LIMITES CLASSIQUES DE TOUTES LES FONCTIONS

Proprits

Fonctions exponentielle dfinie dans

Proprits; ;

; Fonctions circulaires

Notions de base des limites

Formes indtermines ;

Notion dintervalle

Exemple: NB: que lintervalle esttoujours ouverte a : Esttoujours ferme a : Ensembles de dfinitions des fonctions Toutes fonctions polynmes est dfinie dans Fonctions rationnelle Des polynmes f(x) Exemple: Fonctions irrationnelle

Exemple , ; Autres formes Fonctions sinus, cosinus et tangente Toutes fonctions circulaires est dfinie dans FONCTION EXPONENTIELLE Toutes fonctions exponentielle est dfinie dans FONCTIONS LOGARITHME NEPERIEN () .

Equation de la tangente Centre de symtrieLe point A (a, b) est centre de symtrie Axe de symtrieLa droite dquation x = a est axe de symtrie ; Branches infinies La droite dquation est asymptote verticale (AV) la courbe La droite dquation est asymptote horizontale (AH) la courbe ;

La droite dquation est une asymptote oblique (AO) la courbe

(1): branche parabolique de direction ;(2): est asymptote oblique (AO) (3): est AO;Position de la courbe par rapport y

NB on a un extremum si la drive 1er sannule & change de signe.Continuit & drivabilit Une fonction est lorsque la limite gauche est gale celle a droite Exemple est continue

Diffrents points lorsque f nest pas drivable:

Point de rebroussement (donne infinie de signe contraire)

Point dinflexion (donne infinie de mme signe)

Point anguleux

Point dintersection de la courbe avec les axes Avec laxe des abscisses: on pose y = 0 & on rsous lquation f(x) = 0.Avec laxe des ordonnes: on pose x = 0, on rsous lquation y = 0 Exemple On a deux points soient:EQUATIONS ET INEQUATIONS RACINES CARREES NB avec lintersection la solution est la partie que lon achur sur la droite gradue.EQUATION DIFFERENTIELLE Lquation caractristique associe est: Diffrentes solutions particulires

- solution particulire f dont la courbe admet le point I de coordonnes I (a; b) comme point dinflexion: -solution particulire pour que la courbe de reprsentative de g admet au point dabscisse une tangente horizontale: - solution particulire dont f admet au point A (a; b) une tangente parallle, horizontale un extremum laxe des abscisses Exemple 1 : (E): y +ay + by = 0 dterminer la de valeur de a & b pour que la solution particulire de cette quation soit: Exemple 2 (E): a pour quation dterminer la solution particulier telle que f Cf passe par le point et admet en ce point une tangente horizontale .Solution des exercices Dtermination des valeurs de a & bF est solution particulire de (E), ces deux racines sont: ;

(E): Apres calcul les expressions dy et f sont:

.U.L.M. Services: umlservices1@gmail.com +242064086712/069233730 48 ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES Exemple: L'quation x+1=0Cette quation n'a aucune solution dansOn dcide alors d'imaginer un nombre qui soit solution de cette quation. On note i ce nombre. Ainsi:

Puis, on dsigne:

1) Forme algbrique

Dfinition:Un nombre complexe est un lment de la forme:

Avec x et y rels, et i vrifiant i=-1

Vocabulaire:L'criture d'un nombre complexe z=x+iy est laforme algbriquede z.

Ainsi:x est appel partie relle de z; on la note Re(z)y est appel partie imaginaire de z, on la note Im(z)

Si x=0, on dit que z est imaginaire pur (zi) Si y=0, z est un reel (z)Dfinition-Thorme

Deux nombres complexes sont gaux si et seulement si ils ont mme partie relle et mme partie imaginaire.

Ceci revient dire qu'un nombre complexe possde une unique forme algbrique

2) Oprations dans C

Les rgles de calcul danssoient: simplement "tendues" ce nouvel ensemble.

On pose:

Somme:

Produit:On peut remarquer que:

(on a (x,y) diffrent de (0,0))

D'o:

Quotient(On peut alors appliquer les formules de 1/z vues ci-dessus)3) Conjugu

On appelle conjugu de z=x+iy le nombre:

Si z imaginaire pur:

Proprits Module et argument1) C et P

On considre le plan rapport un repre orthonorm (O;u;v)On note l'application:

est videment une bijection.Ainsi C est "identifi P et "Rciproquement"

Vocabulaire:M, image de z par a pour affixe z

Par exemple:Soit A(0,2) , on a (2i)=A donc 2i est l'affixe de A2) Coordonnes polaires et cartsiennes

Tout point M du plan est repr par un couple (r;) ou r=OM et une des mesures en radians de l'angle (u;OM)

Thorme

(M Diffrent de 0)Si (r;) est un couple de coordonnes polaires de M, alors les coordonnes cartsiennes sont:

Rciproquement, si (x;y) sont les coordonnes cartsiennes de M alors un couple de coordonnes polaire (r;) de M est tel que:

3) Dfinitionz un nombre complexe non nul, M point d'affixe z. (r;) un couple de coordonnes polaire de M.Nous noterons que: r est le module de z. On le note |z| est un argument de z, on le note arg(z)Par exemple:z=2-2iAlors:Proprit

Considrons z=x+iy

En particulier si y=0, |z|=|x|, on peut donc dire que le module est "l'extension" de la valeur absolue dans C.Si y=0, alors:

En particulier:

Thorme:

z un nombre complexe non nulDfinition

L'criture est l'criture trigonomtrique de z

VocabulaireDomaine associNous appellerons E domaine associ une fonction f continue sur [a;b] le domaine dlimit par:

Cf (la courbe reprsentative de f)L'axe des abscissesLes droites d'quation x=a et x=b

Unit d'aire

Le plan P muni d'un repre orthogonal (O;i;j) a pour unit d'aire u.a l'aire du rectangle bti a partir de O;I;J.

Les diffrents cadrans

Racines nimes Exemple Exemple 2: Calcul de z

Transformations Translation La transformation gomtrique F associe f est la translation de vecteur daffixe a.Homothtie Ou a est un nombre rel non nul diffrent de 1 b un nombre complexe donn. La transformation gomtrique F associe f estLhomothtie de rapport a et de centre le point daffixe ;On a alors lgalit caractristique RotationFonction f : z f (z) = o a est un nombre complexe (non rel) donn vrifiant1, b un complexe donn. La transformation gomtrique F associe f est la rotation de centre Exemple Simultude plane directe

I - INTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE

Dfinition:Soit f continue et positive sur [a;b]. L'intgrale de a b de f est l'aire du domaine associ f sur [a;b], exprime en u.a. On la note:

Cela se lit somme de a b de f(x)dx, l'intgrale est une somme infinie

La thorie d'abord t pose par Riemann, en prenant une somme d'aires simples (de rectangles) et en additionnant toutes ces aires on peut obtenir un rsultat d'autant plus proche de la ralit que la variation entre chaque base de btonnet sera petite:

II - Intgrale d'une fonction continue

Dfinition:

Soit f une fonction continue sur [a;b] (a0)Le nombre de termes compris dans cet intervalle est illimit, en revanche le nombre de termes qui ne sont pas compris dans cet intervalle est fini (on peut presque les compter sur le schma). On est parvenu "Bloquer" la suite dans l'intervalle ILorsque Unadmet une limite finie a, on dit qu'elle converge et on le note:

a=limUnb) Thorme

Si une suite converge sa limite est unique.(Dmonstration venir)

3) Suites ayant pour limite + ou - l'infinia) Dfinition

Une suite Unadmet pour l'imite + l'infini (Respectivement - l'infini) si tout intervalle du type [A;+infini [ (Respectivement ]-infini; A] contient tous les termes de la suite partir d'un certain rang.

b) Suites de rfrence

Les suites de termes gnraux:Un=nAvec>0 admettent pour limite +infini4) Suites divergentesa) Dfinition

Une suite Unest divergente lorsqu'elle n'admet pas de limite finie. C'est dire qu'une suite diverge lorsque que:

Unn'admet pas de limiteExemple de suite n'admettant pas de limites:

Un = (-1)n

Car (-1)ndpend de la parit de n, cette suite varie donc perptuellement entre -1 et 1!

5) Oprations sur les limites

Thorme (admis)(Un) et (Vn) sont deux suites telles que: Ou a et b sont 2 nombres, ou +ou -a \ breel+-

reela+b+-

+++?

--?-

a \ bb*0+-

a*a*b0+/-+/-

000??

++/-?+-

-+/-?-+

6) Thorme des gendarmesa) Premire partie

Soient (Un), (Vn) et (Wn) trois suites.

b) Deuxime partie

c) Troisime partie

7) Comportement asymptotique de (qn)

Thorme:1. q>1 => lim qn= +2. q=1 => lim qn= 13. -1 qndiverge et n'a pas de limite.8) Comportement Asymptotique de suites monotones

a) Suite non borne

Thorme:Si (Un) est croissante et non majore, lim Un= +SI (Un) est dcroissante et non minore, lim Un= -

Si (Un) est une suite croissante et non majore, pour tout rel M il existe un rang n0 partir duquel tous les termes de la suite sont suprieurs MSi (Un) est une suite dcroissante et non minore, pour tout rel m il existe un rang n0 partir duquel tous les termes de la suite sont infrieurs m

b) Suite borne

Thorme de la convergence monotone:Si une suite est croissante et majore, elle converge.Si une suite est dcroissante et minore, elle converge.Sens de variation La suite est croissante La suite est dcroissante Suite arithmtiques ;Expression du terme gnral Somme de termes Termes en progressions arithmtiques x, y & z sont en progressions arithmtiques

Suies gomtriques Expression du terme gnral Somme de termes ; Termes en progressions gomtriques x, y, & z sont en progressions gomtriques

PROBABILITE

Loi de probabilitLorsqu'une exprience alatoire comporte un nombre fini d'issues ou dfini sur l'ensemble de ces issues, appel univers est not:

Une loi de probabilit associe chaque xiun nombre pitel que:

Loi quirpartie

Soit p = (p1, p2,...,pn) une loi de probabilit sur

On dit que P est quirpartie lorsque : Par consquent:Paramtres associs

On appelle esprance de la loi P le nombre:

On appelle variance de la loi P le nombre V On appelle cart type:

2) Dfinitions

Evnement: on appelle vnement toute partie A de

Evnement lmentaire: un vnement rduit une seul issue, par exemple A={xi} est un vnement lmentaire

Evnement certain:L'univers constitue l'vnement certain

Evnement impossible:L'ensemble vide est l'vnement impossible

Evnement contraire:L'vnement contraire A est:

Evnements incompatibles: deux vnements A et B sont incompatibles si:

Partition de l'univers:Les vnements A1,A2,...,Anforment une partition de l'univers s'ils sont deux deux incompatibles et que:

Probabilit d'un vnementPar dfinition la probabilit d'un vnement A est la somme de toutes les probabilits des issues de A. Par convention la probabilit de l'ensemble vide est de 0.Pour tout vnement A et tout vnement B:

3) Variable alatoire

Dfinition: Une variable alatoire X est une application dfinie sur un ensemble muni d'une loi de probabilit P a valeur dansX Prend la valeur xiavec la probabilit pi

L'esprance de X est:

La variance de X est:

L'cart type est:

Proprit

Soit X et Y deux variables alatoires:

E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(aX)=aE(X)

CorollaireOn peut dduire les proprits suivantes: E(X+b) = E(X) +b V(X) = E(X-E(X) = E(X) - E(X) V(aX)=aV(X) V(X+b)=V(X) (ax)=|a|(x) (X+b)=(X)II - Probabilits conditionnelles

Dfinition: Soit A et B deux vnements, B de probabilit non nulle. La probabilit de A sachant que B est ralis -ou "de A sachant B"- est le nombre:

On peut remarquer que:

Donc Thorme: Formule de probabilit totaleSoit A1, A2,..., Andes vnements de probabilit formant une partition de l'univers Alors, pour tout vnement B:

I - Barycentre1) Somme des poids nulle

Un systme de points pondrs, si:

Alors il existe un vecteur u tel que:

2) Somme des poids non nulle

Si:alors il existe un point G appel barycentre du systme tel que:

3) PreuvesSi la somme des poids est nulle:

Si la somme des poids est diffrente de zro

II - Caractristique barycentrique

1) Proprits

A, B et C trois points non aligns. (AB) est l'ensemble des barycentres des points A et B. [AB] est l'ensemble des barycentres des points A et B de coefficients positifs (ABC) est l'ensemble des barycentre des points A,B et C L'intrieur du triangle ABC est l'ensemble des barycentres des points A,B et C de coefficient positifsPreuve:M est donc barycentre de:

2) Relation fondamentale du barycentre

G barycentre d'un systme de points pondrs:

En considrant M=O, origine du repre, on obtient les coordonnes de G en fonctions de celle des points pondrs.

3) Associativit / Barycentres partiels

Le barycentre G d'un systme de points pondrs peut tre obtenu de la faon suivante: on regroupe certains points dont la somme des coefficients est non nulle, on les remplace par le barycentre (partiel) de ces points affect de la somme des coefficients.

On garde les autres points, on obtient alors un nouveau systme dont le barycentre sera le mme que le premier.

III - Produit scalaire

Dfinition: Etant donn deux vecteurs u et v, on appelle produit scalaire le nombre rel:

Proprits

Pour tous vecteurs u, v et w de l'espace et tous rels k, on a :

STATISTIQUES Cette rsume sera prsent sous forme dexercice, 4 exercices seront rsolues afin dexpliqu les diffrentes formules que lon doit utiliser possibles, concernant les mthodes une sera mise en pratique.

Exercice 1

Soit le tableau statistique suivant: 012

-1131

1320

1) Dterminer la srie marginale de X & Y;2) Reprsenter graphiquement le nuage statistique;3) Dterminer linertie du nuage par rapport au point A (2;-1) puis aupoint G ();4) Dterminer les quations des droites de rgressions de y en x & de x en y; puis en dduire le coefficient de corrlation r.

Exercice 2

X-122-123-123-1

Y0-1101-111-10

1) Reprsenter graphiquement le nuage statistique;2) Dterminer par la mthode de moindre carre les droites de rgressions de y en x et de x en y;3) Dterminer linertie du nuage.

Exercice 3

On considre le tableau statistique ci-dessous

123

-113a

2b03

1) Dterminer les rels a & b pour que le point, soit un point moyen 2) Reprsenter le nuage de la srie statistique 3) Dterminer les droites de rgressions de y en x puis de x en y

Exercice 4

123

1201

343a

1) Dterminer le rel a pour que le point soit un point moyen;2) Reprsenter le nuage de la srie statistique 3) Dterminer les droites de rgressions de cette srie;

Exercice 5

130

321

Daprs le tableau statistique ci-dessus 1) Donner le tableau statistique doubler entre de cette srie;2) Reprsenter graphiquement le nuage statistique de cette srie;3) Dterminer les droites de rgressions 4) Dterminer linertie du nuage par rapport A(2;1) puis G.Rsolutions pratique des exercices

Pour cette phase au dbut de chaque exercice sera dterminer la srie marginale de x ainsi que de y afin de faciliter la rsolution des autres questions ou des questions prcdentes de lexercice vous aussi vous pouvez appliquer la mme procdure lors de votre rsolutions car elle est trs prcise.

Exercice 1

1) sri marginale de x et de y

-15-5-5

1555

N=10

0400

1555

2124

N=10

2) Reprsentation graphique du nuage

0yx

3) Dtermination de linertie du nuage

Le nuage comprend 6 points dont & ; ; ;

;

4) Droites de rgressions ;

5) Coefficient de corrlation

Exercice 21) Reprsentation du nuageTableau statistique double entre -123

0300

-1012

1130

0yxM1M2M3M4M5M6M7M8M9

2) Dtermination par la mthode de moindre carr les droites de rgressions

Srie marginale de x & y

-14-44

24816

3

2618

N=10

0300

-13-33

1444

N=10

3) Linertie du nuage

Exercice 3

1) Dtermination des rels a & b Srie marginale de x et y

-14+a-4-a

23+b6+2b

N=7+a+b

11+b1+b

23618

3

3+a9+3a

N=7+a+b

2) Reprsentation du nuage

0yxM1M2M3M4M5M6

3) Droites de rgressions

Exercice 41) Dtermination du rel a

133

37+a21+3a

N=10+a

161+b

26618

3

3+3a9+3a

N=10+a

2) Reprsentation des points du nuage

0yxM1M2M3M4M5M6

3) Droites de rgressions

Exercice 5

Tableau statistique double entre022

0130

2321

Ce qui tait difficile dans cet exercice cest le tableau statistique double entre comme celui-ci est dterminer alors vous pouvez faire la suite en suivant la mme procdure que les exercices rsolus prcdamment.

Relation fondamentale:

Relation entre fonction trigonomtrique ; ; Arcs associs a) ; b) ; pour le tour complet du cercle;c) ; d) ; pour les angles opposs;e) ; f) ; pour un demi tour de cercle;g) ; h) ; pour les angles supplmentaires ;i) ; j) ; pour les angles complmentaires;k) ; l) ; pour un quart de tour;m); n)

Formules dadditions & de diffrences

a) ; b) c) ; e) f) ;

Formules de SIMPSON Transformation de produit en somme;

,

Transformation de Sommes en produit ))); )

Formules de rductions du carr

; ; Autres formules ) ; ; );Formule dangle moiti

; ;

Formule impliquant la tangente de langle moiti ; ; ; Formules utilisant la tangent de larc moiti

; ;

Formules de langle double

; ;

Formules de linarisations ;

Formules de factorisation ; Equations trigonomtriques ; Thormes du triangle rectangle et autres

; Et

Le thorme de Pythagore gnralisDans un premier temps il convient de dfinir les galits suivantes Nous arrivons donc aux rsultats suivants

Thormes dAl Kashi ; ; ; Proprits lies au cercle trigonomtriqueSymtries, paritParit - Rflexion d'axe (= 0)Rflexion d'axe (= /4)Rflexion d'axe (=/2)

Priodicit, dcalagesDcalage de/2Dcalage de(Priode de tan et cot)Dcalage de2 (Priode de sin et cos)

quations, trigonomtriqueCertaines des quations ci-dessus sont renforces par les quivalences suivantes:

Nombres complexes et trigonomtrie c'est--dire en fonction de langle

Calcul du moduleCela ncessite de retenir et savoir dmontrer les formules trigonomtriques suivantes: Calcul de largument 1er cas: ; 2e cas il faut dabord rendre les relations homognes en utilisant les proprits des angles complmentaires, on obtient: 3e cas ; on doit dabord faire entrer le moins comme sinus est impair & cosinus est pair, on obtient: ;4e cas

PARTIE EXERCICES

Exercice 1Soit un nombre rel vrifiant ; on considre les deux nombres complexes suivants: ( Dsigne le nombre complexe conjugu de a)1- Dterminer en fonction de, le module & largument de chacun des nombres a &b.2- on appelle la transformation du plan complexe qui au point M daffixe Z, associe le point M daffixe Dans chacun des cas Indiquer la nature de la transformation et prciser les lments qui la caractrisent.

Exercice 21-Rsoudre dans lensemble des nombres complexes lquation suivante: . Pour chacune des solutions, on donnera le module et largument.2- situer dans le plan complexe les images des solutions et donner sans justification, la figure forme par ces images.

Exercice 3On pose, pour tout nombre entier naturel n non nul: Ou ln dsigne la fonction logarithme nprien, et .1 calculer et 2 en utilisant une intgration par parties, dmontez que pour tout nombre entier naturel non nul: 3 a dmontrez que pour tout nombre entier n non nul, est positive. b - dduisez de lgalit (1) que, pour tout nombre entier naturel n non nul

Exercice 4 1 a Intgrer lquation diffrentielle: b- dterminez la solution particulire f de lquation (1) dont la courbe (C) admet le point I(0; 1) comme point dinflexion.2 a Dterminez les rels a et b pour que la fonction g: soit solution de lquation diffrentielle (2): .b- dterminez le rel k pour que la courbe reprsentative de g admette au point dabscisse une tangente horizontale. Exercice 5On considre lquation diffrentielle (E): , on cherche a dterminer lensemble des fonctions numriques g deux fois drivable sur et telle que pour tout rel x 1 Rsoudre lquation diffrentielle (E): .2 - Dterminer deux nombres rels m & p tels que la fonction g u dfinie par u(x) = mx+p soit une solution de lquation diffrentielle (E)3 Dmontez quune fonction g est solution de (E) si et seulement si la fonction (g u) est solution de (E)4 Rsoudre lquation diffrentielle (E)5 Dterminer la solution particulire f dont la courbe admet au point A (-1; 0) une tangente parallle.

Exercice 6On considre les intgrales suivantes:

1 calculez 2 Exprimez cos4x en fonction de 3 Enduire la valeur de I +J 3K puis celle de I, J et K.

Exercice 7On considre les intgrales suivantes:

Calculer successivement: .

Exercice 8On considre les intgrales I et J ci-dessous:

Calculer:

Exercice 9 Soit f la fonction dfinie sur 1 Donnez une primitive de f sur son ensemble de dfinition.2 laide dune intgration par partie, calculer

Exercice 10Soit la fonction f dfinie sur 1 Dterminer la driv de f2 En utilisant une intgration par partie calculer 3 Retrouver la valeur de I en utilisant lidentit de Janet: .

Exercice 11Soit lquation (E):1 Dmontrer que (E) admet une solution relle 2 Rsoudre dans lquation (E) 3 soient les points Dmontrer quil existe une simultude plane directe.

Exercice 12On considre la suite ; entier naturel, telle que: Soit la suite 1 Dmontrer que ( est une suite gomtrique dont on prcisera le premier terme et la raison q2 Exprimer le terme en fonction de n3 Calculer la somme 4 Etudier la convergente de 5 Exprimer le terme gnral en fonction de n, puis calculer la limite de quant n tant vers linfini.Exercice 13Soit la suite dfinie par La suite est dfinie par 1 Exprimer en fonction de 2 Montrer que est une suite gomtrique dont on dterminera le premier terme et la raisonpuis exprimer en fonction de n.3 calculer en fonction de n4 Calculer S en fonction de 5 Exprimez en fonction n, puis en dduire la limite

Exercice 14Le plan P est rapport un repre orthonorm direct On dsigne par A le point daffixe z=1 et par P* lensemble des points de P, distincts de A.Soit f lapplication de P* dans P qui, a tout point M daffixe z associe le point M=f(M) daffixe z tel que 1 Calculer x et y en fonction de x et y.2 Dterminer lensemble (D) des points M tels que z soit un rel.3 Dterminer lensemble des point M tels que z soit imaginaire pur.4 Reprsenter (D) et (C) dans le repre.

Exercice 15On note le nombre complexe de module 1 et dargument 1 On considre les nombres complexes a- Ecrire z sous forme algbrique b-Ecrire sous forme trigonomtrique c-En dduire les valeurs exactes de 2 soit f la fonction dfinie sur ;a-Dmontrer que lon peu crire, pour tout x, ;b-Rsoudre lquation.

Exercice 16On considre le nombre complexe 1 Ecrire z sous forme trigonomtrique, puis calculer .2 Dterminer les nombres complexes z tels que. Les crire sous Forme et a et b tant deux nombres rels.3 On considre dans le plan complexe rapport un repre orthonorm, les points. Dterminer les nombres rels de faon que le point O soit barycentre des points A, B, C affects des coefficients

Exercice 17 On considre la suite .1 Montrer que cette suite est gomtrique dont on dterminera la raison et le premier terme.2 soit la somme des n premier termes de cette suite a-Montrer que lon a: c- En dduire la valeur exacte de c Quelle est la limite de 3 soit la suite) dfinie par.a-Calculer b- Montrer que la suite) est une suite arithmtique dont on dterminera la raison.c Calculer la somme des 10 premiers termes de cette suite, sous forme dun nombre dcimal, on donne:

Exercice 18 Soit U et V deux applications de qui tout entier naturel n associent respectivement les complexes dfinies par: 1 Calculer en dduire la nature de la suite E Exprimer

Exercice 19On considre la suite .1 On pose pour tout entier naturel ndsigne la fonction logarithme nprien, e la base de logarithme neperien.demontrer que est une suite gomtrique dont on prcisera la raison et le premier terme. en dduire lexpression de ) en fonction de n.2 Calculer le produit .Etudier sa limite ventuelle lorsque n tend vers linfini.

Exercice 20 est une base du plan vectoriel E, f dsigne lendomorphine de E tel que 1 Quelle est la matrice de f dans la base 2 Dterminer lexpression analytique de f3 Dterminer le noyau de f. En donner une base f est elle bijective?4 Dterminer limage de f . en donner une base5 Dterminer lensemble des vecteurs invariants par f. En dcuire une base 6 Soit a-Montrer que est une base de Eb-Quelle est la matrice de f dans la base.

Exercice 21On considre la fonction f dfinie par:1 - Dterminer lensemble de dfinition de f2 Etudier la continuit et la drivabilit de f aux points -1 et 1, donner une interprtation graphique des rsultats obtenus.03 Etudier les variations de f.4 Montrer que lquation f(x) =0 admet une solution unique, puis dterminer par le calcul.5 Ecrire une quation de la tangente (T) au point 6 Etudier les branches infinies , puis tracer soigneusement la courbe () de la fonction f dans un repre orthonorm7 Soit la fonction h dfinie par a-Vrifier que h est une primitive de b- En dduire une primitive de f sur 8 Soit g la restriction de f sur a-Montrer que g est une bijection de f sur vers un ensemble dterminer.b- Construire la courbe de (), fonction rciproque de g dans le mme repre que (C)c-Sans expliciter (

Exercice 22A - Soit la fonction numrique qui a la variable relle x, fait correspondre le nombre rel ou m dsigne un paramtre rel diffrent de zro.Soit la courbe reprsentative de dans un repre orthonorm.1 Etudier la fonction en prcisant son ensemble de dfinition , son sens de variation, ses asymptotes suivant les valeurs de m.2 Dmontrez que le point de coordonnes est un centre de symtrie pour la courbe .3 - Tracer dans un mme repre orthonorm les courbes

B- Soit la fonction numrique qui la variable relle x, fait correspondre le nombre rel, ou m est un paramtre rel Et ) sa courbe reprsentative, dans le repre orthonorm.1 Etudier en prcisant son ensemble de dfinition et son sens de variation suivant les valeurs de m.2Demontrer que . En dduire que la droite dquation est asymptote a la courbe 3 Tracer dans un mme repre orthonorm les courbes 4 Dmontrer que la restriction de admet une fonction rciproque que lon dterminera explicitement.

C- Soit la courbe) reprsentative de la fonction on appelle laire du domaine plan limit par la courbe la droite dquation 1 Dterminer 2 Dterminer 3 Quelle est la limite de ?

Partie solution Exercice 11 Module et argument de a = == Module et argument de ba et b sont conjugues; donc ils ont le mme module mais des arguments opposs do 2 - Nature et lment Pour Do Nature: Nature et lment de Do Z=-ZNature a=-1: Homothtie Rapport: Centre: puis que b-=0

Exercice 2 1 Rsolution de cette quation Module et argument de

2 Plaons les images dans le plan complexe

OLe quadrilatre obtenu est un carr.

Exercice 3

1 Calcule de

2 Calcule de par une intgration par partie

3 Dmonstration de la relation:

4 a - Dmontrons que est positif car cest le produit de deux positifs. Do daprs le thorme de positivit de lintgrale.b-Dduisons de lgalit (1) que

c-Calculons la limite de . Do daprs le thorme de comparaison de limites. .

Exercice 4 1 a- Intgration de lquation diffrentielle (1)

la solution gnrale est donc du type

b- dtermination de la solution particulire dont la courbe admet (0; 1)

2 a - Dtermination des rels a et b pour que g soit solution de lquation (2)

Lquation caractristique de g est b- Dtermination de k .

Exercice 51 Rsolution de lquation (E) 2 Dtermination de m & p 3- Dmonstration Soustraction membre membre: 4 Rsolution de lquation (E) 5 Dtermination de la solution particulire

Exercice 61 Calcule de 2 Expression de

3- Dduction de la valeur de Dduction des valeurs de I, J et K

Exercice 71 Calcul de

Exercice 8

1 Calcul de 2 Dduction de I et J

Exercice 91 Primitive de f sur son ensemble de dfinition

2- Calcule de I

Exercice 10 1 Drive de f 2 Calcul de I

3 Daprs lidentit de Janet

Exercice 111 Solution relle

2 Rsolution 1

11

10

3 Dmonstration quil existe une S.P.D Exercice 12 1 Dmonstration de S.G

2 Expression de 3 Calcul de la somme 4 Convergente de

5 Expression de Limite de linfini

Exercice 13 1 Expression de

2 Dmonstration de suite gomtrique 3 Somme de S 4 Calcul de en fonction de 5 Expression de

Exercice 14 1 Calcul de x et y en fonction de x et y

2 Dtermination de lensemble D des points M tel que Z soit un rel .3 Dtermination de lensemble C des point M tels que Z soit imaginaire pur .4 Reprsentation de (D) et (C)

Exercice 151 a - Ecriture de Z sous forme algbrique b Ecriture de c Dduction des valeurs exactes de

2 a Dmonstration b- Rsolution de lquation Exercice 161 Ecriture de S.F.T et Calcul de 2 Racines carres de Z 3 Dtermination de 2e Mthode Exercice 171 Dmonstration de suite gomtrique 2 a- Dmonstration de b- Valeur de c-Limite de

3 Calcul de

b- Dmonstration que est une suite arithmtique C Calcul de Exercice 181 Calcul de et Relation entre Nature de 2 Expression de Calcul de

Exercice 19 1 Dmonstration de Expression de 2 Calcul du produit

Exercice 20 1 Matrice de 2 Expression analytique de f 3 Noyau et Base de f

4 Image et base de f 5 Ensemble des vecteurs invariants par f 6 a -Dmonstration

b-Matrice de f dans la nouvelle base

Exercice 21 1 Ensemble de dfinition de f 2 Continuit et Drivabilit de f en -1 et 1Expression de f sans valeurs absolues cela ncessite dtudier le signe de

.

. 3 Etudes des variations de f

Ensemble de dfinition: Limites aux bornes de Ef

Drive et signe pour .

Drive et signe de pour

Drive et signe pour

Tableau des variations de f

-1

4 Dmonstration que Existence de Unicit de Dtermination de par le calcul 5 Equation de la tangente en 6 Etude de la branche

7 a Vrification que h est une primitive de 8 a- Dmonstration de la bijection de f sur b- Construction de la courbe de

c- Calcul de .

Exercice 22A - 1 Etude de Ensemble de dfinition Limites aux bornes de

Drive et signe

Tableau de variation

Asymptotes de la courbe . .

Etude de Ensemble de dfinition Limites aux bornes de

Drive et signe

Tableau de variation

2 Dmonstration que est un centre de symtrie

3 Traage des courbes Pour la courbe ;

Pour

B - 1 Etude de

Ensemble de dfinition Limites aux bornes

Drive et signe

Etude de Ensemble de dfinition Limites aux bornes

Drive et signe

Dmonstration que Deduction

3 Traage des courbes

Tableau de variation

Tableau de variation

4 Dmonstration que la restriction de admet une restriction rciproque

. Explicitation de

C 1 Dtermination de laire

Dtermination de Calcul de la limite de

Courbes

xy

Exercice 1Une cole prive compte 8 inscrits en .1 On demande trois inscrits choisis au hasard de remplir un questionnaire. Calculer les probabilits des vnements suivants:a-A:les lves choisis sont tous en .b-B: les lves choisis sont tous dune mme srie.2- Parmi les inscrits en des inscrits en sont des filles.a-On choisit un inscrit au hasard, quelle est la probabilit que linscrit soit une fille de la ? Quelle est la probabilit que linscrit soit une fille?b- Si on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilit quelle soit en ?Exercice 2Lquation 1 Dterminer Solution particulire de (E).2 Quelle est la solution particulire de (E) qui admet au point une tangente parallle a laxe des abscisses.

Exercice 3On considre la suite 1 Dterminer la nature de la suite et Montrer que 2 Pour quelles valeurs de n, .

Exercice 4: (4 points)Pour tout entier n, on considre les intgrales: et 1-Calculer ;2-Soit n un entier naturel non nul:a-En intgrant par parties, puis , vrifient le systme:

b-En dduire, pour n entier naturel, les expressions de en fonction de n.c-Dterminer:

Exercice 5:( 4 points)Soit lquation diffrentielle (E): ou y est une fonction de la variable x et sa derivee seconde.1) Rsoudre lquation diffrentielle (E) 2) Trouver la fonction solution particulire de (E) vrifiant les conditions suivantes: 3) Vrifier que, pour tout rel x, ;4) Dterminer la valeur moyenne de f sur lintervalle.Problme:(12 points)Soit la fonction numrique dfinie par:

Soit (C) la reprsentation graphique de f dans le plan P muni dun repre orthonorm 1) a) montrer que ;b) Rsoudre dans lquation f(x) = 02) a) Etudier la continuit de f en b) Etudier la drivabilit de f en crire les quations des tangentes en 3) Etudier les variations de f.4) Montrer que la droite dquation est asymptote la courbe Tracer et les tangentes en 1

BAC 2011EXERCICE 1: (4 points)

Lespace vectoriel tant rapport une base , on considre lapplication f de dans qui, tout vecteur (x, y, z) associ le vecteur = f( dont les composants (x ,y ,z) dans la base sont dfinies par (a R)

1) Ecrire la matrice de lapplication f dans la base 2) Pour quelle valeur de a f est-elle bijective? 3) Dans la suite, on pose a=1 a) Dterminer lensemble E de vecteurs invariant par f,b) Dterminer le noyau kerf de f et limage imf de f. en dduire une base pour chacun des sous ensembles. 4) Soit un vecteur de de composantes dans base calculer

EXERCISE 2: (4points)

On considre dans lensemble C des nombres complexes lquation (E):

1) Rsoudre dans C; lquation (E) on appellera la solution imaginaire pure et lautre solution,2) Dans le plan (P) rapport au repre, on considre les quatre points A, B, C, D daffixes respectives 3; a) Placer les points A, B, C, D dans le plan.b) Calculer les affixes des vecteurs ; ; c) Dduire la nature du quadrilatre ABCD.

PROBLEME (12points)

PARTIE A

1) Montrer quil existe deux nombres rels a et b tels que:

t R-{-1}; = a + ,

2) Calculer: dt

PARTIE B

Soit f, la fonction numrique de variable relle x dfinie par: f(x) = -x

(Ou ln dsigne le logarithme nprien)1) Donner lensemble de dfinition de f 2) Dterminer les variations de f 3) Dresser le tableau de variation de f 4) Montrer que lquation f(x) =0 admet une solution unique dans lintervalle] 2; 3[ 5) Calculer f(x) et f(x) pour les valeurs de x suivantes: ; 0 et 5 6) Etudier les branches infinies (C)7) Tracer la courbe reprsentative (C) de f dans un plan (P) muni dun repre orthonorm (unit graphique: 1cm), ainsi que les tangentes , cette courbe aux points dabscisses 2 et 0

PARTIE C

Soit h, la fonction dfinie par h(x)= f(x) pour x 1) Dresser le tableau de variation de h2) Tracer (C) la courbe de la fonction h dans le mme repre que (C).

CadranI (II (III (IV (

Degrs 030456090120135150180210225240270300315330360

Radian

0

Sinus

0100

Cos

1001

Tan

01

1

Cota

11

FonctionsDrives

FonctionsPrimitives

+C