Chapitre II : Triangles, droites...

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Chapitre II : Triangles, droites remarquables. 29 octobre 2012

I- L’inégalité triangulaire.

1- Propriété   :

Dans un triangle la longueur d’un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des deux autres côtés.

SoientA ,B et Ctrois points du plan on a : AC≤ AB+BC

Remarque   :

SiAC+CB<AB, alors le triangleABCn’est pas constructible.

On dit aussi que les pointsA ,B et Cn’existent pas.

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Remarque :

SiAB=AC+CB, alors le pointCappartient au segment[AB ].(C∈ [AB ] )

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Remarque :

SiAB<AC+CB Le triangle est constructible. On dit aussi que les trois points existent.

II- Mesurer des angles.

1-1-1-1-1-

On place 2- le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle.3- On coïncide l’un des côtés de l’angle avec l’un des zéros du rapporteur.4- On lit la mesure de l’angle sur les graduations qui correspondent au « 0° » choisi.

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Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 1800.

III- Cercle circonscrit à un triangle.

1- Médiatrice d’un segment.

Définition : On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment en

son milieu.

Propriété :La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance

des deux extrémités du segment.

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MA=MBDonc le pointMappartient à la médiatrice du segment[AB ].

2- Cercle circonscrit.

Pour qu’un cercle passe par les pointsAet B, il faut que son centre soit sur la

médiatrice du segment[AB ] .

Remarque   : Un cercle passe par les points A , B et C  ; si son centre appartient aux médiatrices des trois segments: [AB ] , [BC ]et [CA ] .

IV- Hauteurs d’un triangle.

Définition : Dans un triangle, on appelle hauteur la droite qui passe par un sommet et qui

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est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Remarque   : Dans un triangle il y’a trois hauteurs.

Propriété : Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes, leur point

d’intersection noté souvent H est appelé l’orthocentre du triangle.

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Vocabulaire :

On dit que (CH ) est la hauteur issue de C ou bien la hauteur relative au côté[AB ] .

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V- Médianes d’un triangle.

Définition : On appelle médiane d’un triangle la droite qui relie le sommet d’un

triangle au milieu du côté opposé à ce sommet.

1 Remarque  : Dans un triangle il y’a trois médianes.

Propriété : Les médianes d’un triangle ont un point d’intersection on dit qu’elles

sont concourantes. Ce point de concours, noté souvent G. On l’appelle le centre de gravité du triangle.

VI- Bissectrices d’un triangle :

Définition 1 : (Bissectrice d’un angle.)On appelle bissectrice d’un angle : La droite qui partage l’angle en deux

angles de même mesure.

Définition propriété :Dans un triangle les trois bissectrices sont concourantes, leur point de

concours est le centre du cercle inscrit.