ÉPISTÉMÉ 1999-2004

Mercredi 03 Février 2010 11h00 Salle Bouguer "Invitation à revisiter les calendriers mésoaméricains"

Les séminaires du LAB

par André Cauty

professeur (bordeaux1) ethnolinguiste (CNRS)

mais d’autresNON

certains balayages énumèrent tous les couples sans oubli ni répétition

énumérer en diagonale le produit de deux cycles non premiers entre eux induit sa partition en sous-cycles

Cycle 0 :

(ax, by, cz, dx, ey, fz)

a b c d e f

x y z x y z

Cycle 1 :

(ay, bz, cx, dy, ez, fx)

a b c d e f

y z x y z x

Cycle 2 :

(az, bx, cy, dz, ex, fy)

a b c d e f

z x y z x y

a b c d e f

x ax bx cx dx ex fx

y ay by cy dy ey fy

z az bz cz dz ez fz

soient C1 et C2 deux cycles non premiers entre eux, M leur pgcd et N leur ppcm :

lemme l’énumération ‘en diagonale’ partitionne le produit C1 x C2 en M classes disjointes i de chacune N couples

théorème la différence des rangs des constituants d’un couple du produit C1 x C2 est la même pour tous les couples d’un sous-cycle

définition

la différence caractéristique des couples d’un sous-cycle i est la signature de ce

sous-cycle i

sous-cycle 0 :

(ax, by, cz, dx, ey, fz)

a b c d e f

x y z x y z

sous-cycle 1 :

(ay, bz, cx, dy, ez, fx)

a b c d e f

y z x y z x

sous-cycle 2 :

(az, bx, cy, dz, ex, fy)

a b c d e f

z x y z x y

caractères du produit tzolkin x ha’ab

1) 260 et 365 ne sont pas premiers entre euxM = pgcd(260, 365) = 5 ; N = ppcm(260, 365) = 18 980 ; M x N = 94 900

2) les couples (X, Y) se suivent dans l’ordre induit par l’énumération ‘diagonale’ :s(X, Y) = [s(X), s(Y)] ; (4 Ahau, 8 Cumku) + 1 = (5 Imix, 9 Cumku)

d’après le lemme, les 94 900 couples du produit tzolkin x ha’ab sont répartis en 5 sous-cycles i disjoints, chacun de 18 980 couples

depuis des siècles, des milliers de vérifications des équations* posées par les mayas disent que

toutes les dates CR mayas du Classique

sont dans un seul et même sous-cycle 0

du produit tzolkin x ha’ab

* les plus communes sont de la forme X Y + ci Pi) = ’X’ ’Y’

oui, mais lequel des cinq ?

nécessité d’un critèrecertains documents peuvent être illisibles ou erronés

9.11.12.9.0.

1 Ahau 8 Cumku ?

sous Cumkuon compteles katun

le théorème de la signature permet d’identifier et définir le CR comme le sous-cycle 0 du produit tzolkin x ha’ab qui contient la date origine de la chronologie maya

critère une expression (X, Y) est une date maya classique ssi elle a la même signature que l’origine 4 Ahau 8 Cumku

le premier jour du premier mois de l’année contenant le jour origine 4 Ahau 8 Cumku est le jour 7 Eb 0 Pop par suite 0 est aussi le sous-cycle de 7 Eb 0 Pop

et d’une définition du CR maya

applications du critère

la représentation suivante du CR indique la date 13 Ahau 18 Cumku

le calcul établit que 13 Ahau 18 Cumku et 4 Ahau 8 Cumku ont la même signature

Sabloff, Jeremy A., 1994, The new archaeology and the ancient Maya, New York, Scientific American Library, p. 35

Tena, R., 2000, ‘El Calendario mesoamericano’, Arqueología mexicana, Vol. VII, n° 41, Mexico, p. 9

ces deux représentations

*1 Imix 1 Pop

donnent des dates dont la signature n’est pas égale à celle du couple origine :

*9 Ahau 19 Cumku

*13 Kan 3 Uayeb

comme dans la reconstruction des dates de l’année vague solaire aztèque de durán, les exemples précédents montrent que les spécialistes d’aujourd’hui construisent parfois des dates impossibles (*1 Imix 1 Pop, *13 Kan 3 Uayeb, 9 Ahau 19 Cumku) au regard de l’immense corpus des dates mayas attestées à l’époque classique

accepter les dates non orthodoxes dites impossibles revient à contredire la thèse bien établie que le CR compte 18 980 dates

on appelle règle d’orthodoxie de la chronologie maya toute condition NS (nécessaire et suffisante) pour qu’un couple X Y appartienne au même sous-cycle 0 que la date origine 4 Ahau 8 Cumku et toutes les dates mayas de l’époque classique

ROCm

X Y est une date maya classique ssi ses constituants X et vérifient

P0 Ik Manik Eb Caban 0 5 10 15

P1 Akbal Lamat Ben Edznab 1 6 11 16

P2 Kan Muluc Hix Cauac 2 7 12 17

P3 Chicchan Oc Men Ahau 3 8 13 18

P4 Cimi Chuen Cib Imix 4 9 14 19

la ROCm sous forme de tableaude contraintes de cooccurrence

sont orthodoxes les dates où X = Imix et les dates où = 1 de formule : Imix 4/9/14/19 Y (Pop) et Edznab/Akbal/Lamat/Ben 1 Y (Pop)

*1 Imix 1 Pop n’est pas une date maya orthodoxe car X = Imix {4, 9, 14, 19} = 1 X {Akbal, Lamat, Ben, Edznab}

cet exemple montre le facteur qui détermine la valeur de la signature des dates orthodoxes ou le sous-cycles i correspondant au CR historique

ce facteur est la position respective des roues d’engrenage au moment de les embrayer l’une sur l’autre (par exemple les positions 4 Ahau pour le tzolkin et 8 Cumku pour le ha’ab) et de lancer la suite (ordre ‘en diagonale’) immuable (pour un temps) des dates complexes

l’appartenance au sous-cycle 0 qui définit le CR maya de l’époque classique dépend de 3 facteurs :

divisibilité par 5 des durées (260, 365) des cycles facteurs tzolkin et ha’ab

type ‘diagonale’ de l’habitus qui induit l’ordre des couples de tzolkin x ha’ab

position initiale des cycles tzolkin x ha’ab

chez les mayas du classique et chez les aztèques, les dates complexes sont de structure différente :

forme maya X Y des dates CR

forme aztèque X XP

la forme aztèque donne deux dates tonalpohualli : celle du jour désigné et celle de l’éponyme de l’année à laquelle ce jour appartient

un théorème, une loi simple de succession des jours de l’année vague solaire, le phénomène des porteurs, la roue des éponymes…

conséquences de la ROCm

théorème quel que soit l’entier p, la date almanach du pème jour du ha’ab est de la forme XP où décrit le cycle (1, 2, …, 13) et XP un cycle de 4 noms de jour

par exemple :

au classique maya, le 1er jour du 1er mois de l’année ha’ab, le jour daté 0 Pop, tombe régulièrement un jour almanach Ik, Manik, Eb ou Caban

le nouvel an maya tombe toujours sur les mêmes 13 x 4 = 52 dates tzolkin de la forme (Ik, Manik, Eb, Caban)

de même pour le 1er jour des dix-neuf périodes Y de l’année de date 0 Yon pose P0 = { Ik, Manik, Eb, Caban }

définition les entités associées aux signes tzolkin des 4 jours Ik, Manik, Eb ou Caban eux-mêmes liés au nouvel an 0 Pop sont les porteurs P0 de l’année maya du classique

ces 4 porteurs correspondent au 1er jour du 1er mois, de date ha’ab 0 Pop, et de rang = 0 1 = 0

remarque quand le jour choisi n’est pas le 1er du 1er mois, il n’est pas dit porteur mais éponyme de l’année

loi simple de succession des Porteurs comme 365 = 1 (modulo 13) et que 365 = 5 (modulo 20), les dates tzolkin du jour Y = 0 Pop se suivent an après an selon la « loi de succession des porteurs »

s(XP0) = (+ 1)mod 13 (XP0 + 5)mod 20 s(XP0) = ( + 1)mod 13 (XP0 + 1)mod 4

les 52 dates tzolkin XP0 des 0 Pop mayas sont : 1 Ik, 2 Manik, 3 Eb, 4 Caban, 5 Ik, …, 13 Caban

.

EbEbEbEbEbEbEbEbEbEbEbEbEb BenBenBenBenBenBenBenBenBenBenBenBenBen

CabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCaban

EdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznab

Dresde page. 25/54 page 26/55

Ik Manik

Akbal Lamat

p. 25/54 p. 26/55

p. 25/54 25/54

porteurs P0 et P1 dans le codex de dresdeIk Manik Eb Caban Akbal Lamat Ben Edznab

10 Cauac

1 Cauac

5 Cauac

9 Cauac

13 Cauac

4 Cauac

8 Cauac

12 Cauac

3 Cauac

7 Cauac

11 Cauac

2 Cauac

6 Cauac

11 Kan

2 Kan

6 Kan

10 Kan

1 Kan

5 Kan

9 Kan

13 Kan

4 Kan

8 Kan

12 Kan

3 Kan

7 Kan

12 Muluc

3 Muluc

*7 Muluc

*11 Muluc

*2 Muluc

*6 Muluc

*10 Muluc

*1 Muluc

*5 Muluc

*9 Muluc

*13 Muluc

*4 Muluc

*8 Muluc

13 Hix

4 Hix

8 Hix

12 Hix

3 Hix

7 Hix

11 Hix

2 Hix

6 Hix

10 Hix

1 Hix

5 Hix

9 Hix madrid p. 34 p. 35 p. 36 p. 37

porteurs P2 dans le madridCauac Kan Muluc Hix

n’importe quel jour Y de rang dans l’année ha’ab est associé à 52 dates tzolkin X chacune revenant d’année en année selon la même loi

s(X[Y]) = (+1)(X[Y]+5)

chaque jour de l’année (le 1er jour du 1er mois, le ème du yème mois) est lié à un jeu unique de 52 dates X ordonnés par la loi de succession des porteurs

remarque le système se grippe si les jours du résidu n’étaient plus/pas régulièrement datés ou si le résidu comptait un 6ème jour tous les 4 anschez les mayas du classique, si y désigne le rang du mois Y dans le ha’ab, alors pour un scribe et en numération parlée protractive = y

plus généralement…

roue des éponymes fixer un jour particulier de l’année* permet de distinguer et nommer les 52 années du CR ou du siècle aztèqueil suffit pour cela d’étiqueter les années par la suite ordonnée des 52 dates almanach Xque ce jour prend au fil des annéespar exemple quand le jour choisi est le 1er du 1er mois, son signe X est le porteur de l’année

* se donner par exemple son rang ou sa date ‘année vague’ Y

quand le jour choisi n’est pas le 1er du 1er mois, il n’est pas dit porteur mais éponyme de l’année

Comme pour le porteur, choisir un éponyme revient à se donner le moyen de distinguer, définir et noter les 52 années ha’ab du CR maya ou les 52 années xihuitl du siècle aztèque

Comme dans le cas des porteurs, les années sont désignées par la date almanach X[Y] du jour Y) choisi pour éponyme

chez les mayas du classique c’est le 1er du 1er mois, de date ha’ab 0 Pop, et de rang = 0 1 = 0

exemples aztèques

la date almanach du pème jour du xihuitl parcourt un cycle de 52 dates XP

fig. : cycle des dates aXP du 1er jour des 19 périodes au cours des 52 années successives d’un siècle aztèque

borbonicus p. 19/21

exemple aztèque de 26 années successives notées X

variant de 1 à 13 et X dans la liste de ‘porteurs’Tochtli, Acatl, Tecpatl,Calli la suite va de l’an 1 Tochtli à 13 Acatl

et les 26 ans successifs suivants allant de 1 Tecpatl à 13 Callile tout est un xiuhtlalpilli de 52 années vagues xihuitl

borbonicus p. 20/22

roue des 4 x 13 éponymes X

expliquée dans le codex durán

les dates X des 52 ans du

xiuhtlalpilli sont placées en ‘spirale’ et liées à 4 couleurs : 1 Acatl 2 Tecpatl 3 Calli 4 Tochtli 5 Acatl 6 Tecpatl 7 Calli 8 Tochtli, etc. 12 Calli

13 Tochtli

s(X) = s()s(X) = [(+1), (X+5)] = [(+1),

(X+1)]

durán

1 Acatl 2 Tecpatl 3 Calli 4 Tochtli5 Acatl 6 Tecpatl7 Calli 8 Tochtli

les aztèques distinguaient les années par un jour éponyme et chacune était désignée par la date tonalpohualli X de l’éponyme convenu

le système fournit 52 étiquettes et permet de distinguer les 52 années d’un siècle aztèque

les étiquettes sont invariablement ordonnées et suivent la loi de succession des porteurs

conclusion…

* de deux choses l’une : ou les ans ont 365 jours, ou le 366ème jour des années bissextiles ne reçoit pas de nom X (le 365ème dure 48 heures)

mais le système aztèque cache un non-dit* : la relation, pour un jour éponyme donné, entre :

a) sa date tonalpohualli X,

b) son rang dans le xihuitl

c) sa date année vague Y

*contrairement au système maya de l’époque classique où la donnée d’une date CR quelconque permet de calculer le rang et par là de calculer la date tzolkin X du jour 0 Pop (ou de n’importe quel jour Y) porteur de l’année, la difficulté provient de la diversité et de l’opacité (à l’époque coloniale) des conventions fixant : l’éponyme (1er jour du premier mois ?), la durée (5/6 j) et la position de Nemontemi, le 1er mois de l’année vague solaire…

annexe

exemple d’énumération sans doute erronée

plus grands que 13, les entiers ne peuvent pas être comme ci-dessus les constituants de dates X : l’auteur énumère les cases du tableau des 20 signes X de jour en faisant sans doute 3 erreurs.

pas d’erreursdans la treizaine :

codex durán

on énumère de 1 à 13 des dates X

mais erreurs (?) dans la vingtaine ;les énumérations commencent à 1

chiffres ci de style point/barre

plus zéro cardinal de position

1 2 3 4

5

10

15

0

stèle C de Tres Zapotes3 Septembre 32 avant J.-C.

dès le 1er siècle avant J.-C, les Olmèques et certains de leurs voisins* gravaient des nombres à 5 chiffres significatifs donnant des durées en unités vigésimalessouvent suivies d’une date Xfaute de mieux, les spécialistes lisent ces anciennes inscriptions selon la grille maya du classique

7.16.6.16.18. [6 Edznab]

Compte long ci sans période ni zéro

* mayas, mais pas les zapotèques ni, plus tard, les aztèques

7.16.3.2.13.

08/12/-35 chiapa de corzo

7.19.15.7.12.

04/03/37

el baúl

8.4.5.17.11.

05/06/126

takalik abaj

8.6.2.4.17.

22/02/162

tuxtla

Compte long ci x Pi   ‘ronds’ avec périodes marquées et sans zéro

au 2e siècle, les mayas innovent en commençant à utiliser des glyphes de périodes dans l’écriture des durées ‘rondes’ comme 8-baktun 4-katun qui sous-entend les comptes nuls de tun, uinal et kin

[8-] baktun 4-katun [1 Ahau 8 Pop]Dumbarton Oaks (16/07/120 ap. J.-C.)

8-baktun

12-katun

14-tun

8-uinal

15-kin

stèle 29 de Tikal, [13 Men 3 Zip] 8 juillet 292

au 3e siècle, les mayas écrivent toutes les périodes

Compte long ci x Pi avec toutes les périodes et sans zéro

le zéro cardinal de position comme coefficient d’une période est attesté pour la première fois par les stèles 18 et 19 de Uaxactún (Petén, Guatemala) 8-baktun 16-katun 0-tun 0-uinal 0-kin (3 Ahau 8 Kankin; 03/02/357) et dans les codex

Compte long ci (Pi ) avec zéro

au 4e siècle, les mayas ont inventé leurs zéros

pas de comptes longs aztèques

archéologues et épigraphistes n’ont trouvé aucun Compte long aztèque pour certains spécialistes la capacité générative 160 000 de la numération écrite aztèque interdit d’écrire les CL. par ex. le CL 11.14.19.12.19.* qui correspond dans le cadre des hypothèses les plus généralement admises à la date de l’entrée de cortés à mexico-tenochtitlán (08/11/1519 julien)

* 1 691 899 en décimale

dès le 4ème siècle les mayas solidarisent les 2 cycles calendaires disponibles

tzolkin C1 des 260 jours datés X

ha’ab C2 des 365 jours datés Y

et traduisent les composés (X, Y) obtenus en dates Compte long (ci) et vice versa

ci) (X, Y)

couplage et redondance : le calendrier dit Calendar Round

sous Cumku, les katun  sont comptés

9.1.0.0.0. 6 Ahau 13 Yaxkin  

un Compte long maya comprend

1.- un glyphe introducteur de série initiale précisant sous quel patron de mois sont comptées les durées 2.- le nombre de jours écoulés depuis l’origine de la chronologie maya (nombre exprimé en périodes vigésimales) 3.- la date tzolkin du jour désigné (4 Ahau) 4.- la date ha’ab du jour désigné (8 Cumku)

souvent complété par une série secondaire ou lunaire

28 Août 456

compte long = 9-baktun 16-katun 10-tun 0-uinal 0-kin date tzolkin X = 1 Ahaudate ha’ab Y = 3 Zip

1 Ahau3 Zip

9.16.10.0.0.quirigua (guatemala)17 mars 761

liaison maya de tzolkin, ha’ab et CL

tzolkin

ha’ab

CL

{ [ci(Pi)] ; X ; Y } et { [ci(Pi)] ; X ; Ahau*}

* notation ‘Fin de katun ou de période’

à force d’être traduits en CL (ci) les composés (X, Y) obtenus deviennent les dates d’un autre calendrier le Calendrier Rituel de 18 980 jours

et les couples de dates (CL, CR) fonctionnent comme les couples redondants (mot, clef) des codes détecteurs/correcteurs d’erreurs

la redondance fondamentale identifie dates CL et CR mais les mayas ont introduit avec plus ou moins de bonheur une forêt d’autres cycles (seigneurs de la nuit, lunaisons, phases de vénus, etc.)

la rigueur de la liaison précédente a rendu

possible le comput précis au jour près

les textes mayas fourmillent d’équations temporelles*

inconnues chez les aztèques *les plus simples sont de la forme X + n kin = ’X’

attestées par les almanachs…

les plus communes sont de la forme

X Y + ci Pi) = ’ X’ ’Y ’

Sous Yax, on compte les katun : 9-baktun 13-katun 17-tun 12-uinal 10-kin,le 8 Oc 13 Yax […] ; 1-tun 1-uinal 17-jours avant, le 1 Ben 1 Ch’en […] ;

2-katun 3-tun 5-uinal 10-jours plus tard, le 11 Ahau 8 Tzec […] ; 12-tun 0-uinal 0-jours plus tard, le 2 Ahau 8 Uo […] ;

7-tun 0-uinal 0-jours plus tard, le 13 Ahau 18 Cumku Fin du Katun 13

rien de tel chez les aztèques

sortes de BD qui notent, année par

année, les événements

ci-contre ce qui advint les années

3 Tecpatl, 4 Calli, 5 Tochtli, 6 Acatl 

‘Chimalmaxochitl et son père Huitzilihuitl furent capturés et amenés devant Coxcoxtli roi de Cohuacan…’

codex boturini ‘tira de la peregrinación’ p. 20 dessin et traduction de Karl Young

les chroniques aztèques sont des

faute des liaisons numériques marquées par les équations temporelles des mayas, les liens qui maintiennent en phase les cycles calendaires aztèques sont opaques et se dérèglent

en tout cas les nahualistes sont aujourd’hui contraints d’imaginer des liaisons ad hoc pour reconstruire tel ou tel cycle calendaire

soit par exemple le calendrier aztèque de l’an 2000 proposé par R. Tena dans Calendarios Prehispánicos

année et CR vus du côté des aztèques

a) l’année débute par le mois Atlcahualo

b) ses 20 j. sont datés X de 13 Quiahuitl à 6 Tecpatl

c) et sont numérotés de 1° à 20°

d) d’où des dates Y de 1 Atlcahualo à 20 Atlcahualo

e) l’année finit par Nemontemi

f) qui compte 5 joursg) l’éponyme XP est le

jour 1 Tecpatl h) c’est le 20ème jour du

4ème moisi) il tombe le 15 mai

2000, par suitej) l’an 1 Tecpatl débute

le 26/02/2000

principales hypothèses adoptées par R. Tena

incertitude sur les ans 2001-2051

la grande roue dentée du schéma de Tena représente un xihuitl - l’un des 52 du siècle aztèque - le xihuitl censé traduire l’an 2000 de monsieur tout-le-monde dans le calendrier aztèqueTena ne dit pas ce qu’il convient de faire pour bâtir la suite des simulations pour l’an 2001 puis 2002… faut-il changer de roue dentée tous les ans* ou imaginer une roue portant comme un livre des chroniques les 52 xihuitl (= 18 980 dates X) du xiuhtlalpilli ou les 18993 dates X du siècle ‘véritable’

chacune possède ses propres éponyme et nouvel an – 1er jour de la 1ère période -

Merci pour votre présence

vous pouvez me joindre à l’adresse……. cauty@cenbg.in2p3.fr