ELE2611 Classe 2 - Compléments sur les circuits dynamiques linéaires

Introduction

ELE2611 - Circuits Actifs

3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Cours 2 - Complements sur les circuits dynamiques lineaires

Instructeur: Jerome Le [email protected]

Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c�Le Ny, J. 1/35

https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Introduction

Plan pour ce cours

Representations des quadripoles

Analyse de circuits lineaires et stationnaires contenants des A.O. ideaux

Complements sur le regime permanent sinusoıdalSystemes lineaires en regime permanent sinusoidalCalculs en R.P.S. : phaseurs, impedances complexes

Retour sur la reponse frequentielle


Introduction


Plan pour ce cours






Introduction


Representations d’un dipole

I Pour un dipole lineaire et stationnaire, on a 2 representations (Notation :Z(s) : impedance (operationnelle), Y (s) : admittance (operationnelle))

V (s) = Z(s)I (s) + Vco

(s) (Theoreme de Thevenin)

ou I (s) = Y (s)V (s) + Icc

(s) (Theoreme de Norton)

avec Z(s) =1

Y (s)

✓N.B. : Z(s) fn rationnelle reelle. Z(s) = �V

co

(s)

Icc

(s)

◆

=+

Z(s)

reste ducircuitVco(s)

I(s)

+

-

V(s)reste ducircuit

I(s)

+

-

V(s)Y(s)

Icc(s)

Equivalent Thévenin(I variable indépendante)

Equivalent Norton(V variable indépendante)

Dipôle linéaireet stationnaire

Dipôle linéaireet stationnaire

I En particulier, si le dipole ne contient pas de source independante, on a lesdeux representations suivante, selon que l’on choisi la variable i our vcomme independante (i.e., “excitatrice”, a droite de l’equation)

V (s) = Z(s)I (s) ou I (s) = Y (s)V (s)


Introduction


Representations d’un quadripole

i1

i1

i2

i2

+ +

- -v1 v2

Port1

Port2

i1

i1

i2

i2

+ +

- -v1 v2

Ex: transistor bipolaireun quadripôle

I Pour un quadripole, on a 4 variables V1, I1,V2, I2. Deux peuvent etrechoisies comme independantes, deux dependantes, ce qui donne

�42

�= 6

representations possiblesI Bien que l’on puisse ecrire un equivalent des theoremes de Thevenin ou

Norton, on rencontrera seulement des quadripoles ne contenant pas desource independante : filtres, convertisseurs d’impedance, inductancesmutuelles, transistors, . . . Les quadripoles actifs peuvent toutefois avoir dessources dependantes (dues aux AO, transistors, . . . )

I N.B. : En fait, on ne perd pas en generalite car on peut toujours “sortir”les sources independantes du quadripole

I N.B. : Il y a des quadripoles pour lesquels certains choix de variablesindependantes ne sont pas admissibles


Introduction


Representations d’un dipole (suite)

I Les 6 representations des quadripoles sans source dependante sont

V(s) = Z(s)I(s) (I1, I2 var. ind., )V1

V2

�=

z11 z12z21 z22

� I1I2

�

Z(s) : matrice d’impedance

V1

I2

�=

h11 h12h21 h22

� I1V2

�

H(s) : parametres hybrides

V1

I1

�=

A BC D

� V2

�I2

�

T(s) : Parametres ABCD,

de ligne, ou de transfert

I(s) = Y (s)V(s) (V1,V2 var. ind., )I1I2

�=

y11 y12y21 y22

� V1

V2

�

Y (s) : matrice d’admittance

I1V2

�=

g11 g12g21 g22

� V1

I2

�

G(s) : parametres hybrides 2

V2

I2

�=

E FG H

� V1

�I1

�

T’(s) : matrice de transfert

I Le choix d’une representation se fait en fonction du probleme a resoudreI N.B. : Representation la plus generale : MV + NI = 0I En micro-ondes, on utilise plutot les parametres de dispersion (scattering)


Introduction


Circuits equivalents des quadripoles

I Les parametres precedents correspondent directement a di↵erents circuitsequivalents representant un quadripole

I Exemples :

z22

z21 I1=+

+

-

V1

I1z11

=+z12 I2

+

-

V2

I2

Paramètres z (impédances de circuit ouvert)

+

-

V1

I1

y 11

y12 V2

y21 V1

y 22

I2+

-

V2

Paramètres y (admittances de court-circuit)

+

-

V1

I1h11

=+h12 V2

h21 I1

h 22

I2+

-

V2

Paramètres h

+

-

V1

I1

g 11

g12 I2

g22

g21 V1=+

+

-

V2

I2

Paramètres g

I Ex : lien modele amplificateur de tension (cours 1) et parametres z ?


Introduction


Calcul des parametres

I Calcul des parametres en activant une variable independante a la fois

V1

I1

�=

A BC D

� V2

�I2

�) V1 = AV2 � BI2

)A =V1

V2|I2=0 (circuit ouvert),

B = �V1

I2|V2=0 (court circuit),

C =I1V2

|I2=0, D = � I1

I2|V2=0

) A =ZL

+ ZC

ZC

= 1 + LCs2, B = Ls,

C = Cs, D = 1.

Exemple

L

C

I1 I2

V1 V2+

-

+

-

I Une fois les parametres d’une representation obtenus, il existe des formulespermettant de passer d’une representation a l’autre


Introduction


Conversion entre les parametres

[Svoboda et Dorf, chapitre 17]


Introduction


Application : parametres hybrides d’un transistor bipolaire

+

-

V1

I1hie

=+hre V2

hfe I1

h oe

I2+

-

V2

I1 I2+

-

V2

+

-

V1

h11 = hie

=V1

I1|V2=0 : impedance d’entree (de court-circuit)

h12 = hre

=V1

V2|I2=0 : rapport inverse de tension

h21 = hfe

=I2I1|V2=0 : gain de courant

h22 = hoe

=I2V2

|I1=0 : admittance de sortie (de circuit ouvert)


Introduction


Reciprocite

quadripôleréciproque

=++

-Ve

quadripôleréciproque =+

+

-

Is Is

Ve

I Un quadripole est reciproque si le courant de court-circuit au port 2resultant de la presence d’une source de tension ideale au port 1 est lememe que le courant present au port 1 si la source est placee au port 2

I Echanger sources de tensions par sources de courant et amperemetre parvoltmetre (circuit ouvert) donne une definite equivalente

I Theoreme de reciprocite : un quadripole ne contenant que des resistances,condensateurs, bobines, bobines couplees, et transformateurs ideaux (lesdeux derniers types d’elements seront introduits dans ELE2611) estreciproque

I N.B. : ce n’est valable que pour la reponse avec conditions initialles nulles,ou bien la reponse en regime permanent sinusoıdal


Introduction


Parametres d’un quadripole reciproque

I Reformulation equivalente de la reciprocite

y21 = y12

✓car y21 =

I2V1

|V2=0, y12 =

I1V2

|V1=0

◆

I Proprietes equivalentes pour les autres representations (ex : utiliser la tabledu transparent 9, ou par calcul direct)

z21 = z12,

h12 = �h21, g12 = �g21,

det(T ) = det(T 0) = 1

I Ainsi, par le theoreme de reciprocite, ces contraintes sont donc verifieespar exemple par les parametres d’un filtre passif R, L,C


Introduction


Expression de l’impedance d’entree

ZL

+

-

IE

VE

+

-

V2

I2

I A partir de certains parametres, on peut exprimer facilement l’impedanced’entree

V

E

V2

�=

z11 z12z21 z22

� IE

I2

�, et V2 = �Z

L

I2 ) ZE

=V

E

IE

= z11 �z12z21

z22 + ZL

ou encoreV

E

IE

�=

A BC D

� V2

�I2

�, et V2 = �Z

L

I2 ) ZE

=V

E

IE

=AZ

L

+ B

CZL

+ D


Introduction


Expression de l’impedance de sortie

ZG

+

-

VS

IS

+

-

V1

I1

I A partir de certains parametres, on peut exprimer facilement l’impedancede sortie

V1

VS

�=

z11 z12z21 z22

� I1IS

�, et V1 = �Z

G

I1 ) ZS

=V

S

IS

= z22 �z12z21

z11 + ZG

ou encoreV1

I1

�=

A BC D

� V

S

�IS

�, et V1 = �Z

G

I1 ) ZS

=V

S

IS

=DZ

G

+ B

CZG

+ A


Introduction


Matrices de transfert et quadripoles en cascade

T'1 T'2+

-V1

I1 I2

+

-V2

+

-V3

I3+

-V4

I4

V2

I2

�= T 0

1

V1

�I1

�,

V4

I4

�= T 0

2

V3

�I3

�= T 0

2

V2

I2

�= T 0

2T01

V1

�I1

�

I Les matrices de transfert T 0 permettent de calculer rapidement le dipoleequivalent a plusieurs dipoles mis en cascade, par produit de matrices

I Lors d’une mise en cascade du quadripole T 01 puis T 0

2, le quadripoleresultant a pour matrice de transfert T 0 = T 0

2T01

I Attention a l’ordre de la multiplication : on applique T

01 d’abord, comme

pour la composition de fonctionsI N.B. : cette propriete justifie l’utilisation de �I comme variable

independante dans la representation par matrice de transfert

I En conclusion, di↵erents types de parametres ont donc di↵erentes utilites


Introduction


Plan pour ce cours






Introduction


Principe de l’analyse

I Le modele ideal de l’A.O. suppose une bande passante infinie, i.e., lemodele statique du cours 1 est valide quelle que soit la frequence (enrealite, le gain en boucle ouverte des A.O. commence rapidement adecroitre avec la frequence, voir cours 6)

I Ainsi, la technique d’analyse basee sur le court-circuit virtuel vue au cours1 est inchangee pour les circuits dynamiques lineaires et stationnaires, enremplacant la notion de resistance par celle d’impedance (operationnelle)

I Exemple : par la meme analyse que pour l’amplificateur inverseur, onobtient la fonction de transfert du circuit suivant

-+

=+Vo(s)

Z2(s)

Z1(s)

Vi(s)�

LKC :V

i

Z1= �V

o

Z2

) Vo

(s)

Vi

(s)= �Z2(s)

Z1(s)


Introduction


Exemple : Integrateur et Derivateur

I Une application immediate du montage precedent donne deux circuits debase (donc a savoir reconnaitre immediatement)

I En changeant la resistance de retroaction de l’amplificateur inverseur parun condensateur, on obtient un integrateur (inverseur)

-+

=+vivo

C

RV

o

(s)

Vi

(s)= � 1

RCs! integrateur

I En remplacant a la place la resistance d’entree, on obtient un derivateur(inverseur)

-+

=+vivo

C

R

Vo

(s)

Vi

(s)= �RCs ! derivateur


Introduction


Realisations de systemes du premier ordre

=+C

R

vE -+

=+Vi Vo

R1

R2

C

I Circuit RC :

⌧ = RC ,V

R

VE

=s⌧

1 + s⌧,

VC

VE

=1

1 + s⌧

I Rappel : condensateur 1jC! ! ouvert a DC (! = 0), court-circuit pour

! ! 1 ) anticiper la nature passe-bas ou passe-haut

I Passe-bas actif (inverseur, avec gain) :

Vo

Vi

= �R2 k 1

Cs

R1= �R2

R1

1

1 + R2Cs


Introduction


Exemple : Gyrateur et simulation de bobine

G +

-

v2

+

-

v1

i1 i2 I Un gyrateur est un quadripole dont lamatrice d’admittance est la suivante

i1i2

�=

0 G

�G 0

� v1v2

�

I Un gyrateur agit comme un inverseur d’impedance. En branchant uneimpedance Z2 au port 2, l’impedance vue depuis le port 1 est

Z1 =V1

I1=

�i2/GGV2

=1

G 2

�I2V2

=1

G 2Z2.

I Application : les bobines posent problemes en fabrication de circuitselectroniques (taille, facteur de qualite) ! si possible on les simule (aumoins a frequences pas trop elevees). Un gyrateur de conductance degyration G = 1/R et un condensateur Cs branche au port 2 donnent unebobine Ls = R2Cs vue par le port 1

I Possilite de realiser des inductances L = R

2C elevees

I Une classe de filtres actifs consiste a simuler les bobines des filtres passifs


Introduction


Realisation d’un gyrateur

I Exercice : montrer que le circuit suivant implemente un gyrateur (les AOsont supposes ideaux)

+-

-+

R RR1 R1

R1

R1

R

+

-

v1

+

-

v2

I N.B. : cette realisation a deux terminaux mis a la terre ! ne permet desimuler que des inductances avec une borne mise a la terre, pas flottante.


Introduction


Limites de cette analyse

I La methode d’analyse presentee dans les diapositives precedentes supposedonc le meme modele d’amplificateur operationnel dont le gain est infini atoutes les frequences

I Comme on l’a deja evoque au cours 1, un amplificateur operationnel agiten realite comme un passe-bas, avec un gain

A(s) =!f

s + !0.

I Il faudra tenir compte de cette fonction de transfert pour des analyses decircuits impliquants des signaux de frequences meme moderees.

I Ex : pour le montage derivateur precedent, utiliser ce modele dynamique del’AO permet de voir que le gain de la fonction de transfert ne croıt pasindefiniment avec la frequence

I En d’autres termes, les analyses precedentes ne sont valides qu’asu�samment basse frequence (plage de frequence variant selon lescaracteristiques de l’AO utilise)


Introduction

Complements sur le regime permanent sinusoıdal

Plan pour ce cours






Introduction


Systemes lineaires en regime permanent sinusoidal

Rappels sur les nombres complexes

I Forme cartesienne : z = x + jy (j2 = �1)

I Module : |z | =p

x2 + y 2 =pzz⇤

I Argument : \z = Arg(z) = atan2(y , x)

I Forme polaire : |z |e j\z

I Conjugue ou adjoint : z⇤ = x � jy = |z |e� j\z

I Addition/soustraction :z1 ± z2 = (x1 ± x2) + j(y1 ± y2)

I Multiplication : z1z2 = |z1||z2|e\z1+\z2

I Division : z1z2

= |z1||z2|

e\z1�\z2 (z2 6= 0)

I Relation d’Euler :

cos ✓ =e j✓ + e�j✓

2, sin ✓ =

e j✓ � e�j✓

2j

Re[z]

Im[z]

|z|

⦣z

z

x

y


Introduction



Reponse d’un systeme lineaire a une entree sinusoıdale

G(s)xe(t) = ej�t xs(t) = G(j�)ej�t + xtrans(t)

réponse restante enrégime permanent

excitation sinusoïdale

réponse transitoire

oscillations à la mêmefréquence que l'entrée

systèmelinéairestable

� 0

I G(s) fonction de transfert stable (poles strictement a gauche du plan s).I Reponse a une entree sinusoıdale (complexe) :

entree : xe

(t) = e j!t $ Xe

(s) =1

s � j!

Xs

(s) =G(s)

s � j!=

A

s � j!+ . . .

! A = G(j!) (par developpement en fractions partielles)

sortie : xs

(t) = G(j!)e j!t + . . .

I Les termes omis sont des transitoires associes aux poles stables de G )disparaissent en regime permanent (quand t ! 1), plus ou moins vitesuivant la position des poles de G


Introduction



Regime permanent sinusoıdal

G(s)xe(t) = ej�t xs(t) = G(j�)ej�t + xtrans(t)

réponse restante enrégime permanent

excitation sinusoïdale

réponse transitoire

oscillations à la mêmefréquence que l'entrée

systèmelinéairestable

� 0

G(j!) = |G(j!)|e j\G(j!), M(!) := |G(j!)|, �(!) = \G(j!)

I En prenant la partie reelle

Reponse en regime permanent sinusoıdal (R.P.S.)

La reponse en regime permanent du systeme lineaire G(s) a xe

(t) = X0 cos(!t)est x

s

(t) = X0M(!) cos(!t + �(!))

I La reponse en R.P. est aussi sinusoidale et de meme frequenceI L’amplitude est multipliee par le gain M(!) = |G(j!)|I La phase de la sortie est celle de l’entree plus �(!) = Arg G(j!) = \G(j!)

(generalement �(!) 0)


Introduction


Calculs en R.P.S. : phaseurs, impedances complexes

Phaseurs

I En R.P.S., fixons la phase d’un signal comme reference (phase 0). Parexemple prenons une source u(t) = U0 cos(!t) (ou u(t) = U0 sin(!t)). Ilest plus simple d’utiliser la notation complexe u(t) = U0e

j!t , puis deprendre la partie reelle (ou imaginaire). En R.P.S., tous les signaux dans lecircuit oscillent a la meme frequence !, et sont de la formey(t) = |G(j!)|U0e

j(!t+\G(j!)), ou G est la fonction de transfert u ! y .

I Il est inutile de garder le terme e j!t qui apparaıt dans tous les signaux enR.P.S. Pour un signal s(t) = Ae j(!t+�) (vecteur tournant a la frequence !dans le plan complexe), on defini son phaseur, le nombre complexe

S = Ae j� (autre notation : S = A\�),

qui resume son amplitude A = |S|, et sa phase (relative a la reference)� = \S.

I Ex : si le phaseur d’un signal u(t) est U, alors le phaseur du signalY (s) = G(s)U(s) est simplement Y = G(j!)U = |U||G(j!)|e j(\U+\G(j!)).

I Les phaseurs dependent generalement de la frequence !, on ecrira doncsouvent S(j!) ou S(!) pour A(!)e j�(!).


Introduction



Utilisation des phaseurs pour les calculs en R.P. sinusoıdal

I Recapitulatif : pour un circuit lineaire stable excite par une entree u(t)sinusoıdale, la reponse y(t) est de la forme

y(t) = ytransitoire

(t) + yr.p.(t),

avec yr.p.(t) oscillant a la meme frequence que u. Si on ne s’interesse qu’au

regime permanent (systeme su�samment stable ! termes transitoiresdisparaissent rapidement), il su�t de connaıtre le phaseur Y de y

r.p.(t).I Pour le calcul des phaseurs de R.P.S., comme pour l’analyse par la

fonction de transfert avec C.I. nulles, on definit des impedances complexesZ(j!) = V/I pour chaque composant (remplacer juste s par j!)

Z(j�) = 1/jC�Z(j�) = R Z(j�) = jL�

I Ces impedances complexes permettent de calculer les phaseurs (ainsi quela reponse en frequence G(j!)) comme s’il s’agissait d’un circuit resistif

Y (s) = G(s)U(s) ) Y (j!)U(j!)

= G(j!) =Y(j!)e j!t

U(j!)e j!t

) Y(j!) = G(j!)U(j!)


Introduction



Terminologie pour les impedances complexes et operationnelles

I Impedance Z = Re(Z)| {z }resistance

+j Im(Z)| {z }reactance

= R + jX .

I Admittance Y = Z�1 = Re(Y )| {z }conductance

+j Im(Y )| {z }susceptance

= G + jB.

I Relations :

Y =1

Z=

Z⇤

|Z |2 ) G =R

R2 + X 2, B =

�X

R2 + X 2

Z =1

Y=

Y ⇤

|Y |2 ) R =G

G 2 + B2, X =

�B

G 2 + B2.

I La terminologie et les notions et theoremes introduits pour les circuitsresistifs (resistance d’entree, de sortie, theoreme de Thevenin, Norton,etc.) se generalisent aux impedances operationnelles et complexes. Parexemple : notions d’impedances d’entree et de sortie (qui varie avec lafrequence)

I Les impedances complexes capturent le changement de comportementd’un circuit dynamique en fonction de la frequence d’excitation


Introduction



Exemple : Circuit RLC

R

jLω

1/jCωVin

Vout

+

-+

-

10 Ω

j 10 Ω

- j 20 Ω

+

-+

-Vout?

2\0Vin(t) = 2 cos (1000 t)

ω = 1000 rad/sR = 10 ΩL=10 mHC=50 μF

I Calcul du phaseur Vout

(a ! = 1000 rad/s)

Diviseur de tension : Vout

= 2�j20

10 + 10j � 20j=

�4j

1� j= 2

p2 \45�

I N.B. : reponse en frequence

Vout

(!)V

in

(!)=

1/jC!1/jC! + jL! + R

=1

�LC!2 + jRC! + 1

=!20

�!2 + j2⇣!0! + !20

, !0 = , 2⇣ =1

Q= .


Introduction



Exemple : Circuit RLC

R

jLω

1/jCωVin

Vout

+

-+

-

10 Ω

j 10 Ω

- j 20 Ω

+

-+

-Vout?

2\0Vin(t) = 2 cos (1000 t)

ω = 1000 rad/sR = 10 ΩL=10 mHC=50 μF

I Calcul du phaseur Vout

(a ! = 1000 rad/s)

Diviseur de tension : Vout

= 2�j20

10 + 10j � 20j=

�4j

1� j= 2

p2 \45�

I N.B. : reponse en frequence

Vout

(!)V

in

(!)=

1/jC!1/jC! + jL! + R

=1

�LC!2 + jRC! + 1

=!20

�!2 + j2⇣!0! + !20

, !0 =1pLC

, 2⇣ =1

Q= R

rC

L.


Introduction



Circuit en RPS avec AO ideal

I La presence d’un AO ideal ne change pas la methode d’analyse par LKC +court-circuit virtuel

I On peut utiliser directement les impedances complexes pour calculer lesphaseurs

I Exercice :I calculer le rapport V

o

/Vi

pour le circuit suivant, d’abord en fonction desparametres et de !, puis avec R1 = 1 K⌦, R2 = 10 K⌦,C1 = C2 = 0.1 µFet ! = 1000 rad/s

I Quelle est l’impedance d’entree de ce circuit a 1000 rad/s pour les valeursde composants ci-dessus ?

=+

-+R1

C1R2

C2

vovi


Introduction


Plan pour ce cours






Introduction


Reponse en frequence (rappels de ELE1600A)

I Soit G un systeme lineaire et stationnaire stable

I {G(j!)}!�0 s’appelle la reponse frequentielle du systeme. C’est G(s) pours = j! sur l’axe imaginaire (axe des frequences).

I Une entree quelconque xe

(t) peut etre decomposee en somme desinusoıdes par l’analyse de Fourier

xe

(t) =1X

k=�1

ck

e�j

2⇡T

kt (serie de Fourier, si xe

T -periodique)

xe

(t) =

Z 1

�1X

e

(j!)e�j!tdt (transformee de Fourier, xe

quelconque)

I En regime permanent, le systeme lineaire multiplie chaque composantesinusoıdale par un terme G(j!), dependant de la frequence.

I C’est ce qui permet le filtrage. Par exemple, on prend G(j!0) = 0 poursupprimer la composante de frequence !0 du signal d’entree x

e

(t).


Introduction


Vision frequentielle des systemes

[S. Franco, ”Design with Operational Amplifiers”, 3rd edition, p. 108]


Introduction


Diagrammes de Bode et specification d’une fonction de transfert

I Un diagramme de Bode represente la reponse frequentielle sur 2 graphesI un pour |G(j!)| en decibels (|G(j!)|

dB

:= 20 log10 |G(j!)|)I un pour \G(j!), typiquement en degresI Les graphes sont normalement l’un sous l’autre, les axes des abscisses sont

a l’echelle logarithmiqueI Au terme de ELE1600A, vous devez maıtriser le trace des diagrammes de

Bode de fonctions de transfert rationnelles quelconques

I En synthese de circuit (ex : filtres), on part souvent d’un gabaritfrequentiel, i.e, une specification d’un diagramme de Bode desire (ex :pour attenuer certaines frequences), et on doit construire un circuit dontla fonction de transfert satisfait ce gabarit

I Comme introduction, nous ferons en classe des exercices ou l’on chercheune fonction de transfert en partant des donnees des asymptotes d’undiagramme de Bode (quelques exercices de ce type ont deja ete fait dansELE1600A)


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ELE2611 Classe 2 - Compléments sur les circuits dynamiques linéaires