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Balistique, trajectoire dun projectile

Prambule important et ncessaire : tous les modles sont faux, certains peuvent rendre service (David COX, professeur de mathmatiques Cambridge)Autrement dit, aucune formule mathmatique ne permet de dcrire exactement la trajectoire dun projectile. Quels que soient les calculs effectus par chacun, ce ne seront que des approximations.

I. Un peu d'histoire1540-1603 Franois Vite : En 1591, il publie un nouvel ouvrage de 18 pages, "In artem ananyticam isagoge" qui reprsente une avance considrable pour lalgbre. Avec Vite, le calcul littral trouve ses bases dans le but de rsoudre tout problme. Les grandeurs cherches sont dsignes par des voyelles et les grandeurs connues par des consonnes. La notion dquations y est longuement dveloppe et une thorie srieuse commence se mettre en place. Avant, les quations taient rsolues de faon gomtrique. Les identits remarquables, par exemple, reposant par le pass sur des concepts gomtriques, deviennent avec Vite des formules proprement dites.

1564-1642 Galile ou Galileo Galilei : A 35 ans, Galile tudie les mouvements et dcrit la chute des corps. Du haut de la tour de Pise, il lche des balles de plomb, de bois, de papier et dcouvre que, quelle que soit leur masse, tous les corps sont anims du mme mouvement. Il est galement le premier noncer le principe de relativit. Lorsquon est bord dun navire qui vogue en ligne droite et vitesse constante, on ne ressent aucun mouvement. On est immobile par rapport au navire mais le navire se meut par rapport la Terre. En fait, rien nest absolument immobile et tout dpend du rfrentiel dans lequel on se place.

1608-1647 Evangelista Torricelli : Physicien et mathmaticien italien qui pour la premire fois trouve la solution complte de la chute libre.

1643-1727 Isaac Newton : Sir Isaac Newton, philosophe, mathmaticien, physicien et astronome anglais est une figure emblmatique des sciences. Il est surtout reconnu pour sa thorie de la gravitation et la cration, en concurrence avec Leibniz, du calcul infinitsimal. En 1687, il publie son uvre majeure : Philosophiae naturalis principia mathematica . Cette uvre marque le dbut de la mathmatisation de la physique. Newton y expose le principe dinertie, la proportionnalit des forces et des acclrations, lgalit de laction et de la raction, les lois du choc, il y tudie le mouvement des fluides, les mares, etc.

1707-1783 Leonhard Euler : Mathmaticien et physicien suisse. Il est considr comme le mathmaticien le plus prolifique de tous les temps. Il domine les mathmatiques du XVIIIe sicle et dveloppe trs largement ce qui s'appelle alors la nouvelle analyse. Compltement aveugle pendant les dix-sept dernires annes de sa vie, il produit presque la moiti de la totalit de son travail durant cette priode. La mthode dEuler est au programme de premire et terminale S. Elle sera utilise pour traiter par approximations le problme pos. Il crit un trait dartillerie en 1745.

1781-1840 Simon-Denis Poisson : En 1798, peine g de dix-sept ans, il est reu premier l'Ecole polytechnique. Il fut examinateur lcole dartillerie. Il a publi dans le journal de lEcole Polytechnique en 1838-1839 un mmoire sur le mouvement dun projectile. Dans le tome 3 du Mmorial de lartillerie il publie Formules de probabilit relatives au rsultat moyen des observations qui est la thorie des erreurs de Laplace, et notamment la loi des erreurs en artillerie qui deviendra la loi normale. En probabilit, la loi de Poisson porte son nom.

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II. Rsolution du problme par TorricelliTorricelli a dtermin mathmatiquement la trajectoire d'un objet si le frottement de l'air est nglig.

A t = 0 le projectile est lanc la vitesse V0 selon un angle (en degrs) avec lhorizontale. On considre que seul le poids sapplique la masse M du projectile. Dans un repre orthogonal on admettra que l'on peut crire :

y x = 12

g x2

Vo2 cos2 x tan

avec g = 9,81 m.s 2

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III. Dtermination d'une trajectoire si on en connait deux points

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