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Chapitre IV:
Système à plusieurs degrés de liberté
Mise en équations du mouvement pour un système à +eurs
degrés de liberté
Pour 1 DDL on a une équation du mouvement
Pour +eurs DDL on a autant d’équation du mouvement (système d’équations)
Sous forme matricielle N x N
Chargement dynamique
Chargement dynamique
quelconque
Excitation à la base
(cas du séisme)
Définition
C’est un système qui a N possibilités de déplacement c’est-à-dire N inconnus
Modélisation
Chargement dynamique quelconque
Equation du mouvement
F(t) est équilibrée par les forces de rigidité, d’amortissement et d’inertie
L’équilibre nous donne :
DDL 1 :
DDL j :
DDL N :
……..
……..
……………………………………….
……………………………………….
…….. ……………………………………….
Sous forme matricielle :
Vecteur de rigidité Vecteur d’amortissement Vecteur d’inertie ou de masse
Détermination des vecteurs
a) Détermination du vecteur de rigidité
Sous forme matricielle
Sous forme compacte
Vecteur de rigidité matrice de rigidité Vecteur de déplacement
: valeur d’une force crée au nœud i par un déplacement au nœud j et les autres
déplacements sont nuls.
b) Détermination du vecteur d’amortissement
Vecteur d’amortissement matrice d’amortissement Vecteur de vitesse
: valeur d’une force d’amortissement crée au nœud i par une vitesse au nœud j et
les autres vitesses sont nulles.
c) Détermination du vecteur d’inertie
Vecteur d’inertie matrice d’inertie ou
de masse
Vecteur d’accélération
: valeur d’une force d’inertie crée au nœud i par une accélération unitaire au
nœud j et les autres accélérations sont nulles.
Equation de mouvement de NDDL
Équation de mouvement de ce système non dissipatif à 3 degrés de liberté :
Les forces élastiques en fonction des déplacement :
En appliquant la 2ème loi de Newton :
(1a)
(1b)
(1c)
(2a)
(2b)
(2c)
En remplaçant les équations (2) dans les équations (1) on aura :
(3a)
(3b)
(3c)
On peut écrire le système précédent (3) sous forme matricielle et on aura :
(4)
(5) Sous forme condensée :
Équation de mouvement de ce système dissipatif à 3 degrés de liberté :
Modes propres de vibration
En remplaçant la solution et la deuxième dérivée de la solution dans l’équation du
mouvement (1), on aura :
…………… (1)
On pose :
Cette solution est triviale
correspondant à aucun
mouvement et ne nous
intéresse pas
Cette solution est non triviale
et elle n’est possible que si
le déterminant de [ A ] est nul
Il faut que :
Équation caractéristique du système avec :
En développant ce déterminant, on obtient une équation polynômiale de degré N en
Pour un système à N degrés de liberté.
On connait les valeurs de et
Les N racines de cette équation sont les pulsations
propres, appelées plus fréquemment fréquences naturelles du système qui sont
associées chacune à un vecteur modal ou mode propre de vibration du système.
Les racines sont des valeurs positives et on les classe du plus petit vers le plus grand
c’est è dire l’ordre croissant :
Pulsations propres
Périodes propres
On peut alors former une matrice des fréquences :
Période petite c’est-à-dire le temps de retour à la position initiale petit la vitesse
grande structure rigide.
Calcul des modes de vibration
Remarques :
Première pulsation propre
première période fondamentales
Période grande c’est-à-dire le temps de retour à la position initiale grand la
vitesse faible structure souple.
Lorsqu’on a déterminé les pulsations naturelles, on peut les substituer à tour de
rôle dans l’équation :
pour obtenir chaque mode de vibration
On a N valeurs de donc N vecteur de {}
Il est important de noter que chaque vecteur ne possède pas de valeur
absolue, car seule sa forme est déterminée.
En fait, les pulsations naturelles ou propres représentent des valeurs propres alors
que les modes de vibration représentent des vecteurs propres de l’équation
Propriétés des vecteurs modaux :
Normalisation
des modes propres
Conditions d’orthogonalité
des modes propres
/ à [K] et / à [M]
Normalisation des modes propres
Comme les modes de vibration ne possèdent pas de valeurs absolues, on doit toujours
les normaliser. On peut poser le premier (ou le dernier) élément de chaque mode égal à
l’unité.
Une autre façon de normaliser un mode , réside dans la matrice de masse.
On normalise chaque élément de sorte que :
(0)
Orthogonalité des modes propres de vibration
Les modes propres d’une structure présentent la propriété fondamentale d’être
orthogonaux.
Cette propriété permet de reformuler les équations couplées du mouvement d’un
système à n inconnues en n équations découplées.
Pour chaque mode de vibration on a :
ou bien :
On pose cette équation pour deux modes différents et (r s)
On multiplie équation (1) par , on aura :
(1)
(2)
On calcule la transposée de l’équation (2) et on multiplie l’équation (2) par
On obtient alors :
(3)
(4)
Les matrices de masse et de rigidité sont symétriques :
En soustrayant l’équation (4) de l’équation (3) , on obtient :
Puisque les modes sont différents :
On doit conclure que pour r s :
et
Représentent les conditions
d’orthogonalité des modes
de vibration
On dit alors que les modes de vibration sont normaux
(ou orthogonaux) par rapport aux matrices de masse
et de rigidité.
Ces conditions d’orthogonalité seront très utiles pour :
- Simplifier l’analyse modale
- Permettre de vérifier l’exactitude des calculs des modes de vibration.
De plus, si tous les modes de vibration sont normalisés par rapport à la matrice de
masse (équation (0) , nous aurons :
Où est la matrice identité.
Nous aurons aussi :
Si les relations (5) et (6) sont satisfaites, on dit que les modes sont orthogonaux.
(5)
(6)
Excitation à la base
(problème sismique)
Soit un système modélisé non amorti à 2 degrés de liberté
Sous forme matricielle :
Sous forme condensée :
Si on intègre l’amortissement visqueux au modèle, on introduit la matrice
d’amortissement [c] et l’équation précédente devient :
Pour déduire le système d’équations du mouvement sous excitation à la base (cas
du séisme), nous considérons le même système à 2 degrés de liberté soumis à un
déplacement de sa base .
Sous forme matricielle :
Sous forme condensée :
Si on introduit l’amortissement visqueux dans le modèle, on obtient :
: Accélération absolue à la base
: vecteur de couplage dynamique
Le vecteur de couplage dynamique r relie la direction du mouvement à la base avec la
direction de chaque degré de liberté lorsque la structure se déplace comme un corps
rigide.
En général, ce vecteur est composé de 1 et 0.
Remarque :
Il est à noter que l’équation
est identique à l’équation
Sauf en ce qui concerne le vecteur de chargement dynamique, F(t) remplacé par un
vecteur de chargement dynamique fictif : .
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