Des jeux pour vulgariser les mathématiques - Guillaume Reuillé

Des jeux pour vulgariser les mathématiques

Il s’agit d’une étude de cas.

Exemple des ateliers de jeux mathématiques proposés au palais de la découverte (dont

on reconnaît les décimales de la salle pi en arrière plan).

Maths et jeux : Maths et jeux :

un lien naturelun lien naturel

Mathématiques et jeux

The Royal Game of Ur

British Museum, -2500

Ce jeu a été retrouvé dans l’antique cité d’Ur, en Mésopotamie, au sud de l’Irak.

Une tablette cunéiforme beaucoup plus récente (-177) a été retrouvée, qui nous

en explique les règles.

Reproduction moderne des dés utilisés dans le jeu d’Ur

Ce jeu, où la symétrie semble jouer un rôle important (cf. la composition des

dessins sur le plateau) utilise des dés…tétraédriques noirs, dont 2 sommets sur 4

sont colorés en blanc.

Ces tétraèdres sont réguliers. Le résultat du lancer correspond au nombre de

sommets blancs en haut (non collés à la table). Chaque dé a donc une chance

sur deux d’apporter un point contre une chance sur deux de ne pas en apporter.

Autrement dit, lancer un tel dé équivaut à lancer une pièce de monnaie…

Tous les polyèdres réguliers donnent des dés équitables

Depuis des millénaires, la fabrication de dés a poussé différentes civilisations a

cherché des volumes « symétriques », la contrainte étant que chaque face du

volume en question est la même « chance » d’apparaître.

Les premiers dés (préhistoriques) n’étaient pas cubiques : c’étaient des os de

cheville de mouton à 4 faces qui n’étaient pas particulièrement « équitables »…

Mais le cube est rapidement devenu la forme la plus classique des dés

(probablement à cause de la simplicité de sa fabrication). On a par exemple

retrouvé des dés cubiques d’origine étrusque à Rome datant de -900, construits

comme les dés modernes : la somme des chiffres positionnés sur deux faces

opposées vaut 7.

Puis, vers -500, sont apparus des dés dodécaédriques (peut-être inspirés par les

cristaux de pyrite). Des exemplaires étrusco-romains ont été retrouvés à

Bologne.

�Le lien entre les jeux et les mathématiques n’est pas artificiel, bien au

contraire…

�Quand on joue, ou quand on invente un jeu, on peut être amené

naturellement à se poser des questions d’ordre mathématique.

Une longue tradition de Une longue tradition de «« rréécrcrééations ations

mathmathéématiquesmatiques »»

Jeux mathématiques

Énigmes

Casse-tête

Mathématiques récréatives

Récréations mathématiques

Puzzles

Problèmes

Jeux de réflexion

Théorie des jeux

A l’intersection des mathématiques et des jeux

•Il existe de nombreux liens naturels et profonds entre le domaine des mathématiques

et celui des jeux.

•L’intersection entre ces deux domaines est protéiforme : elle prend des noms et des

formes différents.

•Une de nos missions est de donner à voir toute l’étendue de la culture mathématique,

et les jeux en sont un aspect important.

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) : Problèmes plaisants et délectables

qui se font par les nombres

Édouard Lucas (1842-1891) : Récréations mathématiques

Henry Ernest Dudeney (1857-1930) : Amusements in Mathematics

Sam Loyd (1841-1911) : Mathematical Puzzles of Sam Loyd

Martin Gardner (1914-2010) : rubrique Mathematical Games du Scientific American

John Horton Conway (1937-?) : On numbers and games

•Il y a une longue tradition de mathématiciens, de ludologues ou de vulgarisateurs qui

mêlent mathématiques et jeux.

•Cela ne s’est d’ailleurs pas toujours fait de manière nécessairement consciente

(l’objectif de Méziriac est-il de vulgariser les mathématiques ?).

•Les ateliers du palais de la découverte s’inscrivent dans cette tradition.

Quels jeux Quels jeux

pour quels publics ?pour quels publics ?

Offre pour les scolaires

Dessine-moi une maison

Le problème des 7 ponts de Königsberg

Les triangles magiques

1

6

5

3

2

4

Les cylindres colorés

Offre pour les scolaires…

… et le « grand public »

Quelles sont les différences entre une séance de « récréations mathématiques » avec le

public ou une demi-classe ?

Je n’en sais rien…

En tout cas, les jeux sont les mêmes !

Pourquoi ?Pourquoi ?

Qu’est-ce qu’un « bon » jeu ?• Consignes très simples

• Ne nécessite pas de connaissances mathématiques préalables

• Privilégie la manipulation directe

L’utilisation du jeu permet de proposer une activité :

•interactive,

•accessible,

•immédiate,

•qui donne envie,

•qui « désinhibe »

•qui procure du plaisir,

•qui est attractive,

•qui ne fait pas peur.

Le jeu que l’on propose doit être choisi pour ne pas entraver ces différents avantages.

•On ne comprend les maths qu’en en faisant, même d’une façon modeste.

•Il n’est pas rare de voir des visiteurs qui ne se connaissent pas réfléchir ensemble sur le

même jeu, se partager le travail d’exploration, etc.

• Le jeu est une activité qui permet de créer du lien social, et notamment des

échanges intergénérationnels.

• D’autant plus facilement que le jeu est accessible.

• Cette capacité est favorisée par la proposition de plusieurs « niveaux » de jeu (3x3

puis 4x4 et enfin 5x5 pour les cylindres colorés, par exemple).

• C’est le principe même du jeu qui permet cette souplesse.



• Permet de développer une démarche de recherche


Le fait d’avoir des consignes simples permet aussi de laisser une plus grande souplesse

et marge de manœuvre dans la recherche et l’exploration des jeux.

Cela rend le joueur plus facilement autonome.

Un mode de raisonnement

Le problème des 7 ponts de Königsberg

Un de nos objectifs est d’initier à un mode de raisonnement : celui des

mathématiques.

Par exemple, il s’agit de faire comprendre ce qu’est la modélisation et en quoi

l’abstraction permet de simplifier un problème.

ACBBACCBA

BCACABABC

Méthode d’Euler sur le 3x3

C’est moins la solution du problème qui nous intéresse que la démarche qui permet de

l’obtenir.

Parce que les mathématiques ne sont pas que des formules à retenir ou des méthodes à

appliquer, mais aussi des «stratégies de recherche » qui peuvent s’acquérir.

En quelque sorte, le jeu et sa résolution ne sont ici qu’un prétexte : ce qui compte c’est

le chemin emprunté pour y arriver.

D’ailleurs, une fois la mathématisation du jeu terminée, le jeu n’a plus aucun intérêt…





• Propice à l’explorationmathématique

« on ne le dira jamais assez : la première qualité d’un

mathématicien, c’est de savoir se poser les questions avant de chercher à les résoudre »

Laisser émerger les questions

Citation d’un auteur inconnu, trouvée dans un article de Claude Villers.

Explorer un problème

• Y a-t-il une solution ?

• Y en a-t-il une meilleure ?

• Combien y a-t-il de solutions ?

• Quels sont les paramètres du problème ?

• C’est suffisant, est-ce nécessaire ?

• Et si on modifiait un des paramètres ?

Démarche de recherche active avec des élèves ?

« L’objectif de ce programme est de former les élèves à la démarche scientifique sous toutes ses formes pour les rendre capables de :

-Modéliser et s’engager dans une activité de recherche;

-Conduire un raisonnement, une démonstration;

-Pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique;

-Faire une analyse critique d’un résultat, d’une démarche;

(.) Dans la mesure du possible, les problèmes posés (.) doivent pouvoir s’exprimer de façon simple et concise et laisser dans leur résolution une place à l’autonomie et àl’initiative des élèves »

Texte officiel programme de seconde

•La pratique de la démarche de recherche, rendue possible par la proposition de jeux

pertinents est plus qu’une activité souhaitable pour les élèves : elle est explicitement

préconisée par les programmes.

•Elle a en effet de nombreuses vertus, et d’abord celle de rapprocher (un peu) les

mathématiques scolaires de la pratique réelle des mathématiques par des

mathématiciens professionnels.

•Elle a aussi pour intérêt de « rassurer » les élèves, de leur donner confiance en soi en

leur montrant qu’ils peuvent venir à bout de problèmes qu’ils estiment de prime abord

difficiles, en mettant en œuvre des « techniques » de raisonnement pourtant très

simples donc facilement appropriables.

•Pourtant, cela est en réalité peu mis en place en classe, pour diverses raisons (manque

de formation scientifique des professeurs des écoles, programmes lourds horaires

légers, etc.).

•Et puis les professeurs ont souvent du mal à « lâcher prise »,à se confronter à un sujet

qu’ils ne maitrisent pas nécessairement. L’éducation informelle que nous proposons

peut alors apparaître comme une aide précieuse et la démarche de recherche comme

un saut en élastique, certes, mais avec un élastique : le médiateur scientifique.





• Propice à l’explorationmathématique

• Eventuellement : un arrière-plan théorique riche

1

6 5

32 4

Variantes autour d’une somme2

4 6

13 5

3

5 4

21 6

1

5 6

23 4

3

4 5

12 6

2

6 4

31 5

Evariste Galois Evariste Galois Evariste Galois Evariste Galois

(1811 (1811 (1811 (1811 ---- 1832)1832)1832)1832)

La théorie des groupes

Evariste Galois (1811 - 1832)

« Ce portrait d’Evariste Galois, publié par Le magasin pittoresque en 1848, a été fait de

mémoire par son frère Alfred. »

Transcription d’un carré gréco-latin d’ordre 10 en un tableau coloré de carrés emboîtés

Chaque chiffre entre 0 et 9 est associée à une et une unique couleur différente.

(0 : jaune / 1 : rouge / 2 : bleu / 3 : vert / 4 : orange / 5 : violet / 6 : noir / 7 : marron / 8 :

rose / 9 : blanc)

Chaque case contient un carré central coloré entouré d’une couleur externe, donc une

paire de deux couleurs, chacune choisie parmi les 10.

Chaque case est unique et contient une des 100 paires possibles de deux couleurs

choisies chacune parmi 10.

Sur chaque ligne et chaque colonne, chaque couleur est représentée dans le carré

central et dans la bordure extérieure.

Les couleurs externes forment donc un carré latin, ainsi que les couleurs des carrés

internes.

Hypothèse d’Euler (1959-1960)

Première page du New York Times du 26 avril 1959

(article de John A. Osmundsen)

“Major Mathematical Conjecture Propounded 177 Years Ago Is Disproved”

Avec quelles limites ?Avec quelles limites ?

Un joueur n’est pas (toujours) un mathématicien…

Parfois il n’y a pas de solution.

Un jeu qui n’a pas de solution est-il encore un jeu ?

1

6 5

32 4

6

1 2

45 3

9 12

1

6 4

53 2

10 6

1 3

24 5

11

Un joueur n’est pas (toujours) un mathématicien…

Un joueur se contente de trouver une solution, un mathématicien veut vérifier qu’il les a

toutes…

Un mathématicien n’est pas (seulement) un joueur…

•Evidemment, si la pratique du jeu permet, sous certains aspects, de s’approcher de la

pratique du scientifique, elle en est en de nombreux points très éloignée.

•Pour un mathématicien, les jeux que l’on propose sont un peu comme une grille de

sudoku : il sait que ceux qui lui proposent le jeu connaissent la solution, que le problème

n’est pas « ouvert » et que l’explorer est très loin de plonger dans l’inconnu. Et le

problème lui est imposé : ce n’est pas lui qui l’a choisi…

•Bref, nos situations de recherche sont assez artificielles et ressemblent un peu à un

« jeu de rôles » : on joue à être mathématicien…

•L’activité mathématique (et scientifique en général) n’est pas que ludique et attractive

: elle est même essentiellement laborieuse. Mais cette critique peut se formuler pour

l’ensemble de la vulgarisation et pas seulement celle qui mobilise le jeu : on montre la

science sous ses plus beaux atours en oubliant plus ou moins volontairement la dureté

de sa pratique.

•Une de nos difficultés est d’ailleurs de faire comprendre aux visiteurs que les jeux

qu’ils viennent de faire ont à voir avec les mathématiques : pour eux ce sont

simplement des jeux, notamment parce qu’ils ont une vision des mathématiques par le

prisme des programmes et du cadre scolaire assez éloignée de la réalité de la pratique

du mathématicien. Donc, paradoxalement, cette activité de jeu est éloignée de la

pratique du scientifique mais peut-être moins que la pratique scolaire…

Education

Des jeux pour vulgariser les mathématiques - Guillaume Reuillé