1

3. Les filtres à réponse 3. Les filtres à réponse impulsionnelleimpulsionnelle infinie (RII)infinie (RII)

3.1. Présentation

� Les RII sont des systèmes LIT

� Ils sont à "mémoire infinie", c ’est-à-dire qu ’ils gardent pendant un temps infini la mémoire du signal d ’entrée, grâce à une boucle de retour

� Principal intérêt : permettent des fonctions de filtrage + sélectives que les RIF (cf. # coefficients)

� Inconvénients : Possibilité d ’avoir des filtres instables, phase non linéaire, pbs de réalisation

2

� La réponse d'un filtre RII à un signal x(n) est :

� D’où la fonction de transfert :

y(n) = ∑∑==

−−−K

k

k

L

l

l knyblnxa10

)()(

H(z) =

∑

∑

=

−

=

−

+K

k

k

k

L

l

l

l

zb

za

1

0

1

=

∏

∏

=

−

=

−

−

−

K

k

k

L

l

l

zP

zZ

a

1

1

1

1

0

)1(

)1(

Zl ( Ll ≤≤1 ) et Pk ( Kk ≤≤1 ) étant respectivement les zéros et

les pôles de H(z).

3

� Soit le système qui à x(n) fait correspondre y(n) :

y(n) = a0 x(n) – b1 y(n-1)

La réponse du système à une impulsion δ(n) est :

y(-1) = 0 y(0) = a0 y(1) = - b1 a0 y(n) = (- b1)n a0

On voit que l ’on garde 1 trace de δ(n) durant 1 temps infini.

La condition de convergence :

3.2. La cellule du premier ordre3.2. La cellule du premier ordre

1 soit 1

0

1 <∞<∑∞

=

bbn

n

4

� La TF de ce filtre est :

� L ’amplitude est donnée par :

� et la phase :

eb

aH

jωω

−+=

1)(

1

0

1

2

1

2

02

)cos(21)(

bb

aH

++=

ωω

+−

=)cos(1

)sin()(

1

1

ωω

ωϕb

bArctg

5

Exemple dExemple d ’utilisation d’utilisation d ’un RII du premier ordre’un RII du premier ordre

� imaginons que l’on reçoive :

x(n) = C + w(n), où w(n) est un bruit blanc gaussien centré.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

6

� Pour estimer la constante C on fait une moyenne du signal à l’aide des échantillons successifs : on réalise un RIF

� pour une estimation précise, on moyenne sur un grand nombre d’échantillons

� => complexité calculatoire (mémoires, additions) importante

� On peut aussi, de manière plus efficace, faire une estimation

récursive à l’aide d’une cellule RII du premier ordre.

Pour a0, on peut choisir de ne pas amplifier la fréquence 0 (gain statique, H(1) = 1), d’où a0 = 0.01.

Par exemple : ɵ( ) ( )C nN

x n mm

N

= −=

−

∑1

0

1

0.99- exemplepar avec 1

)( 111

0 =+

=−

bzb

azH

7

� La réponse en fréquence de ce filtre est :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-80

-60

-40

-20

0

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-50

-40

-30

-20

-10

0

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Magnitude R

esponse (

dB

)

8

� Le signal de sortie y(n) est une estimation récursive de C :

� démo (iir1_ld.m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

9

3.3. Caractéristiques générales des RII3.3. Caractéristiques générales des RII

� Équation générale :

La TZ s’écrit : H(z) =

∑

∑

=

−

=

−

+K

k

k

k

L

l

l

l

zb

za

1

0

1

)()()(10

knyblnxanyK

k

k

L

l

l −−−= ∑∑==

� Les racines du numérateur : « zéros » du filtre

� Les racines du dénominateur : « pôles » du filtre

� Condition de stabilité : pôles à l ’intérieur du cercle unité

10

3.4. Synthèse des RII3.4. Synthèse des RII

� Comme pour les RIF, les RII sont utilisés souvent pour mettre enforme 1 signal

� => généralement, pour satisfaire à des conditions imposées dans le domaine fréquentiel

)(νH approche au mieux la fonction )(νiH représentant le filtre idéal

� La synthèse des filtres analogiques ayant été très développée, la synthèse des RII s ’appuie sur la conversion continu-discret.

� Pour cela, une règle de transformation entre la représentation Laplacienne et la transformée en z (p = f(z))

11

� Cette fonction doit vérifier plusieurs conditions :

• si le filtre analogique de départ est stable, il faut que sa transformée numérique soit stable

• de la première condition, on en déduit que le demi plan Re(p) < 0 doit se transformer en l’intérieur du cercle unité

• l’axe imaginaire doit se transformer en |z| = 1.

� on essaye de trouver une équivalence pour l’intégration :

� L’intégrale de la fonction x(t) peut être approchée (méthode destrapèzes) par :

Tdttxtx

dttyty2

)()()()(

−++−≈

ppX

pY 1

)(

)(=

12

� On a alors :

Cette transformation est appelée transformation bilinéaire,

et la réciproque s’écrit :

2/1

2/1

pT

pTz

−+

=

Examinons la transformation de l’axe imaginaire p = jω :

( )( ) e

2/1

2/12/12/1 )(

2

2zjz

T

TjTjTj

z ϕ

ωω

ωω =

++=

−+=

D’après cette formule, |z| = 1 et ϕ(z) = 2 arctg( )ωT / 2

=> correspondance entre les deux domaines de stabilité

1

1

1

1

2

1−

−

−+

=z

zT

p

13

� Attention, relation non linéaire entre les fréquences analogiques et numériques.

� Cette relation est donnée par :

TfjTfj

ea

aTnf

πππ

−+=

112

( )TfarctgTf an ππ 22 =

( )TftgT

f na ππ1=

On a aussi :

Et donc :

14

� Résumé : la transformation bilinéaire est une règle de transformation entre la représentation Laplacienne et la transformée en z

� => permet de transformer un filtre analogique prototype en sa contrepartie numérique

� Les filtres analogiques prototypes sont construits en se donnant unefonction A2(ω) avec ω = 2πf, avec :

A2(ω) = |F(jω)|2 = F(jω)F(−jω)

j

pA

2 = F(p)F(−p).

on en déduit :

15

� filtre de Butterworth

A2(ω) = m21

1

ω+où m est un entier

Ainsi

j

pA

2 =

mmp

2)1(1

1

−+.

Caractéristiques : Pas d'ondulations dans la bande passante

et atténuée mais bande de transition est très large

16

� Filtre de Tchebycheff :

A2(ω) = )(1

122 ωε mT+

Tm(ω) est le polynôme de Tchebycheff de degré m :

T0(ω) = 1, T1(ω) =ω, Tm + 1(ω) = 2ωTm(ω) - Tm - 1(ω) avec m > 0

� filtre de Cauer, ou elliptique

A2(ω) = ),(1

122

LRm ωε+

Rm(ω,L) est une fonction rationnelle de Tchebycheff

17

� Récapitulatif :

Le choix de l ’un ou l ’autre de ces filtres résulte du compromis :

bande de transition, taux d'ondulation dans la bande passante et atténuée

1

A( ) A( ) A( )ω ω ω

ω0 0 1 0 11

1

ε21+√

1

ε21+√ + 2L

Butterworth Tchebycheff Elliptique

18

Synthèse dSynthèse d ’un filtre analogique’un filtre analogique

� Les fonctions de transferts sont données pour des filtres passe-bas normalisés (ωc = 1)

� transformation passe-bas normalisé en passe-bast(p) = p/ωc

� transformation passe-bas normalisé en passe-hautt(p) = ωc/p

� transformation passe-bas normalisé en passe-bande

� transformation passe-bas normalisé en coupe-bande

t(p) = )( 12

21

2

cc

cc

p

p

ωωωω

−

+

t(p) =

21

2

12 )(

cc

cc

p

p

ωωωω

+

−

19

Démarche de numérisationDémarche de numérisation

� Pour synthétiser un RII satisfaisant aux contraintes imposées, on utilise la démarche suivante :

1) Déterminer le cahier des charges en terme de fréquence pour le filtre à réaliser

2) Déterminer la fréquence d’échantillonnage

3) Ajuster les fréquences en utilisant la conversion

4) En déduire le filtre prototype convenable

5) Numériser en utilisant la transformation bilinéaire

6) Eventuellement ajuster le gain statique

20

� Exemple :

On veut réaliser un filtre avec les caractéristiques suivantes :

• passe-bas avec une fréquence de coupure de 0.1 Hz

• fréquence d’échantillonnage 1 Hz

• atténuation à 0.3 Hz d’au moins 40 dB avec une ondulation maximale dans la bande de 1 dB.

Les fréquences analogiques sont 0.1034 et 0.4381.

=> Il nous faut un filtre tel que l’atténuation soit d’au moins 40 dB lorsque la fréquence est multipliée par 4.

Ces performances sont réalisées par un filtre de Tchebychev d’ordre 3 (donné par des tables)

21

� la réponse en fréquence normalisée s’écrit :

� La pulsation de coupure vaut 2π *0.103 (on remplace p par p/ωc)

� On trouve, par transformée bilinéaire :

)006.1497.01)(023.21(

1)(

2ppp

pH a +++=

321

311

524.0774.1104.21

01135.0034.0034.001135.0)( −−−

−−−

−+−+++

=zzz

zzzzH n

22

Implantation des RIIImplantation des RII

� Comme les RIF, les RII sont réalisés à l ’aide de fonctions simples de multiplications, additions et mises en mémoire.

� La fonction de transfert d'un filtre RII est décomposée en produit ou somme de cellules élémentaires du premier ou du second ordre :

H(z) = a0 2

2

1

1

2

2

1

1

1

1−−

−−

++

++

zbzb

zaza= a0

)(

)(

zD

zN.

23

� On adopte la structure suivante :

x(n) y(n)

u(n) +

+

+

+

+ + ++

a

a

a-b

-b

0

1

2

1

2

-1

-1

z

z

Ainsi : u(n) = a0x(n) − b1u(n − 1) − b2u(n − 2)

soit : U(z) = a0 )(

)(

zD

zX

et y(n) = u(n) + a1u(n − 1) + a2u(n − 2)

soit : Y(n) = N(z)U(z).

24

� La décomposition en éléments du 1er ordre et du deuxième ordre présente un grand intérêt pratique :

Elle permet de réduire le nombre de bits nécessaires à l ’implantation

� Comme pour les RIF, on recherche un compromis entre performances et coût

� On cherche à déterminer le nombre de coefficients nécessaires pour satisfaire un gabarit donné

25

� Comme pour les RIF :

0

11 + δ1

1 − δ1

ν1

δ2

ν11/2

filtre idéal

filtre réel

gabarit

|H|

ν2

( )21

1010

1ln3

2δδν∆

≈Ne

( )

∆

≈ 110

21

10 2sin4

ln2

ln08.1 πννπδδ

Ne

26

� => conduit à des valeurs beaucoup plus faible que pour les RIF

� Pour le nombre de bits :

� Les RII demandent plus de bits que les RIF (possibilité d ’instabilité)

( )

+

∆+

≈

11 2sin

1

1

1

πννδlblblbbc

27

Réalisation de filtres RII et RIF par des filtres en treillis Réalisation de filtres RII et RIF par des filtres en treillis

� La structure de treillis apparaît dans l ’analyse et la synthèse de la parole, pour la simulation du conduit vocal, ou dans des systèmes de prédiction linéaire.

� Elle permet de réaliser des RIF ou des RII

28

Considérons les deux structures élémentaires suivantes:

z

k

k

xp-1 (n)

p

p

+

+

+

+

-1

x (n)p

pu (n)u (n)

p-1

k p

xp-1 (n)

u (n)p-1 p

u (n)

x (n)p

z

k

k

xp-1 (n)

p

p

+

-

+

+

-1

x (n)p

pu (n)u (n)

p-1

k p

xp-1 (n)

u (n)p-1 p

u (n)

x (n)p

29

Pour la première structure :

xp(n) = xp-1(n) + kpup - 1(n − 1)

up(n) = kpxp-1(n) + up-1(n − 1)

Ainsi : Xp(z) = Xp-1(z) + kpz-1Up-1(z) et Up(z) = kpXp-1(z) + z-1Up-1(z).

Pour la seconde structure :

xp-1(n) = xp(n) - kpup-1(n − 1)

up(n) = kp xp -1(n) + up-1(n − 1)

Ainsi : Xp - 1(z) = Xp(z) - kpz-1Up - 1(z) et Up(z) = kpXp - 1(z) + z-1Up - 1(z).

30

Les relations sur les transformées en z sont donc identiques pour les deux structures.

Matriciellement, on peut écrire:

=

−

−

−

−

)(

)(1

)(

)(

1

1

1

1

zU

zX

zk

zk

zU

zX

p

p

p

p

p

p

Si 1≠pk :

−

−

−=

−

−

)(

)(1

1

1

)(

)(2

1

1

zU

zX

zzk

k

kzU

zX

p

p

p

p

pp

p

31

Considérons maintenant les deux systèmes suivants:

sortiey(n)

entréex(n) k k k k1 3 N

1

0 N

N

2

2

x (n) x (n)x (n)x (n)

u (n) u (n) u (n) u (n)0

k k k k1 3 N

1

N

N

2

2

0x (n) x (n)x (n)x (n)

u (n) u (n) u (n) u (n)0

1 2

1 2

32

Pour le premier : x(n) = x0(n) = u0(n) et y(n) = xN(n).

Or :

=

∏

=−

−

)(

)(1

)(

)(

0

0

11

1

zU

zX

zk

zk

zU

zX N

p p

p

N

N

On peut donc écrire :

Y(z) = XN(z) = AN(z)X(z) et UN(z) = BN(z)X(z)

où AN(z) et BN(z) sont des polynômes en z-1 de degré N.

Soit : AN(z) = p

N

p

N zpa−

=∑

0

)( et BN(z) = p

N

p

N zpb−

=∑ )(

0

.

33

Pour le second système :

x(n) = xN(n) et y(n) = x0(n) = u0(n).

Ainsi : X(z) = XN(z) = AN(z)Y(z) et UN(z) = BN(z)Y(z).

Le premier système réalise la fonction de transfert :

H(z) = AN(z) = pN

p

N zpa−

=∑ )(

0

Le second système réalise la fonction de transfert :

H(z) = )(

1

zAN

= p

N

p

N zpa−

=∑

0

)(

1 (filtre RII purement récursif).

34

Notons :

=

∏

=−

−

)(

)(1

)(

)(

0

0

11

1

zB

zA

zk

zk

zB

zA n

p p

p

n

n

Avec : A0(z) = B0(z) = 1 et An(z) = pn

p

n zpa−

=∑

0

)( et Bn(z) = pn

p

n zpb−

=∑

0

)( ;

on démontre par récurrence sur n ≥ 1 que :

• degré(An) = degré(Bn) = n

• bn(p) = an(n - p) pour 1 ≤ p ≤ n − 1

• bn(0) = an(n) = kn

• bn(n) = an(0) = 1

• an(p) = an - 1(p) + knan - 1(n - p) pour 1 ≤ p ≤ n − 1.

Ces relations permettent de construire A1(z), A2(z) ... jusqu'à AN(z) à partir des

coefficients k1, k2, ... kN. Pour cela, on fait varier n de 1 à N.

35

Réciproquement, on peut démontrer que:

• kn = an(n)

• an - 1(p) = ( ))()()()(1

12

pnanapana

nnn

n

−−−−

pour 1 ≤ p ≤ n - 1.

A partir de AN(z),

• on construit AN-1(z), AN-2(z), ... jusqu'à A1(z)

• on en déduit successivement kN, kN-1, ..., k1. Pour cela, on fait varier n de N à 1.

Les deux propriétés suivantes sont équivalentes:

• Les zéros de AN(z) ont un module strictement inférieur à 1.

• Pour 1 ≤ n ≤ N nk < 1.

On obtient ainsi un critère simple de stabilité de la fonction de transfert H(z) = )(

1

zAN

réalisée par le second système.

36

Application du filtre en treillis à la synthèse de la parole

• Les propriétés d'un signal de parole permettent de réduire la quantité

d'information le caractérisant.

• Ainsi, on modélise le conduit vocal par un filtre en treillis réalisant la

fonction de transfert H(z) = )(

1

zAN

.

• L'entrée de ce filtre est un train d'impulsions ou un bruit aléatoire selon

la nature du son (voisé ou non voisé).

37

Générateurde

bruit

Générateurd'impulsions

Filtreen

treillisCN/A

Fréquencefondamentale

Commandevoisée

non voiséePuissance

kn

1 ≤ n ≤ N

Gain

Parolesynthétique

On obtient alors le synthétiseur suivant :

Les paramètres de commande évoluent dans le temps, notamment les coefficients kn du filtre en treillis.

L’intérêt d'utiliser ce type de filtre est le contrôle simple de la stabilité (|kn|< 1 pour 1 ≤ n ≤ N).

L'interpolation linéaire entre deux vecteurs de coefficients kn respectant la stabilité donne aussi un filtre

stable ce qui ne serait pas forcément le cas avec les coefficients aN(p) du polynôme AN(z).

38

4. Les signaux analytiques4. Les signaux analytiques

� Les signaux analytiques sont utilisés dans les opérations de :

� modulation et de démodulation des signaux

� multiplexage des fréquences

� pré-traitement (pour analyse temps-fréquence)

� calcul d'enveloppe

Définition : signal dont la représentation spectrale ne contient pas de composantes aux fréquences négatives

=> Signaux complexes, reliés par la transformée de Hilbert

39

Soit un signal x(n) = xr(n) + j xi(n)

tel que X(ν) = 0 pour ν < 0

ll est clair que : xr(n) = 0.5 ( x(n) + j x*(n) )

et : xi(n) = (0.5/j) ( x(n) - j x*(n) )

40

� La TF de xr(n) est :

Xr(ν) = 0.5 ( X(ν) + X*(-ν) )

De même,

Xi(ν) = - 0.5 j ( X(ν) - X*(-ν) )

Comme X(ν) = 0 pour ν < 0,

Xr(ν) = 0.5 X(ν) pour ν > 0

et Xr(ν) = 0.5 X*(-ν) pour ν < 0

On en déduit que : Xi(ν) = - j Xr(ν) pour ν > 0

et Xi(ν) = j Xr(ν) pour ν < 0

41

=> Xi(ν) à partir de Xr(ν) par une rotation de π/2 des composantes

� L’opération de mise en quadrature est aussi appelé transformée de Hilbert

� Le signal de sortie est appelé alors signal analytique (! sens math.)

j

-j

1/2 1ν

Qi(ν)

Gabarit

Q(ν)

42

� Le filtre Q(ν), appelé filtre de quadrature, peut être construit par troncature d ’une séquence infinie

νν ωω dejdejnh njnj ∫∫ −+=−

2

1

0

0

2

1

)( )(

Il vient :Pour n ≠ 0 et h(0) = 0( )

=2

sin2 2 n

nnh

ππ

x(n)

Q(z)

x (n)

x (n)

r

i

Mise en quadrature :

43

� Dans la pratique, le filtre de quadrature est causal et de dimension finie

� Souvent, on recherche Q(z) à phase linéaire

x(n)

Q(z)

x (n)

x (n)

r

i

z-k

44

Application au calcul d'enveloppeApplication au calcul d'enveloppe

Si xr(n) = A(n) cos(2π*f*n)

avec A "lent"

xi(n) ~ A(n) sin(2π*f*n) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

-0.5

0

0.5

1

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

1

1

1

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-5

0

5

x 10-15

Re

Im

Abs

Env.

Abs

Env - Abs