6 chapitre iii application de la théorie à un exemple mathématique vf (6)

Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique

III.1 - Introduction :

Afin de mettre en évidence la méthode de stabilité aux petites variations, nous avons proposé

dans le chapitre III une courte étude d’un modèle mathématique donné par les équations

différentielles linéaires suivantes.

III.2 - Exemple de calcul :

On considère le système de trois différentielles linéaires d’ordre 1 :

{d ∆ x1

dt=0 ∆x1+1∆ x2+0∆ x3

d ∆ x2

dt=0 ∆x1+0∆ x2+1∆ x3

d ∆x3

dt=−6 ∆x1−11∆ x2−6∆ x3

(74)

[∆ x ]=[ Α ] .[∆ x ]

Avec : [Α ]=[ 0 1 00 0 1

−6 −11 −6] (75)

On cherche la solution Δ x (t ) de ce système.

Il faut d’abord déterminer le polynôme caractéristique de la matrice A :

ΡΑ ( λ )=det (Α−λ . Ι )

(Α−λ . Ι )=[ 0 1 00 0 1

−6 −11 −6 ]−[ λ 0 00 λ 00 0 λ]=[−λ 1 0

0 − λ 1−6 −11 −6−λ]

ΡΑ ( λ )=d et [−λ 1 00 −λ 1

−6 −11 −6− λ]ΡΑ ( λ )=(−λ ) [ (− λ ) (−6− λ )−(−11 )∗1 ]+(−1 )∗1 [0∗(−6−λ )−(−6 )∗1 ]

ΡΑ ( λ )=(−λ ) [6 λ+λ2+11 ]−1 [0+6 ]

ΡΑ ( λ )=−6 λ2−λ3−11 λ−6

48


ΡΑ ( λ )=λ3+6 λ2+11 λ+6

Ceci est le polynôme caractéristique de A. Il permet de déterminer les valeurs propres de A.

En effet, on a l’équivalence selon laquelle : lambda appartient au spectre de A, ensemble des

valeurs propres de A, si et seulement si le polynôme caractéristique de A est nul.

λ∈ sp ( Α )⟺ ΡΑ ( λ )=0

λ∈ sp ( Α )⟺ λ3+6 λ2+11 λ+6=0

λ∈ sp ( Α )⟺ ( λ+1 ) ( λ+2 ) ( λ+3 )=0

On en déduit les trois valeurs propres (racines) de la matrice A :

sp(Α)={λ1=−1; λ2=−2 ; λ3=−3 }

On obtient alors la matrice diagonale des valeurs propres qui a la forme suivante :

[ Λ ]=[ λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

]=[−1 0 00 −2 00 0 −3] (76)

Les matrices des vecteurs propres :

Calcul des vecteurs propres de droite [U1], [U2], [U3] :

Calcul de [U1] :

Les composantes du vecteur propre de droite associé à la valeur propre λ1 sont obtenues à

partir de la relation :

[Α ] . [U 1 ]=λ1 . [U 1 ]

[ 0 1 00 0 1

−6 −11 −6] .[u11

u21

u31]=λ1 . [u11

u21

u31]

Or λ1=−1

49


⟹[ 0 1 00 0 1

−6 −11 −6] . [u11

u21

u31]=−1.[u11

u21

u31]

Il résulte les relations :

u11=u11

u21=−u11

u31=−u21=− (−u11)=u11

On choisit comme base 1 la composante ayant la plus grande valeur absolue. Ici, on peut

indifféremment choisir l’une des trois, car leurs valeurs absolues sont égales à 1. On obtient

alors le vecteur propre de droite [U1] :

[U 1 ]=[u11

u21

u31]=[ 1

−11 ]

On calcule de façon similaire les composantes des deux autres vecteurs propres de droite :

Calcul de [U2] :

[Α ] . [U 2 ]=λ2 . [U 2 ]

Or λ2=−2

⟹[ 0 1 00 0 1

−6 −11 −6] . [u12

u22

u32]=−2.[u12

u22

u32]


u12=u12

u22=−2u12

u32=−2u22=−2∗(−2u12 )=4u12

On choisit comme base 1 la composante ayant la plus grande valeur absolue. Ici, on choisit

donc u32 comme base 1 (4 > 2 > 1). On obtient alors le vecteur propre de droite [U2] :

50


[U2 ]=[u12

u22

u32]=[ 1/4

−1 /21 ]

Calcul de [U3] :

[Α ] . [U 3 ]=λ3 . [U 3 ]

Or λ3=−3

⟹[ 0 1 00 0 1

−6 −11 −6] . [u13

u23

u33]=−3.[u13

u23

u33]


u13=u13

u23=−3u13

u33=−3u23=−3∗(−3u13)=9u13

On choisit comme base 1 la composante ayant la plus grande valeur absolue. Ici, on choisit

donc u33 comme base 1 (9 > 3 > 1). On obtient alors le vecteur propre de droite [U3] :

[U3 ]=[u13

u23

u33]=[ 1 /9

−1/31 ]

Donc, la matrice des vecteurs propres de droite est :

[U ]=[u11 u12 u13

u21 u22 u23

u31 u32 u33]=[ 1 1/4 1/9

−1 −1/2 −1/31 1 1 ] (77)

Calcul des vecteurs propres de gauche [V1], [V2], [V3] :

Calcul de [V1] :

Les composantes du vecteur propre de gauche associé à la valeur propre λ1 sont obtenues à

partir de la relation :

51


[Α ]t [V 1 ]= λ1 [V 1 ]

[0 0 −61 0 −110 1 −6 ] .[v11

v21

v31]=λ1 .[ v11

v21

v31]

Or λ1=−1

⟹[0 0 −61 0 −110 1 −6 ] .[ v11

v21

v31]=−1.[v11

v21

v31]


v11=6 v31

v21=5 v31

v31=1 v31

Les composantes du vecteur propre de gauche sont choisies de telle manière que :

[V ]t [U ]=[ Ι ]

Avec : [ Ι ] matrice identité d’ordre 3

[v11 v21 v31

v12 v22 v32

v13 v23 v33][u11 u12 u13

u21 u22 u23

u31 u32 u33]=[1 0 0

0 1 00 0 1] (78)

Donc pour les composantes de [V1] :

v11u11+v21u21+v31u31=1 (79)

v11∗1+v21∗(−1 )+v31∗1=1

⟹v11−v21+v31=1

On obtient alors :

52


[V 1 ]=[v11

v21

v31]=[ 3

5 /21/2]

On calcule de façon similaire les composantes des deux autres vecteurs propres de gauche :

Calcul de [V2] :

[Α ]t [V 2 ]= λ2 [V 2 ]

Or λ2=−2

⟹[0 0 −61 0 −110 1 −6 ] .[v12

v22

v32]=−2. [v12

v22

v32]


v12=3 v32

v22=4 v32

v32=1 v32

⟹ v32=13v12et v22=

43v12

[V ]t [U ]=[ Ι ]

v12u12+v22u22+v32 u32=1 (80)

v12∗1/4+v22∗(−1/2 )+v32∗1=1

⟹1/4 v12−1/2v22+v32=1

On obtient alors :

[V 2 ]=[v12

v22

v32]=[−12

−16−4 ]

Calcul de [V3] :

53


[Α ]t [V 3 ]= λ3 [V 3 ]

Or λ3=−3

⟹[0 0 −61 0 −110 1 −6 ] .[v13

v23

v33]=−3.[v13

v23

v33]


v13=2v33

v23=3v33

v33=1v33

⟹v33=12v13et v23=

32v13

[V ]t [U ]=[ Ι ]

v13u13+v23u23+v33u33=1 (81)

v13∗1/9+v23∗(−1/3 )+v33∗1=1

⟹1/9v13−1/3 v23+v33=1

On obtient alors :

[V 3 ]=[v13

v23

v33]=[ 9

27/29/2 ]

Donc, la matrice des vecteurs propres de gauche est :

[V ]=[v11 v12 v13

v21 v22 v23

v31 v32 v33]=[ 3 −12 9

5 /2 −16 27/21 /2 −4 9/2 ] (82)

Les valeurs des composantes de ces vecteurs vérifient les relations :

[V ]t [U ]=[ Ι ] et [V ]t [Α ] [U ]= [Λ ]

On détermine la solution libre du système d’équations différentielles.

54


On effectue la substitution :

[U ] [Δ z ]=[Δ x ]

Et il résulte le système des équations découplées :

Δ z1= λ1. Δ z1

Δ z2= λ2 . Δ z2

Δ z3= λ3 . Δ z3

qui ont les solutions :

Δ z1 ( t )=Δ z1 (0 ) . e λ1 t

Δ z2 ( t )=Δ z2 ( 0 ) . e λ2 t

Δ z3 ( t )=Δ z3 (0 ) . eλ3 t

De la relation :

[U ]−1 [Δ x ]=[V ]t [Δ x ]=[Δ z ]

on obtient les conditions initiales [Δ z (0)] en fonction des conditions initiales de [Δ x (0)]:

[v11 v21 v31

v12 v22 v32

v13 v23 v33] .[Δ x1(0)Δ x2(0)Δ x3(0)]=[Δ z1(0)

Δ z2(0)Δ z3(0)]

Dans un premier cas, on considère les conditions initiales de Δ x i(0):

Δ x1 (0 )=1

Δ x2 (0 )=0

Δ x3 (0 )=0

[V ]t [Δ x ]=[Δ z]

[v11 v21 v31

v12 v22 v32

v13 v23 v33] .[100]=[Δ z1(0)

Δ z2(0)Δ z3(0)]

On obtient :

Δ z1 (0 )=v11=3

Δ z2 (0 )=v12=−12

55


Δ z3 (0 )=v13=9

On détermine la solution du système d’équations différentielles pour la variable d’état Δ x1(t)

[U ] [Δ z ]=[Δ x ]

[u11 u12 u13

u21 u22 u23

u31 u32 u33] .[Δ z1(t)Δ z2(t)Δ z3(t)]=[ Δ x1 ( t )

Δ x2 ( t )Δ x3 ( t )] (83)

Δ x1 ( t )=u11 . Δ z1 (t )+u12 . Δ z2 ( t )+u13 . Δ z3 (t ) (84)

Δ x1 ( t )=u11 . v11 . eλ1 t+u12 . v12 .e

λ2 t+u13 . v13 . eλ3 t

∆ x1 (t )=1∗3e−t+1 /4∗(−12 ) e−2t+1/9∗9e−3 t

La solution est :

∆ x1 (t )=3e−t−3e−2 t+e−3 t

Les grandeurs sont les coefficients de participation :

[ p1 ]=[ p11

p12

p13]=[u11 . v11

u12 . v12

u13 . v13]=[ 3

−31 ]

Ils donnent la contribution des modes e λ1 t , eλ2t , eλ3 t pour la formation de la grandeur d’état

Δ x1(t), dans des conditions initiales données (Δ x1 (0 )=1 ; Δ x2 (0 )=0 ; Δ x3 (0 )=0).

Dans le deuxième cas, on considère les conditions initiales de Δ x i(0):

Δ x1 (0 )=0

Δ x2 (0 )=1

Δ x3 (0 )=0

[V ]t [Δ x ]=[Δ z]

[v11 v21 v31

v12 v22 v32

v13 v23 v33] .[010]=[Δ z1(0)

Δ z2(0)Δ z3(0)]

56


On obtient :

Δ z1 (0 )=v21=5/2

Δ z2 (0 )=v22=−16

Δ z3 (0 )=v23=27 /2

On détermine la solution du système d’équations différentielles pour la variable d’état Δ x2(t)

[U ] [Δ z ]=[Δ x ]

Δ x2 ( t )=u21 . Δ z1 ( t )+u22 . Δ z2 ( t )+u23 . Δ z3 (t ) (85)

Δ x2 ( t )=u21 . v21 . eλ1 t+u22 . v22 . e

λ2 t+u23 . v23 . eλ3 t

Δ x2 ( t )=(−1 )∗5 /2e−t+ (−1/2 )∗(−16 )e−2 t+ (−1/3 )∗27 /2e−3 t

La solution est :

Δ x2 ( t )=−5/2e−t+8e−2 t−9/2e−3 t


[ p2 ]=[ p21

p22

p23]=[u21 . v21

u22 . v22

u23 . v23]=[−5/2

8−9/2]

Dans le troisième cas, on considère les conditions initiales de Δ x i(0):

Δ x1 (0 )=0

Δ x2 (0 )=0

Δ x3 (0 )=1

[V ]t [Δ x ]=[Δ z]

[v11 v21 v31

v12 v22 v32

v13 v23 v33] .[001]=[Δ z1(0)

Δ z2(0)Δ z3(0)]

On obtient :

Δ z1 (0 )=v31=1/2

57


Δ z2 (0 )=v32=−4

Δ z3 (0 )=v33=9 /2

On détermine la solution du système d’équations différentielles pour la variable d’état Δ x3(t )

[U ] [Δ z ]=[Δ x ]

Δ x3 ( t )=u31 . Δ z1 ( t )+u32 . Δ z2 ( t )+u33 . Δ z3 (t ) (86)

Δ x3 ( t )=u31 . v31 . eλ1 t+u32 . v32 . e

λ 2 t+u33 . v33 . eλ3 t

Δ x3 (t )=1∗1/2e−t+1∗(−4 ) e−2t+1∗9/2e−3 t

La solution est :

Δ x3 ( t )=1/2e−t−4e−2 t+9 /2e−3 t


[ p3 ]=[ p31

p32

p33]=[u31 . v31

u32 . v32

u33 . v33]=[1/2

−49/2]

La matrice des coefficients de participation, dans les trois cas des conditions initiales, a la

forme suivante :

[ p ]=[ p11 p12 p13

p21 p22 p23

p31 p32 p33]=[ 3 −3 1

−5 /2 8 −9/21/2 −4 9/2 ] PB

Le coefficient pij représente le degré de participation du mode j pour la formation de la

grandeur d’état i, quand on considère une condition initiale Δ x i(t ).

Pour pouvoir vérifier les résultats ci-dessus, on calcule la solution indépendante x1(t) du

système d’équations différentielles par l’application de la transformation de Laplace dans des

conditions initiales non-nulles (x1 (0 )=1 ; x2 (0 )=0 ;x3 (0 )=0).

58


On obtient :

s . x1 (s )−x1 (0 )=x2 (s )

s . x2 (s )=x3 (s )

s . x3 (s )=−6x1 (s )−11 x2 (s )−6 x3 ( s )

Par des calculs algébriques, on élimine les variables x2(s ) et x3(s ). On obtient :

x1=s2+6 s+11

s3+6 s2+11s+6x1 (0 )= s2+6 s+11

(s−λ1)(s−λ2)(s−λ3)x1 (0 )

Avec :

λ1=−1

λ2=−2

λ3=−3

On applique la méthode de décomposition et on obtient :

x1 ( s )=[ As−λ1

+ Bs−λ2

+ Cs−λ3

] x1 (0 )

Par identification :

A=3

B=−3

C=1

L’original x1 ( t ) de la transformation de Laplace x1 ( s ) est de la forme suivante :

x1 (t )=[ Ae λ1 t+Beλ 2 t+Ce λ3 t ] x1 (0 )

Soit :

x1 ( t )=3e−t−3e−2 t+e−3 t

59


III.3 - Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons appliqué la théorie des petits signaux à un exemple mathématique. Dans notre travail, le système de puissance est soumis à des petites perturbations : cela permet de linéariser le système.

Le calcul des valeurs propres nous permet d’étudier les propriétés dynamiques, car elles définissent le mouvement du système. Aussi, il nous permet de calculer l’amortissement.

Les solutions des équations décrivent l’évolution exponentielle au cours du temps de la perturbation.

Les valeurs propres sont réelles négatives. Le mode associé à cet exemple est donc non oscillatoire, avec une forme d’exponentielle décroissante.

Le facteur de participation découvre quelle variable d’état est responsable du mode indésirable.

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