Chapitre 1 PGCD de deux nombres. Objectifs : Savoir calculer le PGCD de deux nombres et interpréter...

Chapitre 1

PGCD de deux nombres

Objectifs :

• Savoir calculer le PGCD de deux nombres et

interpréter le résultat.• Savoir si un nombre est premier ou non.

• Savoir simplifier une fraction grâce au PGCD

• Trouver les diviseurs et les multiples d’un nombre.

• Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux.

I. Division euclidienne

La division euclidienne de 56 par 17 est :

56 = 17 x 3 + 5

Dividende

Diviseur

Quotient

Reste

II. Diviseurs et multiples

Définition :

Soient a et b deux nombres entiers non nuls.

On dit que b est un diviseur de a lorsqu'il existe un nombre

entier n tel que a = n x b.

On dit aussi que a est un multiple de b ou que a est divisible

par b.

Exemples :

On a 55 = 11 x 5 donc :

5 est un diviseur de 55, 55 est un multiple de 11, 55 est

divisible par 5.

III. Plus grand diviseur commun

Définition :

Un diviseur commun à 2 ou plusieurs nombres entiers est un

nombre entier qui divise chacun d'eux.

Exemple :

3 est un diviseur commun à 12 (car 12 = 3 x 4) à 27 (car 27 =

3 x 9) par exemple.

Définition :

Le Plus Grand Commun Diviseur à 2 ou plusieurs nombres

entiers est appelé PGCD de ces nombres.

Trouver le PGCD de 60 et 75 en écrivant la liste de leurs diviseurs :

60 = 1 x 6060 = 2 x 3060 = 3 x 2060 = 4 x 15 Donc les diviseurs de 60 sont : 60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60

75 = 1 x 7575 = 3 x 25 Donc les diviseurs de 75 sont : 75 = 5 x 15

1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75

Diviseurs de 60 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60

Diviseurs de 75 :

1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75

Les diviseurs communs à 60 et 75 sont 1 ; 3 ; 5 ; 15.

Le plus grand d'entre eux est 15.

Donc le PGCD de 60 et 75 est 15, on le note :

PGCD ( 60 ; 75 ) = 15

Imaginons qu'on veuille calculer le PGCD de 26187 et 11223 .

Il s'agit de grands nombres, il sera donc très fastidieux de

rechercher tous les diviseurs de chacun des nombres puis de

trouver le plus grand diviseur commun.

Nous allons utiliser deux algorithmes :

• Algorithme des soustractions successives :

• Algorithme d’Euclide

Algorithme de soustractions successives :

Calculons le PGCD de 295 et 177 : 118177 – 118 = 59118 – 59 = 59

59

177 118

118 59

59 59

Algorithme d’Euclide :

Calculons le PGCD de 270 et 84 :

Il fonctionne comme l’algorithme de soustractionssuccessives sauf qu’au lieu de faire la soustraction des deux nombres on effectue la division euclidienne des deux nombres et on remplace le plus grand par le reste de la division.

Le PGCD est le dernier reste non nul.

3 18

84 = 4 x 18 + 12

18 = 1 x 12 + 6

12 = 2 x 6 + 0

6

3 1884 18 4 12 18 12 1 6 12 6 1 0

IV. Nombres premiers

Définition :

Un nombre est premier lorsqu’il possède exactement 2

diviseurs : 1 et lui-même.

Exemple :

3 est un nombre premier car il a exactement 2 diviseurs : 1 et

3.

6 n’est pas un nombre premier car il a 4 diviseurs : 1 ; 2 ; 3 ; 6.

V. Nombres premiers entre eux.

Définition :

On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux

lorsque leur PGCD est égal à 1. Leur seul diviseur commun est

donc 1.

Exemples : Les nombres 14 et 27 sont-ils premiers entre eux ?

Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 14

Les diviseurs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27

14 et 27 ont un seul diviseur commun 1. Donc PGCD ( 14 ; 27 )

= 1.

Les nombres 14 et 27 sont premiers entre eux.

VI. Fraction irréductibles

Définition :

Une fraction est dite irréductible lorsqu'elle ne peut pas être

simplifiée.

Propriété :

Soient a et b deux nombres entiers avec b non nul.

Si a et b sont premiers entre eux, alors la fraction est

irréductible.

Exemple :

est une fraction irréductible car 14 et 27 sont premiers entre

eux.

n'est pas une fraction irréductible car on peut encore diviser

par 5 le numérateur et le dénominateur.

Propriété :

Soient a et b deux nombres entiers avec b non nul.

Si on simplifie la fraction par le PGCD de a et b, alors la

fraction obtenue sera irréductible.

Exemple : Rendre la fraction irréductible.

D'après les calculs précédents, le PGCD de 60 et 75 est 15.

Donc, on peut simplifier la fraction par 15.

= =

Donc la fraction irréductible de est .