Arithmétique

Classe 3e

1 - Critères de divisibilité

Soit n un nombre entier.

son chiffre des unités est 0

la somme des ses chiffres est un multiple de 3

la somme des ses chiffres est un multiple de 3

si son chiffre des unités est 0 ou 5

son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 (nombre pair)

n est divisible par 10 si

n est divisible par 9 si

n est divisible par 3 si

n est divisible par 5 si

n est divisible par 2 si

45 720 est un nombre pair, il est divisible par 2

45 720 se termine par 0, il est divisible par 5 et par 10

4+5+7+2+0=18, 45 720 est divisible par 3 et par 9

2 - Division euclidienne

La division euclidienne est une division dont le quotient est un nombre entier.

Exemples :

8

5-65

13 73

6

3-51

17 56

0

-70

7

1-14

14 210

On écrit :

851373 631757

01514210

0

5

…• a est un

ou ce qui revient au même de dire que

…• b est un

Lorsque le reste de la division euclidienne d’un nombre a par un nombre b non nul est égal à 0, on dit que :

diviseur

multiple

de a,

de b.

Remarques

est un multiple de 7

On dit que 7 est un diviseur commun à 35 et 84

7 est-il un diviseur de ?

7 est un diviseur de 84 car

7 est un diviseur de 35 car 5735

12784

4568412335

4561213257

456127123574568412335

4568412335

multiple

Exemple

01514210 Avec l’exemple précédent :

On dit que 210 est un de 14, mais aussi de 15On dit que 14 est un diviseur de 210, mais aussi 15

Quels sont les diviseurs de 210 ?

L’ensemble de tous les diviseurs de 210 est :

210 105 ;70 ;42 ;35 ;30 ;21 ;15 ;

14 ;10 ;7 ;6 ;5 ;3 ;2 ;1 ;

3 - PGCD

Le PGCD de 45 et 75 est le plus grand de ces diviseurs communs.

On cherche le plus grand diviseur commun à 45 et 75.

Ensemble des diviseurs de 75 :

Ensemble des diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45

1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75

Donc l’ensemble des diviseurs communs à 45 et 75 est :

1 ; 3 ; 5 ; 15

PGCD( 45 ; 75 ) = 15

4 – Algorithme d’Euclide

C’est une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres entiers.

Exemple : calculons PGCD( 143 ; 611 )

ALGORITHME : Désigne une suite de calcul nécessaire à la solution d’un problème dans une durée limitée. L’appellation « algorithme » est l’équivalent latin d’un terme figurant dans l’ouvrage du mathématicien arabe Mohammed Ibn Musa Abu Djefar Al-Khwarizmi.

On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.

39

4-572

143 611

394143611

26

3-117

39 143

26339143

On effectue ensuite la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente.

39143

On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un reste nul.

13

1-26

26 39

1312639

0

2-26

13 26

021326 PGCD( 143 ; 611 ) est le dernier reste non nul, c’est-à-dire :

2639

1326

13

5 – Nombres premiers entre eux

Deux nombres a et b sont premiers entre eux si leur plus grand diviseur commun est 1.

Remarque : 1 est leur seul diviseur commun.

15 et 8 sont premiers entre eux car :

Ensemble des diviseurs de 8 :

Ensemble des diviseurs de 15 : 1 ; 3 ; 5 ; 15

1 ; 2 ; 4 ; 8

Le seul diviseur commun à 15 et 8 est 1.

Donc PGCD( 15 ; 8 ) = 1

Exemples :

221 et 97 sont premiers entre eux car :

Appliquons l’algorithme d’Euclide

Exemples :

Donc PGCD( 221 ; 97 ) = 1

27297221 1632797 1111627 511116 12511 0515

97221279716271116

51115

6 – Fractions Irréductibles

On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateurs sont premiers entre eux.Exemples : (d’après 5)

8

15est une fraction irréductible car :

221

97est une fraction irréductible car :

PGCD( 221 ; 97 ) = 1

PGCD( 15 ; 8 ) = 1

Méthode

Pour simplifier une fraction (et la rendre irréductible), on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.Exemples : d’après 4, PGCD( 143 ; 611 ) = 13

Simplifions611

143

47

11

13611

13143

611

143

13611

13143

611

143

611

143

611

143C’est irréductible !!