Au delà d’une vitesse de groupe: vitesse d’onde et vitesse de signal

pp. 345-366 345

Au del d 'une vitesse de groupe : vitesse d'onde et vitesse de signal *

Premidre par t ie :

L'OPI~RATEUR VITESSE DE GROUPE EN L'ABSENCE D'AFFAIBLISSEMENT

Georges B O N N E T **

Analyse

La dualitd d'un c h a m p le fa i t apparattre, d une date donnde, sous l'aspect spatial d'une onde ; ou bien, en un point donnd, sous l'aspect temporel d'un signal. On adopte un critbre rdaliste ouvrant une ddtermination expdrimentale prdcise d'un repbre de position spatiale de l'onde en milieu dispersif ; ou encore du temps d'arrivde du signal. Dans la progression de ces repbres, s'introduit spontandment, en parallble avec la vitesse de phase, une vi tesse de g r o u p e U dont l'expression est celle de la vitesse de groupe/signal du paquet d" ondes traditionnel. Ces deux grandeurs sont caractdristiques du seul milieu de transmission. A l'onde progressive, correspond alors une certaine vitesse d ' o n d e , qui est la moyenne de l'opdrateur U dans un dtat lid g t la structure de l'onde origine de rdfdrence. Au signal percu par un capteur f ixe, correspond une vitesse diffdrente : la vitesse de signal, inverse de la moyenne de l'opdrateur U -x dans un dtat lid d la structure du signal d'dmission. Vitesse d'onde et vitesse de signal ddpendent ainsi, non seulement du milieu, mais aussi de la forme du signal d'dmission. Toutes deux s'identifient cependant ,~ la vitesse de groupe U dans le cas particulier d' un spectre trOs dtroit : on rejoint ici le paquet d" ondes classique. La vitesse de groupe s'avbre alors comme la vitesse du repbre lid d l'amplitude complexe du signal analytique progressif ; parallblement d la cdldritd de sa porteuse, la vitesse de phase. Cette approche permet de ddcrire l'allure de la ddformation d'une onde progressive en milieu dispersif et de la relier, par analogie, gt la diffraction de Fresnel. La prise en compte de l'affaiblissement associd d la dispersion conserve globa- lement les m~mes propridtds, en dehors des zones anormales.

Mots d~s : Th6orie signal, Milieu dispersif, Vitesse groupe, Propagation onde, Signal spatio-temporel, Distorsion signal, Signal analytique, Affaiblissement, Paquet onde, Bruit fond.

B E Y O N D T H E G R O U P V E L O C I T Y : S I G N A L A N D W A V E V E L O C I T I E S

First part : the group velocity operator while neglecting attenuation

Abstract

A radiated f ield always appears in a dual, spatial and temporal, aspect. Its spatial one is the wave the author should observe at a given time. lts temporal one is the signal he receive at a given point. The aim o f this paper is then to determine bulk velocities o f both signal and wave - - without any limiting assumption on their spectral widths - - in case the f ield is being radiated thru a dispersive medium. A realistic criterion is first adopted that enables an accurate measurement of the instant position o f the wave, by means o f a definite space-marker (the wave cen t e r ) . The same criterion also leads to a similar time-marker (the s ignal cen te r ) that will be used in measuring the receiving time o f the signal. By studying the motion o f these markers, an operator U spontaneously appears beside the phase velocity This operator has the same analytical expression as the usual group~signal velocity o f a wave packet. Therefore U should be also called g r o u p veloci ty . Both group and phase velocities depend on the transmitting medium only. To the travelling wave then corresponds an uniform motion o f its wave center, with some wave veloci ty . The latter consists o f the mean o f operator U in a s ta te which is associated with the wave structure at the time origin. To the signal, when received by a f ixed transductor, also corresponds some s ignal veloci ty . Its value is the inverse o f the mean o f operator U- 1 in a state which is associated with the signal structure at the transmitter. Thus, wave velocity and signal velocity not only depend on the transmitting medium, but depend on the emitted signal form too. However

* Cet article a 6t6 scind6 en deux parties. La seconde paraitra dans le num6ro de novembre-d6cembre 1983 des Annales des Tdldcommu- nications. ** Laboratoire GESSY, Universit6 de Toulon et du Var, 83130 La Garde, France.

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both of them become identified with the group velocity U in the particular case of a very narrow spectrum. Thus agreeing with the usual wave packet. In such a case the group velocity turns out to be the velocity of the very marker that belongs to the amplitude o f the transmitted analytic signal. Such an approach also enables us to describe signal distortion in a dispersive medium. By analogy, it leads to relating that distortion to Fresnel diffraction. Outside anomalous zones, the above properties are roughly maintened when attenuation is taken into account in relation to dispersion.

Key words : Signal theory, Dispersive medium, Group velocity, Wave propagation, Spatiotemporal signal, Signal distortion, Analytical signal, Attenuation, Wave packet, Back- ground noise.

Sommaire

PREMI/~RE PARTIE : L'opdrateur vitesse de groupe en l' absence d' affaiblissement.

I. Introduction.

II. Affaiblissement ndgligeable.

Bibliographie (23 rJf.).

DEUXI~ME PARTIE " Ddformation de l'amplitude et influence de l'affaiblissement.

III. DJformation de l' amplitude pour un affaiblissement nJgligeable : dispersion et diffraction de Fresnel.

IV. Quelques modeles d'affaiblissement.

V. Conclusion gdndrale.

Annexes.

Bibliographie (23 r~f.).

LISTE DES SYMBOLES ET DES NOTATIONS

< a , b > = ! s a * ( x ) b (x )dx

Ilall - - - < a , a >

< r, s >.e = !R r*(f , t) s ( f , t) d f

Ilsll = < s , s > s

f' (a * b)(y)= ~R a ( f - - u) b(u) du

ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983

produit scalaire

carr6 de la norme

produit scalaire partiel sur la variable f

carr6 de la norme partielle sur la variable f

produit de convo- lution, de variablef

transform6e de Fourier temporelle (spatiale)

implique

G. BONNET. -- AU-DELA D'UNE VITESSE DE GROUPE

# tr~s voisin de

appartient

V quel que soit

,,7~ x

Ao(t) ~- ao(v)

B ( t )

f , f F

P(t) ~- p(v)

Q~(t) ~- qx(v)

So(x) ~- So(f)

S(x, t)

s(f , t)

[ S / B ]

filtre d'amplitude

amplitude complexe (abscisse x)

repr6sentations de l'amplitude complexe ~ l'6mission

largeur de bande en fr6quences-T

bruit additif

vitesse de phase temporelle

distance de diffraction

filtre de signal

esp6rance math6matique de la variable al6atoire X

fr6quence spatiale

fr6quence-S centrale

partie imaginaire du complexe Z

ligne dispersive

espace des fonctions de carr6 sommable

&endue de l 'onde ~t la date t

fr6quence-T centrale

reste, de l 'ordre de

signal d'6mission

repr6sentations du signal d'6mission

signal de r6ception, ~t l'abscisse x

repr6sentations du signal de r6ception

rayon vecteur d'une onde sph6rique

distance radiale

droite r6elle

demi-axe positif (n6gatif)

ligne ~t retard

partie r6elle du complexe Z

espace des fonctions de Schwartz champ, en progression vers la droite, x > 0 (suffixe) = spatial

repr6sentations de l'onde origine (t = O)

repr6sentation-ST (champ)

representation mixte-ft (onde)

rapport signal sur bruit moyen

(suffixe) = temporel

estimateur du centre de signal

G. BONNET. --

U, U(f )

AU-DELA D'LrNE VITESSE DE GROUPE

centre de signal

transformation (-m6e) de Fourier

vitesse de groupe (U - l , U-~(v) vitesse inverse de groupe)

Vn vitesse d'onde

V~ vitesse de signal

x abscisse curviligne

X(t) centre d'onde

Z+ ensemble des entiers ~> 0

2~ pente de U(1)(v)

8(r ~ to) distribution de Dirae, de support ro

~(-~)(t) fonction unit6 de Heaviside

0 6poque du centre de l'intervalle d'esti- marion

0 direction unitaire

| dur6e du signal (abscisse x)

X longueur d'onde

v, ,~ fr6quence temporelle

p(v) d6cr6ment logarithmique d'affaiblissement

or(x, v) repr6sentation mixte-x~ (signal)

E( f , t) repr6sentation-F (champ)

cr 2 variance du bruit

"r dur6e de l'intervalle d'estimation

z ( f ) vitesse de phase spatiale

@ largeur spectrale (fr6quences-S) de l'onde

~o onde origine (t = 0)

~ , onde ~t la date t.

I. I n t r o d u c t i o n

1.1. ASPECT METROLOGIQUE DE LA VITESSE DE GROUPE

Parmi tant d'autres d6couvertes, nous devons le concept de vitesse de groupe au g6nie de Lord Rayleigh (Theory of Sound, 1877).

Cette notion fondamentale donna lieu, dans la p6riode situ6e entre 1900 et 1920, h de tr6s nombreux travaux, auxquels restent attach6s les noms d'auteurs de grand prestige. Cet effort fut provoqu6 principale- ment par l'apparence d 'un eonflit, qui semblait exister entre terrains aspects de la vitesse de groupe et les postulats de la relativit6. Finalement, le conflit fut r6solu, en particulier gfftce aux apports 6minents de L. Brillouin [1] et de A. Sommerfeld [2]. Depuis

lors, la vitesse de groupe constitue un acquit, d6sor- mais classique, de la physique th6orique.

Le seul point faible de cette notion th6orique r6side dans son application au domaine expdrimental, il est en effet impossible d'en d6duire aucun crit6re r6aliste, permettant d'acc6der avec pr6cision /t la position d'une onde dans l'espace ou dans le temps : ce qui rend la mesure de cette m~me vitesse de groupe d61icate et peu fiable.

Apr6s avoir bri6vement esquiss6 ce probl6me de pure m6trologie, nous nous proposerons en premier lieu d'adopter un crit6re de position simple, d'une d6finition pr6cise et facilement accessible /t l'exp6- rience, en m~me temps que stable en pr6sence de bruit.

Cela fait, il nous sera facile d'en tirer quelques conclusions touchant/~ l'6volution spatiale ou temporelle du rep6re de position consid6r6, compte tenu de la d6formation de l'onde.

C'est ainsi que, tout naturellement, cette d6marche nous conduira /~ remodeler la notion de vitesse de propagation d'un champ rayonn6 en milieu dispersif, tout en respectant sa dualit6 de structure : l'aspect spatial pour une vitesse d'onde; l'aspect temporel pour une vitesse de signal.

I. l .1. Onde, signal et front.

La m6trologie d'une vitesse de groupe - - ou de la grandeur associ6e, la vitesse de signal - - est li6e essentiellement ~. la d6finition d 'un rep~re de position associ6 ~ l'onde progressive. Deux grandes families apparaissent dans la litt6rature : la m6thode du paquet d'ondes et la m6thode du front.

1.1.1.1. M6thode du paquet d'ondes.

La m6thode du paquet d'ondes utilise une grandeur spatiale, une onde particuli6re, dont les vecteurs d'onde s sont concentr6s autour d'une valeur moyenne. Si to est la pulsation, celle-ci est une fonction de k dans un milieu dispersif. L'onde - - ici paquet d'ondes - - est d6crite par l'int6grale de Fourier :

I exp {i(e0t - - kx)} A(k) dk,

et l 'on choisit eomme rep6re le maximum de son enveloppe ; ce dernier se propage avec la vitesse de groupe do~/dk, valeur qui rend la phase stationnaire.

Abondamment utilis6 en m6canique ondulatoire, ce proc6d6 connalt de nombreuses variantes : ainsi, le paquet d'ondes temporel [3] (c'est alors un signal) dont l'analyse de Fourier porte sur la variable to et qui s'av6re dot6 d'une vitesse de signal de0/dk identique A la vitesse de groupe pr6c6dente; ou encore un paquet d'ondes ~t spectre rectangulaire [6] dont l'analyse est plus ais6e ~t d6tailler, all prix d'une perte de g6n6ralit6.

II faut convenir au passage qu'une confusion quasi g6n6rale entre onde et signal - - dont la nature est

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348 G. BONNET. -- AU-DELA D'UNE VITESSE DE GROUPE

pourtant fondamentalement diff6rente - - ne facilite guSre la compr6hension et la comparaison des innom- brables expos6s traitant de ce sujet.

Le choix du crit6re de rep6re pr6c6dent pr6sente, du point de vue exp6rimental, un inconv6nient majeur : puisque, par nature, le paquet d 'ondes utilis6 poss+de un spectre dtroit, les relations d ' incerti tude rendent son maximum difficilement localisable. Si l 'on songe alors au bruit qui, ~t la r6ception, se superposera in6vitablement au paquet d 'ondes, on congoit que la d6termination de la position du maximum - - le rep~re servant in f ine ~ mesurer la vitesse de groupe (signal) - - soit entach6e d 'erreurs inacceptables.

1.1.1.2. M6thode du front.

La m6thode du front fut introduite d6s 1914, puis pr6cis6e et compl6t6e ult6rieurement par ses propres auteurs : L. Brillouin [1, 8] et A. Sommerfeld [2, 9].

L'6mission fair appel/ t un signal transitoire, passant initialement de l '6tat de repos /l une oscillation sinu- soidale d 'ampli tude constante et de pulsation co; soit, pour x - - - - 0 : s in(cot)8(-1)(0 . Une analyse par t ransformation de Fourier permet une 6tude exhaustive de l '6volution du signal en milieu dispersif, cela par le choix d 'un trajet ad6quat dans le plan complexe. L. Brillouin donne alors une d6finition pr6cise d 'une vitesse de signal en l 'associant au temps n6cessaire pour que, le long du trajet d' int6gration, soit atteint un p61e d6termin6. Cette vitesse de signal s'av~re en fait 6gale /l la vitesse de groupe dco/dk d 'un paquet d 'ondes ; sauf peut-Stre au voisinage d 'une zone de dispersion anormale. Elle correspond physiquement /l la vitesse de propagat ion du f ront du signal, r6gion dans laquelle - - par convention - - le signal per~u atteint et d6passe une valeur ddcelable.

J . A . Strat ton [10] tenta de perfectionner cette approche en recourant ~t une analyse par transfor- mat ion de Laplace, sans, pour autant, apporter des modifications substantielles.

Or, malgr6 sa grande valeur th6orique, cette m6thode du front est cependant r6put6e inapplicable par les exp6rimentateurs [11].

Trois raisons, de notre point de vue, peuvent 8tre 6voqu6es pour cela :

w Mdconnaissance thdorique de tout repbre

Bien que la d6finition de la vitesse de signal soit parfai tement rigoureuse du point de vue math6matique, il s'avSre impossible de la ramener /l des crit~res expdrimentaux. La th6orie ne permet pas de d6terminer la valeur du seuil qui servirait de rep6re pour l'arriv6e du f r o n t ; la chronologic de ce repSre conduisant alors /t l '6valuation de la vitesse de signal.

- - Presence des pr~curseurs

A. Sommerfeld a montr6 l 'existence (pour un champ 61ectromagn&ique) de micro-perturbations qui pr6- c~dent le f ront proprement dit. Ce sont les prdcurseurs, signaux tr6s faibles dont le propre f ront (ind6celable) se propage /t la vitesse de la lumi6re dans le vide.

Leur amplitude et leur fr6quence croissent avec le temps, jusqu'/t leur jonct ion avec le front principal, lequel survient ult6rieurement.

De son c6t6, L. Brillouin a d6couvert une seeonde famille de pr6curseurs, ces derniers d 'une amplitude toujours croissante avec le temps, mais de fr6quence d6croissante. Les deux families de pr6curseurs se superposent entre elles, ainsi qu'avec le signal principal.

Or, malgr6 les efforts des deux auteurs, il n 'a pas 6t6 possible de d&erminer l 'influence de ces perturbations sur la forme du front r6sultant.

Notons tout de suite que, mSme si ce r6sultat avait pu 8tre atteint, il ne serait valable en route rigueur que pour le seul type particulier de signal d'6mission consid6r6 ici : en pratique, il faudrait done ~tre capable de connaltre la forme du front r6sultant pour chacune des formes de signal qui serait utilis6e...

- - Recours d u n critbre de seuil.

La m6thode du front souffre 6videmment des fai- blesses inh6rentes /t toute m6thode de seuil, d~s lors qu'intervient la pr6sence in6vitable de bruits au niveau de la r6ception. On sait justement que la sensibilit6 au bruit est particuli6rement 61ev6e avec ces proc6d6s.

La conjonction des trois handicaps pr6c6dents oblige ainsi chaque exp6rimentateur /t ehoisir arbi- trairement ses propres critSres de rep6rage. Si ces derniers sont bien adapt6s/ t tel ou tel cas particulier, ils fourniront certes une valeur de vitesse dot6e d 'une pr6cision acceptable sans cependant qu'il soit possible de savoir s'il s'agit d 'une vitesse de front, d 'une vitesse de signal.., ou de route autre chose.

Ll.I.3. Autres m6thodes.

Mentionnons enfin d 'autres tentatives qui ont 6t6 faites pour 6chapper aux inconv6nients 6voqu6s et fond6es sur l 'analogie du d6placement d 'un fluide : m6thode du vecteur de Poynting, th6orSme de Mc Donald. Celles-ci sont plus ou moins en d6saccord entre elles et n 'appor tent d'ailleurs aucune conclusion convaincante. Aussi semblent-elles avoir 6t6 aban- donn6es.

Le lecteur int6ress6 trouvera dans les articles fonda- mentaux de C. O. Hines [4/~ 7] une 6tude particuli6re- ment d6taill6e - - et parfois d6sesp6r6e - - de l 'ensemble du probl6me.

1.1.2. Les bases d'une nouvelle approehe.

Nous nous proposons d 'adopter une approche soumise aux sp6cifications suivantes :

a) recours / t un erit6re de rep6re, r6aliste et directement accessible /t l 'exp6rience,

b) absence de toute hypoth6se pr6alable sur la forme du signal d'6mission, ou sur l '6tendue de son spectre,

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G. BONNET. -- AU-DELA D 'UNE VITESSE DE GROUPE 349

c) simplicit6 algorithmique autorisant un calcul num6rique rapide,

d) stabilit6 en pr6sence de bruit.

1.1.2.1. M6thode des moyennes.

Nous avons ainsi plusieurs raisons de rejeter et la m6thode du paquet d 'ondes et la m6thode du front.

Si nous d6cidons de mettre l 'accent sur la lutte contre le bruit, on pourrai t songer en premier lieu /t faire appel / t u n proc6d6 de filtrage adapt6, dont l'efficacitd est optimale sur ce point [12]. Cependant, ce proc6d6 nfcessite une connaissance pr6alable de la forme du signal observ6 ; ce que nous avons rejet6. Mais, par dessus tout, Ie filtre adapt6 apporte intrin- s6quement une incertitude sur la position ; ce qui est 6videmment /t exclure dans le type de probl6me consid6r6.

Nous sommes ainsi conduits /t envisager tout simplement un proc6d6 de moyenne, 6galement tr~s efficace contre le bruit. Un crit~re de moyenne est en outre dot6 de l'universalit6 recherch6e /t l '6gard des formes de signal ; sa particuli6re simplicit6 r6pond enfin aux besoins de l 'exp6rimentateur.

La plus naturelle des moyennes qui vienne alors /t l 'esprit a trait /~ la d6termination d 'une sorte de barycentre attach6 au champ lui-m~me, dont il con- viendrait d '6tudier le mouvement propre. Notons tout de suite qu 'un tel proc6d6 ne peut pr6senter d'int6r~t que dans la mesure oh, malgr6 la d6formation de l 'onde en cours de propagation, le barycentre adopt6 se d6place /l une vitesse constante, quelle que soit la complexit6 de structure de l 'onde : ce que nous ne pouvons pas savoir a priori. Nous constaterons cependant a posteriori qu'il e n e s t bien ainsi avec le crit6re adopt6 ; du moins tant que le ph6nom6ne d'absorp- tion n'est pas dominant.

D6jh, C. O. Hines 6voquait, dans [7], p. 542, un recours au << center of mass >> (que nous appellons barycentre) d ' un paquet d'ondes. Curieusement, il n 'a pas poursuivi cette tentative, apr6s s'~tre persuad6 qu'elle n ' appor ta i t pas de r6sultats sensiblement nouveaux par rappor t aux autres approches. Nous comprendrons ult6rieurement les raisons de cet 6chec.

Mais c 'est 5. L . C . Baird [13] que nous devons une contr ibution majeure : son 6tude des moments statistiques d 'une fonction d 'onde soumise/~ l '6quation de SchrOdinger a en effet mis en 6vidence des lois d'6volution temporelle s6duisantes par leur simplicit6.

I1 restait alors /t transposer ces propri6t6s de la m6canique ondulatoire au domaine de la propagation des ph6nom6nes physiques : 6quations de Maxwell ou de Laplace-Helmholtz. Une premi6re tentative en a 6t6 faite par H. M. Bradford [14], lequel a 6tabli les lois temporelles des moments d 'une onde plane progressive. En particulier, cet auteur a mis en 6vi- dence les lois de vitesse et d'61argissement d 'un paquet d 'ondes plan. Bien que les r6sultats obtenus ne soient valables que dans un domaine spatial limit6, puisque

le mod61e plan exclut la source et la re je t te / t l 'infini, les r6sultats de H. M. Bradford s'av6rent particuli6re- ment riches et prometteurs.

De ce fait, ce sont les deux travaux de base de L . C . Baird et de H . M . Bradford qu'il nous sera donn6 de g6n6raliser ici, dans le cadre d 'un sch6ma de t616communications qui englobera source, milieu et capteurs, tout en respectant l 'aspect spatiotemporel du champ progressif.

Notons enfin, pour montrer l'universalit6 de la m6thode des moments , les travaux de S. Geckeler [15] dans le domaine connexe des fibres optiques. Son 6tude a apport6 des r6sultats substantiels pour la d6termination de la loi d'61argissement d 'une impulsion br6ve dans des chaines de fibres non uniformes. Cependant, ce domaine des fibres optiques ne semble pas avoir provoqu6 une 6tude syst6matique - - m~me au moyen des moments - - de vitesses de groupe mono- ou multimodales autres que celles d ' u n paquet d 'ondes 6troit.

1.1.2.2. Cholx des moments.

I1 reste /L d6terminer la nature du barycentre envi- sag6, donc de la distribution dont on extraira le premier moment .

Si l 'on est port6 tout naturellement h envisager les moments du champ lui-m~me, on constate vite que ce choix n 'est pas valable : la raison e n e s t que les repr6sentations spatiale et temporelle de ce champ s'av~rent g6n6ralement bipolaires (parce que centr6es) et conduisent /~ des moyennes non significatives.

Nous appuyant alors sur la m6canique (centre de gravit6) ou encore sur le calcul des probabilit6s (esp6rance math6matique), nous sommes conduits /t rechercher de pr6f6rence, pour 6laborer nos moments de premier ordre :

< ~ , x > = I ~ ( x ) x d x '

une distribution ~ (x ) qui soit dot6e des propri6t6s d 'une mesure bornde ; h savoir :

non n6gative : ~ (x ) >/ 0, Vx,

- - a b s o l u m e n t sommable ; ce qui en permet la normalisation :

< o ~ , 1 >---- 1.

Ceci admis et par analogie avec notre probl6me, le recours au formalisme de la m6canique quant ique relatif ~ la moyenne d 'une observable (temps ou longueur) dans un gtat, nous incitera (w II.2.1.1.) A choisir comme rep6res les premiers moments de la densit6 d'6nergie normalis6e (densit6 spatiale pour l 'onde, temporelle pour le signal). Une telle distr ibution poss6de effectivement les propri6t6s requises d ' une mesure born6e. Ce choix constituera ainsi un pro- longement direct des t ravaux de L . C . Baird [13].

Le crit6re adopt6 selon ces consid6rations nous donnera respectivement un centre d'onde et un centre de signal dont les mouvements s 'av6reront str ictement

5/22 ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983

350 G. BONNET. -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E

uniformes ; avec une vitesse d'onde pour le premier et une vitesse de signal pour le second.

1.1.2.3. M6thodologie .

Un champ rayonn6 constitue, par essence, une grandeur spatiotemporelle. C'est pourquoi nous con- duirons d61ib6r6ment l '~tude de sa propagation en milieu dispersif dans le formalisme et avec la m6thodo- logic de la th$orie du signal spatiotemporel et de ses representations.

Une telle at t i tude se justifie tout d ' abord parce que le domaine d 'appl icat ion de eette doctrine est parfaitement conforme ~ la nature profonde du pro- bl6me. Ensuite, paree que l 'outil puissant que constitue la th6orie du signal a d6sormais fait amplement la preuve de son efficacit6 en m~me temps que de sa clart6 : nous esp6rons bien en montrer ici un nouvel exemple.

I1 nous faut auparavant nous pencher sur l 'analyse du champ rayonn6, de ses constituants spatial et temporel et de ses quatre repr6sentations possibles : ce sera l 'objet du w 1.2. suivant.

1.2. C H A M P , ONDE ET SIGNAL

1 . 2 . 1 D 6 f i n i t i o n s .

Nous commen~ons par le cas monodimensionnel, en consid6rant la propagat ion d 'une grandeur physique (~lectromagn6tique, acoustique, etc.) dans une ligne de transmission dispersive s de longueur infinie.

Nous adopterons, dans l '6tude qui va suivre, les trois d6finitions suivantes :

a) Ddfinition 1 : champ 8 + .

Le champ 8+ est la per turbat ion spatiotemporelle qui se propage dans la ligne s ; grandeur que nous supposons engendr6e par un transducteur fixe situ6

l'abscisse origine O (Fig. 1). Le champ 8+ concerne la propagation vers la droite (x i> 0).

Ses param&res descriptifs sont :

- - le lieu (x variable),

la date (t variable).

b) D~finition 2 : onde f2t .

L'onde ~ t est la grandeur spatiale qui d6crit l '6tat du champ dans la ligne ; 6tat observ6 h u n instant t donn6. Les param6tres sont :

lieu (x variable),

- - date (t fixe).

Le premier probl6me pos6 est de d6finir un point de r6f6rence caract6ristique dans cette onde, le centre d'onde X(t) et de d6terminer sa vitesse de propagation, la vitesse d'onde Vn .

FIG. 1. - - Couplage entre signaux d'6mission (if) et de r6ception (Ox) par une onde progressive (f2 t) dans une ligrte dispersive (s

Emitting signal( ~ ) to receiving signal( Ox) COupling thru a travelling wave (f~t) in a dispersive transmission line (s

c) D~finition 3 : signal Ox.

Le signal Ox est la grandeur temporelle induite par le champ progressif dans un capteur situ6 ~t l'abscisse curviligne x donn6e (Fig. 1). Les param6tres sont :

- - lieu (x fixe),

- - date (t variable).

Le second probl6me est de d6finir une date de r6f6rence caract6ristique dans le signal, le centre de signal T(x) et de d6crire le temps de vol 6metteur-capteur dans la ligne, sous la forme d 'une vitesse de signal Vs. A priori, les deux vitesses Vn et Vs d~pendent ~t la fois de la nature de la ligne dispersive s et de la structure de l'6mission 5' du transducteur.

1 . 2 . 2 . R e p r 6 s e n t a t i o n s e t s c h 6 m a g 6 n 6 r a l .

1.2.2.1. #,,mission.

Le transducteur, plac6 ~t l'abscisse x ----- 0 de la ligne s impose en ce point une condition aux limites, sous la forme d 'un signal ff r6el et d6terministe. Pour d6crire temporellement ce signal ~Y, nous utiliserons son signal analytique P(t) et pour le d6crire fr6quen- tiellement, la transform6e de Fourier (TF) de ce dernier,

(1) x ----- 0 --~ r : P(t) ~ p(v),

off ~- symbolise une transformation de Fourier T

temporelle. S'agissant d 'un signal analytique, p(v) est - - comme

on le sait - - limit6 aux seules frOquences temporelles positives : v >~ O.

HypothOse H :

P(t) est une fonction, telle que, simultan6ment :

(2 a) t P(t) ~ s

dP (2 b) d--t ~ g2.

ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983 6/22

G. BONNET. -- AU-DELA D'UNE VITESSE DE GROUPE 351

I1 en r6sulte a fortiori que P e t p sont de E5 (carr6 sommable) : le signal d'6mission ff est - - comme il se doit - - d'6nergie finie. De plus, vp(, 0 et dp]dv sont 6galement de gz.

Cette hypoth6se H, rendue n6cessaire pour assurer l'existence des grandeurs introduites ult6rieurement, peut paraitre assez restrictive du seul point de vue math6matique. Physiquement, il n 'en est pas de m~me; songeons par exemple que n'importe quel signal continu tel que, ou bien P(t), ou bien p(v) ait un support born6, s'av6re enti6rement conforme /~ eette hypoth6se H.

1.2.2.2. R6eeption.

Un capteur (ou une famille de capteurs) situ6 /t l'abscisse curviligne x engendre un signal, 6galement r6el, t~x �9 On le d6crira, temporellement, par son signal analytique Qx(t) ; ce qui donne le couple,

(3) x --> ~ : Qx(t) ~ qx(V).

1.2.2.3. Champ progressif ~ + .

On s'int6resse uniquement au champ 8+ qui se propage vers la droite, x >~ 0. Ce champ constitue en lui-mSme un signal spatiotemporel. A ce titre, lui sont attach6es un certain nombre de repr6sentations [16] parmi lesquelles nous en choisirons quatre pour d6crire 8+ (*) :

a) Reprdsentation-ST (spatiotemporelle) observde clans l'espace a une date t donnde : S(x, t)

Cette fonction sert/~ d6crire le champ 8+ dans son ensemble; donc, conjointement, l 'onde spatiale f i t , aussi bien que le signal temporel ~x perfu en un point x donn6.

b) Reprdsentation-F (~ tout-fr6quence ~) : E ( f , ~).

Elle remplit le mSme r61e de description exhaustive du champ 8 + , mais par une analyse en fr6quences. Ces derni6res sont de deux types,

f : fr6quence-S (spatiale) de dimension L-~ , v : fr6quence-T (temporelle) de dimension T -~.

c) Reprdsentation mixte-ft (fr6quence-S, temps) : s ( f , t).

Elle servira ~t d6crire l 'onde ~ t ~t la date t par une analyse en fr6quences spatiales.

d) Reprdsentation mixte-xv (espace, fr6quence-T) : ,~(x, ~).

Son r61e sera la description du signal t~,, capt6 au point x, selon une analyse en fr6quences temporelles.

Conform6ment h la th6orie de la repr6sentation des signaux [16], les quatre fonctions pr6c6dentes sont associ6es entre elles par des transformations de Fourier. Afin de d6crire clairement cette liaison multiforme, nous recourrons ~t un sch6ma que nous

(*) Dans tout ce texte : le sufflxe -S- sera affect6 h des grandeurs spatiales ; le suffixe -T- /t des grandeurs temporelles.

S(x,t)

s(f, t)

~+ E(f,~) % y3

FIG. 2. - - Losange de Fourier : relations de transformation de Fourier spatiale (S) ou temporelle (T) entre les quatre

repr6sentations du champ 8+.

The Fourier diamond : space (S) or time (T ) Fourier transforms between the four representations o f f ield 8+.

avions d6j/t utilis6 avec profit [17] et que nous d6nom- merons losange de Fourier : c'est celui de la figure 2.

1.2.2.4. Cas particuliers.

Trois de ceux-ci m6ritent d 'etre 6voqu6s, en raison du r61e qu'ils joueront par la suite :

a) Liaison signal d'dmission ff ---> champ 8 + . Nous posons, par hypoth6se :

S(0, t) ~- P(t), (4) x = 0 --> ff : ~(0, '0 P('~).

b) Liaison champ 8+ ~ signal de rdception Ox. Egalement par hypoth6se :

t Qx(t) ~ S(x, t), (5) x - + t~x: qx(v) =- -~(x ,%

c) Etat f~o de l'onde d la date origine (onde origine). Nous utiliserons l'6criture simplifi6e :

l So(x) -= S(x, 0), (6) t ----- 0 ---> •o : so(f) s ( f , 0).

1.2.2.5. Grandeurs 6nerg6tiques.

Quatre &entre elles vont avoir un r61e/l jouer. Toutes seront normalis6es /t 1'unit6, devenant ainsi sans dimension :

a) Densitd spatiale d'dnergie du champ 8 + , tl la date t (normalis6e).

Elle d6crit la r6partition de !'6nergie du champ dans la ligne s /L l ' instant t (donc de l'6nergie de l 'onde f2t). C'est la quantit6 :

(7) E t ( x ) = IS(x, t) I = / I I s l I ~ ,

dans laquelle :

= I IS(x, 0] 2 Ilsll dx,

est le carr6 de la norme partielle de S(x, t), prise par rapport /l la seule variable x : /l un coefficient constant pr6s, il s 'agit de l'dnergie contenue dans l 'onde f~t au temps t.

b) Densitd spectrale-S d'dnergie, ~ la date t (norma- lis6e) :

(8) gt(f) ----Is(f, t)l~lllsll~. 7/22 ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983

Elle d6crit la distribution de l'6nergie de l 'onde f~t, soit IIsIl x -- Ilsll~, selon l'axe des fr6quences-S f .

c) Puissance instantanOe du signal capt~ Ox au point x (normalis6e)

(9) Wx(t) = IS(x, t)l~/llsll ~, =-IQx(t)l=/llQ=ll ~.

Cette densit6 temporelle joue un r61e sym6trique de celui de la densit6 spatiale Et(x). Ici, la norme carr6e [[sll~ est partielle par rapport h la variable t : c'est l'6nergie contenue dans le signal 0.~ capt6 au point x.

d) Densitd spectrale-T d'dnergie, au point x (norma- lis6e)

(10) yx(~) = [or(x, ~/)[21[]0"112 ~ [q~(v)[z/]]qx[] 2.

Elle d6crit la distribution de l'6nergie du signal O~, [[SII ~ = []cr[[~ (6galement, cf. (5): ]l Q~112 = [[qx][2) selon l 'axe des fr6quences-T v.

I I . Af f a ib l i s s cmcn t n ~ g l i g c a b l e

Cette hypoth6se d'affaiblissement n6gligeable est id6aliste et peu d6fendable en pr6sence d 'une ligne dispersive ; elle retiendra cependant longuement notre attention. Une telle attitude se justifie, non seulement en raison des simplifications qu'elle apporte, mais surtout par le maintien (que nous constaterons ult6rieurement) de la validit6 d 'une grande partie de ses r6sultats aupr6s d 'une large classe de mod61es d'affaiblissement.

I L l . LES REPR]~SENTATIONS

II.l.1. Repr6sentation mixte-xu (signal O~).

D6crivons par c(v) la vitesse de phase temporelle (avec c('0 > 0).

* A l'Omission, une composante pseudo-mono- chromatique centr6e sur une fr6quence-T 6gale /l v et affect6e d 'une amplitude P('0 d,~ ---- or(0, v) dv engendre la composante progressive , (x, ,~) dr.

* A la rgception, l'influence du temps de parcours x/c(v) fait que :

(11) ~(x, ~) ~-qx(~) = p(~)exp - - 2 ~ i ~

I1 est 6vident que,

(12a) 16(x, v)] =--Iq~(v)l = Ip(v)[, vx,

ce qui traduit simplement le fait de n6gliger l'affaiblissement. I1 en r6sulte :

(12 b) 110112~ ~- ]]qxll ~ = IlPll ~, v x.

De ce fait, la densit6 spectrale-T d'6nergie Yx d6finie par (10) demeure conservative; elle peut s'6crire plus simplement,

(13) Y('0 = [P(~)] ~111PI[2, V x.

En tout point de la ligne, cette derni+re s'identifie avec la densit6 spectrale-T d'6nergie du signal d'dmission ~.

La ligne g agit, cf. (11), dans le transfert $ --> Ox entre transducteur et capteur, comme un filtre lin6aire temporel, le f ibre de signal 9),, (Fig. 3), dont le gain complexe est :

I xl dx(v)---- exp - - 2 7 : V i c ~ "

q I FIG. 3. -- Filtre temporel unitaire 6quivalent /l une longneur x

de la ligne E : le filtre de signal ~l)x.

Time invariant unitary filter equivalent to a length x of the line ~ : the signal filter ~Dx.

H.1.2. Repr6sentation fr6quence (champ 8+)

Sur le losange de Fourier de la figure 2, nous passons ~ Z(f , v) par une transform6e de Fourier spatiale directe de l'expression (11) de ~r(x, v) ; ce qui donne :

(14) Z ( f , ~) = p(v) 8 f + .

11.1.2.1. Correspondance f(v).

La premiere cons6quence de cette expression est d'importance : le support de la distribution de Dirac fournit la n6cessaire correspondance, au sein du champ progressif 8 + , entre fr6quences spatiales f et fr6quences temporelles v. Ceci, sous la forme :

(15) f = - - ,ffc(~).

En d'autres termes, cette premikre relation fondamentale exprime f e n fonction de v. On remarquera que, puisque c(v) > 0 (vitesse de phase) et v ~> 0 (signal analytique), le champ progressif 8+ est d6crit uniquement en fr6quences spatiales n6gatives :

(16) f < 0.

II.1.2.2. Correspondance ,~(f).

A l'inverse, l 'on peut songer h exprimer v en fonction d e f :

Posons, comme seconde relation fondamentale :

(17) x ( f ) ---- c[v(f)].

z ( f ) repr6sente la vitesse de phase spatiale ( z ( f ) > 0).

ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983 8/22

G. BONNET. -- AU-DELA D 'UNE VITESSE DE GROUPE 353

L'inversion de la relation (15) fournit la troisibme relation fondamentale :

(18) v = ~ f z ( f ) .

La vitesse de phase spatiale pourrait aussi bien s'exprimer en fonction de la longueur d 'onde Z, consid6r6e traditionnellement comme positive. On a :

1 - - k (19 a) f . . . . (k > 0 : vecteur d 'onde ;

X 2 ~ I f I: nombre d'ondes).

Ceci conduirait A utiliser une troisi6me vitesse de phase :

(19 b) ~(X) ----- X(-- l /X) ---- c[v(-- i/X)].

H.1.3. Repr6sentation mixte-ft (onde f2t)

Le losange de Fourier montre que l 'on peut atteindre s ( f , t) A partir de Z ( f , v) par transform6e de Fourier temporelle inverse. On dispose pour ce faire de l'expression (14) de Z et des relations fondamentales (17) et (18). Tenons compte de la propri6t6 connue de la distribution de Dirac :

f + = ~ f + ~- x ( f )~ [v + f z ( f ) ] .

Nous obtenons imm6diatement la transform6e de Fourier recherch6e :

(20) s ( f t) ----- z ( f ) P [ - - f z(f)] exp{-- 2 x i f z(f)t}.

On d6duit de cette formule la repr6sentation-F de l 'onde f~o origine, so(f) = s ( f , 0), 6criture introduite en (6) :

(21 a) so(f) = z ( f ) P [ - - f x(f)] ,

ce qui donne plus simplement :

(21 b) s(f, t) = so(f) exp(-- 2 7= i f z ( f ) t}.

L'absence de pertes est bien traduite par le fait que :

(22a) Is(f, t)l = lso(f)l, Vt,

d'ofi il r6sulte, pour les normes,

(22 b) 114IS, - - I lsoll 2, V t.

Par suite, la densit6 spectrale-S d'6nergie d6finie par (8) est conservative; elle s'6crit plus simplement :

(23) g(f) = Iso(f)lVllsoll ~

H.1.4. Representation spatiotemporelle (champ q~ +)

Nous pouvons enfin exprimer S(x, t), du moins formellement, par transform6e de Fourier-T inverse de a(x, ~) : ce qu'indique le losange de Fourier de la fgure 2. Etant donn6 l'expression (11) de ~, nous obtenons :

(24a) S ( x ' t ) = ! R + e x p ' t 2 ~ i v ( t - - c - ~ X ) I P ( v ) d v "

(R+ : demi-axe des fr6quences-T positives). Cette expression analytique ne peut 6videmment pas ~tre d6velopp6e davantage sans que la vitesse de phase-T, c(v), soit sp6cifi6e.

On obtiendrait, de la m~me mani6re, par transform6e de Fourier-S inverse de s ( f , t), suivant le m~me losange de Fourier et l 'expression (21 b) de s :

(24 b) S(x, t) = IR- exp(2 n i f [ x - - z ( f ) t]} So(i) df,

(R_ : demi-axe des fr6quences-S n6gatives). Reprenons l'6galit6 (12b) entre normes :

I1<,11 = I lp l l ' , v x .

La r~gle de Parseval identifie alors les normes de la paire de Fourier a(x, v) ~ S(x, t) ; il en est de m~me

pour les normes de la paire p(v) ~ P(t). Nous avons

ainsi :

(25) I l s l t : ~ ][Qxi[ 2 = I]P][ 2, V X,

ce qui traduit l ' invariance de l'6nergie totale du signal cap t60x vis-A-vis de l'abscisse du capteur.

De mEme, l'6galit6 (22 b) :

Ilsll , = llsoll 2, v , , ainsi que l 'application de la r6gle de Parseval A la paire s( f , t) s S(x, t) conduisent A :

(26) llsll - - llSoll vt,

ce qui est la traduction du fait que l'6nergie de l 'onde ~ t est conservative.

II.2. CENTRE D 'ONDE ET FRI~QUENCE SPATIALE CENTRALE

H.2.1. Centre d'onde.

H.2.1.1. Crit~re de distribution.

Nous cherchons A d6finir un crit6re quanti tat if traduisant, h chaque instant t, une position spatiale de r6f6rence de l 'onde ~ t : le centre d'onde X.

Pour les raisons expos6es au w 1.1.2., nous sommes conduits A rechercher une distribution ~(x, t) dot6e des propri6t6s d 'une mesure born6e. C'est son premier moment, pris sur la variable d'espace x, qui jouera alors le r61e du centre d'onde instantan6 X(t).

X(t) = < to, X > x -

Pour ce faire, reportons-nous aux proc6d6s de la m6canique quantique : la valeur moyenne d 'une observable (op6rateur) X dans l'6tat +(x) y est d6finie par :

< l+]2, x > < + , x + >

< x > , = II+ll - I1+[[ 2

La distribution 1+12/11+112 est non n6gative et norma- lis6e A l'unit6 : c'est bien une mesure born6e.

9/22 ANN. T~LI~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983

354 G . B O N N E T . -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E

En nous conformant au formalisme pr6c6dent, nous allons faire jouer /l l 'onde f~t le r61e d'6tat, r6alisant ainsi une analogie (purement convention- nelle) entre sa repr6sentation S(x, t ) / t la date t et une fonction d 'onde +(x). Ceci nous conduit 5. adopter comme distribution la quantit6 :

(27) t) = IS(x, t)[ lllSll . Compte tenu maintenant de la relation ant6rieure

(26), nous savons que le d6nominateur de ~(x , t) est en fait une constante en l 'absence d'affaiblissement ; c 'est l '6nergie transport6e par l 'onde IIs/l x = IISoll ~

Nous constatons aussi que la distribution (27) n'est autre que la densitd spatiale d'dnergie (normalis6e) de l 'onde f~t a l ' instant t, d6crite par (7) :

~(x , t) = Et(x).

Cette distribution s'identifie par ailleurs /L celle utilis6e par H. M. Bradford [14] pour sa d6termination des moments d 'un paquet d 'ondes planes.

11.2.1.2. Expression temporelle du centre d'ondes. (Fig. 4)

Disposant de la distribution (27), nous d6crivons le centre d'onde par son abscisse X(t) /~ l ' instant t,

FIG. 4. a) Centre d'onde X et 6tendue L (date t). b) Fr6quenee spatiale centrale F et largeur spectrale @(Vt).

a) Wave center X and spread L (at time t). b) Central spatial frequency F and spectral width d~(Vt).

sous la forme du premier moment de ~ , donc du produit scalaire partiel :

(28) ] X(t) = < x > , =

< S, x S >~

IIsIl '

avec Ilsl/2 = IISoll 2

L'expression d6velopp6e e n e s t :

ANN. T~L~COMMON., 38, n ~ 9-I0, 1983

<lsI2,x>x X(t) -- Ilsll

= igls(x, t)12xdx [IRlS(x, t)l dx] -' Remarques.

a) La position instantan6e X(t) du centre d 'onde correspond ainsi/ t la moyenne de l 'op6rateur x dans l '6tat S(x, t) d6fini par l 'onde f2, ~t la date t.

b) Notons que l 'existence de X(t) est garantie par l 'hypoth6se H du w 1.2.2.1.

c) Nous grouperons l'essentiel de ce qui pr6c6de dans la r6gle I.

Rbgle L

La position X du centre d'onde d l'instant t e s t donnOe par la moyenne < x >~ de l'opdrateur x (abscisse) dans l'dtat S(x, t) dOfini par l'onde progressive f~t . La distribution correspondante est la densitd spatiale d'dnergie (normalisde) de l'onde : Et : Isl /llsIl . 11.2.1.3. Expression fr6quentidle-S du centre d'onde.

Le losange de Fourier de la figure 2 indique que :

S(x, t) ~ s ( f , t).

I I e n r6sulte : - - I bs

x S(x, t) .~ 2 rr i b f "

Au d6nominateur de (28), la r6gle de Parseval permet de substituer la norme II~ll~ ~ I I s / Ix Au num6rateur, elle permet de remplacer le produit scalaire < S, x S > x par < s, ( - - 1/2r~i) ~s /~ f > s .

On obtient ainsi l 'expression fr6quentielle-S du centre d 'onde, exprim6e/t part ir des seules grandeurs de la repr6sentation mixte-3~ :

- - 1 < s, i3s/bf > (29) X(t) -- 2r~i IIsIl '

a v e c IIslJ = Ilsoll x.

II.2.2. l~tendue de l'onde (Fig. 4)

Le centre d 'onde X repr6sentant le premier moment de la densit6 spatiale d'6nergie normalis6e Et(x), l'~tendue de l'onde L autour de son centre X peut ~tre d6crite au moyen du second moment centr6 de E t .

L'6tude de l '6volution de L au tours du temps pourra alors apporter une certaine description de la d6formation de l 'onde f~t lors de sa propagation dans la ligne s

Nous adoptons ainsi, afin de d6finir l '6tendue de l 'onde f~t /t l ' instant t, la quantit6 L(t) telle que :

(30) < S, x2S > x

L2(t) = < X 2 > s - - < X > 2 - - IIsll X2(t)"

L2(t) s'interpr6te comme la moyenne de l 'op6rateur (x - - X) 2 dans l '6tat S(x, t).

L'expression condens6e de l'6tendue L(t) est, selon (28 ) :

(31 a) L ( t )= t l l s [ l~ l l x s l [~ -< S, xS >~]~'~/lls[[~, et son expression fr6quentielle-S, cf. (29) :

(31 b) [ bs 2 bs [q 1/2 /

-- < / 2 = l l s l l ~ L(t) t llsll~ @ - i /

Remarques.

a) L'application de l'in6galit6 de Schwartz/l l 'une ou l 'autre des expressions pr6c6dentes permet de v6rifier que L2(t) est bien positif (nul dans le seul cas trivial S(x, t) = 0, vx).

b) Notons qu 'un crit~re quadratique similaire est utilis6 de longue date [18] pour 6tablir les relations d'incertitude dans le cas des signaux monodimension- nels.

c) L'existence de L(t) est assur6e par l 'hypoth~se H du w 1.2.2.1.

H.2.3. Fr6quence spatiale centrale F et largeur spectrale ~ .

En transposant ce qui pr6c6de en repr6sentation mixte-ft, nous adoptons pour fr~quence spatiale centrale F(t) de l 'onde f~t, la moyenne de l 'op6rateur /' dans l '&at s ( f , t) ; la distribution correspondante est ainsi la densitd spectrale-S d'~nergie, cf. (8) :

g t ( f ) = Is(f, t)[2lllsll$.

c e qui donne (Fig. 4) :

a) Premier moment : frdquence spatiale centrale F.

On a, au d6part :

< s, f s > S F = < t > s -- llsll~

Mais la relation (21 b) :

1 < S, bS /~x >~

- - 2 7~ i IIsll~ '

s ( f t) = So(f) exp( - - 2 ~x i f z ( f ) t},

permet d'exprimer cette grandeur sous la forme, ind6pendante de t :

(32) < so,fSo > 1 < So, dSoldx >

F = < / > s - - ilsoll 2 - 2 ~ i IISoll ~

b) Second moment centrd : largeur spectrale ~. Elle est telle que :

(33 a) q)2 = < (j,__ F ) 2 > s : < t 2 > s - - < f > s 2.

Cette quantit6 s 'exprime par :

[ , [l s, oxll * = t l l , l l ~ - / = 4 ~ 2 []s]]~ - F2 �9

Sa valeur, selon la relation (21 b) pr6cit6e, s'av6re 6galement ind@endante de t ; soit :

(33 b) = tllsoll = l lfsoll 2 - < so , f s o >~]'-,~

Ilsoll = tllSoll ~ lldSoldxll ~ - - I < So, dSo/dx >12] 1'2

2 = IlSoll ~

e) Ce comportement apparait d'ailleurs comme une n6cessit6 si l 'on consid6re que, cf. (21 b) :

Is(f, t)[ = ]so(f)l , Vt.

L'invariance du module du spectre dans la propagation entralne alors celle de F et de ~ , ainsi que des moments de tous ordres , lesquels ne d6pendent que de ce module.

d) Nous r6sumons par la r6gle II.

Rbgle IL

Lorsque l'affaiblissement peut ~tre ndgligd, la frO- quence spatiale eentrale F et la largeur spectrale d'une onde Ot sont des invariants. Ils reprdsentent la moyenne, dans l'dtat initial so(f ) : F de l'opdrateur [ (frdquence spatiale) ; �9 2 de l'opdrateur ([ ~ F) 2. Plus g~ndralement, les moments de tous ordres de l'opdrateur f dans l'dtat S(x, t) sont des invariants de propagation.

11.3. VITESSE D ' O N D E ET VITESSE DE G R O U P E

II.3.1. Propagation du centre d'onde : vitesse d'onde Vn.

On obtient facilement la position instantan6e X(t) du centre d ' o n d e / t partir de sa d6finition (29) et de l 'expression (21 b) de s(f, t). Ainsi, lorsque l'affaiblissement est n6gligeable, on a :

s ( f t) = so(f ) exp{-- 2 7~ i f z ( f ) t},

~s [dso ~ d ] -~-f = [ - ~ - - z rc i so( f ) ~ [f z ( f ) ] t •

exp{-- 2 r~ i f x ( f ) t).

En portant dans (29), on obtient tout simplement et sans aucune approximation :

(34) X(t) = Xo + Vn t,

apr6s avoir pos6, successivement :

< So , x So > - - 1 < so , dsold f >

(35) X o = ilSoll 2 = 2 ~ i Ilsoll 2

(Xo est la position du centre d 'onde h la date origine t = 0 ) ,

< So, So d [ f z ( f ) ] l d f > (36) Vn = ilSol[ z

On constate que le centre d 'onde, tel qu'il est d6fini par (29), est dot6 d 'un mouvement uniforme; cela malgr6 la d6formation de l 'onde au tours de sa progression et quelle que soit la complexit6 de sa structure.

11/22 ANN. T~L~COM~m., 38, n ~ 9-10, 1983

356 G. BONNET. - AU-DELA D ' U N E VITESSE DE GROUPE

La constante Vu a bien les dimensions L T - ~ d'une vitesse : nous l 'appellerons vitesse d'onde.

V, apparalt comme la moyenne de l 'op6rateur d

[[ Z(/)] dans l '6tat d6fini par so(f) , la description

fr6quentielle-S de l 'onde origine f~o- La distribution correspondante, [sol /llSol[ s'identifie, cf. (23), avec la densit6 spectrale-S g ( f ) de l 'onde origine. Ce r6sultat est en accord avec celui de H. M. Bradford [14], qu'il g6n6ralise.

H . 3 . 2 . V i t e s s e d e g r o u p e .

Tenons compte de la relation fondamentale (18) :

v = - - f x ( f ) .

d Alors, la quantit6 ~ - f [ f z ( f ) ] qui intervient dans

l 'expression (36) de la vitesse d 'onde, peut s'6crire tout aussi bien :

d d v ( f ) (37) U ( f ) = ~ [ f z ( f ) ] = d f '

la variable v &ant trait6e comme une fonction de f . On peut consid6rer qu'il s'agit ici de la repr6senta-

tion-ft d ' un opOrateur abstrait :

(38) U = - - - - dr"

Nous d6signerons U par le terme vitesse de groupe. On voit qu 'une telle grandeur est li6e uniquement au milieu. Il convient donc de bien distinguer cette vitesse de groupe de la vitesse d 'onde ainsi que de la vitesse de signal ~t venir, lesquelles d6pendent h la fois du milieu et de la structure du champ.

L'expression pr6c6dente (36) de la vitesse d 'onde se symbolise ainsi par la moyenne de l 'op6rateur vitesse de groupe U dans l '&at so(f ) :

dv (39) Vu = < O >~o -~ < - d r >~~

Bien entendu, cf. (37), la vitesse de groupe se confond avec la vitesse de phase (spatiale) en l 'absence de dispersion : U---- Z = const., Vf

L 'op6rateur inverse U- ~ est 6videmment :

,It (40) U - ~ --

Nous d6signerons U- ~ par le terme vitesse inverse de groupe.

Consid6rant la variable f comme une fonction de v, selon (15), nous pouvons 6crire la repr6sentation-xv de cet op6rateur inverse sous la forme :

d r (v ) d (41) U- x(v) ----- dv -- dv [v/c(v)].

En utilisant la pulsation co = 2 r~ v ainsi que le vecteur d 'onde k = - - 2 ~ f , cf. (19 a), la vitesse de

groupe (38) a pour expression 6quivalente :

dco (42 a) U = d--k"

On pourrait 6galement faire appel h la longueur d 'onde X = - - l [ f , cf. (19 a), ainsi qu'/~ la c616rit6 6(X) = Z(-- I/X) ; ce qui conduira i t / t :

d~ (42 b) U = ~ (X) - - Z d~"

Les trois expressions 6quivalentes (38), (42b) et surtout (42 a) mont ren t alors que la vitesse de groupe U, qui s'est introduite spontan6ment dans notre &ude, s'identifie enti6rement avec la vitesse de groupe (signal) de la th6orie classique du paquet d 'ondes : nous en trouverons une explication au w II.5.3.5.

C'est la raison pour laquelle il nous a sembl6 utile de conserver pour U cette appellation de vitesse de groupe, largement consacr6e par l'usage. De m~me, l 'expression (41) de l 'op6rateur inverse U - z est celle qu 'a utilis6e C. O. Hines [4] et [5] pour son signal h spectre rectangulaire.

Nous avons 6tabli la r6gle suivante :

Rbgle III.

Lorsque l'affaiblissement peut ~tre ndglig~, le centre d'onde X se propage avee un mouvement uniforme. Sa vitesse eonstante, la vitesse d'onde, est la moyenne de

dv l'opdrateur vitesse de groupe, U = - - - ~ , dans l'~tat

so(f) d~terrnin~ par la structure de l'onde f~o a la date origine t = O. La distribution eorrespondante est la densitd speetrale-S d' ~nergie normalisOe g( f ) = ISo( f ) l~ / l l so l l �9 de cette onde origine.

Ii.4. CENTRE DE SIGNAL

11.4.1. Approche.

a) L 'approche pr6c6dente du centre d 'onde X (grandeur spatiale) ainsi que de sa vitesse d 'onde V, est associ6e intrins~quement au ph6nom~ne de propagation du champ 8+ dans la ligne dispersive ~. Elle repose sur la connaissance de so(f) ; d o n c sur celle de l 'onde spatiale S(x, 0) qui r6gne au temps t ---- 0 tout le long de la ligne.

Sa d6termination exp6rimentale directe n 'est pas en g6n6ral envisageable. II faut alors d6duire analyti- quement so(f ) par la relation (21 a) / l partir du signal P(t) ~ p(v) 6mis par le transducteur.

Quant /t savoir laquelle des deux c616rit6s, z ( f ) ou c(v), est directement accessible /t l 'exp6rimenta- tion, la r6ponse d6pend de chaque cas d'esp6ce. Le passage de l 'une h l 'autre est alors imm6diat.

Bien plus gSnant, du point de vue exp6rimental, est le fait que le recours au centre d 'onde ne semble

ANN. Ti~L~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983 12/22

pas, a priori, permettre une d6termination directe du temps de vol du signal entre les points d'6mission et de r6ception.

b) Nous sommes ainsi conduits /t rechercher une alternative beaucoup plus r6aliste, qui fasse appel aux deux grandeurs directement aecessibles /l l'exp6- rience :

- - le signal P(t) = S(0, t) engendrS par le transducteur d'6mission situs au point origine de la ligne,

- - le signal Q~(t) -- S(x, t) perqu par un capteur situs /~ l'abscisse x de cette ligne.

Une telle attitude va nous conduire/ t la notion de centre de signal T (grandeur temporelle/t l'oppos6 de X) dont nous d6duirons celle de vitesse de signal Vs.

H.4.2. Centre de signal.

Nous allons d~terminer l ' instant d'occurrence d'une rSf6rence temporelle du signal per~u par le capteur d'abscisse x : le centre de signal T (Fig. 5).

Cette derniSre repr6sente physiquement, cf. (9), la puissance instantan6e (normalis6e) W~(t) du signal d 'un capteur situ6 h l'abscisse x :

w x t ) = I a ~ 1 2 / l l O ~ l l "~

De plus, selon (25), le d6nominateur est 6gal/t l'6nergie totale du signal d'6mission :

I l a x l l ~ = I l e l l 2

b) Le centre de signal /t l'abseisse x de la ligne est alors dSfini par la moyenne de l 'op6rateur t (temps) dans l '6tat Qx, soit :

I < Qx, t Qx > (44) T ( x ) ---- < t > o ---- I I Q~II 2 '

Rbgle IV.

L'dpoque T du centre de signal perfu par un capteur d'abscisse x est donnde par la moyenne < t > o de l'opdrateur t (temps) dans l'dtat Q~(t) ddfini par le signal. La distribution correspondante est la puissance instantande (normalisde) locale :

W,(t) : IQ~(t)l=lllO~l[ 2

e) Expression frdquentielle-T du centre de signal

On a, cf. (3) :

Q,(t) ~- qx(v),

- - 1 dqx tQ~(t) ~ - 2 ~ i dv "

D'ofi, par l'6galit6 de Parseval,

dqx - - 1 < q*' -d~v >

(45) T(x) = ~2~i Ilqxll 2 '

description frSquentielle-T du centre de signal, /~ partir des grandeurs de la repr6sentation mixte-xv du champ, a(x, v) ~ q=(v), cf. (5). On sait en outre, cf. (12 b), que IIq~ll 2 - - I l p l l 2 = Ilel12 : e'est l'6nergie totale du signal d'6mission.

FIG. 5.

a) Centre de signal T et dur6e (9 (abscisse x). b) Fr6quence temporelle centrale N et largeur de bande

B(Vx).

a) Signal center T and duration (9 (abscissa x). b) Central temporal frequency N and bandwidth B (u

a) Transposant le eritSre spatial adopt6 pour le centre d 'onde (w 11.2.1.), nous adoptons une distribution temporelle d&ermin6e par l'Stat S(x, t) --~ Qx(t), ayant done pour densitS :

(43) IS(x, t ) l~ / l l s I I 2 = IQx(t)12/llQ,,l[2.

H.4.3. DurOc du signal.

Comme pour la notion d'6tendue de l 'onde, nous adoptons un critSre quadratique pour dSfinir la durde du signal, 6) (Fig. 5), autour de son 6poque centrale T ; /l savoir la moyenne temporelle de l'op6- rateur (t - - T) 2 dans l'6tat Qx(t) :

(76) | = < t 2 > O - < t > ~

< a x , tZQ~ > - - II Q~II ~ - T2(x)"

a) L'expression temporelle ~quivalente de cette dur~e du signal est :

(47 a)

6)(x) = [11Q~II 2 I l t a x l l 2 - - < a x , t a x >211'211Qx11-2

ANN. T~L~COMMUN., 38, n* 9-10, 1983

b) L'expression fr6quentielle-T e n e s t :

(47 b) O(x) = [[Iq~ll 2 dqx 2

T 4 - -

[ dq~ 2 ] / < qx, ~-~ > (2~ Ilqxl[0.

II.4.4. Fr~quence temporelle centrale N et largeur de bande B.

11.4.4.1. Premier moment: fr6quence temporelle centrale N (Fig. 5)

Parall~lement ~ la d6finition de la fr~quence spatiale centrale F (w II.2.3.), nous prenons pour fr6quence temporelle centrale N du signal de r6ception (Fig. 5), la moyenne de l 'op6rateur v dans l '&at q~(v) ; soit :

< q ~ , vq~ > 1 < Q ~ ' - ~ t ~ >

N = < ~ > ~ = ilqxll ~ 2 r c i = I la= l [ 2

Alors, l 'expression (11) de q~(v) = ~(x, u) montre imm~diatement que, ind6pendamment de x :

d P 1

(48) N = < ~ > p - - [ipll~ - 27: i [IPll 2

II.4.4.2. Second moment centr6 : largeur de bande B (Fig. 5)

Ce sera la quantit~ B telle que :

(49 a) B 2 ~--- -~ ( v - - N) 2 > a : < v 2 >O - - < V >t~,

ce qui donne,

= t Ilq~ll 2 - N 2

1 I ldO=ldt l? ]1/2 -- 4X 2 I I a~ l l = N 2 ,

ou encore, cf. (11) et ind6pendamment de x :

(49 b) B = [IIPI[2 II~plI2 - < p' ~p > 2 1 1 / 2

Ilpll = [llel l 2 [[dP/dtl[ 2 - - 1 < P, de ld t >121 "2

2 = l l e l l "

II.4.4.3. Remarque

Etant donn6, selon (11), que

lq=(~)l = lp(v)l, v x,

tout moment de ,~ dans l '6tat qx(v) poss~de 6galement une valeur ind6pendante de x. On a donc la r6gle V.

Rbgle V.

Lorsque l'affaiblissement peut 6tre ndglig~, la fr~- quence temporelle centrale N, la largeur de bande B ainsi que les moments de tous ordres < "~" > d'un signal de r~ception sont des invariants de propagation.

II.5. VITESSE DE SIGNAL ET VITESSE DE G R O U P E

11.5.1. l~volution du centre de signal le long de la ligne ~.

L'instant d 'occurrence T(x) du centre de signal ~t la r6ception, exprim6 en fonction de la position x du capteur, s 'obtient ~ partir de l 'expression (11) de q.~(v) = n(x, v) :

I xl q ~ ( v ) = p ( , 0 e x p - - 2 ~ i V c ~ '

dqx [dp d [c-~v)] ] l c-~)t d--~-= d-~v--2r~ip(v)d-vv x e x p - - 2 ~ i v .

Portons dans l 'expression (45) de T(x) et rappelons- nous que son d6nominateur peut s'exprimer, cf. (25), par Ilqxll 2 = l l a x l l 2 = IIPII 2 - - ] l p l [ 2. Nous arrivons ainsi, sans aucune approximation et quelle que soit la complexit6 du signal, ~t :

X (50) T(x) = To + ~ ,

apr~s avoir pos6, successivement :

dp - - 1 < P' d--~v >

(51) T o - - ilell= 2r~i [Ipll ~

(To est la date du centre de signal associ6 ~ l'6mission, pour la position x = 0 du transducteur)

(52 a) 1

v~ - IIpll ~

a) Selon la relation (50), la quantit6 x[V~ exprime le temps de vol du signal entre l'6mission et la r6cep- tion. De ce fait, la constante V~ a l e comportement (ainsi que la dimension) d 'une vitesse : nous la d6nom- merons vitesse de signal.

b) Nous avons vu, cf. (41), que ~-~ est la

repr&entation-xv de l 'op6rateur inverse U - ~ de la vitesse de groupe U.

On peut donc consid6rer l'inverse 1]V~ de la vitesse de signal comme la moyenne de U - ~ dans l '&at P('0 ; soit :

(52b) I lV, = < O -1 >p = < - - d r >p"

Ce que nous exprimerons par la r6gle VI.

Rbgle VI.

Lorsque l'affaiblissement peut ~tre ne'gligO, la date de rOception du centre de signal varie lindairement avee la distance parcourue dans la ligne.

La vitesse constante qui lui est associ$e, ou vitesse de signal, est $gale g~ l'inverse de la moyenne de l'opO-

ANN. T~Li~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983 14/22

rateur U-1 _ d/ /dv dans l'dtat p(v) ddtermind par le signal d'$mission ff dt l'origine x = 0 de la ligne.

La distribution correspondante est la densitd spectrale-T d'dnergie (normalisde), y(v) = I p ( , ) 1 2 / l l p l l 2, de ce signal d'dmission.

H.5.2. Correspondances vitesse d'onde/vitesse de signal.

I1 est int6ressant de pouvoir exprimer V, en fonction des grandeurs spectrales-S qui d6crivent Vu et r6ci- proquement. Ainsi peuvent s'6tablir des eomparaisons utiles.

11.5.2.1. Correspondance VS/V~.

On part de l 'expression (52 a) de 1/Vs dans laquelle :

- - l e numdrateur peut s 'exprimer /t partir de grandeurs spectrales-S, grace aux relations (15), (18) et (21 a) ; soit :

(15) f = - - v/c(v),

(18) v = - - f z ( f ) ,

(21 a) P ( - - f z ( f ) ) = So ( f ) / z ( f ) .

On a donc :

t 11 = - - '

- - l e ddnominateur se traite de m~me; ce qui donne :

So d So I lpl[ 2 - - _ < , d f [ f z ( f ) ] -- > ;

- - la vitesse de signal V~ s'exprime ainsi sous la forme :

So d So < - - [ f z ( f ) ] - >

(53) V, = Z ' ~ X i l so / z l l 2 = < v > , 0 , ~ .

Ceci est h comparer avee l 'expression (36) de la vitesse d'onde, soit :

d < So, @ [ f z ( f ) ] So >

(36) Va = I lso[? = < t r > s 0 .

Rbgle 111[.

La vitesse d'onde Va et la vitesse de signal Vs reprdsentent chacune une moyenne de l'opdrateur vitesse

dv de groupe U = ~ d-[ : Vn dans l'~tat so(f) ; V~ clans

l'dtat s o ( f ) l z ( f ) .

11.5.2.2. Correspondance entre Vn et V s .

Reprenons l 'expression (36), rappel6e ci-dessus, de la vitesse d 'onde Vn. Exprimons-la alors ~ partir de grandeurs spectrales-T, comme l'est la vitesse de signal Vs :

- - A u num~rateur, Ies m~mes relations (18) et (21 a) utilis6es pr6c6demment, auxquelles s 'ajoute (17) : z ( f ) = e[,~(f)], permettent d'~crire,

So(f) = z ( f ) P [ - - f z ( f ) ] = c('0 P('0,

ce qui donne :

d < So, -~-f[f z ( f ) ] So > ----- - - l l c p l l 2

- - A u ddnominateur, on obtient pareillement :

Ilsoll 2 = - - < cp, ~ cp > .

I1 en r6sulte que la vitesse d 'onde Vn peut s'exprimer, sous forme inverse, par �9

1 < c P ' - ~ v c p >

(54) ~ : [[cPi[ 2 = < U-1 > c v .

La comparaison avec l 'expression (52a) de l / V s , qui est :

1

(52a) ~ ---- ilPl12 : < V - ' > , ,

permet d 'expr imer la r6gle VIII.

Rbgle 11111.

La vitesse d'onde Vn et la vitesse de signal V, repr~sentent chacune l'inverse d'une moyenne de l'opd-

d l . rateur U-1 . . . . reverse de la vitesse de groupe :

dv V, dans l'dtat p(v), Va dans l'dtat c(v) p(v).

H.5.3 . Cas partieulier d'un spectre ~troit. Paquet d'ondes.

II.5.3.1. Vitesse d'onde.

Nous allons &udier plus en d&ail l 'allure de la vitesse d 'onde exprim6e par (36), (37); soit :

< So , U So > v . = < v > . = < g , v > - i l so [ [2

Nous savons que :

�9 U ( f ) cst la vitesse de groupe (37),

dv d U ( f ) = d f d f [ f z ( f ) ] .

�9 g ( f ) est la densit6 spectrale spatiale (normalis~e) de l 'onde origine s ef. (23),

[ s o ( f ) ] 2

g ( f ) - ilsoll 2 Admettons la possibilit~ de d6velopper U ( f ) en

s&ie de Mac-Laur in au tour d 'une fr~quenee spatiale arbitraire fo :

+~ U <~> (fo) U ( f ) = ~ - - ( f - - f o ) k.

k=o k !

ANN. TihIICOMMUN., 31t, n ~ 9-10, 1983

On exprime ainsi la vitesse d 'onde sous la forme :

~oo U(k)(fo) Va = k 1 < g' ( f - - f ~ > '

k = O ~

laquelle fait intervenir les moments de la densit6 spectrale g ( f ) , centr6s sur f o -

Nous avons d6jh rencontr6 deux de ces moments :

- - au premier ordre, cf. (32), on retrouve la fr6- quence spatiale centrale F :

< So, ( f - - f o) So > < g, ( f - - f o ) > = ilsollZ

= < f - - f o >s0 = F - - f o .

Etant donn6 que le choix d e f o est libre, nous convien- drons de prendre :

f o = F ,

de fagon h centrer la densit6 g ( f ) ;

- - au second ordre,

< So, ( f - - F) z So > < g, ( f - - F) 2 > =

118olI 2 = < ( f - - F ) 2 > S o = (I) 2,

est le carr6 de la largeur spectrale, cf. (33 a). Quant au moment :

< S o , ( f - - F ) kso > ~z k = < g , ( f - - F ) k > =

Ilsoll 2

= < ( f - - F ) k > s 0 ,

il repr~sente le semi-invariant d 'ordre k de la densit6 spectrale-S g ( f ) : c 'est la moyenne d e l 'op6rateur ( f - F) k dans l '6tat so(f) .

I I e n r~sulte l 'expression de la vitesse d 'onde :

02 (55) Va = U(F) + - T U " ( F ) +

+oo 1 Z ~.T < ( f - - F)k >* U(~)(F)'

en notant que : la fr~quence-S centrale F, la largeur spectrale qb, ainsi que les moments de tous ordres sont des invariants de propagat ion (cf. rbgle 11).

Nous voyons maintenant, de fagon pr6cise, com- ment la vitesse d 'onde d6pend ~t la fois :

�9 du milieu dispersif, par l ' interm6diaire des d4ri- v6es de la vitesse de groupe de ce milieu ; soit :

[ d ~ k+l U(k)(/) = \ ~-fj [ f z ( f ) ]

= (k + 1) Z(k)(f) + f z ( ~ + ' ) ( f ) ;

�9 de la structure de l 'onde origine ~ o , par l 'inter- m6diaire de sa fr6quence-S centrale F e t de ses moments centr& :

g-~, = < ( f - F) k > s

< S o , ( f - - F ) kso >

= i lsol l 2 ;

A N N . TI~LI~COMMUN., 38, n ~ 9 - 1 0 , 1 9 8 3

Les conditions d'existence du d6veloppement (55) sont sensiblement plus restrictives que la seule hypo- th6se H : &ant donn6 que So(f) est 1i6 ~t p(v) par la relation (21 a) on voit qu' i l est n6cessaire que P('0 - - repr6sentation-x,~ du signal d'6mission - - soit dot6 de moments de tous ordres.

Bien plus, la vitesse de phase-S z ( f ) constitue une donn6e exp6rimentale : la question se pose alors quant ~t la signification de d6riv6es de tous ordres de z ( f ) , donc de U(k)(f).

C'est pourquoi nous n'insisterons pas sur ces points de rigueur math~matique, qui s'effaceront d'eux-m~mes dans le cadre moins grandiose, mais plus r6aliste, dit de spectre dtroit.

II.5.3.2. Spectre spatial 6troit.

Consid4rons le cas, particulier mais tr~s r4pandu, pour lequel le spectre spatial so(f) serait concentr6 dans une plage dtroite (&roite /t l'6chelle des variations de la vitesse de phase spatiale z ( f ) , a l 'exclusion de toute autre consid6ration) autour de sa fr~quence-S centrale F.

La relation (55) donne alors l 'approximation :

(I)2 (56) Va ~r U(F) + ~ - U"(F) .

Ainsi, la vitesse d 'onde Vn se rapproche-t-elle d 'autant plus de la valeur de la vitesse de groupe U(F) ~t la fr6quence F que la largeur spectrale qb de l 'onde est plus faible. La limite ~b -+ 0 sera le paquet d 'ondes classique, que nous 6tudierons plus en d&ail au w II.5.3.5.

Dans ce cas de spectre &roit, la forme d6taill6e de l 'onde origine s o (ou de celle du signal d'6mission 'J') n' intervient en aucune fa~on sur la valeur de la vitesse d 'onde :

Seules comptent sa fr6quence-S centrale F et sa largeur spectrale (I), cf. (56) ; c'est-A-dire ses propri6t6s de second ordre.

La notion de vitesse d 'onde s'applique ainsi directement et tr6s ais6ment ~t l ' immense famille des signaux de spectre &roit soumis ~t l 'hypoth6se H et caract6ris6s par les seuls param6tres F et (I).

Nous notons bien que, commun6ment, le crit6re intrinsbque utilis6 pour d6finir un signal de bande &roite est que :

q b ~ F .

Ce qui fait qu 'une onde consid6r6e selon l 'acception habituelle comme &ant d6jh de spectre large peut parfaitement &re trait6e ici comme &ant dtroite l'6chelle de la dispersion : il suffit que cette derni6re 6volue l en tement dans la bande de fr6quence-S occup6e par l 'onde.

Cette remarque prend toute son importance en basses frdquences (g6ophysique sismique, sonar, etc.) ou, plus g6n6ralement, loin de toute bande d 'absorp- tion.

G . B O N N E T . - - A U - D E L A D ' U N E V I T E S S E D E G R O U P E 361

11.5 .3 .3 . V i t e s s e de s igna l .

a) Expression g~n~rale.

L'&ude de la vitesse d 'onde nous ayant montr6 la possibilit6 de recourir h une s6rie des moments de la densit6 spectrale, la transposition h la vitesse de signal nous sera facile.

Reprenons :

- - l a densit6 spectrale-T normalis6e du signal d'6mission, of. (13),

[p(v)[ 2

i l p l l ,

- - l 'expression frSquentielle-T de la vitesse inverse de groupe, el. (41),

la d&ermination (52 a) de l'inverse de la vitesse de signal,

<p, U - X p > I/V, = < t t - ' > s = = < v , u >-

On en d6duit, en d6veloppant U-1 en s6rie autour de N, que :

B 2 (57) l /V, = U - I ( N ) + ~ - (U-X)~ +

+oo 1 Z ~ < ( v - - N) k >p (U-1)~k),

avec :

[ \ d v / c ~ ~=N"

Dans cette expression :

- - N e s t la fr6quence temporelle centrale du signal d'6mission fl', cf. (48) ;

- - B e s t sa largeur de bande, cf. (49) ;

< p, (v ~ N)kp > - < ( , , - N) > . = ilpl12 est

le semi-invariant d 'o rdre k de la densit6 y(v).

Toutes ces quantit6s sont des invariants de propagation (cf. rbgle If).

Les commentaires sur la d6pendance de la vitesse de signal vis-A-vis du milieu dispersif et de la structure du signal d'6mission sont alors de m~me nature que pr6c6demment, pour la vitesse d 'onde.

b) Spectre temporel ~troit.

Dans le cas d ' un spectre p( , ) ~troit A l'6chelle des variations de la vitesse de phase temporelle c(v), nous pouvons nous contenter de l 'approximation :

B 2 (58) IIVs # U-X(N) + -~ (U-x)~,

qui montre que le signal peut alors &re r6sum6, ind6pendamment de ses d6tails de structure, par

ses seules propri6t6s de second ordre : fr6quence-T centrale N e t largeur de bande B.

I I . 5 . 3 . 4 . L e g r o u p e ou paquet d 'ondes .

a) Paquet d'ondes spatial.

Le groupe ou paquet d'ondes spatial traditionnel repr6sente par d6finition une onde de spectre extr~mement 6troit.

Dans la th6orie classique, sa vitesse de groupe est d6finie A partir du d6placement d 'un point particulier de l 'onde : celui qui rend sa phase stationnaire. Sa valeur s 'exprime par doffdk (de mSme que la vitesse de signal associ6e A un signal de bande extrSme- ment 6troite). Une 6tude comparative s ' impose alors entre ce lnod61e de paquet d 'ondes et les r6sultats que nous a apport6s le concept de centre d'onde.

Dans l 'expression (56) de la vitesse d 'onde Vn, faisons tendre vers z6ro la largeur spectrale �9 ; nous avons :

(59) lim Vs~ = U(F) = �9 ~ 0 k = -- 2 ~ F

Dans ce cas limite du paquet d 'ondes, la vitesse d 'onde vient ainsi se confondre avec la grandeur qu 'un usage 6tabli d6nomme << vitesse de groupe >>.

C'est pour respecter cet usage que nous avons d6crit U ( f ) (qui remplit le mSme r61e et poss6de la m~me expression analytique) par le m~me terme.

Une interpr6tation physique encore plus pr6cise du r61e de cette vitesse de groupe U ( f ) sera donn6e au w II.7.1.

Nous d6duisons 6galement de l 'expression (56) les conditions de validit6 du mod61e de paquet d 'ondes : pour pouvoir consid6rer une onde At comme un groupe, il est n6cessaire que sa largeur spectrale - - au sens du w II.2.3. - - soit telle que :

(60) * ,~ ~/21U(F)/U"(F)].

Dans ce cas - - et dans ce cas seulement - - l 'onde se d6placera avec la vitesse de groupe :

U(F) = [dco/dk],=_2~v,

d6termin6e pour la fr6quence centrale F de l 'onde.

b) Paquet d'ondes temporel.

Pour un champ 8+ donn6, une onde ~ t de spectre 6troit en fr6quences spatiales autour de F implique A l'6vidence un signal associ6 Ox ayant un spectre 6troit en fr6quences temporelles, au tour de la fr6quence- T centrale N ; et r6ciproquement .

La relation (58) montre par aiUeurs que :

(61) lira l / V s : U - 1 ( N ) = [drink.1 B ~ 0 L ~ C O . J r 2 ~ N

L'inverse de la vitesse de signal converge donc vers la valeur de la vitesse inverse de groupe pour la fr6quence-T centrale N du signal associ6 au champ 8 + .

17/22 ANN. TI~L~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983

I,es conditions de validit6 du mod61e d ' un paquet d'ondes temporel (*) sont donc que sa largeur de bande B - - au sens du w I1.4.4. - - soit telle que, conform6ment ~t (58) :

(62) B ,~ V/2 I U - ' ( N ) I ( U - ~ ) ~ [ .

c) Vitesses limites d'onde et de signal.

La question se pose alors de compare r les valeurs limites de la vitesse d 'onde U(F) et de l ' inverse de la vitesse inverse de signal U - ~(N) associ6es au rn~rne champ 8 + , dans le module du paquet d 'ondes.

On connaR certes la correspondance qui s'6tablira, h la limite, entre N et F :

N - - - - - - F z ( F ) , cf. (18)

ou encore :

F----- - - N c(N), el. (15).

Mais la relation entre U(F) et U - ~ ( N ) n 'es t pas pour autant 6vidente.

La r6ponse est h t rouver dans la correspondance Vs[V, 6tablie au w 11.5.2.1. : la vitesse de signal V~ y appara] t comme la moyenne de l 'op6rateur U dans l '&at SolZ.

On peut alors exprimer cette vitesse de signal h par t i r des moment s de Isolzl2/llSo/Zl[ 2 de faqon similaire h ce qui a 6t6 fa i th p ropos de la vitesse d 'onde, au w 11.5.3.1. :

V~ ----- ~o,Z = U(F) q- k=~ k.T < ( f - - F)* >*0tx"

Lorsque la largeur spectrale qb de s0(f ) tend vers z6ro, celle de So[Z agit de mSme et, h la limite :

- - la fr6quence centrale de SolZ se confond avec celle, F, de So ;

seul le premier terme du d6veloppement subsiste ; &off :

(63 a) lim V~ ----- lira V~ = U(F). ' ~ 0 ~ 0

Ainsi, pour un paquet d 'ondes , vitesse d ' on de et vitesse de signal se confondent avec la vitesse de groupe, calcul6e pour la fr6quence spatiale centrale F de l 'onde.

Parall~lement, la correspondance V~] V~ du w II.5.2.2., mont re que l ' inverse de la vitesse d 'onde Va est la moyenne de I 'op6rateur U - ~ dans l '6tat c(v) p(v). Un raisonnement similaire au pr6c6dent conduit alors ~t :

(63 b) lim 1]Vn = lim l /Zs = U-J(N) . B ~ O B ~ O

I1 y a main tenant identit6 entre vitesse d ' o n d e et

(*) I1 faut d6plorer ici la confusion qui s'est 6tablie darts la litt6rature, off ie m~me terme paquet d'ondes (ou encore groupe) recouvre - - h peu pros aussi fr6quemment - - des grandeurs spatiales (ondes) que des grandeurs temporelles (sigrtaux) dot6es d'un spectre tr~s 6troit.

vitesse de signal pour la fr6quence temporelle centrale N du signal.

La compara ison avec (63 a) mont re bien que :

(64) U - I ( N ) - - - - I I U ( F ) si N = - - F z ( F )

ou encore F = - - N]c(N).

I1 revient ainsi au m~me de recourir h la fr6quence-S, F, ou /t la fr6quence-T, N, puisque celles-ci sont associ6es par la relation ci-dessus.

d) Conclusion.

Nous venons ainsi de constater que les vitesses du centre d ' onde et du centre de signal s'identifient, dans le cas limite du paquet d 'ondes, avec la vitesse de groupe (signal) classique do[dk.

Ce r~sultat est doublement int6ressant :

- - d ' a b o r d , il 6vite d ' avo i r ~ reconsid6rer quoi que ce soit dans l ' approche traditionnelle, pour pouvoir ins6rer celle que nous proposons. Une telle attitude n ' aura i t pas 6t6 accep tab le ;

- - ensuite, il mont re que le centre d ' onde (ou de signal) tel que nous l ' avons d6fini, coincide exacte- ment avec un point de phase stationnaire, celui dont le d6placement est par d6finition dot6 de la vitesse de groupe (signal). Mais ceci n 'es t cepetadant vrai que dans le cas limite d ' un champ de spectre extr6mement 6troit (paquet d 'ondes).

Le crit6re adopt6 dans cette 6tude, (28) ou (44), apporte ainsi une r6ponse pleinement satisfaisante au probl6me exp6rimental de la mesure d 'une vitesse de groupe (signal) ~t par t i r d 'un paquet d 'ondes : 6vitant l '6cueil de la d6termination d ' un maximum, que le bruit et l '6troitesse du spectre rendent particu- li6rement flou, il lui substitue une proc6dure enti6re- ment 6quivalente, mais d6pourvue d ' incert i tude et de plus - - c o m m e nous allons le constater maintenant

stable en pr6sence de bruit.

Nous r6sumerons par la r6gle IX.

Rkgle IX.

a) Darts le cas de signaux (ou ondes) ayant un spectre ~troit d l'~chelle de l'~volution de la dispersion : vitesse de signal Vs et vitesse d'onde V~ dOpendent uniquement de la valeur de la vitesse de groupe pour la fr~quence centrale, et de la largeur du spectre.

b) Dans le cas limite d'un paquet d 'ondes , de spectre extr~mement dtroit, vitesse de signal et vitesse d'onde sont toutes deux identiques gtla valeur de la vitesse de groupe pour la fr~quence centrale. Leur valeur ne d~pend donc que de la dispersion du milieu de transmission.

c) Dans le cas de signaux (ou ondes) de spectre Otendu, la vitesse de signal et la vitesse d'onde diffOrent sensiblement : leurs valeurs respectives dOpendent d la fois de la dispersion et de la forme du signal d'~mission (ou de l'onde origine).

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G . B O N N E T . - A U - D E L A D ' U N E V I T E S S E D E G R O U P E 363

II .5.4. Est imat ion du centre de signal en presence de bruit.

I1 s'agit maintenant d'6tudier l'influence du bruit la r6ception sur la validit6 de la mesure d 'une

vitesse de signal ; donc sur celle de la d6termination exp6rimentale pr6alable du centre de signal au niveau du capteur.

II.5.4.1. Hypotheses g~n~rales.

On suppose qu ' un bruit additif, repr6sent~ par la fonction al6atoire B(t), se superpose au signal capt6 Q~(t).

�9 Par hypoth~se, B(t) sera centr~e et stationnaire (done ergodique). Ainsi :

(65) E(B(t)} : 0, Vt,

(66) E(I B(t)[ 2} = ~2, V t

(E { } symbolise l 'esp6rance math6matique). Il est clair que le r6cepteur utilis6 pour d&erminer le centre de signal ne doit en aucun cas d&ormer le signal : il est donc d 'une bande passante large. Par suite, le bruit B(t) pergu au niveau de ce r6cepteur est n6cessairement de large bande, ~t l'6chelle de la bande du signal. En d 'autres termes, son temps de coh6rence est tr6s faible devant la dur6e du signal Q~(t).

�9 En pr6sence du bruit, l 'estimation du centre de signal au point x sera faite au moyen de la formule (44). L'6chantillon utilis6 sera pr61ev6 dans un intervalle de temps I de dur6e "r centr6 sur la date 0 (Fig. 6) :

(67) I : t ~ [0 - - "r]2, 0 + v]2].

FIG. 6. - - Support de l'6chantillon utilis6 pour l'estimation du centre de signal en pr6sence de bruit.

Estimating the signal center in the presence of noise : bounds of the sample.

De ce fait, l 'est imateur T e s t une variable al6atoire exprim6e par :

(68/ T = x / ~ ) ,

avec :

(69) 0V ----- f, lax + nl 2 t dt,

(70) 51 ---- f, I a~ + B[ ~ dl.

�9 Hypothbse K.

On suppose que 0 et "r sont choisis de fagon telle que l ' intervalle I encadre la quasi-totalit6 du signal

Q~(t), avec une dur6e v suffisante pour que les int6- grales sur I concernant Q~ ne diff6rent pas sensiblement d'int6grales prises sur toute la droite r6elle.

IL5.4.2. D~nominateur.

Dans ce probl6me d'est imat ion de param~tres - - et non pas de d6tection - - le rapport signal]bruit est n6cessairement 61ev& L'6nergie du signal sera donc dominante dans le d6nominateur. De plus, l ' intervalle I ayant obligatoirement une dur6e -r 61ev6e, surtout ~t l'6chelle du temps de coh6rence du bruit, nous pouvons nous contenter de substituer au d6nominateur une valeur centrale, fournie par les oprpri6t6s d'ergo- disme du bruit stationnaire B(t). Nous avons en effet, selon (70) :

~) = t [IOx] ~ + 2 Re[Q~*B] + IBI~I dt. ,3 l

La premi6re partie de l 'int6grale peut atre, selon l 'hypoth6se K pr6c6dente, remplac6e par II oxll ~ Le th6or6me ergodique permet de substituer h la moyenne temporelle sur IBI z la moyenne statistique ~r 2 exprim6e par (66). Enfin, l ' influence du terme m6dian est n6gligeable, car B e s t centr6 et d 'un temps de coh6rence faible 5. l '6chelle de l '6volution de Qx.

Ainsi, ~t une fluctuation n6gligeable Was, nous pouvons substituer au d6nominateur la valeur ddter- ministe :

(71) ~ # i lax[ l 2 + (y2.~.

Notons que le rappor t des deux termes du second membre :

1 (72) ]S/B] = - I I ax]12/~2,

repr6sente justement le rappor t signal/bruit moyen dans /, suppos6 tr6s 61ev6.

II.5.4.3. Biais de l'estimateur.

En d~veloppant le num~rateur (69) et en utilisant de nouveau l 'hypoth6se K, nous avons :

J V = < [ Q x l 2 ' t > + 2 R e ! , Q * B t d t + ! I B l 2 t d t "

a) Son esp6rance math6matique a pour valeur, compte tenu des propri6t6s statistiques (65) et (66) :

E( At'} = + ~2 ~ t dt, I

et les bornes (67) de l ' intervalle I font que l 'int6grale pr6c6dente vaut 0-r.

b) Par suite, l 'esp6rance math6matique de l'esti-

mateur 7 ~, cf. (68), du centre de signal a pour valeur, compte tenu de (71) :

E(T} = < Qx, t Q,~ > + ~2 0-r

Ilaxll 2 + : ~

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Si nous utilisons la d6finition (44) du centre de signal

(partie principale de E{T)) ainsi que l'expression (72) du rapport signal sur bruit moyen, nous obtenons finalement, par un d6veloppement limit6 au premier ordre : (73) E{T} = T + [SIB] -1 ( 0 - T).

c) L'estimateur 7" poss6de ainsi le biais :

I S / B ] - ~(0 - - T).

II est facile d 'en tenir compte dans l 'estimation du centre de signal T, d6s lors que tous ses param6tres constitutifs d6coulent de mesures exp6rimentales.

Sa valeur est faible pour deux raisons :

�9 le rapport S ] B moyen est 61ev6 dans ce type de m6trologie,

o le centre 0 de l'intervalle /, lequel encadre par construction le signal Q , , est voisin du centre de signal T (Fig. 6).

d) L'expression mSme de ce biais, alli6e h la simpli- cit6 du calcul num6rique demand6 par (44), permet d'ailleurs d'envisager la suppression du biais par une proc6dure d'it6ration, au moyen d 'un algorithme automatique.

II 5.4.4. Remarque.

I1 va de sol que tous le s r6sultats acquis sur l'estimation du centre de signal bruit6 se transposent ais6ment aupr6s de l 'estimation du centre d 'onde bruit6 (sous la r6serve d 'un bruit spatial stationnaire).

11.6. I~VOLUTION DE L']~TENDUE DE L 'ONDE ET DE LA DURI~E DU SIGNAL

II .6 .1 . ]~tendue de l ' o n d e : 6vo lut ion hyperbol ique .

On utilise - - par exemple - - l'expression fr6- quentielle-S (31 b) de L(t), laquelle donne au temps t :

(74) L 2 ( t ) = (4 7z21HsI].$)[{[sIl ~ I[ b--s0f~,2-

< s, ~ > 2] .

L'6volution de s ( f ) au cours du temps est d6crite par (21 b) qui fournit successivement, en utilisant l'6criture U ( f ) = d [ f x ( f ) ] / d f d e la vitesse de groupe (37) :

�9 s(f, t) = so(f) exp{-- 2 r c i [ f x ( f ) t ) ,

[dso �9 -~-f = 1_ d f - - 2 r c i U ( f ) s ~

11.6.1.1. Expression formelle de L (t).

I1 est ainsi loisible de d6terminer l'expression (74) ci-dessus en fonction des donn6es de l 'onde origine.

t Un calcul, simple mais d6pourvu d'int6r&, condui

une 6volution hyperbolique de l'6tendue de l 'onde L(t), sous la forme :

(75) L2(t) = Lo 2 + 2 A t + Bt 2.

dans laquelle on a pos6 :

a) Lo 2 = t 2 ( 0 ) , carr6 de l '6tendue de l 'onde origine f~o(t = 0) exprimable en rempla~ant s(f, t) par So(f) dans la relation (74);

b) A---- Im < S o , - ~ > < s o , U s o > - -

dso ] rlsoll 2 < So, > ,

ou encore, selon l'6criture (36) de la vitesse d 'onde v . :

1 I- dso dso ] A - - 2 illso[i 2 I V . < So, > - - < So, u > ] ,

(la relation de Parseval montre ais6ment que les deux produits scalaires sont bien imaginaires purs) ;

(77) B = [lIsoll 2 I I U s o l l 2 - < so , Uso >2]

IJVsoll:

- ilsoll 2

(l'in6galit6 de Schwartz fait que B > 0 et que cette quantit~ ne peut s 'annuler que dans le cas non dispersif U( f ) = const.). On constate que B est la variance de la vitesse de groupe U dans l'6tat so(f).

II.6.1.2. l~volution hyperbolique.

Puisque B > 0, l '6tendue de l 'onde croit ind~finiment lorsque t --> oo : c'est le ph6nom~ne d'61argis- sement du paquet d 'ondes [3] provoqu6 par la dispersion. Ce ph6nom~ne, nous le voyons, n 'a pas de limite et se g6n6ralise ici h des ondes d 'une largeur spectrale quelconque.

La constante A, d6crite par (76), s'annule - - tout comme la constante B - - en l'absence de dispersion lorsque U ( f ) est une constante.

- - Si A > 0, l '6tendue de l 'onde est monotone croissante avec le t emps ; cela depuis l'origine.

- - Si A < 0, l '&endue de l 'onde commence par diminuer, jusqu'h son minimum Linen, atteint pour t = - - A ] B :

(78) L2,n = L 2 - - A / B pour t = - - A/B .

Au-del~t de cette date, l '6tendue crolt sans limite. Ceci correspond au ph6nom~ne de compression

d'impulsion, lequel est propre ~ une ligne dispersive d~s lors que la forme de l 'onde origine utilis6e f~o satisfait h la condition A < 0.

ANN. T~LI~COMMUN., 38, n ~ 9-10, 1983 20/22

G. BONNET. -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E 365

Cette condition peut s'6crire, selon (76) :

_ dso < So, U - ~ > < So, Uso >

> j l ,o l l = dso ~ So, --~

La compression d' impulsions par ligne dispersive est une technique assez r6pandue en traitement du signal. EUe semble ainsi n6cessiter un recours ~ des ondes origines d 'une largeur spectrale 61ev6e.

Notons bien que l '6volution hyperbolique d6crite par (75) constitue une loi exacte et non pas un d6velop- pement limit6.

En outre, elle ne d6coule d 'aucune approximation pr6alable (~ l 'exception d 'un affaiblissement n6gli- geable).

Cette forme hyperbolique correspond bien b~ celle 6tablie par L . C . Baird [13] pour l '6tendue de la fonction d 'onde d 'une particule isol6e ; ou encore ~t celle obtenue par H. M. Bradford [14] pour une source ~t l'infini (onde plane). Bien plus, d'autres travaux de H. M. Bradford [19] concernant des ondes planes transitoires aboutissent ~ un comportement similaire. Ce dernier cas sort cependant du cadre de la pr6sente 6tude, puisque notre hypoth6se H ne s'y applique pas. Le fait que les r6sultats obtenus soient cependant tout ~t fait semblables semble donc indiquer une large universalit6 des propri6t6s et du centre et de l '6tendue de l 'onde.

Pla~ons-nous maintenant dans le cas particulier d 'un spectre extr~mement 6troit (w II.5.3.) ; ce qui 6quivaut /t l ' approximat ion :

I s o ( f ) l 2 = llaoll = ~ ( f - fo)

et conduit ~t Va # U(fo), cf. (59). Dans ce cas, nous voyons dans (77) que la constante

B devient n6gligeable. L'6volution de l '6tendue de l 'onde est alors, selon

(75), proportionnelle h ~/t- : on retrouve le caract6re classique du paquet d'ondes 6troit. Cependant, il ne s'agit l~t que d 'une approximation et la validit6 de la conclusion qui en r6sulte disparMt lorsque t croR ind6finiment.

6.2 . Dur~e du s i g n a l : |

La d6marche est la m~me pour atteindre la duroc | On utilise 1'expression (47 b) qui donne :

(79) O2(x) ----- (114~:211q~11 ") [llq=ll dq~ 2 - -

q ~ , ~ > ,

et l 'on exprime l '~volution spatiale de q~(v) selon (11). D'ofi, successivement, en employant l '6criture (41) de la vitesse inverse de groupe :

d U - ' ( , , ) = [ 'dc( 'O] ,

d 'une part : qx(v) : p(v) exp{-- 2 r~ i vx/c(v)),

d 'autre part : ~ = ~ - - 2 r ~ i U - l ( v ) p ( v ) x •

exp ~ 2 r~ i ,~x l !

On obtient alors l 'expression d 'une 6volution hyperbolique de la dur6e du signal O(x), sous la forme :

(80) | = Oo 2 + 2 Cx + Dx 2,

avec :

- - 0o ---- O(0), dur6e du signal d'dmission ~ (pour x = 0) exprim6e par (79) apr6s substitution de p(v) /l q~(v).

- - C = (2=i i l p , [2 ) [V~-~ d p

- -

- D = [Ilpll 2 I1 f - ' pll 2 - < p, u - l p >2 ]

__ [[U- lp[[ 2 1

Ilpll 2 �9 L'in6galit6 de Schwartz fair que D > 0 : il y a

61argissement du signal - - et cela sans limite - - lorsque x --> oo.

Cette constante D s'identifie, selon (52 b) avec la variance de la vitesse inverse de groupe U- ~ dans l '6tat p(v) ; alors que I/V~ e n e s t la moyenne.

�9 C = D = 0 dans le cas non dispersif, U - l ( v ) = const = lie.

�9 Si C > 0, la dur6e du signal est monotone croissante ~t mesure que le capteur s'61oigne davantage du transducteur.

�9 Si C < 0, il y a compression d'impulsion. La durde minimale du signal est atteinte pour une position x = - - C]D du capteur et son carr6 vaut :

O r e , , = - - C 2 / D ( x = - - C I D ) . (81) 2 02

Ici 6galement, l '6volution hyperbolique (80) repr6- sente une loi exacte.

P O S T F A C E

La suite et fin du pr6sent article sera publi6e dans le prochain num6ro des Annales des T~l~communications. Elle apportera les compl6ments n6cessaires ~t une 6tude globale de la propagat ion d 'un champ spatiotemporel en milieu dispersif. Ce seront, princi- palement : le processus de d6formation de l 'enveloppe au tour du barycentre 6nerg6tique ainsi que deux mod61es d'affaiblissement ; l 'un sph6rique et l 'autre exponentiel.

Manuscrit regu le 1Cr mars 1983, aceeptd le 5 novembre 1983.

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Au delà d’une vitesse de groupe: vitesse d’onde et vitesse de signal

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