Chapitre 10 Arithmétique réelle

Chapitre 10Arithmétique réelle

Jean PrivatUniversité du Québec à Montréal

INF2170 — Organisation des ordinateurs et assembleurAutomne 2013

Jean Privat (UQAM) 10 — Arithmétique réelle INF2170 — Automne 2013 1 / 26

Plan

1 Arithmétique informatique

2 Norme IEEE 754

3 Valeurs spéciales IEEE 754

4 Perte de précision

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Plan

1 Arithmétique informatique

2 Norme IEEE 754

3 Valeurs spéciales IEEE 754

4 Perte de précision

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Binaire rationnels

Nombres à virguleAvant la virgule : des puissances positives de la baseAprès la virgule : des puissances négatives

Exemples10, 2510 = 1× 10+ 2× 10−1 + 5× 10−2

1010, 012 = 23 + 21 + 2−2

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Représentation des nombresEntiers

Entiers en point fixeSignés ou non signés

FlottantsLa place de la virgule n’est pas fixe

AutresBinaire codé décimal (historique)Gros entiers (langages évoluées, logiciels spécialisés)Représentation symbolique (idem)

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Représentation des flottantsForme décimale des rationnels

Un signeUne partie entièreUne partie fractionnaireExemple : 12.9, 0.000419, -17.19

Forme normaliséeUn signeLa partie entière est nulleUne partie fractionnaire dont le premier chiffre 6= 0Une puissance de la baseExemples : 0.129× 102, 0.49× 10−3, −0.1719× 102

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Plan

1 Arithmétique informatique

2 Norme IEEE 754

3 Valeurs spéciales IEEE 754

4 Perte de précision

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Norme IEEE 754Forme normalisés en base 2

Forme normalisé selon 1.f × 2e

f est la partie fractionnaire (ou mantisse)e est l’exposant de la puissance de 2

AttentionLe premier 1 n’est pas stocké mais est présentUn bit supplémentaire stocke le signe (pas dereprésentation en complément)Deux représentations : simple précision et doubleprécision

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Simple précision (32 bits)Signe (1 bit)

0 = positif1 = négatif

Exposant (8 bits)0016 et FF16 : spécial (plus tard)0116 à FE16 : 2−126 à 2127

7F16 : 20 = 1 (on appelle ça le pôle)

Mantisse (23 bits)Représentation traditionnelleNe pas oublier le « 1, » implicite devant

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Décimal vers simple précision

Exemple−17.2510 = −10001.012 = −1.0001012 ∗ 24

Soit 1 10000011 00010100000000000000000

ExercicesConvertir 0.125Convertir 0.2

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Simple précision vers décimal

Exemple01000001001001000000000000000000signe = 0 → positifexposant = 100000102 → 130− 127 = 3mantisse = 01001000000000000000000 → 1.010012

résultat = +1.010012 × 23 = 1010.012 = 10.2510

ExerciceConvertir 01000100100000000000000000000000

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4 Perte de précision

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Valeurs spéciales

Cas particuliersZéroValeurs négatives trop petitesValeurs négatives trop proches de zéroValeurs positives trop grandesValeurs positives trop proches de zéro

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Valeur zéro

Pas de représentation normaliséeOn ne peut écrire 0 avec un "1," implicite

Représentation dénormaliséeSi la mantisse et l’exposant sont tous à zéro, lenombre vaut zéro

Deux zéro+0 et -0 ont des représentations différentes

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Infini

Utilisé pour les valeurs extrêmesMantisse à 0Exposant à FF16

Le signe indique +∞ ou −∞

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Nombres dénormalisés

Nombres proches de 0La mantisse n’a plus un "1," implicite mais un "0,"L’exposant est à 0016 (vaut 2−126)

Exemple0 0000000 00000000000000000000001vaut +0, 00000000000000000000001× 2−126

(soit 2−149, de l’ordre de 10−45)

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Pas des nombres

NaN (not a number)Représente des résultats erronéesRacine carré d’un négatif

CodageSigne quelconqueExposant à FF16

Mantisse 6= 0

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Table récapitulative

Type Exposant MantisseZéros 0 0Dénormalisés 0 6= 0Normalisés 0116 à FE16 libreInfinis FF16 0NaN FF16 6= 0

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Double précision (64 bits)

Pareil mais plus grandSigne : 1 bitExposant : 11 bitsPôle : 1023 (3FF16)Mantisse : 52 bits

Aujourd’huiPersonne n’utilise les simple précision (float)Tout le monde utilise des double précision (double)

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Plan

1 Arithmétique informatique

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3 Valeurs spéciales IEEE 754

4 Perte de précision

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Perte de précision

ProblèmeOn ne peut représenter tous les rationnelsIl y a donc des valeurs non représentablesContrairement aux entiers, ces valeurs ne sont pasqu’aux extrémitées

Travailler avec des flottantsSavoir que les flottants ne sont pas précisSavoir comment minimiser l’impact de cetteimprécision

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Représentation infinieRationnels infinis

Certains rationnels ont une représentation finie endécimal mais infinie en binaireExemple : 0.210

TronquageOn tronque la mantisseExemple : 0.2 sera représenté par0.20000000298023223876953125

Cette perte d’information se combine0.37 + 0.2 = ?

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Valeurs incommensurables

Les gros mangent les petitsAdditionner (soustraire) deux flottants de magnitudestrès différentes n’est pas une bonne idée

Exemple1E15 + 1E-15 = ?

SolutionTraiter les nombres par groupe de magnitude

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Comparaison

Comparer c’est se tromperLa comparer par l’égalité de deux flottants n’est pasrobuste0.37 + 0.2 - 0.57 == 0 → ?

SolutionComparer les distanceMath.abs(0.37 + 0.2 − 0.57) < epsilonoù epsilon est une constante (petite) sémantique auprogramme

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Variations architecturales

ProcesseursDes processeurs ne respectent pas IEEE 754Exemple : les processeurs Intel stockent les flottantssur 80 bits (plus de précision)

EffetEn fonction du processeur, un programme peut avoirdes résultats différents

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Utiliser la bonne représentationEntiers exacts

Utiliser des entiers processeur si les entiers sont petitsUtiliser des bibliothèques si les entiers sont grands

Décimaux exactsUtiliser des entiers aussiExemple : stocker les prix en cents avec un entier

Décimaux largesUtiliser des doublesPrudence vis-à-vis de la perte de précisionNe faire confiance à personne

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