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Autres exemples de modèles
Guy GauthierJuin 2010
Dynamique de la population
Si une population possède un potentiel biotique définit par r, alors la population N obéit à cette loi:
r est la fécondité maximale dont une espèce peut faire preuve en l’absence de facteurs limitant.
dNrN
dt
Dynamique de la population
La solution de cette équation est:
Il n’y a pas de mortalité, seulement des naissances. Pas vraiment réaliste…
0rtN N e
Dynamique de la population
Redéfinissons r:
b = taux de naissance;m = taux de mortalité.
Reste que le résultat est une exponentielle.
Modèle de Malthus (1798).
r b m
Facteur limitant
En présence d’un facteur limitant (ex.: ressources alimentaires), le taux de mortalité augmente et le taux de natalité diminue.
K = capacité limite du milieu.
Verhulst (1838).
Modèle de Verhulst
Équation de la courbe logistique:
1dN N
rNdt K
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
200
400
600
800
1000
1200
Temps
Po
pu
latio
n r=2
K=1000
Points d’équilibreN = 0N = K
Ajout de prédateurs
Modèle de Lotka-Volterra.
En l’absence d’interaction:
Croissance exponentielle des proies (N) et extinction des prédateurs (P).
1
dNr N
dt 2
dPr P
dt
Modèle de Lotka-Volterra
Si les proies interagissent avec les prédateurs:
1 1
dNr k P N
dt
2 2
dPr k N P
dt
Habileté des proies à échapper
aux prédateurs
Habileté des prédateurs à
attraper les proies
Modèle de Lotka-Volterra
Points d’équilibres: Solution évidente, avec populations
égales à 0. Autre solution:
1
1eq
rP
k
2
2eq
rN
k
Modèle de Lotka-Volterra
Exemples:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
500
1000
1500
2000
2500
3000
Temps
Po
pu
latio
ns
Proies
Prédateurs
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Temps
Po
pu
latio
ns
Proies
Prédateurs
r1 = 3;r2 = 5;k1 = 1/100;k2 = 1/100;
Modèle de Lotka-Volterra
Comparaison avec ce qui est observé dans la nature.
Dans l’espace d’état
0 500 1000 1500 2000 25000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Population de proies
Po
pu
latio
n d
e p
réd
ate
urs
Point d’équilibre
Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Introduction de la limite du milieu:
1 11dN N
r k P Ndt K
2 2
dPr k N P
dt
Points d’équilibre:1) N = P = 0; 2) N = r2/k2; P = (r1/k1)(1-r2/(Kk2))
Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Stabilisation des populations:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Temps
Po
pu
latio
ns
Proies
Prédateurs
Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Réponse fonctionnelle du prédateur:
Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Introduction du taux de prédation:
1 11dN N
r k P Ndt K
2
2
k NdPr P
dt g N
Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Effet de ce taux de prédation:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Temps
Po
pu
latio
ns
Proies
Prédateurs
100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
100
200
300
400
500
600
700
Population de proies
Po
pu
latio
n d
e p
réd
ate
urs
Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Introduction d’une réponse fonctionnelle du coté des proies:
1
11
1k NPdN N
r Ndt K g N
2
21
k NdPr P
dt g N
Variantes du modèle de Lotka-Volterra
Effet de cette fonction:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
200
400
600
800
1000
1200
Temps
Po
pu
latio
ns
Proies
Prédateurs
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
200
400
600
800
1000
1200
Population de proies
Po
pu
latio
n d
e p
réd
ate
urs
Équation de Lorentz
Soit le système suivant:
Modèle de convection atmosphérique.
1 2 1
2 1 2 1 3
83 3 1 23
( ) 10 ( ) ( )
( ) 28 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x t x t x t
x t x t x t x t x t
x t x t x t x t
Équation de Lorentz
Simulation:
010
2030
4050
-20
-10
0
10
20-30
-20
-10
0
10
20
30
x1
x2
x 3
Comportement chaotique
Simulation:
0 20 40 60 80 100 120-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Temps
So
rtie
s
x1
x2
x3
Deux conditions initiales proches
…mènent à deux évolutions très différentes après quelques moments
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Temps
So
rtie
x1
x1 original
x1 recalculé
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 305
10
15
20
25
30
35
40
45
Temps
So
rtie
x1
x1 original
x1 recalculé
Équation de Lorentz
Modèle météorologique. A cette époque, on envisageait
pouvoir faire des prévisions météorologiques à long terme.
Équation de Lorentz
Cette équation montre l’aspect chaotique de l’évolution de la météo. Donc, prévisions à long terme impossibles.
A court terme… Il suffit de regarder Météomédia et de
voir que les prévisions ne sont pas très justes…
Double pendule inversé
Position des masses
Double pendule inversé
Énergie potentielle
Énergie cinétique
Double pendule inversé
Lagrangien
Double pendule inversé
Ainsi, pour le premier angle
D’où
Double pendule inversé
Et, pour le deuxième angle
D’où
Double pendule inversé
Simulation
Double pendule inversé
Ce système est sujet aussi à un phénomène chaotique.
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