N5 : ProportionnalitéN5 : ProportionnalitéSérie 2 : ÉchellesSérie 2 : Échelles

Le cours avec les aides animéesLe cours avec les aides animées

Q1. Lorsqu’une représentation est à l’échelle,que peut-on dire des grandeurs réelles et desgrandeurs représentées ? Ces grandeurs sontproportionnelles.

Q2. Comment calcule-t-on une longueur sur unereprésentation à l’échelle à partir de la longueurréelle ? On la multiplie par l'échelle.

Les exercices d'applicationLes exercices d'application

1 Lorsqu’un plan est réalisé à l’échelle, il y aproportionnalité entre les dimensions sur le planet la réalité. Complète le tableau suivant :

Dimensions sur leplan (en cm)

1 5 12,5 30

Dimensionsréelles (en km) 4 20 50 120

2 Sur une carte routière, on trouve la légendesuivante:

a. Rédige une phrase pour expliquer cette

légende : 5 cm sur le plan correspondent à 25 km

dans la réalité.

b. Déduis-en la distance réelle qui sépare deux

villes distantes de 8 cm sur la carte : 1 cm

correspond à 5 km d'où 8 cm à 40 km

3 Sur une carte routière, on trouve la légendesuivante :

En mesurant la distance entre Lille et Paris sur

cette carte, on trouve 12 cm. Quelle est la

distance réelle ? 3 cm sur le plan correspondent à

62,5 km dans la réalité d'où 12 cm à 62,5×4=

250 km.

4 Complète les phrases suivantes :

a. 1 cm sur le plan correspond à 50 cm en réalité.

L’échelle du plan est donc : 1 / 50 .

b. 1 cm sur le plan correspond à 5 000 cm en

réalité. L’échelle du plan est donc : 1 /5 000 .

c. 1 cm sur le plan correspond à 1 km en réalité.

1 km = 100 000 cm. L’échelle du plan est donc :

1 / 100 000 .

5 Complète :

Échelle 1/2 000 Échelle 1/5 000

Plan Réalité Plan Réalité

1 cm ↔ 2 000 cm

1 cm ↔ 0,02 km

10 cm ↔ 0,2 km

900 cm ↔ 18 km

1 cm ↔ 0,05 km

300 cm ↔ 15 km

25 cm ↔ 1,25 km

1 mm ↔ 0,005 km

6 Sur une carte à l'échelle 1/200 000, ladistance entre deux villes est de 5,5 cm. Quelleest la distance réelle entre ces deux villes ?

5,5 × 200 000 cm = 1 100 000 cm = 11 km

7 Sur un plan de maison à l’échelle 1/100, lasalle à manger est représentée par un rectanglede 8 cm de long sur 6 cm de large. Quelles sontles dimensions réelles de cette pièce ?

800 cm = 8 m 600 cm = 6 m. La pièce mesure8 m sur 6 m.

8 On doit dessiner le plan de situation d'unepiscine rectangulaire de 8 m par 4 m à l'échelle1/50. Quelles sont les dimensions de la piscine surle plan ?

8 m =800 cm et 4 m = 400 cm

800/50 = 16 et 400/50 = 8

La piscine mesure 16 cm sur 8 cm sur le plan.

9 Calcule l’échelle de la carte

a. Sur une carte, la distance entre deux villes estde 5 cm. En réalité, elle est de 15 km.

Plan 5 cm 1 cm

Réalité 15 km 3 km

1 cm sur le plan représente 300 000 cm en réalité

donc l'échelle est de 1/300 000

b. Sur une carte où 2 cm représentent 800 m :

Plan 2 cm 1 cm

Réalité 800 m 400m

1 cm sur le plan représente 40 000 cm en réalité

donc l'échelle est de 1/40 000

c. Sur une carte où 0,5 cm représente 2 000 m :

Plan 0,5 cm 1 cm

Réalité 2 000 m 4 000 m

1 cm sur le plan représente 400 000 cm en réalité

donc l'échelle est de 1/400 000

25 km

62,5 km

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10 Sur le plan d'une maison, les portes sontreprésentées par un segment de 1,2 cm de long.En réalité, elles sont larges de 0,80 m. Quelle estl'échelle de ce plan ?

0,80 m =80 cm échelle = 1,2/80=3/200

11 Le plan ci-dessous représente le rez-de-chaussée d'un collège (à l'échelle 1/750) :

a. Quelles sont les dimensions réelles de cebâtiment ? 7,50 cm×750=5 625 cm =56,25 m

2,50 cm×750=1 875 cm =18,75 m

b. Quelles sont les dimensions réelles de la salle

des professeurs ? 1,5 cm/1 cm —>11,25 m/7,5 m

c. Quelles sont les dimensions réelles de la

cantine ? 2,5 cm/1,5 cm —>18,75 m/11,25 m

d. Quelles sont les dimensions réelles du préau ?

2,5 cm/2 cm —>18,75 m/15 m

12 Les maquettes d'avions sont généralementréalisées à l'échelle 1/48. Les ailes d'un AirbusA380 mesurent 79,8 m. Quelle est leur longueursur la maquette ? 79,8 m = 7980 cm ;7980/48=166,25 cm =1,6625 m

13 Cette carte au trésor est à l'échelle 1/5 000.

Quelle distance sépare :

a. le cocotier géant de la plage des pirates ?4,3 cm —> 215 m

b. la grotte du trésor ? 2,8 cm —> 140 m

c. la falaise de la plage des pirates ? 5,2 cm —>260 m

d. le trésor de la plage des pirates ? 3,5 cm —>175 m

14 Agrandissement

a. Un horloger doit réaliser le plan d'unmécanisme de montre à l'échelle 10/1. Quellesseront les dimensions sur le plan d'une pièce quimesure en réalité 1,2 cm ? 12 cm

b. Sur le même plan, cet horloger dessine leboîtier (rond) de la montre à l'aide d'un cercle de15 cm de rayon. Quelle est sa dimension dans laréalité ? 1,5 cm

c. J'ai fait agrandir une photo initialement sortieen « 10 par 15 » au format « 30 par 45 ». Quelleest l'échelle d'agrandissement ? 3/1 Par combienl’aire a-t-elle été multipliée ? 3×3 = 9

15 Micropolis

a. Une fourmi mesure en réalité environ 6 mm.Quelle serait sa taille sur un schéma à l'échelle4/1 ? 24 mm

b. L'iris de notre œil peut être vu comme uncercle d'environ 8 mm de diamètre. Quelle seraitsa taille si on le représentait à l'échelle 8/1 ?64 mm

c. Sur un schéma du cœur à l'échelle 3, lediamètre de l'aorte est de 7,5 cm. Quel est sondiamètre réel ? 7,5/3 = 2,5 cm

Pour chercherPour chercher 16 Quelle est la hauteur d'une reproduction àl'échelle 1/150 de la Tour Eiffel (324 m avecantenne dans la réalité) ? 324/150 = 2,16 m

17 Un porte-avions a une piste d'environ260 m. Quelle sera la longueur de cette piste surune maquette réalisée à l'échelle 1/2 000 ?260 m= 26 000 cm; 26 000/2 000 = 13 cm

18 La Galerie des Glaces au château deVersailles est un immense parallélépipèderectangle dont les dimensions sont les suivantes :

longueur : 73 m :36,5 cm

largeur : 10,50 m :5,25 cm

hauteur : 12,30 m : 6,15 cm

Quelles seraient les dimensions d'une maquettede cette galerie réalisée à l'échelle 1/200 ?

19 Réalise à l'échelle 1/80 le plan d'un balconrectangulaire de longueur 5 m et de largeur 3 m.Rectangle :6,25 cm/3,75 cm

Calcule (en cm²) l’aire réelle du balcon 15 m² etcelle de sa représentation : 23,4375 cm². L’aireréelle du balcon est-elle 80 fois plus grande quecelle de ta représentation ? Non ! 6 400 fois plusgrande!

20 Réalise à l'échelle 1/10 le patron d'un cubede 50 cm 5 cm de côté puis construis-le.

Calcule (en cm3) le volume du cube initial125 000 cm3 puis celui du cube réduit 125 cm3 .Par quel nombre faut-il multiplier le volume réduitpour retrouver celui du cube initial ? 1 000

Préau

Salle desprofs

Administration Cantine

Cuisine DépôtToilettes Escaliers

Trésor

Falaise

Grotte

Cocotier géant

Plage des pirates