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A. Objectifs de la séquence:à l'issue de la séquence, il faut être capable de:
•Identifier l’ordre et la nature d’un filtre
•Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode d’une fonction de transfert complexe.
B.)Rappel
B.1)Les nombres complexes
Soit un nombre complexe défini par N=a+jb
Le module de N est donné par: baN22
L’argument de N est donné par: )()(a
barctgNArg
C) Notion de filtre
V1 V2FiltreC.1) Définition
Soit un signal f(t) comprenant plusieurs composantes sinusoïdales.Soit un signal f(t) comprenant plusieurs composantes sinusoïdales.
Un Filtre est un dispositif dont la fonction de transfert permet d’isoler Un Filtre est un dispositif dont la fonction de transfert permet d’isoler
Certaines composantes de fréquences indésirables.Certaines composantes de fréquences indésirables.Suivant la valeur des fréquences transmises, on distingue essentiellement:
les filtres passe haut
les filtres passe bas
les filtres passe bande
Qui isolent les signaux hautes fréquencesQui isolent les signaux hautes fréquences
Qui isolent les signaux basses fréquencesQui isolent les signaux basses fréquences
Qui favorisent les signaux situés dans une bande Qui favorisent les signaux situés dans une bande de fréquencesde fréquences
C.2) Propriétés
L’étude d’un filtre consiste à:L’étude d’un filtre consiste à:
Définir sa fonction de transfert Ve
VsT
Etudier l’évolution de cette fonction de transfert en fonction de la fréquencedu signal d’entrée.
Représenter (diagrammes de Bode) les variations du gain et du déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée en fonction de la fréquence
L’ordre d’un filtre détermine son efficacité.
Un filtre peut être suivant sa structure :
PASSIF (il n’y a aucune amplification du signal d’entrée)
ACTIF (il peut y avoir amplification du signal d’entrée)
Remarque:
Une octave de fréquence est l'intervalle des fréquences comprises entre F et 2F
Une décade de fréquence est l'intervalle des fréquences comprises entre F et 10F
D) Rappel sur le diagramme asymptotique de BODE
T K
j j j
j j j
n
L
n
.
( )( )....( )
( . ) .('
)('
)...('
)
1 1 1
1 1 1
1 2
1 2
On appel forme de Bode, toute fonction de transfert qui peut se mettre sous la forme
0.1 ;
0.1
1 ;
).(
1 ;
jjj
KL
D.1) Courbe de Bode de fonctions de réponses fréquentielles simples
La constante K
Gai
n e
n dB
log10
Pha
se
log10
20.log10 KB
0°
-180°
KB>0
KB<0
GA
IN e
n d
BP
hase
0.1 0.2 0.3 1 2 3 105
0°
0.2 0.3 1 2 3 105
frequence
frequence
)1
(log.20 10 Lj
)1
(Lj
Arg
0
-10
-20
-30
-40
+10
+20
+30
+40
-90°
-180°
-270°
-360°
90°
180°
270°
360°
Le terme Lj1
a) Gain Si L>0
L=1L=1
L=2L=2
L=1
L=2
L=3
b) phase Si L>0
L=1L=2L=3
GA
IN e
n d
BP
hase
0.1 0.2 0.3 1 2 3 105
0°
0.2 0.3 1 2 3 105
frequence
frequence
)1
(log.20 10 Lj
)1
(Lj
Arg
0
-10
-20
-30
-40
+10
+20
+30
+40
-90°
-180°
-270°
-360°
90°
180°
270°
360°
Le terme Lj1
c) Gain Si L<0
L=-1L=-1
L=-2 L=-2
L=-1L=-2L=-3
d) phase Si L<0
L=-1L=-2L=-3
GA
IN e
n d
BP
hase
0.1 0.2 0.3 1 2 3 105
0°
0.2 0.3 1 2 3 105
frequence
frequence
)
01
1(
j
Arg
0
-10
-20
-30
-40
+10
+20
+30
+40
-90°
)
01
1log(.20
j
Le terme
0.1
1
j
0 G=0dB
0 G→-∞ avec une pentede -20dB/dec
Caractéristique du gain
Caractéristique de la phase
0
0
Les repères sont : 0)(5.et )5
0(
5
00.5
000)
01
1arg(
j
90900)
01
1arg(
j
45°
GA
IN e
n d
BP
hase
0.1 0.2 0.3 1 2 3 105
0°
0.2 0.3 1 2 3 105
frequence
frequence
)0
1(jArg
0
-10
-20
-30
-40
+10
+20
+30
+40
+90°
)0
1log(.20j
Le terme 0
1j
0 G=0dB
0 G→+∞ avec une pentede +20dB/dec
Caractéristique du gain
Caractéristique de la phase
0
0
Les repères sont : 0)(5.et )5
0(
5
00.5
0)0
1arg(j
90)0
1arg(j
45°
E)Exemples
E.1) Etude d'un filtre passif R-C Passe-bas du 1ere Ordre
Calculer la fonction de transfert de ce montage et la Calculer la fonction de transfert de ce montage et la mettre sous la forme de Bodemettre sous la forme de Bode
Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?
e s
R
C10K
F
E.2) Filtre actif passe bas du 1er ordre
Ve Vs
R1
R2
C2
-
+
10K
1K
1F
Calculer la fonction de transfert de ce montage et la Calculer la fonction de transfert de ce montage et la mettre sous la forme de Bodemettre sous la forme de Bode
Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?
E.3)Filtre passe-bande 2*1ER ordre
Ve Vs
-
+
R1 C1
C2
R2
10K 1uF
10K
1uF
Calculer la fonction de transfert de ce montage et la Calculer la fonction de transfert de ce montage et la mettre sous la forme de Bodemettre sous la forme de Bode
Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?
Remarque:
L'utilisation des filtres passifs est limitée à 10hz du côté des basses fréquence alors qu'il deviennent plus performant lorsque la fréquence d'utilisation dépasse 1 Mhz.
Les filtres actifs peuvent être utilisés à moindre coût lorsque la fréquence d'utilisation est inférieur à 100kHz (l'utilisation d'amplificateur courant , 081, 741 , limite cette fréquence à une dizaine de kilohertz.)
F) Exercice :
Soit la fonction de transfert suivante
)4
1)(5.0
1.(.
)²2
(2
1).(
jjj
jjF
Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?
Courbe de bode du gain
-60.0
-40.0
-20.0
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
0.1 1.0 10.0 100.0
G(1/jw)
G(1/(1+jw/.5))
G(1/(1+jw/4))
G(1-(w/2)^2)
Somme
Courbe du dephasage
-150.0
-100.0
-50.0
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
0.1 1.0 10.0 100.0
φ(1/jw)
φ(1/(1+jw/.5))
φ(1/(1+jw/4))
φ(1-(w/2)^2)
Somme des φ
G.)Formes normalisées des filtres du 2eme ordre
Vs
Ve
H
j m j
0
1 20 0²
2. .²
Vs
Ve
j m H
j m j
. . .
. .²
20
0
1 20 0²
2
²0²
.0
.21
0²0²
².
2
jmj
Hj
Ve
Vs
Passe-bas
Passe-bande
Passe-haut
1. m=coefficient d’amortissement
• m<0.7 les caractéristiques passent par un maximum
2. ω0=pulsation propre du système
On peut remarquer que pour m=.707 , la pulsation propre est égale à la fréquence de coupure.
E.1.)Filtre passe bas du 2eme ordre
V e
-
+
VSC4
C3
R1 R2a
b
c
V+
•Calculer la fonction de transfert du filtre montrer qu'elle peut se mettre sous la forme passe-bas: Vs
Ve
H
j m j
0
1 20 0²
2. .²
•Exprimer H0,ω0,m
•Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?.
GA
IN e
n d
BP
hase
0.1 0.2 0.3 1 2 3 105
0°
0.2 0.3 1 2 3 105
frequence
frequence
0
-10
-20
-30
-40
+10
+20
+30
+40
+90°
E.2.)filtre passe-bande du 2eme ordre
Vs
Ve
j m H
j m j
. . .
. .²
20
0
1 20 0²
2
ω<ω0
0.0
.2. HmjVe
Vs
0)20.log(2mHG alors 0 si
ω > ω0
Vs
Ve
mj H
j
mH
J
20
0
0²
2 0
0
.
² .²
.
0)20.log(2mHG alors 0 si
20.log(2mH0)
Les courbes réelles sont :
20log(H0)
ω1 ω2
On définit pour ces filtre un coefficient de qualité
Qf
f
0 0
2 1
Un coefficient Q élevé correspond à une bande passante étroite.
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