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cours 26
CRITÈRE DE CONVERGENCE
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Somme infinie
✓ Convergence et divergence de
série
✓ Série harmonique
✓ Série arithmétique
✓ Série géométrique
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
✓ Critère de d’Alembert
✓ Critère de comparaison à l’aide
d’une limite
✓ Critère du polynôme
Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série
il faut trouver une expression pour sa somme partielle.
Or, cette tâche est plutôt difficile à faire.
On va donc utiliser plusieurs critères nous permettant, sous certaines conditions, de déterminer la
convergence ou divergence d’une série.
Théorème:
(Critère du terme général)Soit une série
Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.
diverge
converge
Remarque:
Donc la série diverge.
Exemple:
L’inverse du théorème est faux.
converge
La série harmonique diverge
mais
Faites les exercices suivants
p.353 # 2
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés
et
avec
etavec
Donc si diverge, alors diverge
et si converge, alors converge
En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge
Exemple:
Donc converge
Faites les exercices suivants
p. 353 #3
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemannou une série-p
Sic’est la série harmonique
et elle diverge
Sidiverge par le critère
du terme général
Donc la série diverge par le critère du terme général.
On peut donc appliquer le critère de l’intégrale
si
Si et l’intégrale converge, donc la série aussi
Sinon, ça diverge
Donc converge
Faites les exercices suivants
p. 353 # 4
Théorème:
«Preuve»:
(Critère de d’Alembert)
et posons
Si ???
Si
converge diverge
Série géométriqueconverge si
somme finie donc converge
«Preuve»:
Si
Faites les exercices suivants
p. 353 # 7
Théorème:
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite)
Soient et si
alors converge converge
Exemple:
mais c’est la série harmonique qui diverge
donc diverge.
Corolaire:
Preuve:
(Critère du polynôme)
un polynôme de degré
un polynôme de degré
posons
Si converge
Si diverge
Il suffit de faire un comparaison à l’aide d’une limite avec la série de Riemann
Faites les exercices suivants
p.353 # 6 et 10
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
✓ Critère de d’Alembert
✓ Critère de comparaison à l’aide
d’une limite
✓ Critère du polynôme
Devoir:p. 353, # 1 à 7, 10 et 11.
sauf 11 c)
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