Contrôle optimal par réduction de dynamique du sillage ...mbergman/PDF/Slides/CFM03.pdf · Ai, Bij, Cijk, Di, Ei, Fij et Gi dépendent de ˚, um, ... ,! excitation d’un plus grand

Contrôle optimal par réduction dedynamique du sillage instationnaire d’un

cylindre circulaireMichel Bergmann, Laurent Cordier et Jean-Pierre Brancher

[email protected]

Laboratoire d’Energetique et de Mecanique Theorique et Appliquee

UMR 7563 (CNRS - INPL - UHP)

ENSEM - 2, avenue de la Foret de Haye

BP 160 - 54504 Vandoeuvre Cedex, France

Controle optimal par reduction de dynamique du sillage instationnaire d’un cylindre circulaire – p. 1/??

Plan de l’exposé

I - Configuration d’étude et méthode de résolution numérique

II - Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres (POD)

III - Modèle réduit de la dynamique contrôlée du cylindre

IV - Formulation contrôle optimal appliquée au modèle réduit

V - Contrôle actif en boucle fermée

Conclusions et perspectives



Écoulement 2D en aval d’uncylindre circulaire à Re = 200,Fluide visqueux, incompres-

sible, Newtonien,Oscillation du cylindre à la vi-

tesse tangentielle γ(t).

Γ1

Γ4

Γ2

Γ3

ΓcρU

D

y

xγ

Méthode à pas fractionnaires(correction de pression),Éléments finis P1.



1.5281.4391.3511.2631.1741.0860.9980.9100.8210.7330.6450.5560.4680.3800.2910.2030.115

Isobars à t = 100.

28.47825.00921.54118.07214.60311.135

7.6664.1970.729

-2.740-6.209-9.677

-13.146-16.615-20.083-23.552-27.021

Iso-rotationnels à t = 100.

80 90 100 110 120

-0.5

0

0.5

1

1.5

PSfrag replacements

temps

CD

,C

L

CD

CL

Coefficients aérodynamiques.

Auteurs St CD

Braza et al. (1986) 0.2000 1.4000

Henderson et al. (1997) 0.1971 1.3412

He et al. (2000) 0.1978 1.3560

présente étude 0.1983 1.3822

Nombre de Strouhal et coefficient de traînée.


II - Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres

I Proper Orthogonal Decomposition (POD), Lumley (1967).

I Rechercher la réalisation φ(X) ”ressem-blant le plus” en moyenne aux réalisationsu(X). (X = (x, t) ∈ D = Ω × R

+)

I φ(X) solution du problème :

maxφ

〈|(u, φ)|2〉

‖φ‖2.

I Convergence optimale en norme L2 (éner-gie) de φ(X)⇒ réduction de dynamique envisageable.

PSfrag replacements

axes originaux

axes

orig

inau

x

φ1

φ2

u(X)

u(X) − um(X)

____________________Lumley J.L. (1967) : The structure of inhomogeneous turbulence. Atmospheric Turbulence and Wave

Propagation, ed. A.M. Yaglom & V.I. Tatarski, pp. 166-178.


II - Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres

I Equivalence avec une équation intégrale de Fredholm :∫

D

Rij(X, X′)φ(n)j (X′) dX′ = λ(n)φ

(n)i (X) n = 1, .., NPOD

→ R(X, X ′) : tenseur des corrélations spatio-temporelles.

I Méthode des snapshots, Sirovich (1987) :∫

T

C(t, t′)a(n)(t′) dt′ = λ(n)a(n)(t)

→ C(t, t′) : corrélations temporelles.

PSfrag replacements

Temps

Espace Corré

latio

n

Moyenne spatiale

X

X ′

I φ(X) base de l’écoulement :

u(x, t) =

NP OD∑

n=1

a(n)(t)φ(n)(x).

____________________Sirovich L. (1987) : Turbulence and the dynamics of coherent structures. Part 1,2,3 Quarterly of Applied

Mathematics, XLV N 3, pp. 561–571.


III - Modèle réduit de la dynamique du cylindre

I Projection de Galerkin de Navier-Stokes sur la base POD :

(

φ(i),∂u

∂t+ (u · ∇)u

)

=

(

φ(i), −∇p +1

Re∆u

)

.

I Intégration par parties (formule de Green) :

(

φ(i),∂u

∂t+ (u · ∇)u

)

=(

p, ∇ · φ(i))

−1

Re

(

(∇ ⊗ φ(i))T , ∇ ⊗ u)

− [p φ(i)] +1

Re[(∇ ⊗ u)φ(i)].

avec [a] =

∫

Γ

a · n dΓ et (A, B) =

∫

Ω

A : B dΩ =∑

i, j

∫

Ω

AijBji dΩ.


III - Modèle réduit de la dynamique du cylindre

I Décomposition de la vitesse sur NPOD modes :

u(x, t) = um(x) + γ(t) uc(x) +

NP OD∑

k=1

a(k)(t)φ(k)(x).

I Système dynamique avec Ngal modes retenus (équations d’état) :

d a(i)(t)

d t=Ai +

Ngal∑

j=1

Bij a(j)(t) +

Ngal∑

j=1

Ngal∑

k=1

Cijk a(j)(t)a(k)(t)

+ Di

d γ

d t+

Ei +

Ngal∑

j=1

Fij a(j)(t)

γ + Giγ2

a(i)(0) = (u(x, 0), φ(i)(x)).

Ai, Bij , Cijk, Di, Ei, Fij et Gi dépendent de φ, um, uc et Re.


III - Modèle réduit de la dynamique du cylindre Stabilisation

Intégration et stabilisation du système dynamique POD pourγ = A sin(2πStt), A = 2 et St = 0, 5.

0 2 4 6 8 10

-1

-0.5

0

0.5

1

PSfrag replacements

a(n

)

temps

Evolution temporelle des 6 premiers modespropres POD.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

PSfrag replacements

〈|a(n

)|〉

index

Amplitudes moyennes des modes POD.

— modes projetés (exacts) ; - - - modes prédits ; · · · modes stabilisés.



I Fonctionnelle coût :

J (a, γ(t)) =

∫ T

0

J(a, γ(t)) dt =

∫ T

0

Ngal∑

i=1

a(i)2 +α

2γ(t)2

dt.

α : paramètre de régularisation (pénalisation).

I Equations adjointes :

d ξ(i)(t)

dt= −

Ngal∑

j=1

Bji + γ(t)Fji +

Ngal∑

k=1

(Cjik + Cjki) a(k)(t)

ξ(j)(t) − 2a(i)(t)

ξ(i)(T ) = 0.

I Condition d’optimalité :

δγ(t) = −

Ngal∑

i=1

Di

da(i)

dt+

Ngal∑

i=1

Ei +

Ngal∑

j=1

Fija(j) + 2Giγ(t)

ξ(i) + αγ.



I γ(0)(t) fixé ; Pour n = 0, 1, 2, ... et tant que critère de convergence non vérifiéFaire :

1. Résolution de 0 à T des équations d’état avec γ(n)(t) ;→ on obtient a(n)(t)

2. Résolution de T à 0 des équations adjointes avec a(n)(t) ;→ on obtient ξ(n)(t)

3. Résolution des conditions d’optimalité avec a(n)(t) et ξ(n)(t) de 0 à T (oude T à 0) ;

→ on obtient δγ(n)(t)

4. Nouveau contrôle → γ(n+1)(t) = γ(n)(t) + ω(n) δγ(n)(t)

I Fin Faire.


V - Contrôle actif en boucle fermée Généralités

I Pas de réactualisation de la base POD.

I Représentativité énergétique a priori différente de représentativitédynamique :

→ inconvénient possible pour le contrôle.

→ un système POD représente a priori uniquement une dynamique proche decelle utilisée pour le générer.

I Construction d’une base POD représentative d’une plus large gamme dedynamique :

→ excitation d’un plus grand nombre de degrés de liberté par balayage enamplitudes et en fréquences de γ(t).


V - Contrôle actif en boucle fermée Excitation

0 10 20 30 40 50-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

PSfrag replacements

γe

temps0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

500

1000

1500

PSfrag replacementsγe

temps

St

I γ = 0 :→ 2 modes sur 100 nécessaires pour représenter 97% de l’énergie.

I γ = γe :→ 30 modes sur 100 nécessaires pour représenter 97% de l’énergie.


V - Contrôle actif en boucle fermée Contrôle optimal

0 10 20 30-3

-2

-1

0

1

2

3

PSfrag replacements

γopt

temps0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

PSfrag replacementsγopt

temps

St

I Diminution très importante de l’instationnarité du sillage. γopt ' A sin(2πStt)avec A = 2, 2 et St = 0, 53

J (γe) = 9, 81 =⇒ J (γopt) = 5, 63.

I Le contrôle est optimal pour le système POD.

I Le contrôle est-il optimal pour Navier-Stokes ?


V - Contrôle actif en boucle fermée

I Aucune preuve d’optimalité pour Navier-Stokes.

10 20 30 40 50 60 701

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

PSfrag replacements

Cdrag

temps10 20 30 40 50 60 70

-0.5

0

0.5

PSfrag replacementsCdrag

temps

Cli

ft

temps

I Diminution très importante de la traînée :CD = 1, 38 pour γ = 0 et CD = 1, 06 pour γ = γopt.

I Diminution de l’amplitude de la portance :CL = 0, 68 pour γ = 0 et CL = 0, 13 pour γ = γopt.


Conclusions et perspectives

I Conclusions

Objectifs atteints : diminution de la traînée via la minimisation del’instationnarité du sillage du modèle réduit.

I Perspectives

Améliorer la représentativité du modèle POD.→ "Optimiser" l’excitation temporelle γe,→ Mélanger des snapshots correspondants à plusieurs excitationstemporelles.

Recherche d’un contrôle périodique γ(t) = A sin(2π St t) avecréactualisation de la base POD (premiers résultats encourageants).Couplage avec des méthodes d’optimisation à régions de confiance

(TRPOD) =⇒ prouver convergence.Coupler la pression au modèle POD.

Contrôle optimal de Navier-Stokes.


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