. Étude de la composition des rayons cosmiquesd'ultra-hautes énergies détectés par l'Observatoire Pierre Auger et analysedes processus hadroniques associés. Thèse de Doctorat. Université de Nantes.