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Bilan en mecanique des fluides.

P. Ribiere

College Stanislas

Annee Scolaire 2017/2018

P. Ribiere (College Stanislas) Bilan en mecanique des fluides. Annee Scolaire 2017/2018 1 / 51

1 Introduction aux bilans en mecanique des fluides.

2 Bilan de matiere.

3 Bilan d’energie, point de vue thermodynamique.

4 Bilan d’energie, point de vue mecanique.

5 Bilan de quantite de mouvement.

6 Bilan de moment cinetique.

Introduction aux bilans en mecanique des fluides.

2 Bilan de matiere.

Introduction aux bilans en mecanique des fluides.

Etude d’une enceinte E en regime stationnaire.

Figure – Etude d’une enceinte en regimepermanent.

Le probleme est que cette enceinte est un systemeouvert :du fluide rentre et sort tout instant.

Premier etape : se ramener a un systeme fictif fermependant dt :

Definition du systeme fictif ferme

Systeme F ferme

a t, F(t)= enceinte E(t) et le fluide rentrant pdtdt dans E.

a t+dt, F(t+dt)= enceinte E(t+dt) et le fluidesortant pdt dt dans E.

Bilan de matiere.

2 Bilan de matiere.

Bilan de matiere.

La masse du systeme ferme se conserve :

or DMF = MF (t + dt)−MF (t) = (ME (t + dt) + dms)− (ME (t) + dme) par extensivite de lamasse.Puis comme ME (t + dt) = ME (t) puisque le regime est stationnaire,DMF = (dms − dme)

dms = dme

La masse sortante est egale a la masse rentrante.

Dms = Dme

le debit massique en regime stationnaire se conserve.

µsvsSs = µeveSe

avec v la vitesse debitante.

Bilan d’energie, point de vue thermodynamique.

2 Bilan de matiere.

Bilan d’energie, point de vue thermodynamique. Premier principe.

2 Bilan de matiere.

3 Bilan d’energie, point de vue thermodynamique.Premier principe.Second principe.Application : detente de Joule Kelvin.

Premier principe :

Dt= PForce exterieure non conservative + PThermique

DEMF = EF (t + dt)− EF (t) = (EE (t + dt) + dmes)− (EE (t) + dmee) = dm(es − ee)DUF = UF (t + dt)− UF (t) = (UE (t + dt) + dmus)− (UE (t) + dmue) = dm(us − ue)PForce exterieure non conservative = PForce pression = peveSe − pSvsSs = Dm( ps

µs− peµe

Dm(es + hs − ee − he) = PForce exterieure non conservative utile + PThermique

Premier principe de la thermodynamique.

∆e + ∆h = wForce exterieure non conservative utile + q

avec ei = 12v2i + gzi

Remarque :Dans les exercices de thermodynamiques, il est frequent de negliger ei devant hi .

Premier principe :

Dt= PForce exterieure non conservative + PThermique

DEMF = EF (t + dt)− EF (t) = (EE (t + dt) + dmes)− (EE (t) + dmee) = dm(es − ee)DUF = UF (t + dt)− UF (t) = (UE (t + dt) + dmus)− (UE (t) + dmue) = dm(us − ue)PForce exterieure non conservative = PForce pression = peveSe − pSvsSs = Dm( ps

µs− peµe

Premier principe de la thermodynamique.

∆e + ∆h = wForce exterieure non conservative utile + q

Remarque :Dans les exercices de thermodynamiques, il est frequent de negliger ei devant hi .

Bilan d’energie, point de vue thermodynamique. Second principe.

2 Bilan de matiere.

DSF = δScree + δSechangee

DSF = SF (t + dt)− SF (t) = (SE (t + dt) + dmss)− (SE (t) + dmse) = dm(ss − se)

Second principe de la thermodynamique.

Systeme F fermeDm(ss − se) = Scree + Sechangee

∆s = scree + sechangee

DSF = δScree + δSechangee

DSF = SF (t + dt)− SF (t) = (SE (t + dt) + dmss)− (SE (t) + dmse) = dm(ss − se)

Second principe de la thermodynamique.

Systeme F fermeDm(ss − se) = Scree + Sechangee

∆s = scree + sechangee

Bilan d’energie, point de vue thermodynamique. Application : detente de Joule Kelvin.

2 Bilan de matiere.

Detente de Joule Kelvin ou Joule Thomson :Detente dans un etranglement ou a travers d’un milieux poreux (sable, coton...)

∆h = wForce exterieure non conservative utile + q = 0 + 0

Detente isenthalpique de Joule Kelvin.

La detente de Joule Kelvin est isenthalpique.Donc pour un gaz parfait, elle est isotherme : ∆h = 0⇒ ∆T = 0.Le gaz parfait suit la seconde loi de Joule.

Detente de Joule Kelvin ou Joule Thomson :Detente dans un etranglement ou a travers d’un milieux poreux (sable, coton...)

∆h = wForce exterieure non conservative utile + q = 0 + 0

Detente isenthalpique de Joule Kelvin.

La detente de Joule Kelvin est isenthalpique.Donc pour un gaz parfait, elle est isotherme : ∆h = 0⇒ ∆T = 0.Le gaz parfait suit la seconde loi de Joule.

Bilan d’energie, point de vue mecanique.

2 Bilan de matiere.

Bilan d’energie, point de vue mecanique. Theoreme de l’energie mecanique.

2 Bilan de matiere.

4 Bilan d’energie, point de vue mecanique.Theoreme de l’energie mecanique.Applications.

Dt= PForce exterieure non conservative + PForce interieure non conservative

Or DEF = EF (t + dt)− EF (t) = (EE (t + dt) + dmes)− (EE (t) + dmee) = dm(es − ee)

Dm(es − ee) = PForce exterieure non conservative + PForce interieure non conservative

Theoreme de l’energie mecanique.

∆e = wForce exterieure non conservative + wForce interieure non conservative

Remarque :Cette expression (ou ce point de vue mecanique) est tout aussi general que le precedent mais ladifference est que cette expression est moins adaptee que la precedente dans le cas ouwForce interieure non conservative 6= 0, i.e. en presence de frottements.

Explicitons les termes :Dm = µeveSe = µsvsSseMs − eMe = 1

2v2s + gzs + ...− 1

2v2e − gze − ...

PForce exterieure non conservative = PForce pression = peveSe − pSvsSsPForce interieure non conservative = 0 absence de viscosite.Finalement, en supposant l’ecoulement incompressible et homogene µs = µe = µ :

2v2s + gzs −

2v2e − gze) = peveSe − psvsSs

s + µgzs −1

e − µgze) = pe − ps

Theoreme de Bernoulli.

Pour un ecoulement parfait, homogene, incompressible, stationnaire,sur un tube de champ constitue de lignes de courant tres proches,

pe + µgze +1

e = ps + µgzs +1

Explicitons les termes :Dm = µeveSe = µsvsSseMs − eMe = 1

2v2s + gzs + ...− 1

2v2e − gze − ...

PForce exterieure non conservative = PForce pression = peveSe − pSvsSsPForce interieure non conservative = 0 absence de viscosite.Finalement, en supposant l’ecoulement incompressible et homogene µs = µe = µ :

2v2s + gzs −

2v2e − gze) = peveSe − psvsSs

s + µgzs −1

e − µgze) = pe − ps

Theoreme de Bernoulli.

Pour un ecoulement parfait, homogene, incompressible, stationnaire,sur un tube de champ constitue de lignes de courant tres proches,

pe + µgze +1

e = ps + µgzs +1

Bilan d’energie, point de vue mecanique. Applications.

2 Bilan de matiere.

Effet Venturi (dans un ecoulement parfait).

Figure – Effet Venturi.

Effet Venturi et trompe a eau.

Figure – La trompe a eau.

Effet Venturi sur le Detroit de Gibraltar.

Figure – Effet Venturi et Detroit de Gibraltar (colonnes d’Hercule).

Meme effet dans les couloirs du metro.

Effet Venturi et aeration des pyramides.

Figure – Effet Venturi et aeration des pyramides.

Tube de Pitot.

Figure – Tube de Pitot.

Effet Venturi et tube de Pitot.

Figure – Tube de Pitot.

Figure – Schema du tube de Pitot.

Theoreme de Torricelli.Application du theoreme energetique pour calculer une vitesse.

Figure – Theoreme de Torricelli.

Demonstration 1 : par Bernoulli.Demonstration 2 : par application du theoreme energetique.

Effet Magnus (directement lie a l’effet Venturi).

Figure – Effet Magnus.

Figure – Effet Magnus, simulation numerique.

Retour sur la portance de l’aile d’avion.

Figure – Ecoulement symetrique autour de l’ailed’avion : pas de portance.

Figure – Ecoulement asymetrique autour de l’ailed’avion : portance.

Retour sur la portance de l’aile d’avion.

Figure – Ecoulement asymetrique autour de l’ailed’avion asymetrique (NACA) : portance.

Necessite d’ajouter un vortex sur l’aile d’avion pour expliquer la portance des avions.(prise en compte de la turbulence dans un ecoulement parfait.)

Figure – Effet de depression dans le sillage de l’avion.

Figure – Effet de depression sur l’aile d’avion et decollement de couche limite.

Probleme connexe : la voile des navires, les ailerons des formule 1 et les foilers.

Figure – Foiler.P. Ribiere (College Stanislas) Bilan en mecanique des fluides. Annee Scolaire 2017/2018 31 / 51

Quand peut on ”raisonnablement” considerer le fluide comme parfait ?

Figure – Ecoulement a sillage turbulent derriere une aile d’avion.

Retour sur les pertes de charges.

pe + µgze +1

e = ps + µgzs +1

Bilan de quantite de mouvement.

2 Bilan de matiere.

Bilan de quantite de mouvement. Theoreme de la resultante dynamique.

2 Bilan de matiere.

5 Bilan de quantite de mouvement.Theoreme de la resultante dynamique.Applications.Retour sur l’ecoulement de Poiseuille.

Bilan de quantite de mouvement. Theoreme de la resultante dynamique.

D−→P F

Dt=−→F ext

D−→P F =

−→P F (t + dt)−

−→P F (t) = (

−→P E (t + dt) + dm−→v s)− (ME (t) + dm−→v e) = dm(−→v s −−→v e)

Dm(−→v s −−→v e) =−→F ext

Bilan de quantite de mouvement. Applications.

2 Bilan de matiere.

Calcul de la force exercee par l’eau sur un tube coudee.

On s’interesse a une canalisation de section S constante dans le plan horizontal faisant un coudea 90 : l’entree est suivant l’axe x et la sortie suivant l’axe y. L’ecoulement de l’eau dans le tuyauest supposee parfait, homogene et incompressible, stationnaire dans le referentiel du laboratoiresuppose galileen. On note ve le module de la vitesse a l’entree (uniforme sur la section du fluide)et vs le module de la vitesse a la sortie. De meme, pe et ps designe la pression dans le fluiderespectivement a l’entree et a la sortie.

1 Montrer que ve = vs

2 En deduire que pe = ps

3 Calculer la force qu’exerce l’eau sur le coude. Commenter

Probleme connexe : les turbines Pelton.

Figure – Turbine Pelton.

Probleme connexe : les turbines a tuyere et eoliennes (meme probleme dans un tube de champ).

Figure – Turbine avec tuyere.

Probleme connexe : les inverseurs de poussee.

Figure – Les inverseurs de poussee.

Probleme connexe essentiels : force de poussee d’une fusee.

Figure – Force de poussee d’une fusee.

m(t)d−→vdt

= m(t)−→g + Dmu−→u z

Bilan de quantite de mouvement. Retour sur l’ecoulement de Poiseuille.

2 Bilan de matiere.

Bilan de quantite de mouvement. Retour sur l’ecoulement de Poiseuille.

On etudie l’ecoulement laminaire, permanent et incompressible d’un liquide visqueux dans uneconduite cylindrique de faible rayon R et de longueur L, appele ecoulement de Poiseuille.

1 Quelle doit etre la vitesse du fluide pour que l’ecoulement de l’eau reste laminaire dans untube de rayon 0,5mm ?

2 Justifier qu’il est raisonnable de supposer ~v = vx (r)~ux .

3 Montrer que la force qu’exerce le tuyau sur le fluide est ~F = η dvxdr

)(r=R).2πRL~ux4 On souhaite faire un bilan sur le cylindre de fluide compris en r=0 et r, de longueur L,

montrer alors que

(P(0)− P(L)).πr2 + ηdvx

dr)(r).2πrL == 0

5 Ecrire la condition d’adherence du fluide sur la paroi6 En deduire vx (r).7 Calculer le debit volumique et la resistance hydraulique definit par P(0)− P(L) = Rhydro .Dv

Figure – Visualisation experimentale de l’ecoulement de Poiseuille.

Bilan de moment cinetique.

2 Bilan de matiere.

Bilan de moment cinetique. Theoreme du moment cinetique par rapport a un axe fixe.

2 Bilan de matiere.

6 Bilan de moment cinetique.Theoreme du moment cinetique par rapport a un axe fixe.Applications.

Bilan de moment cinetique. Theoreme du moment cinetique par rapport a un axe fixe.

D−→L0F

Dt=−→M0(−→F ext)

D−→L0F =

−→L0F (t + dt)−

−→L0F (t) = (

−→L0E (t + dt) +

−→OS ∧ dm−→v s)− (

−→L0E (t) +

−→OE ∧ dm−→v e) =

dm(−→OS ∧ dm−→v s −

−→OE ∧ dm−→v e)

Dm(−→OS ∧ dm−→v s −

−→OE ∧ dm−→v e) =

−→M0(−→F ext)

Bilan de moment cinetique. Applications.

2 Bilan de matiere.

Figure – Le tourniquet hydraulique.

Un tourniquet hydraulique possede deux bras identiques OA et OB de longueur R et de section S.Chaque bras est termine par un tube de meme section S faisant avec le bras un angle α seterminant respectivement en A’ et B’, de longueur negligeable << R.L’eau, supposee incompressible, est injectee dans le tourniquet hydraulique par le tube centrale desection 2S avec un debit volumique Dv constant.On note J le moment d’inertie par rapport a l’axe Oz du tourniquet

On notera−→Ω = Ω(t)−→u z le vecteur rotation du tourniquet.

1 Calculer la vitesse dejection du fluide en A’ dans le referentiel du laboratoire sachant que lavitesse d’ejection du fluide par rapport au tourniquet est note v−→u .

2 Calculer v en foncion de Dv

3 Montrer que le moment cinetique sur Oz du systeme (qui n’est pas en regime stationnaire)

est DLzDt

= J dωdt

+ µDv (R2Ω− Rv sin(α)

4 Trouver l’equation dont Ω(t) est solution. La resoudre sachant que le systeme estinitialement immobile.

2 Bilan de matiere.

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