Introduction a la m` ecanique quantique´

Introduction a la mecanique quantique

Fabien Besnard

February 6, 2013

La physique classique ou le triomphe du m ecanisme 3La fin de la physique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Quelques mysteres demeurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

La periode de fermentation : 1900–1923 6Le corps noir (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Le corps noir (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Le corps noir (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9L’effet photoelectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Les quanta de lumiere d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Structure de l’atome (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Structure de l’atome (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Structure de l’atome (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Structure de l’atome (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Le modele de Bohr (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Modele de Bohr (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Limites du modele de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

La transition 19Les ondes de matiere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20La mecanique ondulatoire (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21La mecanique ondulatoire (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Fentes d’Young (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Fentes d’Young (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Fentes d’Young (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Fentes d’Young (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Fentes d’Young (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27La mecanique des matrices (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28La mecanique des matrices (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29La fusion des deux nouvelles mecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Meca. analytique (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Meca. analytique (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Commutateurs et crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Postulats de la MQ 34bras et kets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Operateurs (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Operateurs (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Premier postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Deuxieme postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Postulats 3 et 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Cinquieme postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Sixieme postulat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Reduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1

Applications des postulats 46Esperance et ecart-type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Exemple : l’ion H+

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Stabilite de la matiere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Le theoreme d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Effet tunnel (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Moment cin etique et spin 54Moment cinetique : definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Moment cinetique : representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Moment cinetique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Application a l’atome d’hydrogene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Existence du spin (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Existence du spin (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Existence du spin (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Algebre du spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Spin et statistique (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Spin et statistique (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Paradoxes et Interpr etations 65“Paradoxe du chat” (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Paradoxe du chat (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Intrication (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Intrication (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Intrication (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Conclusion 71Et apres ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Et encore apres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2

Table des mati eres

La physique classique ou le triomphe du m ecanisme

La periode de fermentation : 1900–1923

La transition

Postulats de la MQ

Applications des postulats

Moment cin etique et spin

Paradoxes et Interpr etations

Conclusion

Introduction a la mecanique quantique Cours d’ouverture (EPF3) – 2 / 74

La physique classique ou le triomphe du m ecanisme 3 / 74

La fin de la physique ?

Fin XIXe: matiere (charges et masses) + 2 forces sur le meme modele.Matiere faite d’atomes.Ether remplit tout l’espace (atomique ou continu ?).Ondes dans l’ether = lumiere.Chaleur = agitation moleculaire.

On a (presque) tout compris !

“The beauty and clearness of the dynamical theory,which asserts heat and light to be modes of motion,is at present obscurred by two clouds. The first cameinto existence with the undulatory theory of light [. . . ] Itinvolved the question “How could Earth move throughan elastic solid, such as essentially is the luminiferousether ?” The second is the Maxwell-Boltzmann currentdoctrine regarding the partition of energy.”William Thomson (Lord Kelvin), 1900


3

Quelques myst eres demeurent. . .

1. Ether (autre histoire. . . )

2. Tableau periodique des elements (Mendeleıev, 1869) → pas d’explication.

3. Spectres atomiques (formule de Balmer, 1885) → pas d’explication.

4. Structure de l’atome (decouverte de l’electron, J.J. Thomson, 1899)

5. Radioactivite (Becquerel, 1896)

6. Probleme du corps noir.

Rien de tout cela ne paraıt bien grave. . .


La periode de fermentation : 1900–1923 6 / 74

Le corps noir et l’hypoth ese de Planck (1)

Un corps rayonne en fonction de sa temperature.Corps noir : seule source de rayonnement = agitation thermique.Modele de corps noir : four perce d’un trou.Densite de puissance emise / unite de surface en fonction de ν :

1. Forme “en cloche”→ dispersion des energies cinetiques autour de la moyenne (temperature)

2. Maximum se deplace avec la temperature. (loi de Wien)

3. Comment retrouver cette courbe par la theorie ?


4


1. Theoreme d’equirepartion : a l’equilibre thermique, chaque degre de liberte contribue pour 12kT a

l’energie totale.

2. Theorie de l’E.M. : nbre de modes d’oscillation du champ dans [ν; ν + dν] ∝ ν2dν→ +∞ !

3. E.M.+ physique statistique = catastrophe ultraviolette !

Hypothese de calcul (Planck, 1900) :echanges d’energie matiere–rayonnementuniquement par “quanta” de valeur hν.

⇒M0ν (ν, T ) =

2πhν3

c31

ehνkT − 1

(Loi de Planck, 1900)

ou M0ν =exitance, en W.m−2.Hz−1.

Colle parfaitement aux donnees avec h ' 6, 626× 10−34J.s, cte universelle.



Plus belle confirmation : fond diffus cosmologique = rayonnement de corps noir a 2, 725 K.

Planck voit son hypothese comme un artifice de calcul.Einstein est plus audacieux. . .


5

L’effet photo electrique

Production de courant par certainsmetaux exposes a lumiere UV.Decouvert par Hertz (1887).

1. ν ↗⇒ Ec ↗.

2. ∃ un seuil ν0 tq ν < ν0 ⇒ aucun effet.

3. ν > ν0 ⇒reponse immediate : pas d’accumulation dans un reservoir.

4. Icourant depend de Ilumiere, mais. . .

5. Ec independante de Ilumiere.

Effet discontinu (seuil, tout ou rien,. . . ). Comment l’expliquer avec ondes lumineuses continues ?


Les quanta de lumi ere d’Einstein

Einstein (1905) : Si lumiere faite de particules d’energie hν, alors explique effet photoelectrique :Si ν ↗, chocs avec photons plus energetiques ⇒ e− plus rapides.Pas d’effet si energie photon < energie de liaison W .Ilumiere ↗⇒ + de photons, donc + d’e− emis, mais tous de m Ec.

Prediction : Ec = hν −W .

This hypothesis may well be called reckless [. . . ]because it flies in the face of the thoroughly estab-lished facts of interference. (R.A. Millikan, 1916)

Millikan veut detruire ces inepties : experiences (1912–1917). . .

La relation d’Einstein est verifiee !Despite the apparent complete success of the Einstein equation, the physical theory of which it was

designed to be the symbolic expression is found so untenable that Einstein himself, I believe, no longerholds to it. (R.A. Millikan, 1916)


6

Structure de l’atome (1)

Atomes :

● hypothese de philosophie naturelle (Leucippe, Democrite, -400)

● hypothese de chimie (Dalton, 1808).

Confirmations : stereochimie, theorie cinetique des gaz.Einstein (1905) : theorie du mouvement Brownien.

Les atomes, J. Perrin, 1913 : recense 13 confirmations independantes.



J.J. Thomson (1897) : rayons cathodiques = corpuscules negativement charges.H. Becquerel (1900) : rayons beta (radium) = rayons cathodiques.

→ atomes contiennent des particules − (electrons) et + (?)

E. Rutherford (1909) : envoie des particules alpha sur des feuilles d’or.


7


Modele de Rutherford :

L’electron accelere donc rayonne. Donc perd de l’energie.

→ duree de vie ∼ 10−8s !



Spectroscopie : la clef du mystere ?

Raies spectrales connues debut XIXe. Faits :

1. Spectres discrets (bizarre !)

2. Balmer (1885), puis Rydberg (∼ 1900), formule empirique pour l’H :

ν = RH(1

nf 2− 1

ni2)

3. Formule ne marche que pour ion a un seul e−, mais dans tous les cas ∃ un principe de combinaison.


8

Le mod ele de Bohr (1)

Modele de Bohr (1913) : seules certaines orbites d’energie bien precises sont autorisees pour l’e−

(hypothese ad hoc).

n=1 n=2 n=3

γ

e-

Frequence spectre emission : hνij = Ei − Ej .Pour retrouver Balmer/Rydberg on suppose En = −h R

n2 , i ∈ N∗.Or energie mecanique d’un e− en orbite circulaire autour d’un p+ :

E(r) = − e2

8πε0r⇒ r(n) =

e2n2

8πε0hR


Modele de Bohr (2)

Application du PFD donne frequence de l’e− :

ν(n) =e

4√

meπ3ε0r(n)3=

4√

2ε0R3/2h3/2

n3e2m1/2e

(1)

Pour n grand, νn+1,n = 1h(En+1 − En) ≈ ν(n).Or

En = −h Rn2

⇒ 1

h(En+1 − En) ≈

2R

n3pour n grand (2)

En comparant (2) et (1) on trouve

R =mee

4

8ε20h3

En accord avec la valeur experimentale ! On trouve aussi :r(1) := a0 = h2ε0

πmee2≈ 5, 3 × 10−11m ≈ 0, 53 A et E1 = −hR = −mee

4

8ε20h2 ≈ −13, 6 eV

Experience de Frank-Hertz (1914) : confirme directement que l’energie des atomes est quantifiee.


9

Limites du mod ele de Bohr

1. Ne marche pas pour les atomes et ion a 2 electrons ou plus.

2. Meme pour l’H, n’explique pas tout : structure fine, effet Zeeman, . . .

3. Pas d’explication pour la quantification de l’energie (ou du moment cinetique).


La transition vers une nouvelle m ecanique : 1923–1926 19 / 74

Les “ondes de mati ere” de Louis de Broglie

→ Dualite onde/corpuscule pour la lumiere.de Broglie (1924) : propose une dualite onde/corpuscule pour la matiere !

A toute particule d’energie E et d’impulsion ~p est associee une onde de frequence ν telle queE = hν, et de vecteur d’onde ~k tel que ~p = ~~k.

Justifie le modele de Bohr :orbites autorisee ↔ ondesstationnairesφ =

∮

~k.−→dr = 2πn ⇔

∮

~p.−→dr = nh

Cette hypothese [. . . ] vaut, comme toutes les hypotheses, ce que valent les consequences qu’on peuten deduire.


10

La mecanique ondulatoire (1)

Accueil mitige.Einstein est emballe → convainc Schrodinger de s’y interesser.Prediction experimentale : diffraction des electrons par un reseau (sera observe par Davisson et Germeren 1927).Deux grandes questions a propos des ondes de matiere :

1. Quelle est leur equation ?

2. Quelle est leur interpretation ?

particule libre → onde plane du type Ψ(−→r , t) = ei~(~p.~r−Et)

⇒ i~∂

∂tΨ = EΨ et − ~2

2m∆Ψ =

p2

2mΨ

Compte tenu de E = Ec = p2

2m on obtient

i~∂

∂tΨ = − ~2

2m∆Ψ


La mecanique ondulatoire (2)

Dans un potentiel V (~r) on a E = Ec + V (−→r ) = p2

2m + V (−→r ), d’ou :

i~∂

∂tΨ = − ~2

2m∆Ψ + VΨ (3)

� On a juste trouve une equation dont Ψ est la solution. Il yen a bien d’autres !

L’equation de Schrodinger est un postulat.Justifications (a posteriori) : ca marche bien !Premieres observations :

1. Equation lineaire.

2. 1er ordre en t→ on peut determiner Ψ(t) connaissant Ψ(t0).

3. Elle est complexe.

4. Si on pose ρ = ΨΨ∗ = |Ψ|2 et −→j = ~

2im (Ψ∗−→∇Ψ − Ψ−→∇Ψ∗), alors (3)⇒ ∂ρ

∂t +−→∇.−→j = 0, forme locale

d’une eq de conservation.


11

Experience des fentes d’Young (1)



Resume :

1. Si Ilum ↘, le temps d’exposition pour voir les franges ↗ (Experience de G.I. Taylor, 1909).

2. Les taches apparaissent de facon aleatoire.

3. Les taches ne s’elargissent pas quand on recule l’ecran.

Interpretation en terme de photons :Ilum recue dans [x;x+ dx] ∝ nombre de photons N(x) recus dans cet invervalle.Soit f(x) = N(x)/N . Si N grand, loi des grands nombres ⇒ f(x) → P (x). Donc :

I(x) ∝ P (x)


12


Experience avec un trou bouche :

x

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

1

0

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

1

P (x) 6= P1(x) + P2(x) !



Resume :

1. Formation par taches aleatoires : incompatible avec la theorie ondulatoire.

2. Interferences : incompatible avec la theorie corpusculaire.

3. C’est pareil avec des electrons (Davisson-Germer, 1927), des atomes (Carnal-Mlynek 1991), desmolecules (Arndt et al, 1999). . .

Bohr : dualite onde/corpuscule → obsolete.

Les “quantons” ne sont ni des ondes ni des particules.Il n’existe pas d’onde. Il n’existe pas de particules. Il n’existe que des quantons.


13


Physique ondulatoire classique : I = |h|2 avec h amplitude complexe du type h = Aeiωt.

h = h1 + h2 ⇒ I = |h1 + h2|2

Or I(x) ∝ P (x) + ondes de matiere Ψ s’additionnent (eq. de Schrodinger lineaire).Born (1926) : P (x) ∝ |Ψ(x)|2.

P (x) ∝ |Ψ(x)|2 = |Ψ1(x) + Ψ2(x)|2 6= |Ψ1(x)|2 + |Ψ2(x)|2 ∝ P1(x) + P2(x)

2Re(Ψ1Ψ2) = terme d’interference.� Si on met un detecteur pour voir par quel trou est passe la

particule, on detruit le terme d’interference !


La mecanique des matrices (1)

Heisenberg : la trajectoire d’unelectron est inobservable par principe.

Microscope de Heisenberg : precision de l’ordre de ∆x⇒ longueur d’onde du photon λ ∼ ∆x.Qtite de mvt du photon p = h/λ⇒ qtite de mvt de la particule modifiee de ∆px ∼ h/λ.

⇒ ∆x∆px ∼ h

→ Refaire la theorie de l’atome d’H en se debarassant des trajectoires de l’e−.


14

La mecanique des matrices (2)

H. developpe la position sur un axe de l’e− en serie de F. :

q(t) =∑

k∈Z

qkeiωkt ou ωk = 2kπ/T

car modes de Fourier → frequences spectrales (observables).n-ieme orbite de Bohr : qn(t) →

∑

k qn,keiωn,kt, ou ωn,k = 1

~(En − Ek).

qn(t) representee par (Qn,k), avec Qn,k = qn,keiωn,kt.

Question : qu’est-ce qui represente qn(t)2 ?

Q(2)n,k =

∑

m∈Z

Qn,mQm,k

Produit de matrices !On trouve aussi que

QP − PQ = ~Id


La fusion des deux nouvelles m ecaniques

Deux theories completement differentes qui donnent le meme resultat !

Dirac : passage MC → MQ = passage c-nombres→ q-nombres.

Meca Matrices/Meca Ondulatoire : deux representations differentes des q-nombres :

● Q,P matrices telles que QP − PQ = ~Id

● operateurs agissant sur des fonctions : q = multiplication par x, p = ~

iddx . Verifient qp− pq = ~Id.

Analogie mecanique hamiltonienne/mecanique quantique.


15

Mecanique analytique (1)

On cherche t 7→ γ(t) verifiant

γ(ti) = Mi et γ(tf ) = Mf

On definit l’action

S(γ) =

∫ tf

ti

L(γ(t), γ(t), t)dt

L = lagrangien. Pour une particule dans un potentiel :

L(q, q, t) =1

2m‖q‖2 − V (q, t)

ou q = (x1, x2, x3).Principe de moindre action : δS(γ) = 0

⇔ ∂L∂qi

= ddt

(

∂L∂qi

)

(equations d’Euler-Lagrange)


Mecanique analytique (2)

moment conjugue : pi = ∂L∂qi

Hamiltonien : H(q, p, t) :=∑

i piqi(q, p) − L(q, p, t)crochet de Poisson :

{f, g} :=∑

i

(

∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi

)

⇒ {qi, qj} = {pi, pj} = 0; {qi, pj} = δij

et

df

dt= {f,H} +

∂f

∂t


16

Commutateurs et crochets de Poisson

Dirac remarque l’analogie :{qi, qj} = {pi, pj} = 0; {qi, pj} = δij

→ [qi, qj ] = [pi, pj ] = 0; [qi, pj ] = i~δij

{ , } −→ 1

i~[ , ]

Permet souvent de “quantifier” un systeme classique.Exemple : particule dans un potentiel : H(p, q) = p2

2m + V (q)

Hamiltonien quantique (hypothese) : H = p2

2m + V (q).

Hψ = − ~2

2m∆ψ + V ψ

Forme generale de l’eq. de S.

i~∂

∂tψ = Hψ


Postulats de la m ecanique quantique 34 / 74

Rappels de maths (1) : bras et kets

V = C-espace vectoriel + < ., . > tq :

1. < λv,w >= λ < v, w > et < v, λw >= λ < v,w >,

2. < u+ v, w >=< u,w > + < v,w >,

3. < v,w >= < w, v >,

4. < v, v >∈ R+,

5. < v, v >= 0 ⇒ v = 0.

Espace de Hilbert = (V,< ., . >) et complet.ε : V → V ∗ definie par ε(v) =< v, . >.Notations de Dirac : ket |v〉 ∈ V , bra ε(v) := 〈v| ∈ V ∗

〈v|w〉 = ε(v)(w) =< |v〉, |w〉 >


17

Rappels de maths (2) : op erateurs

operateur = endomorphisme de V .Notations des physiciens : f(v) → f |v〉.O operateur. Adjoint O∗ defini par :

∀|u〉, |v〉 < |u〉, O|v〉 >=< O∗|u〉, |v〉 >:= 〈u|O|v〉Conventions O agit sur 〈u| par 〈u|O = ε(O∗|u〉).O est :

● hermitien ssi O = O∗, ⇒ σ(O) ⊂ R

● antihermitien ssi O = −O∗, ⇒ σ(O) ⊂ iR

● unitaire ssi OO∗ = O∗O = IdV , f ⇒ σ(O) ⊂ S1,

● normal ssi OO∗ = O∗O.

th eor eme spectral : Si V de dimension finie et f : V → V est normal, alors ∃ une BON de vecteurspropres pour fCodiagonalisation : a, b diagonalisables + commutent ⇔ a et b codiagonalisables.


Rappels de maths (3) : norme et exponentielle d’op erateurs

‖a‖∞ := supv∈V \{0}

‖a(v)‖‖v‖

‖a‖ < +∞ ⇔ a borne ⇔ a continu.B(V ) = operateurs bornes. (B(V ), ‖ ‖∞) evnc, stable par ◦ et ∗, et

● ‖a‖ = ‖a∗‖,

● ‖a ◦ b‖ ≤ ‖a‖ × ‖b‖

Theor eme : ∀a ∈ B(V ), sn(a) :=∑n

i=0an

n! CV. lim sn(a) := exp(a).Si a et b commutent, alors exp(a+ b) = exp(a) exp(b) = exp(b) exp(a).⇒ exp(a) exp(−a) = exp(−a) exp(a) = exp(0) = Id.Autre proprietes :

● exp(a∗) = exp(a)∗.

● a antihermitien ⇒ exp(a) unitaire.


18

Premier postulat

Postulat 1 A tout systeme physique correspond un espace deHilbert H, appele l’espace des etats.

● A plusieurs systemes peuvent correspondre le meme espace des etats.

● En pratique on sait faire si le systeme est assez simple.

● On ne sait pas encore faire avec certitude pour la gravitation (gravite quantique).


Deuxi eme postulat

Postulat 2 A chaque instant t, l’etat d’un systeme physique estdecrit par un vecteur non nul |ψ(t)〉 de l’espace des etats, appelevecteur d’etat. Deux vecteurs non nuls representent le memeetat si, et seulement si, ils sont proportionnels.

● Ce sont les droites de H qui representent vraiment les etats.

● Temps = parametre exterieur, absolu → incompatible avec RR. OK si vitesses � c.

● Ici “point de vue de Schrodinger.”

● Postulats 1 et 2 → C-linearite : si |ψ(t)〉, |φ(t)〉 vecteurs d’etats ∀c1, c2 ∈ C, c1|ψ(t)〉+ c2|φ(t)〉 vecteurd’etat (sauf si = 0).


19

Troisi eme et quatri eme postulats

Postulat 3 A chaque propriete observable d’un systemephysique correspond un operateur hermitien sur l’espace desetats. Un tel operateur s’appelle une observable.

● Exemples : energie, projection sur un axe de l’impulsion ou position ou moment cinetique d’uneparticule, etc. . .

● Pas de recette pour savoir quel operateur prendre : postulats independants dans chaque cas.

Postulat 4 Les resultats possibles de la mesure d’une variablesont les valeurs propres de l’observable correspondante.


Cinqui eme postulat

a variable, A obs. associee, α vp de A, |ψ〉 vecteur d’etat normalise.Si α est simple :

P (a→ α|ψ) = |〈α|ψ〉|2

ou |α〉 vp normalise associe a α.

Si |ψ〉 et |α〉 non normalises : P (a→ α|ψ) = |〈α|ψ〉|2〈α|α〉〈ψ|ψ〉

Si α de multiplicite m <∞ et |α1〉, . . . , |αm〉 BON de l’esp. propre Eα :Postulat 5 La probabilite qu’une mesure de a donne le resultat αlorsque le systeme est dans l’etat |ψ〉 est :

P (a→ α|ψ) =m

∑

j=1

|〈αj |ψ〉|2‖ψ‖2

Plus generalement, si π = proj. ⊥ sur Eα, on a :

P (a→ α|ψ) =‖π|ψ〉‖2

‖ψ‖2


20

Exemple :

H = C3 + p.h. canonique. |1〉, |2〉, |3〉 = b.c.Observable O representee dans la b.c. par :

O =

0 i 0−i 0 −i0 i 0

Quel est le spectre de O ? Reponse : σ(O) = {−√

2; 0;√

2}.Trouver une BON de v.p.

Reponse possible : | −√

2〉 =

1/2i/√

21/2

, |0〉 =

1/√

20

−1/√

2

, |√

2〉 =

−1/2i/√

2−1/2

.

Soit |ψ〉 =√

2|1〉 − 2i|2〉 +√

2|3〉. Que donne une mesure de o si le systeme est dans l’etat |ψ〉 ?Reponse : on a |ψ〉 = −2

√2|√

2〉. Il est donc certain que le resultat est√

2Quelles sont les probas des resultats possibles d’une mesure de o lorsque le systeme est dans l’etat|ψ′〉 = |1〉 ?P (o→

√2) = |〈

√2|1〉|2 = |(−1/2)|2 = 1

4 , P (o→ 0) = 1/2, P (o→ −√

2) = 1/4.


Sixi eme postulat

Postulat 6 Soit H le hamiltonien d’un systeme et |ψ(t)〉 sonvecteur d’etat a l’instant t. Alors, en l’absence de toute operationde mesure, |ψ(t)〉 satisfait l’eq. d’evolution de Schrodinger :

i~d

dt|ψ(t)〉 = H |ψ(t)〉

● H depend de t si le systeme n’est pas isole.

● L’evolution de |ψ(t)〉 est deterministe tant qu’il n’y a pas de mesure.

● Si H ne depend pas de t, l’eq. de S. s’integre en

|ψ(t)〉 = U(t, t0)|ψ(t0)〉, ou U(t, t0) = e−i~(t−t0)H

U(t, t0) = operateur d’evolution. H hermitien ⇒ U unitaire

⇒ 〈φ(t)|ψ(t)〉 = 〈U(t, t0)φ(t0)|U(t, t0)ψ(t0)〉 = 〈φ(t0)|U(t, t0)−1U(t, t0)ψ(t0)〉 = 〈φ(t0)|ψ(t0)〉


21

Exercice : etats stationnaires

Montrer que si un systeme est dans un etat d’energie bien definie, alors il n’evolue pas.

Solution : Soit |ψ(t0)〉 un etat propre de H associe a la v.p. E.Alors ∀t > t0, on a :

|ψ(t)〉 = e−i~(t−t0)E |ψ(t0)〉

Comme |ψ(t)〉 ∝ |ψ(t0)〉, ils representent le meme etat.


Reduction du paquet d’onde

Hypoth ese Soit a une variable, α une valeur propre del’observable associee, et Eα le s.e.v propre associe. Alors sion effectue une mesure de a entre les instants t et t + ε sur unsysteme, le vecteur d’etat de ce systeme verifie :

|ψ(t+ ε)〉 =πα|ψ(t)〉

‖πα|ψ(t)〉‖ou πα est le projecteur ⊥ sur Eα.

→ si on mesure a juste apres l’avoir mesure une premiere fois, on retrouve la meme valeur.Succession d’evol. unitaires et de reductions du paquet d’onde :

U U

U

U

R

R

R

ψ

t


22

Applications des postulats 46 / 74

Esperance et ecart-type d’une variable

Soit 〈A〉ψ l’esperance et (∆A)ψ l’ecart-type du resultat d’une mesure d’une certaine variable a lorsque lesysteme considere est dans l’etat |ψ〉.Exercice : montrer que :

〈A〉ψ =〈ψ|A|ψ〉‖ψ‖2

et(∆A)ψ =

1

‖ψ‖(

〈ψ|A2|ψ〉 − 〈ψ|A|ψ〉2)1/2


Exemple : l’ion H+

2

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p1 2

p p1 2

p

e-

d

+ + + +

xxxxxxxxxxxxxxxx

e-

xxxxxx

x

Systeme constitue de p+

1 , p+

2 et e−. On suppose :

● d constante,

● Deux etats pour la position de e− : H − H+ ou H+ − H . On les note |1〉 et |2〉.

Soit X l’obs. “position de e−”: X ↔

(

−d/2 00 d/2

)

.

Energie ? Hamiltonien H ↔

(

H11 H12

H21 H22

)

.

Montrer que H11, H22 ∈ R, H21 = H12, et H11 = H22 !On pose H12 = aeiθ, E = H11. Montrer que σ(H) = {E − a; E + a}.On suppose a 6= 0. |e1〉 = 1

√

2(eiθ|1〉 − |2〉), |e2〉 = 1

√

2(eiθ|1〉 + |2〉) sont des vecteurs propres de H , correspondant

resp. a E − a et E + a.Quelle est la proba de trouver e− du cote de p+

1 si l’ion est dans l’etat |e1〉 ?Calculer moy. et ecart-type de la position de e− dans l’etat |e1〉, puis dans l’etat |e2〉.


23

Relations d’incertitude

Theor eme : Soient A,B deux observables, [A,B] = AB −BA leur commutateur, et ψ un vecteur d’etatnormalise. Alors :

(∆A)ψ(∆B)ψ ≥ 1

2|〈[A,B]〉ψ |

Preuve : Cauchy-Schwarz !Application :

{qi, pj} = δij → [Qi, Pj ] = i~δij ⇒ ∆x∆px ≥ ~

2

De meme, tout couple de variables conjuguees → relation d’incertitude.


Stabilit e de la mati ere

Argument tres heuristique !Atome d’H. R,P position/impulsion de l’e−.Relations d’incertitude ⇒ (∆R)(∆P ) ? ~ en ordre de grandeur.Symetrie ⇒ 〈P 〉 = 0 ⇒ 〈Ec〉 = 1

2me〈P 2〉 = 1

2me(∆P )2.

⇒ 〈Ec〉 ∼ ~2

2me(∆R)2 ≥∼ ~2

2me〈R〉2

Energie potentielle : V ∼ − q2

4πε0〈R〉Energie totale :

E ∼ ~2

2me〈R〉2− q2

4πε0〈R〉Competition entre “repulsion de Heisenberg” et attraction coulombienne.

0 1 2 3 4 5< R >

E

1

Miminum = −13, 6 eV pour 〈R〉 '0, 53 A !


24

Le th eor eme d’Ehrenfest

O observable, ψ un vecteur d’etat. On a :

d

dt〈O〉ψ =

1

i~〈[O,H ]〉ψ (4)

Pour une particule dans un potentiel V (r), H = p2

2m + V (x, y, z).On a

[r, p2] = 2i~p, et [p, V (r)] = −i~∇V (r)

D’ou

(4) ⇒ d

dt〈r〉 =

1

m〈p〉 et

d

dt〈p〉 = −〈∇V (r)〉

Similaire a :

~p = md~r

dt, et

d~p

dt= −∇V

Si on peut faire l’approximation 〈V (r)〉 ≈ V (〈r〉)alors on peut dire que la moyenne des observables de position et d’impulsion satisfont les lois de lamecanique classique.


Effet tunnel

Classiquement : particule rencontrant une marche de potentiel.

x

V0

F

Particule d’energie bien definie E, ψ sa fonction d’onde. E. de S :

− ~2

2m

∂2

∂x2ψ + V ψ = Eψ

ψ etat stationnaire ⇒ ψ(x, t) = e−i~Etψ(x, 0) = e−

i~Etφ(x), d’ou

φ′′ + λφ = 0, avec λ =2m

~2(E − V )

Solutions sur un intervalle ou V est constant :

1. Si E > V , alors λ > 0 et φ(x) = Aeikx +Be−ikxou k :=√λ,

2. Si E < V , alors λ < 0, et φ(x) = Aeκx +Be−κxou κ :=√−λ.


25

Effet tunnel (2)

Barriere de potentiel d’extension finie l et de hauteur V0.On envoie une particule d’energie 0 < E < V0 depuis −∞3 regions :

● Pour x ∈] −∞; 0[, V = 0, donc φ(x) = Leikx +Me−ikx,

● pour x ∈ [0; l], V = V0 > E, donc φ(x) = Neκx + Pe−κx,

● pour x ∈]l; +∞[, V = 0, donc φ(x) = Reikx + Se−ikx.

La particule vient de la gauche ⇒ S = 0 (pas evident !).Conditions de recollement ⇒ on tire L,M,N, P en fonction de R.x ∈ [0; l] ⇒ |φ(x)|2 = |R|2

(

cosh2(κ(x− l)) +E

V0 − Esinh2(κ(x− l))

)

0

1

2

3

4

5

6

7

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

1


Moment cin etique et spin 54 / 74

Moment cin etique : d efinition

Rappel de meca classique → moment cinetique d’une particule par rapport a O :

~L = ~r × ~p⇔ Lx = ypz − zpy; Ly = zpx − xpz; Lz = xpy − ypx

Quantification : x→ x, px → px, etc. . .

Lx = ypz − zpy; Ly = zpx − xpz; Lz = xpy − ypx

Verifient :

[Lx, Ly] = i~Lz; [Ly, Lz] = i~Lx; [Lz, Lx] = i~Ly (5)

Definition : observables de moment cinetique = Jx, Jy, Jz, verifiant (5).2 possibilites : J = L (moment cinetique orbital), ou J = S (spin).On pose

J2 = J2x + J2

y + J2z


26

Moment cin etique : repr esentations

On cherche a representer Jx, Jy, Jz dans B(H).Si H est une

⊕

avec Jx, . . . agissant independamment sur chaque terme, alors la representation estreductible.

On cherche les representations irreductibles.

Theor eme Pour tout rep. irred., ∃j de la forme j = n2 , avec n ∈ N, tel que :

1. J2 = j(j + 1)~2Id,

2. Les valeurs propres de 1~Jz sont les 2j + 1 nombres : −j,−j + 1, . . . , j − 1, j.

En particulier dim(H) = 2j + 1.


Moment cin etique orbital

On note j = `. Jz = Lz = xpy − ypx. On passe en spheriques :

Lz =~

i

∂

∂ϕ

ψm fonction d’onde propre de Lz ssi~

i

∂

∂ϕψ = m~ψ

⇒ ψm(r, θ, ϕ) = φm(r, θ)eimϕ

Or ψ(r, θ, ϕ) = ψ(r, θ, ϕ+ 2π) ⇒ e2imπ = 1.

⇒ m ∈ N

Or m ∈ {−`;−`+ 1; . . . ; `− 1; `}, donc ` ∈ N.Que faire des valeurs de j demi-entieres ?


27

Application a l’atome d’hydrog ene.

e− dans un potentiel central coulombien → H = − ~2

2m∆ + V (r)

Lz commute avec la multiplication par V (r) et ∆ ⇒ [Lz, H] = 0.De meme [Ly, H ] = [Lx, H ] = 0, d’ou [L2, H ] = 0.H , Lz et L2 commutent entre eux, donc on peut les codiagonaliser.→ base d’etats propres de la forme |n, `,m〉 tq

H|n, `,m〉 = En|n, `,m〉L2|n, `,m〉 = `(`+ 1)~2|n, `,m〉Lz|n, `,m〉 = m~|n, `,m〉

On plonge l’atome dans un champ magnetique constant dirige selon (Oz).H → H ′ = H − ~µ. ~B, ou µ = γ0

~L = moment magnetique.Quantification → H ′ = H − µ. ~B = H − γ0LzB

H ′|n, `,m〉 = (En − γ0Bm~)|n, `,m〉→ le champ magnetique clive le niveau En en 2`+ 1 sous-niveaux : effet Zeeman.` ∈ N ⇒ nombre impair de sous-raies.


Existence du spin (1)

Il peut y avoir un nombre pair de sous-raies !


28


Autre enigme : experience de Stern-Gerlach (1922).

Il peut y avoir un nombre pair de taches ! (2 pour l’atome d’Argent)



Les deux enigmes s’expliquent si on admet que

1. L’ e− a un moment magnetique intrinseque.

2. Ce moment magnetique est ∝ un moment cinetique qui n’est pas de nature orbitale. On l’appellespin.

3. L’electron a un spin 1/2 ⇔ possede un moment cinetique intrinseque de valeur√

12 (1

2 + 1)~ =√

32 ~.

La projection sur un axe ne peut valoir que ±~

2 .

4. Le moment cinetique d’un atome est la somme du moment cinetique orbital de ses e− et de leurspin.

La theorie de Dirac predit aussi l’existence du spin.


29

Alg ebre du spin 1/2

observables Sx, Sy, Sz, de v.p. ±~

2 . Dans une base de v.p. de Sz, Sz ↔ ~

2

(

1 00 −1

)

. Relations de

commutation [Sx, Sy] = 2iSz, etc. . .⇒ Sx ↔ ~

2

(

0 eiθ

e−iθ 0

)

, Sy ↔ ~

2

(

0 −ieiθie−iθ 0

)

.

Apres changement de phase des vecteurs de base :

σx =

(

0 11 0

)

, σy =

(

0 −ii 0

)

, σz =

(

1 00 −1

)

Vecteurs propres normalises associes aux v.p. ±1 de σx, σy , σz donnes resp. par :

|±, x〉 =1√2

(

1±1

)

, |±, y〉 =1√2

(

1±i

)

, |+, z〉 =

(

10

)

, |−, z〉 =

(

01

)

Exo : Verifier que si un e− est dans l’etat |+, z〉, une mesure de son spin selon (Ox) donne ~/2 avec laproba 1/2 et −~/2 avec la proba 1/2.


Spin et statistique (1)

En MQ 2 particules identiques (e.g. 2 e−) sont indiscernables.pas de trajectoire → on ne peut pas les distinguer par leurs positions.Soient deux quantons identiques et H l’espace des etats d’un quanton.Les etats d’un systeme de deux quantons appartiennent a H⊗H.

|ψ〉 =∑

k,l

λk,l|k〉 ⊗ |l〉

Operateur d’echange P : |k〉 ⊗ |l〉 7→ |l〉 ⊗ |k〉.Indiscernabilite ⇒ P |ψ〉 = λ|ψ〉, P 2 = Id ⇒ λ = ±1.Principe de superposition ⇒ meme λ pour tous les etats.Si P |ψ〉 = |ψ〉, on dit que |ψ〉 est symetrique.Ex : |k〉 ⊗ |k〉, |k〉 ⊗ |l〉 + |l〉 ⊗ |k〉.Si P |ψ〉 = −|ψ〉, on dit que |ψ〉 est antisymetrique.Ex : |k〉 ⊗ |l〉 − |l〉 ⊗ |k〉.tenseurs symetriques → s.e.v S2(H), antisym. → s.e.v A2(H)tq S2(H) ⊕A2(H) = H⊗H.


30

Spin et statistique (2)

Principe de Pauli : fait experimental, th. de TQC. Admis en MQ.Principe de Pauli ∃ 2 types de particules : les bosons et les fermions. Le vecteur d’etat d’un systeme dedeux bosons identiques est toujours symetrique. Le vecteur d’etat d’un systeme de deux fermionsidentiques est toujours antisymetrique. De plus, les particules de spin entier sont des bosons, et lesparticules de spin demi-entier sont des fermions.

e−, quarks → fermions; photon, gluons → bosons.Si E � energie de liaison, neutrons, protons → fermions, He2+ → boson.|ψ1〉 ⊗ |ψ2〉 − |ψ2〉 ⊗ |ψ1〉 = 0 si |ψ1〉 = |ψ2〉→ principe d’exclusion : 2 fermions independants ne peuvent etre dans le meme etat.De plus, n > dim(H) ⇔ An(H) = {0}.→ explique le tableau periodique des elements !Au contraire, les bosons “s’aggregent” tous dans l’etat de plus basse energie.Condensation de Bose-Einstein → supraconductivite, superfluidite.


Paradoxes et Interpr etations 65 / 74

Chat de Schr odinger (1)

Probabilite d’emission au bout d’une heure = 1/2 :

|ψ(1)〉 =1√2(|particule emise〉 + |particule non emise〉)

=1√2(|chat mort〉 + |chat vivant〉)

→ etat superpose pour un objet macroscopique.Interpretation de Copenhague : ouverture de la boıte → projection soit dans l’etat |mort〉, soit dans l’etat|vivant〉 (evolution R, “reduction du paquet d’ondes”)


31

Chat de Schr odinger (2)

La superposition est contagieuse : boite + chat + observateur dans une grande boıte ⇒ observateursuperpose !Evolution unitaire de l’etat de grande boıte, mais evolution R de l’etat du chat. . .Et s’il n’y avait pas d’evolution R ?

1. Interpretation multiverselle (Everett, 1957) : les proba quantiques sont des statistiques !

2. Decoherence : evolution U + beaucoup de quantons ⇒ evolution R apparente.


Intrication (1)

Einstein, Podolsky, Rosen (1935).Systeme compose d’un e− A et d’un e+ B. On s’interesse au spin.Vecteur d’etat :

|Ψ〉 =1√2(|+, z〉 ⊗ |−, z〉 − |−, z〉 ⊗ |+, z〉) ∈ H⊗H,H ' C

2

|Ψ〉 possede les proprietes suivantes :

1. La mesure de la projection du spin de A ou B sur un axe quelconque, vaut ±~/2 avec proba1/2 − 1/2.

2. Si on mesure le spin de A et B selon le meme axe alors les resultats pour A et B sont opposes.

3. Si on mesure le spin de A selon (Oz) et le spin de B selon un axe orthogonal (Ox), alors il n’y aaucune correlation entre les resultats.


32

Intrication (2)

Alice et Bob tres loin l’un de l’autre.

x

z

x

z

O

Alice Bob

Les valeurs de spin ont-elles ete determinees au depart de O ?Non, car A et B peuvent attendre le dernier moment pour choisir l’axe de mesure !Inegalites de Bell (1964). La MQ viole ces inegalites (verif. experimentale A. Aspect ∼ 1980)


Intrication (3)

A B

O

Alice et Bob comparentleurs résultats

Les resultats de A ne disent rien sur B : A et B doivent comparer leurs resultats pour verifier lescorrelations.

L’intrication ne permet pas de transmettre de l’information plus vite que c !Application : theoreme de non-clonage → crypto quantique.A envoie 100 particules dans des etats |±, x〉 ou |±, z〉, au hasard.B mesure le spin selon un axe aleatoire (Ox) ou (Oz).B transmet ses choix d’axes et ses 50 premiers resultats.50 premiers resultats → test de surete, 50 derniers → cle de codage.


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Conclusion 71 / 74

Et apr es ?

Theorie quantique relativiste (Dirac, 1928) → incoherences.Theories quantiques des champs :

● Electrodynamique quantique (Feynman, Schwinger, Tomonaga, Dyson ∼ 1940)

● Theories de jauge (Yang-Mills, 1954)

● Theorie electrofaible (Glashow, 1961)

● Chromodynamique (Gell-Mann, etc. . . ∼ 1960–1970)

● Modele standard (Weinberg, Salam, etc. . . ∼ 1970)

A part : theorie de l’espace-temps et de la gravitation :

→ Relativite generale (Einstein, 1916).

Gravite quantique attendue pour longueur ou energie de Planck : `P =√

~Gc3 ∼ 10−35m,

Ep =√

~c5

G ∼ 1016TeV.

LHC → L ∼ 10−19m, E ∼ 10 TeV


Mais. . . ce n’est pas la fin de l’histoire !

Ce qu’on comprend bien avec tout ca :Echelle en m 1025 1023 1014 10−10 10−15 10−18 10−35

Objets Univers Galaxie Systeme solaire Atome Proton Particules elementaires ?Statut Theorie validee TV TV TV TV validation en cours conjectures

Enigmes energie noire matiere noire Pioneer oscillations des neutrinos plein !

1. TQC et RG ne marchent pas ensemble !

2. C’est assez complique (35 champs, 18 parametres)

3. Reste des enigmes

Comment aller plus loin ?

1. theorie des cordes ?

2. loop quantum gravity ?

3. geometrie non commutative ?

4. Twisteurs, supergravite, causal sets, triangulations dynamiques, etc. . .


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Quelques mots de conclusion

● Image du monde qui n’est pas figee.

● Ne veut pas dire qu’avant on avait tout faux !

● Importance du debat et de la refutabilite.

● “bon sens” ne marche pas bien.

● Concepts “evidents” a l’echelle humaine (position, vitesse, etc. . . ) inadaptes a l’echellemicroscopique.

● Concepts classiques emergent du quantique et du relativiste, paradoxes apparaissent quand ontente de faire l’inverse.

● De plus en plus besoin des maths, de plus en plus difficiles a interpreter.

● On sait qu’il manque une piece importante au puzzle.

J’esp ere que ca vous a plu !


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Documents

Introduction a la m` ecanique quantique´