Année 2017-2018

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Séquence 8 : Les nombres premiers

Objectifs :

Connaitre les critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9 et 10) Savoir calculer des fractions égales Savoir rendre irréductible une fraction Savoir écrire la liste les diviseurs d’un nombre Savoir écrire un nombre sous la forme d’un produit puissances de nombres premiers

Marquer le devoir de vacances. Il est à rendre pour le Vendredi 11 janvier 2017. Objectif : Résoudre des problèmes faisant intervenir les nombres premiers.

Activité 1: Réflexion : Les prérequis.

Vrai ou Faux Pour chaque question donnez un exemple pour justifier votre réponse.

a) Un nombre entier différent de 1 a au moins deux diviseurs.

b) Si ba est irréductible alors

ab l’est aussi ( avec a 0 et b 0 ).

c) Deux nombres pairs peuvent être premiers entre eux. d) Deux nombres impairs sont forcément premiers entre eux. e) Si 3 divise y et 5 divise y alors 15 divise y. f) Un nombre pair et un nombre impair sont premiers entre eux. g) Zéro n’a pas de diviseurs. h) Le PGCD de 0 et de x est x.

.

Activité 2: Problématique : Conjecturer des propriétés.

Des diviseurs communs à deux nombres

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Activité 3: Vocabulaire, définitions, Propriétés.

𝑥, 𝑎 sont des nombres entiers (𝑎 0) .

Définition : On dit que 𝑥 est un multiple de 𝑎 ou que 𝑎 est un diviseur de 𝑥 quand il existe un entier 𝑘 tel que 𝑥 = 𝑘 × 𝑎 Exemple : 104 est un multiple de 13 car 104 = 13 × 8. 8 est un diviseur de 104.

Propriété : Si 𝑥 est un multiple de 𝑎, tout multiple de 𝑥 est aussi un multiple de 𝑎. Exemple : 120 est un multiple de 15 et 480 qui est un multiple de 120 est aussi un multiple de 15.

Propriété : Si 𝑎 est un diviseur de 𝑥, tout diviseur de 𝑎 divise aussi 𝑥. Exemple : 36 est un diviseur de 72 et 9 est un diviseur de 36, donc 9 est aussi un diviseur de 72. Définition : Deux nombres entiers sont premiers entre eux quand ils n’ont qu’un seul diviseur commun : 1 Exemples : 26 et 15 sont premiers entre eux car : Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 et 15. Les diviseurs de 26 sont : 1 ; 2 ; 13 et 26. Le seul diviseur commun à 15 et 26 est 1. 33 et 54 ne sont pas premiers entre eux car ils ont au moins deux diviseurs communs : 1 et 3. Définition : Une fraction est dite irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemple : 1516

; 2

3

10075 n’est pas une irréductible car 75 et 100 ne sont pas premiers entre eux.

43

254253

10075

; 4

3est irréductible

Propriété : Quand on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD (plus grand commun diviseur), on obtient une fraction irréductible. Exemple : 15 est le PGCD de 45 et 30.

4530 =

15:4515:30 =

32 ;

32 est irréductible.

Propriété : Quand deux nombres sont premiers entre eux leur PGCD est égal à 1. Exemple : le PGCD de 35 et 26 est 1

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Activité 4: Applications

Application: Calculs a) Donner cinq multiples de 11.

b) Comment reconnaît-on les multiples de 2 ? 5 ? 10 ? 3 ? 9 ?

c) 102 est il un multiple de 12 ? Justifier par une égalité

255 est-il un multiple de 17 ?

Que peut-on alors dire de 17 pour 255 ?

d) Effectuer (en utilisant ou non la calculatrice) la division euclidienne de a par b et écrire

l’égalité a = bq + r

i) a= 597 b = 13

ii) a = 8715 b = 83

Que peut-on dire de 83 ?

e) i) 264 est-il multiple commun à 8 et à 11 ?

75 est il multiple commun à 12 et à 15 ?

ii) Trouver deux multiples communs à 7 et à 9.

iii) Quel nombre entier est multiple de tous les autres ?

II) a) Parmi les entiers suivants quels sont ceux qui sont des diviseurs de 720 ?

14 9 54 72 25 18

30

b) i) Oralement (sans faire de calcul)

5 est-il diviseur de 3985 ? de 70064 ?

9 est-il diviseur de 7218 ? de 3070 ?

ii) En utilisant la calculatrice :

11 est-il diviseur de 6875 ?

84 est-il diviseur de 10338 ?

c) Trouver tous les diviseurs de 60, de 38.

d) Quel nombre entier est diviseur de tous les autres ?

e) Trouver un diviseur commun (autre que 1) à 22 et 14, à 95 et 70, 99 et 110, 13 et 5.

f) Montrer que 13 est un diviseur commun à 143 et à 520. Puis simplifier la fraction 520143 .

III) a) 480 est-il un multiple de 120 ? 120 est-il un multiple de 30 ? Qu’en est-il de 480 et de

30 ?

b) 9 est-il un diviseur de 36 ? 36 est-il un diviseur de 108 ? Qu’en est-il de 9 et de 108 ?

Application 2 : Appliquer les propriétés des nombres premiers. Problème : Un directeur de centre de loisirs reçoit un lot de 175 billes rouges et un lot de 126

billes vertes. Il veut faire des paquets contenant plusieurs billes. Tous les paquets doivent

avoir le même nombre de billes et dans un paquet toutes les billes ont la même couleur.

a) Combien de billes y aura-t-il par paquet ?

b) Combien de paquets de même couleur y aura-t-il ?

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Activité 5: L’algorithme d’Euclide

Exemple 1 : d = pgcd(54 ; 36)

d = pgcd(54 ; 36) 54 = 1 36 18

d = pgcd(36 ; 18) 36 = 2 18 0

d = pgcd(18 ; 0)

Le PGCD de 18 et de 0 est 18. ( 54 = 18 3 ; 36 = 18 2)

Exemple 2 : d = pgcd(810 ; 450)

d = pgcd(810 ; 450) 810 = 1 450 360

d = pgcd(450 ; 360) 450 = 1 360 90

d = pgcd(360 ; 90) 360 = 4 90 0

d = pgcd(90 ; 0)

donc d = 90 ( 810 = 90 9 ; 450 = 90 5)

Exemple 3 (algorithme de la différence) :

d = pgcd(810 ; 450) 810 450 = 360

d = pgcd(360 ; 450) 450 360 = 90

d = pgcd(360 ; 90) 360 90 = 270

d = pgcd(270 ; 90) 270 90 = 180

d = pgcd(180 ; 90) 180 90 = 90

d = pgcd(90 ; 90) d = 90 p

Les nombres 1610 et 759 sont-ils premiers entre eux ? Si non, donner leur PGCD. Même consigne avec : 3910 et 1881 ; 1998 et 1999

Rendre irréductibles les fractions suivantes :231385 ;

297208 .

Pour aller plus loin : Essayer de construire un algorithme permettant de déterminer le PGCD

de deux nombres

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Activité 6: TICE

Objectif : Déterminer sur un nombre est premier Compétences : Utiliser un tableur et une calculatrice Partie A : Objectif de l’activité : Vérifier si un nombre est premier

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