Electrocinétique class prépas

PCSIMPSIPTSI

| Classe | prépa

| Électrocinétique |

Bernard GendreauProfesseur de chaire supérieure

en classes préparatoires à l’École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris

Christophe GriponProfesseur en classes préparatoires

à l’École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris

Tout le cours

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Som

mai

re

Élect

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a

1 Circuit électrique en régime stationnaire1 - Définitions ................................................................................................. 42 - Courant électrique – Intensité – Loi des nœuds ....................................... 53 - Tension aux bornes d’un dipôle – Loi des mailles ..................................... 64 - Conventions d’orientation pour un dipôle – Dipôle actif, dipôle passif ... 65 - Conducteur ohmique – Loi d’Ohm .......................................................... 76 - Sources d’énergie électrique – Modélisation d’un dipôle actif ................. 87 - Point de fonctionnement d’un circuit ....................................................... 98 - Voltmètre et ampèremètre ...................................................................... 10savoir résoudre les exercices ............................................................................ 11

2 Puissance en régime stationnaire1 - Puissance électrocinétique reçue par un dipôle ...................................... 182 - Caractéristiques d’un conducteur ohmique ............................................ 19savoir résoudre les exercices ........................................................................... 20

3 Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent1 - Association en série ................................................................................. 242 - Association en parallèle ........................................................................... 273 - Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d’un générateur ...................................................................... 294 - Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels ................................ 305 - Méthodes d’étude d’un circuit ................................................................ 31savoir résoudre les exercices ............................................................................ 33

4 Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension1 - Circuit RC série ....................................................................................... 392 - Circuit RL série ........................................................................................ 443 - Circuit RLC série ...................................................................................... 474 - Établissement d’un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique .......................................... 525 - Approximation des régimes quasi permanents (ARQP) ........................... 53savoir résoudre les exercices ........................................................................... 54

5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé1 - Introduction ............................................................................................ 632 - Utilisation des nombres complexes ......................................................... 663 - Impédances complexes ............................................................................ 664 - Théorèmes généraux ............................................................................... 695 - Lois d’association ..................................................................................... 726 - Étude d’un circuit RLC, résonances ......................................................... 75savoir résoudre les exercices ........................................................................... 81

rocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa

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6 Puissance en régime sinusoïdal forcé1 - Puissance instantanée et puissance moyenne .......................................... 892 - Aspects énergétiques de l’étude du circuit RLC série .............................. 92savoir résoudre les exercices ............................................................................ 95

7 Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre1 - Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Filtre ............................... 992 - Diagramme de Bode d’un filtre ............................................................. 1013 - Filtre passe-bas du premier ordre .......................................................... 1024 - Filtre passe-haut du premier ordre ........................................................ 1055 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre ..................................................... 1086 - Équation différentielle d’un système du premier ordre – Stabilité ........ 1097 - Caractère intégrateur ou dérivateur d’un filtre ..................................... 110savoir résoudre les exercices .......................................................................... 112

8 Filtres du deuxième ordre1 - Filtre passe-bas du deuxième ordre ....................................................... 1262 - Filtre passe-bande du deuxième ordre ................................................. 1293 - Filtre passe-haut du deuxième ordre .................................................... 1324 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre ..................................................... 1345 - Équation différentielle d’un système du deuxième ordre – Stabilité ..... 134savoir résoudre les exercices .......................................................................... 137

Index ................................................................................................ 149

retenir l’essentiel

4

L’orientraire dBCDE par la flsité I esporteurpositivedans learbitrai

Électro

Circuit électrique en régime stationnaire

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Un système est en régime stationnaire quand les grandeurs physiques qui le décrivent sontindépendantes du temps.

1 Définitions• Un circuit électrique est un ensemble de conducteurs reliés entre eux par des fils dejonction et dans lequel circule un courant électrique. • Un dipôle est un composant électrique limité par deux bornes. • Un nœud est un point commun à plus de deux dipôles. • Une maille est une partie d’un circuit électrique formant un contour fermé. • Une branche est une suite de dipôles entre deux nœuds consécutifs.

Par exemple dans la figure 1 :• B et E sont des nœuds du circuit.• La maille ABEFA est constituée des dipôles D2, D6, D5, et D1. Les contours fermésABCDEFA et BCDEB sont les deux autres mailles du circuit.• BCDE, EFAB et EB sont les branches du circuit.

Fig. 1 A B C

DEF

D1 D6 D4

D2 D3

D5

Le circuit est constitué des dipôles D1, D2, D3, D4, D5 et D6 reliés par des fils de jonction.

I

Remarquetation arbi-e la brancheest donnée

èche. L’inten-t positive si less de charge se déplacent sens choisi

rement.

cinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa

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L’intensd’un dià sa vale courpas » d

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2 Courant électrique – Intensité – Loi des nœuds

2.1. Courant électrique

Le courant électrique est un déplacement de porteurs de charge (électrons, ions) dans unconducteur. Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement des porteurs de charge posi-tive. C’est donc aussi le sens opposé au déplacement des porteurs de charge négative.

2.2. Orientation d’une branche – Relation entre charge et intensité

• Avant d’étudier un réseau électrique, chaque branche doit être orientée arbitrairement(voir figure 1) en plaçant une flèche sur le trait représentant le fil de jonction surmontéede la lettre I pour l’intensité. L’intensité I du courant qui traverse un conducteur est un débit de charge. C’est une gran-deur algébrique. Elle est mesurée à l’aide d’un ampèremètre. • Soit la charge qui traverse dans le sens positif choisi arbitrairement une section deconducteur pendant une durée élémentaire L’intensité s’écrit :

Après calcul, c’est le signe de la valeur de l’intensité I qui donne le sens réel du courant : • signifie que les porteurs positifs sedéplacent dans le sens choisi arbitrai-rement ; • signifie que les porteurs positifs sedéplacent dans le sens inverse du sens choisi.

2.3. Loi des nœuds

En régime stationnaire, il n’y a ni accumulation ni disparition de charge ; il y a conserva-tion de la charge. La loi des nœuds traduit la loi de conservation de la charge.

Conséquence : l’intensité est la même entout point d’une branche car elle necontient pas de nœud.

Loi des nœudsLa somme des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des courants quien partent :

• si l’intensité est orientée vers le nœud ;

• si l’intensité est orientée à partir du nœud.

dqdt.

I dqdt------=

I en ampère (A)q en coulomb (C)t en seconde (s)

Ici, le sens réel du courant est de B vers A.

Fig. 2A BI = – 3 A

I 0

I 0

I1 I2 I3– I4–+ 0=

I1 I 3

I4I 2

N

εk Ik∑ 0.=

εk +1,=

εk 1,–=

Fig. 3 I = I 0 I = I 0

Attentionité en amontpôle est égaleleur en aval ;ant « ne s’useans un dipôle.

1 – Circuit électrique en régime stationnaire


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Les résen appdes mapendanparcou

Il faut ment reles schques letation (sens det les pour lesion.

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3

Tension aux bornes d’un dipôle – Loi des mailles

3.1. Tension aux bornes d’un dipôle

La tension entre deux points d’un dipôle est lagrandeur électrique mesurée entre ces deuxpoints par un voltmètre. Elle est représentéepar une flèche. C’est une grandeur algébriqueet elle s’exprime en volt (symbole V).

3.2. Loi des mailles

On choisit arbitrairement un sens de parcours (sens horaire ou anti-horaire).

Sur la figure ci-dessus :• maille parcourue dans le sens horaire : ;• maille parcourue dans le sens anti-horaire :

4 Conventions d’orientation pour un dipôle – Dipôle actif, dipôle passif

4.1. Convention récepteur et convention générateur

Le circuit étant orienté (sens du courant I défini), on peut choisir arbitrairement pour latension U : • le même sens que celui de I (flèches dans le même sens) ; c’est la convention générateur ;• ou le sens opposé (flèches de sens opposé) ; c’est la convention récepteur.

La somme des tensions aux bornes desdipôles d’une maille est nulle :

• si la flèche tension est dansle sens du parcours ;• si la flèche tension est dansle sens opposé à celui du parcours.

Fig. 4

U

A BDipôle

D1

D2 D3

D4

D5

U2

U1

U3

U4

U5

εkUk 0.=le longd’une maille

∑εk +1,= Uk

εk 1– ,= UkAttentionultats obtenusliquant la loiilles sont indé-ts du sens ders choisi.

U1 U2 U3 U4 U5+–+ + 0=

U1– U2 U3– U4 U5–+– 0.=

Fig. 5

Conseilsystématique-présenter surémas électri-s sens d’orien-des branchese l’intensité)sens choisiss flèches ten-

• Convention générateur • Convention récepteur

Conventions d’orientation d’un dipôle

I I

U U

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Orienterence uohmiqution récpliquerSi le comique conventeur, lavient U

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4.2. Dipôle actif, dipôle passif

La caractéristique d’un dipôle est la courbe donnant la tension U à ses bornesen fonction de l’intensité I du courant qui le traverse, ou la courbe Un dipôle passif est un dipôle dont la caractéristique passe par l’origine. Un dipôle actif est un dipôle dont la caractéristique ne passe pas par l’origine.

5 Conducteur ohmique – Loi d’Ohm

5.1. Conducteur ohmique

Un conducteur ohmique est un dipôle dans lequel le passage d’un courant provoque uneffet thermique appelé effet Joule. On lui donne souvent le nom de résistor.

5.2. Loi d’Ohm

Un conducteur ohmique est caractérisé par sa résistance et satisfait à la loi d’Ohm. Loi d’Ohm pour un conducteur ohmique en convention récepteur :

La caractéristique d’un conducteur ohmique estune droite. C’est un dipôle passif. La conductance G est l’inverse de la résistance ;elle s’exprime en siemens (symbole S).

U f I( )=I g U( ).=

Fig. 6

U

O I

U

O I

a) Caractéristique d’un dipôle actif. b) Caractéristique d’un dipôle passif.

U RI=U tension aux bornes d’un conducteur ohmique (V)R résistance d’un conducteur ohmique en ohm (Ω)I intensité du courant qui traverse le conducteur (A)

R

U = RI

I

Fig. 7

I

U

O

Conseilr de préfé-n conducteure en conven-epteur et ap-

la loi U = RI.nducteur oh-

est orienté ention généra- relation de- = −RI.



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Ne pas tensionpendanté I du c

Ne pas courantindépentension

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6 Sources d’énergie électrique – Modélisation d’un dipôle actif

6.1. Sources idéales d’énergie

6.1.1. Source ou générateur idéal de tension C’est un dipôle actif qui impose une tension constante E, appelée force électromotrice(noté f.é.m.), entre ses bornes.

6.1.2. Source ou générateur idéal de courant C’est un dipôle actif qui impose un courant constant d’intensité , appelé courant élec-tromoteur (noté c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé.

6.2. Modélisation linéaire de Thévenin et de Norton d’un dipôle actif

Dans de nombreuses applications l’expérience montre qu’on peut modéliser un généra-teur réel par l’association : • d’un générateur idéal de tension et d’un conducteur ohmique en série dont la résistanceest appelée résistance interne du générateur ; c’est le modèle linéaire de Thévenin. • ou d’un générateur idéal de courant et d’un conducteur ohmique en parallèle dont laconductance est appelée conductance interne du générateur ; c’est le modèle linéaire deNorton.

Attentionoublier que la E est indé-te de l’intensi-ourant débité.

Attentionoublier que le débité I0 estdant de la

U aux bornes.

I0

Fig. 8

E

I I

U

E

O

U = E quel que soit I

b) Générateur idéal de courant en convention générateur

a) Générateur idéal de tension en convention générateur

I = I0 quel que soit UI0

U

U

II0

O


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Pour lade Théche tepondandoit êtrpôle – dvers le Pour lade Norcourandant aêtre pôle – vers le

Les deutions sotes, ce

echapitrr ′ r=

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7 Point de fonctionnement d’un circuitLe point de fonctionnement d’un circuit comportant deux dipôles est le point d’intersec-tion des caractéristiques de ces deux dipôles.

• Caractéristique

Modélisation linéaire de Thévenind’un dipôle actif (générateur de tension)

• Caractéristique

Modélisation linéaire de Nortond’un dipôle actif (générateur de courant)

Fig. 9

U

I+–

Conseil modélisationvenin, la flè-

nsion corres-t à la f.é.m.e orientée duu générateur

pôle +. modélisationton, la flèchet correspon-u c.é.m. doitorientée dudu générateurpôle +.

• Représentation de Norton• Représentation de Thévenin

gUIr

r IE

I

0

g

1

r

′

-----=

r

′

U

I

U E rI–=

I I0 gU– , soit I I 0 Ur

′

----- – = =

U

IO

E

I0

Remarquex représenta-nt équivalen-qui impose :

t (voire 3.)

E rI0.=

U

I0O I

Fig. 10

Dipôle 1en conventiongénérateur

Dipôle 2en conventionrécepteur

U

Up

I p

I(1)

P

O

(2)

Up

En noir, caractéristique du dipôle (1)En couleur, caractéristique du dipôle (2)

Point de fonctionnement d’un circuit

I p



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Les vampèretoujourcommeles exerdicationOn ne comptesence culs.

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8 Voltmètre et ampèremètre

8.1. Mesure des tensions

La tension U aux bornes d’un dipôle D se mesure en plaçantun voltmètre en parallèle. Un voltmètre est idéal si son branchement ne modifie pas latension aux bornes du dipôle dont il mesure la tension. Un voltmètre idéal n’est traversé par aucun courant ; sa résis-tance est infinie.

8.2. Mesure des intensités

L’intensité I qui traverse un dipôle D se mesure en plaçantun ampèremètre en série avec le dipôle. Un ampèremètre est idéal si son introduction ne modifiepas l’intensité du courant qui traverse le dipôle. La tension aux bornes d’un ampèremètre idéal est nulle ; sa résistance est nulle.

D

U

V

D AI

Attentionoltmètres etmètres sonts considérés idéaux danscices, sauf in- contraire.

doit pas tenir de leur pré-dans les cal-


savoir résoudre les exercices

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1 On lit sur la courbe caractéristique du générateur (page suivante) les coordonnées dupoint limite de linéarité :

Le générateur peut donc être considéré comme linéaire tant que la tension U est supé-rieure à 4,0 V.a. En respectant les pôles du générateur, la modélisation linéaire de Thévenin donne :

(1)

pour ; on obtient par lecture graphique sur la figure suivante :

1 – Caractéristique d’un générateur non linéaire

On considère le générateur ci-contre. En faisant débiter ungénérateur dans des résistances réglables, on a obtenu lacaractéristique ci-dessous.

On considère que la caractéristique est linéaire tant que l’intensité du courant estinférieure à 0,10 A.

1 En précisant son domaine de validité en intensité, déduire des mesures lesmodèles linéaires du générateur :a. modèle linéaire de Thévenin ; calculer la force électromotrice E et la résis-tance interne r ;b. modèle linéaire de Norton ; calculer le courant électromoteur et la résis-tance interne

2 Ce générateur alimente un résistor de résistance R . Déterminer la valeur limite du domaine linéaire.

3 Déterminer graphiquement le point de fonctionnement quand le générateur ali-mente un résistor de résistance

I

U

1098

7

6

5

432

1

00,05 0,1 0,15 0,2 I (A)

U (V)

Caractéristique du générateur

I0r′.

Rlim

R ′ 10 Ω.=

résolution méthodique

0,10 A ; 4,0 V( )

U E Ur– E rI–= =

U E= I 0= E 9,0 V.=



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r

est l’opposé de la pente de la droite ; pour la calculer on considère les points (0 ; 0,9 V)

et (0,10 A ; 4,0 V). Il vient soit :

b.

En respectant les pôles du générateur, la modélisation de Norton donne :

L’application de la loi des nœuds conduit à

donc (2)

étant l’opposé de la pente de la droite, sa valeur est celle de

r

calculée plus haut.Cherchons à retrouver ce résultat d’une autre manière :

•

pour on en déduit graphiquement que

•

pour On obtient en prolongeant la droite correspondant à la partielinéaire de la caractéristique la valeur

•

et

U (V)

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00,05 0,1 0,15 0,2

I (A)


r9 4–0,1

------------ ,=

r 50 Ω=

I + −

E UrU

U

I + −r

I

+ −

U

U

I0

I+ −

r ′I r ′

Faire attention aux sens d’orientation des f.é.m. et c.é.m. : les flèches correspondantes doiventêtre dirigées du pôle négatif du générateur vers le pôle positif.

I Ir ′ I0+=

U r′I–= IUr′----– I0+ U⇒ r′I0 r′I–= =

r′

U r′I0= I 0,= r′I0 9,0 V.=

I I0= U 0.=

I0 0,18 A.=

r′I0 9,0 V= I0 0,18 A r′⇒ 50 Ω.= =


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Remarque : En comparant les relations (1) et (2) on constate que et cesrelations sont générales et seront utilisées au chapitre 3.

2 Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor (conven-tion récepteur sur le schéma ci-contre) à celle du générateur(figure ci-dessous).

La caractéristique du générateur n’est plus linéaire pour et

À la limite, Il faut donc que :

3 La résistance étant inférieure à on est en dehors du domaine linéaire ; il fautdonc utiliser la méthode graphique de résolution.Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor à celle du générateur (figure sui-vante). Elle passe par le point (0,20 A ; 2,0 V) et entre deux points de la caractéristiquedu générateur. Le point de fonctionnement est le point d’intersection du segment quirelie ces deux points avec la caractéristique du résistor. On lit directement ses coordon-nées sur les axes :

La détermination graphique est toujours entachée d’erreurs, ici de l’ordre de 10 %.

0,13 A et 1,4 V

r r′= r′I0 E,=

Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que desapproximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionne-ment, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu.

U

I

R

Le tracé d’une caractéristique n’a de sens que si les grandeurs correspondantes, U et I, sont défi-nies sur un schéma.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

R 40 Ω

R 40 Ω=

0,05 0,1 0,15 0,2 I (A)

U (V)

I Ilim 0,10 A=

U Ulim 4,0 V.= RlimUlim

Ilim---------- 40 Ω.= =

R Rlim 40 Ω =

Rlim,



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2 – Modélisation d’une diode

Soit la tension aux bornes d’une diode à jonction et

I

l’intensité du courant quila traverse selon les conventions de la figure ci-contre. En unités légales :• si (on dit que la diode est bloquante) ;

• si (on dit que la diode est passante).Le domaine d’utilisation de la diode est

et

1

Montrer que, selon les valeurs de la tension la diode est équivalente à uninterrupteur ouvert ou à un résistor en série avec un générateur idéal de tension.

2

Tracer la caractéristique

La résolution graphique s’impose quand le comportement d’un ou de plusieurs dipôles d’uncircuit est non linéaire.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0


0,05 0,1 0,15 0,2 I (A)

point de fonctionnement

U (V)

0,13

• La flèche tension correspondant à la f.é.m. d’un générateur, ou la flèche courantcorrespondant au c.é.m., doit être orientée du pôle négatif vers le pôle positif dugénérateur. • Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sontque des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination desvaleurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus oumoins étendu.• La résolution graphique s’impose quand le comportement d’un ou de plusieurs dipô-les d’un circuit est non linéaire.

en conclusion

UD

UD

II 0= UD 0,60 V

UD 10I 0,60+= I 0

UD UDmin 3,0 V–= I Imax 0,10 A.=

UD,

I f UD( ).=


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1

Pour l’intensité qui traverse la diode est nulle.

La diode est équiva-lente à un interrupteur ouvert

.Pour on peut écrire la tension sous la forme

Par identification, on a :

La diode est équivalente à l’association série d’un généra-teur idéal de tension et d’un résistor (figure ci-contre).

2

• Pour la caractéristique est le segmentcompris entre les points (– 3,0 V ; 0) et (0,60 V ; 0).• Pour la caractéristique est le segment d’équa-

tion de pente compris

entre les points (0,60 V ; 0) et (1,6 V ; 0,10 A). Elle estlimitée au point :

; 0,10 A). La caractéristique est une courbe continue (figureci-contre).

3

Un courant traverse le circuit, la diode est donc passante ; la diode est modélisablepar l’association série du générateur idéal de tension et du résistor Représentonsle circuit équivalent.

3

La diode est insérée dans le circuit ci-contre, qui com-prend un générateur réel, de résistance interne

et de f.é.m.

E

ajustable, et un résistor derésistance Quand on ajuste la f.é.m. à la valeur onconstate qu’un courant traverse le circuit. Calculerl’intensité

I

, la tension et la tension aux bornesdu générateur.

4

Calculer la valeur en deçà de laquelle la diode est bloquante.

5

Exprimer la relation simple entre les tensions et quand la diode est blo-quante.

6

Tracer la courbe

et

U

D

I

U

G R

r 5,0 Ω=R 15 Ω.=

E 10,0 V,=

UD UG

Emin

UD UG

UD f UG( ).=


UD 0,60 V,

r ′ 10 Ω=

E ′ 0,60 V=

I

UD

I 0, UDUD r′I E ′.+=

E ′ 0,60 V= r′ 10 Ω=

Il faut faire attention à l’orientation du circuit et aux sens respectifs des flèches représentant laforce électromotrice et la tension E ′ UD.

0

0,08

0,06

0,04

0,02

0,60 UD max = 1,6 V − 1− 2− 3

UG (V)

0,1

I (A)

U

D

I 0,=

I 0,

IUD

10------- 0,060,–= 0,10 Ω 1–

(UDmax 0,60 10 0,1×+ 1,6 V= =

E ′ r′.



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Orientons le circuit (flèche indiquant le sens arbitraire choisi pour I) et choisissons laconvention récepteur pour chacun des résistors.

En choisissant le sens de parcours indiqué sur la figure ci-dessus pour appliquer la loi desmailles, il vient :

D’où

4 Le modèle utilisé est valide tant que la diode est passante ; la valeur de la f.é.m.est celle pour laquelle l’intensité s’annule. D’après la relation ilvient immédiatement :

En deçà de cette valeur la diode est bloquante. Une application de la relation avec conduirait à unevaleur négative de l’intensité, en dehors du domaine de validité du modèle de la diode.

et

et

Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d’orientation des bran-ches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d’appliquer la loi desmailles et la loi des nœuds.

Diode

E′ r ′I

RI

I

R

E

UD

UG

Générateur

r ′

r− r I

E RI r′I E ′– rI––– 0 E E ′–⇒ R r r ′+ +( )I= = I⇒ 9,430------- 0,3133.= =

I 0,31 A=

UD E ′ r′I+ 0,60 109,430-------+ 3,7333.= = =

UD 3,7 V= UG E rI– 8,4 V= =

Les calculs intermédiaires doivent être conduits sans être arrondis. Ainsi le calcul précédent de latension doit-il être conduit avec la valeur fractionnaire de I.

EminE E ′– R r r′+ +( )I,=

Emin E ′= UGmin Emin 0,60 V= =

E E ′– R r r′+ +( )I= E E ′

La valeur de l’intensité (ou de la tension) obtenue par l’utilisation d’un modèle de dipôle doitappartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide.


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5 La diode est équivalente à un interrupteur ouvert quand elle est bloquante, ce qui estle cas quand V. Représentons le circuit équivalent (ci-dessous). Lestensions aux bornes des résistors sont nulles ; il vient immédiatement :

6 Calculons les valeurs extrêmes et de la tension E imposée par les condi-tions aux limites de fonctionnement de la diode : • V ;• soit Quand la diode est bloquante Pour ce régime, la courbe est lesegment de pente unitaire compris entre les points (−3,0 V ; −3,0 V) et (0,60 V ; 0,60 V) Quand la diode est passante, on peut écrire :

et d’où :

A.N. :

Pour ce régime, la courbe estle segment de pente 0,40 compris entre lespoints (0,60V ; 0,60 V) et (3,1 V ; 1,6 V).La courbe complète est tracée ci-contre.C’est une courbe continue qui présente unerupture de pente quand la diode passe durégime bloquant au régime passant.

UG UGmin 0,60=

Diode

RI = 0

I = 0

R

E

U

D

U

G

Générateur

r

−

r I = 0

U

D U

G

=

Emin Emax

UGmin UDmin 3,0–= =

UGmax E ′ R r′+( )Imax ,+= UGmax 3,1 V.=

UD UG.= UD f UG( )=

UG RI UD–– 0= UD E ′ r′I,+=

UD (V)

1,6 V

1

0,60 V

−

1

−

2

−

3 0,60 V 3,1 V U G (V)

−

1

−

2

−3

UD 1 r′R----+

E ′ r′R----UG+ UD⇒

RE ′ r′UG+

R r′+-----------------------------= =

UD9 10UG+

25----------------------- .=

UD f UG( )=

• Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d’orienta-tion des branches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avantd’appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. • La valeur de l’intensité (ou de la tension) obtenue par l’utilisation d’un modèle dedipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel cemodèle est valide.

en conclusion



18

La reln’est apconven

Choisirla convteur pode carateur et réceptedipôle récepte

Électro

Puissance en régime stationnaire

© N

atha

n,cla

sse

prép

a
1 Puissance électrocinétique reçue par un dipôle La puissance électrocinétique reçue par un dipôle en convention récepteur est :
• ConséquencesLa puissance reçue par un dipôle en convention générateur est :

La puissance fournie par un dipôle est égale à l’opposée de la puissance reçue.

1.1. Signe de la puissance reçue et caractère d’un dipôle

La puissance reçue par un dipôle est une grandeur algébrique. Son signe indique le carac-tère générateur ou récepteur du dipôle.

Il est équivalent d’écrire :(i) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il fournit est positive ;(ii) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il reçoit est négative.

Un dipôle a un caractère récepteur si la puissance qu’il reçoit est positive. Il trans-forme l’énergie qu’il reçoit en une autre forme d’énergie (thermique, mécanique,lumineuse…)Un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il reçoit est négative. Iltransforme en énergie électrique une autre forme d’énergie.

Attentionation plicable qu’ention récepteur.

UI=

UI =

puissance du dipôle en watt (W) U tension aux bornes du dipôle (V) I intensité du courant qui traverse le dipôle (A)

UI.–=

Conseil de préférenceention généra-ur un dipôlectère généra-la conventionur pour unde caractère

ur.


19

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prép

a

1.2. Bilan de puissance dans un circuit

La puissance reçue est l’énergie reçue par unité de temps.Comme l’énergie, la puissance se conserve.

On peut aussi écrire : la somme des puissances reçues par les dipôles d’un circuit est nulle.

2 Caractéristiques d’un conducteur ohmique

2.1. Résistance d’un conducteur ohmique homogène et de section constante

La résistance d’un conducteur ohmique homogène et de section constante (fig. 1) est :

La résistivité est une caractéristique du matériau conducteur. Elle dépend de la tempé-rature.

2.2. Effet Joule dans un conducteur ohmique

Le passage du courant dans un résistor provoque une dissipation d’énergie thermiquedans ce dernier ; c’est l’effet Joule.La puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique est (conventionrécepteur) :

La somme des puissances fournies par les dipôles générateurs d’un circuit est égaleà la somme des puissances reçues par les dipôles récepteurs de ce circuit.

R ρLS---=

R : résistance d’un conducteur ohmique en ohm (Ω)ρ : résistivité du matériau conducteur (Ω · m)L : longueur du conducteur (m)S : section du conducteur (m2)

Section d’aire S

longueur L

Fig. 1

ρ

UI RI 2 U 2

R------- = = =

R : résistance en ohm (Ω)I : intensité en ampère (A) U : tension aux bornes en volt (V)

2 – Puissance en régime stationnaire


20Élect

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sse

prép

a
1 Orientons le circuit et la tension U comme l’indique le schéma de l’énoncé. Le géné-rateur est en convention générateur et le résistor est en convention récepteur.
La tension U s’écrit de deux manières : et D’où Ce qui conduit à :

On peut aussi appliquer la loi des mailles pour un sens deparcours donné (voir figure) :

avec On arrive au même résultat.

2 Il y a effet Joule dans les deux résistors R et r.

Le résistor étant en convention récepteur, il reçoit la puissance D’où :

Le résistor r étant en convention récepteur, il reçoit la puissance :

1 – Transfert de puissance

On considère un générateur de f.é.m. V et derésistance interne Ω alimentant un résistor derésistance Ω.

1 Déterminer la tension U aux bornes du résistor Ret l’intensité I du courant qui le traverse.

2 Calculer les puissances dissipées par effet Joule.

3 Calculer la puissance reçue par le générateur idéalde tension.

4 Faire un bilan de puissance pour l’ensemble du circuit.

r

E

R U

iE 10=r 5,0=

R 5,0=


Ce choix des orientations est « naturel » car nous « devinons » qu’il conduira à des valeurs positivesde l’intensité I et de la tension U. Nous pourrions aussi en choisir d’autres, les résultats seraient lesmêmes.

U RI= U E rI.–=

10 5I– 5I.=

I 1,0 A et U 5,0 V==

r

E

R U

RI

i

E rI U–– 0,= U RI.=

R UI RI 2.= =

R 5,0 W=

r Ur I rI 2 5,0 W= = =


21

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prép

a

3 Le générateur idéal de tension est en convention générateur ; il reçoit la puissance :W.

Il fournit donc la puissance + 10 W, résultat attendu puisque c’est la source d’énergie.

4 La puissance fournie par le générateur idéal (10 W) est entièrement dissipée par effetJoule pour moitié dans le résistor r (5,0 W) et pour moitié dans le résistor R (5,0 W).

2 – Adaptation d’impédance

On considère un générateur de force électromotrice Eet de résistance interne r qui alimente un radiateurélectrique modélisable par un dipôle résistif de résis-tance R. L’effet du passage du courant est thermique ;c’est l’effet Joule.

1 Exprimer la puissance reçue par le radiateuren fonction de E , de r et de R.

2 Quelle est la valeur de la puissance quand R = 0 ?Quelle est la valeur de la puissance quand la résis-tance est très grande ? Que peut-on en déduire ?

3 Déterminer la valeur de R pour laquelle la puissance dissipée dans le radia-teur est maximale ? Représenter l’allure de la courbe donnant la puissance enfonction de R.

Vérifier que les dipôles sont en convention récepteur avant d’appliquer la relation reçu = UI ;U et I sont orientés en sens opposés.

E EI– 10–= =

Pour les calculs de puissance, il faut faire attention au dipôle considéré.On calcule ici la puissance reçue par le générateur idéal de tension, à ne pas confondre avec lapuissance reçue par le générateur qui s’écrit :

W.gén UI– E R I–( )I– 5,0–= = =

La relation reçu = UI ne s’applique que si U et I sont orientés en sens opposés(convention récepteur).

en conclusion

r

E

R U

R

R0 RR



22Élect

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n,cla

sse

prép

a

1 On choisit les sens d’orientation définis sur le schémaci-contre. La loi d’Ohm permet d’écrire :

et Avec le sens de parcours choisi, la loi des mailles s’écrit :

d’où

Le résistor étant en convention récepteur, la puissance qu’ilreçoit est :

2

La résistance r est négligeable devant R quand R est très grand, d’où :

est toujours positive, nulle pour et R infini ; il existe donc (au moins) un maxi-mum de la puissance.

3

4 Dans le cas où le radiateur a la résistance exprimer la puissance thermique dissipée dans le radiateur et la puissance thermique dissipée dans le

générateur en fonction de E et de ? Faire un bilan de puissance.

5 Pour quelle valeur de r le rendement est-il maximal ? En déduire le type de généra-teur qu’il faut utiliser pour alimenter un radiateur électrique.

R0,R0 r 0

R0


r

E

R U

Ur

i

Ur rI= U RI.=

U E Ur–+ 0,= I Er R+------------ .=

R UI R⇒ RI 2= =

RRE 2

r R+( )2-------------------=

R 0=( ) 0=

R r( )RE 2

R2-----------≈ E 2

R------= 0≈

R R 0=

Prendre l’habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. Une analysetrop rapide, faite à partir de l’expression conduirait à proposer que R est maximalequand R est infini ! Ce serait oublier que I dépend également de R.

R RI2=

Point Maths. Une fonction de la variable est extrémale (minimale ou maximale) quand la

dérivée par rapport à x est nulle.

f x( )dfdx------


23

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prép

a

étant une fonction de R, sa valeur est extrémale (minimaleou maximale) quand sa dérivée par rapport à R est nulle.

si

Cette condition est appelée « adaptation d’impédance ».Il n’existe qu’un extremum ; c’est un maximum.

Vérifions qu’il en est bien ainsi pour la puissance :

4 et ; donc :

La puissance reçue par le générateur de tension s’écrit

Bilan : ou La puissance fournie par le générateurde tension est dissipée par effet Joule, pour moitié dans le générateur réel et pour l’autremoitié dans le radiateur.

5 De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l’on récupère (ce quinous « intéresse ») et ce que l’on fournit (ce que l’on « dépense »). Ici, il s’agit de transfé-rer de l’énergie électrique du générateur au radiateur. Le rendement s’écrit donc :

Le rendement est une fonction décroissante de r ; il est

maximal quand ! Le rendement est alors égal à 100 %.

On voit, et le résultat était attendu, que pour obtenir un bon rendement, on doit alimen-ter un radiateur avec un générateur de faible résistance interne.

R

R

R

dR

dR----------- E 2 r R+( ) 2R r R+( )–

r R+( )2------------------------------------------------=

dR

dR----------- 0= r R 2R–+ 0 ⇒= R0 r=

Point Maths. Une fonction est maximale quand la dérivée seconde par rapport à x est

négative au point où elle est extrémale.

f x( ) d2fdx2--------

d2R

dR2-------------

R0

E 2

8R3---------– 0.<=

R0R0I 2 E 2

4R0---------= = r rI 2 R0I 2 E 2

4R0---------= = = R0

rE 2

4R0---------= =

E EI–E 2

2R0--------- .–= =

R r E+ + 0= E– R r.+=

ηR0

E---------– 1

2--- 50 %= = =

ηR

E-------– RI 2

EI--------- RI

E------

RR r+------------ .= = = =

r 0=

• En général, quand on cherche la valeur d’un paramètre pour laquelle une grandeur phy-sique est extrémale, il faut calculer la dérivée de la grandeur par rapport au paramètre. • Prendre l’habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire.

en conclusion



24

Pour sapôles stoujourquestionparcourmême c

Électro

Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent

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n,cla

sse

prép

a

En complément de la loi des nœuds et de la loi mailles, l’étude d’un circuit électrique enrégime permanent se fait à l’aide « d’outils » dont le choix facilite la résolution de problèmes.

1 Association en sérieDes dipôles voisins sont en série quand ils ont une seule borne en commun. Ils sont tra-versés par le même courant.

1.1. Association de résistors en série

1.1.1. Loi d’association

Démonstration : L’intensité du courant étant la même en tout point de la branche, rien n’est modifié si l’onpermute les positions des résistors.

N résistors de résistance associés en série sont équivalents à unseul résistor de résistance égale à la somme des résistances de chacun d’eux :

(1)

Conseilvoir si des di-ont en série,s se poser la : sont-ils tousus par leourant ?

R1, R2, …, RN( )R éq

R éq R1 R2… RN+ + +=

Fig. 1

IR1 R2 R3

U1 U2 U3

U U1 U2 U3+ +=

Réq R1 R2 R3+ +=I

U

⇔

Association série de trois résistors

U U1 U2 U3+ + R1I R2I R3I+ + R1 R2 R3+ +( )I RéqI.= = = =


25

• Si lesrespondU2 ne sle mêmcelle cà U, il fsigne –express• Il ne fquer lorsquesistors nsérie.Par exschémaR1 et Rne formviseur Seuls Rment utension

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a

1.1.2. Diviseur de tensionLa figure 3 représente un diviseur de tension : deux résistors en série sont soumis à unetension U. On cherche les tensions et aux bornes de chacun d’eux.

Démonstration :

et

1.2. Association de générateurs en série

On considère N générateurs associés en série, caractérisés par leurs f.é.m. et résistancesinternes …, Ces N générateurs sont équivalents à un seulgénérateur de f.é.m. et de résistance interne

Remarque : les résistances s’associent comme énoncé au § 1.1.1.

Démonstration :Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Thévenin (fig. 5) :

• si les pôles du générateur sont placés dans le même sens queles pôles du générateur (la flèche correspondant à Ep est dans le mêmesens que celle de Eéq) ;• dans le cas contraire.

Fig. 2• R1 et R2 ne sont pas en série • R1 et R3 ne sont pas en série • Seuls R2 et R4 sont en série (le courantI2 qui traverse R2 est le même que celuiqui traverse R4). On peut appliquer

I1 I2≠( ).I1 I3≠( ).

Réq R2 R4.+=

R1 R2

R3

I1 I2

E R4

I3

U1 U2

Attention flèches cor-ant à U1 ouont pas danse sens que

orrespondantaut mettre un dans leursions.aut pas appli-ces relations les deux ré-e sont pas en

emple sur le de la figure 2,2 (ou R1 et R3)ent pas un di-de tension.2 et R4 for-

n diviseur de.

Fig. 3

et U1R1U

R1 R2+------------------= U2

R2UR1 R2+------------------=

R1 R2

U1 U2

I

U

Diviseur de tension

U R1 R2+( )I I⇒ UR1 R2+------------------= =

U1 R1I U1⇒R1U

R1+R2-----------------= = U2 R2I U2⇒

R2UR1 R2+------------------ .= =

E1 ; r1( ), E2 ; r2( ), EN ; rN( ).Eéq réq.

Eéq ε1E1 ε2E2… εk Ek

… εN EN+ + + + +=

réq r1 r2… rN+ + +=

εk + 1= Ek ; rk( )Eéq ; réq( )

εk 1–=

Fig. 4 Association série de trois générateurs

Eéq E1 E2 E3–+=

réq r1 r2 r3+ +=

E1 ; r 1

E

éq

E

1

E

2

E

3

I

E 2 ; r 2 E 3 ; r 3 E éq ; r éq

I

⇔

+− +−+ +− −

3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent


26

Pour génératcommedéliser rateurstation d

Pour unmaille, tementPouilleler l’intrant qTrouveen appdes madre du

Ne pasrelationcuit consieurs merroné la figur

I3

É

© N

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prép

a

1.3. Loi de Pouillet

Cette loi permet d’obtenir l’intensité circulant dans une maille constituée de

N

résistors et

N

générateurs caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes …,

Pour la figure 6, on obtient

Démonstration

:

On utilise la représentation de Thévenin pour les générateurs. Les loisd’association série pour les générateurs et résistors conduisent au circuit équivalent de lafigure 7 :

• si la flèche correspondant à

E

k

est dans le même sens que celle corres-pondant à l’orientation de

I

;• dans le cas contraire.

Conseilassocier deseurs en série,ncer par mo-tous les géné- en représen-e Thévenin.

Fig. 5 Modélisation de générateurs en série

r1

EéqE1 E2 E3

I

r2 r3 réq

I

UU

U E1 r1I E2 r2I r3I E3–+ + + +=

U Eéq réqI+= Eéq E1 E2 E3–+=

réq r1 r2 r3+ +=

⇒

Conseil circuit à uneutiliser direc- la loi det pour calcu-ensité du cou-ui y circule.r le résultatliquant la loiilles fait per-temps.

R1, R2, … RN( )E1 ; r1( ), E2 ; r2( ), EN ; rN( ).

Iε1E1 ε2E2

… εk Ek… εN EN+ + + + +

r1 r2… rN R1 R2

… RN+ + + + + + +---------------------------------------------------------------------------------------------=

εk + 1=

εk 1–=

Fig. 6 Maille constituée de trois générateurs et de trois résistorsE1 ; r 1

E

1

E

2

E

3

E 2 ; r 2 E 3 ; r 3

IR

1

R

2

R

3

+− + +− −

Attention appliquer cess pour un cir-stitué de plu-ailles. Il est

d’écrire poure 2 que :

ER1 R3+------------------ .=

IE1 E2 E3––

r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + +---------------------------------------------------------------- .=

Fig. 7

Eéq E1– E2 E3+ +=

Réq R1 R2 R3+ +=

réq r1 r2 r3+ +=

Représentation d’un circuit équivalent

EéqI

Eéq ; r éq

Ir

éq

R

éq

U

R

éq

R

éq

U

r

éq

+ −

⇔


27

Pour sapôles sole, toujoquestionsoumis tension

© N

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n,cla

sse

prép

a

Par exemple, en appliquant la loi des mailles dans le sens anti-horaire, on obtient :

2

Association en parallèle

Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bor-nes en commun. Ils sont soumis à la même tension.

2.1. Association de résistors en parallèle

2.1.1.

Loi d’association

Démonstration

:

La tension

U

étant la même aux bornes de chaque résistor, rien n’est modifié si l’on per-mute les positions des résistors

N

résistors de conductance associés en parallèles sont équiva-lents à un seul résistor de conductance égale à la somme des conductances dechacun d’eux :

(2)

URéqUréq

Eéq+ + 0=

UréqréqI= et URéq

RéqI=

IEéq

réq Réq+---------------------–

E1 E2 E3––

r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + +---------------------------------------------------------------- .= =⇒

Conseilvoir si des di-nt en parallè-urs se poser la : sont-ils tousà la même

?

G1, G2, …, GN( )Géq

Géq G1 G2… GN+ + +=

Géq1

Réq-------- 1

R1------ 1

R2------ … 1

RN-------+ + += =

Fig. 8

Géq G1 G2 G3+ +=

Géq1

Réq---------

1R1-------

1R2-------

1R3-------+ += =

Association parallèle de trois résistorsI1

I2

I3

II

R1

R2

R3

UU

⇔

I I1 I2 I3+ + UR1------ U

R2------ U

R3------+ + G1 G2 G3+ +( )U GéqU.= = = =

Fig. 9• R1 n’est pas en parallèle avec R3 • R3 n’est pas en parallèle avec R4 • Seuls R3 et l’ensemble sont enparallèle

U1 U3≠( )U3 U4≠( )

R2 R4+( )U3 U2 U4+=( )

1Réq-------- 1

R3------ 1

R2 R4+( )-----------------------+=

U1 U2

U3

R1 R2

R3E R4 U4



28

• Si I1 pas danil faut nir un leurs ex• Il ne fquer lorsquesistors nparallèPar exfigure 9ne formviseur seuls R3

diviseuR2 R4+( )

É

© N

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sse

prép

a

2.1.2. Diviseur de courantLa figure 10 représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis àun courant d’intensité totale I. On cherche les intensités et parcourant chacund’entre eux.

Démonstration : et

et

2.2. Association de générateurs en parallèle

On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par leurs courants électro-moteurs c.é.m. et conductances internes …, Ces N géné-rateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. et de conductance interne

Remarque : les conductances s’associent comme énoncé au § 2.1.1.

• si les pôles du générateur sont placés dans le même sens queles pôles du générateur (la flèche correspondant à est dans le mêmesens que celle de ;• dans le cas contraire.

I1 I2

Fig. 10 Diviseur de courant I1

I2

I

R1

R2

U

I1G1I

G1 G2+--------------------

R2IR1 R2+------------------= =

I2G2I

G1 G2+--------------------

R1IR1 R2+------------------= =

Attentionou I2 ne sonts le sens de I ,faire interve-signe – danspressions.aut pas appli-ces relations les deux ré-e sont pas en

le.emple sur la, où R2 et R3ent pas un di-de courant, et l’ensemble forment unr de courant.

U R1I1 R2I2= = I I1 I2+=

R1I1 R2 I I1–( ) I1⇒R2I

R1 R2+------------------= = R1 I I2–( ) R2I2 I2⇒

R1IR1 R2+------------------= =

I01 ; g1( ), I02 ; g2( ), I0N ; gN( ).Iéq géq.

Iéq ε1I01 ε2I02… εk I0k

… εNI0N+ + + + +=

géq g1 g2… gN

1réq------ 1

r1---- 1

r2---- … 1

rN-----+ + +=

+ + +=

εk +1= Ek ; rk( )Eéq ; réq( ) I0k

I0éq)εk 1–=

Fig. 11

I0éq I01 I02– I03+=

géq g1 g2 g31

réq------ 1

r1---- 1

r2---- 1

r3----+ +=

+ +=

Association parallèle de trois générateursI01 ; r 01

I

I

02 ; r 02

I

03 ; r 03

I

0éq ; r éq

+ −

+−

+−

+−

⇔


29

Pour asnérateule, commodélinérateusentatio

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

Démonstration

:

Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Norton (fig. 12) :

Démonstration

:

• Cas a) • Cas b)

Par identification entre les deux membres de l’égalité, on obtient :

3

Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d’un générateur

Un générateur de tension de Thévenin

(

E

;

r

)

est équivalent à un générateur de

courant de Norton où et

a)

générateur de tension de Thévenin

b)

générateur de courant de Norton

Conseilsocier des gé-rs en parallè-mencer par

ser tous les gé-rs en repré-n de Norton.

Fig. 12

I

U

Iéq

I1

I2

I3

réq

r1

r2

r3

I01

I02

I03

I0éq

U

I⇔

Cas a) Cas b)

U r1I1 r2I2 r3I3= = =

I I1 I01 I2 I02– I3 I03+ + + += U réqIéq=

I Iéq I0éq+=

Iéq I0éq+ I1 I01 I2 I02– I3 I03+ + + + Uréq------ I0éq+⇒ U

r1---- I01

Ur2---- I02– U

r3---- I03+ + + += =

I0éq +I01 I02 I03+–=

1réq------ 1

r1---- 1

r2----

1r3---- géq g1 g2 g3+ +=( )+ +=

I0 ; g( ) I0Er---= g 1

r--- .=

Fig. 13

I

E r I0=

U E rI–=

I I0 gU–=

gU–

g 1r---=

I0Er----=r 1

g---=

U

⇔



30É

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

Démonstration :

Figure 13 a) :

Or figure 13 b) : Par identification entre les deux expressions de I, on obtient :

et

4 Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels

4.1. Tension et potentiel

Entre deux points A et B quelconques d’un cir-cuit la tension s’écrit sous la forme de la dif-férence des potentiels en A et en B :

La flèche est dirigée du point Bvers le point A (fig. 14).• Si est positif, et la flèche tension est dans le sens des potentiels croissants.• Les potentiels V sont définis à une constante près, seule la tension ou différence de poten-tiel, que l’on mesure avec un voltmètre, a un sens physique.

4.2. Masse d’un circuit

En électronique, la masse est un point d’un circuit à laquelle on attribue arbitrairement unpotentiel nul. Il sert de référence des potentiels.Le symbole est :

Remarque : on appelle aussi « masse » la carcasse métallique d’un appareil électrique qui avocation à être reliée à la terre par l’intermédiaire de la prise de terre. La Terre étant conven-tionellement au potentiel nul, cette carcasse électrique peut servir de référence de potentiel.

4.3. Loi des nœuds en termes de potentiels – Théorème de Millman

Considérons L résistors de résistance ayant un nœud com-

mun N. Soit les intensitéscirculant dans chacun des résistors etorientés vers le point N (fig. 15).Soit le potentiel du nœud N et

les potentiels de l’autreborne du dipôle considéré.La loi des nœuds s’exprime alors par :

U E rI I⇒ Er---

Ur---- .–=–=

I I0 gU.–=

I0Er---= g 1

r--- .=

A B

UAB

Fig. 14UAB

UAB VA VB.–=

UAB VA VB

I1

I2

I3N

R1

R2

R3

UL

U1

U2

U3

V1

V2

V3

IL

RL

VN

Fig. 15R1, R2, …RL( )

I1, I2, …IL( )

VN V1,V2, … VL

I1 I2 … IL+ + + 0,=


31

Il est sopour simculs, qmasse un circsir une,çon perpoint dcuit. Caucun le potenà une c

InclureAB dantions dune errIl fautdistingument cdu reste

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

et peut s’écrire sous la forme :

ou (3)Remarque : la relation (3) est indépendante des sens d’orientation choisis pour les différentesintensités.La relation (3) conduit à l’expression du théorème de Millman :

Remarque :Si certaines branches arrivant en N contiennent des sources de courant, il suffit de tenircompte de leurs c.é.m. dans l’expression de la loi des nœuds.

5 Méthodes d’étude d’un circuitOn considère un circuit comportant plusieurs mailles. Que valent les intensités des cou-rants et tensions dans une ou plusieurs branches ?

5.1. Loi des nœuds en termes de potentiels

Lorsqu’un circuit est constitué de plusieurs branches partant de points de potentiel imposé(par exemple une ligne de masse) et aboutissant à un même nœud N, la loi des nœud enterme de potentiel (ou le théorème de Millman) permet d’obtenir très rapidement le potentielde N. On peut alors facilement en déduire l’intensité circulant dans chacune des branches.

5.2. Réduction du circuit

La méthode, décrite ci-dessous étape par étape, est particulièrement performante si oncherche uniquement l’intensité du courant qui circule dans une branche particulière ducircuit (ou la tension à ses bornes).Si l’on doit calculer des intensités ou des tensions correspondant à d’autres branches, ilfaut à nouveau appliquer la méthode, branche par branche .

ou

1re étape. Isoler sur le schéma électrique la branche à travers laquelle circule l’intensitéque l’on veut calculer, par exemple en la repérant entre des points A et B et en entou-rant tout le reste du circuit. Si le sens de I n’est pas imposé, le choisir de façon arbitraire.

V1 VN–

R1-------------------

V2 VN–

R2------------------- … VL VN–

R2-------------------+ + + 0,=

G1 V1 VN–( ) G2 V2 VN–( ) … GL VL VN–( )+ + + 0=

Conseiluvent très utile

plifier les cal-uand aucunen’apparaît suruit, d’en choi- placée de fa-tinente, en unonné du cir-ela ne poseproblème cartiel est défini

onstante près.

VN

V1

R1------

V2

R2------ … VL

RL------+ + +

1R1------ 1

R2------ … 1

RL------+ + +

---------------------------------------------= VNG1V1 G2V2

… GLVL+ + +

G1 G2… GL+ + +

------------------------------------------------------------------=

Conseil la branches les associa-e dipôles esteur fréquente. absolumenter formelle-ette branche du circuit.

Fig. 16

UAB

I A

B

Reste du circuitDipôle (ou association série de dipôles) quelconque



32

• Si thode une incéquatiode Poui• Cette duit à dsez lou

elle estlorsquel’ensemsités etchaque

N =

N 2.

É

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

5.3. Utilisation directe des lois de Kirchhoff

On englobe sous le nom de lois de Kirchhoff la loi des nœuds et la loi des mailles.Cette méthode conduit à des calculs lourds et ne doit être appliquée que si les méthodesprécédentes ne sont pas applicables.

2e étape. Associer l’ensemble des générateurs et/ou résistors situés dans le « reste ducircuit » (lois d’associations série et/ou parallèle des générateurs et/ou résistors) afin dese ramener à un circuit simple (par exemple un résistor ou un générateur en représen-tation de Norton ou de Thévenin). On dit qu’on a « réduit le circuit ».

3e étape. Si le circuit simple obtenu est :• un générateur en représentation de Norton, alors il suffit d’appliquer la relation dudiviseur de courant pour obtenir l’intensité I ;• un résistor ou bien un générateur en représentation de Thévenin, alors on a un circuitéquivalent à une seule maille et il suffit d’appliquer la loi de Pouillet pour obtenir l’inten-sité I. Ayant I on peut alors facilement en déduire la tension

1re étape. Représenter tous les générateurs en représentation de Thévenin : on a alorsun circuit à N mailles indépendantes.2e étape. À chaque maille, associer un courant orienté de façon arbitraire. On aainsi N inconnues.3e étape. Appliquer la loi des nœuds à chaque nœud. On obtient l’intensité qui circuledans chaque branche en fonction des N différents 4e étape. Appliquer la loi des mailles pour chaque maille. On obtient N équations.5e étape. Résoudre le système de N équations à N inconnues.

UAB .

Remarques cette mé-

aboutissant àonnue et unen donne la loillet.méthode con-es calculs as-rds dès que En pratique, surtout utile l’on chercheble des inten- tensions de branche.

1

Ik

Ik .



33

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n,cla

sse

prép

a

On choisit un sens arbitraire pour les différentes intensités circulant dans les trois bran-ches, mais les choix retenus ici sont assez « naturels », c’est-à-dire que l’on s’attend, lors-que à des valeurs positives pour et

• Méthode 1 : loi des nœuds en termes de potentiels

On peut prendre comme référence le potentiel du filreprésenté par la ligne inférieure du schéma (masse) :

et Le théorème de Millman donne directement :

On en déduit :

1 – Étude d’un circuit simple par trois méthodes

On considère le circuit suivant. Déterminer l’inten-sité du courant qui circule dans les diverses branchesen utilisant d’abord la loi des nœuds en terme depotentiel, la méthode de réduction du circuit et enfinla méthode d’utilisation directe des lois de Kirchoff.Conclure.

R1

R2 r E


E 0, I1, I2 Ir .

Aucune masse n’apparaît sur le schéma de l’énoncé, il faut en placer une en un point donné afinde simplifier les calculs. Il va de soi que le résultat obtenu est indépendant du point choisi.

R1

R2 r E

I1

Ir

N

M

A

I2

VM 0= E VA VM– VA .= =

VN

VN

VM

R2-------

VM

r-------

VA

R1------+ +

1R2------ 1

r--- 1

R1------+ +

----------------------------------E rR2( )

R2r R1r R2R1+ +------------------------------------------- .= =

I2VN

R2------ Er

R2r+R1r+R2R1---------------------------------------= =

IrVN

R1------

ER2

R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------= =

I1VN E–

R1----------------

–E r R2+( )

rR1 R2r R2R1+ +-------------------------------------------

= =

Prendre l’habitude de vérifier, quand on a une expression sous la forme d’une fraction, que ledénominateur ne contient pas de différences. En effet, dans ce cas, pour des valeurs particulièresde résistances, on pourrait aboutir à une valeur infinie, ce qui n’a pas de sens physique.



34Élect

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a

• Méthode 2 : réduction du circuit

• Calcul de On isole la branche NM dans laquelle circule (voir schéma ci-dessous).On cherche à transformer la partie du circuit encadrée en une seule branche.On reconnaît l’association parallèle de deux résistors.

En introduisant on a l’équivalence ci-dessous entre les deux circuits.

Il suffit alors d’appliquer la loi de Pouillet et on obtient :

En réduisant le circuit, on a perdu l’information concernant il faut donc le réduiredifféremment pour avoir

• Calcul de On isole donc la branche CM dans laquelle circule :

On reconnaît (fig. 1) dans la partie du circuit qui alimente le dipôle CM un générateur deforce électromotrice E et de résistance interne (représentation de Thévenin encadréeen pointillés) en parallèle avec le résistor r . Puisqu’ils sont en parallèle, il faut utiliser lareprésentation de Norton du générateur pour les associer. C’est sous cette forme que cedernier apparaît sur la fig. 2 dans le cadre en pointillés.

I1

I1

Re1rR2

r R2+-------------- ,=

R1

R2 r E

I1

N

M

Re1

R1

E

I1

N

M

⇔

I1E

R1 Réq1+----------------------- I1⇒

E r R2+( )R1 r R2+( ) rR2+-----------------------------------------= =

I2 ,I2.

Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle,quelle est l’information perdue ? En ai-je besoin ?

I2

I2

R1

R2 r E

I2

M

C

rR2 R1

M

C

I2

ER1----

Figure 1 Figure 2

⇔

R1

Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation deNorton.


35

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

On associe les deux résistors en parallèle (fig. 3),

soit

Il y a alors deux possibilités.• Première possibilité : on applique la formule du divi-seur de courant, ce qui conduit à :

avec

• Deuxième possibilité : on poursuit la réduction ducircuit à une seule maille en transformant la représen-tation de Norton du générateur encadré en pointilléssur la figure 3 en représentation de Thévenin (fig. 4).Il suffit alors d’appliquer la loi de Pouillet :

avec

• Calcul de

Il ne faut pas reprendre la méthode générale utilisée pour et pour pour ce circuit àdeux mailles indépendantes. La simple application de la loi des nœuds en

N

donne :

•

Méthode 3 : utilisation directe des lois de Kirchoff

Le circuit est composé de deux mailles indépendantes, par exemple et

R2

M

C

I2

ER1----Re 2

Figure 3

Re2rR1

r R1+--------------- .=

I2ER1------

G2

Ge2 G2+-------------------- E

R1------

Re2

Re2 R2+---------------------= = Re2

rR1

r R1+---------------=

I2Er

rR1 R2R1 R2r+ +------------------------------------------- .=

R2

M

C

I2

E Re2

R1----------

Re2

Figure 4

I2ERe2

R1------------

1Re2 R2+--------------------- ,= Re2

rR1

r R1+--------------- .=

I2Er

rR1 R2R1 R2r+ +-------------------------------------------=

Ir

I1 I2 ,

Ir I 1I 2

–ER2

R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------= =

R2 ; r( ) r ; R1 ; E( ).

On pourrait penser à tort que le circuit est constitué de trois mailles en considérant aussi lamaille mais cette dernière n’est pas indépendante des deux autres.En revanche, au lieu de choisir les deux mailles et on pourrait tout aussibien choisir et ou encore et cela ne changeraitrien au résultat.

Méthode :1re étape. La représentation de Thévenin est déjà utilisée pour le générateur 2e étape. Les sens arbitraires pour les intensités ont été choisis précédemment.3e étape. Appliquer la loi des nœuds au point N, ce qui donne l’intensité du courant dans labranche contenant r . 4e étape. Choisir un sens pour les flèches de tensions, un sens de parcours pour chacune desdeux mailles et appliquer la loi des mailles.

R2 ; R1 ; E( )R2 ; r( ) r ; R1 ; E( ),

R2 ; r( ) R2 ; R1 ; E( ) r ; R1 ; E( ) R2 ; R1 ; E( ),

E ; R1( )

Ir



36Élect

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n,cla

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prép

a

; ;

Maille (1) : (1)

Maille (2) : (2)

En injectant cette expression de dans l’expression (2), on arrive à :

Et on en déduit :

Remarque : Les trois méthodes conduisent aux mêmes résultats.

UR2R2I2= UR1

R1I1= Ur r I1 I2–( )=

R2

I1

R1

Urr

I2

N

E

I1 I2–

(1)(2)

U R1

U R2

UR1E– Ur+ 0=

R1I1 r I1 I2–( ) E–+ 0=

UR2Ur– 0=

R2I2 r I1 I2–( )– 0=

5e étape. Résoudre le système de deux équations à deux inconnues.

(1) I1rI2 E+

R1 r+------------------ .=⇒

I1

I2Er

rR1+R2R1+R2r----------------------------------------=

I1E(r+R2)

R2R1+rR1+R2r----------------------------------------=

Ir I1 I2–ER2

R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------= =

• Vérifier, quand on a une expression sous la forme d’une fraction, que le dénominateurne contient pas de différences.• Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel outel dipôle, quelle est l’information perdue ? En ai-je besoin ?• La loi des nœuds en terme de potentiel est bien adaptée ici pour trouver rapidementl’ensemble des intensités recherchées.• La réduction du circuit est une méthode lourde ici car on cherche I1 et I2. Toutefoissi l’on ne cherchait que l’une ou l’autre de ces valeurs, cette méthode nécessite moinsde calculs que l’utilisation directe des lois de Kirchoff.

en conclusion


37

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prép

a

On isole tout d’abord la branche AB à travers laquelle circule l’intensité que l’on veut cal-culer. Pour cela, on retrace le circuit en mettant clairement en évidence les associationsen parallèle et en série. On reconnaît en effet les associations suivantes :• le générateur de f.é.m. et le résistor sont en série ;

• le générateur de f.é.m. et le résistor sont en série ;

• les générateurs de Thévenin et sont en parallèle.

2 – Étude d’un circuit comportant un potentiomètre

Considérons un réseau constitué de 2 générateursidéaux de f.é.m. et alimentant une mêmerésistance r. Le circuit est fermé par l’intermé-diaire d’un potentiomètre CD et muni d’un cur-seur B réalisant un contact mobile dont laposition est caractérisée par un paramètre réel

La résistance totale de la branche Cet D est R, le curseur sépare la partie CB (résis-tance de la partie BD (résistance Calculer l’intensité I du courant circulant dans la branche centrale du circuit.

E2E1

A

B

C DR

xR 1 x–( )R

I

r

E1 E2

x 0 ; 1[ ]∈ .

xR), 1 x–( )R).


On ne cherche que la valeur d’une seule intensité, la méthode de réduction du circuit est doncbien adaptée. On pourrait aussi utiliser la loi des nœuds en terme de potentiel mais nous ne latraitons pas dans cette correction.

E1 xR

E2 1 x–( )RE1 ; xR( ) E2 ; 1 x–( )R( )

Prendre l’habitude de refaire les schémas pour :– faire apparaître clairement les associations série et parallèle ;– distinguer clairement la branche AB du réseau qui l’alimente.

E2E1 r

A

B

C D

xR 1 x–( )R

E

F

G

H

I



38Élect

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atha

n,cla

sse

prép

a

Pour mieux séparer la branche AB du reste du circuit, on permute les positions des bran-ches AB et GH, cela facilite le travail de réduction à un générateur équivalent du réseaualimentant AB.

Puisque les générateurs de Thévenin et sont en parallèle, on peut directe-

ment les associer en utilisant les formules vues encours ; ces deux générateurs sont équivalents à unseul générateur de c.é.m :

et de résistance interne :

On reconnaît un diviseur de courant, d’où :

A

B

C D

E

F

G

H

r

1 x–( )RxR

E2E1

I

On peut positionner les trois branches en parallèle EF, AB et GH dans n’importe quel ordre carcela ne modifie pas les propriétés du circuit. En effet, les points E , A et G sont tous les trois aumême potentiel, de même que F, B et H. Il est souvent utile de le faire.

A

B

I

RéqI0éq

r

r

E1 ; xR( )E2 ; 1 x–( )R( )

I0éqE1

xR------

E2

1 x–( )R--------------------- ,–=

RéqxR( ) 1 x–( )R

xR 1 x–( )R+---------------------------------- x 1 x–( )R.= =

II0éqRéq

Réq r+----------------- ⇒= I

E1 1 x–( ) xE2–

Rx 1 x–( ) r+--------------------------------------=

• Représenter différemment un schéma électrique pour faciliter les associations dedipôles.(1) Quand un générateur est en série avec un autre dipôle, il faut utiliser la représen-tation de Thévenin du générateur pour les associer.(2) Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser lareprésentation de Norton du générateur pour les associer.

en conclusion



Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon

de tension

39

© N

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n,cla

sse

prép

a

Quand on connecte les différents éléments d’un circuit, les grandeurs électriques telles quel’intensité et la tension évoluent au cours du temps. On dit que le régime est transitoire.Il dépend des conditions initiales.Après une durée suffisamment longue, théoriquement infinie, l’évolution est indépendantedes conditions initiales ; le régime est permanent.Un régime permanent continu est un régime indépendant du temps.Les grandeurs constantes seront notées en lettres majuscules ; les grandeurs variablesseront notées en lettres minuscules.

1 Circuit RC série

1.1. Caractéristiques d’un condensateurUn condensateur est un dipôle constitué de deux conducteurs (les armatures) séparés parun matériau isolant.Les condensateurs sont faiblement conducteurs. Dans les exercices, en l’absence d’indicationparticulière, un condensateur est considéré comme idéal, c’est-à-dire qu’aucun courant netraverse le matériau isolant.La capacité C d’un condensateur lie la tension aux bornes et la charge des armatures.

4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension


40

On perelation

lente à qA CuA=

É

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a

Un condensateur stocke de l’énergie électrique entre ses armatures. Le stockage est réversible.

Démonstration de l’expression de l’énergie à partir de la puissance p reçue :

(L’énergie est nulle quand la tension est nulle.)Une variation instantanée de l’énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce quiest physiquement impossible.

1.2. Circuit RC série soumis à un échelon de tension

1.2.1. Montage d’étudeL’interrupteur K est dans la position (a) (fig. 1). L’intensité du courant et la tension aux bornesdu condensateur sont nulles.

1.2.2. Échelon de tensionQuand on bascule l’interrupteur K de la position (a) à la position (b), la tension e passeinstantanément de la valeur nulle à la valeur E . On dit que le circuit RC est soumis à unéchelon de tension (figure b)).Dans la suite nous supposerons que l’interrupteur bascule à la date À la date il est dans la position (a). À la date il est dans la position (b).

q charge de l’armature A en coulomb (C). tension aux bornes en volt (V).

C capacité du condensateur en farad (F).En convention récepteur :

q charge d’une armature en coulomb (C).i intensité du courant arrivant sur l’armature portant la charge q enampère (A).

u tension aux bornes du condensateur en volt (V).énergie stockée dans le condensateur en joule ( J).

C capacité du condensateur en farad (F).

L’énergie, la tension aux bornes et la charge d’un condensateur sont des fonctionscontinues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité.

Remarqueut retenir la sous la forme

équiva-B ,

qB CuBA .=

q Cu=

u

i

A B

− qqu vA vB–=

idqdt------ C

dudt------= =

wC12---Cu2 1

2---q

2

C-----= = wC

p uidwC

dt----------- dwC⇒ u C

dudt------ C

ddt----- u

2

2-----

wC⇒ 12---Cu2.= = = = =

(b)

E

(a) K

e

e

E

t

R

C

i

u

b) Échelon de tension.a) Circuit RC soumis à un échelon de tension(interrupteur dans la position (b)).

O

Fig. 1

t 0.=

t 0–,= t 0+,=


41

La conaussi ade redurée caracté

Il faut dla solutde l’éqrentielletermine

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n,cla

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a

1.2.3. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur.Constante de temps

Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit :

1.2.4. Résolution de l’équation différentielle. Évolution de la tensionL’équation différentielle de la tension est une équation différentielle linéaire du premierordre à coefficients constants et à second membre non nul.

APPLICATION DE LA MÉTHODE

1. Résolution de l’équation différentielle sans second membre

2. Solution particulière de l’équation différentielle complète : 3. Solution générale de l’équation différentielle complète :

4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, àsavoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur : Il vient : La solution de l’équation différentielle complète s’écrit :

1.2.5. Courbe normalisée de l’évolution de la tension

Introduisons les variables réduites (sans dimension) et ; on dit qu’on effectue

une réduction canonique, ou que les grandeurs sont normalisées.

L’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d’un circuit RC

série soumis à un échelon de tension E est :

est la constante de temps du circuit RC .

Point méthode 1. Résolution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficientsconstants et à second membre non nul.1. Résoudre l’équation différentielle sans second membre en introduisant une constante.2. Rechercher la solution particulière de l’équation différentielle complète.3. Écrire la solution générale de l’équation différentielle complète avec la constante.4. Déterminer la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir :– continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ;– continuité de l’intensité du courant qui traverse une bobine.

Point maths. • Écrire l’équation caractéristique de l’équation différentielle :

• Exprimer la solution r de l’équation caractéristique :

• Exprimer la solution en introduisant une constante :

avec

Remarquestante τ est

ppelée tempslaxation, ou

(ou temps)ristique.

Ri u+ E.=

τ dudt------ u+ E.=

τ RC=

τdudt------ u+ 0.=

τr 1+ 0.=

r1τ--- .–=

ussm

ussm Aert Aetτ--–,= = A constante.=

up up E .=

u ussm up+=

u Aetτ---–E .+=

Attention’abord écrireion complèteuation diffé- avant de dé-r la constante.

ut 0+= ut 0–= .=A E+ 0 A⇒ E .–= =

u E 1 etτ---–

– .=

xtτ--= y

uE----=



42É

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n,cla

sse

prép

a

L’équation différentielle normalisée est La solution normalisée est

La courbe normalisée donnant y en fonction de x est donnée (figure 2a).

Pente à l’origine de la courbe normalisée :

1.2.6. Courbe normalisée de l’évolution de l’intensité

La courbe normalisée est celle de en fonction de (figure 3b).

1.2.7. Régime permanent continuLe régime permanent continu est atteint au bout d’une durée infinie. En réalité il est pra-

tiquement atteint, à 1 % près, au bout d’une durée puisque La constante

de temps caractérise l’évolution du régime transitoire.En régime permanent continu : ; ;

Du point de vue des courants et des tensions, un condensateur est équivalent à uninterrupteur ouvert en régime permanent continu (figure 3).

dydx------ y+ 1.= y 1 e x– .–=

dydx------

01.=

i Cdudt------ E

R---- e

tτ--–.= =

RiE------ t

τ--

Fig. 2

RiE------

uE----

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 6 8

tτ--

tτ--

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 6 8

Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) pour un circuit RCsoumis à un échelon de tension.

a) Remarquer la continuité de la tension à b) Remarquer la discontinuité de l’intensité à

t 0.=t 0.=

1 1

a) b)

5τu 5τ( )

E---------- 0,99.=

Up E= Ip 0= Q p CE.=

Fig. 3Ip 0=

Un condensateur en régime permanent continu est équivalent à un interrupteur ouvert.

Ip 0=

Up constante=Up constante=


43

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a

1.2.8. Bilan énergétiqueÉnergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire :

Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire :

Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire :

En régime permanent continu, le courant est nul donc la puissance reçue par le circuit RCest nulle.

1.3. Régime libre du circuit RCLe régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur Eà la valeur nulle quand on bascule brutalement l’interrupteur K de la position (b) à la posi-tion (a). On dit que le circuit RC est en régime libre (fig. 4). Soit la date du basculement.L’équation différentielle de la tension u se réduit à :

dont la solution est L’intensité est

En régime permanent continu : ; ; Toute l’énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire a été dissipée pareffet Joule dans le résistor.

WC12---CUp

2 12---Cut 0=

2–12---CE2.= =

WE = Eidt EQ p CE2.= =0

∞

∫

WR WE WC–12---CE2.= =

t ′ 0=

τ dudt′------- u+ 0,=

u Eet ′τ----–

.= iE

R----e

t ′τ----–

.–=

U ′p 0= I ′p 0= Q ′p 0.=

Fig. 4

a) b)

0

−0,2

−0,4

−0,6

−0,8

−1

2 4 6 8

−2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2 4 6 8

a) Remarquer la continuité de la tension à b) Remarquer la discontinuité de l’intensité à

t ′ 0 .=t ′ 0 .=

Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) d’un circuit RC en régime libre.

t ′τ-----

t ′τ-----

1

1

uE---- Ri

E------



44É

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atha

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prép

a

2 Circuit RL série

2.1. Caractéristiques d’une bobineUne bobine est un dipôle constitué d’un enroulement de fil conducteur autour d’un matériaumagnétique.Elle a toujours une résistance, celle du fil. Une bobine idéale est une bobine dont on peutnégliger la résistance ; elle est caractérisée par son inductance propre.Une bobine réelle d’inductance et de résistance peutêtre considérée comme l’association en série d’une bobineidéale d’inductance et d’un résistor de résistance En l’absence d’indication dans un exercice sur la valeurde sa résistance, une bobine est considérée comme idéale.

Le passage du courant provoque le stockage d’énergie magnétique dans la bobine. Lestockage est réversible.

Démonstration de l’expression de l’énergie à partir de la puissance p reçue :

(L’énergie est nulle quand le courant est nul.)Une variation instantanée de l’énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce quiest physiquement impossible.

2.2. Circuit RL série soumis à un échelon de tension

2.2.1. Équation différentielle de l’intensité. Constante de tempsSupposons qu’à date la tension e passe dela valeur nulle à la valeur E. Le circuit RL(figure 5) est alors soumis à un échelon de tension.Quand le circuit est fermé, la loi des mailless’écrit :

d’où

En convention récepteur :i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A).u tension aux bornes en volt (V).L inductance propre de la bobine en henry (H). r résistance de la bobine en ohm (Ω).

i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). énergie stockée dans la bobine en joule ( J).

L inductance propre de la bobine en henry (H).

L’énergie et l’intensité du courant qui traverse une bobine sont des fonctionscontinues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité.

rLi

u

L r

L r.

u ri Ldidt-----+=

wL12---Li 2= wL

p uidwL

dt---------- dwL⇒ Li

didt----- L

ddt----- i

2

2-----

wL⇒ 12---Li 2.= = = = =

Fig. 5

ue

i

L

R

t 0,=

Ri u+ E,= Ldidt----- Ri+ E.=


45

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a

2.2.2.Évolution de l’intensité qui traverse la bobine idéaleAppliquons la méthode de résolution de l’équation différentielle donnée au paragraphe 1.2.4.(point méthode 1).1. Solution de l’équation différentielle sans second membre :

avec 2. Solution particulière de l’équation différentielle complète :

3. Solution générale de l’équation différentielle complète :

4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, àsavoir la continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine :

La solution de l’équation différentielle complète s’écrit :

2.2.3.Évolution de la tension aux bornes de la bobine idéaleL’évolution de la tension aux bornes est :

2.2.4.Courbes normalisées

La courbe normalisée de l’intensité est celle donnant en fonction de :

La courbe normalisée de la tension est celle donnant en fonction de :

L’équation différentielle de l’intensité du courant qui traverse la bobine d’un circuitRL série soumis à un échelon de tension E est :

est la constante de temps du circuit LC .

τ didt----- i+

ER---- .=

τ LR---=

issm Bert Betτ--–,= = B cte.=

ipER---- .=

i Betτ--– ER---- .+=

it 0 += it 0–= BER----+⇒ 0 B⇒ E

R---- .–= = =

iER---- 1 e

tτ--–

– .=

u Ldidt----- E e

tτ--–.= =

RiE------ t

τ--

RiE------ 1 e

tτ--–.–=

uE---- t

τ--

uE---- e

tτ--–.=



46É

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2.2.5.Régime permanent continuLe régime permanent continu est atteint au bout d’une durée infinie.

En réalité, il est pratiquement atteint au bout d’une durée puisque

En régime permanent continu : et

2.2.6.Bilan énergétiqueÉnergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire s’écrit :

En régime permanent continu :• la puissance reçue par la bobine est nulle : ;• la puissance fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans le résistor :

2.3. Régime libre du circuit RLLe régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de lavaleur E à la valeur nulle quand on éteint la source ; le circuit est en régime libre. Soit

la date de l’extinction.

Le temps de relaxation donne un ordre de grandeur de la durée réelle du

régime transitoire du circuit RL soumis à un échelon de tension.

Du point de vue des courants et destensions, une bobine idéale est équiva-lente à un interrupteur fermé en régimepermanent continu.

Fig. 6

a) b)

a) Remarquer la continuité de l’intensité à la date b) Remarquer la discontinuité de la tension à la date

t 0.=t 0.=

uE----

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 6

RiE------

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 61 1tτ--

Évolutions de l’intensité (a) et de la tension (b) pour un circuit LC soumis à un échelon de tension.

tτ--

5τRi 5τ( )

E-------------- 0,99.=

τ LR---=

Up 0= IpER---- .=

Ip constante=

Up 0=

Ip constante=

Up 0=

WL12---LIp

2 12---Lit 0 +=

2–12---LIp

2.= =

PLp UpIp 0= =PEp EIp=

PRp RIp2RIpER---- EIp.= = =

t ′ 0=


47

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L’équation différentielle de l’intensité se réduit à :

dont la solution est La tension est

En régime permanent continu : et Toute l’énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire a été dissipée par effetJoule dans le résistor.

3 Circuit RLC série3.1. Équation différentielle de la tension aux bornes

du condensateurSupposons qu’à date la tension epasse de la valeur nulle à la valeur E . Le cir-cuit RLC (Fig. 8) est alors soumis à un éche-lon de tension. Quand le circuit est fermé, laloi des mailles s’écrit :

avec

D’où

τ didt ′-------- i+ 0,=

iER---- e

t ′τ----–

.= u Ldidt----- Ee

t ′τ----–

.–= =

U ′p 0= I ′p 0.=

Fig. 7

b)

0

−0,2

−0,4

−0,6

−0,8

−1

2 4 6 8

a)

−2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2 4 6 8

a) Remarquer la continuité de l’intensité à b) Remarquer la discontinuité de la tension à

t ′ 0 .=t ′ 0 .=

Courbes normalisées des évolutions de l’intensité (a) et de la tension (b) d’un circuit RL en régime libre.

uE----Ri

E------

t ′τ-----

t ′τ-----

1

1

e

R

C

i

u

L

Fig. 8t 0,=

Ri Ldidt----- u+ + E,= i C

dudt------ .=

d2udt2---------

RL---du

dt------ u

LC-------+ +

ELC------- .=



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3.2. Résolution l’équation différentielle réduite

APPLICATION DE LA MÉTHODE

1. Résolution de l’équation différentielle réduite sans second membre

L’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d’un circuitRLC série soumis à un échelon de tension E est :

ou

• est la pulsation propre du circuit RLC. Elle s’exprime en

• est la période propre du circuit RLC. Elle s’exprime en s.

• est le coefficient d’amortissement du circuit RLC. C’est un

paramètre sans dimension (nombre).• On définit aussi le facteur de qualité Q par :

Réduction canonique de l’équation différentielle

• En posant il vient : et

• En posant aussi la réduction de l’équation différentielle conduit à :

L’équation différentielle obtenue est une équation différentielle normalisée ; x et y sontdes variables sans dimension.

Point méthode 2. Résolution de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficientsconstants et à second membre non nul.1. Résoudre l’équation différentielle sans second membre en introduisant deux constantes.2. Rechercher la solution particulière de l’équation différentielle complète.3. Écrire la solution générale de l’équation différentielle complète avec les constantes.4. Déterminer les constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, àsavoir :– continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ;– continuité de l’intensité du courant qui traverse une bobine.

Point maths. • Écrire l’équation caractéristique de l’équation différentielle :

• Écrire le discriminant réduit de l’équation caractéristique :

d2udt 2--------- 2σω0

dudt------ ω0

2u+ + ω0

2E= d2u

dt 2---------

ω0

Q------ du

dt------ ω0

2u+ + ω0

2E.=

ω01LC

-----------= rad · s 1– .

T0 2π LC=

σ R2Lω0-------------

R2--- CL---= =

QLω0

R---------- 1

RCω0---------------

1R--- LC---

12σ------- .= = = =

x ω0t,= dudt------

dudx------dx

dt------ ω0

dudx------= = d2u

dt 2---------

ddt----- ω0

dudx------

ω02 d2udx 2--------- .= =

yuE---- ,=

d2ydx 2--------- 2σ dy

dx------ y+ + 1.=

d2ydx 2--------- 2σ dy

dx------ y+ + 0.=

r2 2σr 1+ + 0.=

∆ σ2 1–( ).=


49

Le régimun cas llité phvaleur être exaà 1.

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2. Solution particulière de l’équation différentielle complète : 3. Solution générale de l’équation complète.
a. Régime apériodique

b. Régime pseudo-périodique

ou

c. Régime critique

4. Conditions initiales imposées au circuitÀ la fermeture de l’interrupteur (date :• la tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité. S’il est initialementdéchargé, alors : D’où :

• l’intensité du courant qui traverse la bobine ne subit pas de discontinuité donc :

On en déduit les valeurs des constantes dans chacun des cas.


;

;

Si le discriminant est positif ; le régime est apériodique.

Si le discriminant est négatif ; le régime est pseudo-périodique.

Si le discriminant est nul ; le régime est critique.

• Exprimer la solution de l’équation caractéristique.

Si les solutions sont réelles : et

Si les solutions sont complexes. On pose : avec

D’où : et

Si la solution est double :

• Exprimer la solution de l’équation différentielle sans second membre.Si alors avec et constantes réelles.

Si alors avec et constantes

réelles, ou avec et constantes réelles.

Si alors avec et constantes réelles.

σ 1 Q12---

,

σ 1 Q12---

,

σ 1= Q12---=

,

Remarquee critique est

imite sans réa-ysique car lade σ ne peutctement égale

σ 1, r1 σ– ∆+= r2 σ– ∆.–=

σ 1, ∆ j 2 ∆–= j 2 1.–=

r1 σ– j ∆–+= r2 σ– j ∆–+=

σ 1,= r1 r2 1.–= =

σ 1, yssm A1er1x A2er2x+= A1 A2

σ 1, yssm e σx– B1 ∆– x( )cos B2 ∆– x( )sin+[ ]= B1 B2

yssm B ′e σx– ∆– x ϕ+( )cos= B ′ ϕσ 1,= yssm e x– C1x C2+[ ]= C1 C2

yp 1.=

σ 1( )y 1 A1er1x A2er2x.+ +=

σ 1( )

y 1 e σx– B1 ∆– x( )cos B 2 ∆– x( )sin+[ ]+= y 1 B ′e σx– ∆– x ϕ+( ).cos+=

σ 1=( )y 1 e x– C1x C2+[ ].+=

t 0+)=

u 0( ) 0.= y 0( ) 0.=

i 0( ) Cdudt------

0( )0 dy

dx------

0( )⇒ 0.= = =

y 0( ) 1 A1 A2+ + 0= =dydx------

0( )r1A1 r2A2+ 0= =

A1⇒r2r1 r2–---------------= A2

r1r1 r2–--------------- .–=



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a


;

;

c. Régime critique

;

La solution complète de l’équation différentielle s’écrit :



c. Régime critique

3.3. Évolution de la tension et de l’intensité

Il suffit de remplacer, dans les équations précédentes, x par et y par


;


;

L’expression fait apparaître la pseudo-pulsation :

Pseudo-période :

c. Régime critique

;

L’expression de l’intensité se déduit de celle de la tension par la relation

y 0( ) 1 B1+ 0= =dydx------

0( )σB1– 1 σ2– ; B 2 + 0 = =

B1 1–=⇒ B2σ

1 σ2–------------------- .–=

y 0( ) 1 C2+ 0= =dydx------

0( )C2– C1+ 0= =

C2⇒ C1 1– .= =

y 1 σ σ2 1–+

2 σ2 1–-----------------------------e σ– σ2 1–+( )x σ– σ2 1–+

2 σ2 1–---------------------------------e σ– σ2 1––( )x.––=

y 1 e σx– 1 σ2– x( )cos σ1 σ2–

------------------- 1 σ2– x( )sin+ .–=

y 1 e x– x 1+[ ]–= .

ω0tuE---- .

σ 1 Q12---

uE---- 1 σ σ2 1–+

σ2 1–-----------------------------e σ– σ2 1–+( )ω0t σ– σ2 1–+

σ2 1–---------------------------------e σ– σ2 1––( )ω0t.+ +=

σ 1 Q12---

uE---- 1 e σω0t– ω0 1 σ2– t( )cos σ

1 σ2–------------------- ω0 1 σ2– t( )sin+–=

ω ω0 1 σ2– .=

T2πω------ 2π

ω0 1 σ2–--------------------------

T0

1 σ2–------------------- .= = =

σ 1= Q12---=

uE---- 1 e ω0t– ω0t 1+[ ].–=

i Cdudt------ .=


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3.4. Résistance critiqueLa valeur limite correspond à la valeur critique de R :

• Le régime est apériodique si (amortissement important).• Le régime est pseudo-périodique si (faible amortissement).• Le régime est critique si (amortissement critique, cas limite sans réalité physique).

3.5. Durée du régime transitoire

• En régime apériodique, le terme dont la décroissance est la plus lente

donne la durée caractéristique du régime apériodique :

• En régime pseudo-périodique et en régime critique, c’est l’enveloppe exponentielle

qui donne la durée caractéristique du régime :

3.6. Régime permanent continuEn régime permanent continu : ; ;

3.7. Courbes normalisées

3.8. Bilan énergétique• Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire :

• Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire :

σ 1= RC

RC 2 LC--- .=

R RC

R RCR RC=

e σ– σ2 1–+( )ω0t

τ 1

σ– σ2 1–+( )ω0

--------------------------------------------- .=

e σ– ω0t τ 1σω0----------

2Qω0------- .= =

UCp E= ULp 0= Ip 0.=

Fig. 9

iCE ω0----------------

uE----

ω0t

ω0t

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

05 10 15 20

0,6

0,4

0,2

0

–0,2

10 15 205

En trait fin, (régime pseudo-périodique) ; en points, (régime apériodique) ; en pointillés, (régime critique).

σ 0,25= σ 3,5=σ 1=

a) b)

Évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) pour un circuit RLC soumis à un échelon de tension.

WC12---CUp

2 12---Cut 0=

2–12---CE 2.= =

WL12---LIp

2 12---Lit 0=

2– 0.= =



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• Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire :

• Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire :

En régime permanent continu, le courant est nul, donc la puissance reçue par le circuitRLC est nulle.

4 Établissement d’un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique

Lorsqu’on soumet un circuit RC, RL, ou RLC à une tension périodique de période T, unrégime permanent périodique de même période T apparaît, après un régime transitoirede durée caractéristique du circuit ; on dit que c’est un régime périodique forcé.

4.1. Circuit RC soumis à une tension en créneauxUne tension en créneaux est une tension périodique qui prend une valeur constante pen-dant la première demi-période puis une valeur nulle pendant la seconde (courbe en cou-leur sur la figure 10). La figure montre qu’après un régime transitoire, un régimepermanent périodique de même période que celle de la tension en créneaux est établi. Ondit qu’il s’agit d’un régime périodique forcé car la source impose sa période au circuit.Le régime est établi quand lorsque les tensions extrêmes sont constantes ; la frontièreentre les deux régimes n’est pas nettement marquée.

4.2. Circuit RLC soumis à une tension alternative sinusoïdale

La figure 11 montre qu’après le régime transitoire le régime permanent périodique est établi.Il est alternatif sinusoïdal, de même période que celle de la tension source. On dit que lerégime est sinusoïdal forcé ; son étude sera faite au prochain chapitre.

WE = Ei dt E=0

∞

∫ i dt EC=0

∞

∫ du CE 2.=0

∞

∫

WR WE WC WL––12---CE 2.= =

Fig. 10

1

0,8

0,6

0,4

0 0,02 0,06 0,08 0,1

Régime transitoire Régime périodique forcét

Tension (en noir) aux bornes du condensateur d’un circuit RC soumisà une tension en créneaux (en couleur).

0,2

0,04


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5 Approximation des régimes quasi permanents (ARQP)

Considérons le circuit de la figure 12.Le condensateur C est initialementdéchargé.Après la fermeture de l’interrupteurK, les ampèremètres indiquent-ils, àchaque instant, la même valeur del’intensité ?L’expérience montre que l’intensité

est en retard sur l’intensité: On dit que le courant se propage dans le circuit.

Le retard est lié à la distance PQ et à célérité c des ondes électromagnétiques dans levide par la relation :

avec

Une étude complète doit être menée dans le cadre de l’électromagnétisme ; elle sera abor-dée en deuxième année.La durée de propagation est négligeable si elle est très petite devant les durées caractéris-tiques d’un régime (temps de relaxation, période) ; on dit alors que le régime est quasi per-manent, ou quasi stationnaire.L’approximation des régimes quasi permanents (ARQP), ou approximation des régimesquasi stationnaires (ARQS) consiste à négliger les effets liés à la propagation des courantset des tensions ; l’intensité est la même en tous les points d’une branche d’un circuit.L’approximation est justifiée pour tous les circuits étudiés en électrocinétique.

Fig. 11

15

5

0

–5

–10

–15

Régime transitoire Régime sinusoïdal forcé

t

Tension (en noir) aux bornes du condensateur d’un circuit RLC soumis à une tensionsinusoïdale (en couleur).

10

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

K P

E

Q

R

C

iQ (t )iP (t )

A A

Fig. 12

iQ t( )ip t( ) iQ t( ) ip t θ–( ).=

θ

θ PQc

-------- ,≈ c 3,0 · 108 ms 1– .=



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1 Un condensateur déchargé est neutre. Quand on le charge, des charges opposéess’accumulent sur les armatures ; le condensateur reste neutre. Une des armatures porte la
charge l’autre porte la charge :

2 Avec l’orientation imposée par le schéma, la tension est positive :

3

1 – Régime libre d’un circuit RC

On considère un condensateur de capacité dont l’armature supérieureporte la charge placée dans le circuit suivant. Le résistor a une résis-tance

1 Quelle est la charge portée l’armature inférieure ?

2 Quelle est la tension aux bornes du condensa-teur ?

3 Quelle est l’énergie stockée par le condensa-teur ?

À la date on ferme l’interrupteur K .

4 Quelles sont les valeurs de la tension et de l’intensité ?

5 Quelles sont les valeurs de la tension et de l’intensité en régimepermanent ?

6 Calculer la constante de temps du circuit.

7 Établir l’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur.

8 Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de latension et du courant.

9 Tracer la courbe donnant la tension en fonction du temps.

10 Déterminer la date à laquelle la tension est égale à 1 % de la tension initiale.

Exprimer le rapport et conclure.

C 1,0 µF,=Q 0 10 µC,=

R 10 kΩ.=

Q0

Cu R

i

K

U0

WC

t 0,=

ut 0+= it 0+=

Up Ip

τ

u t( ) i t( )

u t( )

θθτ---


Q 0 10 µC,= Q 0 10 µC–=

Q 0 CU0 ⇒= U0 10 V=

W C12---CU0

2 12---Q 0U0 50 µJ = = =


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4 La tension aux bornes d’un condensateur est une fonc-

tion continue, donc :

Appliquons la loi d’Ohm au résistor R :

5 Le condensateur se décharge dans le résistor ; son énergie y est dissipée par effet Joule.

En régime permanent : (car est nulle ) et

6

7 Appliquons la loi d’Ohm au résistor R : Soit dq la variation de la charge de l’armature supérieure pendant la durée Il vient :

d’où :

8 L’équation précédente est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coef-ficients constants et à second membre nul.Appliquons la méthode donnée au § 1.2 de « Retenir l’essentiel » (point méthode 1).

a. Solution de l’équation différentielle : avec

b. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension :

c. Solution complète de l’équation différentielle :

C

uR

i

K

u t 0+= ut 0–= U0 10 V = = =

it 0+=

ut 0+=

R------------- 1,0 mA= =

Up 0= WCp IpUp

R------ 0= =

τ RC 10 ms = =

u Ri.=

dt .

i dqdt------– C–

dudt------ ,= = τdu

dt------ u+ 0=

La relation ne s’applique que si le condensateur est en convention récepteur. En

convention générateur il faut écrire :

i Cdudt------=

i C–dudt------ .=

u Aetτ--–

= A cte.=

ut 0+= ut 0–= U0 U0⇒ Ae0 A.= = = =

u U0etτ--– ; u t ( ) 10e 100 t – V ( ) ==

La résolution d’une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l’intro-duction d’une constante.Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer la constante.La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : – de la tension aux bornes des condensateurs ;– ou de l’intensité du courant qui traverse les bobines.

4 – Circuits RC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension


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a

On en déduit l’intensité en appliquant la loi d’Ohm :

A.N. :

9

La courbe est celle tracée ci-contre.

10

La date à laquelle la tension est égale à 1 %de la tension initiale est telle que :

s

La décharge est pratiquement terminée à la date

i uR---

U0

R------e

tτ--–

= =

10

8

6

4

2

0 0,01 0,03 0,05 t s( )

u V( )

0,02 0,04 0,06

i t( ) 1,0e 100t–= mA( ).

θ

uθ 10e 100θ– 10 1– e100θ⇒ 102= = =

θ⇒ 10 2– 102( )ln 2 10 2– 10( )ln·= =

4,6 10 2–·=

θτ--- 5≈

θ 5τ.=

La constante de temps donne un ordre de grandeur de la durée réelle d’un régime transitoire dupremier ordre.

Considérons les valeurs suivantes :

; ;

On voit que la décharge est pratiquement terminée à la date

uU0------

t τ=

37 %=u

U0------

t 2τ=

13 %=u

U0------

t 3τ=

5 %.=

t 3τ.=

• Faire attention aux conventions d’orientation des dipôles.

– La relation pour le condensateur, et la relation pour la bobine

ne s’appliquent que si ces dipôles sont en convention récepteur.

– En convention générateur il faut écrire : et

• La résolution d’une équation différentielle du premier ordre sans second membreimpose l’introduction d’une constante. Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer laconstante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : – de la tension aux bornes des condensateurs ;– ou de l’intensité du courant qui traverse les bobines.• La constante de temps donne un ordre de grandeur de la durée d’un régime tran-sitoire du premier ordre. Le régime permanent est atteint à 1 % près au bout d’unedurée égale à

i C dudt------= u Ldi

dt-----=

i C–dudt------= u L–

didt-----.=

τ

5τ.

en conclusion


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1

2 Le circuit RL ne comporte pas de générateur et l’interrupteur K est ouvert ; tous lescourants sont nuls avant la fermeture de l’interrupteur. L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue donc :

La tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue, donc :

La loi d’Ohm aux bornes du résistor s’écrit : (il est en convention récepteur),d’où :

2 – Circuit RLC parallèle

On considère le circuit suivant.Données : ; ; L’armature supérieure porte la charge À la date on ouvre l’interrupteur K.

1 Quelle est la tension aux bornes du conden-sateur avant la fermeture de l’interrupteur ?

2 Quelles sont les valeurs et de la tension et des intensités après fermeture del’interrupteur ?

3 Établir l’équation différentielle de la tension auxbornes du condensateur.

4 Mettre l’équation différentielle sous la forme Calculer

la pulsation propre le coefficient d’amortissement et le facteur de qualité Qdu circuit. En déduire la nature du régime.

5 Mettre l’équation différentielle sous la forme canonique en

posant et et résoudre l’équation différentielle. En déduire les

expressions et de la tension et de l’intensité.

6 Tracer les courbes correspondantes.

C 1,0 µ F = L 0,10 H= R 1,0 k Ω . =Q 0 20 µ C. =

iR Ri

iL

L C u

Kt 0,=

U0

u0+, i0+, i L0+ i R0+

d2udt 2--------- 2σω0

dudt------ ω0

2u+ + 0.=

ω0, σ

d2ydx2-------- 2σdy

dx------ y+ + 0=

x ω0t= y uU0------=

u t( ) i t( )


Q 0 CU0 ⇒= U0 20 V=

i L0+ i L0– 0= =

u0+ u0– U0 20 V( )= = =

u Ri R=

i R0+

u0+

R-------

U0

R------ 20 mA( )= = =



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a

La loi des nœuds permet d’écrire :

3 Écrivons les différentes relations entre les grandeurs qui vont nous servir :

(loi des nœuds), et (loi d’Ohm).

Il vient :

Ce qui conduit à :

4 Divisons l’équation par LC :

On peut alors identifier les termes recherchés :

et et

Remarque : Un circuit RLC série devient idéal quand ; il se réduit alors à un circuit.

Pour réduire à un circuit LC un circuit RLC parallèle il faut que On comprendalors que les expressions du facteur de qualité de chacun des circuits soient inverses l’unede l’autre.Le régime est pseudo-périodique car l’amortissement est inférieur à 1 (facteur de qualitésupérieur à 0,5).

i0+ i R0+ i L0++ i R0+ 20 mA( )= = =

i i L i R+= i C–dudt------ ,= u L

diL

dt-------- ,= u Ri R=

Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur.

u Ldi L

dt--------- L d

dt----- i i R–[ ] L d

dt----- C–

dudt------ u

R---– L C–

d2udt 2--------- 1

R---du

dt------– .= = = =

LC d2udt 2--------- L

R---du

dt------ u+ + 0=

d2udt 2---------

1RC-------- du

dt------ u

LC-------+ + 0.=

ω01LC

------------ 3,1 103 rad s 1–· ·= =

2ω0σ 1RC-------- ⇒= σ 1

2R------- L

C---- 0,16= = Q 1

2σ------- R C

L---- 3,16= = =

Les expressions de et de Q ne sont pas celles du circuit RLC série car les trois composants sont en

parallèle. En série, alors que,

σ

Qsérie

Lω0

R--------

1R--- L

C---- ,= = Qparallèle

1Qsérie-----------

RLω0-------- .= =

R 0=LC

R ∞.=


59

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5 Voir § 3.2 de « Retenir l’essentiel » pour établir l’équation différentielle réduite.

Appliquons la méthode donnée dans « Retenir l’essentiel » (point méthode 2) pourrésoudre l’équation différentielle.a. Solution générale.• Équation caractéristique : Discriminant réduit :

• Solutions : et avec et

Les solutions sont complexes, le régime est pseudopériodique.• Solution de l’équation différentielle :

avec A et B constantes réelles.

b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir :• Continuité de la tension aux bornes du condensateur :

• Continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine :

Il faut chercher D’après la deuxième question, la condition implique

Par ailleurs et ;

donc D’où :

c. Solution de l’équation différentielle

Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sansdimensions. Cela simplifie sa résolution.

r2 2σr 1+ + 0.=

∆ σ2 1– 0,98– ?Moi= =

r 1 σ– j ∆–+= r 2 σ– j ∆– ,+= ∆ j2 ∆–= j2 1.–=

y e σx– A ∆– x( )cos B ∆– x( )sin+[ ],=

ut 0+= ut 0–= U0 yx 0=⇒ 1 A⇒ 1.= = = =

iL0+ 0.=

dydx------

0+

. iL0+ 0=

i0+ iR0+

u0+

R-------

U0

R------ .= = = i0+ C du

dt------

0+

–= dudt------

d U0y( )

d xω0------

------------------ U0ω0

dydx------= =

dydx------

0+

1Cω0---------- du

dt------

0+

–i0+

Cω0U0------------------–

1RCω0---------------– 2σ.–= = = =

dydx------

0

σA– B ∆–+ 2σ– B⇒ σ–

∆–----------- .= = =

C’est bien en écrivant la continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine que l’ondétermine la constante B. Mais ici, comme parfois, la détermination de la relation entre lesconstantes est indirecte.

y e σx– ∆– x( )cos σ∆–

----------- ∆– x( )sin– .=

La résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l’intro-duction de deux constantes : Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer les constantes.Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : – de la tension aux bornes des condensateurs, – et de l’intensité du courant qui traverse les bobines.



60Élect

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A.N. :

Sachant que et que il vient :

L’expression de l’intensité se déduit de la relation

On vérifie qu’à la date l’intensité est égale à 20 mA.

6 Les courbes sont tracées ci-dessous.

y e 0,158x– 0,987x( )cos 0,16 0,987x( )sin–[ ].=

Il faut maintenant revenir à la fonction en utilisant les relations et u t( ) x ω0t= u U0 y.=

ω0 3,1 103 rad s 1–· ·= U0 20 V,=

u t( ) 20e 5,0– 102t· 3,1 103t·( )cos 0,16 3,1 103t·( )sin–[ ] V( )=

i C–dudt------ .=

i t( ) e 5,0– 102t· 20 3,1 103t·( )cos 60 3,1 103t·( )sin+[ ] mA( )=

t 0=

20

u V( ) i A( )

t s( ) t s( )

15

10

5

0

−5

−10

0,002 0,0020,006 0,0060,01 0,010

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

−0,01

−0,02

−0,03

0,004 0,0080,004 0,008

• Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que destermes sans dimension. Cela simplifie sa résolution.• La résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membreimpose l’introduction de deux constantes.Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer lesconstantes.Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : – de la tension aux bornes des condensateurs,– et de l’intensité du courant qui traverse les bobines.• Le facteur de qualité Q d’un circuit RLC parallèle s’écrit Q R

Lω0---------.=

en conclusion


61

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1 La pulsation propre du circuit LC est :

La résistance du circuit est nulle , donc :

2 Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit :

avec

Il vient D’où :

3 – Circuit LC

On considère le circuit ci-dessous.Données : et Le condensateur est chargé ; la tension à ses bornes est À la date on ferme l’interrupteur K.

1 Calculer la pulsation propre est du circuit. Quelleest la valeur du coefficient d’amortissement ducircuit ? Quelle est la valeur du facteur de qualité Q ?

2 Montrer que l’équation différentielle de la tension

aux bornes du condensateur s’écrit :

3 Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de latension et de l’intensité.

4 Calculer l’énergie totale du circuit. Conclure.

C 1,0 µF= L 10 mH.=U0 20 V.=

Cu L

i Kt 0,=

ω0σ

d2udt 2--------- ω0

2u+ 0=

u t( ) i t( )


ω01LC

------------ 1,0 104 rad s 1–· ·= =

σ 0 et Q ∞= =

On peut dire que la « qualité » du circuit LC est infinie. Le circuit LC est un circuit idéal, car dansla réalité la résistance d’une bobine n’est jamais nulle.

L didt----- u– 0,= i C–

dudt------ .=

Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur.

LC d2udt 2--------- u+ 0.=

d2udt 2--------- ω0

2u+ 0=



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3 Appliquons la méthode donnée dans « Retenir l’essentiel » (point méthode 2) pourrésoudre l’équation différentielle.a. Solution générale de l’équation différentielle. • Équation caractéristique : • Posons avec Les solutions sont complexes :

et• Solution de l’équation différentielle :

avec A et B constantes réelles.b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : • Continuité de la tension bornes du condensateur : • Continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine :

c. Solution de l’équation différentielle : ;

A.N. :

L’expression de l’intensité se déduit de la relation En effet :

A.N. :

4 L’énergie du circuit est la somme des énergies des deux composants :

⇒

L’énergie totale est constante. Elle est égale à l’énergie initialement stockée dans le conden-sateur.

r2 ω02+ 0 r2⇒ ω0

2.–= =

r2 j2ω02= j2 1.–=

r 1 jω0= r 2 jω0.–=

u A ω0t( )cos B ω0t( ),sin+=

ut 0+= ut 0–= U0 A⇒ U0.= = =

i0+ i0– 0.= =

i0+ C dudt------

0+

– 0 dudt------

0

⇒ ω0B 0 B⇒ 0.= = = = =

u U0 ω0t( )cos=

u t( ) 20 1,0 104t·( ) V( )cos=

i C–dudt------ .=

i C–dudt------ CU0ω0 ω0t( )sin= =

i t( ) 0,20 1,0 104t·( ) A( )sin=

Le régime d’un circuit LC est sinusoïdal.

w wC wL+12---Cu2 1

2---Li 2+

12---C U0 ω0t( )cos[ ]2 1

2---L CU0ω0 ω0t( )sin[ ]2+= = =

w 12---CU0

2 ω0t( )cos[ ]2 ω0t( )sin[ ]2+( )=

w 12---CU0

2 0,20 mJ= =

Un circuit LC est un oscillateur électrique ; la tension et l’intensité sont des fonctionssinusoïdales du temps.L’énergie d’un circuit LC est constante ; elle est alternativement stockée par le con-densateur et par la bobine. C’est un circuit idéal, sans réalité physique.

en conclusion



Les vanes sontes du t

Circuits linéairesen

régime sinusoïdal forcé

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1 Introduction

1.1. Signaux sinusoïdaux

1.1.1. DéfinitionsUn signal sinusoïdal fonction du temps s’écrit (fig. 1) :

avec• Xm : amplitude du signal ( 0) ;

• T est sa période (en s) :;

• : pulsation (en rad · s–1) ;

• : fréquence (en Hz) ;

• : phase à l’instant t ;

• ϕ : phase à l’instant origine.Remarque : on appelle en général ϕ tout simplement « la phase » du signal.

Point maths. Expression de la valeur moyenne d’une fonction périodique.Soit une grandeur périodique de période T . On note sa valeur moyenne :

Xm

Tx (t )

t

Fig. 1x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos=

X t( ) X t T+( )=

ω 2πT------=

fω2π------=

ωt ϕ+

Attentionleurs moyen-t indépendan-emps.

x t( ) x t( )⟨ ⟩

x t( )⟨ ⟩ 1T--- x t( )dt.

0

T

∫=

5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé


64

Les graces sontes du t

Le résu

n’est bvalablesignal ne fauquer, pun sig(– Xm, X

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La valeur moyenne d’un signal sinusoïdal est nulle (voir tester ses connaissances, exercice 1 ).

la valeur efficace de vaut (voir tester ses connaissances,

exercice 1).

1.1.2. Différence de phase entre deux signaux synchronesSoit deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence (elles sont dites synchrones),

et La différence de phase (déphasage)entre les deux signaux vaut

est l’avance de phase du signal sur le signal )

Le décalage temporel entre les deux courbes correspond à un déphasage

Sur la figure 2, le signal est en avance de phase sur : il atteint son maximumavant (voir exercice 2, rubrique tester ses connaissances).

1.1.3. Caractéristiques principales de l’instrumentation électrique au laboratoire

a. Générateur de signaux électriques (GBF)Il permet de générer des signaux continus ou variables dans le temps, et notamment dessignaux sinusoïdaux. La plupart des GBF comportent un fréquencemètre, qui permet delire la fréquence du signal utilisé (de quelques Hz à quelques MHz). Pour la plupart desappareils – c’est ce que l’on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire,le signal est disponible entre une borne + et une borne – qui est reliée à la carcasse métal-lique de l’appareil, la masse (notion introduite au chapitre 3, § 3.2).

b. Multimètre numériqueCet appareil a trois fonctions :• fonction ohmètre : mesure d’une résistance. La fonction ohmètre s’utilise en connectantles deux bornes de l’appareil à celles du dipôle (seul, sans être inséré dans un circuit) ;• fonction voltmètre : mesure d’une tension ;• fonction ampèremètre : mesure d’une intensité.

Point maths. Expression de la valeur efficace d’une fonction périodiqueSoit une grandeur périodique de période T. On note sa valeur efficace :

Signaux sinusoïdaux déphasés

Attentionndeurs effica-t indépendan-emps.

x t( ) Xe

Xe x t( )2⟨ ⟩ 1T--- x t( )2dt

0

T

∫ .= =

Attention

ltat

ien entendu que pour unsinusoïdal, ilt pas l’appli-ar exemple, ànal créneaum).

XeXm

2-------= x t( ) Xm ωt ϕ+( )cos= Xe

Xm

2--------=

x t( ) Xm ωt ϕ+( )cos= y t( ) Ym ωt φ+( ).cos=∆ϕ φ ϕ.–=

∆ϕ y t( ) x t( ).

Fig. 2

∆ t y (t )

t

x (t )

∆t ∆ϕ 2π∆tT

------------ .=

y t( ) x t( )x t( )


65

Dans uélectriqprises reliées Les maet de sont coL’oscilloGBF ayde leumême pil faudcomptebranchemasses reliées point d

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Les caractéristiques des fonctions ampèremètre et voltmètre présentées au chapitre 1, § 8.1dans le cadre du régime stationnaire restent valables. En mode DC on mesure la valeurmoyenne (utilisée par exemple pour mesurer des grandeurs continues) et en mode ACla valeur efficace d’une intensité ou d’une tension.Aucune des deux bornes de cet appareil n’est reliée à la terre de l’installation électrique.

c. OscilloscopeIl permet de visualiser la forme de signaux électriques (oscillogramme). Il se branchecomme un voltmètre. Il assure les fonctions de fréquencemètre, phasemètre (mesure dudéphasage entre deux signaux) et voltmètre. Pour la plupart des oscilloscopes, une desdeux bornes est reliée à la masse de l’appareil – c’est ce que l’on devra considérer dansles exercices, sauf mention contraire.

1.2. Introduction au régime sinusoïdal forcé sur l’exemple d’un circuit RLC

Étudions le circuit RLC (fig. 3), soumis à ungénérateur idéal de tension, de f.é.m.

La loi des mailles dans le sens indiquédonne :

En utilisant et dérivant l’équation

obtenue ci-dessus, on a :

(E )

On a une équation différentielle du deuxième ordre avec deuxième membre sinusoïdal.La solution est de la forme • est la solution de l’équation différentielle (E ) sans second membre, c’est le régimelibre, ce type de solution a été étudié au chapitre 4. En appelant le temps de relaxation,ou constante de temps, du circuit, on a disparaît donc au bout d’untemps de l’ordre de • est la solution particulière de l’équation différentielle, c’est le régime forcé, que l’onappelle aussi régime permanent ou établi. Compte tenu de la forme de est aussiune fonction sinusoïdale, de la forme

se limite donc à au bout d’un temps de l’ordre de

L’objet de ce chapitre est d’étudier le régime sinusoïdal forcé, on se placera donc systéma-tiquement dans le cas où le régime transitoire est amorti et donc négligeable.En fait, tout signal périodique (créneau, triangulaire…) peut se décomposer sous la formed’une somme de signaux sinusoïdaux (analyse de Fourier). L’étude du régime sinusoïdalforcé que nous faisons dans ce chapitre est donc utilisable aussi pour traiter n’importe quelrégime périodique forcé.La méthode la plus générale pour chercher consiste à remplacer par dans (E ) et d’en déduire I et cela conduit à des calculs fastidieux. L’utilisation des nombrescomplexes permet de considérablement simplifier cette étude. Les équations différentiellesseront en fait remplacées par une équation algébrique sur le corps des complexes.

Attentionne installationue, toutes lesde terre sont

entre elles.sses du GBFl’oscilloscope

mmunes.scope et leant donc uner borne auotentiel (nul),ra en tenir lors de leursments : leursdevront êtreau même

u circuit.

Circuit RLC sérieuR

R

uC

uLL

C

q

e

i

Fig. 3

e t( ) E ωt ϕ+( ).cos=

e uR uC uL+ + e⇒ Ri Ldidt----- q

C--- .+ += =

idqdt------=

dedt----- L

d2idt2-------- R

didt----- i

C---- .+ +=

i t( ) il t( ) if t( ).+=il t( )

τil t( ) 0.=

t τlim il t( )

τ.if t( )

e t( ), if t( )if t( ) I ωt ϕ+( ).cos=

i t( ) if t( ).=t τlim i t( ) if t( ) τ.

if t( ) i t( ) I ωt ϕ+( )cosϕ,



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Pour l’émes sinaura enbesoin les nomxes. Il que l’ébonne chapitremathémpouvoirexercicnétique

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2 Utilisation des nombres complexes

2.1. Grandeur complexe associée à un signal sinusoïdalÀ une grandeur réelle :

on associe la grandeur complexe :

On a On appelle l’amplitude complexe de On a

On a les relations :

On peut représenter dans le plan complexe (fig. 4).Si une grandeur réelle est solution d’une équation linéaire (différentielle ou non) à coeffi-cient constant, la grandeur complexe associée l’est également.

2.2. Dérivation et intégrationAvec on obtient :

3 Impédances complexes

3.1. DéfinitionsConsidérons un dipôle linéaire représentéen convention récepteur (fig. 5).• Soit la tensioninstantanée.La tension en notation complexe se note

; est son amplitude complexe.

• Soit l’intensité instantanée.L’intensité en notation complexe se note ;

est son amplitude complexe.

et

La loi d’ohm en représentation complexe s’écrit : soit

OM Xm= Ox ; OM( ) ϕ=

ϕ

Im X( )

Re X( )

M

Fig. 4

Conseiltude des régi-usoïdaux on permanencede manipulerbres comple-

est primordiallève ait unemaîtrise de ce du cours deatiques pour réussir les

es d’électroci-.

x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos=

x t( ) Xm j ωt ϕ+( )( ).exp=

x t( ) Re x t( )( ).=

Xm Xm jϕ( )exp=

x t( ).x t( ) Xm jωt( ).exp=

Xm Xm=

ϕ Xm( )arg=

.

X

x t( ) Xm j ωt ϕ+( )( ),exp=

dxdt------ jωx= xdt∫ 1

jω----- x=

i(t )

u(t )

Fig. 5

u t( ) Um ωt ϕu+( )cos=

u t( ) Um jωt( )exp=

Um Um jϕu( )exp=

i t( ) Im ωt ϕi+( )cos=

i t( ) Im jωt( )exp=

Im Im jϕi( )exp=

u t( ) Z i t( ),= Um ZIm.=


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• Cette relation définit l’amplitude complexe du dipôle avec R la résis-tance du dipôle et S sa réactance, ces grandeurs s’expriment en Ohm (Ω).• est l’impédance (Ω)

; on a donc

est donc l’avance de phase de la tension sur le courant

L’inverse de l’impédance complexe est l’admittance complexe :

avec G la conductance du dipôle et B sa susceptance, ces grandeurs s’expri-ment en Siemens (S).

est l’admittance (S).

3.2. Résistor

Cette relation linéaire est donc valable aussipour les grandeurs complexes associées :

donc

On retrouve la loi d’ohm en régime continu (chapitre 1) pour les amplitudes des signauxsinusoïdaux

3.3. Bobine idéale


donc

L’impédance complexe d’un résistor est L’impédance d’un résistor est La tension aux bornes d’un résistor est en phase avec l’intensité qui le traverse

L’impédance complexe d’une bobine idéale est L’impédance d’une bobine idéale est

La tension aux bornes d’une bobine idéale est en avance de phase de (quadratureavance) avec l’intensité qui la traverse.

Z, Z R jS,+=

Z |Z|=

Z Z jϕ( )exp=Um ZIm=

ϕu ϕ ϕi+=

ϕ u t( ) i t( ).

Y1Z---- .=

Y G jB,+=

Y | Y|=

i

u

Fig. 6

R

Résistor en représentation récepteuru Ri=

u R i Um⇒ RIm,= =

Z RUm RIm=

ϕu ϕi=

.=

Z R.=Z |Z| R.= =

ϕ 0=( ).

i

u

Fig. 7

L

Bobine idéale en représentation récepteuru Ldidt-----=

u Ld idt------ Um⇒ jLω Im,= =

Z jLωUm LωIm=

ϕu ϕiπ2---+=

⇒=

Z jLω.=Z |Z| Lω.= =

π2---



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• Cas limite haute fréquence : : la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert.

• Cas limite basse fréquence : : la bobine est équivalente à un interrupteur fermé, donc à un fil.

3.4. Condensateur idéal


donc

• Cas limite haute fréquence : : le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, donc à un fil.

• Cas limite basse fréquence : : le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert.

Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d’une bobine idéale

L’impédance complexe d’un condensateur idéal est

L’impédance d’un condensateur idéal est

La tension aux bornes d’un condensateur est en retard de phase de (quadratureretard) avec l’intensité qui le traverse.

Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d’un condensateur

ω ∞→( )Z ∞→

ω 0→( )Z 0→

Fig. 8

Basse fréquence Haute fréquence

ω 0→ ω ∞→

i

u

Fig. 9

C

Condensateur en convention récepteur

i Cdudt------=

i Cdudt------ Im⇒ jCωUm,= =

Z1

jCω----------

UmIm

Cω--------=

ϕu ϕiπ2---–=

⇒=

Z1

jCω---------- .=

Z |Z| 1Cω-------- .= =

π2---

ω ∞→( )Z 0→

ω 0→( )Z ∞→

Fig. 10

Basse fréquence Haute fréquence

ω 0→ ω ∞→


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4 Théorèmes générauxL’ensemble des théorèmes vus aux chapitres 1 et 3 pour le régime continu demeurentvalables en régime sinusoïdal forcé, en remplaçant les grandeurs continues (tensions etintensités) par leurs amplitudes complexes et les résistances par des impédances. Lesconseils et remarques donnés dans ces chapitres peuvent être transposés à l’identique.

4.1. Loi des mailles

La loi des mailles vue au chapitre 1 est valable pour les tensions instantanées puisque l’on est dans le cadre de l’ARQS.En notant pour un sens de parcours donné de la maille, on a :

En divisant la relation précédente par on obtient :

4.2. Loi des nœuds

La loi des nœuds vue au chapitre 1 est valable pour les intensités instantannées puis-que l’on est dans le cadre de l’ARQS.En notant puisque la loi des nœuds est linéaire, on a :

Loi des mailles en ARQS :

• si la flèche tension pour l’amplitude complexe est dans le sens duparcours ;• si la flèche tension est dans le sens opposé à celui du parcours.

Loi des mailles pour cinq dipôles

u t( ),

uk t( ) Uk jωt( )exp=

εk uk 0 ⇒= ∑ εkuk t( ) 0.=

∑

le long d’une maille le long d’une maille

jωt( ),exp

εk Ukm 0.= ∑

le long d’une maille

εk +1= Uk

εk 1–= Uk

D1

Maille parcourue dans le sens horaireU1m U2m– U3m U4m U5m––+ 0=

D5

D4

D3D2

U1m

U2m U3m

U4m

U5m

Fig. 11

ik t( ),

i k t( ) I km jωt( ),exp=

εkik 0 εk i k t( ) 0=∑⇒=∑



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En divisant la relation précédente par on obtient :

La somme des amplitudes complexes des courants arrivant à un nœud est égale à lasomme des amplitudes complexes des courants qui en partent.

4.3. Loi des nœuds en termes de potentiel

Considérons L dipôles d’impédances …, ayant un nœud commun. Soient … les amplitudes complexes des intensités de courant circulant dans

chacun des dipôles et orientés vers le point N.Soit l’amplitude complexe du potentiel du nœud N et … lesamplitudes complexes des potentiels de l’autre borne du dipôle considéré.La loi des nœuds s’exprime alors et peut s’écrire sous la forme :

ou

Remarques : 1. Le résultat ci-dessus est bien évidemment indépendant des sens d’orientation choisispour les différentes intensités2. En modifiant la position des termes, on arrive à l’expression du théorème de Millman :

ou

Loi des noeuds en ARQS :

• si l’intensité est orientée vers le nœud ;• si l’intensité est orientée à partir du nœud.

Attention. La loi des nœuds ne peut pas être appliquée pour les amplitudes des inten-sités. En effet :

En effet, le module d’une somme de nombres complexes n’est pas égal à la somme deleurs modules.

jωt( ),exp

εk I km t( ) 0.=∑εk +1,=εk 1,–=

NI 1m

I 2mI 3m

I 4m

Loi des noeuds pour quatre branchesFig. 12

I 3m I 4m I 1m I 2m––+ 0.=

εkI km 0 εk I km εkIkm 0.=k

∑=k

∑⇒=k

∑

(Z1, Z2, ZL )(I 1m, I 2m, I Lm)

VNm V 1m, V 2m, VLm

I 1m I 2m… I Lm+ + + 0=

V 1m VNm–

Z1-----------------------------

V 2m VNm–

Z2----------------------------- … VLm VNm–

ZL-----------------------------+ + + 0,=

Y1 V 1m VNm–( ) Y2 V 2m VNm–( ) … YL VLm VNm–( )+ + + 0.=

VNm

V 1m

Z1----------

V 2m

Z2---------- … VLm

ZL-----------+ + +

1Z1------ 1

Z2------ … 1

ZL-------+ + +

-----------------------------------------------------------= VNm

Y1V 1m Y2V 2m … YLVLm+ + +

Y1 Y2… YL+ + +

--------------------------------------------------------------------------------- .=


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prép

a

On peut remarquer que le potentiel du nœud N est le barycentre des potentiels des nœudsvoisins affectés des admittances correspondantes.

4.4. Modélisation d’un dipôle actif

4.4.1. Source ou générateur idéal de tensionC’est un dipôle actif qui impose une tension entre ses bornes, est appelée force électromotrice (f.é.m.).On note avec En général, on choisit

4.4.2. Source ou générateur idéal de courant C’est un dipôle actif qui impose un courant d’intensité

est appelé courant électromoteur (c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé.On note avec En général on choisit

4.4.3. Modélisation d’un générateur réelDans de nombreuses applications, l’expérience montre qu’on peut modéliser un généra-teur réel par l’association :• d’un générateur idéal de tension (f.é.m. d’amplitude complexe et d’un dipôle en

série dont l’impédance est appelée impédance interne du générateur

• ou d’un générateur idéal de courant (c.é.m. d’amplitude complexe et d’un dipôle

en parallèle dont l’admittance est appelée admittance interne du générateur Ces deux générateurs sont équivalents, les relations qui relient leurs caractéristiques sont éta-blies ci-dessous, elles sont équivalentes à celles obtenues en régime permanent (chapitre 3, § 3).

N

I 1

I 2

I 3

U1m

U2m

U3m

V 2m

V 1m

Z 1

Z 3

Z 2

V 3m

V N m

Théorème de Millman pour trois branches

ou

VNm

V 1m

Z1----------

V 2m

Z2----------

V 3m

Z3----------+ +

1Z1------ 1

Z2------ 1

Z3------+ +

----------------------------------------------=

VNm

Y1V 1m Y2V 2m Y3V 3m+ +

Y1 Y2 Y3+ +-------------------------------------------------------------------- .=

Fig. 13

e t( ) Em ωt ψ+( )cos= e t( )

e t( ) Em j ωt( )exp= Em Em jψ( ).exp=ψ 0.=

i0 t( ) I0m ωt φ+( ).cos=i0 t( )

i0 t( ) I 0m j ωt( )exp= I 0m I0m jφ( ).exp=φ 0.=

Em)

Zg( ).I 0m)

Yg( ).

Z g Im

Z g ImE m

Um E m Z g Im–=Um

Iom

Im Iom Y gUm–=

Y g

Iom

Y gUm

Fig. 14



72É

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

5 Lois d’association

5.1. Association en série

5.1.1. Loi d’association pour les impédances

5.1.2. Diviseur de tensionLa figure ci-contre représente un divi-seur de tension : deux dipôles en sériesont soumis à une tension d’amplitudecomplexe et on cherche la tensionaux bornes de l’un d’eux.

5.1.3. Association de générateurs en sérieOn considère N générateurs associés en série, caractérisés par l’amplitude complexe deleurs f.é.m. et impédances internes ...,

Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. d’amplitude complexe et d’impédance interne complexe

N dipôles d’impédances associés en série sont équivalents à unseul dipôle d’impédance égale à la somme des impédances de chacun d’eux :

Association série de trois dipôles

et

Um Em ZgIm– Im⇒Em

Zg--------

Um

Zg-------–= =

Em

Zg--------

Um

Zg-------– Iom YgUm–

IomEm

Zg--------=

Yg1Zg------=

⇒=

Z1 Z2 … ZN, , ,( )Zeq

Zeq Z1 Z2… ZN+ + +=

Z 1 Z 2 Z 3 Z eq Z 1 Z 2 Z 3+ +=I

≡

Fig. 15

Fig. 16

Z 1 Z 2

Um1 Um2

Um

Diviseur de tensionIm

Um

U1m

Z1Um

Z1 Z2+--------------------= U2m

Z2Um

Z1 Z2+-------------------- .=

E 1m Zg1,( ), E 2m Zg2,( ), ENm ZgN,( ).

E eqm Zeq.


73

Pour génératon utilitation d

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

avec si la flèche correspond à est dans le même sens que celle correspon-dant à et dans le cas contraire.

5.1.4. Loi de Pouillet

5.2. Association parallèle

Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bornesen commun, ils sont soumis à la même tension.

L’intensité circulant dans une maille constituée de N dipôles d’impédances et N générateurs associés en série, caractérisés par l’amplitude

complexe de leurs f.é.m. et impédances internes … est :

avec si la flèche correspondant à est dans le même sens que cellecorrespondant à l’orientation de et dans le cas contraire.

Loi de Pouillet pour trois générateurs et trois dipôles

E eqm ε1E 1m ε2E 2m … εkE km … εNENm+ + + + +=

Zgeq Zg1 Zg2… ZgN+ + +=

εk + 1= EkmE eqm εk 1–=

Remarqueassocier deseurs en série,se la représen-e Thévenin.

E 1m E 2m E eqmE 3m

Um Um

Z g1 Z g2Z geqZ g3

UmImIm

≡

Association série de trois générateursFig. 17

E eqm E 1m E 2m E 3m–+=

Zgeq Zg1 Zg2 Zg3+ +=

.

Z1 Z2 …ZN, ,( )E 1m Zg1,( ), E 2m Zg2,( ),

ENm ZgN,( )

Imε1E 1m ε2E 2m

… εkE km … εNENm+ + + + +

Zg1 Zg2… ZgN Z1 Z2

… ZN+ + + + + + +-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

εk + 1= EkI εk 1–=

E 1 E 2 E 3

Z g1 Z g2 Z g3

Z 1 Z 2 Z 3

I

Fig. 18

IE 1 E 2 E 3––

Zg1 Zg2 Zg3 Z1 Z2 Z3+ + + + +------------------------------------------------------------------------------- .=



74É

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n,cla

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prép

a

5.2.1. Loi d’association pour les admittances

5.2.2.Diviseur de courantLa figure ci-contre représente undiviseur de courant : deux résistorsen parallèle sont soumis à un cou-rant d’amplitude complexe eton cherche l’intensité parcourantl’un d’entre eux :

5.2.3.Association de générateurs en parallèleOn considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par l’amplitude complexede leurs c.é.m. et admittances internes …, Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. d’amplitude complexe

et d’admittance interne

avec si la flèche correspondant à est dans le même sens que celle de )et dans le cas contraire.

Remarque : les admittances s’associent comme au § 2.1.1.

N dipôles d’admittance associés en parallèles sont équivalents à unseul dipôle d’admittance égale à la somme des admittances de chacun d’eux :

soit

Association parallèle de trois dipôles

et

Y1 Y2 … YN, , ,( )Yeq

Yeq Y1 Y2… YN,+ + += Yeq

1Zeq-------- 1

Z1------ 1

Z2------ … 1

ZN-------- .+ + += =

Y eq Y 1 Y 2 Y 3+ +=

Y eq1

Z eq---------

1Z 1------

1Z 2------

1Z 3------+ += =

I1m

I2m

I3m

Y 1

Y 2

Y 3

ImIm≡

Fig. 19

Diviseur de courantFig. 20

I1m

I2m

Y 1

Y 2

Im

Um

Im

I 1m

Z2 Im

Z1 Z2+--------------------

Y1 Im

Y1 Y2+--------------------= = I 2m

Y2 Im

Y1 Y2+--------------------

Z1 Im

Z1 Z2+--------------------= =

I 0m1 Yg1,( ), I 0m2 Yg2,( ), I 0mN YgN,( ).

I eqm Yeq.

I eqm ε1I 0m1 ε2I 0m2… εkI 0mk

… εNI 0mN+ + + + +=

Ygeq Yg1 Yg2… YgN 1

Zgeq----------- 1

Zg1-------- 1

Zg2-------- … 1

ZgN-----------+ + +=

+ + +=

εk + 1= I 0k I 0eqεk 1–=


75

Pour asgénératparallèla repréde Nor

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prép

a

6 Étude d’un circuit RLC, résonancesRevenons à l’étude du circuit RLC (fig. 22),soumis à un générateur idéal de tension,de f.é.m.

6.1. Résonance en intensité

Cherchons l’expression de On utilise les amplitudes complexes :

et

La loi de Pouillet nous donne directement :

et

La courbe représentant l’amplitude de l’intensité du courant, s’appelle courbe derésonance en intensité.

et étant positif, cette courbe passe par un maximum pour

une valeur de que l’on appellera la pulsation de résonance.Le numérateur étant indépendant de est maximum lorsque le dénominateur estminimum.

Association parallèle de trois générateurs

Remarquesocier des eurs en le, on utilise sentation

ton.

Y geq

I0m1

Y g1

≡

I0m2

Y g2

I0m3

Y g3

I0meq

I 0meq I 0m1 I 0m2– I 0m3+=

Ygeq Yg1 Yg2 Yg3 + + 1Zgeq----------- 1

Zg1--------= 1

Zg2-------- 1

Zg3--------+ +

=

Fig. 21

URm

Im

L

R

UCm

E m

C

Circuit RLC sérieFig. 22

e t( ) Em ωt( ).cos=

i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos=

Em Em= Im Im jϕ( ).exp=

ImEm

R jLω 1jCω----------+ +

------------------------------------= Im Im Im⇒Em

R2 Lω 1Cω--------–

2+

----------------------------------------------- .= =

Im ω( ),

Im 0( ) 0= Im 0.=ω ∞→lim Im

ω ωr,ω, Im



76

Cette résonanpond àpropre chapitreque le flité Q.

É

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n,cla

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prép

a

on obtient donc

En utilisant et et en notant on peut écrire :

avec

est l’amplitude de la tension aux bornes du résistor R.Il y a donc résonance d’intensité pour toute valeur de Q et la pulsation de résonance estindépendante de Q .

Soit et définis par :

avec

On caractérise la résonance parla bande passante

Les solutions négatives n’ont pas de sens physique.On remarque que et ne sont pas symétriques par rapport à ce que l’on peutremarquer sur la figure 23.

et (car on a donc :

a pour solution positive

a pour solution positive

Lωr1Cωr----------– 0 ωr⇒ 1

LC----------- ,= = ωr ω0.=

Remarquepulsation dece corres- la pulsation

étudiée au 4, de même

acteur de qua-

ω0

ω01LC

-----------= QLω0

R----------= x

ωω0------ ,=

URm RImED----= = D 1 Q2 x

1x---–

2+=

URm

Im ωr( ) ImmaxER---- .= =

Fig. 23

Im

Im max

Im max

2--------------

ω0ω1 ω2 ω

Variation de l’amplitude de l’intensitéavec la pulsation

ω1 ω2

Im ω1( ) Im ω2( )Immax

2-------------- ,= =

Immax I ω01LC

------------= E

R---- .= =

∆ω ω2 ω1.–=

Im ω( )Imax

2-----------=

Em

R2 Lω 1Cω--------–

2+

-----------------------------------------------⇒Em

R 2-----------=

R 2 R2 Lω 1Cω--------–

2+=

2R2⇒ R2 Lω 1Cω--------–

2+=

R±⇒ Lω 1Cω--------–=

ω2 RωL

--------± ω02–⇒ 0=

ω2 RωL

-------- ω02–+ 0= ω1

R–2L------- R2

4L2--------- ω0

2++=

ω2 RωL

-------- ω02–– 0= ω2

R2L------- R2

4L2--------- ω0

2++=

ω2 ω1 ω0,

∆ω ω2 ω1– RL---= = ∆ω

ω0-------- R

Lω0---------- 1

Q---= = Q

Lω0

R----------= ),

Qω0

∆ω--------=


77

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prép

a

6.1.1. Étude du déphasage

avec

; puisque on a :

La phase est donnée par sa tangente, il y a donc une indétermination sur le domainede définition de la phase ; étudions le signe de

(1)

donc

Remarque : On peut aussi trouver directement l’expression de à partir de l’expres-sion (1) de

6.1.2. Comparaison des courbes de résonance pour différentes valeurs de Q

De la relation on peut déduire que le facteur de qualité Q caractérise la résonance :

• plus Q est important, plus est petit : plus la résonance est dite « aigue » ;• plus Q est petit, plus est grand : plus la résonance est dite « floue ».

Point maths. Soit a et b étant des grandeurs réelles. Alors on a :

et

;

;

;

;

ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′,–= = ϕ′ R jLω 1jCω----------+ +

arg R j Lω 1Cω--------–

+ .arg= =

ϕ′tanLω 1

Cω--------–

R----------------------= ϕ–( )tan –= ϕ,tan

ϕtan

1Cω-------- Lω–

R----------------------=

x a jb,+=

ϕ( )tan ba--=

1x---

arg x( ).arg–=

ϕϕ.cos

ImEm

R jLω 1jCω----------+ +

------------------------------------

R j Lω 1Cω--------–

–

R2 Lω 1Cω--------–

2+

-------------------------------------------= =

Re Im( ) Im ϕ( )cos R

R2 Lω 1Cω--------–

2+

------------------------------------------- 0,= = ϕ π2--- ; –

π2--- .∈

ϕtanI m.

ϕ 0( )tan +∞ ϕ 0( )⇒ π2---= =

ϕ ω1( )tan 1 ϕ ω1( )⇒ π4---= =

ϕ ω0( )tan 0 ϕ 0( )⇒ 0= =

ϕ ω2( )tan 1– ϕ ω2( )⇒ π4---–= =

ϕtan ∞– ϕ ∞( )⇒ π2---–= =

ω ∞→lim

π2---

π4---

π2---–

–π4---

ω0

ω1ω2

ω

Variation de la phase de l’intensitéavec la pulsation

ϕ rad( )

Fig. 24

∆ωω0--------

1Q--- ,=

∆ω∆ω



78

Le n’est pa

constanc’était lrésonan

car ici

de x. inexactest m

A2 +

A

1 x2–

LorsquD se prforme dest touble de d

É

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prép

a

On représente souvent en fonction de (fig. 25).

On constate bien sur ce graphe que la pulsation de résonance, égale à est indépen-dante de Q.

6.2. Résonance en tension aux bornes du condensateur (ou résonance de charge)

Cherchons l’expression de soit :

L’application du diviseur de tension sur le circuit de la figure 22 conduit à :

• ;

• ;

• et

En utilisant et et en notant on peut écrire :

passe par un maximum si D, et donc passe par un minimum.On doit calculer la dérivée de D. Il revient au même, et c’est plus simple, de dériver :

d’où si

On obtient donc (1)

Cette fonction croissante avec Q n’est définie que si donc si

Variation de l’amplitude de la tension aux bornes du résistor avec la pulsation pour Q = 0,5 ; 1 et 1,5

avec

URm ω

UR m

E

ω0 ω

Q = 0,5

Q = 1

Q = 1,5

Fig. 25

ω0,

uc t( ) Ucm ωt φ+( ),cos=

Ucm Ucm jφ( ).exp=

Ucm

1jCω----------

E

R jLω 1jCω----------+ +

------------------------------------ E1 jRCω LCω2–+--------------------------------------------= =

Ucm |Ucm| E

1 LCω2–( )2 RCω( )2+-------------------------------------------------------------= =

Ucm 0( ) E= Ucm ω( ) 0.=ω ∞→lim

Attentiondénominateurs de la forme

avec At, commee cas pour lace d’intensité

dépend

Il est donc d’écrire que Dinimum si

B2 x( )

xQ----=

0.=

ω01LC

-----------= QLω0

R---------- ,= x

ωω0------ ,=

UcmED----= D 1 x2–( )2 x

Q----

2+=

Ucm D2,Conseil

’une fonctionésente sous la’une racine il

jours préféra-ériver D2.

D2

dD2

dx---------- 2 2x–( ) 1 x2–( ) 2x

Q2------ ,+= dD2

dx---------- 0= 1 x2–

12Q2--------- .=

ωr ω0 1 12Q2---------–=

1 12Q2---------– 0 , Q

12

------- .


79

Les réstensité sont trène faut dre. Unquente exemply a rcharge

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prép

a

La courbe passe donc par un maximum pour On parle de résonance

de tension aux bornes du condensateur ou de résonance de charge car la charge ducondensateur est proportionnelle à la tension.Il y a deux différences importantes entre la résonance d’intensité et la résonance decharge : la résonance de charge n’existe que pour des valeurs de Q suffisamment grandeset quand elle existe, la pulsation de résonance dépend de Q.

Le calcul conduit à (2)

On constate bien sûr sur ce graphe qu’il n’y a pas de résonance si

et que la pulsation de résonance est d’autant plus grande que Q est grand

6.2.1. Étude du déphasage

La courbe représentant en fonction de se déduit donc de la courbe représentant

par un simple décalage vers le bas de donc

Variation de l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation pour Q = 0,5 ; 1et 1,5.

Variation de la phase de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation

Ucm ω( ) Q12

------- .Attentiononances d’in-et de charges différentes, ilpas les confon-e erreur fré-consiste par

e à écrire qu’ilésonance depour ωr ω0.= Ucm ωr( ) QE

1 14Q2---------–

----------------------- .=

Uc m

ω r1 ω

Q = 1,5

Q = 1

Q = 0,5

ω

r1,5

Fig. 26

Q 0,5= (Q 12

------- 0,71)=

ωr1 ωr1,5( ).

Ucm1

jCω----------

I cm φ⇒ ϕ π2---–= =

φ ω ϕπ2--- ,– φ 0 ; π–[ ].∈

0ω0 ω

π2---–

π–

φ(rad)

Fig. 27



80

É

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a

6.2.2.Cas particulier important :

L’expression (1) conduit à

On peut aussi montrer que étant la bande passante définie comme au 6.1.

On retrouve donc des résultats similaires à ceux de la résonance d’intensité pour cettelimite de valeurs de Q élevées.Un autre résultat, propre à la résonance de charge est particulièrement intéressant :de l’expression (2) on arrive à L’amplitude de la tension aux bornes ducondensateur est donc égale à l’amplitude de la tension délivrée par le générateur multipliéepar Q. Elle peut donc atteindre des valeurs considérables pour des valeurs de Q élevées. Onappelle d’ailleurs aussi Q « facteur de surtension » pour cette raison.

Q 12

-------

ωr ω0.=

Qω0

∆ω-------- ,= ∆ω

Ucm ωr( ) QE.=



81

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prép

a

p

1 On note Pour résoudre le problème, on utilise les grandeurscomplexes associées à et à :

et avec et

La loi de Pouillet nous donne alors directement :

1 – Circuits RC, RL et RLC série

1 On étudie le circuit RC série ci-contre, soumis à ungénérateur idéal de tension, de f.é.m. :

Le régime forcé est supposé établi . Établir l’expres-sion de l’intensité du courant circulant dans ce cir-cuit.Données : ; ;

;

2 Même question pour un circuit RL. On prendra les mêmes valeurs numériquesavec

3 Même question pour un circuit RLC série : calculer l’expression de avecles valeurs numériques données au 1. et au 2. Comment aurait-il été possibled’obtenir les résultats des questions 1. et 2. à partir de celui obtenu pour ce cir-cuit RLC série ?

R

Ce(t)

i(t)

e t( ) Em ωt( ).cos=

Em 10 V= ω 63.102rad s 1–·=R 1,0 kΩ= C 0,16 µF.=

L 91 mH.=

i t( )


i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos=e t( ) i t( )

e t( ) E m jωt( )exp= i t( ) Im jωt( ),exp= E m Em= Im Im jϕ( ).exp=

Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transformer les grandeursréelles en grandeurs complexes associées.Connaissant on obtient :

avec x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos=

x t( ) Xm jωt( )exp= Xm Xm jϕ( ).exp=

ImEm

R1

jCω----------+

-------------------- .=

Seules les grandeurs réelles ont un sens physique, les résultats sont donc fréquemment demandéssous forme réelle. Or les calculs sont menés avec les grandeurs complexes associées. Il faut donc, à lafin du calcul, faire le passage inverse à celui du départ : « projeter » les grandeurs complexes en gran-deurs réelles. C’est une difficulté importante pour les élèves, surtout pour ce qui concerne la phase.



82Élect

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atha

n,cla

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prép

a

et avec

; et puisque on a :

On a donc avec

• R et sont des impédances ;

• ;

•

L’amplitude de la tension est bien homogène à une tension et est sans dimension.

A.N. :

ou

Pour connaître la bonne valeur de évaluons :

;

Transformation d’une grandeur complexe en grandeur réelleConnaissant avec

• L’amplitude de de est le module de l’amplitude complexe

• La phase de est l’argument de

x t( ) Xm jωt( ),exp= x t( ) Xm ωt ϕ+( ).cos=

Xm x t( ) Xm.

ϕ x t( ) Xm.

Im | Im| ⇒= ImEm

R 2 1Cω--------

2+

----------------------------------=

ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′–= = ϕ′ R1

jCω----------+

arg RjCω--------–

arg= =

ϕ′tan

1Cω--------–

R------------

1RCω------------–= = ϕ–( )tan ϕ,tan–=

ϕtan 1RCω------------=

i t( )Em

R 2 1Cω--------

2+

---------------------------------- ωt ϕ+( ),cos= ϕtan 1RCω------------ .=

Vérifier l’homogénéité des expressions obtenues.

1Cω--------

Im[ ]Em[ ]

Z[ ]2 Z[ ]2+--------------------------------

Em[ ]Z[ ]

------------= =

ϕ( )tan[ ] Z[ ]Z[ ]

-------- .=

ϕtan

Im10

1,0 103·( )2 10,16 10 6–· 63 102·×----------------------------------------------------

2+

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 7,1 mA.= =

ϕtan 11,0 103· 0,16 10 6– 63 102·×·×------------------------------------------------------------------------------- 1 ϕ⇒ π

4---= = =

5π4

------ .

ϕ, ϕcos

ImEm

R1

jCω----------+

--------------------

Em RjCω--------+

R2 1Cω--------

2+

-------------------------------- Im ϕcos j ϕsin+( )= = =


83

© N

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n,cla

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prép

a

donc

Donc

2 Avec les mêmes notations qu’au 1. , la loi de Pouillet donne donc :

et avec

puisque on a :

On a donc avec

• R et sont des impédances ;

• ;

•

L’amplitude de l’intensité est bien homogène à une intensité et est sans dimension.

A.N. :

ou


donc

Donc

ϕcos R

R 2 1Cω--------

2+

---------------------------------- 0,= ϕ π4--- .=

i t( ) mA( ) 7,1 63 102t p4---+·

.cos=

ImEm

R jLω+-------------------- ,=

Im | Im| ⇒= ImEm

R 2 Lω( )2+---------------------------------=

ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′–= = ϕ′ R jLω+( )arg=

ϕ′tan LωR

-------- ,= ϕ–( )tan ϕ,tan–=

ϕtan LωR

--------–=

i t( )Em

R 2 Lω( )2+--------------------------------- ωt ϕ+( ),cos= ϕtan Lω

R-------- .–=

On vérifie l’homogénéité des expressions obtenues.

Lω

Im[ ]Em[ ]

Z[ ]2---------------

Em[ ]Z[ ]

------------= =

ϕ( )tan[ ] Z[ ]Z[ ]

-------- .=

ϕtan

Im10

1,0 103·( )2 0,091 63× 102·( )2+-------------------------------------------------------------------------------------- 8,7 mA= =

ϕtan0,091 63× 102·

1,0 103·---------------------------------------– 0,57– ϕ⇒ π

6---–= = =

5π6

------ .

ϕ, ϕcos

ImEm

R jLω+--------------------

Em R jLω–( )R 2 Lω( )2+

--------------------------------- Im ϕcos j ϕsin+( )= = =

ϕcos R

R 2 Lω( )2+--------------------------------- 0= ϕ π

6---–=

i t( ) mA( ) 8,7cos 63 102t p6---–·

.=



84Élect

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n,cla

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prép

a

3. La loi de Pouillet donne

En prenant on obtient :

A.N. :

ou 3,6 rad.


donc

Donc :

0

ImEm

R jLω 1jCω----------+ +

------------------------------------ .=

i t( ) Im ωt ϕ+( ),cos=

ImEm

R 2 Lω 1Cω--------–

2+

------------------------------------------------= et ϕtan

1Cω-------- Lω–

R----------------------=

Im10

1,0 103·( )2 0,091 63× 102 10,16 10 6– 63× 102· ·----------------------------------------------------–·

2+

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9,2 mA= =

ϕtan

10,16.10 6– 63.102×----------------------------------------------- 0,091 63.102×–

1,0 103·------------------------------------------------------------------------------------------- 0,42= =

ϕ⇒ 0,42 rad=

ϕ, ϕcos

Re Im( ) Im ϕ( )cos R

R 2 Lω 1Cω--------–

2+

------------------------------------------- 0,= =

ϕ 0,42 rad.=

i t( ) mA( ) 9,2 cos 63 102t 0,42+·( )=

• Pour obtenir les résultats cherchés au 1. pour un circuit RC , il suffit de faire tendre L vers zérodans ces expressions. En effet, l’impédance de la bobine qui vaut tend vers zéro si L tendvers zéro. Une bobine d’inductance nulle est donc équivalente à un interrupteur fermé. Un cir-cuit RLC série pour lequel L est nul est donc équivalent à un circuit RC .• Pour obtenir les résultats cherchés au 2. pour un circuit RL , il suffit de faire tendre C vers

l’infini dans ces expressions. En effet, l’impédance du condensateur qui vaut tend vers zéro

si C tend vers l’infini. Un condensateur de capacité infinie est donc équivalent à un interrupteurfermé. Un circuit RLC pour lequel C est infini est donc équivalent à un circuit RL .

Lω

1Cω--------

Attention : Un condensateur de capacité nulle n’est pas équivalent à un interrupteur fermé,c’est une erreur assez fréquente.


85

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a

2 – Circuit RLC parallèleOn considère un circuit composé de trois dipôles linéaires regroupés en parallèle :un résistor de résistance R , une bobine idéale d’inductance L et un condensateuridéal de capacité C. On suppose que le régime permanent est atteint.

1 Le circuit est alimenté par un générateur de courant idéal de c.é.m.

a. Établir l’expression de la tension aux bornes du résistor, de la bobine et enfindu générateur.b. Donner l’allure de la courbe représentant la variation de l’amplitude dela tension aux bornes du résistor en fonction de Pour quelle valeur de est-elle maximale ?c. Soit la valeur maximale de On note et les deuxpulsations pour lesquelles l’amplitude de la tension aux bornes du résistor est

égale à

Exprimer le facteur de qualité du circuit en fonction de R ,L et

Cette expression correspond-t-elle à celle d’un circuit RLC série ? Commentaires.

2 Le circuit est alimenté par un générateur de tension idéal de f.é.m. Établir l’expression de l’amplitude de l’intensité traversant le générateur etdonner l’allure de la courbe

• Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transfor-mer les grandeurs réelles en grandeurs complexes.Transformation d’une grandeur réelle en grandeur complexe associéeConnaissant on obtient avec

À la fin d’un calcul, on a souvent besoin d’un résultat « physique » et il faut faire latransformation inverse.Transformation d’une grandeur complexe en grandeur réelle– l’amplitude de de est le module de l’amplitude complexe ;– la phase de est l’argument de

• Vérifier l’homogénéité des expressions obtenues en repérant les grandeurs homogè-nes à des impédances et en utilisant le fait que RC et sont homogènes à des temps(constantes de temps d’un circuit RC et d’un circuit RL).

x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= x t( ) Xm jωt( )exp=

Xm Xm jϕ( ).exp=

Xm x t( ) Xm

ϕ x t( ) Xm.

LR---

en conclusion

i0 I0m ωt( ).cos=

Umω.

ωUmax Um. ω1 ω2 ω1 ω2( )

Umax

2------------ .

Qω0

ω2 ω1–-------------------= ω0.

e Em ωt( ).cos=Im

Im ω( ).



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a

1 a. Le générateur, le résistor, le condensateur et la bobine étant en parallèle, la tension est la même aux bornes de chacun d’eux.Soit et

• avec ;

• ;

•

Vérification de l’homogénéité

est le rapport entre l’impédance d’une bobine et celle d’un condensateur,

c’est donc une grandeur sans dimension ;

;

b. et

qui est une grandeur positive, passedonc par un maximum. Cherchons pourquelle valeur de L’expression de obtenue au 1. a. com-porte le facteur à la fois au numérateur etau dénominateur, ce qui rend l’étude de larecherche du maximum plus difficile quedans le cas étudié en cours pour le circuitRLC série. On peut facilement simplifierl’étude en divisant le numérateur et le déno-minateur par On obtient :

Cette fraction est maximale si le dénominateur est minimal, donc si :

soit


i 0 u

u Um ωt ϕ+( )cos=

Um Um jϕ( )exp= I0m I0m.=

I0m Y Um,= Y1R--- 1

jLω--------- jCω+ +=

Um

I0m

1R--- 1

jLω--------- jCω+ +

-------------------------------------I0mR jLω

jLω R R LCω2–+----------------------------------------------

I0mRLωLω jR 1 LCω2–( )–------------------------------------------------= = =

Um |Um|I0mRLω

L2ω2 R 2 1 L Cω2–( )2+--------------------------------------------------------------- .= =

L Cω2 Lω1Cω--------

-------------=

Um[ ]I0m[ ] Z[ ]2

Z[ ]2------------------------- I0m[ ] Z[ ]= =

ϕ( )tan[ ] Z[ ]Z[ ]

-------- .=

Um

Ummax

ωω0

Ummax

2----------------

Um 0( ) 0= Um 0=ω ∞→lim

Um,

ω.Um

ω

ω.

Um |Um|I0mRL

L2 R 2 1ω---- L Cω–

2+

------------------------------------------------------- .= =

1ω---- L Cω– 0 ,= ω ω0

1L C

------------ .= =


87

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a

c.

Les solutions positives (seules pertinentes) de ces deux équations sont :

et

Vérification de l’homogénéité des relations de type :

• le rapport est bien sans dimension (rapport entre deux impédances au carré).

Remarque : On peut aussi vérifier l’homogénéité de cette dernière relation en remarquant

que est homogène à un temps, comme En effet, une pulsation est homogène à

l’inverse d’un temps

•

Remarque : On peut aussi vérifier l’homogénéité de cette dernière relation directement enremarquant que RC est homogène à un temps.On remarque que ce facteur de qualité est l’inverse de celui d’un circuit RLC série. Enfait, dans les deux cas, un facteur de qualité infini correspond à un circuit non amorti,constitué uniquement d’une bobine idéale et d’un condensateur. En effet,

• Quand on obtient une fonction comportant à la fois au numérateur et au dénominateur,on essaye, lorsque c’est possible, de simplifier afin que seul le dénominateur dépende de Il est alors plus simple de chercher la valeur de pour laquelle cette fonction est extrémale.

• Quand le dénominateur se présente sous la forme avec A constant, cette fonctionest minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le minimum, il suffit de cher-cher la valeur de pour laquelle est nul. Si ce n’est pas possible, il faut dériver la fonction.

ωω.

ωA2 B2 ω( )+

B2 ω( )ω B ω( )

Um ω0( ) Ummax RI0m= =

Um ω1 ω2,( )Ummax

2--------------- L

L2 R 2 1ω---- L Cω–

2+

-------------------------------------------------------⇒ 12

-------= =

2L2 L2 R 2( 1ω---- LCω)2–+ L = R

1ω---- LCω–

±⇒=

Lω± R RLCω2– RLCω2 Lω± R–⇒ 0.= =

ω11

2RC-----------– ∆

2RLC---------------+

12RC----------- 1– 1 4R 2

L2ω02

------------++

= =

ω21

2RC----------- ∆

2RLC---------------+

12RC----------- 1 1 4R 2

L2ω02

------------++

.= =

Qω0

∆ω--------

ω0

ω2 ω1–------------------- RCω0

RLω0----------= = = = ⇒ Q

RLω0----------

=

ω11

2RC-----------– ∆

2RLC---------------+

12RC----------- 1– 1 4R 2

L2ω02

------------++

.= =

4R 2

L2ω02

------------

LR--- 1

ω0------ .

ω 2πT------=

.

1Cω-------- R[ ] ω[ ]⇒ 1

2RC----------- .= =



88Élect

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a

• pour un circuit série, cela correspond à R très petit, et donc ;

• pour un circuit parallèle, cela correspond à R très grand, et donc

2 Soit l’intensité du courant circulant dans le générateur.

Avec les notations du 1. b. et en notant et on a :

avec

et

donc passe par un minimum :

pour

QLω0

R----------= Q ∞=

R 0→lim

QRLω0----------=

Q ∞.=R ∞→lim

Attention : Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments R , L et C n’est pas

toujours égal à (voir chapitre 4 exercice 4 de « Savoir résoudre les exercices »,)Lω0

R---------

i Im ωt ϕ′+( )cos=

Im Im jϕ′( )exp= Em Em,=

Im

Immin

ωω0

Im Y Em= Y1R--- 1

jLω--------- jCω+ +=

Im1R--- 1

jLω--------- jCω+ +

Em

Em jLω R RLCω2–+( )R jLω

------------------------------------------------------------= =

EmLω jR 1 LCω2–( )–

RLω------------------------------------------------=

Im | Im|Em L2ω2 R 2(1 LCω2)2–+

RLω---------------------------------------------------------------------= =

Im 0( ) ∞= Im ∞=ω ∞→lim

ImI0m

Um--------Em,= Im

ImminEm

R------- ,= ω ω0

1LC

----------- .= =

• Quand on obtient une fonction comportant à la fois au numérateur et au déno-minateur, on essaye, lorsque c’est possible, de simplifier afin que seul le dénomina-teur dépende de Il est plus simple alors de chercher la valeur de pour laquellecette fonction est extremum.• Quand le dénominateur se présente sous la forme avec A constant, cettefonction est minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le mini-mum, il suffit de chercher la valeur de pour laquelle est nul. Si ce n’est paspossible, il faut dériver la fonction.• Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments R, L et C n’est pastoujours égal à

w

w. w

A2 B2 ω( )+

B2 w( )

w B w( )

Lw0

R----------.

en conclusion



Puissance en

régime sinusoïdal forcé

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a
1 Puissance instantanée et puissance moyenne
1.1. Notations utilisées

Considérons un dipôle D linéaire représentéen convention récepteur (figure 1).On note et

où R est la résistance du dipôleet S sa réactance,

On peut écrire R et S en fonction de Z et :

En utilisant la loi d’ohm en représentation complexe, on a :

est l’avance de phase de la tension sur l’intensité (déphasage).

1.2. Puissance instantanée

Le dipôle D reçoit la puissance instantanée (convention récepteur).

(1)

Fig. 1i(t)

u(t)

u t( ) Um ωt ϕu+( )cos=

i t( ) Im ωt ϕi+( ).cos=

Z R jS,+=Z Zexp jϕ( )=

ϕR Z ϕcos=

S Z ϕsin=

Um Z Im=

ϕu ϕ ϕi+=

ϕ

p t( ) u t( ) i t( )=p t( ) Um ωt ϕu+( )Imcos ωt ϕi+( )cos=

UmIm

2--------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos ϕu ϕi–( )cos+[ ]=

UmIm

2--------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos ϕ( )cos+[ ]=

6 – Puissance en régime sinusoïdal forcé


90

On ne ptement grandeu

etculer liser lréelles Nous dcette rel’exercises conn

u t( )p

É

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a

Cette puissance varie au cours du temps (figure 2) de façon sinusoïdale (pulsation

autour de la valeur

1.3. Puissance moyenne – Facteur de puissance

On verra sur des exemples (exercice 2) que dans de nombreuses applications, la grandeurpertinente n’est pas la puissance instantanée, mais la puissance moyenne :

En effet, la valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale est nulle (voir exercice 1 de« S’entraîner », chapitre 5) et celle d’un terme constant est évidemment égale à ce terme.Le terme est appelé facteur de puissance.Remarque : La puissance moyenne est aussi appelée puissance active.

1.4. Autre expression de la puissance moyenne, valeur efficace

Nous serons parfois amenés à utiliser une autre expression de

Or donc :

Seule la partie réelle R (la résistance) de l’impédance complexe intervient dans l’expressionde la puissance moyenne reçue.

Point maths. On a utilisé la formule

Variation de la puissance instantanée

La puissance moyenne s’écrit :

a( )cos b( )cos 12--- a b+( )cos a b–( )cos+[ ].=

2ω)

moyUmIm

2--------------- ϕ( ).cos=

p t( )

t

p(t)

moy

Fig. 2

moyAttentioneut pas direc-utiliser les

rs complexes pour cal-

il faut uti-es grandeurs

et évelopperonsmarque dans

ce 4 de « Testeraissances ».

i t( )t( ),

u t( ) i t( ).

moy p t( )⟨ ⟩UmIm

2--------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos⟨ ⟩ ϕ( )cos⟨ ⟩+[ ].= =

moyUmIm

2--------------- ϕ( ).cos=

ϕ( )cos

moy .

Um ZIm moy⇒UmIm

2--------------- ϕ( )cos

Im2

2------Z ϕ( ).cos= = = Z ϕ( )cos R ,=

moyRIm

2

2----------- .=


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Cette expression rappelle celle de la puissance dissipée en régime continu par effet joule

dans un résistor de résistance R, au facteur près. Tout se passe en fait, du point de vue

de la puissance moyenne reçue, comme si le dipôle était équivalent à un résistor de résis-tance R, le courant étant continu, de valeur dite efficace. On a donc :

On retrouve ici la notion de valeur efficace développée au chapitre 5.

On a donc aussi On peut alors écrire :

Remarque :

Cette relation n’est pas la même qu’en régime continu pour un résistor de résistance

1.5. Puissance moyenne reçue par les dipôles linéaires usuels

1.5.1. RésistorsLe déphasage entre la tension et l’intensité étant nul, on a :

Puisque on a aussi et donc :

Cette puissance est irréversiblement dissipée sous forme de transfert thermique (effet joule).Remarque : pour arriver à l’expression de on pouvait aussi directement utiliser laformule établie au § 1.4.

1.5.2. Bobines idéales et condensateurs idéaux

Le déphasage entre la tension et l’intensité pour une bobine et un condensateur étant

respectivement ou on a :

Ces dipôles ne reçoivent donc pas, en moyenne, de puissance : ils en reçoivent autantqu’ils en fournissent. Les bobines et condensateurs échangent réversiblement de l’énergieavec le reste du circuit (figure 3).

Autre expression de la puissance moyenne :

12---

Ie

moyRIm

2

2----------- RIe

2Ie⇒

Im

2------- .= = =

UeUm

2------- .=

moy UeIe ϕ( )cos RIe2.= =

Ue ZIe moy⇒RUe

2

Z 2------------

RUe2

R2 S 2+------------------- .= = =

R U 2

R-------=

.

ϕ

Rmoy UeIe ϕ( )cos UeIe. = =

Um RIm ,= Ue RIe=

Rmoy RIe2=

Rmoy

ϕ

+ π2--- π

2--- ,–

moy UeIe ϕ( )cos 0.= =



92

PC

PT

On repour étde pucircuit d’écriremaillesplier pparcou

puissannon padipôle etion gén

pg e=

É

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a

Remarque : pour arriver à l’expression de on pouvait aussi directement utiliser la for-mule établie au § 1.4. : la résistance d’une bobine idéale et d’un condensateur idéal estnulle.

2 Aspects énergétiques de l’étude du circuit RLC série

2.1. Bilan des puissances instantanées

Considérons un circuit RLC série (figure 4),soumis à un générateur idéal de tension, def.é.m. La loi des mailles dans le sens anti-horairedonne :

soit

Pour établir un bilan de puissance, multi-plions cette dernière relation par i :

En utilisant on obtient :

soit

Le terme ei est la puissance fournie par le générateur, elle est évidemment égale à lasomme des puissances reçues par la bobine le condensateur et le résistor :

On reconnaît dans cette expression l’énergie emmagasinée par la bobine etl’énergie emmagasinée par le condensateur :

Puissance moyenne reçue par une bobine idéale (a) et un condensateur idéal (b)

a) b)

Lmoy u t( )i t( )⟨ ⟩ 0= = Cmoy u t( )i t( )⟨ ⟩ 0= =

CLi(t)

u(t)

i(t)

u(t)

Fig. 3

moy

SI

SI

Fig. 4 uR

R

qC

L

i

e

uC

uL

e Em ωt( ).cos=

u L uC uR+ + e,=

Ldidt----- q

C--- Ri+ + e.=

Conseiltiendra queablir un bilanissance d’unsérie il suffit la loi des et la multi-ar l’intensitérant le circuit.

i t( ) L didt----- q

C--- Ri+ +

ei.=

idqdt------ ,=

L2--- di2

dt-------- 1

2C-------dq 2

dt--------- qC--- Ri2+ + ei ,=

ddt----- Li

2

2--------

ddt----- q

2

2C-------

Ri2+ + ei.=

Attention est bien la

ce fournie ets reçue car lest en conven-érateur.

ipg

p L , pC pR

p L pC pR+ + pg.=

w LwC

ddt-----w L

ddt-----wC pR+ + pg .=


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2.2. Bilan des puissances moyennes

En faisant la valeur moyenne du bilan des puissances instantanées, on obtient :

Or nous avons vu que les puissances moyennes reçues par une bobine et un condensateursont nulles, on a donc :

2.3. Résonance en puissance

étant la valeur efficace de l’intensité Cherchons l’expression de On utilise les amplitudes complexes

et

La loi de Pouillet nous donne directement :

Alors ;

et donc

En utilisant et on obtient l’expression :

La courbe représentant (figure 5) s’appelle courbe de résonance en puissance.Cette courbe est liée à la courbe de résonance en intensité (voir chapitre 5, § 6.1), puisque

est proportionnel au carré de l’amplitude de l’intensité de courant.

Soit On définit la bande passante par

avec et tels que

Cela correspond aux relations pour l’intensité. On retrouve

donc la bande passante définie pour l’étude des résonances d’intensité et de charge.

Les condensateurs et bobines ne participent donc pas au bilan de puissancemoyenne en régime sinusoïdal forcé.

Les caractéristiques de la résonance de puissance sont les mêmes que celles de réso-nance en intensité : il y a toujours résonance, pour toute valeur de Q , pour

p L⟨ ⟩ pC⟨ ⟩ pR⟨ ⟩+ + pg⟨ ⟩ .=

pR⟨ ⟩ pg⟨ ⟩ .=

Rmoy pR⟨ ⟩ RIe2,= = Ie i t( ).

i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos=

Em Em= Im Im jϕ( ).exp=

ImEm

R jLω 1jCω----------+ +

------------------------------------ .=

Im Im Im⇒Em

R2 Lω 1Cω--------–

2+

-----------------------------------------------= =

IeIm

2------- ,= Rmoy RIe

2R

Em2

2 R2 Lω 1Cω--------–

2+

----------------------------------------------------- .= =

ω01LC

-----------= QLω0

R---------- ,=

RmoyEm

2

2R 1 Q2 ωω0------

ω0

ω------–

2+

---------------------------------------------------------- .=

Rmoy ω( )

Rmoy

ω ω0.=

RmoymaxEm

2

2R------- Rmoy ω0( ).= = ∆ω ω2 ω1,–=

ω1 ω2 Rmoy ω1( ) Rmoy ω2( )Rmoymax

2------------------------ .= =

Im ω1( ) Im ω2( )Immax

2--------------= =



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a

ω

Rmoymax

Rmoymax

2----------------

ω0ω1 ω2

Rmoy

Résonance de puissanceFig. 5



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a

1

2 Les pertes joules dans les câbles du réseau électrique EDF proviennent de la résis-tance non nulle de ces câbles, que l’on appellera :

est d’autant plus grand, pour donné, que est grand.

3 On considère le dipôle D ′ constitué del’ensemble D + condensateur en parallèle,d’impédance alimenté par le générateurde f.é.m. La puissance moyenne reçue par D ′ est la mêmeque celle reçue par D. En effet le condensateurreçoit, en moyenne, une puissance nulle. Enappelant l’intensité efficace de et ledéphasage entre et on a la relation :

1 – Relèvement du facteur de puissanceSoit un dipôle quelconque D d’impédance et consommant une puis-sance Ce dipôle est alimenté par le secteur EDF, modélisé par un générateurde tension idéal de f.é.m. de pulsation et de valeur efficace

1 Donner l’expression de .

2 Montrer que l’on doit choisir un facteur de puissance le plus grand possiblepour limiter les pertes Joule dans le réseau électrique EDF alimentant le dipôle.

3 En fait, EDF impose que les installations électriques doivent présenter un facteurde puissance supérieur à 0,93. On doit donc parfois modifier le facteur de puis-sance d’un dipôle. On étudie ici la méthode consistant à placer en parallèle audipôle un condensateur de capacité C. Établir en fonction de S, et l’expres-sion de la valeur de C qui permette d’obtenir un facteur de puissance égal à un.

Z R jS+=moy.

e t( ) ω Ee.

Ie

Z ω


moy UeIe ϕcos= ⇒ Iemoy

Ue ϕcos-------------------=

Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l’intensité du courant quile traverse.

PJR 0

PJ R 0I e2 R 0

moy

Ue ϕcos-------------------

2.= =

PJ moy ϕcos

i ′(t )

e (t ) Zu (t )

ic (t )

C

i (t )

D ′ Z ′( )

Z ′e t( ).

I ′e i ′ t( ) ϕ′e t( ) i ′ t( ),

moy UeI ′e ϕ′.cos=



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a

On cherche à obtenir un facteur de puissance égal à un, donc or réel.

Si est réel, alors l’est également.

en appelant

Remarque : avec ou sans condensateur, le dipôle D est soumis à la même tension et il estparcouru par le même courant : le branchement en parallèle du condensateur n’altère enrien le fonctionnement de D.

2 – Adaptation d’impédanceSoit un générateur de tension sinusoïdal de force électromotrice instantanée

d’impédance complexe interne placé en série avec unréseau d’impédance complexe

1 Déterminer l’impédance du réseau pour laquelle le générateur lui fournitune puissance moyenne maximale.

2 Pour cette question, on considère que l’impédance du réseau est Exprimer

la puissance reçue par le réseau et la puissance dissipée par effet joule dansla résistance interne du générateur. En déduire le rendement du dispositif. Pourquelle valeur de le rendement est-il maximal ?

ϕ′ 0,=ϕ′ arg Z ′( ) 0 Z ′⇒= =

Z ′ Y ′

• Un facteur de puissance égal à l’unité correspond à une impédance ou une admittance réelle(partie imaginaire nulle).• Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l’étude avec l’admittance.

Y ′ 1R j+ S( )

-------------------- jCω+ R jS–R2 S 2+------------------- jC ω+ R

R2 S 2+------------------- j S–

R2 S 2+------------------- Cω+

+= = =

Y ′ réel S–R2 S 2+------------------- Cω+⇒ 0=

⇒ C Sω R2 S 2+( )---------------------------- S

ωZ 2-----------= =

Z Z .=

Même si EDF ne le vérifie que rarement pour les particuliers, en revanche pour les installationsindustrielles EDF facture des « amendes » relativement importantes si le facteur de puissance estinférieur à 0,93.

• Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l’intensitédu courant qui le traverse.• Un facteur de puissance égal à l’unité correspond à une impédance ou une admit-tance réelle (partie imaginaire nulle).• Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l’étude avec l’admittance.

en conclusion

Ee 2 ωt,cos Zg Rg jSg+=Z R jS.+=

Z0moy

Z0.

Rg

Rg


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a

1 Soit

avec

et

avec La puissance moyenne fournie au réseau est égale àcelle reçue par le réseau, En posant on a (Essentiel du cours, § 1.4)Il faut donc chercher Utilisons la loi de Pouillet afin de déterminer :

Alors

Ainsi

Pour R, et donné, est maximal si soit

et

si

On a donc et soit :

(grandeur conjuguée de ).

Cette condition correspond à ce que l’on appelle l’adaptation d’impédance.

2


e (t )Z

u (t )

i (t )

Z g

u t( ) Ue 2 ωt φ+( )cos Re Um jωt( )exp( ),= =

Um Ue 2 j φ( )exp=

i t( ) Ie 2 ωt ψ+( )cos Re Im jωt( )exp( ),= =

Im Ie 2 jψ( )exp=

moy.ϕ φ ψ,–= moy UeIe ϕcos RI e

2.= =

Ie. Im

Im

Ee 2Zg Z+-----------------

Ee 2Rg R+( ) j Sg S+( )+

-------------------------------------------------- .= =

IeIm

2----------

Ee

Rg R+( )2 Sg S+( )2+--------------------------------------------------------- .= =

moy RI e2 REe

2

Rg R+( )2 Sg S+( )2+----------------------------------------------------- .= =

• Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactancespeuvent être négatives ou positives.• Avant de dériver l’expression de moy repérer que le dénominateur est minimal pour S + Sg = 0.

Rg Sg moy S Sg+ 0,= S Sg.–=

moy RIe2 REe

2

Rg R+( )2-----------------------= =

dmoy

dR---------------- Ee

2 Rg R+( )2 2R Rg R+( )–( )Rg R+( )2

--------------------------------------------------------------- .=

dmoy

dR---------------- 0= Rg R 2R–+ 0.=

R Rg= S Sg,–=

Z0 Zg∗= Zg

moy Z0 Zg∗=( ) RE2

2R( )2-------------- E2

4R-------= =

RgZ0 Zg

∗=( ) RgIe2 RgE 2

Rg R+( )2----------------------- RE 2

2R( )2--------------= = =

Rg

E 2

4R------- moy Z0 Zg

∗=( )= =



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a

La puissance fournie par le générateur de f.é.m. e (t) est égale à la somme des puis-sances reçues par le circuit électrique, soit Le rendement s’écrit donc :

Ce rendement est maximal, égal à un si donc si La condition recherchée est donc

La résistance de l’impédance complexe interne du générateur doit être nulle (mais bienentendu l’adaptation d’impédance, dans un tel cas n’a plus d’intérêt).

De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l’on récupère (ce qui nous« intéresse ») et ce que l’on fournit (ce que l’on « dépense »). Ici, il s’agit de transférer de l’énergieélectrique du générateur au réseau électrique.

ee moy Rg

.+=

ηmoy

e------------ 1

2--- 50 %= = =

moy e,= Rg0.=

Rg 0=

Rg R 0= =( ),

• Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que lesréactances peuvent être négatives ou positives.• Avant de dériver l’expression de moy pour chercher un extremum, repérer d’éven-tuelles relations simples permettant d’obtenir cet extremum.

en conclusion



Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre

99

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n,cla

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prép

a

1 Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Filtre

1.1. Quadripôle

Un quadripôle comporte quatre bornes : deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie (figure 1).

1.2. Quadripôle linéaire

Soit une tension sinusoïdale à l’entrée d’un quadripôle (pulsation ω,

fréquence

Le quadripôle est linéaire si, en régime forcé (appelé aussi régime harmonique), la tensionde sortie est sinusoïdale :

1.3. Théorème de superposition

Soit et deux tensions d’entrée. Soit et les tensions de sortie correspondan-tes. Alors la tension est la tension de sortie correspondant à la tensiond’entrée et étant des constantes.

Fig. 1

is

usChargeQuadripôle

ie

ueGénérateur

Tensions et intensités d’entrée et de sortie d’un quadripôle

ue Uem ωt ϕe+( )cos=

fω2π------).=

us Usm ωt ϕs+( ).cos=

ue1 ue2 us1 us2

us λ1us1 λ2us2+=

ue λ1ue1 λ2ue2,+= λ1 λ2

7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre


100É

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1.4. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire

1.4.1. Définition

1.4.2. Expression

Les coefficients sont réels et constants.

1.4.3. Ordre d’un quadripôle

L’ordre est celui du polynôme de plus haut degré, ou

1.4.4. Module et argument

• est le module de la fonction de transfert ;

• est la phase de la fonction de transfert.

1.4.5. Valeur maximale et phase de la tension de sortie

En notation complexe, et d’où :

• Relations entre la tension d’entrée et la tension de sortie d’un quadripôle linéaire de fonction de transfert :

et

1.4.6. Cas d’une tension d’entrée constante

En régime permanent, la réponse d’un quadripôle à une tension d’entrée constante peut-être considérée comme celle d’une tension périodique de fréquence nulle (périodeinfinie) :

1.5. Quadripôle passif, quadripôle actif

Un quadripôle est passif quand il ne comporte que des dipôles passifs comme R, L ou C. Il est actif s’il contient en plus des sources d’énergie électrique. Dans la pratique il s’agitd’un ou de plusieurs amplificateurs opérationnels fonctionnant en régime linéaire, dont ladescription est donnée figure 2.

H jω( )us

ue-----=

H jω( )N jω( )D jω( )-----------------

N0 jωN1 jω( )2N2… jω( )mNm+ + + +

D0 jωD1 jω( )2D2 … jω( )nDn+ + + +-------------------------------------------------------------------------------------------------- .= =

N jω( ) D jω( ).

H jω( ) H ω( ) ejϕ ω( )=

H ω( )

ϕ ω( )

ue Uemej ωt ϕe+( )= us Usmej ωt ϕs+( ),=

Husue----- us⇒ Hue Usme j ωt ϕs+( )⇒ H ejϕUemej ωt ϕe+( ).= = =

ue Uem ωt ϕe+( )cos=

us Usm ωt ϕs+( )cos= H H ejϕ ω( )=

Usm H Uem= ϕs ϕe ϕ.+=

Us Ue

Us H ω 0=( )Ue.=


101

Le po

sur le dde Bod

x 0=

log 0( )

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1.6. Filtre

Un filtre idéal est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est nulle dans undomaine de fréquences caractéristique.Un filtre réel est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est atténuée dansun domaine de fréquences caractéristique.

2 Diagramme de Bode d’un filtre

2.1. Forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre

2.2. Diagramme de Bode d’un filtre

Le diagramme de Bode est la représentation de la fonction de transfert d’un filtre.Il est constitué de deux courbes :• la courbe de réponse en gain, exprimé en décibels, en fonction de

;• la courbe de réponse en phase en fonction de

On peut aussi tracer les courbes et en fonction du loga-rithme décimal de la valeur numérique de noté

Amplificateur opérationnel (AO) en régime linéaire

• x est la pulsation réduite, ou fréquence réduite, avec

• est la pulsation caractéristique du filtre, f 0 est la fréquence caractéristique.

Point maths. L’expression « » désigne le logarithme décimal de x .

Point maths. L’échelle logarithmique. DécadeL’axe des abscisses de chacune des courbes et est gradué en échelle loga-rithmique (figure 3). Les valeurs de x sont en général représentées par décades (

1, …).Une décade est l’intervalle de fréquence tel que :

Fig. 2

us

i + 0=

ε 0=

u+

u–

+

−i − 0=

• Le courant d’entrée inverseuse – est nul.• Le courant d’entrée non inverseuse + est nul.• La tension différentielle ε est nulle.Remarque. L’alimentation en énergie électrique n’est pasreprésentée.

H jx( )usue----- H x( ) ejϕ x( )= =

xωω0------

ff0----- .= =

ω0

H jx( )

G x( ) 20log H jx( )=log x( )

ϕ x( ) log x( ).

log x( )

G ω( ) 20log H jω( )= ϕ ω( )ω, log ω( ).

Attentionint d’abscisse n’apparaît pasiagrammee puisque

∞.–=

G x( ) ϕ x( )…10 3– ,

10 2– , 10 1– , 101, 102, 103

f1 ; f2[ ]f2

f1----- 10.=



102É

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2.3. Bande passante à -3 dB

2.4. Multiplication de la fonction de transfert par une constante

Soit avec une constante réelle.• La courbe de réponse en gain de la

fonction de transfert se déduit de celle de la fonction de transfert par trans-lation le long de l’axe des gains.• La courbe de réponse en phase de la fonction de transfert seconfond avec celle de la fonction de transfert

3 Filtre passe-bas du premier ordre3.1. Fonction de transfert

Le terme en d’ordre 1, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de premier

ordre donné au filtre.L’étude menée au § 2.4 nous permet de travailler dans la suite avec la valeur carla courbe de réponse en gain se déduit de celle de la fonction de transfert dans laquelle

par translation le long de l’axe des gains et les courbes de réponse enphase sont identiques.

La bande passante à – 3 dB d’un filtre est la bande de fréquence à l’intérieur delaquelle :

ou (dB).

Fonction de transfert et forme réduite de la fonction de transfertd’un filtre passe-bas du premier ordre :

et

• est appelée pulsation de coupure et fréquence de coupure.• est une constante réelle.• x est la pulsation réduite avec

Fig. 3

10-3

X 2 X 1 1+=

10-2 10-1 10 102 103 x en échelle logarithmique

X = log( x ) en échelle linéaire

1

x

2

10x

1

=

X

1

décade

– 3 – 2 – 1 1 2 30

Principe de l’échelle logarithmique

1

x

1

HH max

2---------------- G Gmax 3–

T jx( ) A0H jx( ) A0 H x( ) ejϕ x( ) T x( ) ejθ x( )= = = A0

G x( ) 20log T jx( ) 20logA0 20log H jx( ) .+= =

T jx( ) H jx( )20log A0( )

θ x( ) ϕ x( ).= T jx( )H jx( ).

H jω( ) H jx( )

H jω( )A0

1 j ωωc------+

------------------A0

1 j ffc----+

----------------= = H jx( ) A01

1 jx+--------------= .

ωc fcA0

xωωc------

ffc---- .= =

ωωc------ ,

A0 1=

A0 1= 20logA0


103

1j---

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a

3.2. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence de coupure

3.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence (BF)

On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et

3.2.2. Expression à la fréquence de coupure (x = 1)

La courbe du gain en fonction de passe par le point

La courbe de la phase en fonction de passe par le point

3.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence (HF)

On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : et

3.3. Diagramme asymptotique de Bode

• La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deuxdemi-droites d’équations et reliées au point (0 ; 0).• La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée desdeux demi-droites d’équations et d’origine et du seg-ment vertical qui les relie.

3.4. Pente de l’asymptote haute fréquence

En posant il vient dB/décade. Le gain dimi-

nue de 20 dB quand la fréquence est multipliée par 10 (X augmente d’une unité) ; on ditque la pente de l’asymptote haute fréquence est égale à – 20 dB par décade.

Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à basse fréquence, on cher-che un équivalent de la fonction de transfert à basse fréquence. Pour cela on ne conserveau dénominateur que le terme de plus bas degré en x, soit ici le terme 1 (degré nul).

Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à haute fréquence, oncherche un équivalent de la fonction de transfert à haute fréquence en ne conservantque le terme de plus haut degré en x, soit ici le terme

x 1 H jx( )⇒ 1≈ H jx( ) ejϕ x( )H jx( ) 1 GBF⇒≈ 20log 1( ) 0= =

ϕBF 0=

⇒=

GBF 0= ϕBF 0.=

f fc x⇒ 1 H jx( ) ejϕ x( )⇒ 11 j+-----------

12

------- ej–π4---

H j( ) 12

------- G x 1=( )⇒ 3 dB–= =

ϕ x 1=( )π4---–=

⇒= = = =

log x( ) 0 ; 3 dB–( ).

log x( ) 0 ; π4---–

.

x 1 H jx( )⇒ 1jx----≈ 1

x--- e

j–π2---

H jx( ) ejϕ x( )H jx( ) 1

x--- GHF⇒≈ 20– log x( )=

ϕHFπ2---–=

⇒= =

Rappel

j– ej–π2---

= =jx.

GHF 20– logx= ϕHFπ2--- .–=

GBF 0= GHF 20– logx=

ϕBF 0= ϕBFπ2---–= log x( ) 0,=

X log x( ),= GHF 20X–dGHF

dX-------------⇒ 20–= =



104

Pour trtote hadu gainmarquepar les p+1 2–,(

É

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3.5. Diagramme de Bode

Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence de cou-pure suffisent pour donner l’allure du diagramme de Bode complet. Il peut êtreaussi tracé à l’aide d’un logiciel de calcul formel (traits en couleur sur la figure 4).

a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir).

On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels.

b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir).On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians.

Filtre passe-bas du premier ordre, de fonction de transfert :

• La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa-tions et reliées au point (0, 0).• La pente de l’asymptote haute fréquence du gain est égale à – 20 dB par décade.• La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équa-

tions et d’origine et du segment vertical qui les

relie.

• La phase est une fonction décroissante de 0 à

• Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction

de

x 1=( )

Fig. 4

G(x ) (dB)

log(

x

)

ϕ ( x ) (rad)

−

0,2

−

0,4

−

0,6

−

0,8

−

1

−

1,2

−

1,4

−

1,6

−

10

−

20

−

30

−

40

Bande passante

a)

−

2

−

1 1 2

0 0log(

x

)

log x 1

b)

−

1

Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas du premier ordre de fonction de transfert

H jx( ) 11 jx+--------------=

Conseilacer l’asymp-ute fréquence, il suffit de re-r qu’elle passeoints (0 ; 0) et0 dB).

H jx( ) 11 jx+-------------- .=

GBF 0= GHF 20– logx=

ϕBF 0= ϕHFπ2--- ,–= log x( ) 0,=

π2--- .–

0 ; π4---–

log x( ).


105

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3.6. Bande passante à –3 dB

Exemple du filtre passe-bas du premier ordre :

• Détermination de la valeur maximale du module de la fonction de transfert :

• Résolution de l’équation :

4 Filtre passe-haut du premier ordre

4.1. Fonction de transfert

Le terme en d’ordre 1, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de premier

ordre donné au filtre. Nous travaillerons dans la suite avec la valeur

Point méthode. Détermination de la bande passante à –3 dB d’un filtre

a) Déterminer la valeur maximale du module de la fonction de transfert.

b) Résoudre l’équation Selon le cas, on travaille avec la pulsation, la

fréquence ou la fréquence réduite.

• Autre méthode : déterminer la valeur maximale Gmax du gain, puis résoudre l’équa-tion

La bande passante à –3 dB d’un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence decoupure est :

Fonction de transfert et forme réduite de la fonction de transfertd’un filtre passe-haut du premier ordre :

;

• est la pulsation de coupure et est la fréquence de coupure.

• est une constante réelle.

H max

HH max

2---------------- .=

G Gmax 3.–=

H max

Hmax Hx 0= 1.= =

H jx( ) 11 jx+--------------

1

1 x2+-------------------

Hmax

2------------- x⇒ 1 f⇒ fc.= = = = =

fc∆f 0 ; fc[ ].=

H jω( ) H jx( )

H jω( ) A0

j ωωc------

1 j ωωc------+

----------------- A0

j ffc----

1 j ffc----+

---------------= = H jx( ) A0jx

1 jx+-------------- .=

ωc fc

A0

ωωc------ ,

A0 1.=



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4.2. Comportements asymptotiqueset expression à la fréquence de coupure

4.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence (BF)


4.2.2. Expression à la fréquence de coupure

• La courbe du gain en fonction de passe par le point

• La courbe de la phase en fonction de passe par le point

4.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence (HF)

On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : et

4.3. Diagramme asymptotique de Bode

• La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 5a) est constituée des deuxdemi-droites d’équations et reliées au point ;• La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 5b) est constituée des

deux demi-droites d’équations et d’origine et du seg-ment vertical qui les relie.

4.4. Pente de l’asymptote haute fréquence

En posant il vient d’où dB/décade. Le gain aug-

mente de 20 dB quand la fréquence est multipliée par 10 (X augmente d’une unité) ; lapente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +20 dB par décade.

Point maths. On ne conserve que les termes de plus bas degré en x, au numérateur et au dénominateur (1).

f fc x⇒ 1 H jx( )⇒ jx≈ xejπ2---

H jx( ) ejϕ x( )= =

H jx( ) x GBF⇒≈ 20log x( )=

ϕBFπ2---=

⇒

Rappel

j ejπ2---.=

jx( )

GBF 20log x( )= ϕBFπ2--- .=

x 1=( )

f fc x⇒ 1 H j( )⇒ H j( ) ejϕ 1( ) j1 j+-----------

12

-------ejπ4---

H jx( ) ejϕ x( )= = = = = =

H j( ) 1

2------- G x 1=( )⇒≈ 3 dB–=

ϕ x 1=( )π4---=

⇒

log x( ) 0 ; 3 dB–( ).

log x( ) 0 ; π4---

.

f fc x ⇒ 1 H jx( )⇒ 1≈ H jx( ) ejϕ x( )H jx( ) 1 GHF⇒≈ 0=

ϕHF 0=

⇒=

GHF 0= ϕHF 0.=

GBF 20logx= GHF 0= 0 ; 0( )

ϕBFπ2---= ϕHF 0,= log x( ) 0,=

X log x( ),= GHF 20X,=dGHF

dX------------- 20=


107

Pour trtote badu gainmarquepar les p(−1 ; −2

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Remarque :

La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe-bas

par translation positive de le long de l’axe des phases.

a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir).

On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels.

b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir).

On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians.

Filtre passe-haut du premier ordre, de fonction de transfert

• La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa-tions et reliées au point • La pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +20 dB par décade.• La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations

et d’origine et du segment vertical qui les relie.

• La phase est une fonction décroissante de à 0.

• Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction

de

Fig. 5

G(x) (dB)

log(

x

)

ϕ ( x ) (rad)

1

1,2

0,8

0,6

−

10

−

20

−

30

−

40

Bande passante

a)

−

2

−

1 1 2

log(

x

)

b)

0,2

0,4

1,40

0

−

2

−

1 1

1,0

Diagramme de Bode d’un filtre passe-haut du premier ordre de fonction de transfert H jx( ) jx1 jx+--------------=

Conseilacer l’asymp-sse fréquence, il suffit de re-r qu’elle passeoints (0 ; 0) et0 dB).

H jx( ) jx1 jx+-------------- .=

GBF 20log x( )= GHF 0= 0 ; 0( ).

ϕBFπ2---= ϕHF 0,= log x( ) 0,=

π2---

0 ; π4---

log x( ).

H jx( )[ ]passehaut

jx1 jx+-------------- jx 1

1 jx+-------------- xe

jπ2---H jx( )[ ]passe

bas

ϕ x( )[ ]passehaut

⇒ π2--- ϕ x( )[ ]passe

bas

+= = = =

π2---



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a


Application de la méthode donnée au § 3.6• Détermination de la valeur maximale du module de la fonction de transfert :


5 Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre

Les comportements à basse et à haute fréquences des condensateurs et des bobines idéales(figure 6) permettent de prévoir avant tout calcul les comportements asymptotiques d’unfiltre.

Remarques :Un filtre dont la tension de sortie s’annule à basse fréquence et à haute fréquence est unfiltre passe-bande. Il sera étudié au prochain chapitre.La tension de sortie de certains quadripôles ne s’annule ni à basse fréquence ni à hautefréquence. Des exemples seront présentés en exercices.

La bande passante à – 3 dB d’un filtre passe-haut du premier ordre de fréquencede coupure est

Point méthode. Comportements asymptotiques d’un filtre• Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensa-teurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés,et déterminer la tension de sortie.• Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensa-teurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts,et déterminer la tension de sortie.• En déduire si le filtre est passe-bas ou passe-haut : – c’est un filtre passe-bas si la tension de sortie s’annule seulement à haute fréquence ;– c’est un filtre passe-haut si la tension de sortie s’annule seulement à basse fréquence.

H maxHmax Hx ∞→ 1.= =

H jx( ) jx1 jx+--------------

1

1 1x2-----+

-------------------Hmax

2------------- x⇒ 1 f⇒ fc.= = = = =

fc ∆f f[ c ; ∞[.=

Fig. 6 Comportements à basse et à haute fréquences d’un condensateur et d’une bobine

Basse fréquence Haute fréquence Basse fréquence Haute fréquence


109

PC

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6 Équation différentielle d’un système du premier ordre – Stabilité

6.1. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert

La forme générale de la fonction de transfert d’un filtre du premier ordre s’écrit

d’où l’équation différentielle :

6.2. Stabilité du système

Un système est stable lorsque saréponse à une excitation est bornée,c’est-à-dire qu’elle ne tend pas versl’infini quand le temps tend versl’infini.Analysons la réponse d’un quadri-pôle du premier ordre (figure 7).

6.2.1. Régime libre (interrupteur ouvert)

C’est la solution de l’équation différentielle

Elle est de la forme avec K constante a priori non nulle. Cette solution

converge vers zéro quand t tend vers l’infini si ; elle n’est pas bornée si

(elle tend alors vers l’infini). Il faut donc que les coefficients et soient du mêmesigne pour que le système soit stable vis-à-vis de la réponse libre.

Sachant que la fonction de transfert s’écrit aussi sous la forme

Il faut que les coefficients et soient du même signe pour que le système soit stable.

On peut déduire l’équation différentielle d’un système du premier ordre en rem-

plaçant chaque terme par l’opérateur dans la fonction de transfert.

SI

jω ddt-----

H jω( )us

ue-----

N0 jωN1+

D0 jωD1+--------------------------- ,= =

D1dus

dt-------- D0us+ N1

due

dt-------- N0ue+=

Le quadripôle est soumis à la tension fournie par la source quand on ferme l’interrupteur.

Fig. 7

u e u s

Quadripôle du premier ordre

usL D1dusL

dt---------- D0usL+ 0.=

usL KeD1

D0------ t–

,=

D1

D0------ 0

D1

D0------ 0

D0 D1

xωω0------ ,= H jx( )

N′0 N′1 jx+

D ′0 D′1 jx+-------------------------- .=

D ′0 D ′1



110

PC

É

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a

6.2.2. Régime forcé sinusoïdal (interrupteur fermé)Les amplitudes et des tensions d’entrée et de sortie sont liées par la relation

(voir § 1.3.5) : L’amplitude de sortie est bornée (non infinie) si lemodule de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence.

Pour faire l’étude d’un quadripôle nous supposerons a priori qu’il est stable. Les signes descoefficients du dénominateur de la fonction de transfert montreront s’il en est bien ainsi.En cas d’instabilité, la réponse du système ne peut pas être sinusoïdale ; le quadripôle n’estpas linéaire.

7 Caractère intégrateur ou dérivateur d’un filtre

7.1. Caractère intégrateur à haute fréquence d’un filtre passe-bas du premier ordre

À haute fréquence ( la fonction de transfert d’un

filtre passe-bas du premier ordre se simplifie en :

On en déduit l’équation différentielle :

La tension de sortie est donc de la forme

7.2. Caractère dérivateur à basse fréquence d’un filtre passe-haut du premier ordre

À basse fréquence la fonction de transfert :

Un système du premier ordre est stable en régime libre si les coefficients et (respectivement et du dénominateur de la fonction de transfert

(respectivement sont du même signe.

Un système du premier ordre est stable en régime forcé si le module de la fonctionde transfert est borné quelle que soit la fréquence.

Un filtre passe-bas du premier ordre a un caractère intégrateur à haute fréquence.

D0 D1

D ′0 D ′1)

H jω( )N0 jωN1+

D0 jωD1+---------------------------= H jx( )

N′0 N′1 jx+

D ′0 D ′1 jx+--------------------------)=

Uem Usm

Usm H jω( ) Uem.=

SI

ffc----

ωωc------ 1),= H jω( )

us

ue-----

A0

1 j ωωc------+

-----------------= =

H jω( )us

ue-----=

A0

j ωωc------

-------- j ωωc------ us⇒≈ A0 ue.=

dus

dt-------- ωcA0ue.=

us A0ωc= uedt.∫

( ffc---- ω

ωc------ 1),=

H jω( )us

ue----- A0

j ωωc------

1 j ωωc------+

----------------- ,= =


111

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d’un filtre passe-haut du premier ordre se simplifie en :

On en déduit l’équation différentielle :

Un filtre passe-haut du premier ordre a un caractère dérivateur à basse fréquence.

H jω( )us

ue----- A0 j ω

ωc------ us⇒ A0 j ω

ωc------ue.= = =

usA0

ωc------

due

dt-------- .=



112Élect

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a

1 Appliquons la méthode du cours.

• À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a).Les deux résistors sont traversés par le même courant ; ils sont en série. La branche

réalise un diviseur de tension :

• À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé (figure b)donc La tension de sortie est nulle seulement à haute fréquence ; le filtre est un filtre passe-bas.

2 Soit l’impédance de l’association du condensateur et du résistor de résistance et son admittance.

1 – Filtre passif passe-bas

On considère le filtre de la figure suivante. On donne et

1 Déterminer les comportements asymptotiques dufiltre. En déduire sa nature.

2 Exprimer la fonction de transfert sous la forme

Exprimer la constante et

la constante de temps

3 Calculer la durée la fréquence de coupure et le gain maximal

4 À l’entrée du filtre, on injecte la tension sinusoïdale

d’amplitude V et de fréquence Déterminer la tension de sortie.

C 1,0 µF,= R1 1,0 kΩ=R2 3,0 kΩ.=

i s 0=R1

ue R2 usC

H jω( )A0

1 jωτ+------------------ .= A0

τ.

τ, fc, Gmax.

ue t( ) Uem 2πft( )cos=

Uem 10= ffc10------ .= us t( )


R1,

R2us

ue-----

R2

R1 R2+------------------- 0.≠=

us 0.=

L’étude des comportements asymptotiques d’un quadripôle peut permettre d’en connaître la nature.

a) b) Haute fréquenceBasse fréquence

i s 0=R1

ue

R1i s 0=

ueR2 R2u s ue= us 0=

Z R2,Y


113

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

Le courant de sortie est nul. Le résistor et le dipôle sonttraversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit(figure ci-contre) réalise un diviseur de tension qui permetd’exprimer facilement la fonction de transfert :

Par identification, on obtient :

La fonction de transfert est bien celle d’un filtre passe-bas, en accord avec la détermina-tion rapide de la première question.

3

4 Avec les données on a :

Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie.• Tension d’entrée en notation complexe :

• Tension de sortie en notation complexe à partir de la fonction de transfert :

avec

et

i s 0=

usue

R

Z

Z

H jω( )us

ue-----

Z

R1 Z+----------------- 1

1 R1 Y+---------------------= = =

1

1 R11R2------ jCω++

--------------------------------------------1

1R1

R2------+

---------------- 1

1 jR1

1R1

R2------+

----------------Cω+

------------------------------------

R2

R1 R2+-------------------

1 jωR1R2

R1 R2+-------------------C+

--------------------------------------- .= = =

Lorsque des éléments d’un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la déterminationde la fonction de transfert en utilisant l’admittance équivalente.

A0R2

R1 R2+------------------- et τ

R1R2

R1 R2+-------------------C==

Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportementsasymptotiques d’un quadripôle.

τ 0,75= ms fc1

2πτ--------- 0,21= = kHz

H max A0 Gmax⇒ 20log A0( )= =

Gmax 2,5 dB–=

ωτ ωωc------ f

fc----

110------ .= = =

ue Em 2πft( )cos ue⇒ Emej2πft.= =

H jω( )us

ue----- us⇒ H jω( )ue

A0

1 jωτ+------------------ ue

A0

1 ω2τ2+ ejα--------------------------------- Uemej2πft= = = =

usA0Uem

1 ω2τ2+------------------------- ej 2πft α–( )= αtan ωτ.=



114Élect

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n,cla

sse

prép

a

• Tension de sortie réelle en prenant la partie réelle de son expression complexe :

rad.

Finalement :

2 – Filtre actif passe-haut. Bilan de puissance

On considère le filtre ci-contre. Le dipôle placé en sortie est un résistor de résis-tance Données :

1 Déterminer les comportementsasymptotiques du filtre. Endéduire sa nature.

2 Calculer la constante de temps du circuit RC.

3 Soit x la pulsation réduite avec

Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite Dépend-elle dela résistance de charge ?

4 Quels sont la nature et l’ordre du filtre ? Calculer la fréquence de coupure

5 On place en entrée un générateur idéal de tension avec

et de fréquence Déterminer la tension et l’intensité

de sortie.

6 Calculer la puissance moyenne reçue par la charge ? Quelle est la puissancemoyenne reçue à l’entrée de l’AO ? Que doit-on en conclure ?

usA0Uem

1 ω2τ2+------------------------- 2πft α–( )cos

0,75 10·

1 10 2–+------------------------ 2πft α–( )cos= = 7,5 2πft α–( )cos≈

αtan 0,10 α⇒= 0,10≈

us t( ) 7,5 1,3 102t 0,10–·( ) (V)cos=

• L’étude des comportements asymptotiques d’un quadripôle peut permettre d’enconnaître la nature.• Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert confirme la prévision descomportements asymptotiques d’un quadripôle.• Lorsque des éléments d’un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent ladétermination de la fonction de transfert en utilisant l’admittance équivalente.

en conclusion

Rc.C 0,10 µ F, = R 5,0 kΩ,= Rc 0,50 kΩ.=

usue

C

R RC

+

−

τ

xωωc------ f

fc---- RCω.= = =

H jx( ).Rc

fc.

ue t( ) Em 2πft( )cos=

Em 2,0 V= ffc2---- .= us t( )

is t( )

c+


115

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a

1 Appliquons la méthode du cours.• À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Il n’y a pasde courant dans le résistor R. L’analyse de la figure 1 conduit à

• À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé. L’analyse dela figure 2 conduit à

La tension de sortie est nulle seulement à basse fréquence ; le filtre est un filtre passe-haut.

2

7 Dans la pratique, l’amplitude de l’intensité du courant de sortie est limitée à et l’amplitude de la tension de sortie est limitée à

par un système électronique interne à l’AO. Déterminer :• la valeur maximale de l’amplitude de la tension d’entrée ;• la valeur de la résistance de charge quand les amplitudes de la tension etde l’intensité sont maximales ;• la valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l’AO.

Ismax 20 mA= Usmax 13 V=

Ue max

R ′c

c max


us 0.=

i s

ue RC

+

−

us u– 0= =R

i +=0

u– u+ 0= =

ε = 0

i – = 0u+ Ri + 0= =

Figure 1 : Basse fréquence

us ue.=

i s

ue RC

+

−

us u– ue= =R

i +=0

u– u+ ue= =

ε = 0

i – =0

u+ u–=

Figure 2 : Haute fréquence

τ RC 0,50 ms= =



116Élect

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prép

a

3

Analysons la figure 3. Le courantd’entrée

+

est nul En conséquence, le condensateur

C

et lerésistor

R

sont en série. Le circuit réaliseun diviseur de tension :

et

La fonction de transfert ne dépend pas de la valeur de la résistance de charge.

4

On reconnaît la fonction de transfert d’un

filtre passe-haut du premier ordre.

5

Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie.• Tension d’entrée en notation complexe : • Tension complexe de sortie exprimée à partir de la fonction de transfert :

avec

• Tension de sortie en prenant la partie réelle de son expression complexe :

Finalement :

i s

ue RC

+

−

usR

i +=0

u–

ε = 0

i – =0

u+

Figure 3

C

i+ 0=( ).

u+

ue------- R

R 1jCω----------+

--------------------jx

1 jx+--------------= =

H jx( )us

ue-----

us

u –

------ u –

u+ ------ u+

ue-------

jx1 jx+-------------- .= = =

1= 1=

Quand un circuit comporte un AO, mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit lescaractéristiques de l’amplificateur opérationnel : les courants d’entrée i + et i – sont nuls, la ten-sion différentielle d’entrée ε est nulle.

Dans son domaine normal d’utilisation, la tension de sortie d’un AO ne dépend pas de la charge.

fcf

RCω------------ 1

2πRC--------------- 0,32 kHz= = =

ue Em 2πft( )cos ue⇒ Emej2πft.= =

Hj2---

us

ue----- us⇒ H

j2---

ue

j2---

1 j2---+

------------ ue

j2 j+-----------Emej2πft e

jπ2---

ejα 5-------------- Emej2πft

Em

5------- e

j 2πft π2--- α–+

= = = = = =

αtan 12--- .=

usEm

5------- 2πft π

2--- α–+

.cos=

us t( ) 0,89 1,0 103t· 1,1+( ) (V)cos=

us Rcis ⇒= is t( ) 1,8 1,0 103t· 1,1+( ) (mA)cos=


117

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prép

a

6 La charge reçoit la puissance :

Le courant d’entrée + de l’AO est nul ; la puissance transférée à cette entrée est nulle.C’est donc la source d’alimentation de l’AO (jamais représentée dans les schémas) quifournit toute l’énergie à la charge.

7 • Valeur maximale de l’amplitude de la tension d’entrée :

• Valeur de la résistance de charge :

• Valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l’AO :

Ne pas oublier que, contrairement aux courants d’entrée, le courant de sortie d’un AO est en géné-ral non nul.

c

Us max

2---------------

2

Rc------------------------

0,892

---------- 2

5 102·------------------- c⇒ 0,80 mW.= = =

Uemax

Ue max Usmax 5 29 V= =

R′c

R′cUs max

Is max-------------- 0,65 kΩ= =

c max

c max12---R′cIs max

2 0,13 W= =

Rappel. La puissance moyenne reçue par un résistor de résistance R traversé par un courant

sinusoïdal d’amplitude et de valeur efficace s’écrit :

Le montage de l’AO est appelé « montage en suiveur » car la tension de sortie est égale à la ten-sion d’entrée +. La puissance reçue par la charge est entièrement fournie par la source d’alimen-tation de l’AO.Les puissances mises en jeu par un AO sont toujours faibles. Malgré son nom, « amplificateur », ilne peut pas servir d’amplificateur de puissance d’une chaîne « HI-FI » par exemple, qui mettenten jeu des puissances de l’ordre de 10 watts.

Imax Ie RIe2 1

2-- RImax

2 .= =

• Quand un circuit comporte un AO, il faut mettre en place tout de suite sur leschéma du circuit les caractéristiques de l’amplificateur opérationnel : les courantsd’entrée i+ et i– sont nuls, la tension différentielle d’entrée est nulle.• Contrairement aux courants d’entrée, le courant de sortie d’un AO est en généralnon nul.• Dans son domaine normal d’utilisation, la tension de sortie d’un AO ne dépend pasde la charge.

ε

en conclusion



118Élect

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a
1 Appliquons la méthode du cours.• À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a) ; iln’y a pas de courant dans les résistors. Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) :
d’où soit • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé donc

(figure b). Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : d’où soit

On peut déduire de ce comportement que ce quadripôle n’est ni un filtre passe-bas, niun filtre passe-haut.

2 Dans chacune des branches, le condensateur et le résistor sont en série. Chacun descircuits RC réalise un diviseur de tension, ce qui permet d’écrire :

3 – Passe-tout déphaseur du premier ordre

On considère le quadripôle en sortie ouverte ci-contre.Il comprend deux résistors identiques de résistance R,et deux condensateurs identiques de capacité C.Données :

1 Déterminer les comportements asymptotiques duquadripôle. Reconnaît-on un filtre ?

2 Soit x la pulsation réduite définie par la relation Exprimer la fonction de transfert sous la

forme canonique

3 Calculer le gain du quadripôle. Que peut-on en conclure ?

4 Tracer l’allure de la courbe de la réponse de la phase en fonction de

C

R

R

C

ue

us

C 10µF,= R 100Ω.=

RCω x.=H jx( ).

ϕ x( ) log x( ).


ue uR us uR––– 0,= ue 0 us 0––– 0,= us ue.=

uR ue=

ue uR us uR––– 0,= ue ue us ue––– 0,= us ue.–=

a) Basse fréquence b) Haute fréquence

i

s

0=

u R

0= u R

u

R

0=

i

s

0=

R

u

R

R

u

e

u

e

u

s

u

s

R

R

uRue----- R

R1

jRCω--------------+

------------------------jx

1 jx+-------------- .= =


119

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a

Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique sur la figure b) : d’où :

On constate que la fonction de transfert n’est pas celle d’un filtre passe-bas, ni celle d’unfiltre passe-haut, en accord avec l’étude rapide faite dans la première question. Le quadri-pôle est du premier ordre.

3

! Le quadripôle n’est pas un filtre

car le gain ne dépend pas de la pulsation. On dit que c’est un

passe-tout déphaseur dupremier ordre

; seule la phase dépend de la fréquence.

4

avec ;

d’où

d’où

L’allure de la courbe de la réponse enfonction de se trace en plaçant quelquespoints dans le plan On peutaussi utiliser un logiciel de calcul formel.

x

0,5 1 2

log

(

x

) – 0,30 0 0,30

ϕ(x) en rad – 0,92 –2,2

Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction detransfert.

ue us 2uR+=

H jx( ) 1 jx–1 jx+--------------=

Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert est en accord avec l’étude rapide.

H jx( ) 1 x2+1 x2+-------------- 1 G⇒ 20log H jx( ) 0= = = =

H jx( ) 1 x2+ e jα–

1 x2+ ejα------------------------------ e 2jα– ϕ x( )⇒ 2α–= = = αtan x=

ϕ x( ) 2– arctan x( )=

ϕ x 1( ) 2arctan 0( )–≈ 0= ϕBF 0.=

ϕ x 1( ) 2arctan ∞( )≈ 2–π2---×= ϕHF π.–=

1 2 3−1−2− 3

0

−2,5

− 3

−2

−1,5

−1

−0,5

(rad)

log(x)

ϕ x( )log x( )

log x( ) ϕ x( ),( ).

π2--–

Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de lafonction de transfert.

en conclusion



120Élect

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a

4 – Intégrateur et pseudo-intégrateur à amplificateur opérationnel

Soit le quadripôle actif ci-contre.Données : et

1 Exprimer la fonction de transfert On posera

2 Établir l’équation différentielle reliantla tension de sortie à la tensiond’entrée. En déduire que ce montageest un circuit intégrateur.

3 À la date on applique enentrée un échelon de tension devaleur Déterminer la tension de sortie sachant que le condensateur est initialementdéchargé.

4 Il existe des tensions de saturation en sortie de l’AO, de valeurs Quelle est la valeur de saturation atteinte par la tension de sortie ? À quelle date

?

5 Dans la pratique, les tensions d’entrée s’écrivent sous la forme ε étant une tension constante appelée tension de décalage ; sa valeur peut êtrefaible, mais jamais nulle. Pourquoi dit-on que le montage ne peut pas fonction-ner en intégrateur ?

6 La saturation de la tension de sortiepeut être évitée en plaçant un résistorde résistance en parallèle avec lecondensateur, comme indiqué ci-contre.a. Exprimer la fonction de transfertsous la forme :

, avec une

constante à exprimer et

b. À quelle condition sur le produit le filtre a-t-il un caractère intégrateur ? On dit alors que c’est un pseudo-

intégrateur.c. On considère que le filtre est intégrateur pour les fréquences supérieures à

étant la fréquence de coupure du filtre. Quelle valeur de faut-il choi-sir pour que le filtre soit intégrateur pour des fréquences supérieures à 100 Hz ?d. Quel est alors l’effet d’une tension de décalage ? Conclure.

PCSI

ue us

RC

+

−

C 1,0µF= R 10 kΩ.=

H jω( ). τ RC.=

t 0,=

E 1,0 mV.=us t( )

Usat 15 V.±=

tsat

ue t( ) ε f t( ),+=

us

C

R ′

+

−

ue

R

R′

T jω( )A0

1 jωτ′+--------------------= A0

τ′ R′C.=

ωτ′

10f′c, f′c R′

E 20 mV=


121

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a

1 Appliquons la loi des nœuds en termes depotentiels (théorème de Millmann) au point A,de potentiel nul (figure) :

2 En remplaçant l’expression jω par il vient :

La tension de sortie est une primitive de la tension d’entrée ; le circuit est un circuit inté-grateur.

3 .

La continuité de la tension aux bornes ducondensateur permet d’écrire (figureci-contre) : Finalement :

A.N. :

4 La tension de sortie décroît ; elle atteint donc la valeur négative –15 V de saturationde la tension. Il vient :


ue

+

−E

i + 0=

ε 0=

i – 0=

R

A

S

C

us

uA1R--- jCω+

uER----- jCωuS+ 0= =

us1

jRCω-------------- uE– H jx( )⇒

us

ue-----

1jRCω--------------–= = =

H jω( ) 1jωτ--------–=

On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) à l’entréeinverseuse – et à l’entrée non inverseuse + d’un AO car les courants d’entrée sont nuls.Il ne faut pas l’appliquer à la sortie d’un AO car le courant de sortie est en général non nul.

ddt----- , uE jωτuS– ue⇒ τ–

dusdt--------= =

dus⇒ 1τ---uedt–= dus

us 0( )

us t( )

∫⇒ 1τ---– uedt

0

t

∫ ⇒= us us 0( )1τ---–= uedt

0

t

∫

ue

R

C

u 0=

uC

+

−

us

us us 0( )1τ---–= Edt E–

tτ-- us 0( )+=

0

t

∫

uC 0( ) 0=( )us 0( ) uC 0( )– 0.= =

us t( ) E–tτ--=

us t( ) 0,10t (V).–=

us tsat( ) 0,10tsat– 15–= =

tsat 1,5 102 s·=



122Élect

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a

5

Aussi petite que soit la valeur de la tension le terme varie de manière monotone ;

il y a donc saturation de la sortie ; le montage ne peut pas fonctionner en intégrateur.

6 a. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure ci-contre) :

avec :

b. Le filtre a un caractère intégrateur si on peut écrire :

ce qui implique :

c. La condition avec donne :

A.N. :

d. Une tension de décalage E en entrée provoque, en régime permanent, une tension de décalage en sortie d’expression :

A.N. :

Il n’y a donc pas de saturation en sortie ; le montage fonctionne en intégrateur pour desfréquences supérieures à 100 Hz.

us1τ---–= ε f t( )+[ ]dt 1

τ---–=

0

t

∫ f t( )dt ε tτ--– .

0

t

∫ε, ε–

tτ--

ue

+

−E

R

A

S

C

R

us

uA1R′----- jCω 1

R---+ +

uER----- 1

R′----- jCω+

uS+ 0= =

H jω( )us

ue-----

1RR′----- jRCω+---------------------------–

R′R-----–

11 jωτ′+-------------------- ,= = =

A0R′R-----–=

H jω( ) R′R-----–

1jωτ′---------- 1

jωτ--------– ,= =

ωτ′ 1

ffc′---- 10 f 100 Hz=

f′c 10 2πR′C⇒110------ .

R′ 16 kΩ .

Us

Us H ω 0=( )E R′R-----E.–= =

Us 1,6 mV– .=

En régime permanent, une tension d’entrée constante peut-être considérée comme unetension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie correspondantes’écrit :

UeUs

Us H ω 0=( ) Ue.=


123

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prép

a

1 Appliquons la loi des nœuds en termes depotentiels (théorème de Millmann) au point Ade la figure.

Appliquons la loi des nœuds en termes depotentiels (théorème de Millmann) au point B.

5 – Quadripôle déphaseur

On considère le quadripôle ci-contre.Données :

1 Exprimer la fonction de transfert.Le quadripôle est-il stable ?

2 Exprimer le gain et la phase du qua-dripôle. Quelle est la nature de cequadripôle ?

3 Établir l’équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d’entrée.On posera

4 À la date on applique en entrée un échelon de tension de valeur Déterminer la tension de sortie sachant que le condensateur

est initialement déchargé.

• On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Mill-mann) à l’entrée inverseuse – et à l’entrée non inverseuse + d’un AO car les courantsd’entrée sont nuls.• Il ne faut pas l’appliquer à la sortie d’un AO car le courant de sortie est en généralnon nul.• En régime permanent, une tension d’entrée constante peut-être considéréecomme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension desortie correspondante s’écrit :

Ue

Us Us H ω 0=( ) Ue.=

en conclusion

ue

+

−

R

C

us

R ′R ′

C 0,22 µ F, = R 47 k Ω . =

τ RC.=

t 0=E 1,0 V.= us t( )


ue

+

−

R

Cus

R ′E

S

A

B

i + 0=

ε 0=

i – 0=

R ′

uA1R′----- 1

R′-----+

uER′-----

uSR′-----+ 2u –⇒ ue us.+= =



124

Élect

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n,cla

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a

avec

• Autre méthode : utiliser la propriété du diviseur de tension réalisé par la branche RC(ils sont en série) :

avec

Les tensions d’entrée de l’AO sont égales ( donc :

Les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert (1 et 1) étant du même signe,le quadripôle est stable.La fonction de transfert est la même que celle du quadripôle de l’exercice 3. Mais la pré-sence de l’AO rend son expression indépendante d’une charge que l’on placerait ensortie ; au contraire la fonction de transfert de l’exercice 3 serait modifiée, le courant desortie n’étant alors pas nul.

2 et avec d’où :

Le quadripôle n’est pas un filtre, c’est un passe-tout déphaseur (voir exercice 3 précédent).

3

En remplaçant l’expression par on obtient :

et

uB1R--- jCω+

uER----- jCω uM+=

u+ 1R--- jCω+

ue

R----- jCω 0+=⇒

u+ 1 jx+( )⇒ ue= x RCω.=

u+

ue-------

1jCω----------

R1

jCω----------+

-------------------- 11 jx+--------------= = x RCω.=

u– u+)=

2u– ue us+ 2u+ 2ue

1 jx+--------------= = =

H jx( ) 1 jx–1 jx+--------------=

Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise :– la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) ;– la propriété d’un diviseur de tension ;– l’égalité des tensions d’entrée de l’AO (tension différentielle d’entrée nulle).

H jx( ) 1 x2+ e jα–

1 x2+ ejα------------------------------ e 2jα– H jx( )⇒ 1= = = ϕ x( ) 2α–= αtan x,=

G 20log H jx( ) 0= = ϕ x( ) 2– arctan x( )=

H jω( )us

ue-----

1 jωτ–1 jωτ+------------------ us 1 jωτ+( )⇒ 1 jωτ–( )ue us jωτ us+ ue jωτ ue.–=⇒= = =

jω ddt-----

us τdus

dt--------+ ue τ

due

dt--------–=


125

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prép

a

4 L’équation différentielle s’écrit :

Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficientsconstants et à second membre non nul.Appliquons la méthode résolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordredonnée dans « Retenir l’essentiel » du chapitre 4.• Solution générale de l’équation différentielle :

avec A constante.

• Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoirla continuité de la tension aux bornes du condensateur. La relation est vala-ble à chaque instant, en particulier à la date d’où :

• Solution complète de l’équation différentielle complète :

A. N. :

L’équation différentielle d’un système du premier ordre se déduit de la fonction de transfert en

remplaçant chaque terme j ω par l’opérateur ddt----- .

us τdus

dt--------+ E τdE

dt-------– us τ

dus

dt--------+⇒ E.= =

us Aetτ--–E,+=

2u+ ue us+=t 0,=

0 E us 0( )+ us 0( )⇒ A E+ E– A⇒ 2E.–= = = =

us 2E– 1 etτ--–

– .=

τ RC 10 ms,= = us t( ) 2,0– 1 e 1,0 .102t––( ) (V).=

• Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise :– la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann)– la propriété d’un diviseur de tension– l’égalité des tensions d’entrée de l’AO (tension différentielle d’entrée nulle).• L’équation différentielle d’un système du premier ordre se déduit de la fonction de

transfert en remplaçant chaque terme par l’opérateur jω ddt-----.

en conclusion



126

PCSI

PTSI

Électro

Filtres du deuxième ordre

© N

atha

n,cla

sse

prép

a
1 Filtre passe-bas du deuxième ordre
1.1. Fonction de transfert

Le terme en d’ordre 2, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de deuxième

ordre donné au filtre.

Remarque : Nous laissons le terme sans le remplacer par pour conserver à lafonction de transfert une forme analogue à celle utilisée en Sciences de l’Ingénieur :

avec

La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du deuxième ordre est :

• est la pulsation caractéristique du filtre et la fréquence caractéristique.

• Q est le facteur de qualité, est l’amortissement avec


La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du deuxièmeordre est :

avec

H jω( ) A01

1 j 1Q--- ω

ω0------ j ω

ω0------

2+ +

--------------------------------------------- A01

1 j2σff0---- j

ff0----

2+ +

---------------------------------------------- .= =

ω0 f0

σ σ 12Q------- .=

A0

ω2

ω02

------ ,

H jx( ) A01

1 j xQ--- jx( )2+ +

---------------------------------- A01

1 j2σx jx( )2+ +----------------------------------------- ,= = x

ωω0------

ff0---- .= =

jx( )2 x2,–

H p( )A0

1 2στp τ2p2+ +----------------------------------------= τp jx.=


127

1j2--- 1–= =

© N

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n,cla

sse

prép

a

1.2. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence caractéristique

Nous travaillerons dans la suite avec la valeur puisque les courbes de réponses en gainse déduisent de celle de la fonction de transfert dans laquelle par simple translation

le long de l’axe des gains et que les courbes de réponse en phase sont identiques.

1.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence


1.2.2. Expression à la fréquence caractéristique

et

La courbe du gain en fonction de passe par le point Si alors; si alors

La courbe de la phase en fonction de passe par le point

1.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence

et

On en déduit l’équation de l’asymptote haute fréquence du gain : Quelle valeur de choisir ?

Étudions C’est une fonction décroissante pour donc la phase

décroît de la valeur à

L’équation de l’asymptote haute fréquence du gain s’écrit :

1.3. Diagramme asymptotique de BodeLa courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 1a) est constituée des deuxdemi-droites d’équations et qui se coupent au point de coor-données

Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en ,soit ici 1 (degré nul).

Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus haut degré en soit ici

A 0 1=A0 1≠

20log A0( )

x 1 H jx( )⇒ 11---≈ H e jϕ

H 1 GBF⇒ 20log 1( ) 0= = =

ϕBF 0=

⇒=

x

GBF 0= ϕBF 0.=

x 1=( )

x 1 H j( )⇒ 1

1 j 1Q--- 1–+

------------------------ jQ– Qej–π2---

H 1( )⇒ Q G x 1=( )⇒ 20log Q( )= = = = = =

ϕ x 1=( )π2--- .–=

log x( ) 0 ; log Q( )( ). Q 1,

G 1( ) 0 Q 1, G 1( ) 0.

log x( ) 0 ; π2---–

.

x 1 H jx( )⇒ 1jx( )2

------------≈ 1x2-----–

1x2-----e jπ± H⇒= =

1x2-----≈

GBF⇒ 40– log x( )= ϕBF π.±=

Rappel

e jπ± .

x,jx( )2.

GHF 40– log x( ).=ϕHF

ϕtan 1Q---–x

1 x2–-------------- .= x 1,

π2---– π.–

ϕHF π.–=

GHF 0= GBF 40– log x( )=0 ; 0( ).

8 – Filtres du deuxième ordre


128

Pour trtote badu gade remqu’elle points et +1 ; (

É

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n,cla

sse

prép

a

Pente de l’asymptote basse fréquenceEn posant il vient :

dB/décade.

Le gain diminue de 40 dB quand la fréquence est multipliée par 10 ( augmente d’uneunité) ; la pente de l’asymptote basse fréquence est égale à – 40 dB par décade.La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 1b) est constituée des deuxdemi-droites d’équations et d’origine et du segmentvertical qui les relie.


Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence caracté-ristique ne suffisent pas pour donner l’allure du diagramme de Bode complet. Il faut ana-lyser la courbe selon les valeurs de (ou de

Si il existe un maximum du gain de coordonnées :

On dit qu’il y a résonance pour la fréquence correspondante.Le diagramme de Bode peut-être tracé à l’aide d’un logiciel de calcul formel (en couleursur la figure 1).

a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir).b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir).Courbes en traits pleins pour courbes en traits pointillés pour

X log x( ),=

GHF 40X–=dGHF

dX-------------⇒ 40–=

X

ϕBF 0= ϕHF π–= log x( ) 0,=

Q σ).

Q12

------- ,

log 1 12Q2---------–

; 20logQ

1 14Q2---------–

-----------------------

.

Remarqueacer l’asymp-sse fréquencein, il suffitarquerpasse par les0 ; 0( )40 dB– ).

Fig. 1

–2 –1,5 –1 –0,5

0

–10

–20

–30

– 40

0,5 1

–2 –1

– 0,5

0

–1

–1,5

– 2

– 2,5

1 2

–3

a) b)

log(x)

ϕ(x) (rad)G(x) (dB)

log(x)

Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas du deuxième ordre

– π

Q 2,= Q 0,25.=


129

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n,cla

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prép

a

2 Filtre passe-bande du deuxième ordre 2.1. Fonction de transfert

2.2. Courbe de réponse en phaseNous travaillons dans la suite avec la valeur

Filtre passe-bas du deuxième ordre, de fonction de transfert :

• La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa-tions et reliées au point • La pente de l’asymptote haute fréquence du gain est égale à –40 dB par décade.

• Si il existe une résonance de pulsation réduite

• La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie.

• La phase est une fonction décroissante de 0 à

• Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonctionde

La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du deuxième ordre est :

• est la pulsation propre (ou pulsation de résonance) du filtre et la fréquencepropre (ou fréquence de résonance).• est le facteur de qualité, est l’amortissement, avec • est une constante réelle.

La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-bande du deuxièmeordre est :

avec

• Autre forme :

H jx( ) 1

1 j xQ--- jx( )2+ +

---------------------------------- .=

GHF 0= GBF 40– log x( )= 0 ; 0( ).

Q12

------- , xr 1.

ϕBF 0= ϕHF π,–= log x( ) 0,=

π.–

0 ; π2---–

log x( ).

H jω( ) A0

j 1Q--- ω

ω0------

1 j 1Q--- ω

ω0------ j ω

ω0------

2+ +

---------------------------------------------- A0

j2σf

f0----

1 j2σff0---- j

ff0----

2+ +

---------------------------------------------- .= =

ω0 f0

Q σ σ 12Q------- .=

A0

H jx( ) A0

j xQ---

1 j xQ--- jx( )2+ +

---------------------------------- A02jσx

1 2jσx jx( )2+ +----------------------------------------- ,= = x

ωω0------

f

f0---- .= =

H jx( ) A01

1 jQ x 1x---–

+

----------------------------------- A01

1j

2σ------- x 1

x---–

+

---------------------------------- .= =

A0 1.=

H jx( )[ ] passebande

j xQ--- 1

1 j xQ--- jx( )2+ +

---------------------------------- ejπ2--- xQ--- H jx( )[ ]passe

basϕ x( )[ ] passe

bande

π2--- ϕ x( )[ ]passe

bas+=⇒= =



130É

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n,cla

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prép

a

La courbe de réponse en phase du filtre passe-bande se déduit de celle du filtre passe-bas dudeuxième ordre par translation positive de le long de l’axe des phases.

La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 2b) est constituée des deux

demi-droites d’équations et d’origine et du segmentvertical qui les relie.

2.3. Courbe de réponse en gain


Équation de l’asymptote basse fréquence :

2.3.2.Gain à la fréquence propre

La courbe du gain en fonction de passe par le point

2.3.3.Comportement asymptotique à haute fréquence

Équation de l'asymptote haute fréquence : La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 2a) est constituée des deuxdemi-droites d’équations et

qui se coupent au point


a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir).b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir).Courbes en traits pleins pour ; courbes en traits pointillés pour

π2---

ϕBFπ2---= ϕHF

π2---–= log x( ) 0,=

x 1 H jx( )⇒ j xQ--- H⇒ x

Q---≈ ≈ GBF⇒ 20log x( ) 20– log Q( ).=

GBF 20log x( ) 20– log Q( ).=

x 1 H j( )⇒ 1 H⇒ 1 G x 1=( )⇒ 0.= = = =

log x( ) 0 ; 0( ).

x 1 H jx( )⇒jQx-------– H⇒ 1

Qx-------≈ ≈ GHF⇒ 20– log x( ) 20– log Q( ).=

GHF 20– log x( ) 20– log Q( ).=

GBF 20log x( ) 20– log Q( )= GHF 20– log x( ) 20– log Q( )=

0 20– log Q( ),( ).

Fig. 2

–2 –1

0

–20

–30

–40

1

0,5

–0,5

–1

–2–3 –1 0 21

2

– 50

3

10

–10

1

a) b) ϕ(x) (rad)G(x) (dB)

log(x)

log(x)

Diagramme de Bode d’un filtre passe-bande du deuxième ordre

π2---

π2---–

Q 0,2= Q 5.=


131

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prép

a


Démonstration :

Résolution de l’équation

avec

Il faut résoudre l’équation ; on a

et

et

Finalement

Filtre passe-bande du deuxième ordre, de fonction de transfert :

• La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équations : et

reliées au point • La pente de l’asymptote basse fréquence est égale à 20 dB par décade.• La pente de l’asymptote haute fréquence est égale à –20 dB par décade.• Il existe une résonance de pulsation réduite (égale à la pulsation propreréduite). Le module de la fonction de transfert est alors maximal, égal à 1.• La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations

et d’origine et du segment vertical qui les relie.

• La phase est une fonction décroissante de à

• Le point est centre de symétrie de la courbe de la phase en fonctionde

Bande passante d’un filtre passe-bande de fréquence propre et de facteur

de qualité Q : ( (figure 3).

H jx( )j xQ---

1 j xQ--- jx( )2+ +

----------------------------------1

1 jQ x 1x---–

+

---------------------------------- .= =

GBF 20log x( ) 20– log Q( )= GHF 20– log x( ) 20– log Q( ),=

0 ; 20– logQ( ).

x 1=

ϕBFπ2---= ϕHF

π2--- ,–= log x( ) 0,=

π2--- π

2--- .–

0 ; 0( ) ϕ x( )log x( ).

∆f f0

∆ff0Q----= ∆x 1

Q--- )=

et

Fig. 3

Bande passante

0

– 5

–15

–0,5–1 10,5

G x( ) dB( )

–10

– 20

x( )log

Q13---= ∆x 3,3 0,30– 3,0.= =

HH max

2---------------- .=

H1

1 Q2 x1x---–

2+

------------------------------------H max

2---------------- 1

2-------= = =

Q2 x1x---–

2⇒ 1=

Q x1x---–⇒ ε,= ε 1.±=

x2 εQ---x 1–– 0=

∆ 1Q2------ 4+= x

12--- εQ--- ∆±=

x112--- 1Q---– ∆+=⇒ x2

12--- + 1Q--- ∆+ .=

∆x x2 x1–1Q--- .= =



132É

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prép

a

3 Filtre passe-haut du deuxième ordre

3.1. Fonction de transfert et forme réduite

3.2. Courbe de réponse en phase

Nous travaillons dans la suite avec la valeur

La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe- bande

du deuxième ordre par translation positive de le long de l’axe des phases.

La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée desdeux demi-droites d’équations et d’origine et du seg-ment vertical qui les relie.

La fonction de transfert d’un filtre passe-haut du deuxième ordre est :

• est la pulsation caractéristique du filtre et la fréquence caractéristique.

• est le facteur de qualité, est l’amortissement, avec


La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du deuxièmeordre est :

avec

H jω( ) A0

j ωω0------

2

1 j 1Q--- ω

ω0------ j ω

ω0------

2+ +

--------------------------------------------- A0

jf

f0----

2

1 j2σff0---- j

ff0----

2+ +

---------------------------------------------- .= =

ω0 f0

Q σ σ 12Q------- .=

A0

H jx( ) A0jx( )2

1 j xQ--- jx( )2+ +

---------------------------------- A0jx( )2

1 j2σx jx( )2+ +----------------------------------------- ,= = x

ωω0------

ff0---- .= =

A0 1.=

H jx( )[ ]passehaut

jQxj xQ---

1 j xQ--- jx( )2+ +

----------------------------------=

ejπ2---Qx H jx( )[ ] passe

bande

ϕ x( )[ ]passehaut

⇒ π2--- ϕ x( )[ ] passe

bande

+= =

π2---

ϕBF π= ϕHF 0,= log x( ) 0,=


133

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prép

a


3.3. Courbe de réponse en gain


On en déduit l’équation de l’asymptote basse fréquence du gain :

3.3.2.Expression à la fréquence caractéristique

La courbe du gain en fonction de passe par le point Si alors ;si alors

3.3.3.Comportement asymptotique à haute fréquence

On en déduit l’équation de l'asymptote haute fréquence du gain : La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deuxdemi-droites d’équations :

et reliées au point

Pente de l’asymptote basse fréquenceEn posant il vient :

dB/décade ;

la pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 dB par décade.


a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir).b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir).Courbes en traits pleins pour courbes en traits pointillés pour

x 1 H jx( )⇒ jx( )2 H x( )⇒ x2≈ ≈ GBF⇒ 40log x( ).=

GBF 40log x( ).=

x 1=( )

x 1 H j( )⇒ jQ H⇒ Q= = = G x 1=( )⇒ 20logQ.=

log x( ) 0 ; logQ( ).Q 1, G 1( ) 0

Q 1, G 1( ) 0.

x 1 H jx( )⇒ 1 H⇒ 1≈ ≈ GHF⇒ 0.=

GHF 0.=

GBF 40log x( )= GHF 0,=0 ; 0( ).

X log x( ),=

GBF 40X=dGBF

dX------------⇒ 40=

Fig. 4

–10

–30

–0,5–1 10,5

–20

–40

1,5

0

π

2

1,5

1

0,5

0 1 2

2,5

a) b)

–1– 2

ϕ(x) (rad)G(x) (dB)

log(x)

log(x)

Diagramme de Bode d’un filtre passe-haut du deuxième ordre

Q 2,= Q 0,25.=


134

La tensde certales neà bassequenceples celtout déchapitret cellcoupe-bexercic

PC

É

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n,cla

sse

prép

a

4 Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre

L’étude des filtres du deuxième ordre permet de compléter le point méthode donné auchapitre précédent.

5 Équation différentielle d’un système du deuxième ordre – Stabilité

5.1. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert

La forme générale de la fonction de transfert d’un filtre du deuxième ordre s’écrit :

;

Filtre passe-haut du deuxième ordre, de fonction de transfert :

• La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa-tions et reliées au point (0 ; 0).

• La pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 dB par décade.

• Si il existe une résonance de pulsation réduite

• La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et , d’origine et du segment vertical qui les relie.

• La phase est une fonction décroissante de à 0.

• Le point est centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction

de

Point méthode. Comportements asymptotiques d’un filtre• Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensa-teurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés,et déterminer la tension de sortie.• Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensa-teurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts,et déterminer la tension de sortie.• En déduire si le filtre est passe-bas, passe-haut ou passe-bande :– c’est un filtre passe-bas si la tension de sortie s’annule seulement à haute fréquence ;– c’est un filtre passe-haut si la tension de sortie s’annule seulement à basse fréquence ;– c’est un filtre passe-bande si la tension de sortie s’annule à basse et à haute fréquences.

H jx( )jx( )2

1 j xQ--- jx( )2+ +

---------------------------------- .=

GBF 40log x( )= GHF 0=

Q12

------- , xr 1.

ϕBF π= ϕHF 0= log x( ) 0,=

ππ2--- ; 0

ϕ x( )

log x( ).

Remarqueion de sortieins quadripô-

s’annule ni ni à haute fré-s, par exem-le d’un passe-phaseur (voire précédent)e d’un filtreande (voir

e 1 p. 137).

SI

H jω( )N jω( )D jω( )-----------------

N0 jωN1 jω( )2N2+ +

D0 jωD1 jω( )2D2+ +--------------------------------------------------------= =


135

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a

d’où l’équation différentielle :

5.2. Stabilité du système

5.2.1. Stabilité du système en régime libreLe système est stable en régime libre si la solution de la solution de l’équation diffé-

rentielle converge vers zéro quand t tend vers l’infini.

Nous l’écrirons sous la forme pour l’étude suivante.

• Équation caractéristique de l’équation différentielle :

• Soient et les solutions, avec et

• Discriminant de l’équation caractéristique :

a. Cas où le discriminant est positif

La solution et constantes) de l’équation différentielle converge

vers zéro si et sont négatives, ce qui impose et Les

deux inégalités sont satisfaites si et sont du même signe.

b. Cas où le discriminant est négatifDans ce cas ; a et c sont du même signe.Les solutions de l’équation caractéristique s’écrivent :

et avec

La solution avec A et B constantes réelles, converge vers

zéro si donc si b et a sont du même signe. Au total, a, b et c doivent être du même signe.

c. Cas où le discriminant est nul

Dans ce cas (relation 1).

La solution de l’équation caractéristique est double :

La solution avec et constantes réelles, converge vers zéro

si (relation 2). Les relations 1 et 2 imposent que , et soient du même signe.

Dans les trois cas, la solution converge vers zéro si a, b et c sont du même signe.

Un système du second ordre est stable en régime libre si les coefficients et (resp. et du dénominateur de la fonction de transfert :

(resp. )

sont du même signe.

D2d2us

dt2---------- D1

dus

dt-------- D0us+ + N2

d2ue

dt2----------- N1

due

dt-------- N0ue.+ +=

usL

D2d2usL

dt2------------- D1

dusL

dt---------- D0usL+ + 0=

ad2usL

dt2------------- b

dusL

dt---------- cusL+ + 0=

ar2 br c+ + 0.=

r1 r2 r1 r2+ba--–= r1r2

ca-- .=

∆ b2 4ac.–=

usL A1er1t A2er2t+= (A1 A2

r1 r2ba-- r1– r2– 0= r1r2

ca-- 0.=

a, b c

∆ b2 4ac– 0 4ac⇒ b2 0 =

r1b– ∆––

2a------------------------ b

2a------– jΩ–= = r1

b– ∆–+2a

------------------------ b2a------– jΩ,+= = Ω ∆–

2a----------- .=

usL eb

2a------ t–A Ωt( )cos B Ωt( )sin+[ ],=

ba-- 0

∆ b2 4ac– 0 4ab--⇒ b

c--= = =

r1 r2b

2a------ .–= =

usL eb

2a------ t–A′t B′)+[ ],= A′ B′

ba-- 0 a b c

usL

D0, D1

D2 D ′0, D ′1 D ′2)

H jω( )N0 jωN1 jω( )2N2+ +

D0 jωD1 jω( )2D2+ +--------------------------------------------------------= H jx( )

N′0 N′1 jx N′2 jx( )2+ +

D ′0 D ′1 jx D ′2 jx( )2+ +----------------------------------------------------=



136É

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a

5.2.2.Réponse du système en régime forcé sinusoïdalL’étude menée au chapitre VII pour un système du premier ordre est indépendante del’ordre. Son résultat est applicable à un système du deuxième ordre : un système dusecond ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné,quelle que soit la fréquence.



137

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prép

a

1 Pulsation propre du circuit (voir chapitre 4) :

A.N. :

Fréquence propre du circuit :

A.N. :

Facteur de qualité Q :

A.N. :

1 – Filtre coupe-bande

On considère le quadripôle ci-contre qui comprendun résistor de résistance R, un condensateur decapacité C et une bobine réelle d’inductance L et derésistance r.Données : ; H;

;On pose :

1 Calculer la pulsation propre du circuit la fréquence propre et le facteur de

qualité Q .

2 Déterminer les comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences.Peut-on en déduire la nature du quadripôle ?

3 Quelle est la valeur de l’impédance du dipôle LC à la fréquence propre ? Endéduire le quadripôle équivalent au filtre à cette fréquence.

4 Calculer le gain du filtre à la fréquence propre.

5 Soit x la pulsation réduite avec Exprimer la fonction de transfert sous

la forme réduite

6 Exprimer le gain en décibels.

7 Tracer l’allure de la courbe de la réponse en fonction de

R

ue

C

is = 0

u

s

r

L

C 10 µF= L 0,10=r 100 Ω= R 100 Ω.=

R ′ R r.+=

ω0R′LC, f0

xωω0------ .=

H jx( ).G x( )

G x( ) log x( ).


R′LC

ω01LC

-----------=

ω0 1,0 103 rad s 1–· .·=

R′LC

f0ω0

2π------=

f0 0,16 kHz.=

QLω0

R ′----------

1R ′------ LC---= =

Q 0,50.=



138Élect

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a

2

• À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, la bobineest équivalente à un interrupteur fermé (figure a) ; il n’y a pas de courant dans le résistor,donc • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, la bobine estéquivalente à un interrupteur ouvert (figure b), donc Ce quadripôle n’est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-bande, ni un filtrepasse-haut.

3

Le circuit se réduit à l’association en série des deuxrésistors (figure ci-contre).

4 Le circuit réalise un diviseur de tension qui per-met d’exprimer simplement la fonction de transfert,puis le gain :

A.N. :

Le gain est négatif dans un domaine de fréquences autour de la fréquence propre, nul àbasse et à haute fréquences ; on dit que le quadripôle est un filtre coupe-bande.

Le facteur de qualité est celui du circuit R ′LC.La pulsation et la fréquence propres sont indépendantes de la valeur de la résistance ; seul lefacteur de qualité en dépend.

R

ue

r

Lus = u e

i

s = 0 a.

Basse fréquence

b.

Haute fréquence

R

u

e

r

C

u

s = u e

i

s = 0

us ue.=

us ue.=

R

ue

r

is = 0

u

s

Z jLω01

jCω0------------+

1 LCω02–

jCω0----------------------- 0.= = =

HrR r+------------ 1

2---= = G⇒ 20log H( )=

G 6,0 dB.–=

L’analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d’unfiltre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d’un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaîtreun filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur (voir chapitre 7).


139

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

5 Le courant de sortie est nul (filtre « en sortie ouverte ») ; le résistor, le condensateur etla bobine sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension qui permet d’exprimer lafonction de transfert :

Finalement :

6 ;

7 Les quelques valeurs du gain du tableau suivantpermettent de tracer l’allure de la courbe de laréponse en fonction de On peut aussiutiliser un logiciel de calcul formel comme sur lafigure ci-contre.

Remarque : Les valeurs montrent que la courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical.

x 0,1 0,5 1 1,5 2 10

log(x) – 1 – 0,30 0 0,17 0,30 1

G (x) (en dB) –0,13 – 2,8 – 6,0 – 4,4 – 2,8 – 0,13

H jω( )r jLω 1

jCω----------+ +

R r jLω 1jCω----------+ + +

---------------------------------------------jrCω j2LCω2 1+ +

j R r+( )Cω j2LCω2 1+ +--------------------------------------------------------------

1 j rr R+------------ x

Q--- jx( )2+ +

1 j xQ--- jx( )2+ +

------------------------------------------------ .= = =

H jx( )1 jx jx( )2+ +

1 2jx jx( )2+ +-------------------------------------=

L’expression de la fonction de transfert doit permettre de retrouver rapidement des résultats déjàétablis, à savoir sa valeur à basse et à haute fréquences, et à la fréquence caractéristique.

; ;HBF H x 0=( )11-- 1= = = HHF H x ∞→( )

jx( )2

jx( )2----------- 1= = =

H x 1=( )

1 jr

r R+----------- 1

Q--- 1–+

1 j1Q--- 1–+

-----------------------------------r

R r+----------- .= =

H jx( )1 jx jx( )2+ +

1 2jx jx( )2+ +-------------------------------------

1 x2– jx+1 x2– 2jx+----------------------------- H jx( )⇒ 1 x2–( )2 x2+

1 x2–( )2 4x2+-------------------------------------= = =

G x( ) 20log H jx( ) ⇒= G x( ) 10log 1 x2–( )2 x2+1 x2–( )2 4x2+

-------------------------------------=

G (x )

1,5

r

0 log (x)

10,5– 0,5– 1– 1,5

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

(dB)

G x( ) log x( ).



140Élect

© N

atha

n,cla

sse

prép

a

1 À basse fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs ouverts(figure a) ; il n’y a aucun courant dans le résistor prés de la sortie donc À haute fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs fermés(figure b), donc Le filtre est un filtre passe-bande.

2 – Filtre passe-bande de WienOn considère le filtre de la figure ci-contre.Données : et kΩ.

1 Déterminer les comportements asymptoti-ques à basse et à haute fréquences.En déduire la nature du filtre.

2 Soit x la pulsation réduite définie par la rela-tion Exprimer la fonction de transfert sous laforme réduite

3 Calculer la valeur du facteur de qualité Q.

4 Montrer que la fonction de transfert se met sous la forme :

En déduire le gain maximal

5 Calculer la fréquence caractéristique du filtre.

6 Déterminer la pulsation réduite de la borne inférieure et la pulsation réduite de la borne supérieure de la bande passante. En déduire les fréquences de correspondantes, puis la bande passante Vérifier sa valeur à partir de son

expression en fonction de Q.

7 Exprimer la phase de la fonction de transfert. Déterminer les phases et

8 Tracer le diagramme de Bode.

9 Établir l’équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d’entrée. On introduira la constante de temps

L’analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer lanature d’un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d’un quadripôle. Elle nepermet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur.

en conclusion

R

ueR C us

is = 0C 0,10 µF= R 1,0=

RCω x.=

H jx( ).

H jx( ) 1

3 j x 1x---–

+

----------------------------- .=

Gmax.

f0

x1x2 f1f2 ∆f.

ϕ x( )ϕ x1( ) ϕ x2( ).

us t( )ue t( ) τ RC.=


us 0.=

us 0.=


141

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n,cla

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prép

a

2 Le condensateur et le résistor près de l’entrée sont

en série ; soit l’impédance de leur

association (figure ci-contre).Le condensateur et le résistor près de la sortie sont

en parallèle ; soit l’admittance et

l’impédance de leur association.

Le courant de sortie est nul. Le dipôle et le

dipôle sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit réa-lise un diviseur de tension qui permet d’exprimer facilement la fonction de transfert :

Finalement :

• Autre méthode : utilisation de la loi des noeuds en termes de potentiels (théorème deMillmann) (figure ci-dessous).

R

ue R us = 0

a.

Basse fréquence

b.

Haute fréquence

Basse fréquence

i

s = 0 R

u

e

R

Haute fréquence

i s = 0

u

s = 0

us

is = 0

u

e

Z

1

Z

1

Z1 R1

jCω----------+=

Y21R--- jCω+=

Z21Y2-------=

Z1

Z2 Z1 Z2,( )

H jω( )us

ue-----

Z2

Z2+Z1------------------ 1

1+Z1 Y2---------------------- 1

1+ R 1jCω----------+

1R--- jCω+

------------------------------------------------------------= = = =

H jω( ) 1

1 1 jRCω 1 1jRCω--------------+ + + +

--------------------------------------------------------------- 1

3 jx 1jx----+ +

-------------------------= =

H jx( ) 1

3 j x 1x---–

+

-----------------------------=

Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction detransfert.

R

ue R usC

is = 0

M

E SC



142Élect

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n,cla

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prép

a

Le point

M

est à la masse donc Il vient :

Finalement :

3

Par identification avec la relation donnée au § 2.1 du cours, il vient :

On remarque que

4

Le gain est maximal quand le module de la fonction de transfert

est maximal soit pour

5

La pulsation caractéristique du filtre est telle que d’où :

6

Appliquons la méthode de détermination de la bande passante donnée au chapitre

7

.

• Valeur maximale du module de la fonction de transfert :

et

us1R--- jCω 1

R1

jCω----------+

--------------------+ +1R--- uM jCω uM

1

R1

jCω----------+

--------------------ue.+ +=

uM 0.=

us1R--- jCω 1

R1

jCω----------+

--------------------+ +1

R1

jCω----------+

--------------------ue=

us1 jx+R

--------------jCωjx+1------------+

jCωjx+1------------ue

us

R---- 1 jx

jxjx+1------------+ +⇒

jxjx+1------------

ue

R-----= =

us 1 jx+( )2 jx+[ ]⇒ jxue.=

H1

3 j x 1x---–

+

-----------------------------=

La méthode du diviseur de tension est plus simple et plus rapide ; elle doit être préférée.

Q13---=

A013--- .=

H1

9 x1x---–

2+

-----------------------------=

x 1.=

H max13---= Gmax G x 1=( ) 20log 1

3---

9,5 dB–= = =

ω0 x 1,=

RCω0 RC 2πf0 1 ⇒= = f01

2πRC--------------- 0,16 kHz= =

H max13--- .=


143

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prép

a


avec

et ;

On en déduit :

La bande passante d’un filtre passe-bande est donnée par la relation soit :

Ce résultat est bien en accord avec celui trouvé à partir de la définition.

7

d’où

8 Construction du diagramme de Bode.

a. Comportement asymptotique à basse fréquence

et

On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence :

et

• Expression à la fréquence caractéristique (x = 1)

dB et

La courbe du gain en fonction de passe par le point dB). La courbe de la phase en fonction de passe par le point

• Comportement asymptotique à haute fréquence

et

HH max

2------------------=

H1

9 x1x---–

2+

-----------------------------H max

2------------------

13 2---------- x

1x---–

2⇒ 9 x2 3εx 1––⇒ 0= = = = = ε ± 1=

∆ 9 4+ 13 x⇒ 3ε 13±2

--------------------- x1⇒ 3– 13+2

------------------------ 0,30= = = = = x23 13+

2------------------- 3,3= =

∆x 3,0.=

f1 f 0x1 48 Hz ; f2 f 0x2 0,52 kHz ; ∆f f0∆x 0,48 kHz= == == =

∆ff0

Q----- ,=

∆f 0,48 kHz=

H jx( ) 1

3 j x 1x---–

+

----------------------------- ϕtan⇒ 13--- x 1

x---–

,–= =

ϕ x( ) arctan –13--- x 1

x---–

=

ϕ x1 0,30=( )tan 1 ϕ1⇒ π4--- rad= =

ϕ x2 3,3=( )tan 1– ϕ2⇒ π4--- rad–= =

1oins Que? H jx( )⇒ jx≈ xe+jπ

2---

H x( )⇒= x≈ GBF⇒ 20lo= ϕBFπ2--- .=

GBF 20log x( )= ϕBFπ2---=

x 1 H j( )⇒ 13--- H 1( )⇒ 1

3---= = = G x 1=( )⇒ Gmax 9,52–= = ϕ x 1=( ) 0.=

log x( ) (0 ; 9,52–

log x( ) 0 ; 0( ).

Grand Que? 1 H jx( )⇒ 1jx----≈ 1

x---e

j–π2---

H x( )⇒=1x---≈ GHF⇒ 20–= ϕHF

π2--- .–=



144Élect

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a

On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence :

et

b. La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites qui se coupent au point de coordonnées Les courbes asymptotiques du gain et de la phase en fonction de sont en traitsnoirs sur les figures ci-dessous.c. Les quelques valeurs du gain et de la phase du tableau suivant permettent de tracer l’allure du diagramme de Bode. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel (figures ci-dessous).

Remarque : Les valeurs montrent que les courbes sont symétriques par rapport aux axesverticaux.

9

En remplaçant, d’une part l’expression par et d’autre part l’expression par

il vient :

x 0,1 x1 = 0,3 1 x1 = 3,3 10

log(x) −1 −0,52 0 0,52 1

G (x) (en dB) −20 −12,5 −9,5 −12,5 −20

j (en rad) 1,3 0,78 0 −0,78 −1,3

GHF 20– log x( )= ϕHFπ2--- .–=

0 ; 0( ).log x( )

a. Gain b. PhaseG (x )

1

log (x)

0,50– 0,5– 1

– 5

(dB)

– 10

– 15

– 20

Q (x )

log (x)

1

(rad)

0

– 1

– 1,5

– 0,5– 1–1,5 0,5 1 1,5

log (x2)log (x1)

3 dB

π4---–

π4---

H jx( )jx

1 3jx jx( )2+ +-------------------------------------

jωτ1 3jωτ jωτ( )2+ +---------------------------------------------= = 1 3jωτ jωτ( )2+ +[ ]us⇒ jωτue=

jω ddt----- jx( )2 d2

dt2-------- ,

us 3τdus

dt-------- τ2

d2us

dt2----------+ + τ

due

dt-------- .=

L’équation différentielle d’un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de transfert en

remplaçant chaque terme par l’opérateur et chaque terme par l’opérateur jω ddt----- jω( )2 d2

dt2------- .


145

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a

3 – Tension triangulaire à l’entrée d’un filtre passe-bande

1 La courbe ci-contre est celle du gain exprimé en décibels, d’un filtre de pulsationde résonance en fonction de la pulsation

réduite

Quelle est la nature du filtre ?

2 Tracer les asymptotes. Quel est l’ordre dufiltre ?

3 La fonction de transfert réduite peut se mettre

sous la forme

Déterminer graphiquement la constante et le facteur de qualité Q. Ondonne

4 On injecte en entrée une tension triangulaire positive de fréquence etd’amplitude 1,0 V d’expression :

(en volts).

Déterminer la tension de sortie en ne gardant que les termes pertinents.

5 Par un dispositif approprié, on triple la pulsation de résonance du filtre, touteschoses égales par ailleurs. Déterminer la tension de sortie en fonction dela pulsation réduite.

• Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de lafonction de transfert.• L’équation différentielle d’un système du deuxième ordre se déduit de la fonction detransfert en remplaçant chaque terme par l’opérateur et chaque terme

par l’opérateur

jω ddt----- jω( )2

d2

dt2--------.

en conclusion

G (x )

2

log (x)

10– 1– 2

– 10

(dB)

– 20

– 30

– 50

– 40

G x( ),

ωr,

xωωr----- .=

H jx( ) A01

1 jQ x 1x---–

+

---------------------------------- .=

A0,log 2( ) 0,30.=

ωr

ue t( ) 0,5 4π2----- ωrtcos 1

9--- 3ωrtcos 1

25------ 5ωrtcos …+ + ++=

us t( )

u′s t( )



146Élect

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1 On reconnaît sur la figure ci-contre la courbe dugain d’un filtre passe-bande.

2 On constate que les asymptotes se coupent aupoint (0 ; – 14 dB).On lit sur la courbe que l’ordonnée du point d’abs-cisse – 1 est égale à – 34 dB ; la pente de l’asymptotebasse fréquence est donc égale à 20 dB par décade.On lit aussi sur la courbe que l’ordonnée du pointd’abscisse 1 est égale à –34 dB ; la pente de l’asymp-tote haute fréquence est donc égale à – 20 dB pardécade.Le filtre est passe-bande du second ordre.

3

On sait (voir § 2.4. du cours) que les asymptotes se coupent au point

On en déduit

4 Travaillons en notation complexe. La tension d’entrée s’écrit sous la forme d’unesomme de tensions :

D’après le théorème de superposition, la tension de sortie s’écrit sous la forme d’unesomme de tensions :


G (x )

log (x)1

0

– 1

– 10

(dB)

– 20

– 30

– 50

– 40

G x 1=( ) 0 H x 1=( )⇒ A01

1 jQ x 1x---–

+

-----------------------------------

x 1=

1= = =

A0 1=

0 ; 20– logQ( ).

20– logQ 14– logQ⇒ 0,70 1 0,30– log 102

------ .= = = =

Q 5,0=

ue 0,5 4π2----- e jωrt 4

π2----- 1

9--- e j3ωrt 4

π2----- 1

25------ e j5ωrt …+ + + +=

us Hx 0= 0,5 Hx 1=4π2----- e jωrt Hx 3=

4π2----- 1

9--- e j3ωrt Hx 5=

4π2----- 1

25------ e j5ωrt …+ + + +=

Lorsque la tension d’entrée d’un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut cal-culer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions composantes. La tension desortie est égale à la somme des tensions de sortie.


147

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a

Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie :• ;

• ;

•

avec ;

soit avec ;

• avec

On voit les amplitudes des tensions composantes de pulsations réduites supérieures à 1sont inférieures à 1 % de l’amplitude de la tension de pulsation réduite x = 1 ; on peut

négliger ces termes. La tension de sortie se réduit à :

5 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie :• ;

• ;

• ;

• .

us0 Hx 0= 0,5 0= =

us11

1 j5 1 11---–

+

-------------------------------- 4π2-----e jωrt 4

π2-----e jωrt= =

us31

1 j5 3 13---–

+

-------------------------------- 4π2----- 1

9---e j3ωrt 4

π2----- 1

9--- 1

1 403

------ j+-----------------e j3ωrt 4

π2-----1

9--- 1

1 403

------ 2

+

-------------------------------ej 3ωrt α3–( )= = =

?Plus Grand Que? 1

α3tan 403

------=

us34π2----- 1

9--- 3

40------ e j 3ωrt α3–( ),≈ us3

4π2----- 1

120---------e j 3ωrt α3–( )= α π

2---≈

us51

1 j5 5 15---–

+

-------------------------------- 4π2----- 1

25------e j5ωrt 4

π2----- 1

25------ 1

1 24j+-----------------e j5ωrt= =

4π2----- 1

600---------e j 5ωrt α5–( )≈ α5tan = 24.

us t( ) 4π2----- ωrtcos V( )=

Le filtre permet de sélectionner en sortie la composantesinusoïdale de la tension d’entrée dont la pulsation estégale sa pulsation de résonance.La figure ci-contre est une simulation obtenue avec unlogiciel de calcul formel (Maple). T est la période.

ue(t )u (V)

1

0,8

0,6

0,4

0,2

– 0,2

– 0,4

10,80,60,40,20

tT----

us(t )

us′0 Hx 0= 0,5 0= =

u′s11

1 j5 13--- 3–

+

-------------------------------- 4π2-----e jωrt 1

1 403

------ j–----------------- 4

π2-----e jωrt= =

340------ j 4

π2-----e jωrt≈ 3

40------ 4

π2----- e

j ωrtπ2---+

=

U1

u′s31

1 j5 1 11---–

+

-------------------------------- 4π2----- 1

9--- e j3ωrt 4

π2----- 1

9--- e j3ωrt= =

U3

u′s51

1 j5 52--- 2

5---–

+

-------------------------------- 4π2----- 1

25------ e j5ωrt 4

π2----- 1

25------ 1

1 212

------ j+----------------- ej5ωrt= =

4π2----- 1

25------ 2

21------ e

j 5ωrtπ2---–

≈ 4

π2----- 2

525--------- e

j 5ωrtπ2---–

=

U5



148Élect

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a

Comparons les amplitudes des tensions de sortie :

;

Les amplitudes des composantes de rangs différents de 1 et 3 sont négligeables. La ten-sion de sortie peut s’écrire :

La tension de sortie n’est pas sinusoïdale.

U1

U3------ 27

40------ 0,67= = 18

525--------- 0,034 ?Moins Que= =

u′s t( ) 4π2----- 3

40------ ωrt

π2---+

cos 19--- 3ωrtcos+ V( )=

La figure ci-contre est une simulation obtenueavec un logiciel de calcul formel (Maple). La tension de sortie n’est pas sinusoïdale.

ue(t )

u (V)

1

0,8

0,6

0,4

0,2

10,80,60,40,20

tT----

us′(t )

Lorsque la tension d’entrée d’un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales,il faut calculer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions compo-santes. La tension de sortie est égale à la somme de tensions de sortie.

en conclusion


149

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a

Index

AAdaptation d’impédance 96Admittance 67

complexe 67Amortissement 126, 129, 132Amplificateur opérationnel 101Amplitude complexe 66Analyse de Fourier 65ARQP 53ARQS 53Association

en série 72parallèle 73

Association de générateursen parallèle 28en série 25

Association de résistorsen parallèle 27en série 24

BBande passante à –3 dB 102Bobine 44Branche 4

CCapacité C d’un condensateur 39Caractéristique d’un dipôle 7Circuit

LC 61RC 39RL 44RLC 47

Circuit électrique 4Coefficient d’amortissement 48Comportements asymptotiques d’un filtre 108Condensateur 39Conductance 7, 67Conducteur ohmique 7Constante de temps 41, 44Courant électromoteur 8

DDéphasage 64Dérivateur 110Diode 14Dipôle 4

actif 7passif 7

Diviseurde courant 28, 74de tension 25, 72

EÉchelon de tension 40Énergie

électrique 40magnétique 44

FFacteur

de puissance 90de qualité 126, 129, 132

Facteur de qualité 48Facteur de qualité Q 76, 77Filtre

coupe-bande 137passe-bande 140, 145passe-bas du deuxième ordre

126passe-bas du premier ordre

102passe-haut du deuxième ordre

132passe-haut du premier ordre

105Fonction de transfert 100Force électromotrice 8Fréquence

caractéristique 132de résonance 129propre 129

Fréquence de coupure 102, 105

GGénérateur 6, 18

de signaux électriques (GBF )64

réel 71Générateur idéal

de courant 71de tension 71

IImpédance 67Impédances complexes 66Inductance 44

propre 44Intégrateur 110Intégrateur et pseudo-intégrateur 120Intensité 5

LLa loi d’ohm en représentation complexe 66Loi

d’Ohm 7de Pouillet 73des mailles 6, 69des nœuds 5, 69des nœuds en termes de poten-

tiel 70Loi de Pouillet 26Loi des nœuds 30

en termes de potentiels 30, 31Lois de Kirchhoff 32

MMaille 4Masse 64, 65Masse d’un circuit 30Multimètre numérique 64

Index

150

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a

NNœud 4

OOscilloscope 65

PPasse-tout déphaseur du premier ordre 118Période propre 48Point de fonctionnement 9Potentiel 30Puissance 18

instantanée 89moyenne 89, 90

Pulsationcaractéristique 132de résonance 129propre 129

Pulsation de coupure 102, 105Pulsation propre 48

QQuadripôle 99

RRéactance 67Récepteur 6, 18Réduction canonique 41, 48Réduction du circuit 31Relèvement du facteur de puissance 95Représentations de Thévenin et de Norton 29Résistance 7, 67

critique 51Résistivité 19Résistor 7Résonance 128

en intensité 75en tension 78

Résonance en puissance 93

SSignaux sinusoïdaux 63Stabilité 109Susceptance 67

TTension 6

alternative sinusoïdale 52en créneaux 52

Théorème de Millman 30, 70

VValeur

efficace 64moyenne 63

Valeur efficace 90

Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa

Education

Electrocinétique class prépas