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Arithmétique
Classe 3e
1 - Critères de divisibilité
Soit n un nombre entier.
son chiffre des unités est 0
la somme des ses chiffres est un multiple de 3
la somme des ses chiffres est un multiple de 3
si son chiffre des unités est 0 ou 5
son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 (nombre pair)
n est divisible par 10 si
n est divisible par 9 si
n est divisible par 3 si
n est divisible par 5 si
n est divisible par 2 si
45 720 est un nombre pair, il est divisible par 2
45 720 se termine par 0, il est divisible par 5 et par 10
4+5+7+2+0=18, 45 720 est divisible par 3 et par 9
2 - Division euclidienne
La division euclidienne est une division dont le quotient est un nombre entier.
Exemples :
8
5-65
13 73
6
3-51
17 56
0
-70
7
1-14
14 210
On écrit :
851373 631757
01514210
0
5
…• a est un
ou ce qui revient au même de dire que
…• b est un
Lorsque le reste de la division euclidienne d’un nombre a par un nombre b non nul est égal à 0, on dit que :
diviseur
multiple
de a,
de b.
Remarques
est un multiple de 7
On dit que 7 est un diviseur commun à 35 et 84
7 est-il un diviseur de ?
7 est un diviseur de 84 car
7 est un diviseur de 35 car 5735
12784
4568412335
4561213257
456127123574568412335
4568412335
multiple
Exemple
01514210 Avec l’exemple précédent :
On dit que 210 est un de 14, mais aussi de 15On dit que 14 est un diviseur de 210, mais aussi 15
Quels sont les diviseurs de 210 ?
L’ensemble de tous les diviseurs de 210 est :
210 105 ;70 ;42 ;35 ;30 ;21 ;15 ;
14 ;10 ;7 ;6 ;5 ;3 ;2 ;1 ;
3 - PGCD
Le PGCD de 45 et 75 est le plus grand de ces diviseurs communs.
On cherche le plus grand diviseur commun à 45 et 75.
Ensemble des diviseurs de 75 :
Ensemble des diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75
Donc l’ensemble des diviseurs communs à 45 et 75 est :
1 ; 3 ; 5 ; 15
PGCD( 45 ; 75 ) = 15
4 – Algorithme d’Euclide
C’est une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres entiers.
Exemple : calculons PGCD( 143 ; 611 )
ALGORITHME : Désigne une suite de calcul nécessaire à la solution d’un problème dans une durée limitée. L’appellation « algorithme » est l’équivalent latin d’un terme figurant dans l’ouvrage du mathématicien arabe Mohammed Ibn Musa Abu Djefar Al-Khwarizmi.
On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
39
4-572
143 611
394143611
26
3-117
39 143
26339143
On effectue ensuite la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente.
39143
On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un reste nul.
13
1-26
26 39
1312639
0
2-26
13 26
021326 PGCD( 143 ; 611 ) est le dernier reste non nul, c’est-à-dire :
2639
1326
13
5 – Nombres premiers entre eux
Deux nombres a et b sont premiers entre eux si leur plus grand diviseur commun est 1.
Remarque : 1 est leur seul diviseur commun.
15 et 8 sont premiers entre eux car :
Ensemble des diviseurs de 8 :
Ensemble des diviseurs de 15 : 1 ; 3 ; 5 ; 15
1 ; 2 ; 4 ; 8
Le seul diviseur commun à 15 et 8 est 1.
Donc PGCD( 15 ; 8 ) = 1
Exemples :
221 et 97 sont premiers entre eux car :
Appliquons l’algorithme d’Euclide
Exemples :
Donc PGCD( 221 ; 97 ) = 1
27297221 1632797 1111627 511116 12511 0515
97221279716271116
51115
6 – Fractions Irréductibles
On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateurs sont premiers entre eux.Exemples : (d’après 5)
8
15est une fraction irréductible car :
221
97est une fraction irréductible car :
PGCD( 221 ; 97 ) = 1
PGCD( 15 ; 8 ) = 1
Méthode
Pour simplifier une fraction (et la rendre irréductible), on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.Exemples : d’après 4, PGCD( 143 ; 611 ) = 13
Simplifions611
143
47
11
13611
13143
611
143
13611
13143
611
143
611
143
611
143C’est irréductible !!
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