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7/31/2019 04 Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
http://slidepdf.com/reader/full/04-quadripoles-fonctions-de-transfert-filtres 1/12
I Quadripôle électrocinétiqueA) Définition
Elément de circuit à quatre bornes :
Quadripôlei s
i s
ie
ie
v s
ve
Bornesd’entrée
Bornes desortie
Charge(récepteur)
générateur
Quadripôle passif : pas de source auxiliaire de puissance électrique.
Quadripôle actif : présence d’une source auxiliaire de puissance.
Le fonctionnement électrique du quadripôle est caractérisé par :
se vv , : tension d’entrée, de sortie du quadripôle
se ii , : courant d’entrée, de sortie du quadripôle
Un quadripôle est dit linéaire lorsqu’il est constitué uniquement de dipôles etéléments de circuit linéaires.
B) Exemples de quadripôles
Transformateur :
(passif)
R
ie
ve
v s
i s
e(t )C
R’
(passif)
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
Electrocinétique Page 1 sur 12
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de
transfert, filtres
7/31/2019 04 Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
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Montage à amplificateur opérationnel (A.O)
-
+ve v s
ie i s
R
(actif)
II Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire en )(RSF ω .
t j
s s
t j
s s
t j
ee
t j
ee
e I ieV v
e I ieV v
..
..
ω ω
ω ω
==
==
A) Fonction de transfert (Transmittance)
Définition :
ttance)(Transadmiou
dance)(Transimpéou
courant)ention(amplificaou
)en tensiontion(amplifica)transfertde(fonction)(
e
s
e
s
e
s
e
s
e
s
e
s
V
I
I
V
I
I
i
i
V
V
v
v j H
=
==ω
sortiedefonction
entréed'fonction
Attention : H dépend du quadripôle et du reste du circuit.)())(arg( )()()( ω ϕ ω
ω ω ω j j H j eGe j H j H ==
)(ω G : gain du quadripôle.)(ω ϕ : avance de phase de la sortie sur l’entrée.
On définit le gain en décibel : ))((log20)( 10dB ω ω GG =
III Diagramme de BodeA) Définition
Consiste à tracer les graphes dBG et ϕ en fonction de )/(log 010 ω ω , où 0ω est soit
une pulsation caractéristique du circuit, soit1
0 rad.s1−
=ω . On peut aussi tracer enfonction de ω sur un papier millimétré en échelle logarithmique. (unité : décade).
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
Electrocinétique Page 2 sur 12
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B) Exemple : circuit R,C et C , R
Circuit R,C :
R
ve
v s
C
Source : ).cos( ϕ ω += t V v ee
Charge : circuit ouvert ( 0= si )
RC
C
e
s
Z Z
Z
V
V j H
+==)( ω (diviseur de tension)
ω ω
jRC j H
+=
1
1)(
. On pose RC
1
0 =ω
Donc
0
1
1)(
ω
ω ω
j
j H
+=
Ainsi,
−=
+
=0
2
0
arctan)(;
1
1)(
ω
ω ω ϕ
ω
ω
ω G
Diagramme de Bode :En basse fréquence ( 0ω ω << ) :
0limdonc1)(lim dB
log0
0
==−∞
GG
ω
ω ω
ω . On a donc une asymptote horizontale en ∞− .
0)(limdonc0)(lim
0
log0
==−∞
ω ϕ ω ϕ
ω
ω ω
. On a aussi une asymptote horizontale.
En haute fréquence ( 0ω ω >> ) :
0
~)(
ω
ω ω
∞+
G
Donc 0log)log(lim 0 =
−
+∞ ω
ω ω
ω
G
Soit 0)log20()(lim 0dB =
−−
+∞
X Y
Gω
ω ω
ω
On a une asymptote d’équation X Y 20−= (soitω
ω ω
0dB log20)( −=G ) en ∞+ .
2)(lim
π ω ϕ
ω −=+∞. On a donc une asymptote horizontale en ∞+
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
Electrocinétique Page 3 sur 12
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GdB
- 2 0 d B / d é c a d e
ω
ω 010log
01 2 3-1-2-3
-20
-40
asymptotique
réel
0001,0 ω
001,0 ω
01,0 ω
0ω 0
10ω 0100ω 01000ω
dB3)(2
1)( 0dB0 −=⇒= ω ω GG
ω
ω 0
10log0
1 2 3-1-2-3
asymptotiqueréel
2
π −
)(ω ϕ
41arctan)( 0
π ω ϕ −=−=
Circuit C , R :
Rve
v s
C
Source : ).cos( ϕ ω += t V v ee
Charge : ∞ R .
0
0
111
)(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
j
jRC
jRC
jC R
R
Z Z
Z j H
C R
R
+=
+=
+=
+= , avec
RC
10 =ω
−=
+
=0
2
0
0 arctan2
)(;
1
)(ω
ω π ω ϕ
ω
ω
ω
ω
ω G
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
Electrocinétique Page 4 sur 12
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En basse fréquence ( 0ω ω << ) :
00~)(ω
ω ω G
Donc 0log20)(lim 0dB
0
=
−ω
ω ω
ω
G
On a une asymptote d’équationω
ω ω
0dB log20)( =G en ∞− .
2)(lim
0
π ω ϕ
ω
=
En haute fréquence ( 0ω ω >> ) :
1~/
/~)(
0
0
∞+∞+ ω ω
ω ω ω G . Donc 0)(lim;1)(lim dB ==
+∞→+∞→ω ω
ω ω
GG
0)(lim =+∞ ω ϕ ω
GdB
ω
ω 010log
01 2 3-1-2-3
-20
-40
asymptotiqueréel
2 0 d B
/ d é c a d
e
Pour )(ω ϕ , c’est le même que le précédent décalé de 2/π vers le haut :
ω
ω 010log
01 2 3-1-2-3
asymptotique
réel
2
π
)(ω ϕ
C) Diagramme de Bode asymptotique
Définition du diagramme de Bode asymptotique : c’est la réunion des asymptotes
haute fréquence et basse fréquence. (Le diagramme de Bode asymptotique est très proche
du réel.) Remarque : on peut avoir plusieurs domaines de fréquences (haute fréquence, basse fréquence et intermédiaire).
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
Electrocinétique Page 5 sur 12
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IV Filtres du 1er ordreA) Décomposition en série de Fourier
Soit F de période T (pulsation
T
π ω
2= ). Alors, d’après le théorème de Fourier :
∑∑∞
=
∞
=∈∈ +=∈∀∃∃
00
* )..sin()..cos()(,,)(,)(n
n
n
nnnnn t nbt nat F t ba ω ω RNN
On a :
∫
∫
=
=
=
t
n
t
n
t
dt t nt F T
b
dt t nt F T
a
t F a
0
0
0
')'..sin()'(2
')'..cos()'(2
)(
ω
ω
Notation compacte :
∑∞
=
+=0
)..cos()(n
nn t nC t F ϕ ω ( 000 cosϕ C a = )
Terme 0 : valeur moyenne
Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier.
Exemple : le son d’un instrument de musique
noteladetimbre""ledonnents,harmonique
1
noteladehauteur lfondamenta
11 )..cos().cos()( ∑
∞
=
=
+++= nnn t nC t C t F ϕ ω ϕ ω
Si F n’est pas périodique, on a toujours une décomposition, appelée « transformée
de Fourier » (mais éventuellement avec une intégrale au lieu de la somme)
Exemple : décomposition spectrale de la lumière :
)(detiquesmonochromascomposante
0
pointunenlumineuseonde
)..cos()(
t F
n
nn t nC t F ∑∞
=
+= ϕ ω
B) Théorème de superposition
Un circuit linéaire correspond à la donnée d’équations (différentielles) linéaires.
R
e(t )
i(t )
u L
u R
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
Electrocinétique Page 6 sur 12
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dt
di Lt Riuut e L R +=+= )()(
)()(
)()(
22
11
t it e
t it e
→→
)()()()()()( 2121 t it it idt di Lt Rit et e +=⇔+=+
Théorème de superposition : pour calculer la réponse à )()()( 21 t et et e += , il suffit
de sommer les réponses à chacune des excitations prises individuellement (valable non
seulement pour des sommes, mais aussi pour des combinaisons linéaires).
Conséquence : pour )(t e , excitation périodique ou non, la série/transformée de
Fourier donne ∑∞
=
+=0
)..cos()(n
nn t n E t e ϕ ω
On trouve alors la réponse )(t in , pour chaque n, à )..cos( nn t n E ϕ ω + . Dans ce cas,
L jn R
E I
n
nω +
= , soit ))arg(..cos()( nnn I t n I t i += ω
Donc ∑∞
=
+=0
))arg(..cos()(n
nnn I t n I t i ω
C) Définition et classification d’un filtre
Un filtre est un quadripôle linéaire.Bande passante du filtre :
{ }dB3)(,2
)(, max
dBdBmax −≥=
≥= GGG
G BP ω ω ω ω
Un filtre est dit :
Passe-bas si la bande passante est de la forme [ ]1;0 ω .
Passe-haut si la bande passante est de la forme [ [+∞;1ω .
Passe-bande si la bande passante est de la forme [ ]21;ω ω
Coupe-bande si la bande passante est de la forme [ ] [ [+∞∪ ;;0 21 ω ω
Pour un quadripôle linéaire,)(
)()(
ω
ω ω
jQ
j P j H = , où P et Q sont des polynômes de
degré n≤ ; n désigne alors l’ordre du filtre.
Exemple : passe-bas
∑∑∞
=
∞
=
+=+=00
)'..cos(')(;)..cos()(n
nn s
n
nne t nC t vt nC t v ϕ ω ϕ ω
n
n
C
C nG
')( =ω
Pour 1ω ω << , C ’n et C n sont comparables (les basses fréquences sont transmises)
Pour 1ω ω >> , nn C C <<' (les hautes fréquences sont atténuées)
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
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D) Filtres passe-haut : R, L et C , R 1) Fonction de transfert
Rve v s
C
Charge : sortie ouverte.
0
0
/1
/
1)(
ω ω
ω ω
ω
ω ω
j
j
jRC
jRC j H
+=
+= , avec
RC
10 =ω .
vev s
R
Charge : sortie ouverte.
0
0
/1
/
/1
/)(
ω ω
ω ω
ω
ω ω
j
j
R L j
R L j j H
+=
+= , avec
L
R=0ω
On a donc un filtre du premier ordre.
GdB
0
-3dB
Bande passante
2) Application
Touche AC de l’oscilloscope :
E
La touche AC est un filtre passe-haut
E t vt nC t v
v
t nC E t v
e
n
nn s
e
n
nne
−=++=
=
++=
∑
∑
∞
=
↑↓
∞
=
)()..cos(0)(
)..cos()(
1
1
ϕ ω
ϕ ω
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
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3) Comportement pseudo dérivateur
Si 0ω ω << :
))RSF((en1
)(soitou
~
/1
/)(
00
00
0
ω ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω ω
dt
dvt v
V jV
j
j
j j H
e s
e
s ==+
=
Pour une fonction périodique quelconque :
∑∞
=
+=0
)..cos()(n
nne t nC t v ϕ ω (T
π ω
2= )
Donc ∑∑ ++
+=
<< autres 0tq 0
))..cos((1))..cos((1)(
0
dt
t nC d
dt
t nC d t v nn
nn
nn s
ϕ ω
ω
ϕ ω
ω ω ω
Si la plupart des composantes de Fourier de ve sont dans le domaine atténué (
0ω ω <<n ), alorsdt
t dvt v e
s
)(1)(
0ω ≈
E) Filtres passe-bas1) Fonction de transfert
En sortie ouverte :
vev s
R
C
0/1
1
1
1)(
ω ω ω ω
j jRC j H
+=
+= , avec
RC
10 =ω .
ve v s R
0/1
1)(
ω ω ω ω
j L j R
R j H
+=
+= , avec
L
R=0ω .
Pulsation de coupure :
2
0
1
1)(
+
=
ω
ω
ω j H
. 1)(max
=ω j H . 02
1)( ω ω ω =⇔= j H
On a donc un filtre passe-bas, de bande passante [ ]0;0 ω
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
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2) Application : redressement
ve(t )
t
ω
π 2=T
On utilise un filtre passe-bas ω ω <<0
0)(
)..cos()(
0
1
0
+=↓↓
++=
≈
∞
=∑
C t v
t nC C t v
s
n
nne ϕ ω
( 1)0( = H )
3) Comportement pseudo-intégrateur
En )(RSF ω , pour 0ω ω >> :
ω
ω
ω ω ω
j j j H 0
0
~/
1~)(
Doncω
ω
j
V V
e
s
0 = . Donc ∫ =
t
t
e s dt t vt v
0
')'()( 0ω
Pour un signal périodique ( ω
π 2
=T ) de moyenne nulle :
∑∞
=
+=1
)..cos()(n
nne t nC t v ϕ ω ( 00 =C )
avec 0ω ω >> , ∫ ∑ ∫ =+=∞
=
t
t
e
n
t
t
nn s dt t vdt t nC t v
00
')'(')'..cos()( 0
1
0 ω ϕ ω ω
F) Exemple de filtre du 2nd ordre
Filtre LC , R :
ve
v s
C
R
L
−+
=++
=
C L j R
R
C j L j R
R j H
ω ω
ω ω
ω 11
)(
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Etude du diagramme de Bode :
En basse fréquence, LC C Z Z R Z >>>> et
C'est-à-dire LC
L RC
RC 1
C
1et
11 01 =<<⇔>>=<<⇔<< ω ω ω
ω ω ω ω
1
~1
~)(ω
ω
ω
ω j
jC
R j H
Donc1
dB log20~)(ω
ω ω G .
Donc )(dB ω G a une asymptote d’équation1
dB log20ω
ω =G
En haute fréquence, C L L Z Z R Z >>>> et
De même, avec LC L
R 1et 02 == ω ω ,
2/
1~~)(
ω ω ω ω
j L j
R j H
Donc )(dB ω G a une asymptote d’équation2
dB log20ω
ω −=G
Comparaison des pulsations :
2
021
1ω ω ω =×=
L
R
RC
Donc 2
logloglog 210110
010
ω ω
ω
+
=2
2
2
0
2
2
2
21
1/ Q
R
L
LC R
L
R
L
RC ===×=
ω ω ω
201
102
,1Si
,1Si
ω ω ω
ω ω ω
<<<<<>
Q
Q
Cas 1>>Q :
(échelle logarithmique
GdB
- 2 0 d B / d é c a d e 2 0
d B / d é c
a d e02 et ω ω ω ω <<< 01 et ω ω ω ω >>>
ω
1ω 2ω 0ω
Le gain est maximum quand 1)(, 00 == ω ω ω G . On a un filtre passe bande (très
sélectif : la bande est très petite)
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
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Cas 1<Q :
(échelle logarithmique
GdB
- 2 0 d B / d é c a d
e 2 0 d B / d é c
a d e
-3dB
2ω 1ω 0ω
ω
pour les fréquences intermédiaires : 0dB ≈G
Bande passante ];[ 21 ω ω ≈
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