Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert

I) Chaîne infinie d’oscillateurs couplés

1) Le modèle

Le modèle

An-1

chaîne à l’équilibre

, a, a, a

An An+1 An+2

m m mm

MO

, 0

ressort à vide

mm

Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert

I) Chaîne infinie d’oscillateurs couplés

1) Le modèle

2) Étude du mouvement

a) Rappels

M0O0

ressort à vide

, 0

F = – (OM – O0M0)

MO

ressort à un instant quelconque

F = – (OM – O0M0)

Si OM < 0, la force est répulsive,elle tend à éloigner M de O ;

Si OM > 0, la force est attractive,elle tend à rapprocher M de O.

MO

xO xM

M0O0

ressort à vide

, 0

F = – (OM – O0M0) = – (M0M – O0O)= – (xM – xO)ux.

Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert

I) Chaîne infinie d’oscillateurs couplés

1) Le modèle

2) Étude du mouvement

a) Rappels

b) Mise en équation

Mouvement du point An

An-1

An An+1 An+2

m m mm

Système : l’atome An de masse m et de rang n

Référentiel : Terrestre supposé galiléen

Forces : le poids Pn,la réaction Rn,la tension du ressort de gauche Tn-1,la tension du ressort de droite Tn+1.

RFD : m.an = Pn + Rn + Tn-1 + Tn+1

Choix de la base : (O, ux) car le mouvement est rectiligne

Tn+1 = – [A(n+1)An – A0(n+1) A0n]

Tn-1 = – [An-1An – A0(n-1)A0n] = – [A0nAn – A0(n-1)An-1]

Tn+1 = – [A0nAn – A0(n+1)A(n+1)].

RFD :m.an

=Pn + Rn – [A0nAn – A0(n-1)An-1] – [A0nAn – A0(n+1)An+1]

RFD à l’équilibre :0=

Pn + Rn

– [A0nAen – A0(n-1)Ae(n-1)] – [A0nAen – A0(n+1)Ae(n+1)]

RFD par différence :

m.an = – [AenAn – Ae(n-1)An-1] – [AenAn – Ae(n+1)An+1]

On pose : AenAn = n.ux,Ae(n-1)An-1 = (n-1).ux,Ae(n+1)An+1 = (n+1).ux.

n, (n-1) et (n+1) sont les déplacements des atomes An, An-1 et An+1 par rapport à leur position d’équilibre.

Equation différentielle finale :

Cette équation constitue l’équation de propagation de la déformation le long de la chaîne d’oscillateurs et traduit le couplage du nième atome avec ses deux plus proches voisins.

= – [n – (n-1)] – [n – (n+1)]ψnm

= – 2.n + .(n-1) + .(n+1)ψnm

Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert

II) Approximation des milieux continus

1) Définitions

n

n

Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert

II) Approximation des milieux continus

1) Définitions

2) Équation de D’Alembert

n

n

Dans l’approximation des milieux continus, on définit la fonction continue de classe C2 des variables x et t, (x,t), qui coïncide à chaque instant t avec tous les n(t) : (x = n.a, t) = n(t)

Dans ces conditions, si (x = n.a, t) = n(t) = (x,t) alors : (n-1)(t) = (x – a, t) et (n+1)(t) = (x + a, t)

ψα ψ ψ ψ

2

2m 2 (x,t) (x a,t) (x a,t)t

Donc l’équation de propagation,ψnm = – 2.n + .(n-1) + .(n+1)

devient :

ψ ψψ ψ

2 2

2a

(x a,t) (x,t) a (x,t) (x,t)x 2 x

ψ ψψ ψ

2 2

2a

(x a,t) (x,t) a (x,t) (x,t)x 2 x

En remplaçant dans la relation initiale, on obtient :

ψ ψα

2 22

2 2m .at x

Cette équation peut se mettre sous la forme canonique :

ψ ψ2 2

2 2 21

0x c t

α 22 .a

avec c m

Une telle équation aux dérivées partielles est appelée équation de D’Alembert (1717 – 1783) à une dimension.La grandeur c, homogène à une vitesse, est appelée célérité de l’onde.

Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert

II) Approximation des milieux continus

1) Définitions

2) Équation de D’Alembert

3) Cas des solides : Module d’Young

S

L

S

L L

F

Définition :

Le module d’Young est un coefficient positif, homogène à une pression, qui caractérise l’allongement relatif du solide sous l’action d’une force de traction extérieure.

L 1 F

L E S

Cas des solides : Module d’Young

a + a

L + L

F

– F a

a

Le Module d’Young

Par égalité des variations relatives de deux grandeurs proportionnelles, nous avons :

A l’équilibre L = N.a où N est le nombre d’atomes sur la droite Ox, N >> 1.

Δ ΔL a

L a

Le Module d’Young

La force subie par un atome à la surface droite ou gauche du cube vaut en norme : f = .a.

Or, comme chaque maille ne comporte qu’un atome, la surface S renferme n atomes :

2S

n a

Le Module d’Young

Ainsi, nous pouvons en déduire que la force F subie par la surface S vaut :

αΔ2 2S S

F n.f f aa a

Le Module d’Young

Finalement, en regroupant ces relations, on obtient :

Δ α α

Δ

Δα

α

Δ2

F a a L

L

S a a

a F

L

L S

aa

Le Module d’Young

Par identification avec la relation définissant le module d’Young, on en déduit son expression :

αΔ

F LE

S L a

Le Module d’Young

On peut ainsi exprimer la célérité des ondes dans un solide en fonction du module d’Young :

α α 3 3.a E.ac a

m m.a m ρ 3 3

m m8 8a a

ρE

c

Ordres de grandeur :

Diamant :

Acier :

Or :

Béton :

Polystyrène :

E 1 TPa = 103 GPa ;E 0,21

TPa;E 78 GPa;E 27 GPa;E 3 GPa;E 0,7 à 4 GPa;

Caoutchouc :