ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE MODERNES

« EUCLIDE » INTRODUCTION AUX ÉTUDES SCIENTIFIQUES

Collection fondée par CHARLES MAURAIN et MAURICE CAULLERY

Membres de l'Institut

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PREMIÈRE SECTION :

Mathématiques et Astronomie mathémat ique dirigée par Daniel DUGUÉ

Professeur à la Sorbonne Directeur de l'Institut de Statistique

DEUXIÈME SECTION :

Physique du Globe, Astronomie physique et Sciences de la Terre

dirigée par Charles MAURAIN Membre de l'Institut

TROISIÈME SECTION :

Physique dirigée par (t) Gustave RIBAUD

Membre de l'Institut

QUATRIÈME SECTION : Chimie

dirigée par (t) Louis HACKSPILL Membre de l'Institul

CINQUIÈME SECTION :

Biologie animale dirigée par X

SIXIÈME SECTION :

Biologie végétale et Agronomie dirigée par Roger BLAIS

Directeur de l'Institut National Agronomique

« EUCLIDE » INTRODUCTION AUX ÉTUDES SCIENTIFIQUES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIE MATHÉMATIQUE

SECTION DIRIGÉE PAR DANIEL DUGUÉ

ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

MODERNES par

Albert CHA TELET Doyen honoraire de la Faculté des Sciences de Paris

TOME PREMIER - NOTIONS FONDAMENTALES — GROUPES

DEUXIÈME ÉDITION

PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE 108, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, PARIS

1966

ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE MODERNES

par ALBERT CHATELET

TOME PREMIER Notions fondamentales - Groupes

TOME II Anneaux et corps - Idéaux et divisibilité

TOME III Idéaux dans un domaine d'intégrité

Algèbre et arithmétique linéaires

DÉPOT LÉGAL 1 édition .. .. .. 1 trimestre 1954 2 — . . . . . . 2 — 1966

TOUS DROITS de traduction, de reproduction et d'adaptation

réservés pour tous pays © 1954, Presses Universitaires de France

PRÉFACE

Allocution de M. Marc ZAMANSKY Doyen de la Faculté des Sciences de Paris

prononcée le 6 juin 1963 à l'occasion de l'inauguration du Centre Albert-Chatelet

L'œuvre scientifique d'Alberl Chatelet s'inscrit sous la grande rubrique : algèbre et théorie des nombres.

Le sujet de sa thèse se rattache au problème de la meilleure approximation de deux nombres donnés par des fractions de même dénominateur, dont le grand Hermite disait que depuis cinquante ans ce problème ne cessait de le préoccuper et de le désespérer. A. Chatelel met en évidence une structure périodique des approximations simultanées de deux irrationnelles d'un même corps cubique. Il généralise ainsi une propriété des nombres algébriques du second degré qu'on n'avait pas jusqu'alors réussi à étendre. La méthode de Chatelet s'étend à des irrationnelles réelles d'un même corps algé- brique. Celle méthode use de tableaux qu'on appelle aujourd'hui matrices et la thèse de Chatelet a contribué à répandre leur emploi.

Par la suite Chatelet étudie naturellement les relations entre calcul matriciel et calcul des nombres algébriques, ce qui lui permet de mettre en évidence un aspect nouveau de la théorie des idéaux dans les nombres algébriques. L'aspect géométrique de la théorie des nombres algébriques dû à Minkowski est alors associé à l'emploi des matrices. Chatelet caractérise alors les groupes abéliens finis, étudie les équations algébriques dont le groupe de Galois est abélien. Un travail sur les corps quadratiques vient d'être édité par son fils

François Chatelet. Il faut encore signaler ses travaux sur les suites de composition de Jordan-Holder où il emploie la théorie des treillis d peine connue à l'époque.

Son activité de savant ne peut être dissociée de l'intérêt actif qu'il a toujours porté d l'enseignement et à la diffusion des mathématiques. On lui doit la publication du cinquième tome des œuvres de Henri Poincaré. Son traité d'algèbre, son cours sur le calcul vectoriel qui préparent l'avènement de l'algèbre linéaire dans l'enseignement attestent de la manière brillante avec laquelle A. Chatelet donnait une vie aux mathématiques, même celles que le grand public consi- dère comme les plus abstraites. Ses talents de professeur passionné des questions d'enseignement le font désigner à la présidence de la commission interministérielle chargée d'étudier les programmes des enseignements de 1 cycle des Facultés et des concours d'entrée aux grandes écoles scientifiques. On lui doit ce rapprochement, une meilleure connaissance de ces deux types d'enseignements voisins, une modernisation des programmes des concours d'entrée et la démonstration du rôle de pilote que joue l'Enseignement Supérieur.

Albert CHATELET, Doyen En février 1949 Albert Chaielel succède d Jean Cabannes au

poste de Doyen de la Faculté des Sciences de Paris. Il occupera ce poste jusqu'en 1954. Il met au service de la Faculté et de l'Université son dévouement, sa compétence, sa combativité. La présence d'une épouse admirable, l'entourage de ses neuf fils et filles constituèrent certainement le climat qui lui permit ce grand décanat et dans notre gratitude d l'égard -d'Albert Chalelet nous mêlons intimement sa famille.

Le poste de Doyen devint davantage avec Albert Chatelet un poste de combat créateur. Il l'occupé avec beaucoup de fermeté à laquelle il alliait un sourire malicieux, le sourire d'un homme solide à la magnifique carrure, parfaitement équilibré, aussi à l'aise dans la guerre de mouvement que dans la diplomatie.

Quelques chiffres montrent ce que la Faculté des Sciences de Paris devint sous son décanal.

Le budget passe de 1 730 000 F à 8 800 000 F. Le nombre d'étudiants atteint 10 600 en 1953 (il était de 390

en 1890, 4 500 en 1940). Au cours de la période quinquennale de 1949-1953, 850 thèses et diplômes de toutes catégories sont soutenus au lieu de 527 dans la période précédente (et 10 en 1815-1820).

En 1954 la Faculté comprend 80 professeurs. Pour un Doyen les problèmes sont des problèmes élémentaires

et chacun sait que ce sont les plus difficiles à résoudre : hommes, cré- dits, bâtiments.

On doit à Chatelet d'avoir démontré combien ces trois aspects sont inséparables. Il a soulevé des montagnes, et emporté l'adhésion de la Direction de l'Enseignement Supérieur à une politique d'expansion.

Il construit partout où il peut. Il occupe un sous-sol, surélève l'Institut Henri-Poincaré d'un étage, transforme le laboratoire de Chimie biologique, agrandit le laboratoire d'évolution des êtres orga- nisés, affecte à la physique de l'atmosphère la station du Val- Joyeux. On lui doit la première emprise sur la Halle aux Vins, devenue enfin domaine de la Faculté. On lui doit l'implantalion de grands services dans le très beau cadre d'Orsay où désormais vit et prospère un ensemble dont l'importance ne fait que croître.

Mais on lui doit aussi la station d'écologie des Eyzies, l'aide apportée au laboratoire de Roscoff, les projets de transformation el d'agrandissement de la grande slation de Banyuls, dotée grâce à lui d'un navire de recherches océanographiques, le rattachement à la Faculté du laboratoire zoologique de Villefranche-sur-Mer. Albert Chatelet avait vu l'importance pour la Faculté de posséder des labo- ratoire extérieurs spécialisés ; la vocation d'une Faculté des Sciences est de s'intéresser à tout, partout; le doyen Chatelet a donné à la Faculté les moyens de celle vocation.

On doit aussi à Albert Chalelet l'apparition de cours libres préfigurant le 3e cycle actuel. Il s'agil, si l'on peut dire, du produit

direct des laboratoires de recherches, de la mise à jour permanente des connaissances avec la collaboration de savants étrangers que sous son décanat on voit de plus en plus nombreux à la Faculté.

Organisation de cours nouveaux, modification de programmes, nouvelles méthodes administratives par déconcentration, partout il a laissé sa marque.

Tâches apparemment humbles; ce furent les tâches du Doyen. Albert Chatelet portait son attention à tous les aspects car aucun n'est mineur. Il savait qu'une modification de détail peut avoir quelques années plus tard des conséquences considérables.

Cela lui fut possible parce qu'il avait une vision de la vie de l'Université à laquelle tout devait être rapporté.

C'est probablement ici que nous devons chercher l'explication de son œuvre, de son rayonnement. J'en parle avec émotion car j'ai eu la joie de connaître Albert Chatelet. Permettez-moi de réserver quelques instants à l'intimité. Des conversations que j'avais parfois avec lui dans son bureau de la Faculté, à son domicile, devant l'Ins- titut Henri-Poincaré, au lycée Montaigne où il présidait la commis- sion qui portait son nom, j'ai gardé le souvenir d'une vie de l'Uni- versité dont il paraissait le dépositaire. Sa stature lui permettait de porter sans peiner le poids de plusieurs siècles d'histoire d travers lesquels lui apparaissaient l'unité et l'universalité de. l'esprit ; à travers lesquels aussi il portait témoignage du caractère essentiel de l'Université qui ne crée chaque jour que pour la. génération suivante, qui est chaque jour l'enfant émerveillé d'une nouveauté el chaque jour l'homme du lendemain riche du passé créateur des hommes. Albert Chatelet a vaincu la règle par la vie, la raison administrative par la passion de la jeuneçse. Il fut un Doyen de vie et de foi;

« Ce sont ces diverses routes qui ouvrent les conséquences nouvelles et qui par des énon- ciations assorties au sujet lient des propositions qui semblaient n'avoir aucun rapport dans les termes où elles étaient considérées d'abord... »

B. PASCAL, Traité du triangle arithmétique.

INTRODUCTION

Le développement de l'Algèbre et de l'Arithmétique a été considérable pendant ce premier demi-siècle ; il n'a fait d'ailleurs que continuer les profondes recherches et les remarquables décou- vertes du siècle précédent ; d'une part en les élargissant, d'autre part en les rapprochant les unes des autres.

En plus de multiples mémoires originaux, dont font foi d'abondantes bibliographies, de nombreux traités méthodiques ont paru ces dernières années. On trouvera, au chapitre II (§ 1) une longue liste d'ouvrages sur la théorie des Groupes et, dans le cours du livre, des indications de publications sur des théories particulières (lattices ou treillis ; structures ; anneaux ; algèbres ; systèmes de nombres hypercomplexes ; idéaux ; matrices ; théorie de GALOIS ; nombres algébriques ; théorie des nombres ; ...).

La Moderne Algebra de B. L. VAN DER WAERDEN (1930-31) qui embrasse presque tous les aspects de l'Algèbre moderne a connu un grand succès : la 3e édition est en cours de publication et une traduction en langue anglaise a paru en 1949 (par F. BLUM et T. J. BENAC, d'après la 2E édition allemande). Il convient d'en rapprocher la Ilôhere Algebra de H. HASSE (1933-37) et la Modern Higher Algebra de A. A. ALBERT (1936). Il est également intéressant de signaler la parution récente de livres de caractère relativement élémentaire : An Introduction to Absiracl Algebra

de MAC DUFFEE (1940) ; Introduction to Algebraic Theories de A. ALBERT (1941) ; A Survey of Modem Algebra de G. BIR- KHOFF et de S. MAC LA NE (1941) ; Rings and Ideals de H. McCoy (1948) ; Higher Algebra for the Undergraduate de M. J. WEISS (1948) ; Leclures in Abslracl Algebra ; Vol. 1, Basic Concepts de N. JACOBSON (1951).

Il existe aussi d'importantes publications, peut-être plus tardives, en langue française. Dans les Éléments de Mathéma- tique (en cours de rédaction) de N. BOURBAKI, l'Algèbre comporte déjà 7 chapitres (5 fascicules de 1942 à 1952) et on peut y ratta- cher le Fascicule de résultats de la Théorie des ensembles (1939), ainsi que de nombreux raisonnements des chapitres parus sur la Topologie et sur les Fonctions d'une variable réelle.

Dans un petit traité d'Algèbre abstraite (1936), 0. ORE a présenté quelques-uns des problèmes et des résultats les plus impor- tants. Un livre de G. VERRIEST (1939), quoique plus spécialement consacré à la Théorie des groupes et à la Théorie des équalions selon GALOIS, n'en utilise pas moins quelques-uns des concepts récents de l'Algèbre.

P. DUBREIL a fait paraître, en 1946, le premier tome d'une Algèbre, où il s'est interposé aussi peu que possible entre le lecteur el la vaste littérature algébrique actuelle.

Le Livre d'Arithmétique et Algèbre modernes, que les Presses Universitaires de France ont bien voulu accueillir dans la collection « Euclide », section dirigée par J. CHAZY, s'est inspiré largement de ces devanciers, aussi bien étrangers que français. Il est le résultat de dix années de Cours, à la Sorbonne, dans un enseignement, puis dans une Chaire (créés à la demande de la Faculté des Sciences). Quoique les sujets en aient été variables, avec les années, ils ont presque tous comporté une partie commune d'algèbre abstraite, assurée souvent avec la collaboration de P. DUBREIL. Quelques rédactions polycopiées (1945 et 1947 ; 1949-50 ; 1951-52) ont précédé l'actuelle mise au point.

Les tomes II et III dont l'élaboration est achevée compor- teront chacun deux chapitres : « Anneaux et corps. Idéaux et divisibilité. » « Algèbre et arithmétique linéaires. Extensions finies des corps. »

Une des légères difficultés de l'Algèbre moderne est une certaine instabilité du vocabulaire et une multiplicité de notations et de termes, nouveaux et synonymes. C'est la rançon de l'abon- dance des progrès : chaque auteur apportant avec ses découvertes les mots et les signes qui lui sont personnels. J'ai essayé de remédier partiellement à cet inconvénient : en plus d'un lexique important, j'ai indiqué, au cours du texte, de nombreux renvois et, souvent même, des rappels des définitions ou des propriétés caractéristiques des notions utilisées. Pour l'introduction de ces notions elles-mêmes, j'ai essayé de me limiter à celles qui pouvaient avoir des applications dans la suite des exposés prévus.

J'espère qu'ainsi un lecteur, un peu averti, pourra utiliser un paragraphe du Livre, ou même certains numéros, sans être obligé ni d'étudier, ni même de lire méthodiquement, tout ce qui précède ; il trouvera notamment, pour les notions importantes, des définitions direcles (parfois surabondantes). J'ai essayé aussi de limiter les énoncés de théorèmes à des propriétés essentielles qui puissent permettre à tout mathématicien d'en retrouver, sans peine, les multiples conséquences. C'est dans le même but que chaque théorème important est donné avec un titre qui rappelle son contenu et que la table des matières comporte un sommaire.

Les paragraphes (§) sont suivis de Commentaires qui donnent quelques indications, mi-historiques, mi-bibliographiques, mais qui sont surtout destinés à esquisser l'évolution des idées aboutis- sant aux conceptions actuelles. Ils sont aussi complétés par des exercices ; certains sont des illustrations des théories du texte, ils

en indiquent des applications possibles à des exemples concrets et à des propriétés connues ; ils montrent la nécessité de certaines restrictions et de certaines exceptions ; j'espère qu'ils diminueront un peu l'abstraction apparente des exposés. D'autres sont des amorces de généralisations, ou des indications de raisonnements que le lecteur rétablira aisément dans leur intégralité.

Je serais injuste si je ne disais tout ce que ce Livre doit aux Professeurs, aux Chercheurs et aux Étudiants, qui depuis cinq ans participent au Séminaire d'Algèbre de la Faculté des Sciences et y ont fait des exposés, soit sur des théories récentes, soit sur des travaux originaux, soit sur leurs recherches personnelles. Je ne saurais trop remercier mon collègue et ami P. DUBREIL, qui a été le véritable animateur de ce Séminaire. Le travail en commun ainsi réalisé et les thèses de doctorat nombreuses qu'il a inspirées ou animées sont la preuve du renouveau dont jouit maintenant, en France, la Science algébrique et arithmétique.

A. C.

Les renvois au cours du texte et dans l'index indiquent le chapitre et le numéro dans ce chapitre.

CHAPITRE PREMIER

NOTIONS FONDAMENTALES

§ 1. Notations et vocabulaires du raisonnement. § 2. Algèbre des ensembles. § 3. Treillis d'ensembles. § 4-1. Correspondances. § 4-2. Opérations.

« ... plus on s'élève en mathématiques, plus on a affaire à des êtres purement logiques, à des symboles, plus on va vers une logique formelle c'est-à-dire vers le simple... »

H. LEBESGUE, Entretiens de Zurich, déc. 1938.

§ 1. NOTATIONS ET VOCABULAIRE DU RAISONNEMENT

Dans ce paragraphe, je rappelle seulement quelques notations et quelques termes du vocabulaire de la Logique, plus ou moins utilisés actuellement en Mathématiques, et plus spécialement en Algèbre. J'énonce aussi quelques « lois logiques », considérées souvent comme évidentes (et utilisées implicitement) ; je ne cherche pas à distinguer méthodiquement celles qu'on peut considérer comme des axiomes et celles qu'on peut démontrer comme des conséquences de ces axiomes.

Je rappelle seulement que, dans ces premières notions de Logique, comme dans les premières notions d'Algèbre qui suivront, certains êtres —ou certains noms— ne peuvent être définis seuls, mais seule- ment par une définition collective, constituée par des relations entre plusieurs de ces êtres —ou de ces noms—.

1. Implication. — Une flèche, placée entre deux relations (1) —ou conditions— (énoncées ou formulées), considérées dans une théorie —ou avec des circonstances préalables- :

{relation 1} -» {relation 2} désigne une implication, c'est-à-dire un jugement, exprimé par l'un des énoncés suivants, qui sont équivalents —ou syno- nymes— : la relation 1, appelée hypothèse, entraîne —ou implique— la

relation 2, appelée conséquence — ou conclusion— ; si {rel. 1} est vraie, {rel. 2} est vraie ; pour que {rel. 1} soit vraie ; il est nécessaire —ou il faut— que

{rel. 2} soit vraie ; pour que {rel. 2} soit vraie, il suffit que {rel. 1} soit vraie.

(1) Certains logisticiens emploient le terme proposition, au lieu de relation. Cependant une relation, au sens logique, peut être une conjonction (ou une disjonction) (1-5), de plusieurs propositions, au sens grammatical.

Le mot « vrai » est ainsi utilisé pour expliquer —ou servir de synonyme— à l'implication. Inversement l'implication peut servir à expliquer —sinon à définir- la vérité (mathématique).

Dans une théorie, dont le fondement (système —ou conjonc- tion— de définitions, conventions et hypothèses) est une relation (complexe), une relation est vraie quand (et seulement quand) elle est impliquée par le fondement (1).

L'implication est réflexive (une relation s'implique elle-même) ; elle est transitive (pour le sens général de ces qualificatifs, voir 1-31) :

{rel. 1 -> rel. 2 et rel. 2 -> rel. 3} {rel. 1 -> rel. 3}.

2. Équivalence (logique). — Deux relations sont équivalentes, dans une théorie, et peuvent se remplacer mutuellement dans tout raisonnement de cette théorie, lorsque chacune d'elles implique l'autre —ou en est une condilion nécessaire (conclusion) et suffisante (hypothèse)—. Cette implication mutuelle est dési- gnée par une double flèche :

Elle est souvent exprimée par l'un des énoncés suivants (qui sont eux-mêmes équivalents) et dans lesquels 1 et 2 peuvent être transposés —ou permutés— :

pour que {rel. 1} soit vraie, il faut et il suffit que {rel. 2} soit vraie ;

{rel. 1} est vraie si et seulement si {rel. 2} est vraie. On désigne parfois (abusivement) une équivalence par la

seule conjonction lorsque, ou quand, ou même si (en sous-enten-

(1) La vérité (mathématique) est ainsi une notion essentiellement relative ; elle dépend du fondement, souvent admis implicitement. Certains théorèmes de géométrie sont vrais en géométrie euclidienne ; ou en géométrie archimé- dienne... ; certaines propriétés des polynômes sont vraies pour certains domaines de coefficients (qui ne sont pas toujours des ensembles de « nombres »)... (Ex. 1.}.

dant « et seulement »). Cet emploi est notamment fréquent dans les définitions.

La synonymie d'expression —ou de termes— est une équivalence (sous-entendu : de définitions ou de vocabulaires). Des définitions (équivalentes) sont aussi appelées propriétés caractéristiques de l'être défini.

L'équivalence est, comme les implications qui la définissent, réflexive et transitive ; elle est en outre symétrique : chacune des deux relations est équivalente à l'autre.

3. Récurrence. — Le raisonnement par récurrence, fréquem- ment utilisé en Arithmétique et en Algèbre, peut être exprimé par la propriété (de logique) suivante, souvent considérée comme un des axiomes de l'arithmétique :

Si, dans une suite (finie ou dénombrable), numérotée, par un entier (positif) i, de relations, considérées dans une théorie, chaque relation implique la suivante :

{rel. i -> rel. i + l}; (quel que soit i) et si la première relation de la suite est vraie, toute relalion de la suite est vraie (1).

Pour une suite de deux relations (la théorie constituant une circonstance préalable permettant d'exprimer la vérité par une implication) cette loi de récurrence devient une forme de la transitivité de l'implication, ou du syllogisme :

{rel. 2 vraie et rel. 2 -> rel. 3} -> {rel. 3 vraie}.

(1) Cet énoncé comporte l'emploi des ternies : numéro, suivant et suite; premier, tout et chaque, qui font partie du vocabulaire de l'arithmétique, et qu'il faudrait, en toute rigueur, expliquer —sinon définir— préalablement (voir les ex. 5-1 à 5-7).

A. DENJOY, dont on connaît les importants travaux sur « l'énumération (transfinie) », pense que cet énoncé peut être démontré comme conséquence de propriétés —ou axiomes— des ensembles (exposé fait à la Soc. malh. de France (1948) et Congrès de Philosophie des Sc., 1951).

On sait d'autre part l'importance attribuée par II. POINCARÉ, à l'emploi du raisonnement par récurrence.

On retrouve l'expression de la transitivité, en remplaçant l'affir- mation de la vérité par l'implication par le fondement de la théorie, considéré comme une relation numérotée 1.

4. Absurde et contradictoires. — Le raisonnement par l'absurde utilise, plus ou moins explicitement, les contradictoires des rela- tions considérées, dont l'existence semble être une hypothèse de la théorie.

Deux relations 1 et l' sont contradictoires, dans une théorie (*) lorsqu'elles vérifient (la conjonction de) les deux relations sui- vantes qui sont symétriques (chaque relation est contradictoire de l'autre) :

{rel. 1 et rel. 1'} est absurde {rel. 1 ou rel. 1'} est vraie (dans la théorie).

Cette définition peut encore être exprimée par une alter- native :

ou bien rel. 1 est vraie ; ou bien rel. l' est vraie. Dans cette définition, la vérité a, comme il a été dit, un caractère

relatif ; c'est une implication par le fondement de la théorie. Par contre l'absurde a un caractère général, il peut être caractérisé

comme étant une relation telle que : sa conjonction avec une autre relation est équivalente à l'absurde ; sa disjonction avec une autre relation est équivalente à cette rela- tion :

{rel. et absurde} absurde ; {rel. ou absurde} rel.

L'emploi des contradictoires est fait, implicitement ou explicitement, par l'application de la loi —ou la règle— de contraposition.

(1) On admet parfois que, dans toute théorie, toute relation a une contra- dictoire ; par exemple toute « définition d'un mode d'égalité » entraîne l'exis- tence de l'inégalité (contradictoire). On peut aussi considérer que cette existence est une hypothèse complémentaire de la théorie qui, dans certains cas, peut être abandonnée : on peut concevoir qu'il existe des nombres dont on ne sait pas « vérifier » s'ils sont égaux ou inégaux.

On peut remplacer une implication de relations par l'impli- cation « renversée » —ou converse— de leurs contradictoires (Ex. 3) (i) :

{rel. 1 -> rel. 2} (contr. 2 —> contr. 1}. La contraposition peut aussi être appliquée partiellement à

un seul terme d'une conjonction de relations {rel. f et rel. 1} —> rel. 2

{rel. f et contr. 2} -> contr. 1. En pratique, c'est toujours une contraposition partielle (2)

qui est appliquée : la relation f étant le fondement de la théorie —ou la conjonction des circonstances préalables— (Ex. 7). Ceci peut d'ailleurs être mis en évidence en écrivant les impli- cations (équivalentes) sous les formes qui résultent de la loi d'importation-exportation (1-6) :

rel. f -> {rel. 1 -> rel. 2} ; rel. f → {contr. 2 → contr. 1}. En particulier pour démontrer une équivalence de deux

relations dans une théorie, il est assez fréquent d'établir direc- tement l'une des implications (dans la théorie, ou comme consé- quence du fondement), puis d'établir la contraposée de l'autre (Ex. 4) :

rel. 1 rel. 2. ou {rel. 1 —> rel. 2 el re 1. 2 rel. 1} peut ètre remplacée par :

{rel. 1 -> rel. 2} el {contr. 1 > contr. 2}.

5. Conjonction et disjonction. — On a déjà utilisé ci-dessus les notions (qui sont corrélatives) de conjonction et disjonction

(1) On peut « démontrer » la loi de contraposition, en utilisant certaines règles et certains axiomes de la logique, dont, bien entendu, la définition de l'absurde.

(2) On peut aussi bien démontrer la loi de contraposition partielle que la loi totale.

de relations, en les désignant par les conjonctions grammaticales et, ou (la seconde n'ayant pas, bien entendu, le sens d'alterna- tive) (1).

On peut les considérer comme des opérations internes (1-46) dans l'ensemble des relations d'une théorie (la conjonction ou la disjonction de deux relations d'une théorie est encore une relation de cette théorie). Il en résulte qu'on peut construire, par récur- rence, la conjonction et la disjonction d'un système d'un nombre quelconque (fini) de relations d'une théorie.

On applique intuitivement leurs qualités d'associativité, de commutativité et de tautologie (pour le sens général de ces termes voir 1-45 et 46). Dans la conjonction ou la disjonction d'un sys- tème (fini) de relations, on peut : permuter les termes, d'une façon quelconque ; associer certains d'entre eux et les remplacer par le résultat de leur conjonction ou disjonction (suivant le cas) ; supprimer un terme qui est équivalent à un autre. Ces modifications remplacent le résultat primitif par une relation équivalente (Ex. 2).

La contradictoire du résullat d'une opération (conjonction ou disjonction), sur un système de relations, est équivalente au résullat de l'opération corrélative (disjonction ou conjonction), sur les contradictoires des relations primitives.

contr. {rel. 1 et rel. 2} ⇄ {contr. 1 ou contr. 2} contr. {rel. 1 ou rel. 2} ⇄ {contr. 1 et contr. 2}.

Ces formules sont équivalentes, en raison de la symétrie de la contra- diction. Elles peuvent être justifiées par la définition des contradictoires en appliquant les lois de la logique indiquées ci-dessous.

Elles peuvent être utilisées pour passer d'une loi à sa corrélative ; il suffit d'en prendre la contraposée et d'y remplacer les contradictoires des relations arbitraires par les relations arbitraires.

(1) Certains logisticiens emploient : eX pour et ; V (initiale de vel) pour ou

6. Lois de la logique. — En plus de l'emploi qui a déjà été fait des opérations (transitivité de l'implication et expression de la récurrence ; définition de l'équivalence et de la contradiction), leurs relations avec l'implication peuvent être exprimées par un certain nombre de lois corrélatives (Ex. 7), plus ou moins intui- tives. Elles sont exprimées ci-dessous pour des couples de rela- tions arbitraires, numérotées 1 et 2 ; elles s'étendent, par récur- rence, à un nombre quelconque de relations, numérotées de 1 à n.

Implication des constituants : {rel. 1 et rel. 2} -> rel. i ; rel. i {rel. 1 ou rel. 2}

(i peut être remplacé par 1 ou 2 ; dans l'extension à une opé- ration sur n relations, il peut être remplacé par un nombre quelconque de 1 à n).

Distributivité de l'implication, relativement aux opérations (plus précisément à la conjonction des conclusions et à la disjonc- tion des hypothèses) :

{h rel. 1 et h rel. 2} {h {rel. 1 et rel. 2}} {rel. 1 -> c et rel. 2 c} {{rel. 1 ou rel. 2} -> c}.

De ces deux lois et de la transitivité de l'implication, on déduit aisément une loi de combinaison terme à terme, de deux implications (Ex. 6) :

Distributivité mutuelle des opérations ; chaque opération est distributive (1-47), relativement à l'autre :

[{rel. 1 et rel. 2} ou h] [{rel. 1 ou h} et {rel. 2 ou h}] [{rel. 1 ou rel. 2} et hl [{rel. 1 et h} ou {rel. 2 et h}]. Les implications gauche-droite de la première formule et droite-

gauche de la deuxième sont des conséquences corrélatives des lois pré- cédentes (Ex. 8). Les implications converses (droite-gauche et gauche-

droite) qui sont aussi corrélatives l'une de l'autre (Ex. 9) peuvent être considérées comme des postulats de la logique. Elles sont, peut-être, plus évidentes dans l'application —ou l'illustration— qui en est faite ci-dessous aux opérations de réunion et d'intersection des ensembles (1-17). Elles sont aussi des conséquences de la loi suivante (Ex. 10 et 11).

Loi d'importation-exportation ; c'est une loi formelle, qui, à une implication par une conjonction d'hypothèses, substitue une succession d'implications :

[{rel. 1 et rel. 1'} → rel. 2] ⇄ [rel. 1 → {rel. l' → rel. 2}].

En passant du premier membre au second, il y a exportation d'une des relations de la conjonction hypothèse (qui peut être d'ailleurs indif- féremment 1 ou 1'). En passant du second membre au premier, il y a importation, de la deuxième hypothèse, dans une conjonction avec la première.

La possibilité de permutation de 1 et 1' donne la loi : [1 → {1' → 2}] ⇄ [1' → {1 → 2}].

En appliquant l'exportation à la loi du syllogisme (1-1 et 3), on peut l'exprimer sans utiliser la conjonction :

(rel. 1 -> rel. 2} -» [{rel. 2 -> rel. 3} -> {rel. 1 -» rel. 3}].

7. Signes de totalité et d'existence. — J'indique encore, en considérant comme intuitives leur signification et leurs propriétés, l'usage des deux signes corrélatifs :

Toul (x) ; Exisle (x) ; en abrégé Ex. x ; ou (3).

Ils quanlifient une relation qui « dépend » d'une variable x, définie dans un certain domaine de variation —ou représentant des éléments de ce domaine—, qui est un ensemble. (Ex. 13.) Leur étude se rattache ainsi à celle des ensembles et de l'appar- tenance.

Ce sont des abréviations de : pour toute valeur de (la variable) x, la relation est vraie... il exisle (au moins) une valeur de x, telle que la relation soit vraie...

I] peut être commode d'utiliser explicitement l'appartenance (1-8) au domaine E, de variation de x : la totalité est alors exprimée par une hypothèse d'appartenance :

{Tout x, rel. x} ⇄ {x ∈ E → rel. x} ; l'existence est une possibilité (d'une conséquence c, non absurde)

{Ex. x, rel. x} ⇄ [{x ∈ E et rel. xl -> rel. c].

Si le domaine de variation (de la variable) est un domaine d'un nombre fini n, de valeurs qu'on peut numéroter de 1 à n, ces signes sont des abréviations d'une conjonction ou d'une disjonction :

Les lois des opérations, étendues par récurrence de 2 et 3 à n, se généralisent pour les signes de quantification, appliquées à un domaine d'un nombre quelconque (même infini) d'éléments.

Implication des constituants : si a est une valeur de x : {Tout x, rel. x} -> rel. a ; rel. a -> {Ex. x, rel. x}. Ce sont là des généralisations des lois pour un système fini (1-6),

ce sont aussi des relations évidentes —ou manifestement équi- valentes au sens intuitif des quantifications—.

Distributivité de l'implication, relativement aux quantifi- cations (totalité de la conclusion, ou existence de l'hypothèse) :

Pour qu'une même hypothèse h implique chaque relation d'un ensemble, il faut et il suffit que toutes les relations de l'ensemble soient vraies, pour que h soit vraie.

Pour qu'une même conclusion c soit impliquée par chaque relation x

d'un ensemble, il faut et il suffit que c soit vraie lorsqu'est vraie une relation quelconque de l'ensemble.

Ce sont encore des équivalences intuitives des quantifications. Relations avec la conlradiclion :

BIBLIOGRAPHIE FRANÇAISE SOMMAIRE (I, § 1)

Pour des développements plus complets de Logique et de Logistique je renvoie aux ouvrages spéciaux, dont j'indique ci-dessous quelques-uns parmi ceux de langue française. G. PEANO, Formulaire de mathématiques (1895-97 ; 1901-2-8). L. COUTURAT, L'algèbre de la logique ( 1 éd., 1905 ; 2e éd., 1914). L. ROUGIER, La structure des théories déductives (1921). G.-H. LUQUET, Logique formelle, I I Partie : La logique symbolique contem-

poraine (1925). S. ZAREMBA, La logique des mathématiques (1926). F. GONSETH, Les fondements des mathématiques, chap. X : « Les mathématiques

et la logique » (1926). J. HERBRAND, Recherches sur la théorie de la démonstration (Thèse de doctorat,

1930). A. REYMOND, Les principes de la logique et la critique contemporaine (1932). H. REICHENBACH, Introduction à la logistique (en vue de la Théorie des pro-

babilités, 1935), trad. franç. par H. SAVONNET (1939). Ch. SERRUS, Essai sur la signification de la logique, chap. IV : « La logique des

relations # (1939). ID., Traité de logique (1945). M. BOLL, Éléments de logique scientifique ( 1 éd., 1942 ; 2e éd., 1947). I. M. BOCHENSKI O. P., Précis de logique mathématique (1948). J. PIAGET, Traité de logique (1950). E. W. BETII, Les fondements logiques des mathématiques (1950). J. Dopp, Leçons de logique formelle (IIE et IIIE Parties : Loerique moderne)

(1950). P. DESTOUCHES-FEVRIER, La structure des lhéories physiques (1951). H.-B. CURRY, Leçons de logique algébrique (1952).

Je signale encore la Collection d'études en cours de publication : Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (Amsterdam).

EXERCICES (I, § 1)

1. Donner des conditions préalables (sens des lettres et de signes) aux formules :

{a = a'} → {a × b = a' × b} ; {a = a' ou b = 0} ⇄ {a × b = a' × b}.

2. La commutativité de la conjonction et de la disjonction étant admise pour 2 relations et l'associativité étant admise pour 3 relations, montrer, par application de la loi de récurrence, qu'elles sont vraies pour un nombre n entier quelconque, de relations.

3. Former la contraposée de l'implication (où x est un nombre réel) : x = 2 → x irrationnel ;

rappeler la démonstration de la propriété ainsi obtenue.

4. a et b étant des entiers positifs et p un nombre premier, on peut démontrer l'équivalence :

(a div. par p ou b div. par p) ⇄ (a × b div. par p) ;

(div. abréviation de divisible). En fait, on remplace l'implication droite-gauche par :

(a x b div. par p et a non div. par p) → (b div. par p).

Vérifier qu'on peut faire ce remplacement en prenant la contraposée, puis une contraposée partielle. Démontrer l'implication obtenue, pour p = 2, puis pour p quelconque, par récurrence sur le rang de p, dans les nombres premiers.

5. On admet, pour les nombres entiers, les propriétés suivantes (d'après B. L. VAN DER WAERDEN et G. PEANO) :

Pour tout nombre entier i, il existe un et un seul suivant, noté i+, dont il est le précédent. Le nombre 1 est le premier des nombres entiers c'est-à-dire n'est le suivant d'aucun nombre —ou n'a pas de précédent—. L'égalité de deux nombres entraîne celle de leurs précédents.

Des relations étant numérotées par des nombres entiers successifs et si chacune d'elles Ai implique sa suivante Ai+ et si en outre AI est vraie, chaque relation est vraie (principe du raisonnement par récurrence).

Ceci admis démontrer les propriétés suivantes. 5-1. Tout entier différent de 1 a un précédent déterminé (défini à une

égalité près).

5-2. L'addition de deux entiers étant une opération (de signe +) définie par la relation de récurrence :

i+ = i-fl ; i+j+ = (i+j)+;

démontrer qu'elle est définie, associative, commutative et aussi unipare, c'est-à- dire que

{a + i = a + i'} → i = i'.

5-3. La multiplication de deux entiers étant une opération, de signe X, définie par la relation de récurrence :

i x l = i ; i x (/+) = (i x /) + i ; démontrer qu'elle est distributive, pour l'addition des multiplicandes (de gauche), des multiplicateurs (de droite) ; associative ; commutative et unipare.

5-4. On définit une relation de comparaison entre les entiers par la condition : i < j {Ex. k, (entier) i+k = i}.

Vérifier que cette relation est transitive. On lui associe la relation réflexive : i ≤ j ⇄ {i < j ou i = j}.

Vérifier que cette relation est encore transitive. 5-5. Démontrer que si un système (fini) d'éléments est numéroté par des

entiers successifs, le dernier numéro n est indépendant de l'ordre adopté (c'est le nombre cardinal des éléments).

On pourra raisonner par récurrence sur n, en montrant que : (ex) Toute permutation —ou substitution- des éléments peut être

obtenue par une succession de transpositions ( 1-37), (récurrence sur le nombre n, trouvé par un premier numérotage) ;

(P) Le dernier numéro n ne change pas dans une transposition (on l'admettra pour le cas de n — 2).

5-6. Démontrer que tout ensemble d'entiers renferme un et un seul entier, au plus égal (au sens de la deuxième définition de 5-4) à tous les autres. On peut se ramener au cas d'un système d'un nombre fini de n éléments, puis raisonner par récurrence sur n.

5-7. Montrer qu'on peut compléter l'ensemble des entiers (positifs) par l'adjonction d'un nombre 0, qui soit le précédent de 1. Montrer que dans l'ensemble ainsi complété les opérations ont encore les mêmes qualités, à condition de poser :

i + 0 = i ; ix 0 = 0. 5-8. Démontrer que, pour tout couple de nombres entiers (positifs) a et b,

il existe un (et un seul) couple d'entiers (positifs ou nuls) q et r, tels que : a = b × q+r ; 0 ≤ r < b.

Raisonner par récurrence sur a, en examinant d'abord le cas de a plus petit que b.

5 bis. En admettant l'existence de la suite doublement illimitée des nombres entiers :

..., (-i), ..., (-1), 0, (+1), ..., (+i),... avec la relation, en deçà de 0 :

suivant de (—suivant de i) = (-i) ; reprendre les définitions et les démonstrations des exercices 5-1 à 5-4. Étendre la propriété de 5-8.

6. Démontrer les lois de combinaison terme à terme (1-6) en utilisant la transitivité de l'implication et les lois d'implication des constituants et de distributivité de l'implication.

7. Montrer que les couples de lois de l'implication des constituants, de la distributivité de l'implication et de la distributivité mutuelle des opérations sont respectivement corrélatives. On prendra pour cela la contraposée d'une des lois, en utilisant les règles de construction des contradictoires des opé- rations.

8. Démontrer les implications des lois de distribution : [{1 et 2} ou h] → [{1 ou h} et {2 ou h}] ; [{1 et h} ou {2 ou h}] → [{1 ou 2} et h.} ;

en utilisant la transitivité de l'implication, l'implication des constituants et la distributivité de l'implication. Mettre en évidence la corrélation des deux démonstrations (1, 2, h relations arbitraires).

9. Démontrer que l'une des équivalences de la loi de distributivité mutuelle entraîne l'autre. On pourra utiliser le fait que, dans une conjonction —ou une disjonction— de plusieurs relations, on peut supprimer l'une d'elles quand elle est impliquée par —ou qu'elle en implique— une autre ; (consé- quence de la tautologie, de l'associativité et de l'implication des constituants). Il n'est pas nécessaire d'utiliser les contradictoires.

10. En utilisant la loi d'exportation, démontrer la formule : h → [rel. i → {h et rel. i} ] ;

où h et rel. i sont des relations quelconques. En donnant à i deux valeurs 1 et 2 et en appliquant les lois précédentes de logique, démontrer l'implication :

h -> [{1 ou 2} —> {(1 et h) ou (2 et h)}] ; puis l'implication converse de la deuxième formule de l'exercice 8. Généraliser pour n valeurs de i.

Il. Établir la loi suivante, qui, en un certain sens, est la corrélative de la loi exportation-importation :

[rel. 2 —" {rel. 1 ou rel. 1'}] [contr. 1 -> {rel. 2 -> rel. 1'}].

On pourra appliquer la loi d'exportation à la contraposée du premier membre de cette formule, puis remplacer la dernière implication de l'expression obtenue par sa contraposée.

En utilisant cette loi, vérifier la formule : contr. h → [{rel. i ou h} → rel. i] ;

en utilisant un raisonnement analogue à celui de l'exercice précédent en déduire l'implication converse de la première formule de l'exercice 8.

12. Donner une justification de la loi de contraposition : en prenant pour hypothèse l'implication {rel. 1 -> rel. 2} et utilisant les propriétés de l'absurde, montrer que :

[{rel. 1 et contr. 2} ou contr. 1] —" contr. 1 ; puis appliquer au premier membre la loi de distributivité des opérations.

13. Énoncer quelques exemples d'existence en arithmétique : infinité de nombres premiers ; plus petit diviseur premier d'un nombre ; quotient et reste d'une division. Vérifier que ce sont les possibilités qui servent de pré- misses —ou hypothèses— pour d'autres propriétés.

14. Dans la généralisation de la loi de distributivité de l'implication relati- vement aux signes de totalité et d'existence ; exprimer ces signes au moyen d'une appartenance, puis appliquer la loi d'importation-exportation.

§ 2. ALGÈBRE DES ENSEMBLES

8. Ensemble et appartenance. — Les notions d'êlre, d'égalilé, d'ensemble (fini ou infini), d'apparlenance d'un être à un ensemble, sont indéfinissables séparément. Elles interviennent dans les raisonnements (elles-mêmes, ou par des locutions synonymes) au moyen de relalions (1-1), entre elles, et avec les notions de la logique.

L'appartenance d'un être a à un ensemble A est exprimée par l'une des formules, ou l'un des énoncés suivants, qui sont considérés comme synonymes —ou équivalents— entre eux : a E A ; l'être a appartient à l'ensemble A ; a est contenu dans A ; a est agrégé à A ; a est un élément -ou une quantité, ou un lerme- de A.

Un ensemble (d'un nombre d'éléments) fini sera, plus spéciale- ment, appelé un système et ses éléments en seront les termes.

Les termes d'un système peuvent être, soit numérotés, soit désignés individuellement (1), par une même lettre, affectée d'un indice :

ai ; i de 1 à n. L'appartenance peut alors être caractérisée par une disjonc-

lion d'égalilés (1-5 et 1-9) : x E A - {x = ax ou x = a2 ou ... ou x = anl.

(1) Cette désignation devient pratiquement impossible lorsque le nombre de termes, tout en étant fini, est trop grand ; d'où l'usage des points de « sus- pension ».

Ouoi qu'il en soit, on peut considérer que l'appartenance est, dans le cas fini une extension, et dans le cas infini une généralisation, d'une disjonction de deux (ou d'un petit nombre) d'égalités (1-7).

Collection « EUCLIDE » Guy EMSCHWILLER. — CHIMIE PHYSIQUE :

T. I F. 28 » T. II...... F. 32 » T. III... F. 50 » Jules HAAG. — LES MOUVEMENTS VIBRATOIRES :

T. I F. 18 » T. II F. 20 » Jean BARRIOL. — MÉCANIQUE QUANTIQUE F. 26 » Raymond QUELET. — PRÉCIS DE CHIMIE (S.P.C.N.) :

T. I F. 15 » T. II F. 12 » T. III F. 15 » Raymond QUELET. — CHIMIE PROPÉDEUTIQUE MÉDICALE F. 28 » Louis GENEVOIS. — TRAITÉ DE CHIMIE BIOLOGIQUE :

T. I.. F. 28 » T. Il : Jre Partie. F. 18 » 2' Partie. F. 22 » Jean CHAZY. — MÉCANIQUE CÉLESTE F. 18 » Jean BRICARD. — PHYSIQUE DES NUAGES F. 18 » Robert GUILLIEN. — ÉLECTRONIQUE :

T. I F. 44 » T. II F. 40 » T. III F. 34 » T. IV F. 36 »

Philippe L'HÉRITIER. — TRAITÉ DE GÉNÉTIQUE : T. I . . . (en réimp.) T. II. (en réimp.) T. III. (en préparation)

Albert CHATELET. — ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE MO- DERNES : T. I.. F. 26 » T. II.. F. 22 » T. III.. F. 34 »

Georges VALIRON. — FONCTIONS ANALYTIQUES F. 18 » Édouard BOUREAU. — ANATOMIE VÉGÉTALE :

T. I F. 24 » T. II..... F. 15 »> T. III F. 15 » Maurice JANET. — PRÉCIS DE CALCUL MATRICIEL ET DE

CALCUL OPÉRATIONNEL F. 22 » Léon HIRTH et Joseph STOLKOWSKI. — BIOLOGIE CELLU-

LAIRE F. 48 » Henry WAHL. — PRÉCIS DES MATIÈRES COLORANTES

SYNTHÉTIQUES : T. 1 F. 24 » T. II F. 28 » T. III (en préparation) Louis HACKSPILL, Jean BESSON et Albert HÉROLD. — CHIMIE

MINÉRALE : T. 1 F. 44 H T. II F. 36 » Jean-Marie SOURIAU. — CALCUL LINÉAIRE :

T. I F. 27 » T. II F. 30 » Théo KAHAN. — PRÉCIS DE PHYSIQUE THÉORIQUE

MODERNE : T. 1 : Volume / . . . . F. 34 » ; T. 1 : Volume II F. 34 » T. II : Volume I (sous presse)

J.-M. PÉRÈS. — OCÉANOGRAPHIE BIOLOGIQUE ET BIO- LOGIE MARINE : T. 1 F. 40 » T. II F. 40 »

Maurice CURIE. — PRÉCIS DE PHYSIQUE (P.C.B. — S.P.C.N.) T. I F. 24 » T. II F. 24 »

Michel SOUTIF. — PHYSIQUE NEUTRONIQUE F. 22 » Jean MERCIER. — TRAITÉ D'ACOUSTIQUE :

T. I F. 32 » T. II F. 30 » T. III F. 30 » Jean MERCIER. — MÉCANIQUE PHYSIQUE F. 46 » Henri GUÉRIN. — CHIMIE INDUSTRIELLE : T. I F. 32 » Marcel DAVID. — PRÉCIS DE MATHÉMATIQUES (M.P.C.) :

T. 1 F. 22 » Paul REMY-GENNETÉ. — 700 EXPÉRIENCES DE COURS DE

CHIMIE F. 40 » René COPPENS et André ROUBAULT. — PRÉCIS DE GÉO-

LOGIE : T. I (sous presse) T. II . . . . (en préparation) Pierre GRIVET. — ONDES CENTIMÉTRIQUES . . . . . . (en préparation)

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