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Contrôle optimal par réduction dedynamique du sillage instationnaire d’un
cylindre circulaireMichel Bergmann, Laurent Cordier et Jean-Pierre Brancher
Michel.Bergmann@ensem.inpl-nancy.fr
Laboratoire d’Energetique et de Mecanique Theorique et Appliquee
UMR 7563 (CNRS - INPL - UHP)
ENSEM - 2, avenue de la Foret de Haye
BP 160 - 54504 Vandoeuvre Cedex, France
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 1/??
Plan de l’exposé
I - Configuration d’étude et méthode de résolution numérique
II - Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres (POD)
III - Modèle réduit de la dynamique contrôlée du cylindre
IV - Formulation contrôle optimal appliquée au modèle réduit
V - Contrôle actif en boucle fermée
Conclusions et perspectives
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 2/??
I - Configuration d’étude et méthode de résolution numérique
Écoulement 2D en aval d’uncylindre circulaire à Re = 200,Fluide visqueux, incompres-
sible, Newtonien,Oscillation du cylindre à la vi-
tesse tangentielle γ(t).
Γ1
Γ4
Γ2
Γ3
ΓcρU
D
y
xγ
Méthode à pas fractionnaires(correction de pression),Éléments finis P1.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 3/??
I - Configuration d’étude et méthode de résolution numérique
1.5281.4391.3511.2631.1741.0860.9980.9100.8210.7330.6450.5560.4680.3800.2910.2030.115
Isobars à t = 100.
28.47825.00921.54118.07214.60311.135
7.6664.1970.729
-2.740-6.209-9.677
-13.146-16.615-20.083-23.552-27.021
Iso-rotationnels à t = 100.
80 90 100 110 120
-0.5
0
0.5
1
1.5
PSfrag replacements
temps
CD
,C
L
CD
CL
Coefficients aérodynamiques.
Auteurs St CD
Braza et al. (1986) 0.2000 1.4000
Henderson et al. (1997) 0.1971 1.3412
He et al. (2000) 0.1978 1.3560
présente étude 0.1983 1.3822
Nombre de Strouhal et coefficient de traînée.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 4/??
II - Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres
I Proper Orthogonal Decomposition (POD), Lumley (1967).
I Rechercher la réalisation φ(X) ”ressem-blant le plus” en moyenne aux réalisationsu(X). (X = (x, t) ∈ D = Ω × R
+)
I φ(X) solution du problème :
maxφ
〈|(u, φ)|2〉
‖φ‖2.
I Convergence optimale en norme L2 (éner-gie) de φ(X)⇒ réduction de dynamique envisageable.
PSfrag replacements
axes originaux
axes
orig
inau
x
φ1
φ2
u(X)
u(X) − um(X)
____________________Lumley J.L. (1967) : The structure of inhomogeneous turbulence. Atmospheric Turbulence and Wave
Propagation, ed. A.M. Yaglom & V.I. Tatarski, pp. 166-178.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 5/??
II - Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres
I Equivalence avec une équation intégrale de Fredholm :∫
D
Rij(X, X′)φ(n)j (X′) dX′ = λ(n)φ
(n)i (X) n = 1, .., NPOD
→ R(X, X ′) : tenseur des corrélations spatio-temporelles.
I Méthode des snapshots, Sirovich (1987) :∫
T
C(t, t′)a(n)(t′) dt′ = λ(n)a(n)(t)
→ C(t, t′) : corrélations temporelles.
PSfrag replacements
Temps
Espace Corré
latio
n
Moyenne spatiale
X
X ′
I φ(X) base de l’écoulement :
u(x, t) =
NP OD∑
n=1
a(n)(t)φ(n)(x).
____________________Sirovich L. (1987) : Turbulence and the dynamics of coherent structures. Part 1,2,3 Quarterly of Applied
Mathematics, XLV N 3, pp. 561–571.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 6/??
III - Modèle réduit de la dynamique du cylindre
I Projection de Galerkin de Navier-Stokes sur la base POD :
(
φ(i),∂u
∂t+ (u · ∇)u
)
=
(
φ(i), −∇p +1
Re∆u
)
.
I Intégration par parties (formule de Green) :
(
φ(i),∂u
∂t+ (u · ∇)u
)
=(
p, ∇ · φ(i))
−1
Re
(
(∇ ⊗ φ(i))T , ∇ ⊗ u)
− [p φ(i)] +1
Re[(∇ ⊗ u)φ(i)].
avec [a] =
∫
Γ
a · n dΓ et (A, B) =
∫
Ω
A : B dΩ =∑
i, j
∫
Ω
AijBji dΩ.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 7/??
III - Modèle réduit de la dynamique du cylindre
I Décomposition de la vitesse sur NPOD modes :
u(x, t) = um(x) + γ(t) uc(x) +
NP OD∑
k=1
a(k)(t)φ(k)(x).
I Système dynamique avec Ngal modes retenus (équations d’état) :
d a(i)(t)
d t=Ai +
Ngal∑
j=1
Bij a(j)(t) +
Ngal∑
j=1
Ngal∑
k=1
Cijk a(j)(t)a(k)(t)
+ Di
d γ
d t+
Ei +
Ngal∑
j=1
Fij a(j)(t)
γ + Giγ2
a(i)(0) = (u(x, 0), φ(i)(x)).
Ai, Bij , Cijk, Di, Ei, Fij et Gi dépendent de φ, um, uc et Re.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 8/??
III - Modèle réduit de la dynamique du cylindre Stabilisation
Intégration et stabilisation du système dynamique POD pourγ = A sin(2πStt), A = 2 et St = 0, 5.
0 2 4 6 8 10
-1
-0.5
0
0.5
1
PSfrag replacements
a(n
)
temps
Evolution temporelle des 6 premiers modespropres POD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
PSfrag replacements
〈|a(n
)|〉
index
Amplitudes moyennes des modes POD.
— modes projetés (exacts) ; - - - modes prédits ; · · · modes stabilisés.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 9/??
IV - Formulation contrôle optimal appliquée au modèle réduit
I Fonctionnelle coût :
J (a, γ(t)) =
∫ T
0
J(a, γ(t)) dt =
∫ T
0
Ngal∑
i=1
a(i)2 +α
2γ(t)2
dt.
α : paramètre de régularisation (pénalisation).
I Equations adjointes :
d ξ(i)(t)
dt= −
Ngal∑
j=1
Bji + γ(t)Fji +
Ngal∑
k=1
(Cjik + Cjki) a(k)(t)
ξ(j)(t) − 2a(i)(t)
ξ(i)(T ) = 0.
I Condition d’optimalité :
δγ(t) = −
Ngal∑
i=1
Di
da(i)
dt+
Ngal∑
i=1
Ei +
Ngal∑
j=1
Fija(j) + 2Giγ(t)
ξ(i) + αγ.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 10/??
IV - Formulation contrôle optimal appliquée au modèle réduit
I γ(0)(t) fixé ; Pour n = 0, 1, 2, ... et tant que critère de convergence non vérifiéFaire :
1. Résolution de 0 à T des équations d’état avec γ(n)(t) ;→ on obtient a(n)(t)
2. Résolution de T à 0 des équations adjointes avec a(n)(t) ;→ on obtient ξ(n)(t)
3. Résolution des conditions d’optimalité avec a(n)(t) et ξ(n)(t) de 0 à T (oude T à 0) ;
→ on obtient δγ(n)(t)
4. Nouveau contrôle → γ(n+1)(t) = γ(n)(t) + ω(n) δγ(n)(t)
I Fin Faire.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 11/??
V - Contrôle actif en boucle fermée Généralités
I Pas de réactualisation de la base POD.
I Représentativité énergétique a priori différente de représentativitédynamique :
→ inconvénient possible pour le contrôle.
→ un système POD représente a priori uniquement une dynamique proche decelle utilisée pour le générer.
I Construction d’une base POD représentative d’une plus large gamme dedynamique :
→ excitation d’un plus grand nombre de degrés de liberté par balayage enamplitudes et en fréquences de γ(t).
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 12/??
V - Contrôle actif en boucle fermée Excitation
0 10 20 30 40 50-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
PSfrag replacements
γe
temps0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
500
1000
1500
PSfrag replacementsγe
temps
St
I γ = 0 :→ 2 modes sur 100 nécessaires pour représenter 97% de l’énergie.
I γ = γe :→ 30 modes sur 100 nécessaires pour représenter 97% de l’énergie.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 13/??
V - Contrôle actif en boucle fermée Contrôle optimal
0 10 20 30-3
-2
-1
0
1
2
3
PSfrag replacements
γopt
temps0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
PSfrag replacementsγopt
temps
St
I Diminution très importante de l’instationnarité du sillage. γopt ' A sin(2πStt)avec A = 2, 2 et St = 0, 53
J (γe) = 9, 81 =⇒ J (γopt) = 5, 63.
I Le contrôle est optimal pour le système POD.
I Le contrôle est-il optimal pour Navier-Stokes ?
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 14/??
V - Contrôle actif en boucle fermée
I Aucune preuve d’optimalité pour Navier-Stokes.
10 20 30 40 50 60 701
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
PSfrag replacements
Cdrag
temps10 20 30 40 50 60 70
-0.5
0
0.5
PSfrag replacementsCdrag
temps
Cli
ft
temps
I Diminution très importante de la traînée :CD = 1, 38 pour γ = 0 et CD = 1, 06 pour γ = γopt.
I Diminution de l’amplitude de la portance :CL = 0, 68 pour γ = 0 et CL = 0, 13 pour γ = γopt.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 15/??
Conclusions et perspectives
I Conclusions
Objectifs atteints : diminution de la traînée via la minimisation del’instationnarité du sillage du modèle réduit.
I Perspectives
Améliorer la représentativité du modèle POD.→ "Optimiser" l’excitation temporelle γe,→ Mélanger des snapshots correspondants à plusieurs excitationstemporelles.
Recherche d’un contrôle périodique γ(t) = A sin(2π St t) avecréactualisation de la base POD (premiers résultats encourageants).Couplage avec des méthodes d’optimisation à régions de confiance
(TRPOD) =⇒ prouver convergence.Coupler la pression au modèle POD.
Contrôle optimal de Navier-Stokes.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 16/??
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