11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Troisième cours

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Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants

• Valeur actuelle d’un capital

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Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants

• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation

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Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants

• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation• Taux effectif d’escompte

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Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants

• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation• Taux effectif d’escompte• Équivalence de taux

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Sur ce dernier point, nous avons vu que

lorsque le taux effectif d’intérêt

et le taux effectif d’escomptesont équivalents.

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Exemple 1:

Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres:1) soit qu’il paie 2400$ dans un an2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%.

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Exemple 1 (suite):

Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?

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Exemple 1 (suite):

Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?

À quel taux d’escompte les deux options sont équivalentes?

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Solution pour la première question:

Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

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Solution pour la première question:

Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est

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Solution de la première question (suite):

Nous pouvons conclure que la 2e optionest la plus avantageuse pour Alex.

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Solution pour la deuxième question:

Notons par

le taux d’escompte pour lequel les deux options sont équivalentes.

Nous avons alors

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Donc d = 9.9099099%.

Ceci est tout simplement la formule d’équivalence.

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Autres formules d’équivalence:Nous avons vu que

Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

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Explication de la formule:

Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

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Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période:

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Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période:

Capital accumulé à la fin de la période:

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Explication de la formule (suite) :

Nous avons

Capital investi au début de la période:

Capital accumulé à la fin de la période:

Intérêt:

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Autres formules d’équivalence:Nous avons que

Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

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Explication de la formule:

Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

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Autres formules d’équivalence:Nous avons aussi que

Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

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Explication de la formule:

Considérons deux prêts.

Le premier prêt est de 1$ et sera remboursé par le versement de

dans un an.

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Explication de la formule: (suite)

Le second prêt sera remboursé par le versement de 1$ dans un an et l’emprunteur recoit initialement

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Explication de la formule: (suite)

La différence des montants prêtés est

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Explication de la formule: (suite)

La différence des montants prêtés est

L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est

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Explication de la formule: (suite)

La différence des montants prêtés est

L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est

Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêt des deux prêts

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Il y a donc 4 formules à retenir:

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Il y a donc 4 formules à retenir:

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Il y a donc 4 formules à retenir:

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Il y a donc 4 formules à retenir:

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Escompte composé: (Description)

Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte composé par

alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation

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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1ère période:

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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1ère période:

Principal investi au début de la 1ère période pour avoiravoir 1$ à la fin de la 2e période:

En effet, pour obtenir 1$ à la fin de la 2e période, il faut

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à la fin de la 1ère période et

au début de la 1ère période.

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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte composé:

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et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé. L’équivalence est obtenue par laformule:

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Escompte simple: (Description)

Dans cette situation, nous supposons que le montant d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte simple par

alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation

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à la fin de la 1ère période et

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à la fin de la 1ère période et

au début de la 1ère période.

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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte simple:

Noter que nous devons supposer

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et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

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et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

L’escompte simple n’est pas équivalent à l’intérêt simple!

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En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt

tel que

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Exemple 2:

Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est 4.75% par année.

Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans?

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Exemple 2: (suite)

Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nous obtenons

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Exemple 2: (Suite)

Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composé équivalent au taux d’escompte 4.75% par année

c’est-à-dire que le taux équivalent est4.9868766%. Nous obtenons

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Exemple 2: (Suite)

Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’intérêt 4.9868766% par année. Nous obtenons que Alex reçoit

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Exemple 3:

Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple de ce prêt est 5% par année. Quel est le montant remboursé L?

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Exemple 3: (suite)

Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeur est

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Comparaison:

Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l’escompte simple et de l’escompte composé pour le même taux, nous obtenons le graphique suivant

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Nous avons que

et

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Jusqu’à présent, l’intérêt était capitalisé qu’une seule fois par

période. Il existe une autre notion tant pour l’intérêt que

l’escompte: le taux nominal

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Exemple 4:

Sur l’état de compte d’une compagnie de crédit, il est indiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances): 18.50% par année et 0.05068% par jour.

Comment interpréter ce taux de 18.50%?

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Exemple 4: (suite)

Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons le montant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons

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Exemple 4: (suite)

Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuel de 20.3140402% et non au taux de 18.50%.

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Exemple 4: (suite)

Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuel de 20.3140402% et non au taux de 18.50%.

La raison est que 18.50% est un taux nominal d’intérêt. Nous avons ici que

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Taux nominal d’intérêt:

Si l'intérêt est capitalisé m fois par période

(avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est

alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est

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Donc pour déterminer le taux d’intérêt par période de

capitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m.

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Exemple 5:

Si un placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire

Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montant doit-il investir?

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Exemple 5: (solution)

Le taux d’intérêt par trimestre (I.e. par trois mois) est de

Pendant 5 ans, il y a 5 X 4 = 20 trimestres et l’intérêt sera capitalisé 20 fois

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Exemple 5: (solution)

Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payable après 20 périodes de capitalisation dont le taux d’intérêt est de 2%:

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Équivalence de taux:

Si nous considérons 1$ investi et calculons la valeur accumulée au taux nominal d’intérêt

par année, nous obtenons

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Équivalence de taux: (suite)

L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au taux d’intérêt par m-Ième de période égal à

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Équivalence de taux: (suite)

et la valeur accumulée est

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Équivalence de taux: (suite)

Si le taux effectif d’intérêt

est équivalent au taux nominal d’intérêt

alors

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Équivalence de taux: (suite)

Donc

et

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Exemple 6:

Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt de 9% par année capitalisé mensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la fin de la 2e année?

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Exemple 6: (suite)

Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominal

i.e. que le taux d’intérêt par mois est

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Exemple 6: (suite)

Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est

24 = 12 X 2

parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années.

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Exemple 6: (suite)

La valeur accumulée sera

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Taux nominal d’escompte:

Si l’intérêt est capitalisé m fois par période

(avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est

alors nous disons que le taux nominal d’escompte est

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Si nous calculons la valeur actuelle de 1$ payable dans un an au taux nominal d’escompte

alors nous obtenons

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Équivalence de taux:

Supposons que les taux suivants sont équivalents

Taux effectif d’intérêt

Taux nominal d’intérêt

Taux effectif d’escompte

Taux nominal d’escompte

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En calculant la valeur actuelle de 1$ payable à la fin de l’année, nous obtenons

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En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$ pendant une année, nous obtenons

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L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes

et