Algèbre Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive ney@biomserv.univ-lyon1.fr

Algèbre

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Muriel Ney

LaboratoireBiométrie et Biologie Evolutive

ney@biomserv.univ-lyon1.fr

Calendrier (sur MathSV)02-02 09-02 16-02 23-02 01-03 08-03 15-03 22-03 29-03 05-04 12-04

CM CM CM   CM CM     CM CM CM  

TT     TT TT TT TT     TT  

TD         TD TD TD TD    

19-04 26-04 03-05 10-05 17-05 24-05

CM CM CM     TD

TT TT TT TT TT  

    TD TD TD TD

Evaluations (QCM)

Contrôles Continus (problème)

Objectif général du cours

• Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des problèmes où interviennent des phénomènes biologiques

• Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique

Le plan des cours d’algèbre ‘Etude des phénomènes structurés

en classes’ 1. Introduction aux matrices : exemples en dynamique de

population CM 1

2. Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations CM 1-CM 2

3. Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires CM 2- CM3

4. Diagonalisation d’une matrice : applications en dynamique de population et en génétique CM 3-CM 4

5. Normes et distances CM 4

Les cours de statistiques ‘Prise de décision sur

un phénomène aléatoire’

• Statistiques descriptives• Estimation• Tests d’hypothèses• ANOVA• Régression linéaire

Déterminisme et Hasard

Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population d’organismes vivants ?

La croissance

Déterminisme = reproduction, mortalité, etc.

Variabilité (« hasard ») = temps et succès de la reproduction, etc.

Déterminisme et Hasard

Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population ?

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

temps (heures)

No

mb

re d

e b

ac

téri

es

(m

illio

ns

)

Déterminisme et Hasard

1. Modèles du hasard

Se décider dans une situation où le hasard intervient

outils = probabilités et statistiques

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

temps (heures)

No

mb

re d

e b

acté

ries

(m

illio

ns)

Déterminisme et Hasard

2. Modèles déterministes

Faire le lien entre le phénomène et les processus qui le provoquent

Outils : Fonctions et équations différentielles (1ère année)Matrices et systèmes linéaires (2ème année)

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

temps (heures)

No

mb

re d

e b

ac

téri

es

(m

illio

ns

)

Pourquoi des modèles en biologie ?

Une modèle est une solution à un problème et permet de comprendre une situation biologique

Un instrument d’analyse : des hypothèses, des mécanismes, des prévisions, un cadre pour faire des expériences

1. Introduction aux matrices : exemples en

dynamique de population

Croissance de la population chinoise :

modèle exponentiel en temps continu (rappels)1,28 milliards d’habitants en 2001. On prévoit que les taux de natalité et mortalité

dans la période 2001-2005 seront stables; le taux de natalité est de 13‰ en 2001, tandis que le taux de mortalité est de 3‰. Nombre d’habitants en 2005 ?

Solution n0 = 1,28r = (13-

3)/1000 = 0,01Donc n = 1,33 milliards

en 2005.

(taux d’accroissement, r ,indépendent de n)

Quand les générations ne se recouvrent pas et/ou les naissances

arrivent simultanément (ou presque)Papillons, insectes univoltines, plantes annuelles, etc.

Nt+1 = R Nt Nt nombre de femelles à la génération t

R=sPm

s = la sex-ratio (par exemple 0,5)

P = la probabilité de survie d’une femelle au court d’un pas de temps t

m = le nombre moyen de jeunes engendrés par une femelle (indépendent de N)

Modèle exponentiel en temps discret

Le modèle exponentiel discret

Nt+1 = R Nt

N1 = R N0

N2 = R N1 = R 2N0

…

donc Nt = R tN0

R<1 la population décroîtR=1 la population reste égale à N0

R>1 la population croît de façon exponentielle

Quand les organismes vivent longtemps et ont une fécondité qui

dépend de l’âge ou du stade de développement

Est-ce que la croissance de la population peut être décrite par un modèle exponentiel ?

Modèles structurés par classes

Hypothèses :

• A chaque âge/stade une classe i=1, 2, …

• Un pas de temps discret t : entre t et t+1 tous les individus de la classe i passent dans la classe i+1

• Taux de fécondité et de mortalité indépendants du nombre d’individus présents et de t (mais pas de i)

Hirondelle de cheminéeDeux classes d’individus :

• 1 an (fécondité moyenne= 3 juvéniles par femelle)

• 2 ans ou plus (fécondité moyenne = 6 juvéniles par femelle)

20 % des juvéniles atteignent l’âge d’1 anLa survie des oiseaux de 1 an est de 0,49, celle des

oiseaux de 2 ans ou plus est de 0,66

La sex ratio est de 0,5.

(MathSV série 3 pb 2)

On compte les individus juste après les naissances *

Printemps été-automne-hiver Printemps

Reproduction Survie Reproduction

*

1 an

2 ans ou plus

1 an

2 ans ou plus

Juvéniles Juvéniles

Juvénile = 0 à 1 an1 an = 1 à 2 ans2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans

On compte les individus juste après les naissances

Juvénile = 0 à 1 an n0t

1 an = 1 à 2 ans n1t

2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n2t

s = la sex-ratio (0,5)Pi = la probabilité de survie d’un individu, dans chaque classe i, au court d’un pas de temps mi = le nombre moyen de jeunes engendrés par une femelle

dans chaque classe i sur un pas de temps

On compte les individus juste avant les naissances

Printemps été-automne-hiver Printemps

Reproduction Survie Reproduction

*

*

1 an

2 ans ou plus

1 an

2 ans ou plus

Juvénile = 0 à 1 an1 an = 1 à 2 ans2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans

On compte les individus juste avant les naissances

Juvénile = 0 à 1 an1 an = 1 à 2 ans n1t

2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n2t

Vérification : avec n1=2 et n2=20 individus au temps t=0, on peut suivre la population n1+n2 au court du temps

Prédiction : Taux d’accroissement de la population >1 donc la population croît exponentiellement

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50

Génération (t)

po

pu

lati

on

to

tale

(n

1+n

2)

Conclusion

• Une prédiction basée sur une démonstration mathématique plutôt qu’ un long calcul ou des expériences à long terme impossibles à réaliser

• Outils : les matrices

Objectif dans les exemples en dynamique de population

Définir et calculer un taux d’accroissement à partir de la matrice M pour connaître le devenir de la population à long terme

2.a Les espaces vectoriels

MathSV chapitre 1

Un vecteur

Addition

multiplication par un scalaire

Des espaces vectoriels

1. L’ensemble des vecteurs du plan

2. L’ensemble des réels

3. L’ensemble des nombres complexes

4. L’ensemble des polynômes

n n

,nC

nP

Un espace vectoriel

Définition :

Un ensemble d’éléments (“vecteurs”) sur lesquels on peut définir deux lois de compositions notées + (addition de deux éléments) et

X (multiplication d’un élément par un scalaire)

Vers la définition d’une base d’un espace vectoriel …

Une combinaison linéaire

Les combinaisons linéaires des vecteurs

s’écrivent

où les ai sont des scalaires

Une famille génératrice

• La famille des vecteurs , et est une famille génératrice

de IR3 car tout élément de l’espace vectoriel IR3 peut s’écrire comme une combinaison linéaire de cette famille.

• La famille des vecteurs , et est une autre famille

génératrice de IR3

(démonstration : MathSV « combinaisons linéaires, générateurs »)

1 1,0,0e

2 0,1,0e

3 0,0,1e

1 1,1,0e

2 0,1,0e

3 0,0,3e

Une famille libre

Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E est libre si ses vecteurs sont linéairement indépendants (on ne peut pas écrire l’un d’entre eux comme une combinaison linéaire des autres).

1, , pu u

Une base

• Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel

E est une base de E si elle est à la fois libre ET

génératrice.

• La famille des vecteurs ,

et est une base de

Base canonique

1, , pu u

1 1,0,0e

2 0,1,0e

3 0,0,1e 3

Coordonnées d’un vecteur

Si on se donne une base et un vecteuralors ce vecteur peut s’écrire de façon unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base

Les ai sont les coordonnées de ce vecteur dans cette base.

Dimension

Dimension d’un espace vectoriel = nombre de vecteurs dans chaque base

2.b Les matrices

MathSV chapitre 3

Exemples

2 3

A 4 2

1 0A : matrice de dimension (3,2)

Une matrice (n,p) est un tableau contenant des réels avec n lignes et p colonnes

12 3a 31 1aÉléments de A

1 1 2 32 4c e e eUn vecteur colonne dans la base canonique de IR3

2 1 24 2e eUn vecteur ligne dans la base canonique de IR2