PGCD et PPCM

57

Séquence 2 – MA03

>

1

ère

partie

Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux entiers naturels.Deux entiers naturels premiers entre eux

>

2

ème

partie

Traduction des homothéties, desisométries et plus généralement dessimilitudes par les nombres complexes

© Cned – Académie en ligne

59

Sommaire séquence 2 – MA03

IntroductionExemplePropriétés

Exemple d’introductionDisposition pratique (explications)Exemples d’utilisation de la disposition pratique de l’Algorithme d’EuclidePrésentation de l’Algorithme d’Euclide dans le cas général

DéfinitionThéorèmes importants (Bézout, Gauss)

IntroductionPropriétésLien entre PGCD et PPCM de deux entiers

Chapitre 1

>

Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers naturels

..........................................................................................................

61

B

A

C

Chapitre 2

>

Algorithme d’Euclide (pour recherche pratique du PGCD)

.................................................................................................................................................................

63

B

A

C

D

Chapitre 3

>

Entiers naturels a et b premiers entre eux

..........................................

67

B

A

Chapitre 4

>

Exemples de résolution dans

�

d’équations du typeax + by = c où a, b et c sont des entiers donnés

.......................

73

Chapitre 5

>

Plus Petit Commun Multiple de deux entiers naturelsnon nuls

.....................................................................................................................................................................

77

B

A

C

Résumé

..........................................................................................................................................................................................................................

80

Exercices d’entraînement

......................................................................................................................................................................

81

Aides aux exercices d’entraînement

........................................................................................................................................

83

1ère partie PGCD ; PPCM.


61


Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers naturels

Introduction

A

Dans ce paragraphe on travaillera sur

�

ensemble des entiers naturels.

Soient a et b deux entiers naturels quelconques. Désignons par et l’ensemble des diviseursentiers naturels de a, puis de b. Intéressons-nous aux éventuels éléments communs à ces deuxensembles.

�

Déjà 1 divise a et 1 divise b, donc 1 est commun à et

�

Supposons et

On a déjà vu que .

Donc les diviseurs communs à 0 et à b sont les diviseurs de b, et le plus grand de ces diviseurs com-muns est b lui-même.

On notera pgcd .

�

Supposons et , .

Visualisons l’ensemble des diviseurs de a et l’ensemble des diviseurs de b.

L’ensemble des diviseurs communs à ces deux nombres n’est pas infini car il est majoré para (a n’est pas forcément dans l’intersection, ce ne sera le cas que si a est un multiple de b).

Il est intuitif de comprendre que dans

�

, tout sous-ensemble non vide et majoré, admet un plus grandélément.

Il existe donc dans un plus grand élément : ce plus grand élément est un diviseur à la fois dea et de b, et c’est le plus grand des diviseurs communs : on l’appelle p.g.c.d. de a et de b.

Définition :

Soient a et b deux entiers naturels distincts.

Le plus grand élément de est connu sous le nom de « plus grand commun diviseur de a etde b » et se note pgcd .

On considère les entiers naturels 12 et 18.

L’ensemble des diviseurs de 12 est

L’ensemble des diviseurs de 18 est

L’ensemble des diviseurs communs à 12 et 18 est donc : , et le plus grand

élément de cet ensemble est 6, d’où pgcd .

Da Db

Da Db

a 0= b 0≠

D0 �=

0 b,( ) b=

a 0≠ b 0≠ a b>

Da Db

1 a �*Da

1 b�*

Db

Da Db∩

Da Db∩

Da Db∩a, b( )

D12 1, 2, 3, 4, 6, 12{ }=

D18 1, 2, 3, 6, 9, 18{ }=

D12 D18 1, 2, 3, 6{ }=∩12, 18( ) 6=

Remarque

Exemple

B


62


On se rend compte que cette méthode d’énumération de tous les diviseurs d’un nombre ne sera pasforcément simple pour des grands nombres ; nous aurons alors une autre méthode pour trouver lepgcd de 2 nombres, ce sera l’algorithme d’Euclide.

Propriété

�

Si un nombre divise le pgcd de a et b, alors il divise a et il divise b.

Démonstration

Soient a et b deux entiers naturels non nuls et leur pgcd.

Soit k un diviseur de , alors il existe k’ entier tel que .

Mais divise a donc il existe entier tel que

d’où avec entier ;

cette égalité prouve que k divise a.

Un raisonnement analogue prouve que k divise b.

Conclusion :

tout diviseur de pgcd est aussi un diviseur de a et un diviseur de b.

Propriété

�

Tout diviseur commun à a et b est un diviseur de leur pgcd.

Cette propriété qui est la réciproque de la précédente sera démontrée comme conséquence de l’algo-rithme d’Euclide.

Propriété

�

Pour a, b, k des entiers naturels non nuls on a :

• : cela veut dire que l’ordre n’importe pas.

• : cela veut dire que si on multiplie deux nombres par k, lepgcd est aussi multiplié par k .

• Soit un diviseur commun de a et b ; alors il exsite a’ et b’ entiers tels que : et

.

δ

δ δ k k′×=

δ α a δ α×=

a k k′α( )×= k′α

a, b( )

pgcd a, b( ) pgcd b, a( )=

pgcd ka, kb( ) k pgcd a, b( )=où k �*∈( )

δ a δa′=b δb′=

δ pgcd a, b( ) pgcd a′, b′( ) 1=⇔=

Remarque

Remarque

PropriétésC


63


Algorithme d’Euclide (pour recherche pratique de pgcd (a,b))

Exemple d’introduction : recherche de pgcd (2375,75)

A

Cet exemple illustre complètement et de façon plus simple la méthode générale qui sera traitée unpeu plus loin.

Étape 1

Effectuons la division euclidienne de 2375 par 75 :

�

Soit d un diviseur commun à 2375 et 75,

d divise aussi

d’où d divise aussi la différence ,

c’est-à-dire d divise 50 ;

on retient que :

si alors

�

Réciproquement, soit d un diviseur commun à 75 et 50, alors d divise aussi et 50, donc ddivise également leur somme , c’est-à-dire d divise 2375 ;

on retient que :

si alors

�

Conclusion des 2 étapes précédentes :

d’où .

L’intérêt de cette démarche c’est qu’on est ramené à chercher le pgcd de deux nombres respective-ment plus petits que ceux donnés.

Reprenons le processus décrit avec ces 2 nombres plus petits.

Étape 2

Effectuons la division euclidienne de 75 par 50

par le même raisonnement on a :

Continuons pour voir si le processus va s’arrêter, même si ici on est en mesure de conclure car on saitque .

Étape 3

Effectuons la division euclidienne de 50 par 25

et donc

2375 75

125 31

50

2375 75 31 50+×=

75 31×

2375 75 31×–

d D2375∈ D75∩ d D75∈ D50∩

75 31×75 31 50+×

d D75 D50∩∈ d D2375∈ D75∩

D2375 D75∩ D75= D50∩

pgcd 2375, 75( ) pgcd 75, 50( )=

75 50

25 175 50 1× 25+=

pgcd 75, 50( ) pgcd 50, 25( )=

pgcd 50, 25( ) 25=

50 25

0 250 25 2 0+×=

pgcd 50, 25( ) pgcd 25, 0( ) 25= =


64 Séquence 2 – MA03

Le processus s’arrête quand le reste trouvé est nul, puisqu’on sait que : pgcd (25,0) = 25

Récapitulons :

Le procédé répétitif que l’on vient d’utiliser s’appelle algorithme d’Euclide ; il permet d’expliquerque le pgcd de deux nombres a et b est égal au dernier reste non nul obtenu dans la succession desdivisions de a par b (diviseur) puis ensuite du diviseur par le reste obtenu, et ainsi de suite.

EUCLIDE est un mathématicien grec du IIIe siècle avant notre ère.

Ce raisonnement est si général que nous ne le referons pas à chaque fois, mais nous allons utiliserune disposition pratique pour l’illustrer.

� division euclidienne de 2375 par 75 : quotient 31 et reste 50



donc pgcd

Dans la pratique, seul le dernier tableau est à réaliser ; ici le travail a été fait en trois étapes dans leseul but d’expliquer la progression.

les 2 nombres donnés 2375 et 75 sont divisibles par 25 (puisqu’ils se terminent à droite par 75) ;on a : et donc :

pgcd 2375, 75( ) pgcd 75, 50( ) pgcd 50, 25( )= =

pgcd 25, 0( ) 25= =

31

2375 75

125

50

ligne des quotients successifs←

ligne des diviseurs successifs←

ligne des restes successifs←

31 1

2375 75 50

125 25

50

31 1 2

2375 75 50 25

12525 0

50

dernier reste non nul

2375, 75( ) 25=

2375 25 95×= 75 25 3×=

pgcd 2375, 75( ) pgcd 25 95, 25 3××( )=

25 pgcd 95, 3( )=

Remarqueconcernant cet

exemple :

Disposition pratique (explications)B



On a utilisé la propriété :

Il suffit de chercher le plus grand commun diviseur de 95 et de 3, et là on procède directement :

(3 n’admet que deux diviseurs)

or 3 ne divise pas 95, donc

Conclusion : .

a) Recherche du pgcd de 2070 et 368

divisions successivesde 2070 par 368 : reste 230de 368 par 230 : reste 138de 230 par 138 : reste 92de 138 par 92 : reste de 92 par 46 : reste 0

46 étant le dernier reste non nul, on a :

b) Recherche du pgcd de 1617 et 325

1 étant le dernier reste non nul, on a :

Deux nombres dont le pgcd vaut 1 seront dits « premiers entre eux » ; ce sera l’objet du chapitre quisuit.

Soient a et b de � ; supposons

� si b divise a, alors puisque

� sinon effectuons la division euclidienne de a par b :

il existe et entiers naturels tels que :

et ( car b ne divise pas a)

5 1 1 1 2

2070 368 230 138 92 46

230 138 92 0

4 1 39 1 1 1 2

1617 325 317 8 5 3 2 1

317 8 77

5

3 2 0

pgcd ka, kb( ) k pgcd a, b( )=

D3 1, 3{ }=

pgcd 95, 3( ) 1=

pgcd 2375, 75( ) 25 1× 25= =

46

46

pgcd 2070, 368( ) 46=

1

pgcd 1617, 325( ) 1=

a b>

pgcd a, b( ) b= Da Db∩ Db=

q1 r1

a bq1 r1+= 0 r1 b< < r1 0≠

Remarque

Exemples d’utilisation de la disposition pratique de l’algorithme d’Euclide

C

Présentation de l’algorithme d’Euclide dans le cas général

D



On va prouver que l’ensemble des diviseurs communs de a et b est le même que l’ensemble des diviseurs communs à b et en prouvant une double inclusion entre ces deux

ensembles :

Montrons d’abord ;

soit d un diviseur commun de a et b, alors d divise a et , donc d divise aussi , c’est-à-dired divise , et finalement on retient que d est un diviseur commun de b et ,

d’où

Démontrons l’autre inclusion ;

soit d un diviseur commun de b et , alors d divise aussi et , donc divise aussi leur somme, donc d divise a, et finalement on retient que d est un diviseur commun de a et b,

d’où

Ce premier travail sur les deux inclusions donne l’égalité

où et .

Cela veut dire que : où et sont deux nombres non nuls respecti-

vement plus petits que a et b et qui vérifient .

On est donc ramené exactement à la première ligne de ce paragraphe en remplaçant a par b et b par ; de proche en proche on aura les lignes suivantes :

Il est important de comprendre qu’on remplace 2 nombres par 2 nombres plus petits à chaque étapequi va suivre.

Il est également très important d’observer le rangement des différents restes obtenus ; c’est unesuccession d’entiers qui vont en décroissant :

… ;

donc au bout d’un nombre fini d’étapes on va « tomber » sur un reste nul ; appelons le dernierreste non nul.

Finalement on a : d’où

On en déduit deux conséquences importantes :

première conséquence : le pgcd de a et b est le dernier reste non nul obtenu dans la succession desdivisions de l’algorithme d’Euclide ;

deuxième conséquence : l’ensemble des diviseurs communs de a et de b est l’ensemble des diviseursde leur pgcd ; ceci démontre en même temps les propriétés 1 et 2 vues avant.

et

et

et

Da Db∩Db Dr1

∩ r1

Da Db∩ Db Dr1∩⊂

bq1 a bq1–r1 r1

Da Db Db Dr1∩⊂∩

Db Dr1∩ Da Db∩⊂

r1 bq1 r1bq1 r1+

Db Dr1Da Db∩⊂∩

Da Db∩ Db Dr1∩= b a< r1 b<

pgcd a, b( ) pgcd b, r1( )= b1 r1

b r1>

r1

b r1q2 r2+= 0 r2 r1< < Db Dr1∩ Dr1

= Dr2∩

r1 r2q3 r3+= 0 r3 r2< <

…

Dr1Dr2

∩ Dr2= Dr3

∩

…

rp 2– rp 1– qp rp+= 0 rp rp 1–< < Drp 2–Drp 1–

∩ Drp 1–Drp

∩=

rp 1– rpqp 1+ 0+= 0 rp< Drp 1–Drp

∩ DrpD0∩ Drp

==

r1 r2 r3 >> > � 0

rp

Da Db∩ Drp= pgcd a, b( ) rp=

Remarque



Entiers naturels a et b premiers entre eux

DéfinitionA

Deux entiers naturels sont premiers entre eux si et seulement si leur p.g.c.d. vaut 1

Cela veut dire que 1 est leur seul diviseur commun dans �.

Exemples

� et

désigne l’ensemble de tous les diviseurs de a dans �.

d’où donc 15 et 16 sont premiers entre eux

� et

on a : 3 divise 15 et 3 divise 18 donc 15 et 18 ne sont pas premiers entre eux

� et

et d’où d’où pgcd (0,1) = 1 donc 0 et 1 sont premiers entreeux.

� et et

tous les entiers naturels sont des diviseurs de 0, et parmi eux il en existe au moins deux qui divisentb, il s’agit de 1 et de b. Il en résulte que 0 et b de ne sont pas premiers entre eux ;

Avec cette définition on peut reformuler la définition du pgcd vue avant :

Propriété �

et sont premiers entre eux.

� Théorème de BÉZOUTDeux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe au moins deuxentiers relatifs u et v tels que

Ce théorème s’écrit encore :

(a et b premiers entre eux) ⇔ (il existe u et v de � tels que au + bv = 1)

Démonstration de ce théorème :il s’agit d’une équivalence à prouver ; on va la traiter en deux implications.(a et b premiers entre eux) ⇔ (il existe u et v de � tels que au + bv = 1)

a 15= b 16=

Da

Da 1, 3, 5, 15{ }= D16 1, 2, 4, 8, 16{ }= D15 D16∩ 1{ }=

pgcd 15, 16( ) 1=

a 15= b 18=

a 0= b 1=

D0 �= D1 1{ }= D0 D1∩ 1{ }=

a 0= b 0≠ b 1≠

�* 1{ }–pgcd 0, b( ) b=

δ pgcd a, b( ) aδ--⇔=

bδ--

au bv+ 1=

�⇒⇐�

Remarque

Théorèmes importants (Bézout et Gauss)B



Démontrons �

Soient a et b deux entiers naturels pour lesquels il existe u et v entiers relatifs tels que .

Considérons un entier naturel d diviseur commun de a et b ;

alors d divise au et bv donc aussi

donc d divise 1 ; il en résulte nécessairement que d vaut 1, donc : , d’où a et b pre-miers entre eux.

Démontrons �

Supposons a et b premiers entre eux, donc .

Si nous faisons agir l’algorithme d’Euclide, nous arriverons au dernier reste non nul 1. En traduisant àpartir de la fin et en « remontant » méthodiquement toutes les étapes, on met-tra en évidence deux entiers relatifs u et v tels que : .

(Ceci est trop difficile à expliciter dans le cas général, mais va être fait dans les exemples 3 et 4 quisuivent).

� Exemples

Soit et ; on sait que .

Trouver plusieurs couples d’entiers relatifs tels que : .

Réponse

Il s’agit d’un exemple très simple où le seul fait de « savoir compter » suffit pour exhiber des réponses.

• et donc

• de même :

• de même :

on pourrait ainsi trouver d’autres réponses, mais déjà les couples suivants conviennent :

.

il n’y a pas unicité des coefficients u et v dans l’égalité de Bézout.

Démontrer que deux entiers naturels consécutifs sont premiers entre eux.

Réponse :Soient n et deux entiers naturels consécutifs quelconques ; on peut écrire :

.

D’après le théorème de Bézout on en déduit que n et sont premiers entre eux.

Ce résultat montre que le p.g.c.d. de 2 entiers naturels consécutifs vaut 1.

Dans tout notre propos, a et b sont des entiers naturels donc ils sont positifs. Par contre u et v sontdes entiers relatifs (éventuellement négatifs) :

En utilisant l’algorithme d’Euclide, démontrer que et en déduire deux entiersrelatifs u et v tels que : .

Réponse :

� La disposition pratique de l’algorithme d’Euclide donne effectivement 1 comme dernier reste nonnul, donc : .

au bv+ 1=

au bv+

pgcd a, b( ) 1=

pgcd a, b( ) 1=

1 rp 2– rp 1– qp–=

au bv+ 1=

a 4= b 7= pgcd 4, 7( ) 1=

u, v( ) au bv+ 1=

8 4 2×= 7 7 1×= 1 8 7– 4 2 7 1–( )×+×= =

1 36 35– 4 9 7 5–( )×+×= =

1 20– 21+ 4 5–( ) 7 3×+×= =

u, v( )

2; 1–( ) 9; 5–( ) 5– ; 3( )

n 1+( )n 1+( ) 1 n 1–( )×+× 1=

n 1+( )

pgcd 392, 33( ) 1=392u 33v+ 1=

pgcd 392, 33( ) 1=

Exemple �

Remarqueimportante

Exemple �

Remarque

Exemple �



donc

donc

donc

� Remontrons très méthodiquement toutes les étapes en commençant par la fin : le principe con-siste à traduire chaque division euclidienne.

étape (1)

étape (2)

étape (3)

Conclusion : on a trouvé et

tels que :

Il n’est pas inutile d’insister sur l’aspect méthodique et systématique de la démarche utilisée.

En utilisant l’algorithme d’Euclide qui a déjà permis dans un exemple traité précédemment de mon-trer que , trouver deux entiers relatifs u et v tels que : .

Réponse

étape (1)

étape (2)

car

étape (3)

car

étape (4)

car

étape (5)

car

étape (6)

car

4 1 39 1 1 1 2

1617 325 317 8 5 3 2 1

371 8 77 3 0

5

(6) (5) (4) (3) (2) (1)

11 1 7 4

392 33 29 4 1

62 4 1 0

29

(3) (2) (1)

29 4 7 1+×= 1 29 4 7×–=

33 29 1 4+×= 4 33 29 1×–=

392 33 11 29+×= 29 392 33 11×–=

1 29 4 7×–=

1 4 7–( ) 29+×= 33 29 1×–( ) 7–( ) 29+=

1 29 8 33 7–( )×+×= 392 33 11×–( )8 33 7–( )×+=

1 392 8 33 95–( )×+×=

u 8= v 95–=

392 8 33 95–( )×+× 1=

pgcd 1617, 325( ) 1= 1617u 325v+ 1=

2 1

1 3 2 1×–=

2 1–( ) 3+×=

5 3 1×–( ) 1–( ) 3+×= 2 5 3 1×–=

3 2 5–×=

8 5 1×–( ) 2× 5–= 3 8 5 1×–=

5 3–( )× 8 2×+=

317 8 39×–( ) 3–( ) 8 2×+×= 5 317 8 39×–=

8 119( ) 317 3–( )×+×=

325 317 1×–( ) 119 317 3–( )×+×= 8 325 317 1×–=

317 122–( ) 325 119×+×=

1617 325 4×–( ) 122–( )× 325 119×+= 317 1617 325 4×–=

1617 122–( ) 325 607×+×=

Exemple �



Conclusion :

on a trouvé et

tels que : .

on a aussi

donc

donc les valeurs et sont encore telles que : .

Par ce genre de procédé on peut même trouver une infinité de réponses.

� Théorème de GaussSoient a, b et c trois entiers naturels non nuls si (a divise le produit bc et a est premier avec b) alors (a divise c)Ce théorème s’écrit encore : (a divise bc et pgcd (a, b) = 1) ⇒ (a divise c)

Démonstration de ce théorème

On sait que a est premier avec b ; donc d’après le théorème de Bézout il existe u et v entiers relatifstels que :

; ceci implique que : .

Considérons le nombre a :

a divise le produit auc puisqu’il est l’un des facteurs

a divise bc par hypothèse et donc aussi le produit bvc.

Il en résulte que a divise la somme , c’est-à-dire que a divise c.

Le théorème de Gauss s’obtient comme une conséquence du théorème de Bézout.

� Conséquences des théorèmes de Bézout et de Gauss.

Propriété �

– si a est premier avec 2 nombres alors a est premier avec leur produit

– si a est premier avec b alors a est premier avec

– si a est premier avec n nombresalors a est premier avec leur produit

– Si a est premier avec b, alors a est premier avec pour n de �

Démonstration de la première partie

Soient a, b et c tels que pgcd(a, b) = 1 et pgcd(a,c) = 1

D’après le théorème de Bézout il existe deux couples et d’entiers relatifs tels que :

et

En multipliant membre à membre ces deux égalités, on obtient :

donc :

u 122–= v 607=

1617 122–( ) 325 607×+× 1=

1617u 325v+ 1617 325× 1617 325×–( )+ 1=

1617 u 325+( ) 325 v 1617–( )×+ 1=

u′ u 325+ 122– 325+ 203= = =v′ v 1617– 607 1617– 1010–= = = 1617u′ 325v′+ 1=

au bv+ 1= auc bvc+ c=

auc bvc+

b2

bn

u, v( ) u′, v′( )

au bv+ 1= au′ cv′+ 1=

au bv+( ) au′ cv′+( ) 1=

a auu′ bvu′ cuv′+ +( ) bcvv′+ 1=

Remarque

Remarque



on a trouvé deux entiers relatifs et avec et tels que :, ce qui d’après le théorème de Bézout, prouve que a et bc sont premiers entre eux.

Il est important de bien noter que le théorème de Bézout donne une équivalence et que dans cettedémonstration les deux implications sont utilisées.

Propriété �

– si a est divisible par les entiers et premiers entre eux

alors a est divisible par leur produit

– si a est divisible par les entiers , , …, premiers entre

eux 2 à 2, alors a est divisible par leur produit

Démonstration de la première partie.

Si a est divisible par , il existe dans � tels que .

Il en résulte que l’entier naturel divise le produit ; or on sait que et sont premiers

entre eux ; d’après le théorème de Gauss on en déduit que divise , donc il existe dans � tel

que : .

Finalement :

ce qui prouve que le produit divise a, c’est-à-dire que a est divisible par .

Démonstration de la deuxième partie.

Nous allons ici faire une démonstration par récurrence.

– Pour la propriété vient être établie juste avant.

– Soit n entier naturel arbitrairement fixé, supérieur ou égal à 2 ; supposons que si a est divisible parn entiers premiers entre eux 2 à 2 alors il est divisible par leur produit

� Démontrons que cette propriété est encore vraie pour ; Soient entiers premiersentre eux 2 à 2 qui divisent a ; on les appelle : b1, b2, … bn, bn+1.

Parmi ces entiers, isolons les n entiers : ils divisent a et sont premiers entreeux 2 à 2, donc a est divisible par leur produit (c’est l’hypothèse de récurrence) ; cela veut dire qu’ilexiste q dans � tel que :

en posant .

Or étant premier avec , puis avec , … puis avec est premier avec le produit c’est-à-dire avec B (cela résulte de la propriété précédente). On a donc : divise a,

c’est-à-dire Bq et de plus est premier avec B.

D’après le théorème de Gauss, on en déduit que divise q, donc qu’il existe dans � tel que.

Finalement : d’où a est divisible par le produit.

Conclusion : la propriété est démontrée pour tout n entier supérieur ou égal à 2.

Applications de cette propriété à des caractères de divisibilité

� pour qu’un nombre soit divisible par 6, il SUFFIT qu’il soit divisible par 2 et par 3, car donc 2 et 3 premiers entre eux ;

donc si a est divisible par 2 et 3 il est divisible par leur produit 6.

u″ v″ u″ auu′ bvu′ cuv′+ += v″ vv′=au″ bcv″+ 1=

b1 b2

b1b2

b1 b2 bn

b1 b2× … b× n

b1 q1 a b1q1=

b2 b1q1 b1 b2

b2 q1 q2

q1 b2q2=

a b1q1 b1b2q2

= =

b1b2 b1b2

n 2=

n 1+( ) n 1+( )

n 1+( ) b1, b2, …, bn

a b1b2…bnq Bq= = B b1b2…bn=

bn 1+ b1 b2 bnb1b2…bn bn 1+

bn 1+

bn 1+ q′q bn 1+ q′=

a b1b2…bnq b1b2…bnbn 1+ q′= =b1b2…bnbn 1+

pgcd 2, 3( ) 1=

Remarque



� de même pour qu’un nombre soit divisible par 30, il suffit qu’il soit divisible par 2 et 3 et 5 car :pgcd(2, 3) = 1 et pgcd (2, 5) = 1 et pgcd(3, 5) = 1 et .

72 est divisible par 2, par 8 et aussi par 9 et pourtant 72 n’est pas divisible par le produit .

On ne peut pas appliquer la propriété 5 car ces 3 nombres ne sont pas premier entre eux 2 à 2, eneffet : pgcd(2, 8) = 2 donc 2 et 8 non premiers entre eux.

2 3 5×× 30=

2 8 9××Attention,prudence


Exemples de résolution dans Z d’équations du type ax + by = c où a, b et c sont des entiers donnés


Il s’agit d’une équation ayant 2 inconnues ; donc résoudre cette équation c’est chercher tous les cou-ples d’entiers relatifs vérifiant .

Dans un repère donné, si a et b sont non nuls en même temps, est l’équation d’unedroite. Résoudre cette équation dans � revient à chercher tous les points ayant des coordonnéesentières sur cette droite.

On peut deviner quelques solutions :

d’où les couples suivants sont quelques solutions :

, , …

Il s’agit de résoudre l’équation, donc de trouver l’ensemble de toutes ses solutions.

� Si x et y sont tels que le couple est solution, on doit avoir 2 divise 3y ; or pgcd(2, 3) = 1 ;d’après le théorème de Gauss on en déduit que 2 divise y donc il existe k de � tel que (y estnécessairement un entier relatif pair).

Reportons cette valeur trouvée pour y dans l’équation :

devient donc .

Finalement si est solution de l’équation alors x et y sont de la forme et où k est dans �.

� Cherchons à savoir si toutes ces valeurs conviennent ; en calculant , on obtient :

L’équation proposée est donc vérifiée pour et où k est quelconque dans �.

Conclusion :

l’ensemble solution de l’équation est l’ensemble des couples de la forme avec k quelconque dans �.

Si on appelle S l’ensemble des solutions on a :

x0, y0( ) ax0 by0+ c=

ax by+ c=

2 3 3 2×–× 0=

2 6 3 4×–× 0=

2 9 3 6×–× 0=

x, y( )

3, 2( ) 6, 4( ) 9, 6( )

2x 3y– 0= ⇔ 2x 3y=

x,y( )y 2k=

2x 3y= 2x 3 2k×= x 3k=

x, y( ) 2x 3y– 0= x 3k=y 2k=

2x 3y–2x 3y– 2 3k( ) 3 2k( )– 0= =

x 3k= y 2k=

2x 3y– 0= x, y( )3k, 2k( )

S 3k, 2k( ) ; k décrit �{ }=

Interprétation géométrique de ce genre d’équationsA

Résolution dans Z de l’équation 2x – 3y = 0B Résolution dans Z de l’équation 2x – 3y = 0B



Dans cet exemple les coefficients 42 et 30 ne sont pas premiers entre eux car : pgcd(42,30) = 6 ; ondivise par le pgcd de 42 et de 30 pour simplifier l’équation et se ramener au cas précédent dans lequela et b sont premiers entre eux.

� Si un couple est solution de cette équation alors 7 divise donc aussi 5y ; or 7 et 5 sontpremiers entre eux, donc d’après le théorème de Gauss on déduit que 7 divise y, c’est-à-dire : il existek dans � tel que .

On reporte dans l’équation et on trouve donc .

D’où les couples solutions sont de la forme où

k dans �.

� Réciproquement, un couple de la forme avec k quelconque dans � convient-il ?

Pour cela calculons :

On a : donc pour n’importe quelle valeur de kdans � le couple convient.

Conclusion :

L’ensemble S des solutions de l’équation est ; k décrit �}

Il est important de se persuader de la nécessité de faire un raisonnement en deux temps :

– une première partie sur la recherche de la forme des couples solutions ;

– une deuxième partie pour voir si tous les couples de cette forme trouvée sont effectivement solutions.

Ce qui change dans ces exemples c’est que le second membre n’est pas nul.

� Résolvons d’abord l’équation :

La méthode est importante car elle est générale.

a) Cette équation est telle que les coefficients 6 et 5 sont premiers entre eux : le théorème de Bézoutaffirme l’existence d’au moins un couple tel que , par exemple

convient car ;

On dit qu’on a trouvé une solution particulière .

b) L’existence de cette solution particulière va nous permettre de revenir comme dans les exemplesprécédents, au cas où le second membre est nul ; en effet en retranchant membre à membre les éga-lités : et

on est ramené à chercher solution de : ou de :

. Soit (x, y) un couple de solutions, alors 6 divise car on sait que 6

et 5 sont premiers entre eux ; d’après le théorème de Gauss on déduit que 6 divise donc il

existe k de � tel que c’est-à-dire .

42x 30y+ 0= ⇔ 7x 5y+ 0= ⇔ 7x 5y–=

x, y( ) 5y–

y 7k=

7x 5y–= 7x 5 7k×–= x 5k–=

5k, 7k–( )

5k, 7k–( )

7x 5y+

7x 5y+ 7 5k–( ) 5 7k( )+ 35k– 35k+ 0= = =5k, 7k–( )

42x 30y+ 0=S 5k, 7k–( ){ }=

6x 5y+ 1=

u, v( ) 6u 5v+ 1=

u ; v( ) 1 ; 1–( )= 6 1 5 1–( )×+× 1=

1 ; 1–( )

6x 5y+ 1= 6 1 5 1–( )×+× 1=

x, y( ) 6 x 1–( ) 5 y 1+( )+ 0=

6 x 1–( ) 5 y 1+( )–= 5 y 1+( )–

y 1+

y 1+ 6k= y 1– 6k+=

Remarque

Résolution dans Z de l’équation 42x + 30y = 0C

Résolution dans Z des équations 6x + 5y = 1 puis6x + 5y = 3

D



En reportant cette forme de y dans l’équation on trouve c’est-à-dire donc .

Finalement, si le couple est solution de l’équation alors x et y sont de la forme et où k est dans �.

� Réciproquement tous les couples de la forme où k dans �, conviennent-ils ?

Soit k dans � et x = 1 – 5 k et y = 6k – 1 ; calculons .

On a : donc l’égalité est vérifiée, ce quiprouve que ces couples sont tous solutions.

Conclusion :

L’ensemble des solutions de l’équation est : ; kdécrit �}

� Résolvons maintenant l’équation

Procédons comme précédemment en recherchant d’abord une solution particulière (de la manière laplus simple possible), puis les solutions en général, en s’appuyant sur le fait que la connaissanced’une solution particulière ramène le problème à résoudre l’équation où le secondmembre est nul.

a) Recherche d’une solution particulière.

On sait que : donc en multipliant les deux membres par 3 on a : d’où est une solution particulière.

b) Résolution de l’équation proposée.

Le raisonnement va alors se dérouler en deux étapes :

… d’abord on recherche la forme d’un couple solution (en utilisant le théorème de Gauss)

… ensuite on contrôle que toutes les solutions de cette forme conviennent.

Ici on ne reprend pas le détail de la fin de la démonstration : elle est identique à celle utilisée pourl’équation : .

Conclusion :

l’ensemble des solutions de l’équation est : ; kdécrit �

Pour résoudre cette équation on va s’appuyer sur un travail déjà fait avant.

En effet, un exemple traité précédemment nous a permis de prouver que :

pgcd donc 392 et 33 sont premiers entre eux, et nous avons aussi trouvé des nom-bres u et v qui vérifient la relation de Bézout : , il s’agit de et

Nous savons que : , donc en multipliant les deux membres par 5 onobtient .

6 x 1–( ) 5 y 1+( )–=6 x 1–( ) 5 6k×–= x 1– 5k–= x 1 5k–=

x, y( ) 6x 5y+ 1=

x 1 5k–= y 1– 6k+=

x, y( ) 1 5k– ; 1– 6k+( )

6x 5y+

6x 5y+ 6 1 5k–( ) 5 1– 6k+( )+ 1= = 6x 5y+ 1=

S1 6x 5y+ 1= S1 1 5k ; 1 – 6k ) +– { =

6x 5y+ 3=

6x 5y+ 0=

6 1 5 1–( )×+× 1=6 3 5 3–( )×+× 3= 3 ; 3 – ( )

6x 5y+ 3=6x 5y+ 3=

6 3 5 3–( )×+× 3 =⎩⎨⎧

6 x 3–( ) 5 y 3+( )+ 0=⇔ ⇔

6 x 3–( ) 5 y 3+( )–=⇔

x, y( )

6x 5y+ 1=

S2 6x 5y+ 3= S2 3 5k ; 3– 6k+–( ){=}

392, 33( ) 1=392u 33v+ 1= u 8= v 95–=

392 8 33 95–( )×+× 1=392 40 33 475–( )×+× 5=

Résolution dans

�

de l’équation 392x + 33y = 5.

E


76


�

Une solution particulière de l’équation est où et

�

Recherche de l’ensemble de toutes les solutions :

Soient x et y solutions de cette équation.

Nécessairement puisque entier, alors 392 doit diviser donc aussi ;

or 392 et 33 sont premiers entre eux ; d’après le théorème de Gauss on en déduit que 392 doit diviser

, c’est-à-dire qu’il existe k de

�

tel que donc .

On reporte cette information dans l’équation ; on obtient :

donc

d’où .

De ce raisonnement on retient que les solutions sont nécessairement de la forme :

où k est dans

�

.

– Réciproquement pour savoir si tous les couples de cette forme sont à conserver,

on calcule ; on obtient :

Ceci prouve que le fait qu’un couple soit de la forme avec k dans

�

est une condition suffisante pour qu’il soit solution de l’équation proposée.

Conclusion générale :

l’ensemble S des solutions de l’équation est :

; k décrit

�

}.

Il n’y a pas qu’une seule façon d’écrire l’ensemble des solutions. Dans cet exemple on peut écrire ini-différemment :

S = {(40 – 33k ; – 475 + 39 k) ; k décrit

�

}

ou en posant k = n + 1, on aura 40 – 33(n + 1) = 7 – 33 n et – 475 + 39(n + 1) = – 436 + 39 n ;

S = {(7 – 33n ; – 436 + 39 n) ; n décrit �}.

Point méthode pour résoudre dans � les équations du genre où a, b, c sont des entiers donnés et a et b premiers entre eux :

étape 1 : on met en évidence une solution particulière (l’essai de valeurs simples peut par-fois suffire, mais l’algorithme d’Euclide peut aider).

étape 2 : à l’aide d’une solution particulière on se ramène à résoudre l’équation où et .

Le théorème de Gauss permet de trouver la forme générale des couples solutions, et ensuite on con-trôle que tous ces couples conviennent.

Conseil : il faut savoir aussi utiliser sa propre calculatrice.

392x 33y+ 5= x0, y0( ) x0 40= y0 475–=

392x 33y+ 5 392x 33y+ 5=

392x0 33y0+ 5=⎩⎨⎧

⇔=

392 x x0–( ) 33 y y0–( )+⇔ 0=

392 x x0–( )⇔ 33 y y0–( )–=

x x0–( ) 33 y y0–( )– 33 y y0–( )

y y0– y y0– 392k= y y0 392k+ 475– 392k+= =

392 x x0–( ) 33 y y0–( )–=

392 x x0–( ) 33 392k×–= x x0– 33k–=

x x0 33k– 40 33k–= =

40 33k ; – 475– 392k+( )

392x 33y+

392x 33y+ 392 40 33k–( ) 33 475– 392k+( )+ 5= =

x, y( ) 40 33k ; – 475– 392k+( )

392x 33y+ 5=

S 40 33k ;– 475– 392k+( ){=

ax by+ c=

x0, y0( )

x0, y0( ) aX bY=X x x0–= Y y y0–( )–=

Remarque


Plus Petit Commun Multiple de deux entiers naturels non nuls


IntroductionA

� Dans ce paragraphe nous excluons zéro qui n’a qu’un seul multiple : lui même.

� Soient a et b deux entiers naturels quelconques non nuls.

Désignons par et l’ensemble des multiples strictement positifs de a et de b.

Considérons l’ensemble des multiples strictement positifs communs aux nombres a et b.Cet ensemble n’est pas vide : il y a au moins ab comme multiple à la fois de a et de b.

Dans cet ensemble il existe donc un plus petit élément qui soit à la fois multiple de a et de b. Onl’appelle p.p.c.m. de a et de b.

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle « plus petit commun multiple de a et de b » leplus petit entier strictement positif multiple à la fois de a et de b.

On le note :

a = 4 et b = 6

Propriété �

Pour a, b, k entiers naturels non nuls on a :

• : l’ordre n’intervient pas .

• : quand on multiplie a et b par le même entier strictementpositif k, leur ppcm est multiplié par k.

Ma Mb

1a 2a 3a 4a ab

ab

�*Ma

12bb

Mb

3b 4b�*

Ma Mb∩

ppcm a, b( )

14 8 12 16 20 24 28

�*M4

16

M6

12 18 24 30�*

M4 M6 12 ; 24 ; …{ } = ∩

ppcm 4 ; 6 ( ) 12 =

ppcm a, b( ) ppcm b, a( )=

ppcm ka, kb( ) k ppcm a, b( )=

Définition

Exemple

Propriétés

B


78


Propriété

Si un nombre est multiple du ppcm de a et b, alors il est multiple commun de a et de b.

Démonstration

Soit alors est un multiple de a donc il existe de

�

tel que : .

Soit m un multiple de

Il existe k de

�

tel que : .

On a donc : donc m est un multiple de a.

Un raisonnement analogue prouve que m est un multiple de b.

Conclusion

tout multiple de est aussi un multiple de a et un multiple de b.

Cette démonstration est très simple, il faut savoir la refaire.

Propriété

Si un nombre est multiple commun de a et de b alors il est multiple de leur ppcm.

Démonstration :

Soit m un multiple commun de a et de b ; et soit le plus petit commun multiple de a et de b ;

il existe et de

�

tels que : ,

et il existe et de

�

tels que : .

On veut démontrer que m est un multiple de , c’est-a-dire que est un diviseur de m.

Effectuons la division euclidienne de m par :

il existe q et r de

�

tels que :

et

d’où

or , et q sont des entiers donc est encore un entier donc r est un multiple de a.

Un raisonnement similaire prouve que r est un multiple de b.

Récapitulons :

r est un multiple commun de a et de b

est le plus petit multiple commun (strictement positif) de a et de b.

Ces 3 informations imposent que ; d’où d’où m multiple de .

Conclusion :

Tout multiple commun de a et de b est multiple de .

Cette propriété est la réciproque de la précédente : sa démonstration est un peu moins évidente quela précédente.

�

Observation 1 :

et

;

on constate que :

μ ppcm a, b( )= μ α μ αa=

μ

m kμ=

m kμ kαa= =

ppcm a, b( )

μ

α β m αa βb= =

αo βo μ αoa βob= =

μ μ

μ

m μq r+= 0 � r μ<

r m μq–=

αa αoaq– α αoq–( )a==

α αo α αoq–

o � r μ<

μ

r 0= m μq 0 μq=+= μ

ppcm a, b( )

a 4= b 6=

pgcd a, b( ) 2= ppcm a b,( ) 12=

pgcd a, b( ) ppcm a, b( )× ab 24==

Lien entre et pgcd (a, b) ppcm (a, b)C



Observation 2 : et

;

on constate que :

Observation 3 : et

;

on constate que :

Ces observations sont générales ; elles proviennent de la propriété suivante (qui n’est pas démontréeici) :

Propriété �

Le produit de deux entiers non nuls est égal au produit de leur pgcd par leur ppcm.

d’où :

Exemple

Déterminer le ppcm de 2375 et 75 puis le ppcm de 2070 et 368puis le ppcm de 1617 et 325.

Réponse

Dans le paragraphe concernant l’algorithme d’Euclide nous avons déjà calculé les pgcd des nombresen présence et nous avions trouvé :

En appliquant la propriété précédente on trouve :

a 9= b 3=

pgcd a, b( ) 3= ppcm a b,( ) 9=


a 13= b 2=

pgcd a, b( ) 1= ppcm a b,( ) 26=


pgcd a, b( ) ppcm a, b( )× ab=

pgcd a, b( ) abppcm a, b( )-----------------------------=

ppcm a, b( ) abpgcd a, b( )----------------------------=

pgcd 2375 ; 75( ) 25=

pgcd 2070 ; 368( ) 46=

pgcd 1617 ; 325( ) 1.=

ppcm 2375 ; 75 ( ) 2375 75 × pgcd 2375 ; 75 ( ) -------------------------------------------

178 125

25 -------------------

7125

= = =

ppcm 2070 ; 368 ( ) 2070 368 × pgcd 2070 ; 368 ( ) ---------------------------------------------

761 760

46 -------------------

16 560

= = =

ppcm 1617 ; 325 ( ) 1617 325 × pgcd 1617 ; 325 ( ) ----------------------------------------------

525 525

1 -------------------

525 525.

= = =


ésumé

80


�

Plus Grand Commun Diviseur (pgcd)

Définition :

Soient a et b deux entiers naturels distincts. Le plus grand nombre parmi les diviseurs communs de a et de b s’appelle « plusgrand commun diviseur de a et de b » et se note : .

Propriétés :

Si un nombre divise le pgcd de a et de b, alors il divise a et il divise b.

Si un nombre divise à la fois a et b, alors il divise leur pgcd.

pour k de

�

*

Connaître le principe de

l’algorithme d’Euclide

�

Plus Petit Commun Multiple (ppcm)

Définition :

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle « plus petit commun multiple de a et de b » le plus petit entier stricte-ment positif multiple à la fois de a et de b. On le note : .

Propriétés :

Si un nombre est multiple du ppcm de a et de b, alors il est multiple commun de a et de b.Si un nombre est multiple commun de a et de b, alors il est multiple de leur ppcm.

pour k de

�

*

�

Deux entiers naturels premiers entre eux

Définition : deux entiers naturels sont premiers entre eux si et seulement si leur pgcd vaut 1

Propriété :

et sont premiers entre eux

Théorème de BÉZOUT :

(a et b premiers entre eux) (il existe u et v de

�

tels que )

Théorème de GAUSS :

Si (a divise le produit bc) et (a est premier avec b) alors a divise c

Propriétés :

–

Si

a est premier avec n nombres

alors

a est premier avec leur produit

–

Si

a est divisible par des entiers premiers entre eux

2 à 2, alors

a est divisible par leur produit.

Connaître la méthode qui permet de résoudre dans

�

des exemples d’équations de la forme :

où a, b, c sont des entiers donnés, et x, y sont les inconnues dans

�

.

pgcd a, b( )

pgcd a, b( ) pgcd b, a( )=

pgcd ka, kb( ) k pgcd a, b( )=

ppcm a, b( )

ppcm a, b( ) ppcm b, a( )=

ppcm ka, kb( ) k ppcm a, b( )=

pgcd a, b( ) ppcm (a, b)× ab=

δ pgcd a, b( ) aδ--⇔=

bδ--

⇔ au bv 1=+

⎝⎛

⎠⎞

⎝⎛

⎠⎞

ax by c=+


xercices d’entraînement


Utilisation possible du p.g.c.d.Déterminer dans l’ensemble � des entiers naturels, tous les diviseurs communs de 4512 et 4128.

Utilisation possible du p.p.c.m.Trouver tous les nombres entiers naturels ayant 3 chiffres et divisibles à la fois par 14 et par 34.

Recherche de deux entiers naturels connaissant leur somme et leurp.g.c.d.� Déterminer tous les ensembles constitués de 2 nombres a et b entiers naturels dont le pgcd est 50et dont la somme est 600.

� Répondre à la même question lorsque le pgcd est 64 et la somme 1152.

Recherche de deux entiers naturels connaissant leur produit et leurp.g.c.d, puis recherche de leur p.p.c.m.Trouver deux entiers naturels connaissant leur p.g.c.d. 6 et leur produit 2700.

Que vaut le p.p.c.m. des deux nombres trouvés ?

Travail sur division euclidienne et p.g.c.d.On divise 4373 et 826 par un même nombre entier ; les restes respectifs sont 8 et 7. Quel est cediviseur ?

Travail sur division euclidienne et p.g.c.d.Déterminer un nombre n de 4 chiffres tel que les restes des divisions de 21 685 et 33 509 par n soientrespectivement 37 et 53.

Nombres premiers entre eux, obtenus à partir d’autres nombres pre-miers entre eux.Les entiers x et y sont premiers entre eux.

Montrer qu’il en est de même de :

� et

� et

3x 4y+ 4x 5y+

4x 15y+ 3x 11y+

Exercice �

Exercice �

Exercice �

Exercice �

Exercice �

Exercice �

Exercice �



Résolution dans � d’équation de la forme : où a, b et c sontdes entiers.On considère l’équation : .

� a) Trouver un couple d’entiers relatifs solution de cette équation.

b) Résoudre cette équation dans l’ensemble � des entiers relatifs.

� Un nombre entier positif n, divisé par 8, donne pour reste 1. Ce même nombre divisé par 5, donnepour reste 2.

a) Quel reste donne-t-il si on le divise par , donc par 40 ?

b) Trouver n sachant .

Utilisation des nombres premiers entre eux pour reconnaître qu’unefraction est irréductible.� Démontrer que si a et b sont des nombres entiers positifs premiers entre eux, il en est de même des

nombres entiers : et .

(On pourra prendre un diviseur positif d commun à ces deux nombres, et démontrer que d vaut 1).

� En déduire les nombres entiers positifs a et b premiers entre eux tels que la fraction

soit égale à .

Travail sur les nombres consécutifs en liaison avec un caractère de divi-sibilité.Les nombres entiers relatifs a et n vérifient la relation

(1) .

� Démontrer que n est le produit de 3 entiers relatifs consécutifs et que n est multiple de 6 ;

en déduire que n est aussi une somme de 3 entiers relatifs consécutifs.

� Comment faut-il choisir a pour que n soit une somme de 4 entiers relatifs consécutifs ?

ax by c=+

8x 5y– 1=

x0, y0( )

8 5×

3940 n 4000< <

a b+ a2 ab b2+ +

a b+

a2 ab b2+ +

----------------------------- 737-----

n a3 a–=

Exercice

Exercice

Exercice �


ides aux exercices


On doit se souvenir du résultat suivant : l’ensemble des diviseurs communs de deux nombres estl’ensemble des diviseurs de leur p.g.c.d. ; l’exercice peut donc se ramener à rechercher pgcd (4512,4128), puis ensuite à lister les diviseurs de ce nombre.

On peut faire une recherche systématique par essais.

On peut aussi se souvenir du résultat suivant : l’ensemble des multiples communs de deux nombresest l’ensemble des multiples de leur p.p.c.m.

Il s’agit en fait de résoudre un système

On sait que a et b sont divisibles par 50 et mieux on a la propriété :

Donc si on pose et ,

on peut résoudre le même problème mais avec des nombres plus petits et premiers entre eux ; uneméthode peut alors consister en l’examen systématique de tous les cas (on espère qu’ils ne seront pastrop nombreux).

C’est le même principe que pour l’exercice 3.

Il parait assez raisonnable de traduire les divisions euclidiennes ; à partir de là, on peut se persuaderassez vite que le nombre cherché doit être un diviseur commun à deux nombres connus.

On doit se souvenir de la définition de « deux nombres premiers entre eux » :

a et b premiers entre eux premiers .

Une méthode pour démontrer que le de deux nombres est 1, est de considérer un diviseur dcommun à a et b, et de conduire un raisonnement qui prouve .

Il faut bien connaître la méthode de résolution dans � des équations du type : ; elles

peuvent n’admettre aucune solution, mais si elles en admettent au moins une, que l’on appelle solu-

tion particulière , alors elles en admettent une infinité ; la méthode a été illustrée sur plu-

sieurs exemples dans le cours.

a b 600=+

pgcd a, b( ) 50.=⎩⎨⎧

pgcd a, b( ) 50= pgcd a50----- , b

50-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1=⇔

a′ a50-----= b′ b

50-----=

pgcd a, b( )⇔ 1=

p.g.c.d.d 1=

ax by c=+

x0, y0( )

Exercice �

Exercice �

Exercice �

Exercice �

Exercice �et �

Exercice �

Exercice



Il est important de suivre la méthode indiquée dans l’exercice.

Savoir décrire des entiers consécutifs.

Exercice

Exercice �


85

Sommaire séquence 2 – MA03

HomothétieTranslationRotationExemples

Rappel sur antidéplacementCas de la réflexion par rapport à l’axe des abscissesCas d’une réflexion d’axe passant par l’origineCas généralExemples

IntroductionCas des similitudes directes de rapport k (k > 0)Cas des similitudes indirectes de rapport k (k > 0)ExemplesSimilitudes ayant deux points fixes distincts

Chapitre 1

>

Traduction des homothéties et des déplacementspar les nombres complexes

................................................................................................

87

B

A

Chapitre 2

>

Traduction des antidéplacements par les nombrescomplexes

.............................................................................................................................................................

93

Chapitre 3

>

Traduction des similitudes par les nombres complexes

...............................................................................................

99

Résumé

..........................................................................................................................................................................................................................

104

Exercices d’entraînement

......................................................................................................................................................................

105

Aides aux exercices d’entraînement

........................................................................................................................................

108

B

A

C

D

B

A

C

D

E

2ème partie : traduction par des nombres complexes

C

D

E


87


Traduction des homothéties et desdéplacements par les nombres complexes

Soit P le plan complexe (plan muni d’un repère orthonormal )

Soit h l’homothétie de centre et de rapport k où k est un réel non nul et différent de 1. h agit surles points du plan, et si ce plan est muni d’un repère orthonormal, chaque point M peut être repérépar ses coordonnées ou par son affixe z où z est un nombre complexe.

P P

Posons et appelons l’affixe de .

Traduire l’homothétie h par les nombres complexes c’est exprimer en fonction de z.

Soit donc un point quelconque ; traduisons que est l’image de M par h :

�

L’égalité obtenue peut se tranformer en :

expression de la forme :

où k réel et b complexe.

�

Réciproquement

, une égalité de la forme où k réel et b com-plexe, traduit-elle une homothétie ?

Recherchons un éventuel point invariant :

cas où ;

il existe donc un unique point , invariant, son affixe est : .On a donc :

et

D’où en retranchant membre à membre :

O, u , v( )

Ω

x, y( )h

M z( ) M′ z′( )

M′ h M( )= z′ M′

v

uO

ΩM(z)

M'(z')

z′

M z( ) M′ z ′( )

M′ h M( ) ΩM′⇔= k ΩM=

zΩM ′

k zΩM

=

zM ′ zΩ– k zM zΩ–( )=

z′ zΩ– k z zΩ–( )=

⇔

⇔

⇔

z′ kz zΩ kzΩ–( )+=

z′ kz b+= k 0 et k 1≠≠( )

z′ kz b+= k 0 et k 1≠≠( )

z′ z= z kz b 1 k–( )z⇔+ b z⇔ b1 k–-----------= = =

Ω zΩb

1 k–-----------=

z′ kz b+= zΩ kzΩ b+=

Homothétie

A


88


et donc

d’où avec k

réel

d’où

Cette dernière relation traduit que est l’image de M par l’homothétie de centre et de rapport k.

Propriété

�

�

La traduction par les nombres complexes de l’homothétie de centre et de rapport k est :

�

Une relation de la forme

où k

réel

et b complexe est la traduction par les nombres com-plexes de l’homothétie de rapport k, et de centre le point fixe dont l’affixe vérifie :

.

Soit t la translation de vecteur dont l’affixe est . Soit un point quelconque et son image par t.

.

Propriété

�

La traduction par les nombres complexes de la translation de vecteur d’affixe est :.

Soit r la rotation de centre et d’angle non nul de mesure .Soit un point quelconque et son image par r ;pour on a aussi et on peut écrire les équiva-lences suivantes :

z′ zΩ k z zΩ–( )=–

z′ zM ′= z zM= zM ′ zΩ k zM zΩ–( )=–

zΩM ′

k zΩM

= k 0 et k 1≠≠( )

ΩM′ k ΩM=

M′ Ω

Ωk 0 et k 1≠≠( )

z′ zΩ k z zΩ–( )=–

z′ kz b+= k 0 et k 1≠≠( )Ω

zΩ kzΩ b+=

w

O

M(z)

M'(z')

w z0 M z( )M′ z′( )

M′ t M( ) MM′ w zMM ′

zw

=⇔=⇔=

zM ′ zM z0 z′ z z0+=⇔=–⇔

w z0z′ z z0+=

v

uO

Ω

M(z)

M'(z')

θ

Ω θM z( ) M′ z′( )M Ω≠ M′ Ω≠

M′ r M( )ΩM′ ΩM=

ΩM, ΩM′( ) θ=⎩⎨⎧

⇔=

zM ′ zΩ– zM zΩ–=

arg zM ′ zΩ–

zM zΩ–-------------------- θ=

⎩⎪⎨⎪⎧

⇔

TranslationB

RotationC



Ce calcul utilise les connaissances sur la forme trigonométrique des nombres complexes et sur l’inter-prétation géométrique du quotient de deux différences.

car le nombre complexe de module 1 et dont un argument est s’écrit en effet : .

Dans le cas particulier où , on a aussi et l’égalité trouvée est encore vérifiée.

Finalement :

La dernière égalité peut se transformer en :

qui est de la forme

où a et b dans � avec et .

Propriété �

� La traduction par les nombres complexes de la rotation de centre et d’angle non nul demesure est :

� Une relation de la forme où a et b dans � avec et est la traduc-tion par les nombres complexes de la rotation d’angle de mesure et de centre lepoint fixe dont l’affixe vérifie : .

Le cas où correspondant à une translation d’où, l’écriture complexe

avec traduit un déplacement

Donner la traduction complexe de :

1) la translation : de vecteur

2) l’homothétie : h de centre I d’affixe et de rapport

3) la rotation : r de centre I d’affixe et d’angle .

Réponse :

On veut le lien entre et z.

1) On sait d’après la propriété précédente :

où est l’affixe de

donc

soit pour t :

M′ R M( )

zM ′ zΩ–

zM zΩ–-------------------- 1=

arg zM ′ zΩ–

zM zΩ–-------------------- θ=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

⇔=

zM ′ zΩ–

zM zΩ–-------------------- eiθ

=⇔ θeiθ

zM ′ zΩ– eiθ zM zΩ–( )=⇔

M Ω= M′ Ω=

M′ r M( ) z′ zΩ eiθ z zΩ–( )=–⇔=

z′ eiθz zΩ eiθzΩ–+=

z′ az b+= a 1= a 1≠

Ωθ z′ zΩ eiθ z zΩ–( )=–

z′ az b+= a 1= a 1≠θ aarg=

Ω zΩ azΩ b+=

a 1=

z′ az b+= a 1=

2 u v–

1 i––( ) 2

2 i+( ) π6---–⎝ ⎠

⎛ ⎞

M z( ) M′ z ′( )

z′

z′ z z0+=

z0 2 u v–

z0 2 i–=

z′ z 2 i–+=

Remarque

Remarque

Exemple �

ExemplesD



2) Pour h la traduction complexe est :

soit

soit

que l’on peut encore écrire

3) Pour r la traduction complexe est :

Or

donc

ou encore

Dans chacun des cas suivants, identifier la transformation f dont la traduction complexe est :

1)

2)

3)

4)

5)

Réponse :

1) On reconnait avec k réel

d’où f est une homothétie de rapport ,

son centre a pour affixe tel que :

soit d’où d’où

avec

On peut encore dire : f est la symétrie centrale de centre ou f est la rotation de centre etd’angle plat.

2) c’est-à-dire car

On reconnaît la traduction complexe d’une rotation d’angle de mesure ; son centre a pouraffixe tel que :

soit

soit

avec

z′ zI 2 z zI–( )=–

z′ 1 i––( ) 2 z 1 i––( )–( )=–

z′ 1 i 2 z 1 i+ +( )=+ +

z′ 2z 2 1– i 2 1–( )+ +=

z′ zI ei π

6---–⎝ ⎠

⎛ ⎞

z zI–( )=–

ei π

6---–⎝ ⎠

⎛ ⎞π6---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ i π6---–⎝ ⎠

⎛ ⎞sin+cos 32

-------12-- i–= =

z′ 2 i+( ) 32

------- i2--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ z 2 i+( )–( )=–

z′ 32

------- i2---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ z 2 i+( ) 1 32

-------–i2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

z′ z– 2i+=

z′ iz 1+=

z′ 1 i 3+2

------------------z=

z′ z 4 2i+–=

z′ 2z 3+=

z′ kz 2i+= k 1–=

1–

Ω zo zo z– o 2i+=

2zo 2i= zo i= Ω 0,1( )

f hom Ω, 1–( )= Ω 0,1( )

Ω Ω

z′ iz 1+= z′ eiπ2---

z 1+= i eiπ2---

=π2--- Ω

zo

zo izo 1+= zo 1 i–( ) 1=

zo1

1 i–---------- 1 i+

2----------= =

f rot Ω, π2---⎝ ⎠

⎛ ⎞= Ω 12--- , 1

2---⎝ ⎠

⎛ ⎞

Exemple �



3) ; le point O est invariant

C’est de façon évidente

À chaque fois que l’on a : , l’origine de repère est invariante.

4)

c’est la traduction complexe de la translation de vecteur d’affixe –4 + 2i

5)

est la traduction complexe d’une homothétie de rapport 2 et de centre Ω d’affixe tel que :

soit

d’où avec .

z′ 1 i 3+2

------------------z eiπ3---

z= =

f rot O, π3---⎝ ⎠

⎛ ⎞=

z′ az=

z′ z 4 2i–( )–=

w

z′ 2z 3+=

z0

z0 2zo 3+=

z0 3–=

f hom Ω, 2( )= Ω 3, 0–( )

Remarque


93


Traduction des antidéplacements par les nombres complexes

Rappel sur antidéplacement

A

Un antidéplacement est une isométrie qui

oppose

les angles orientés de vecteurs.

On admet que l’ensemble des antidéplacements se répartit en 2 familles en fonction de l’ensemble

Inv

des points invariants :

�

si Inv est une droite D, alors l’antidéplacement est la symétrie axiale orthogonale d’axe D, encoreappelée réflexion d’axe D

�

si Inv est l’ensemble vide (aucun point invariant) l’antidéplacement est une « symétrie-glissée ».

Cette situation fait partie des premières connaissances sur les nom-bres complexes :

prendre le conjugué du nombre complexe z revient à traduire parles nombres complexes le fait que le point d’affixe est lesymétrique du point M d’affixe z par la réflexion d’axe l’axe des abs-cisses, notée .

On peut écrire : car

d’où :

Or est la rotation de centre o et d’angle ; on connaît sa traduction par des nombrescomplexes :

c’est .

v

uO

M(z)

x

M'(z' = z)

zM′ z

S ox( )

v

uO

M(z)

M'(z')

M1(z1)

θx

D

SD SD ° S ox( ) ° S ox( )( )= S ox( ) ° S ox( ) Id=

SD SD ° S ox( )( ) ° S ox( )=

SD ° SOx 2θ

z′ ei2θ z=

Cas de la réflexion par rapport à l’axe des abscisses

B

Cas d’une réflexion d’axe D passant par l’origine

C

M'(z')

z' = z

S(ox)M(z)



Soit un point quelconque du plan :

On a progressivement :

car

relation de la forme : où et .

Soit g un antidéplacement et soit l’image de O par g.

On peut écrire : car

(En effet, les translations et sont réciproques l’un de l’autre).

d’où :

Or est composée de l’antidéplacement g et d’une translation qui est un déplacement ; d’une

part c’est un antidéplacement et d’autre part il admet au moins le point O comme point invariant ; en

effet :

Il en résulte que est une réflexion d’axe une droite D qui passe par O : on peut écrire

et

Soit un point quelconque du plan :

g :

On sait que la traduction complexe de où D qui passe par l’origine, est de la forme :

avec et et que la traduction complexe de la translation est : où b

est l’affixe du vecteur , c’est-à-dire aussi du point .

Il en résulte progressivement :

avec et

Réciproquement : on peut démontrer qu’une application du plan dans le plan dont la traduction par desnombres complexes est de la forme : avec et est un antidéplacement.

Propriété �

Une application du plan dans le plan est un antidéplacement si et seulement si sa traduction pardes nombres complexes s’écrit :

où a et b dans avec

M z( )

M(z) M'(z')M1(z1)S(ox) S(ox)SDSD

°�

z′ ei2θz1 ei2θ z= = z1 z=

z′ a z= a �∈ a 1=

O′

g too ′

° to ′o⎝ ⎠

⎛ ⎞ ° g= too ′

° to ′o

Id=

to ′o

too ′

g too ′

° to ′o

° g⎝ ⎠⎛ ⎞=

to ′o

° g

to ′o

° g O( ) to ′o

g O( )( ) to ′o

O′( ) O= = =

to ′o

° g

to ′o

° g SD= g too ′

° SD=

M z( )

M z( )SD

M1 z1( )

too ′

M′ z ′( )

SD z1 a z=

a �∈ a 1= too ′

z′ z1 b+=

oo′ O′

z′ z1 b+ a z b+= = a �∈ a 1=

z′ a z b+= a �∈ a 1=

z′ a z b+= � a 1=

Cas généralD



Le plan est muni d’un repère orthonormal et on considère l’application f du plan dans lui-

même qui à tout point M d’affixe z associe le point dont l’affixe est donnée par :

Déterminer l’ensemble des points invariants ; en déduire la nature de f.

Réponse :

� On a , donc on reconnaît la traduction complexe d’un antidéplacement du plan.

� Soit ; posons avec x et y réels.

M invariant

Deux nombres complexes sous forme algébrique sont égaux si et seulement si ils ont même partieréelle et même partie imaginaire, donc :

M invariant

L’ensemble des points invariants est la droite d’équation :.

On en déduit que : f est la réflexion d’axe D d’équation .

Dans le plan complexe on considère l’application g dont la traduction complexe est :

.

1) Déterminer l’ensemble des points invariants ; en déduire la nature de g.

2) On considère la réflexion f d’axe D d’équation de l’exemple précédent ; la traduction def par des nombres complexes était donnée par :

.

Donner la traduction complexe des transformations

puis .

En déduire les éléments qui caractérisent , et g avec précision.

Réponse :

1) On reconnaît une traduction complexe de la forme où , il en résulte que gest un antidéplacement.

Soit ; posons avec x et y réels

O, u , v( )M′ z′

z′ i z 1 i–+=

i 1=

M z( ) z x iy+=

⇔ z i z 1 i–+=

⇔ x iy+ i x iy–( ) 1 i–+=

⇔ x iy+ y 1 ix i–+ +=

⇔ x y 1+=

y x 1–=⎩⎨⎧

y x 1–=⇔

y x 1–=

v

u0

M(z)

M'(z')

1

-1

D

y x 1–=

z′ i z 2+=

y x 1–=

z′ i z 1 i–+=

g ° f 1– f 1– ° g

g ° f 1– f 1– ° g

z′ a z b+= a 1=

M z( ) z x iy+=

Exemple �

Exemple �

ExemplesE



M invariant

Ce système est impossible donc il n’existe aucun point invariant.

g est donc un antidéplacement sans point invariant :

g est une symétrie-glissée.

2) On va commencer par donner la traduction complexe de :

La traduction complexe de est :

où

!!! au changement des lettres près, c’est la même traduction que pour f ; est-ce normal ??? voir laremarque ci-dessous.

Le calcul qui est fait ici est complètement PRÉVISIBLE car on sait que pour une réflexion f on a.

� Considérons :

d’où

On reconnaît la traduction complexe de la translation de vecteur , d’affixe 1 + i.

Ce vecteur est un vecteur directeur de la droite D d’équation

d’où ou encore

� Considérons :

d’où qui est encore la traduction complexe

de la translation .

d’où ou encore

On en déduit :

g est la symétrie-glissée d’axe et de vecteur .

⇔ z i z 2+= ⇔ x iy+ i x iy–( ) 2+=

⇔ x iy+ y 2 ix+ += ⇔x y 2+=

y x=⎩⎨⎧

f 1–

M z( ) f M′ z ′( )

M′ z ′( ) f 1– M z( )

z′ i z 1 i–+= ⇔ z z′ 1– i+i

--------------------= ⇔ z i z′ 1– i+( )–=

⇔ z i– z′ 1– i+( )= ⇔ z i z ′ 1– i–( )=

⇔ z i z ′ 1 i–+=

f 1–

z i z ′ 1 i–+= f 1– M′( ) M=

f f 1–=

g ° f 1–

M1 z1( )f 1–

M2 z2( )

gM3 z3( )

z3 i z 2 2+ i i z 1 1 i–+( ) 2+ i iz1– 1 i+ +( ) 2+= = =

z3 z1 1 i+ +=

tu v+

u v+

u v+ y x 1–=

g ° f 1– tu v+

= g tu v+

° f=

v

u0M

M'(z')

1

-1

D

u v+

f 1– ° g

M z( )

gM′ z ′( )

f 1–

M′′ z ′ ′( )

z′′ i z ′ 1 i–+ i i z 2+( ) 1 i–+ i iz– 2+( ) 1 i–+= = =

z′′ z 1 i+ +=

tu v+

f 1– ° g tu v+

= g f ° tu v+

=

g f ° tu v+

tu v+

° f= =

D y x 1–=( ) u v+

Remarqueimportante

Remarque



Dans le plan complexe on considère l’application h dont la traduction complexe est : .

1) Démontrer que h est une symétrie-glissée.

2) On sait que h peut se décomposer de façon commutative unique en :

où est la réflexion par rapport à une droite D et à la translation d’un certain vecteur quiest vecteur directeur de la droite D.

En considérant déterminer le vecteur

3) Donner alors une équation de la droite D.

Réponse :

1) est une relation de la forme où donc h est un antidépla-cement.

Recherche des éventuels points invariants ; soit ; posons avec x et y réels

M invariant

Le système obtenu n’a pas de solution, donc h est un antidéplacement qui n’admet aucun point inva-riant.

h est donc une symétrie-glissée.

2)

car est associative

car

d’où :

Écrivons la traduction de par les nombres complexes :

d’où

Il en résulte que l’affixe du vecteur est donc l’affixe du vecteur est .

3) Reprenons la construction de l’image d’un point Mquelconque :

La figure est un rectangle ; ses diagonales quise coupent en leur milieu I, se coupent sur la droite D car :

, donc l’image par de la droite est la droite (PQ) ;

or par une réflexion l’image d’une droite est une droite et si ces droites ne sont pas parallèles alorselles sont sécantes sur l’axe D.

Il en résulte que pour tout point M, le milieu du segment est situé sur la droite D cherchée.

z′ i z 1+=

h SD ° tw

tw

° SD= =

SD tw

w

h ° h w.

z′ i z 1+= z′ a z b+= a 1=

M z( ) z x iy+=

⇔ z i z 1+= ⇔ x iy+ i x iy–( ) 1+=

⇔ x iy+ y 1 ix+ += ⇔ x y 1+=

y x=⎩⎨⎧

wM'(z')

M(z) M"(z")

w

w

D

h ° h tw

° SD( ) ° SD ° tw

( )=

tw

° SD ° SD( ) ° tw

= °

tw

° Id ° tw

= SD ° SD Id=

h ° h t2 w

=

h ° h

M z( )h

M′ z ′( )h

M′′ z ′ ′( )

z′′ i z ′ 1+ i i z 1+( ) 1+ i iz– 1+( ) 1+= = = z′′ z 1 i+ +=

2 w 1 i+ w 12---

12---i+

w

w

M'(z')

M(z)Q

P

DI

MSD

Ptw M′

Mtw Q

SDM′

MPM′Q

SD M( ) P= SD M′( ) Q= SD MM′( )

MM′[ ]

Exemple �



Pour et son image on a toujours :

En particulier, on connaît l’image du point O, c’est le point d’affixe 1, donc le milieu I du segment

a pour affixe : .

La droite D cherchée est maintenant connue :

D passe par I de coordonnées et admet comme vecteur directeur.

Recherche d’une équation de D ; soit

Conclusion :

une équation de D est

Récapitulatif :

où et D a pour équation :

Point méthode

On sait qu’une symétrie-glissée h se décompose de façon unique en :

� on peut trouver en utilisant le fait que

� la droite D admet comme vecteur directeur et passe par le milieu de pour n’importequel point M, donc en particulier par le milieu de .

M z( ) M′ z ′( ) z′ i z 1+=

O′OO′[ ] zI

12--=

12--- ; 0⎝ ⎠

⎛ ⎞ w 12--- ; 1

2---⎝ ⎠

⎛ ⎞

N x, y( )

N D∈ IN et w colinéaires⇔

x 12--–

y 0–

12--

12--

0 12-- x 1

2--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 12-- y– 0=⇔=⇔

y x 12--–=⇔

v

u0

M'(z')

M(z)1

-12

D

w

w

w

2

y x 12---–=

h SD ° tw

tw

° SD= =

w 12-- u 1

2-- v+= y x 1

2--–=

h SD ° tw

tw

° SD= =

w h ° h t2 w

=

w MM′[ ]OO′[ ]



Traduction des similitudes par les nombres complexes

IntroductionA

Soit s une similitude de rapport k (k réel strictement positif). Nous avons vu dans la séquence précé-dente que toute similitude de rapport k (k réel strictement positif) peut s’écrire comme la composéed’une isométrie et d’une homothétie h de même rapport k que celui de s.

Nous savons traduire les isométries et les homothéties par les nombres complexes, ceci va nous per-mettre de traduire les similitudes par les nombres complexes.

– Pour l’homothétie h de rapport k (k > 0) : z’ = kz + b1 (k réel ; k > 0)

– Si l’isométrie est un déplacement : z’ = a2z + b2 avec

– Si l’isométrie est un antidéplacement : z’ = a3 + b3 avec

Soit s une similitude directe de rapport k (k réel ; k > 0). On peut écrire :

s = h d où d est un déplacement et où h est une homothétie de rapport k.

Pour un point M quelconque d’affixe z, soit M1 d’affixe z1 le point image de M par d et soit M’d’affixez’ le point image de M1 par h.

On a : s(M) = (h d)(M) = h(d(M)) = h(M1) = M’

et : z’ = kz1 + b1 par action de l’homothétie h

z’ = k(a2z + b2) + b1 par action du déplacement d

z’ = (ka2)z + (kb2 + b1)

Cette relation est de la forme z’ = az + b où a et b sont des nombres complexes et où car k réel strictement positif et ; on en déduit a ≠ 0.

Propriété �

Toute similitude directe a une écriture complexe de la forme z’ = az + b avec a et b nombrescomplexes et a ≠ 0 ( est le rapport de la similitude directe).

Soit s une similitude indirecte de rapport k (k réel ; k > 0). On peut écrire :

s = h a où a est un antidéplacement et où h est une homothétie de rapport k.

Nous allons reprendre le même raisonnement que dans le paragraphe précédent. Pour un point Mquelconque d’affixe z, soit M1 d’affixe z1 le point image de M par a et soit M’ d’affixe z’ le pointimage de M1 par h.

a2 1=

z a3 1=

°

°

a ka2 k a2 k= = = a2 1=

a

°

Rappel

Cas des similitudes directes de rapport k (k réel strictement positif)

B

Cas des similitudes indirectes de rapport k (k réel strictement positif)

C



On a : s(M) = (h a)(M) = h(a(M)) = h(M1) = M’

et z’ = kz1 + b1 par action de l’homothétie h

z’ = k(a3 + b3) + b1 par action de l’antidéplacement a

z’ = (ka3 + (kb3 + b1)

Cette relation est de la forme où a et b sont des nombres complexes et où car k réel strictement positif et ; on en déduit a ≠ 0.

Propriété �

Toute similitude indirecte a une écriture complexe de la forme z’ = a + b avec a et b nom-bres complexes et a ≠ 0 ( est le rapport de la similitude indirecte).

Soient s1 et s2 les similitudes directes dont la traduction par des nombres complexes est :

z’1 = (1 + i)z + 4 pour s1 et pour s2.

1) Donner la traduction par des nombres complexes des composées :

f = s1 s2 et g = s2 s1

2) Reconnaître complètement les transformations f et g.

Réponse

1) Soit M un point quelconque d’affixe z.

� f(M) = s1 s2(M) = s1(M’) en posant M‘(z‘) l’image de M par s2

f(M) = M‘‘ en posant M‘‘(z‘‘) l’image de M‘ par s1

z‘‘ = (1 + i) z‘ + 4 (en utilisant la traduction complexe de s1)

z‘‘ = (1 + i) (en utilisant la traduction complexe de s2)

En développant le second membre, on obtient :

On sait que donc

D’où z‘‘ = iz + 2i – 2 + 4 = iz + 2 +2i

Conclusion : la traduction complexe de f est : z‘‘ = iz + 2 + 2i

� g(M) = s2 s1(M) = s2(M‘) en posant M‘(z‘) l’image de M par s1

g(M) = M‘‘ en posant M‘‘(z‘‘) l’image de M’ par s2

(en utilisant la traduction complexe de s2)

(en utilisant la traduction complexe de s1)

En développant le second membre, on obtient :

°

z

z

z′ a z= b+a ka3 k a3 k= = = a3 1=

za

z′212

-------= eiπ4---

z 2i+

° °

°

12

-------eiπ4---

z 2i+ 4+

z′′ 1 i+( ) 12

-------eiπ4---

z 2i 1 i+( ) 4++=

1 i+ 2eiπ4---

= 1 i+( ) 12

-------eiπ4---

eiπ2---

i= =

°

z′′ 12

-------eiπ4---

z′ 2i+=

z′′ 12

-------eiπ4---

1 i+( )z 4+[ ] 2i+=

z′′ 12

-------eiπ4---

1 i+( )z 4 12

------- eiπ4---

2i+××+=

Exemple �

ExemplesD



On sait d’après le calcul fait avant que :

et on a aussi :

D’où : z’’ = iz + 2 +2i + 2i = iz + 2 + 4i

Conclusion : la traduction complexe de g est : z’’ = iz + 2 + 4i

2) � La traduction complexe de f étant z’’ = iz + 2 + 2i,

on sait que f est une rotation d’angle car .

Pour trouver le centre de cette rotation f , cherchons l’affixe du point invariant. Celle-ci s’obtient enposant z’’ = z.

Conclusion : f est la rotation de centre le point d’affixe 2i, et d’angle

� La traduction complexe de g étant z‘‘ = iz + 2 + 4i, on sait que g est une rotation d’angle car

. Pour trouver le centre de cette rotation g cherchons l’affixe du point invariant. Celle-ci

s’obtient en posant z’’ = z.

Conclusion : g est la rotation de centre le point d’affixe –1 + 3i, et d’angle .

f et g ont même angle, mais des centres différents ; ceci confirme qu’on doit faire attention à l’ordrequand on compose deux transformations car f ≠ g.

Dès le début on a sans doute remarqué que s1 est une similitude directe de rapport k1 tel que :, et que s2 est une similitude directe de rapport k2 tel que :

Òn sait alors que s1 s2 et aussi s2 s1 sont deux similitudes directes de rapport k tel que :

; donc s1 s2 et s2 s1 sont des déplacements. Les calculs faits dans

les questions 1) et 2) nous fournissent davantage de renseignements sur ces déplacements.

Soit s la similitude indirecte qui à tout point M d’affixe z dans un repère orthonormal, associe le point

M’ d’affixe z’ définie par :

1) Quel est le rapport de cette similitude s ?

2) Quel est l’ensemble des points invariants par s ?

12

-------eiπ4---

1 i+( ) i=

4 12

------- eiπ4---

×× 4 12

-------×π4---cos i

π4---sin+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 4 12

-------× 12

------- i 12

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞= =

4 12-- i1

2--+⎝ ⎠

⎛ ⎞× 2 2i+= =

π2--- i e

iπ2---

=

z′′ z z⇔ iz 2 2i 1 i–( )z⇔+ + 2 1 i+( ) z⇔ 2 1 i+( )1 i–

------------------= = = =

z′′ z z⇔ 2 1 i+( ) 1 i+( )1 i–( ) 1 i+( )

---------------------------------- z⇔ 2 1 2i 1–+( )2

------------------------------ z⇔ 2i= = = =

+π2---

π2---

i eiπ2---

=

z′′ z z⇔ iz 2 4i 1 i–( )z⇔+ + 2 1 2i+( )= = = z⇔ 2 1 2i+( )1 i–

---------------------=

z′′ z z⇔ 2 1 2i+( ) 1 i+( )1 i–( ) 1 i+( )

------------------------------------- z⇔ 2 1 2i i 2–+ +( )2

-------------------------------------- z⇔ 1– 3i+= = = =

π2---+

k1 1 i+ 2= =

k212

-------eiπ4--- 1

2-------= =

° °

k k1 k2× 2 12

-------× 1= = = ° °

z′ 2 i+( ) z 1 3i–+=

Remarque 1

Remarque 2

Exemple �



Réponse

1) On sait que le rapport k de cette similitude indirecte est tel que :

Conclusion : s est une similitude indirecte de rapport .

2) Soit M point d’affixe z ; posons z = x + iy avec x et y réels.

M invariant par

Deux nombres complexes, donnés sous forme cartésienne, sont égaux si et seulement si ils ont mêmepartie réelle et même partie imaginaire ; d’où :

M invariant

Conclusion : la similitude indirecte s admet un unique point invariant, c’est le point de coordonnées(0 ; –1).

Dire qu’un point est fixe par une similitude, veut dire que ce point est invariant. Nous allons examinersuccessivement le cas d’une similitude directe, puis d’une similitude indirecte admettant M1 d’affixez1 et M2 d’affixe z2 pour points invariants (M1 ≠ M2 donc z1 ≠ z2).

� cas d’une similitude directe de traduction complexe z’ = az + b avec a et b nombres complexes, a ≠ 0

Si M1 et M2 sont invariants alors :

Par soustraction membre à membre on obtient :

et puisque , on déduit a = 1, puis b = 0 (en reportant la valeur de adans les égalités précédentes). Il en résulte que la traduction complexe de cette similitude directe estz’ = z et ceci correspond à « l’identité ».

On vient de prouver que si une similitude directe possède 2 points distincts invariants, alors il s’agit de« l’identité » ; on sait de plus que par « l’identité » tous les points du plan sont invariants.

Conclusion : la seule similitude directe admettant au moins 2 points distincts invariants est « l’identité ».

� cas d’une similitude indirecte de traduction com-plexe avec a et b nombres complexes, a ≠ 0

Si M1 et M2 sont invariants alors :

k 2 i+ 22 12+ 5= = =

5

s s M( )⇔ M z⇔ 2 i+( ) z 1 3i–+= =

x iy+⇔ 2 i+( ) x iy–( ) 1 3i–+=

x iy+ 2x ix 2iy– y 1 3i–+ + +=⇔

x iy+⇔ 2x y 1 i x 2y– 3–( )+ + +=

x 2x y 1+ +=

y x 2y– 3–=⎩⎨⎧ y x– 1–=

3y x 3–=⎩⎨⎧

⇔ ⇔

3y 3x– 3–=

3y x 3–=⎩⎨⎧ x 3– 3x– 3–=

y x– 1–=⎩⎨⎧

⇔ ⇔

4x 0=

y x– 1–=⎩⎨⎧ x 0=

y 1–=⎩⎨⎧

⇔ ⇔

z1 az1 b+=

z2 az2 b+=⎩⎨⎧

z1 z2– a z1 z2–( )= z1 z2 0≠–

z′ a z= b+z1 a z 1 b+=

z2 a z 2 b+=⎩⎨⎧

� À connaître

Similitude ayant deux points fixes distinctsE



Par soustraction membre à membre on obtient :

, puis

d’où (on sait que donc aussi ).

Il en résulte que (car un nombre complexe et son conjugué ont lemême module).

Finalement la traduction complexe est de la forme avec . On reconnait ici la tra-duction complexe d’un antidéplacement. Sachant que les seuls antidéplacements qui admettent despoints invariants sont les symétries axiales, on en déduit que si une similitude indirecte admet 2points distincts invariants, alors il s’agit d’une symétrie axiale ; on sait de plus que par une symétrieaxiale on a toute une droite de points invariants.

Conclusion : les similitudes indirectes admettant au moins 2 points distincts invariants sont lessymétries axiales.

Propriété �Une similitude ayant 2 points fixes distincts est « l’identité » ou « une symétrie axiale ».

z1 z2– a z1 z2–( )= z1 z2– a z1 z2–( )=

az1 z2–

z1 z2–---------------= z1 z2– 0≠ z1 z2– 0≠

az1 z2–

z1 z2–---------------

z1 z2–

z1 z2–------------------ 1= = =

z′ a z= b+ a 1=


ésumé


Le plan P est rapporté à un repère orthonormal .

Traduction des homothéties et des isométries par les nombres complexes :

soit f : P P

Homothétie de centre et de rapport k réel non nul si et seulement si

relation de la forme où

Translation de vecteur d’affixe si et seulement si

relation de la forme où et

Rotation de centre et d’angle de mesure si et seulement si

relation de la forme où a et b dans � et

Déplacement et antidéplacement a et b sont 2 nombres complexes et

est la traduction complexe d’un déplacement

est la traduction complexe d’un antidéplacement

Similitudesa et b sont 2 nombres complexes et a ≠ 0

z’ = az + b est la traduction complexe d’une similitude directe dont le rapport est

z’ = + b est la traduction complexe d’une similitude indirecte dont le rapport est

Une similitude ayant 2 points fixes distincts est « l’identité » ou une « symétrie axiale ».

O, u , v( )

M z( ) M z ′( )

Ωf hom Ω, k( )= z′ zΩ– k z zΩ–( )=

z′ kz b+= k �*∈ b �∈

w zw

f tw

= z′ z zw

+=

z′ az b+= a 1= b �∈

Ω θf rot Ω, θ( )= z′ zΩ– eiθ z zΩ–( )=

z′ az b+= a 1=

a 1=

z′ az b+=

z′ az b+=

a

az a


xercices d’entraînement


Application directe du cours.On donne les traductions par des nombres complexes de trois transformations :

pour f :

pour g :

pour h :

Reconnaître ces transformations.

Composée d’une rotation et d’une translation.Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal on considère les transformationssuivantes :

r est la rotation de centre et d’angle de mesure :

t a pour représentation complexe :

Reconnaître avec précision les transformations composées suivantes : et

Composée de deux rotations données par leur traduction complexe.Reconnaître avec précision la composée des rotations f et g données par leur traductioncomplexe :

pour f : où

pour g :

Composée de deux similitudes indirectes.Soit s1 la similitude indirecte dont la traduction complexe est et s2 la similitude indi-

recte dont la traduction complexe est .

Donner la traduction complexe de s2 s1 et reconnaître cette transformation.

Deux méthodes pour reconnaître une composéede deux rotations et d’une translationDans le plan orienté on considère un triangle rectangle isocèle ABC

tel que l’angle a pour mesure .

Soit I le milieu du segment .

On note la rotation de centre B et d’angle de mesure , la

rotation de centre C et d’angle de mesure et T la translation de vecteur .

z′ 1 i 3–2

----------------- z 1 2i+ +=

z′ i z 1+( )–=

z′ 1 i 3–2

----------------- z=

O, u , v( )

A 1, 0( ) π2--- r rot A, π

2---⎝ ⎠

⎛ ⎞=

z′ z 1 7i+ +=

t ° r r ° t

f ° g

z′ jz 2i+= j 1 ; 2 π 3 ------ e

i2

π

3 ------

12

--– i 32

-------+= = =

z′ j2z 5 7i–+=

z′ 12-- z 4+=

z′ 1 i 3+( ) z 4– 4i 3–=

°

I

C

A B

AB, AC( ) π2---

BC[ ]

RBπ2--- RC

π2--- BC

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�


106


On se propose de trouver par deux méthodes la nature et les éléments caractéristiques de la transfor-mation

�

Première méthode : utilisation des nombres complexes

On rapporte le plan au repère orthonormal direct

a)

Donner l’écriture complexe des transformations , , T puis S.

b)

Caractériser alors S.

�

Deuxième méthode : utilisation des propriétés des transformations

a)

Déterminer sans calcul la nature de S, puis préciser l’image de B par S.

b)

Caractériser S.

Utilisation de la traduction com-plexe d’un quart de tour pourétudier une configuration.

Sur les côtés , et d’un

triangle ABC direct, on construit à l’extérieur

de celui-ci les triangles rectangles isocèles

directs , et d’hypoténuses

, et ;

I, J et K sont les milieux des côtés ,

et .

On considère le repère orthonormé direct indiqué sur la figure.

Les affixes des points B et C sont les réels et b, l’affixe de A est le complexe a.

�

Calculer les affixes des points J et K, puis les affixes , , des points , , .

�

Montrer qu’il existe une rotation d’angle de mesure qui transforme en C et en .

�

Déduisez-en que le triangle est rectangle isocèle en I.

�

Que représente la droite pour le triangle ?

�

Déduisez-en que les droites , et sont concourantes.

S RC ° T ° RB=

A ; AB, AC ( )

RB RC

I

A'

C'

B'

BC[ ] CA[ ] AB[ ]

ACB′ BAC′ CBA′

AC[ ] AB[ ] BC[ ]

BC[ ]

CA[ ] AB[ ]

I, u , v( )

b–

a′ b′ c′ A′ B′ C′

π2--- A′ B′ C′

IB′C′

CC′( ) A′B′C′

AA′( ) BB′( ) CC′( )

Exercice

�


107


Savoir traduire par les nombres complexes : rotation ; sommevectorielle ; translation.

Dans le plan orienté rapporté au repère orthonormé direct on considère les points A, B, Cd’affixes respectives a, b et .

�

Donner une condition nécessaire et suffisante vérifiée par a et b pour que les points A, B, C soientalignés.

On suppose dans la suite que les points A, B, C ne sont pas alignés et que la base estdirecte.

�

Sur les droites et à l’extérieur du triangle ABC on construit les carrés AFGB et ACDEpuis le parallélogramme AEHF.

a)

En considérant la rotation de centre A qui transforme C en E, démontrer que l’affixe du point E est :

b)

Calculer les affixes f, h et d des points respectifs F, H et D en fonction de a et b.

�

En déduire que :

a)

et

b)

et

O, u , v( )b–

v

u0

B(b)

A(a)

C(-b)

D

E

H

F

G

AFGB et ACDE sont des carrés et AEHF est un parallélogramme.

AB, AC( )

AB( ) AC( )

e ib– a 1 i–( )+=

FE 2OA= EF( ) ⊥ OA( )

BD CH= BD( ) ⊥ CH( )

Exercice �


ides aux exercices


Il suffit d’appliquer les résultats du cours.

� j est le nombre complexe de module 1 et d’argument .

� est le nombre complexe de module 1 et d’argument ou encore (module ).

� Savoir composer plusieurs traductions complexes de transformations.

� Savoir composer plusieurs déplacements.

Savoir traduire au moyen des nombres complexes qu’un point est milieu d’un segment, ou qu’unpoint est image d’un autre point par une transformation usuelle.

� Savoir traduire des égalités de longueurs et des orthogonalités de droites par les nombres complexes. ■

2π3

------

j2 j=4π3

------ 2π3

------– 2π

Exercices �et �

Exercices �

Exercices �et �

Exercices �

Exercices �


Documents

PGCD et PPCM