Correction Brevet France 2011

8/6/2019 Correction Brevet France 2011

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Correction Métropole juin 2011http ://exos2math.free.fr/

A CTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points

E XERCICE1

1. a. La couleur jaune est apparuevingt fois donc sa fré-

quence d’apparition vaut f =20

100 =15 =20% .

b. La face en noir est apparue trente fois donc sa fré-

quence d’apparition vaut f =30

100 =3

10 =30% .

2. a. Le dé étant équilibré et ayant une seule face en jaune, on a donc une chance sur six de tomber surla face jaune : P =1/6 ≈17% .

b. Le dé étant équilibréet ayant deux faces en noir, ona donc deux chances sur six de tomber sur la faceen noir : P =1/3 ≈33%

0

5

10

15

20

25

30

35

bleu rouge jaune vert noir

3. On remarque quand même que les résultats sont assez proches. Cependant pour que l’écart soit le plus petitpossible il faudrait non pas faire cent lancers mais plutôt des milliers.

E XERCICE2

Soit x le prix d’un triangle en métal et y le prix d’un triangle en verre.Le Bijou n o 1 a autant de triangles en métal qu’en verre. Ainsi on a notre première équation : 4 x +4 y =11 .Le Bijou n o 2 a deux triangles en métal et six en verre. Notre deuxième équation apparait : 2 x +6 y =9,1 .On doit alors résoudre le système formé des deux équations :

4x +4 y =11 L 12x +6 y =9,1 L 2 ⇐⇒

4x −2 ×2x +4 y −2 ×6 y =11 −2 ×9,1 L 1 ←L 1 −2L 22x =9,1 −6 y L 2

⇐⇒−8 y =−7,2 L 1

x =9,1 −6 y

2L 2

⇐⇒

y =0,9

x =9,1 −6×0,9

2 =1,85

On vérie rapidement à la calculette en insérant les valeurs obtenues dans chaque équation et on obtient bien le bonrésultat. Ainsi Un triangle de verre vaut 0,9 et un triangle en métal vaut 1,85 .Donc le Bijou n o 3 revient à 3 ×1,85 +5×0,9 = 10,05 .

E XERCICE3

1. Afrmation 1 : (2a +3)2 =(2a )2 +2×2a ×3+32 =4a 2 +12a +9. Donc l’afrmation 1 est fausse .

Afrmation 2 : L’afrmation 2 est fausse car lorsqu’on augmente un prix x de 20%, on obtient alors un nouveau

prix y =x +20

100x =1,2x . Puis on effectue une remise de 20% sur ce prix y : on obtient un autre prix z = y −

20100

y =0,8 y . Or 0,8 y =0,8 ×1,2x =0,96 x . Donc on a bien z =x ce qui prouve qu’on ne retombe pas sur le même prix.

2. Égalité 1 : 322 =

2×162 =4

22 =2 2. Donc l’égalité 1 est vraie .

Égalité 2 : 105 +10−5 =100. L’égalité 2 est fausse bien évidemment : 10 5 =100000 et 10 −5 =0,00001. La sommedes deux est bien plus grande que 1 ...

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Brevet des collèges Correction

A CTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12 points

E XERCICE1

1. voir ci-côte.

2. a. Le triangle ACB est rectangle et isocèle donc

l’angle

ACB vaut

180 −902 = 45° .

b. DCE = ACB=45° .

3. sin DCE =DE DC ⇐⇒

DE =DC ×sin45° ≈ 4,2 cm .

4. D’après le théorème de Pythagore, on a :DC 2 =DE 2 +EC 2

⇐⇒EC = DC 2 −DE 2 ≈4,2 cm.

Le triangle est donc isocèle rectangle tout comme letriangle ABC. Ainsi le centre du cercle circonscrit dechaque triangle se situe au milieu de l’hypoténusedes deux triangles.

6 cm 2 c m

A

BCD

E

C

C ′

M

5. Soit M∈C . Or si un triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est

rectangle. Ainsi CMD =90°.De même, M

∈C ′, donc CMA =90°.

On a donc CMA + CMD =180°, ce qui prouve que les points D, M et A sont alignés.

E XERCICE2

1.E

A B

C

G

F

H

D

2. AB=40 cm, BC =20 cm et BF =30 cm.

a. V p =40 ×20 ×30 = 24000 cm 3 .

b. Cet aquarium peut donc contenir 24 litres d’eau .

3. Le volume d’une boule a pour formule43 ×π ×r

3, où r est le rayon de la boule. Donc la bonne formule est

43 ×π ×153 .

4. Le volume de second aquarium vaut donc V a =34 ×

43 ×π ×153 =3375 π cm 3.

Le volume du premier aquarium exprimé en fonction de sa hauteur BF =x vaut V p =800 x cm 3 .On résout donc l’équation 3375 π =800 x

⇐⇒x =13,25 cm .

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